Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria ... - Tammi newsletter

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 423 • Päivitetty 30.5.2007Pyramidi 4Harjoituskokeet22.2.2006 Ensimmäinen julkaistu versio.10.4.2006 Korjattu ratkaisut HK1−6 ja HK2−6.28.3.2007 Poistettu kokeen 1 ratkaisusta 5 tarpeettomiatekstipätkiä.30.5.2007 Kokeen 1 ratkaisuun 3 pieni korjaus.

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 424 • Päivitetty 30.5.2007Koe 1Nollakohdat: Kuvaaja:1.a)b)c)a = b, b≥0⇔123x+ 45 = 66a= b tai a=−b123x+ 45 = 66 tai 123x+ 45 =−66123x= 21 tai 123x=−11121 −111x= tai x=123 1237 37x= tai x=−41 41a = b ⇔2x+ 1 = x−1a= b tai a=−b2x+ 1= x− 1 tai 2x+ 1=−( x−1)x=− 2 tai 2x+ 1=− x+1x=− 2 tai 3x=0x =− 2 tai x = 021− x = 2x− 1Yhtälö on määritelty, kun21−x≥ 021− x = 0x2= 1x = ± 1Siis −1≤x ≤ 1−1≤x ≤121− x = 2x−1 Jos a≥0 ja b≥0, niin ≥0 ≥02 2a= b⇔ a = b .( ) ( )21− x = ( 2x−1)2( x )22 22 2 21− x = 2x− 1 a = a,a = a2 21− x = 4x − 4x+1− 5x+ 4x=0x2− 5 + 4 = 0 tulon nollasääntöx= 0 tai − 5x+ 4 = 0x= 0 tai4x= 5−1≤ x≤1kelpaa kelpaaVastaus7 37a) x= tai x=−41 41b) x = − 2 tai x = 04c) x= 0 tai x=5

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 425 • Päivitetty 30.5.20072.a)2x − 1 < x+ 2 a < b⇔− b< a

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 426 • Päivitetty 30.5.2007Suoran yhtälö on5y− y0 = k x− x0 k =− , x0 , y0= − 1,345y− 3=− ( x−( −1))45 5y− 3=− x− ⋅44 44y− 12=−5x−55x+ 4y− 7=0Pisteen ( )( ) ( ) ( )2,1 etäisyys suorasta 5x+ 4y− 7 = 0 on5⋅ 2+ 4⋅1−7 7 7h = = =2 25 + 4 41 41Kolmion ABC pinta-ala on1 1 7 7 1A= ah= ⋅ 41 ⋅ = = 32 2 41 2 2VastausAla on13 2(pay).4.⎛Olkoon 1 ⎞ ⎛A 2, 2 , B ( 1,3 ) ja C1 ,12 ⎞= ⎜− − ⎟ = = ⎜ ⎟⎝ 2⎠ ⎝5 5⎠ .Pisteistä A, B ja C mitkään kaksi eivät ole samalla pystysuorallasuoralla, sillä kaikkien x-koordinaatit ovat eri suuret.Tapa 1Tutkitaan, onko pisteiden A ja B kautta kulkevan suorankulmakerroin k AB sama kuin pisteiden B ja C kautta kulkevansuoran kulmakerroin k BC .kABy=x− y− x2 12 1⎛ 1 ⎞3−⎜−2 ⎟=⎝ 2 ⎠1−( −2)15= 2311=65= 1 6⎛ 1 ⎞, = ⎜−2, −2 ⎟⎝ 2 ⎠( x y )1 1( x , y ) = ( 1,3)2 2

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 427 • Päivitetty 30.5.2007kBC( x , y ) = ( 1,3)1 1y2 − y1= 1 2x2 − x⎛ ⎞1 ( x2, y2)= ⎜ ,1 ⎟21 − 3=1 5− 1 57 15−= 5 51 5−5 58−= 54−5⎝5 5⎠Suoran BC yhtälö ony− 3= 2( x−1)y− 3= 2x−22x− y+ 1=01Sijoitetaan x= − 2 ja y=− 2 , jolloin yhtälön 2x− y + 1 = 02vasen puoli on ( )1 12⋅ − 2 + 2 + 1=−2 2oikea puoli on 0Koska pisteen A koordinaatit eivät toteuta suoran yhtälöä, ei pisteA ole tällä suoralla.= 2Koska kAB≠ kTapa 2BC, pisteet A, B ja C eivät ole samalla suoralla.Muodostetaan pisteiden B ja C kautta kulkevan suoran yhtälö jatutkitaan, toteuttavatko pisteen A koordinaatit tämän yhtälön.Vastausei

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 428 • Päivitetty 30.5.20075.l : ax− y+ 3=01l : 2x+ y−ax− 1=02Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun k1⋅k2 =− 1, jotenmuunnetaan suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon.l : ax− y+ 3=012y= ax+3l : 2x+ y−ax− 1=0kk1y= − 2x+ ax+1y= ( a− 2)x+12= a= a−2Koska k1⋅k2 =− 1, saadaan yhtälöa( a− 2)=−1a2− 2a=−12 2 2a − 2a+ 1= 0 a − 2ab+ b = ( a−b)2( a − 1)= 0a − 1=0a = 1Vastaus a = 12

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 429 • Päivitetty 30.5.20076.a) Ympyränx2 2+ y = 5 keskipiste on ( 0,0 ) ja säde 5 .Tangentti kulkee pisteen ( 5,0 ) kautta. Saadaan yhtälö( ) ( )y− 0= k x−5y− y = k x−x− kx + y + 5k= 0 ⋅( −1)kx − y − 5k= 00 0Tangentin etäisyys ympyrän keskipisteestä on säde 5.Saadaan yhtälök⋅0−1⋅0−5kax0 + by0+ c= 5 d =2 2 2 2k + ( −1)a + b− 5k2= 5 ⋅ k + 12k + 1( )− 5k = 5 k + 1 , a = a≥02 22≥0( )25k= 5 k + 12 225k= 5k+ 520k= 52 5 1k = =20 41k =±22 2 2 2Tangentit:kx − y − 5k = 01k =21 1x− y−5⋅ = 02 2⋅2x−2y− 5=0tai1kx − y − 5k = 0 k =−21 ⎛ 1⎞− x− y−5⋅⎜− ⎟= 0 ⋅( −2)2 ⎝ 2⎠x+ 2y− 5=0Vastaus x − 2y− 5= 0 ja x+ 2y− 5=0⎛ 1 1 1 1⎞⎜y= x− 2 ja y=− x+2 ⎟⎝ 2 2 2 2⎠

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 430 • Päivitetty 30.5.2007b)2 2x + y − 3x+ 4y− 6=0Siis origon etäisyys ympyrästä onMuunnetaan yhtälö keskipistemuotoon.2 22 3 ⎛3⎞ ⎛3⎞2 2 2x −2⋅x⋅ + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + y + 2⋅y⋅ 2+ 2 −2 − 6=02 ⎝2⎠ ⎝2⎠2⎛ 3⎞92⎜x− ⎟ − + ( y+ 2)−4− 6=0⎝ 2⎠42⎛ 3⎞2 4) 4) 9⎜x− ⎟ + ( y+ 2)= 6+ 4+⎝ 2⎠423 2 24+ 16+9⎛ ⎞⎜x− ⎟ + ( y+ 2)=⎝ 2⎠423 2 49⎛ ⎞⎜x− ⎟ + ( y+ 2)=⎝ 2⎠41 13 − 2 = 12 2Keskipiste on⎛ 1 ⎞⎜1 , − 2⎟⎝ 2 ⎠ ja säde on 49 7 1= = 3 .4 2 2Vastaus 1Lasketaan origon etäisyys keskipisteestä.d2⎛ 1 ⎞2( )9 4) 25 5 1= ⎜1 − 0⎟+ −2− 0 = + 4 = = = 2⎝ 2 ⎠4 4 2 2Koska origon etäisyys keskipisteestä on pienempi kuin säde, onorigo ympyrän sisällä.

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 431 • Päivitetty 30.5.20077.Muunnetaan yhtälö keskipistemuotoon.2 2x + y −4x−2ay− 2a+ 3=02 2 2 2 2 2x −2⋅x⋅ 2+ 2 − 2 + y −2⋅y⋅ a+ a −a − 2a+ 3=02 2 2( ) ( )Keskipiste on ( 2,a ) ja säde onx−2 − 4+ y−a −a − 2a+ 3=02 2 2( ) ( )( ) 2 ⎧ a+ 1, kun a>−1a+ 1 = a+ 1 =⎨⎩ − a − 1, kun a − 1,2,a ja säde −a−1, kun a

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 432 • Päivitetty 30.5.20079.Tapa 1Suorien yhteiset pisteet saadaan ratkaisemalla suorien yhtälöidenmuodostama yhtälöpari.() 1 ⎧ax − y + a = 0( 2)⎨⎩ − 2ax + ay − 3x− 1 = 0⋅a, a≠0Tapaus a = 0 ontutkittava erikseen2 2 2Osoittaja: 1− a = ( 1+ a)( 1−a) a − b = ( a+ b)( a−b)Nimittäjä: a −2a− 3 = 0222± ( −2) −4⋅1⋅( − 3)2±16a = =21 ⋅22+ 4 2−4a= = 3 tai a= =−12 22Siis a −2a− 3 = 1⋅( a− 3)( a+ 1) = ( a− 3)( a+1)Leikkauspisteen x-koordinaatti on siis2 2⎧ ax − ay + a =+ ⎨⎩ − 2ax + ay − 3x− 1 = 02 2ax−2ax− 3x+ a − 1=0( )2 2a −2a− 3 x+ a − 1=0021− a ( 1+ a)( 1−a)x = =2a −2a−3( a− 3)( a+1)1−ax =a − 3a≠−1 ja a≠3Tapaukset a= − 1 ja a=3on tutkittava erikseen.(2)2(2)( )a −2a− 3 x= 1 −a : a −2a−3 ≠0x =a221−a−2a−32Tapaus a − 2a− 3 = 0on tutkittava erikseenJaetaan osoittaja ja nimittäjä tekijöihin muistikaavan janollakohtien avulla.1−aSijoitetaan x = yhtälöön (1). Saadaan yhtälöa − 31−aa⋅ − y+ a=0a − 32 2 2a−a a− a + a −3a 2ay= + a= =−a− 3 a−3 a−3

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 433 • Päivitetty 30.5.2007Suorien ainoa yhteinen piste onkun a≠0, a≠−1 ja a≠ 3 .⎛1−a 2a⎞⎜ , − ⎟⎝a−3 a−3⎠ ,1) Jos a≠0, a≠−1 ja a≠ 3 , suorilla on siis vain yksiyhteinen piste.2) Jos a = 0, alkuperäisistä yhtälöistä saadaan yhtälöpari⎧ − y = 0⎨⎩ − 3x− 1 = 0⎧−x− y− 1=0+ ⎨⎩ x+ y+ 1=00 = 0 aina tosiSiis suorat yhtyvät, jos a = − 1.4) Jos a = 3, niin saadaan⎧3x− y+ 3=0⎨⎩ − 6x + 3y − 3x− 1 = 0⎧y= 0⎪⎨ 1⎪ x =− ⎩ 3Siis suorilla on vain yksi yhteinen piste3) Jos a =− 1, niin saadaan⎧−x− y− 1=0⎨⎩2x− y−3x− 1=0⎛ 1 ⎞⎜−,0 ⎟⎝ 3 ⎠ .⎧ 3x− y+ 3= 0 ⋅3⎨⎩ − 9x+ 3y− 1 = 0 ⋅ 1⎧ 9x− 3y+ 9=0+ ⎨⎩ − 9x+ 3y− 1 = 08 = 0 aina epätosiSiis suorat ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy, kun a = 3.⎧− ⎨ x− y− 1= 0 ⋅1⎩ − x − y − 1 = 0 ⋅ ( − 1)

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 434 • Päivitetty 30.5.2007Tapa 2Muunnetaan suorien yhtälöt ratkaistuun muotoon.l : ax− y+ a=012y= ax+ak = a ja b = a1 1l : − 2ax+ ay−3x− 1=0ay = 2ax + 3x+ 11) Jos a ≠ 0 , niin suoran yhtälö voidaan jakaa luvulla a.ay = 2ax + 3x+ 12a3 1y= x+ x+a a a⎛ 3⎞1y= ⎜2+ ⎟x+⎝ a⎠a3k2 = 2 + ja b2= aa: a, a≠0a) Suorat l 1 ja l 2 leikkaavat toisensa, kunk≠ k1 23a ≠ 2 +aTapaus a = 0 ontutkittava erikseen.Tarkastellaan vastaavaa yhtälöä3a= 2 + ⋅a, a≠0aaa22= 2a+3−2a− 3=022± ( −2) −4⋅1⋅( − 3)2±16a = =21 ⋅2a=− 1 tai a=33Epäyhtälö a ≠ 2 + toteutuu, kun a≠ −1 tai a≠ 3.aMyös ehdon a ≠ 0 on oltava voimassa.b) Suorat l 1 ja l 2 ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy, kunk = k ja b ≠ b1 2 1 2()3( )11 a= 2+ ja 2 a≠aaYhtälön (1) ratkaisuna on a)-kohdan mukaan a= − 1 tai a= 3.Epäyhtälö (2) toteutuu, kun

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 435 • Päivitetty 30.5.20071a≠ a⋅a, a≠02a ≠1a ≠± 1a≠1 tai a≠−1Siis vakion a arvo a = − 1 ei kelpaa, joten ratkaisuna on a = 3,sillä myös ehto a ≠ 0 toteutuu.c) Suorat l 1 ja l 2 yhtyvät, kunk = k ja b = b()3( )11 a= 2+ ja 2 a=aa1 2 1 2Yhtälön (1) ratkaisuna ovat a=− 1 tai a= 3.Tarkistetaan, toteuttavatko nämä vakion a arvot myösyhtälön (2).1Jos a =− 1, niin yhtälön a =avasen puoli on − 1 jaoikea puoli on 1 1−1 =−Siis a =− 1 on yhtälön (2) ratkaisu.1Jos a = 3, niin yhtälön a =avasen puoli on 3 jaoikea puoli on 1 3Siis a = 3 ei ole yhtälön (2) ratkaisu. Ratkaisuna on siis a =− 1,sillä myös ehto a ≠ 0 toteutuu.2) Jos a = 0, niin alkuperäisten suorien yhtälöt ovatl1: − y=0y= 0 eli x−akselil 2 : −3x− 1=0− 3x= 11x =−3eli pystysuora suoraSuorat ainoastaan leikkaavat toisensa yhdessä pisteessä, jotenvakion arvolla a = 0 vain a)-kohta toteutuu.Vastaus a) a≠ −1 ja a≠3b) a = 3c) a = − 1

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 436 • Päivitetty 30.5.200710.Leikkauspisteet saadaan ratkaisemalla yhtälöpari.() 1 ⎧ ⎪y= kx+1 Sijoitetaan yhtälöön ( 2 ).⎨( )22 ⎪⎩ y =− x − x2kx+ 1 =−x −xx + kx+ x+ 1=02x + ( k + 1)x+ 1=0Leikkauspisteitä on kaksi, jos ja vain jos2( k + 1)−4⋅1⋅ 1>0k2+ 2k+ 1− 4>0k22D> 0 D= b −4ac+ 2k− 3>0Nollakohdat: Kuvaaja:k2+ 2k− 3=02− 2± 2 −4⋅1⋅( −3)− 2±4k = =21 ⋅2k = 1 tai k =−32Leikkauspisteiden x-koordinaatit ovat2x + ( k + 1)x+ 1=0[ ]− ( k + 1) ± − ( k + 1)−4⋅1⋅12x = a = ( −a)21 ⋅2−k− 1± ( k + 1)−4x =2x =−k − 1± k + 2k−322Leikkauspisteiden x-koordinaattien summa onx1 222 2−k − 1+ k + 2k −3 −k −1− k + 2k−3+ x = +2 22 2−k − 1+ k + 2k −3−k −1− k + 2k−3=2−2k−2=22( −k−1)=2= −k−12Siis k 1

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 437 • Päivitetty 30.5.2007Leikkauspisteiden y-koordinaattien summa on( 1) ( 1) yhtälö ( 1)y + y = kx + + kx +1 2 1 2= kx1+ 1+ kx2+ 1= k x + x + 2 x + x =−k−1( )1 2 1 2= k( −k− 1)+ 22=−k− k + 2Leikkauspisteiden x- ja y-koordinaattien summien pitää olla yhtäsuuret, joten saadaan yhtälöx + x = y + y1 2 1 2−k − 1=−k − k + 22k = 32k =± 3 k 1k =3Vastaus k = 3

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 438 • Päivitetty 30.5.2007Koe 2Nollakohdat: Kuvaaja:1.a)2x− 1 = 3x+2a = b ⇔a= b tai a=−b2x− 1= 3x+ 2 tai 2x− 1=− ( 3x+2)2x− 3x= 2+ 1 tai 2x− 1=−3x−2− x= 3 tai 5x=−1x=− 3 tai1x=−528x− 10x+ 3=0210 ± ( −10)−4 ⋅8⋅ 3 10 ± 2x = =28 ⋅1612 8x= tai x=16 163 1x= tai x=4 21 3Siis x≤ tai x≥2 41234b)≥0 ≥^02 2 2 22 2( 3x−2) ≥( − x+1)2 223x−2 ≥ − x+1 3x−2 ≥ − x+ 1 a = a9x − 12x+ 4≥ x − 2x+18x− 10x+ 3≥0Jos a≥0 ja b≥0, niin2 2a≥b⇔a ≥b.c) xx− 2x+ 1=01) Jos x ≥ 0 , niinxx− 2x+ 1=0x⋅x− 2x+ 1=0x2− 2x+ 1=02( x − 1)= 0x − 1=0x ≥ 0x= 1 x≥0kelpaaJos a≥ 0, niin a = a.

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 439 • Päivitetty 30.5.20072) Jos x < 0 , niinxx− 2x+ 1=0x⋅( −x)− 2x+ 1=02−x− 2x+ 1=02x < 0Jos a< 0, niin a =−a.2± ( −2) −4⋅( −1)⋅ 1 2± 8 2±2 2x = = =2⋅( −1)−2 −221 ( ± 2)1±2x = =−2 −1x=− 1∓2 x

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 440 • Päivitetty 30.5.20073.Suora l kulkee pisteiden A ( 2,2 ) ja B ( 1, 4)Suoran l kulmakerroin onkAB2 1 2 2−4−2=1 − ( − 2)−6=3=−2= − = − kautta.( x1, y1) = ( −2,2)( , ) ( 1, 4)y2 − y1=x − x x y = −Suora l laskee jyrkemmin kuin suora s, joskAB< k kAB=− 2, k =− a+3− 2

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 441 • Päivitetty 30.5.20074.Tapa 1Olkoon ( , )x0 y0piste, jonka etäisyys suorasta3x− 4y+ 1= 0 on 2.x , y toteuttaa yhtälönPiste ( )0 03x− 4y+ 10 023 + ( −4)0 03x0 − 4y0+ 1 =1023x− 4y+ 15= 2= 2 ⋅5≥0Jos0 0 0 0b ≥ 0, niina = b⇔ a= b tai a=−b3x0 − 4y0 + 1= 10 tai 3x0 − 4y0+ 1=−103x −4y − 9= 0 tai 3x − 4y+ 11=0Ratkaisuna ovat täsmälleen ne pisteet, jotka toteuttavat yhtälön3x0 −4y0 − 9= 0 tai 3x0 − 4y0+ 11= 0. Jos ratkaisupistettämerkitään ( x,y ), niin ratkaisuna ovat suorat3x −4y− 9= 0 ja 3x− 4y+ 11= 0.Tapa 2Pisteet, joiden etäisyys suorasta 3x− 4y+ 1 = 0 on 2,muodostavat kaksi tämän suoran kanssa yhdensuuntaista suoraa.Kaikkien suoran 3x− 4y+ 1 = 0 kanssa yhdensuuntaisten suorienyhtälöt ovat muotoa 3x − 4y+ c= 0, c∈R , koska niillä on sama3kulmakerroin k = .4Määritetään sellainen vakio c, että suorien välinen etäisyys on 2.Valitaan suoralta 3x− 4y+ 1 = 0 jokin piste.1 ⎛ 1 ⎞Kun x = 0, niin y = , joten ⎜0, ⎟on suoran piste. Koska pisteen4 ⎝ 4 ⎠⎛ 1 ⎞⎜0, ⎟ etäisyys suorasta 3 4 0⎝ 4 ⎠ x − y + c = on 2, saadaan yhtälö130 ⋅ −4⋅ + c 4= 22 23 + ( −4)− 1+c5= 2c − 1 =10≥0c− 1= 10 tai c− 1=−10c= 11 tai c=−9Josb ≥ 0, niina = b⇔ a= b tai a=−bSuorien yhtälöt ovat 3x − 4y+ 11= 0 ja 3x−4y− 9 = 0.Vastaus Suorat ovat 3x − 4y+ 11= 0 ja 3x−4y− 9 = 0.

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 442 • Päivitetty 30.5.20075.Muunnetaan yhtälö keskipistemuotoon.Verrataan tätä etäisyyttä säteeseen494 .2 24x + 4y + 20x−12y− 15 = 0 : 42 2 15x + y + 5x−3y− = 042 2 2 22 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞5 5 5 3 3 3 15x + 2⋅x⋅ + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + y −2⋅y⋅ + ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ − = 02 ⎝2⎠ ⎝2⎠ 2 ⎝2⎠ ⎝2⎠42 2⎛ 5⎞ ⎛ 3⎞25 9 15⎜x+ ⎟ + ⎜y− ⎟ = + +⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠4 4 42 2⎛ 5⎞ ⎛ 3⎞49⎜x+ ⎟ + ⎜y− ⎟ =⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠4KoskaVastaus58 49> , piste on ympyrän ulkopuolella.4 4⎛ 1 1⎞Keskipiste on ⎜−2 ,1 ⎟⎝ 2 2⎠ ja säde on 13 . 2− on ympyrän ulkopuolella.Piste ( 4,5)Keskipiste on⎛ 1 1⎞⎜−2 ,1 ⎟⎝ 2 2⎠ ja säde on 49 7 1= = 3 .4 2 2Lasketaan pisteen ( − 4,5)etäisyys keskipisteestä.2 2⎛ 1( ) ⎞ ⎛ 1 ⎞⎜−2 − − 4 ⎟ + ⎜1 −5⎟⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠2 2⎛3⎞ ⎛ 7⎞= ⎜ ⎟ + ⎜−⎟⎝2⎠ ⎝ 2⎠9+49 58= =4 4

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 443 • Päivitetty 30.5.20076.Ympyrän yhtälö yleisessä muodossa:2 2x + y + ax+ by+ c=0Sijoitetaan pisteet ( 0,4 ), ( −1, − 1 ) ja ( 5,3)ympyrän yhtälöön.( )( )( )0,4 ⎧ 16 + 4b+ c=0 : 4⎪−1, − 1 ⎨1 + 1 −a− b+ c=05,3⎪⎩25 + 9 + 5a+ 3b+ c=0⎧ c()4 Sijoitetaan yhtälöön ( 2 ).1 b =− −⎪ 4( 2)⎨a =− b + c + 2⎪( 3)⎪ ⎩34+ 5a+ 3b+ c=0⎧ c( )⎪b =− − 4 Sijoitetaan yhtälöön 3 .() 14⎪( )52⎨ ca 4 c 2 c 6 Sijoitetaan yhtälöön ( 3 ).⎪= + + + = +4 4( 3)⎪⎩ 34 + 5a+ 3b+ c=0( )⎛5⎞ ⎛ c ⎞3: 34+ 5⎜ c+ 6⎟+ 3⎜− − 4⎟+ c=0⎝4 ⎠ ⎝ 4 ⎠25 3 4)c− c+ c=−34 − 30 + 124 426 4c = −52⋅4 2652 ⋅ 4c = − =−826()c1: b =− − 4= 2− 4=−24( )52 : a= c+ 6=− 10+ 6=−44Siis ympyrän yhtälö on2 2x + y −4x−2y− 8=02 2 2 2 2 2x −2⋅x⋅ 2+ 2 − 2 + y −2⋅y⋅ 1+ 1 −1 − 8=02 2Ympyrän säde on 13 .2Ympyrän pinta-ala on A = π r = 13π.x − 4x+ 4+ y − 2y+ 1= 8+ 4+122( ) ( ) ( )x− 2 + y− 1 = 132Vastaus13π

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 444 • Päivitetty 30.5.20077.2Paraabeli y=− x + 1 on alaspäin aukeava, joten suora onparaabelin tangentti täsmälleen silloin, kun tangentilla japaraabelilla on vain yksi yhteinen piste sekä tangentti ei olepystysuora (paraabelin akselin suuntainen). Tangentilla on siiskulmakerroin. Olkoon tangentin kulmakerroin k.Paraabelin ja tangentin yhteiset pisteet:( )21 ⎧ 1 Sijoitetaan yhtälöön ( 2 ).( 2)⎨ y=− x +⎩y = kx − 2k− 322− x + 1= kx−2k−3−x − kx + 2k+ 4=0Yhtälöllä on yksi ratkaisu, jos ja vain josPisteen ( 2, − 3)kautta kulkevan tangentin yhtälö ony−( − 3) = k( x−2)( ) ( , ) ( 2, 3)y− y = k x− x x y = −0 0 0 0y+ 3= kx−2ky= kx−2k−32( −k) −4⋅( −1) ⋅ ( 2k+ 4)= 0k2D = 0+ 8k+ 16=02( k + 4)= 0k + 4=0k =−4Tangentin yhtälö on siis( )y=−4x−2⋅ −4 −3y=− 4x+52D= b −4aca= − 1, b=− k, c= 2k+ 4Vastaus y= − 4x+5

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 445 • Päivitetty 30.5.20078.Väite. Suoraparven ( 5− 3a)x+ 2ay−4y− 4a+ 5= 0 kaikkisuorat kulkevat saman pisteen kautta.Todistus.Tapa 1⎧ 5x− 4y+ 5= 0 ⎧ 10x− 8y+ 10=0+ ⎨+ ⎨⎩− 4x+ 4y− 2 = 0 ⎩− 10x+ 10y− 5 = 0x + 3= 0 2y+ 5=0x =−3 5y = −2Valitaan suoraparvesta kaksi suoraa antamalla parametrille akaksi arvoa, esimerkiksi a= 0 ja a= 1.Siis leikkauspiste on⎛ 5 ⎞⎜−3,− ⎟⎝ 2 ⎠ .a= 0: ( 5−3⋅ 0)x+ 2⋅0⋅y−4y−4⋅ 0+ 5=05x− 4y+ 5=0a= 1: ( 5−3⋅ 1)x+ 2⋅1⋅y−4y−4⋅ 1+ 5 = 02x+ 2y−4y− 4+ 5=02x− 2y+ 1=0Lasketaan suorien leikkauspiste.⎧5x− 4y+ 5= 0 ⋅1 ⋅2⎨⎩2x− 2y+ 1= 0 ⋅( −2) ⋅( −5)Lisäksi on osoitettava, että suoraparven kaikki suorat kulkevat⎛ 5 ⎞pisteen ⎜−3,− ⎟⎝ 2 ⎠ kautta.5Sijoitetaan suoraparven yhtälöön x= − 3 ja y=−2Vasen puoli on( ) ( )⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞5− 3a ⋅ − 3 + 2a⋅⎜− ⎟−4⋅⎜− ⎟− 4a+5⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠=− 15 + 9a− 5a+ 10 − 4a+5=− 15 + 10 + 5 + 9a−5a−4a= 0Oikea puoli on 0.Siis suoraparven kaikki suorat kulkevat pisteenparametrin a arvosta riippumatta, joten väite on tosi. ⎛ 5 ⎞⎜−3,− ⎟⎝ 2 ⎠ kautta

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 446 • Päivitetty 30.5.2007Tapa 2Tutkitaan, millä muuttujien x ja y arvoilla yhtälö( 5− 3a)x+ 2ay−4y− 4a+ 5= 0 toteutuu parametrin a arvostariippumatta.( 5− 3a)x+ 2ay−4y− 4a+ 5=05x− 3ax+ 2ay−4y− 4a+ 5=0( x y ) ( ax ay a)( x y ) a( x y )5 − 4 + 5 + − 3 + 2 − 4 = 05 − 4 + 5 + − 3 + 2 − 4 = 0Yhtälö toteutuu kaikilla a:n arvoilla, kun⎧ 5x− 4y+ 5= 0 ⋅1 ⋅3⎨⎩ − 3x+ 2y− 4 = 0 ⋅ 2 ⋅ 5⎧ 5x− 4y+ 5=0 ⎧ 15x− 12y+ 15 = 0+ +⎨ ⎨6x4y8 0 − 15x+ 10y− 20 = 0⎩− + − = ⎩−x− 3=0−2y− 5=0x =−32y= −55y = −2⎛ 5 ⎞Piste ⎜−3,− ⎟ toteuttaa suoraparven yhtälön a:n arvosta⎝ 2 ⎠riippumatta, joten kaikki parven suorat kulkevat pisteen⎛ 5 ⎞⎜−3,− ⎟⎝ 2 ⎠ kautta. Siis väite on tosi. Määritetään yhtälöstä ( 5− 3a)x+ 2ay−4y− 4a+ 5= 0 suorankulmakerroin.( 5− 3a)x+ 2ay−4y− 4a+ 5=02ay − 4y =−( 5− 3a)x + 4a−5( 2a− 4) y= ( 3a− 5) x+ 4a−5:( 2a− 4 ),2a−4≠0eli a ≠ 23a−5 4a−5y= x+2a−4 2a−4Suoran kulmakerroin on3a− 5k = , a≠22a− 4Suora on vaakasuora, josk = 0 eli3a− 5=03a= 5a =53Siis vaakasuora suora kuuluu suoraparveen.5Se saadaan arvolla a = .3

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 447 • Päivitetty 30.5.2007Jos a = 2 , ei lauseketta 3 a − 5 ole määritelty eli kulmakerrointa2a− 4ei ole olemassa. Tällöin suora on pystysuora.Tarkistus: Sijoitetaan a = 2 suoraparven yhtälöön( 5−3⋅ 2)x+ 2⋅2y−4y−4⋅ 2+ 5=0Saatiin pystysuora suora.− x+ 4y−4y− 8+ 5=0−x− 3=0x =−3Siis pystysuora suora kuuluu suoraparveen.Se saadaan arvolla 2 a = .9.Pisteen ( − 1, 2)kautta kulkevan suoran yhtälö ony− 2= k( x+1)( ) ( , ) ( 1,2)y− y = k x− x x y = −0 0 0 0y= kx+ k + 2Suoran ja y-akselin leikkauspiste:x = 0y= k + 2Siis A ( 0, k 2)= + , joten OA = k + 2 .Suoran ja x-akselin leikkauspiste:Vastaus Pystysuora ja vaakasuora suora kuuluvatsuoraparveen.y = 00= kx + k + 2kx =−k −2 : k, k ≠0−k−2x =kSiis⎛−k−2 ⎞B = ⎜ ,0 ⎟⎝ k ⎠ , joten −k− 2OB = .kHuomautus:Jos k = 0, niin suora on y = 2, jolloin ei muodostu kolmiota.

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 448 • Päivitetty 30.5.2007Mallikuva1) Jos k > 0, saadaan yhtälö( k + 2) 2= k2k + 4k + 4=k2k + 3k+ 4=0− 3± 3 −4⋅1⋅4k =21 ⋅− 3±−7k = ∉R2Yhtälöllä ei ole ratkaisua.2) Jos k < 0, saadaan yhtälö2Kolmion ala on 1 2 , jotenOB ⋅ OA 1=2 2−k−2k + 2k1= ⋅ 22 2−k−2k + 2 = 1 ⋅ k , k ≠0k−k − 2 k + 2 = k − a = ak + 2 k + 2 = k2k + 2 = k2( k + 2)= k222( k + 2)=−kk + 4k + 4=−kk+ 5k+ 4=02− 5± 5 −4⋅1⋅4k =21 ⋅− 5±3k =2k =− 4 tai k =−1 kelpaavat( )Vastaus k = − 4 tai k =− 1

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 449 • Päivitetty 30.5.200710.a) Pisteen ( 2, − 4)kautta kulkevan tangentin yhtälö ony−( − 4) = k( x−2)y+ 4= kx−2kkx − y −2k− 4=0kkk28± ( −8) −4⋅3⋅( −3)=23 ⋅8±10=6−2 1 18= =− tai k = = 36 3 6Tangentti on säteen etäisyydellä ympyrän keskipisteestä, joten2 2suoran kx − y −2k− 4 = 0 etäisyys ympyrän x + y = 10keskipisteestä ( 0,0 ) on säde 10 . Saadaan yhtälök⋅0−1⋅0−2k−4k2+ ( −1)≥00 0= 10d =2 2 2−2k− 4 = 10 k + 1≥0( )4k + 16k + 16= 10k+ 102− 6k+ 16k+ 6= 0 :( −2)22 2−2k− 4 = 10 k + 12 223k−8k− 3=02ax + by + ca+ bJos a≥0 ja b≥0, niin2 2a= b⇔ a = bSaadaan kaksi tangenttia, joiden kulmakertoimet ovat1Koska − ⋅ 3 =− 1 , ovat tangentit kohtisuorassa3toisiaan vastaan. 2b) Käyrän y= x −2x− 3 pisteidenA= ( 0, − 3 ) ja B= ( − 2,5)välisensekantin kulmakerroin onk AB−3−5 −8= = =−40−( −2)2Käyrän tangentin kulmakerroin onsiis − 4 ja tangentin yhtälö onmuotoa1− ja 3.3y=− 4x+b

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 450 • Päivitetty 30.5.2007Merkitään käyrän ja tangentin sivuamispistettä ( , )x0 y0. Senkoordinaatit toteuttavat molemmat yhtälöt. Saadaan yhtälöpari() 1 ⎧⎪ y0 =− 4x0+ b( )⎨ 22 ⎪⎩ y ()0 = x0 −2x0−3 Sijoitetaan yhtälöön 1 .20 2 0 3 4 0x − x − =− x + b( )23 x + 2x −3− b=00 0Paraabelilla ja sen tangentilla on yksi yhteinen piste, jotensaadulla yhtälöllä on oltava vain yksi ratkaisu. Näin on jos javain jos diskriminantti D = 0 . Saadaan yhtälö22 = −42 −4⋅1⋅( −3− b)= 04+ 12+ 4b= 04b=−16b =−4D b aca= 1, b= 2, c=−3−bSiis sivuamispisteen x-koordinaatti on x 0 = − 1 ja y-koordinaattisaadaan sijoittamalla x 0 = − 1 esimerkiksi tangentin yhtälöön.y=−4x− 4=−4⋅( −1)− 4=00 0Siis sivuamispiste on ( − 1, 0).Vastaus Sivuamispiste on ( 1, 0)− .Tangentin yhtälö on 4x+ y + 4 = 0 .(Tangentin yhtälö on y= −4x− 4 .)Tangentin yhtälö on siis y=−4x− 4 eli 4x+ y+ 4 = 0.Sijoitetaan b =− 4 yhtälöön (3).x+ 2x−3−( − 4)= 020 0x20 x0+ 2 + 1=0( x )002+ 1 = 0x+ 1=0x0= −1

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 451 • Päivitetty 30.5.2007c)Olkoon P ( x,y)= paraabeliny22= x piste. Tällöin P ( x,x )= .x0−b−2= = = 12a2⋅( −1)y02=− 1 + 2⋅1− 3=−2( − )huippu 1, 2Pisteen P etäisyys suorasta y= 2x−3 eli 2x− y− 3 = 0 onax0 + by0+ cd =2 22a + b2x−x−3d = a= 2, b=− 1, c=−32 22 + ( −1)2x , y = x,x=2− x + 2x−352( ) ( )0 0Lausekkeen − x + 2x− 3 kuvaaja y=− x + 2x− 3 on alaspäinaukeava paraabeli, jonka huippu on:2Siis lausekkeen2− x + 2x− 3 arvot ovat välillä ] − ∞− , 2].2− + − arvot ovat välillä [ [Tällöin lausekkeen x 2x32,∞ .Sen pienin arvo 2 saadaan, kun x = 1. Etäisyys d saa siis⎛ 2 ⎞pienimmän arvonsa ⎜ ⎟⎝ 5 ⎠ , kun x = 1,jolloin 2y = 1 = 1.1,1 on lähinnä suoraa y= 2x− 3.Siis paraabelin piste ( )Paraabelin etäisyys (lyhin välimatka) suorasta on sama kuinsuoran etäisyys (lyhin välimatka) paraabelista.On siis määritettävä se suoran y= 2x− 3 piste, joka on lähinnäparaabelin pistettä ( 1,1 ) .Määritetään ensin se suoran y= 2x− 3 normaali, joka kulkeepisteen ( 1,1 ) kautta. Lasketaan sitten normaalin ja suorany= 2x− 3 leikkauspiste.

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 452 • Päivitetty 30.5.2007Normaalin ja suoran y= 2x− 3 leikkauspiste saadaanratkaisemalla yhtälöpari.Normaalin kulmakerroin onkn1=− k = 2k1=−2Normaalin yhtälö on( )y− y = k x−x0 01y− 1=−( x−1)21 1y− 1 =− x+2 21 3y=− x+2 2( x , y ) = ( 1,1)0 0k = k =−n12()⎧ 1 31 ⎪y=− x +⎨ 2 2( 2) ⎪⎩y= 2x−3 Sijoitetaan yhtälöön () 1 .1 32x− 3=− x+ ⋅22 24x− 6=− x+35x= 99 4x = = 1 Sijoitetaan yhtälöön ( 2 ).5 59 18 3 3y = 2⋅ − 3= − 3= 3 − 3=5 5 5 5⎛ 4 3⎞Siis suoran piste on ⎜1 , ⎟⎝ 5 5⎠ .⎛ 4 3⎞Vastaus Lähin piste on ⎜1 , ⎟⎝ 5 5⎠ .

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 453 • Päivitetty 30.5.2007Koe 31.a) MerkitäänA = ( 3, −8)B = −2,10( )1suora l:y= x+1 eli2x− 2y+ 2=0Pisteen etäisyys suorasta l onax0 + by0+ cd = a= 1, b=− 2, c=22 2a + b13 ⋅ + ( −2) ⋅( − 8)+ 2A: d = x20, y0= 3, −821 + ( −2)3+ 16+2=521=5( ) ( )B: d =1⋅( − 2) + ( −2)⋅ 10+22 21 + ( −2)x0, y0= −2,10=−2− 20+25−20=520=5Koska( ) ( )20 21< , on piste B lähempänä suoraa kuin piste A.5 5Vastaus Piste ( − 2,10)on lähempänä.b) Merkitään( 1, 2)( 3, 6)( )A =B = − −P=x , y ,kkmissä ( , )x y on janan AB keskipiste.kk

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 454 • Päivitetty 30.5.2007Pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran kulmakerroin onkAB2 2 2 2−6−2= − 3 − 1−8= − 4= 2( x1, y1) = ( 1,2)( , ) ( 3, 6)y2 − y1=x − x x y = − −Janan AB normaalin kulmakerroin k n saadaankn⋅ k =−1ABkn1=− kAB= 2k=−12Keskipiste P onABKeskinormaalin yhtälö on1y− yk = kn( x− xk) ( xk, yk) = ( −1, − 2 ),kn=−2( )1y− − 2 =− ( x−( −1))21y+ 2=− ( x+ 1)⋅222y+ 4=−x−1x+ 2y+ 5=0Vastaus x + 2y+ 5 = 0⎛ 1 5⎞⎜y=− x−⎟⎝ 2 2⎠c) Merkitäänxykkx ( )1+ x21+ −3 −2= = = =−12 2 2y ( )1+ y22+ −6 −4= = = =−22 2 2( 3, 1)A = −B=( 0, a)eli P = ( −1, − 2)

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 455 • Päivitetty 30.5.2007Pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran kulmakerroin k AB onkABa −( −1)=0−3a + 1=− 3a + 1=−3Suuntakulma α on2 2 2 2( x , y ) = ( 3, −1)y2 − y11 1=x − x x y = a( , ) ( 0, ) a + 1tanα= kABα =− 60 , kAB=−3() a + 1()3a + 1− 3 =− ⋅( − 3)3( ) 2tan − 60 =− tan − 60 =− tan 60 =− 3− 3 = a + 13= a + 1a = 2d) Merkitäänsuora l1: bx− y+ 1=0y= bx+1kulmakerroinsuora l2: 2x− 3y+ 5 = 03y= 2x+5 :3kulmakerroink1= b2 5y= x+3 32k2=3Suorien välinen kulma α saadaan yhtälöstäk − k2= = = =1 31 2tanαα 45 , k1 b,k2+ kk 1 23) 2b − 3 3tan 45 = tan 45 = 1, b ≠−3) 21+ b ⋅23Vastaus a = 2

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 456 • Päivitetty 30.5.20071)2)3b− 21=33+2b33b− 21=3+2b3b− 2 =± 13+2b3b− 2 3=− 1 b ≠−3+2b23b− 2=− ( 3+2b)3b−2=−3−2b5b=−11b =−5( kelpaa)3b− 2 3= 1 b ≠−3+2b23b− 2= 3+2b( )b = 5 kelpaa2.a) Alaspäin aukeavan paraabelin yhtälö huippumuodossa ony−( − 1) = a( x−1)y+ 1= a( x−1)2( ) , 0 ( , ) ( 1, 1)y− y = a x− x a< x y = −0 0 0 0Paraabelin pisteen ( 0, 3)22− koordinaatit toteuttavat paraabelinyhtälön. Saadaan yhtälö− 3+ 1=a( 0−1) 2− 2=a ⋅1a=− 2 a

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 458 • Päivitetty 30.5.2007b) Koveran kulman puolittajan mielivaltainen piste ( , )yhtä etäällä kulman kyljistä. Saadaan yhtälö3x0 + 4y0 −1 4x0 − 3y0+ 5=2 2 2 23 + 4 4 + ( −3)x y on0 03x0 + 4y0 −1 4x0 − 3y0+ 5= ⋅55 5a = b ⇔3x0 + 4y0 − 1 = 4x0 − 3y0+ 5a= b tai a=−b0 0 0 0( )3x0 + 4y0 − 1= 4x0 − 3y0 + 5 tai 3x0 + 4y0 − 1=− 4x0 − 3y0+ 53x0 + 4y0 − 1= 4x0 − 3y0 + 5 tai 3x0 + 4y0 − 1=− 4x0 + 3y0−5− x0 + 7y0 − 6= 0 tai 7x0 + y0+ 4=0x − 7y + 6= 0 tai 7x + y + 4=0Ratkaisuna ovat täsmälleen ne pisteet ( , )x0 y0, jotka toteuttavatyhtälön x0 − 7y0 + 6 = 0 tai 7x0 + y0+ 4 = 0.Jos ratkaisupistettä merkitään ( x,y ), niin ratkaisuna ovat suoratx − 7y+ 6= 0 ja 7x+ y+ 4= 0.⎛Vastaus a) Piste on 2 ,11 ⎞⎜ ⎟⎝5 5⎠ .b) Kulmien puolittajat ovat x − 7y+ 6 = 0 ja7x+ y + 4 = 0 .4.a)b)c)d)2 2x − 2x+ y = 02 2x − 2x+ 1+ y = 12 2 2( x− 1)+ y = 1 ympyrä2 2 23 x− 4 y+ 5 = 09x− 16y+ 25=0 suora2 23x + 3y + 6y+ 9=0 :32 2x + y + 2y+ 3=0( )2 2x + y + 2y+ 1 =− 3+1x2+ y+ 1 = −2 ( ) ≥ 0 ≥0< 02Koska oikea puoli on − 2 < 0 ja vasen puoli on ≥ 0 , ei yksikäänpiste toteuta yhtälöä.Siis yhtälöllä ei ole kuvaajaa.

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 459 • Päivitetty 30.5.200722 2x − 4xy+ 4y= 9( )x −2⋅x⋅ 2y+ 2y= 9e)( x y)22− 2 = 9x− 2y= 3 tai x− 2y=−3x−2y− 3 = 0 tai x− 2y+ 3 = 0 kaksi suoraa( ) 2( ) 2x −1y − 5+ = 02 2 2 3≥0 ≥0Yhtälö toteutuu vain, kun2( x −1) ( y − 5)= 0 ja = 02 22 32( x ) ( y )− 1 = 0 ja − 5 = 0x− 1= 0 ja y− 5=0x= 1 ja y=5Siis yhtälön kuvaajana on piste ( 1,5 ) .22f)g)26x− 3y=023y=6x22y=2xylöspäin aukeava paraabeliy −3y− x=32x= y −3y−3oikealle aukeava paraabeli

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 460 • Päivitetty 30.5.20075.Tapa 1Valitaan suoralta 3x2y1P= x0,y0.Koska piste P on suoralla, sen koordinaatit toteuttavat suoran3 1⎛yhtälön y= x− , joten piste 3 1 ⎞P= ⎜x0, x0− ⎟2 2⎝ 2 2 ⎠ .− = mielivaltainen piste ( )Pisteen P etäisyys suorasta 5x− y + 3 = 0 ond1⎛3 1⎞1 15x0 −1⋅⎜x0 − ⎟+ 3 3 x0+ 3⎝2 2⎠= =2 22 25 + ( −1)26Pisteen P etäisyys suorasta y= 5x+ 7 eli suorasta 5x− y + 7 = 0on⎛3 1⎞1 15x0 −1⋅⎜x0 − ⎟+ 7 3 x0+ 7⎝2 2⎠d2 22 = =2 25 + ( −1)26Saadaan yhtälöd= d1 21 1 1 13 x0 + 3 3 x0+ 72 2=2 2⋅ 2626 261 1 1 1a = b ⇔3 x0 + 3 = 3 x0+ 72 2 2 2 a= b tai a=−b1 1 1 1 1 1 ⎛ 1 1⎞3 x0 + 3 = 3 x0 + 7 tai 3 x0 + 3 =− ⎜3 x0+ 7 ⎟2 2 2 2 2 2 ⎝ 2 2⎠1 1 1 10= 4 tai 3 x0 + 3 =−3 x0−72 2 2 2aina epätosi 7x=−1111 4ei ratkaisua x0=− =−17 73 1y0 = x0−2 2⎛ 4 6⎞Piste on ⎜−1 , −2⎟⎝ 7 7⎠ .y007)3 ⎛ 11⎞1= ⋅⎜− ⎟−2 ⎝ 7 ⎠ 233 7 40= − − =−14 14 1420 6=− =−27 7

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 461 • Päivitetty 30.5.2007Tapa 2Muunnetaan suoran y= 5x+ 7 yhtälö yleiseen muotoon.y= 5x+75x− y+ 7=0Suorat l 1 : 5x− y+ 3= 0 ja l 2 : 5x− y+ 7= 0 ovatyhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy.Määritetään sellaisen suorien l 1 ja l 2 kanssa yhdensuuntaisensuoran l 3 yhtälö, jonka pisteet ovat yhtä etäällä suorista l 1 ja l 2 .Valitaan suoralta l 3mielivaltainen piste P= ( x0,y0).Saadaan yhtälö5x0 − y0 + 3 5x0 − y0+ 7= ⋅ 262 2 2( )25 + − 1 5 + ( −1)5x − y + 3 = 5x − y + 70 0 0 0a = b ⇔a= b tai a=−b( )5x − y + 3= 5x − y + 7 tai 5x − y + 3=− 5x − y + 70 0 0 0 0 0 0 03= 7 tai 5x − y + 3=− 5x + y −70 0 0 0aina epätosi 10x− 2y+ 10 = 0 : 20 0ei ratkaisua 5x− y + 5 = 00 0Ratkaisuna ovat täsmälleen ne pisteet ( , )yhtälön 5x0 − y0+ 5= 0.x y , jotka toteuttavat0 0Jos ratkaisupistettä merkitään ( x,y ), niin ratkaisuna on suora5x− y + 5= 0.Kysytty piste sijaitsee suoralla l 4 : 3x−2y= 1, joten pisteenkoordinaatit toteuttavat myös suoran l 4 yhtälön.Piste, joka toteuttaa sekä suoran l 3 että suoran l 4 yhtälön, onsuorien leikkauspiste.Leikkauspiste saadaan ratkaisemalla yhtälöpari.⎧5x− y+ 5=0⎨⎩3x− 2y=1⎧ 5x− y+ 5= 0 ⋅3 ⋅2⎨⎩3x−2y− 1= 0 ⋅( −5) ⋅( −1)⎧ 15x− 3y+ 15 = 0 ⎧10x− 2y+ 10 = 0+ ⎨+ ⎨⎩− 15x+ 10y + 5 = 0 ⎩− 3x+ 2y+ 1 = 07y+ 20= 0 7x+ 11=020 11y= − x=−7 76 4y= − 2 x=−17 7

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 462 • Päivitetty 30.5.2007Piste on⎛ 4 6⎞⎜−1 , −2⎟⎝ 7 7⎠ .6.Tarkastellaan tilannetta xy-koordinaatistossa. Akseleidenyksikkönä on metri.Vastaus⎛ 4 6⎞Piste on⎜−1 , −2⎟⎝ 7 7⎠ .HuomautusTavassa 2 suorien l 1 : 5x− y+ 3= 0 ja l 2 : 5x− y+ 7=0kanssa yhdensuuntainen suora olisi saatu myös siten, että ko.suoraa olisi merkitty l 3 :5x− y+ c= 0ja käytetty apuna tietoa,että suora on yhtä kaukana suorista l 1 ja l 2 .Alaspäin aukeavan paraabelin yhtälö nollakohtamuodossa on( )( )y= a x−x x− x , a

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 463 • Päivitetty 30.5.2007Paraabelin piste on ( 4,05 ; 7,5 ) , joten saadaan yhtälö( )7,5= a ⋅4,05⋅ 4,05−8,17,5 =−16,4025a7,5 75 000 1 000a =− =− =− ≈−16,4025 164 025 2 187Paraabelin yhtälö on siis( 0,4572)1000y=− x x− y≈− x x−2187( )( 8,1) 0,4572 ( 8,1)Rekka-auton korkeus h saadaan, kun sijoitetaan paraabelinyhtälöön 6,65 x = .1 000h =− ⋅ 6,65 ⋅ 6,65 − 8,1 = 4,409... ≈ 4,4 m2 187( ) ( )7.Muunnetaan yhtälö keskipistemuotoon.2 2x + y + 4x− 2y=02 2 2 2 2 2x + 2⋅x⋅ 2+ 2 − 2 + y −2⋅y⋅ 1+ 1 − 1 = 02 2 2 2( x ) ( y )+ 2 − 2 + −1 − 1 = 02( x ) ( y )Keskipiste on ( − 2,1)ja säde on 5.+ 2 + − 1 = 5Muodostetaan halkaisijan AB yhtälö. Halkaisija kulkee pisteen1,3− 2,1 kautta. Saadaan kulmakerroinA = ( − ) ja keskipisteen ( )kAB3−1 2y= = = 2 k =−1−( −2)1xja suoran yhtälö2− y−x2 12 1VastausRekka-auton korkeus on korkeintaan 4,4 metriä.y− 3= 2( x+1)y= 2x+ 2+3y= 2x+5( )( ) ( )y− y = k x−x0 0k = 2, x , y = −1,30 0Halkaisijan ja ympyrän leikkauspisteet saadaan yhtälöparista

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 464 • Päivitetty 30.5.2007()2 21 ⎧ ⎪x + y + 4x− 2y=0( 2) ⎨⎪⎩ y = 2x+ 5 Sijoitetaan yhtälöön () 1 .22x + ( 2x+ 5) + 4x− 2( 2x+ 5)= 02 2x + 4x + 20x+ 25+ 4x− 4x22− 10 = 05x+ 20x+ 15=0 :5x+ 4x+ 3=02− 4± 4 −4⋅1⋅3x =21 ⋅− 4±2x =2−6 −2x= =− 3 tai x= =−12 2Siis pisteen B x-koordinaatti on x =− 3. Sijoittamalla sehalkaisija yhtälöön (2) saadaany = 2⋅( − 3)+ 5=−1Siis piste B = ( −3, − 1).( )1y− − 1 =− x−( −3)21 3y+ 1=− x−2 21 3y =− − − 12 21 1y=− x−22 2( )Tangentin yhtälö yleisessä muodossa on1 1y= − x−2 ⋅22 22y=−x−5x+ 2y+ 5=0Vastaus x + 2y+ 5 = 0⎛ 1 1⎞⎜y=− x−2⎟⎝ 2 2⎠Tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettävastaan. Halkaisijan AB ja siis myös säteen kulmakerroin on 2,1joten pisteeseen B asetetun tangentin kulmakerroin on − .2Kysytty tangentti on siis

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 465 • Päivitetty 30.5.20078.Merkitään kolmion kärkiä A ( ab , ), B ( cd , ) ja C ( e,f)Piirretään mallikuva= = = .⎧ a+ c=0⎪b + d = 0⎪⎪ a+ e=−6⎨⎪b+ f = 8⎪ c+ e=4⎪⎩d+ f = 2Saadaan yhtälöryhmä⎧ a+c⎪= 02⎪⎪ b + d= 0⎪ 2⎪a+e=−3⎪ 2⎨⎪ b + f= 4⎪ 2c e⎪ ⎪ + = 2⎪ 2⎪ d + f⎪ = 1⎩ 2() 1 ⎧ a=−cSijoitetaan yhtälöön ( 3 ).( )⎪2 ⎪ b=−dSijoitetaan yhtälöön ( 4 ).( 3)⎪ a+ e=−6( 4)⎨⎪b+ f = 8( 5)⎪ c+ e=4⎪( 6)⎪⎩ d + f = 2( 7)⎧ − c+ e=−6( 8)⎪ − d + f = 8⎨( 5)⎪ c+ e=4( 6)⎪ ⎩ d + f = 2Lasketaan keskenään yhteen yhtälöt (7) ja (5) sekä (8) ja (6).

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 466 • Päivitetty 30.5.2007⎧− c+ e=−6 ⎧− d + f = 8+ ⎨+ ⎨⎩ c+ e= 4 ⎩ d + f = 22e=− 2 2f= 10e=− 1 f = 5Sijoitetaan e =− 1 yhtälöihin (3) ja (5) sekä f = 5yhtälöihin (4) ja (6).9.A = ( 3,2)B = −2,2P=x,y( )( )PA: PB = 3:2a − 1=−6a =−5c − 1=4c = 5b + 5=8b = 3d + 5=2d =−3Kolmion kärkipisteet ovat siis( 5,3 ), ( 5, 3 ) ja ( 1,5 )A= − B= − C = −PA 3=PB 22PA= 3PB22( x− ) + ( y− ) = [ x−( − )] + ( y−)2 22 3 2 3 2 22 2 2 2 Jos a≥0 ja b≥0,2 2niin a= b⇔ a = b .( x− ) + ( y− ) = ( x+ ) + ( y−)2 3 2 3 2 2 ≥0 ≥02 2( 2 ( x− 3) + ( y− 2)) = 3 ( x+ 2) + ( y−2)( ab)( )2 22 22 2⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 2( x− ) + ( y− ) = ( x+ ) + ( y−)4⎣ 3 2 ⎦ 9⎣ 2 2 ⎦2 22 2( x− ) + ( y− ) = ( x+ ) + ( y−)4 3 4 2 9 2 9 2( )a2 2 2= a b2= aVastaus Kolmion kärkipisteet ovat ( −5,3 ), ( 5, −3 ) ja ( − 1,5 ).

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 467 • Päivitetty 30.5.20072 2( x− ) = ( x+ ) + ( y−)(2) (2)2x − x+ = x + x+ + ( y − y+)24 3 9 2 5 24 6 9 9 4 4 5 4 44x− 24x+362= 9x+ 36x+362 25x + 60x+ 5y − 20y+ 20 = 02 2x + 12x+ y − 4y+ 4 = 02 2 2 2 2x + 2⋅x⋅ 6+ 6 − 6 + y −2⋅y⋅ 2+ 2 = 02 2( x ) ( y )( x ) ( y )+ 6 − 6 + − 2 = 02 2 2+ 6 + − 2 = 622+ 5y− 20y+20Piste P piirtää ympyrän, jonka keskipiste on ( − 6,2)ja säde 6.210.Lasketaan suorien leikkauspisteet.⎧y=3x⎨⎩y=− 3x3x=−3x6x= 0x = 0, joteny = 0Saadaan piste O = ( 0,0).⎧y=3x⎨⎩y = x + 2t3x = x+2t2x=2tx=t, joteny=3tSaadaan piste A ( t,3t)= .

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 468 • Päivitetty 30.5.2007⎧y=−3xKolmion OAB kanta on⎨⎩y = x + 2t− 3x = x+2t2 2⎛ t ⎞ ⎛3t⎞− 4x=2tAB = ⎜− − t⎟ + ⎜ − 3t⎟d = x − x + y y⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠tx =− , joten2 22⎛ 3t⎞ ⎛ 3t⎞= ⎜− ⎟ + ⎜−⎟3t⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠y =22 29t9t= +t 3tSaadaan piste B = ⎛ ⎜−,⎞4 4⎟⎝ 2 2 ⎠ . 29t=23 t=2( ) ( )2 22 1 2 1Kolmion korkeus h saadaan laskemalla origon etäisyys suorastay= x+ 2t.y= x+2tx− y+ 2t= 00− 0+2tax0 + by0+ ch= d =2 2 2 21 + ( −1)a + b2t=2

Pyramidi 4 • Analyyttinen geometria • harjoituskokeet • tehtävien ratkaisut • sivu 469 • Päivitetty 30.5.2007Kolmion OAB ala onAB ⋅ h23t2t⋅=2 22=( )26t26t=2 ⋅ 23t=2222 ⋅ 2Pinta-ala on 24, joten saadaan yhtälö23t2= 24 ⋅2 3t2= 16t =± 4Vastaus t =− 4 tai t = 4