Reaaliaikaiset varjoalgoritmit Atso Kauppinen

iii5.4.3. Vääristyksen määrittäminen .......................................................... 505.4.4. Näkökentän jakaminen................................................................... 535.5. Varjokarttojen muunnelmat ...................................................................... 565.5.1. Siluettikartta ..................................................................................... 565.5.2. Hienojakoisten esineiden varjostaminen ..................................... 586. Pehmeät varjot ...................................................................................................... 616.1. Kovien varjojen yhdistäminen .................................................................. 636.2. Puolivarjon laskeminen pistevalosta ........................................................ 686.3. Takaisinprojisointi ...................................................................................... 716.3.1. Puolivarjokiilat ................................................................................ 726.3.2. Bittikarttapeitot ................................................................................ 787. Yhteenveto ............................................................................................................. 85Viiteluettelo ................................................................................................................. 87

11. JohdantoVarjojen merkitys reaaliaikaisessa 3D-grafiikassa on kasvanut vuosi vuodelta,ja ne ovat perinteisten säteenjäljitys ym. tekniikoiden ohella nousseetkinmerkittäväksi tutkimuskohteeksi tietokonegrafiikan saralla. Koskamenetelmien tavoitteena on pystyä päivittämään näkymää hyvin nopeallatahdilla, oikeaoppiset varjoalgoritmit eivät sellaisenaan kelpaa. Niiden rinnalleonkin täytynyt kehittää menetelmiä, jotka yksinkertaistavat varjolaskennanperusajatuksen äärimmilleen, ja kykenevät näin, fysikaalisesti virheellisestikin,tuottamaan vakuuttavan näköisiä lopputuloksia. Keskeinen ongelma ei olekaanmatematiikka sinänsä vaan se, kuinka laskennan määrä pystytään rajoittamaanmahdollisimman vähäiseksi ja keskittymään vain siihen, mikä on kullakinhetkellä näkymän kannalta oleellista.Varjomallinnukseen pätevät samat lainalaisuudet kuin muuhunkin 3Dohjelmointiin.Tärkeää on mm. rajata käsittelyn ulkopuolelle kaikki sellainen,mikä ei vaikuta kulloinkin piirrettävän näkymän sisältöön. Tässä tutkielmassaei puututa 3D-ohjelmoinnin perusasioihin (jotka toki sinänsä kuuluvatkiinteästi myös moniin myöhemmin esiteltävistä menetelmistä), vaikka aluksitehdäänkin pikainen yhteenveto yleisimpien rajapintojen tarjoamistapalveluista sekä varjojen perusfysiikasta.Woo et al. [1990] käyvät kattavasti läpi varjoalgoritmien laajaa kirjoa, eikäkaikkiin heidän esittelemiinsä menetelmiin tässä tutkielmassa kajota. Kaikkienmahdollisten ideoiden pohjalta on tavallaan ihmeellistä, että yleisesti käytössäolevat reaaliaikaiset varjoalgoritmit voidaan huoletta jakaa vain kolmeenhaaraan, joista niistäkin vain kaksi täyttää todelliset yleiskäytettävyydenvaatimukset. Tämän tutkimuksen puitteissa pyritään antamaanmahdollisimman kattava kuva näiden kaikkien menetelmien sisällöstä, jatutkimaan niiden kehittymistä 3D-grafiikan historian alkuhämäristä aivanviime vuosiin saakka. Lisäksi lopussa käydään läpi reaaliaikaistenvarjoalgoritmien seuraava, pehmeiden varjojen sukupolvi, joka kykeneeluomaan huomattavasti entistä realistisempia ja vaikuttavampia graafisiaesityksiä, käyttäen hyväksi uusimpien näytönohjainten ominaisuuksia.2. Yleistä varjolaskennastaVarjot näyttelevät keskeistä roolia, kun pyritään luomaan todellisen kaltaisiakuvaesityksiä. Ne luovat kuvaan realismia, ja auttavat katsojaa myöshahmottamaan kuvassa olevien esineiden asentoa, muotoa sekä ja sijaintia ollennäin kuvan sisällön ymmärtämisen kannalta tärkeässä osassa [Mamassian et al.,1998]. Varjot auttavat myös määrittämään toisistaan irti olevien esineiden

6joiden resoluutio ja elinaika ovat ohjelmoijan päätettävissä. Näitä kutsutaantekstikartoiksi (texture map). Tekstikarttoja voi olla periaatteessa kuinka paljontahansa, ja ne voivat sisältää mitä tahansa tietoa. Useimmiten niiden pikselit(tekselit) sisältävät väriarvoja, mutta myöhemmin tullaan huomaamaan, ettätekstikarttoja voi käyttää myös esimerkiksi syvyyspuskureina. Mikä tahansapuskuri voidaan periaatteessa kopioida toiseen, eivätkä tekstuurit tee tässäpoikkeusta. Käytännössä kaikki nykyiset näytönohjaimet tarjoavat myösmahdollisuuden piirtää väripuskurin sijasta suoraan tekstikarttaan. Näin nepoistavat tarpeen hitaahkolle kopiointioperaatiolle.Paremman kuvanlaadun saavuttamiseksi kuvatekstuureista on tapanaluoda hierarkkinen pyramidimalli, nk. mipmap [Williams, 1983]. Se tehdäänluomalla kuvasta uusia, puolitettuja tekstikarttoja, jotka muodostavathierarkian: ylemmän, epätarkemman kartan yksi pikseli on suodatettualemman kartan neljästä pikselistä jne. Koska tämä on nykyisten 3Drajapintojenvakiotoiminto, voidaan tekniikkaa soveltaa tehokkaasti monin eritavoin.2.2.3. VarjostimetNykyiset näytönohjaimet mahdollistavat pienimuotoisten ohjelmien, elivarjostimien (shader) suorittamisen niiden omilla prosessoreilla. Varjostimienavulla on mahdollista suorittaa hyvin tehokkaita kärkipiste- ja pikselikohtaisiaoperaatioita samaan aikaan kun tietokoneen keskusprosessori tekee jotainmuuta. Tehokkuuden lisäksi varjostimet tuovat mukanaan myös rutkastiilmaisuvoimaa. Varjostimet jaetaan kahteen eri luokkaan: verteksi- japikselivarjostimiin (vertex shader ja pixel tai fragment shader). Ne ajetaan erikohdassa muunnosketjua, mutta ne pystyvät kuitenkin myös jakamaan tietoakeskenään.Verteksivarjostimet voivat korvata muunnoskanavan.Yksinkertaisimmillaan ne saavat parametrina kärkipisteen, ja palauttavat senhalutulla tavalla muunneltuna takaisin näytönohjaimelle. Verteksivarjostimelleon mahdollista antaa parametreja, joita voidaan käyttää pisteen koordinaatin,väriarvojen ym. muuntamiseen. Varjostin voi saada syötteenään vain yhdenpisteen kerrallaan, eikä se myöskään voi luoda uusia kärkipisteitä. Tämärajoitus mahdollistaa useiden pisteiden käsittelyn prosessorilla samaan aikaan.Pikselivarjostimet puolestaan korvaavat pikselien piirto-operaation. Nemäärittävät sen, millä värillä mikäkin pikseli piirretään, vai piirretäänkö sitäollenkaan. Operaatiossa käytetään hyväksi aiemmin esiteltyjä puskureita sekäpikselivarjostimelle mahdollisesti välitettyjä ylimääräisiä parametreja.Myöskään pikselivarjostin ei pääse käsiksi mihinkään muuhun väripuskurin

7pikseliin kuin siihen, jota se on kulloinkin käsittelemässä. Niillä on kuitenkinlukuoikeus tekstikarttojen pikselitietoon.Edellisten lisäksi uusimmat näytönohjaimet ovat alkaneet tukea myös nk.geometriavarjostimia (geometry shader), joiden avulla on mahdollista luodauusia kärkipisteitä sekä monikulmioita sen jälkeen kun pisteet ovat jokulkeneet verteksivarjostimen läpi. Tämä ominaisuus on tullut mukaan 3Drajapintoihin vasta aivan hiljattain (Direct3D 10 tukee sitä, mutta OpenGL:nperusvarjostimissa se ei tätä kirjoitettaessa ole vielä mukana), ja on siksi vielävähäisessä käytössä. Uuden geometrian generointi varjostimissa on kuitenkinhyödyllinen ja paljon toivottu ominaisuus esimerkiksi varjotilavuuksialuotaessa.2.3. Reaaliaikaisuuden rajoituksiaKuten aiemmin jo todettiin, varjojen reaaliaikainen laskenta aiheuttaa suuriarajoituksia algoritmien monimutkaisuudelle. Niinpä kaikkein kehittyneimmätsäteenjäljitystekniikat eivät sovellu käytettäväksi tosiaikaisuuden yhteydessä.Vaikuttavimman lopputuloksen aikaansaamiseksi käytetään kuitenkin monestitapaa, jossa staattiset varjot lasketaan etukäteen, ja piirretään sitten oikeisiinpaikkoihin ilman ajonaikaista laskentaa. Tämän tutkimuksen painopiste onkuitenkin nimenomaan dynaamisesti laskettavissa varjoissa.Pintaheijastusten puuttuminen reaaliaikaisesti lasketusta ympäristöstä onongelma, mikä korjaamattomana johtaa siihen, että kaikki pisteet mihin valo eisuoraan paista, ovat täysin pimeitä. Todellisessa elämässä valo heijastuu läheskaikista pinnoista ja valaisee myös näitä paikkoja. Pintaheijastusten kaltaisenvaikutelman aikaansaamiseksi käytetään tavallisesti taustavaloa, joka ontasaisesti läsnä kaikkialla. Tämä ei tietenkään millään tavalla vastaa oikeitaheijastuksia, mutta tarjoaa niistä parhaimmillaan onnistuneen illuusion.Sen lisäksi että tosiaikaisuuden saavuttamiseksi on luovuttava valojenpintaheijastuksista, ongelmaksi muodostuu myös äärellisen kokoisenvalonlähteen mallintaminen. Tämän vuoksi perinteiset varjoalgoritmitolettavatkin valonlähteen olevan äärettömän pieni piste. Tällaista tilannetta eikuitenkaan esiinny todellisuudessa, eli lopputuloksena syntyy luonnottomanteräviä ja tarkkoja varjoja. Tämän ongelman korjaaminen on viime vuosinaollut aktiivisen pohdinnan kohteena, ja sille omistetaan tässäkin tutkielmassayksi luku.2.4. Usean valonlähteen piirtäminenMonta valoa sisältävä maailma voidaan varjostaa kahdella tavalla.Ensimmäisessä vaihtoehdossa näkymä piirretään pitämällä kaikki valot päällä,ja jälkikäteen himmentämällä varjoon jääviä kohtia halutun verran. Toinen

8vaihtoehto on aloittaa mustasta ruudusta, ja piirtää näkymä monta kertaa siten,että vain kukin yksittäinen valo on kerrallaan aktiivisena. Ensimmäinen keinoon nopeampi, koska näkymä tarvitsee piirtää vain kerran, mutta tällöinesimerkiksi kohdevalojen synnyttämät kirkkaasti valaistut kohdat näkyvätvarjostavien esineiden läpi, mikä ei tietenkään ole oikein.Oikeaoppisempaa onkin tehdä valaistus jälkimmäisellä tavalla. Ensinpiirretään koko näkymä pitämällä ainoastaan taustavalaistus päällä. Tämänjälkeen piirretään näkymä kullekin valolle erikseen siten, että varjostetutkohdat jäävät mustiksi. Piirretty kohta sulautetaan sitten keräyspuskurissaedelliseen kuvaan ja kun kaikki valot on saatu käsiteltyä, lopputuloskopioidaan ruudulle. Tämä takaa fyysisesti oikeaoppisen lopputuloksen ollenkuitenkin ensimmäistä menetelmää raskaampi, koska näkymä on piirrettävämonta kertaa. Kerroksittaisen piirtämisen tehostamiseen onkin laitevalmistajienkohdalta panostettu paljon [Morein, 2000]. Kannattaa myös huomata erovalaistus- ja varjostusarvojen välillä. Pikseli, jonka valaistusarvo on 1, piirretääntäydellä valaistuksella, kun taas valaistusarvo 0 tarkoittaa pisteen olevankokonaan varjossa. Varjostusarvojen kohdalla arvot ovat toisinpäin.3. Varjojen tasoprojisointiVarjojen tasoprojisointi on yleisesti käytetyistä varjoalgoritmeista selkeästiyksinkertaisin. Periaate on, että kutakin 3D-mallin pistettä työnnetään valon(äärettömän pienestä) pisteestä poispäin, kunnes se saavuttaa varjostettavantason (kuva 3). Tasoprojisointi vaatiikin, että varjostettavan esineen on oltavatasainen pinta. Tästä ja myöhemmin käsiteltävistä muista puutteista johtuen,menetelmää voidaan käyttää vain tietyissä erikoistapauksissa, eikä se pääsemissään suhteessa samalle yleiskäytettävyyden tasolle kuin kehittyneemmätalgoritmit. Sen periaate on kuitenkin hyvä tuntea, koska monet sen kohdallaesitetyt perusajatukset ja ongelmat toistuvat myöhemmin myös muidenmenetelmien yhteydessä.

9Kuva 3. Tasoprojisoinnin perusidea. Piste p projisoidaan tasolle valonlähteensuhteen [Ambrož, 2006].3.1. TasoprojisointimatriisiJames Blinn [1988] kehitti matriisin (kuva 4), jonka avulla mikä tahansakolmiulotteinen piste voidaan projisoida vapaavalintaista tasoa vasten. Kaavanesittäminen matriisina on tärkeää, sillä sen avulla operaatio voidaan helpostiyhdistää muunnoskanavaan, ja näin hyödyntää näytönohjaintenlaskuominaisuuksia varjon muodostamisessa.Blinnin matriisi tekee pisteelle projektion, eli muuntaa sen kolmiulotteisestaavaruudesta kaksiulotteiseen. Tämä aiheuttaa sen, että ilman erikoiskäsittelyämyös varjostettavasta tasosta katsottuna valonlähteen takana olevat esineetprojisoituvat tasolle. Sama virhe syntyy myös silloin, kun varjostava esine onvalosta katsottuna varjostettavan takana. Virheelliset projisoinnit voidaan estääkäsittelemällä ne koodissa erikoistapauksina, tai käyttämällä ylimääräisiäleikkaustasoja. Heckbert ja Herf [1997] tarjoavat elegantin ratkaisun: pisteetvoidaan muuntaa valon sijainnin ja varjostettavan nelikulmion (joka sijaitseekohdetasolla) rajoittamaan näkökenttään ja siitä edelleen leikkausavaruuteen,jolloin kaikki tämän alueen ulkopuolelle jäävät pisteet on helppo rajata pois.Tähän aiheeseen palataan luvussa 6.1.Kuva 4. Matriisi, joka projisoi pisteen P tasolle T (T.w on etäisyys origosta). Lon valonlähteen sijainti. Mikäli sen w-komponentti on 0, kyseessä on suunnattuvalo.3.2. Tasoprojisoinnin käyttöMenetelmän käyttö on periaatteessa hyvin yksinkertaista. Aluksi piirretäänvarjostettava esine, tämän jälkeen projisoidut varjot, ja lopuksi muut esineet.Varjostettavia malleja piirrettäessä pidetään valonlähteet päällä. Sen jälkeen nevoidaan ottaa hetkeksi pois. Varjot piirretään yleensä himmentämällä, elivähentämällä niiden täyttämien pikselien valoisuusarvoa. Näin saadaan aikaantummat, mutta ei täysin mustat varjot. Kun varjot on piirretty, palautetaanvalot taas käyttöön, ja piirretään loput esineet. Varjoja piirrettäessä onhuomioitava, että varjostava malli on ensin muunnettava omasta paikallisesta

12näkyy kaikissa malleissa, jotka sisältävät koveria osia (muun kaltaiset esineetovat todellisessa maailmassa harvinaisia), ja johtaa siihen, että realistisenlopputuloksen aikaansaamiseksi tarvitaan kehittyneempiä jayleiskäyttöisempiä algoritmeja.4. VarjotilavuudetVarjotilavuusmenetelmä tarjoaa ratkaisun tasoprojisoitujen varjojen ongelmiin.Siinä missä edellinen menetelmä vaati jokaisen vastaanottajan olevan erikseenmääritelty ja muodoltaan tasainen, ei varjotilavuuksiin perustuva varjolaskentavaadi kumpaakaan. Tämän lisäksi varjotilavuudet eivät myöskään tee eroavarjostavan ja varjostettavan esineen välillä, vaan koveratkin mallit varjostuvatoikeaoppisesti. Tämän vuoksi sitä kutsutaan itsevarjostavaksi menetelmäksi.Varjotilavuudet eroavat niin tasoprojisoiduista varjoista kuin varjokartoistakinsiinä, että niitä ei muodosteta mitään pintaa tai tasoa vasten. Tämän vuoksi neeivät myöskään aiheuta ongelmia syvyyspuskurin epätarkkuuden kanssa.Kun tasoprojisoinnin periaate oli työntää mallin pisteet varjon tasolleerityistä muunnosmatriisia käyttämällä, varjotilavuuksien kohdalla huomiokiinnittyy pisteitä yhdistäviin reunoihin. Yksinkertaisimmillaanvarjotilavuuksien laskenta tapahtuu siten, että mallin kaikkien monikulmioidenreunoja venytetään valopisteestä poispäin, jolloin jokaista reunaa kohtimuodostuu nelikulmio. Varjonelikulmion yksi reuna on sama kuin sevarjostavan monikulmion reuna, mistä venytys aloitettiin. Toinen puolestaanrajoittuu yleensä näkökentän laitoihin. Kun varjomonikulmiot on laskettu,niistä saadaan rakennettua uusia esineitä, joita kutsutaan varjomalleiksi tai -tilavuuksiksi (kuva 6). Mallin jokaisen monikulmion venyttäminen yksitellenjohtaa hyvin suureen määrään varjomalleja (yksi kutakin mallin monikulmiotakohti), joten käytännössä pyritään aina etsimään mallin siluettireunat valostakatsottuna, ja venyttämään ainoastaan niitä. Tästä kerrotaan enemmän luvussa4.2.1.

13Kuva 6. Rautalankamalli avoimesta ja äärellisestä varjotilavuudesta. Kukinreunanelikulmio on koostettu kahdesta kolmiosta [Guinot, 2005].Koska varjotilavuus voi olla hyvinkin monimutkainen, sen kapseloimantilan laskeminen kolmiulotteisessa avaruudessa olisi erittäin raskas toimenpide.Tämän lisäksi varjoon vain osittain jäävien esineiden leikkeleminen varjonreunoja vasten mutkistaisi menetelmää entisestään. Franklin Crow [1977]kehitti kuitenkin menetelmän, jonka ansiosta varjon sisään jäävät alueetpystytään määrittelemään yksinkertaisesti kaksiulotteisessa avaruudessa.Nykyisien näytönohjaimien ominaisuuksia hyödyntämällä varjotilavuuksistaonkin tullut erittäin monipuolinen ja tehokas varjoalgoritmi.Varjotilavuuksien käyttö jakautuu kahteen erilliseen osaan: varjotilavuudenluomiseen ja sen piirtämiseen. Mallin luominen tapahtuu luonnollisesti ensin,mutta ennen siihen perehtymistä on syytä käydä läpi piirtämiseen liittyvätasiat, sillä mallin koostamisen kannalta on tärkeää ymmärtää, miten menetelmätoimii.4.1. Varjotilavuuksien toimintaKun Crown menetelmän avulla halutaan selvittää onko piste P varjossa, onensin määritettävä kameran sijaintipisteestä P:hen kulkeva säde. Algoritmipohjautuu sille yksinkertaiselle havainnolle, että aina kun säde lävistäävarjotilavuuden reunan, mennään joko sisälle varjoon, tai tullaan sieltä ulos.Sisäänmeno esineen langettamaan varjoon tapahtuu, kun säde läpäisee senkameraan päin osoittavan varjopinnan. Kun säde menee kamerasta poispäinosoittavan varjopinnan läpi, tullaan vastaavasti varjosta ulos. Vastakkaisiinsuuntiin osoittavat varjopinnat siis ikään kuin kumoavat toisensa.Crown algoritmi perustuu laskuriin, jonka avulla voidaan näköpisteestälähetetyn säteen avulla tutkia minkä tahansa pisteen varjostusta. Aluksi

14asetetaan laskuri nollaan, ja aletaan seurata sädettä kamerasta poispäin. Kunsäde läpäisee varjomallin etureunan, laskuria lisätään yhdellä. Kun se taaskulkee takareunan läpi, sitä vähennetään yhdellä. Kun piste P on saavutettu,tarkastetaan laskurin arvo. Jos se on nolla, on menty yhtä monen etu- jatakapinnan läpi. Täten varjot ovat kumonneet toisensa ja piste P on valossa. Josarvo taas on jotain muuta, piste on vähintään yhden varjotilavuuden sisällä, elivarjossa (kuva 7).Kuva 7. Crown menetelmän toiminta yksinkertaisimmillaan. Huomaa, kuinkaalemman, varjon sisältä lähtevän säteen laskuri saa vääriä arvoja.Crown algoritmi on laskurinsa vuoksi luonteeltaan kumulatiivinen ja näinollen altis virhetilanteille, mikäli laskenta menee yhdessäkään kohtaa pieleen.Menetelmä mm. vaatii, että jokaisella varjomallilla on sekä etu- että takareuna.Monimutkaisempien 3D-näkymien kohdalla tämä tarkoittaa, että jokainenvarjomalli on oltava suljettu. Suljetulla esineellä tarkoitetaan mallia, jonkapinnat eivät sisällä aukkoja eivätkä risteäviä reunoja (reunaan kiinnittyyuseampi kuin kaksi monikulmiota). Toisin sanoen, jokaisen reunan on liityttävätasan kahteen monikulmioon. Mikäli varjomalli ei ole suljettu, aiheuttaaavoimesta päästä kulkeva säde sen, ettei mallin pintaa läpäistä ollenkaan, jalaskuri saa virheellisiä arvoja. Toinen ongelma liittyy kameran sijaintiin. Josnäköpiste on itse varjossa, laskurin alkutila (nolla) on jo lähtökohtaisesti väärin.Sen varjotilavuuden reunoista jossa kamera on, tulee läpäistyksi ainoastaantoinen, eikä laskuri toimi oikein.Varjomallin sulkeminen onnistuu periaatteessa helposti. Sen loppupää (elivalosta kauempana oleva reuna) voidaan hoitaa siten, että venytetään malliavalosta poispäin kunnes se leikkautuu näkökentän reunoja vasten. Nyt mikään

15säde kamerasta näkökentän pisteeseen P ei voi kulkea avoimen reunan läpi.Käytännössä varjomallien takareunat työnnetäänkin aina äärettömyyteen.Varjomallin valoa lähellä oleva pää ei ole käytännössä ongelma, koskasyvyyspuskuri pitää huolen siitä, ettei kamerapisteestä lähtenyt säde pystyläpäisemään varjostavaa esinettä. Näin varjostava esine itsessään tukkiivarjotilavuuden alkupään.Varjossa olevan kameran ongelma voidaan yrittää estää alustamalla laskurijohonkin muuhun arvoon kuin nollaan. Jokaisen varjon, jonka sisällä kameraon, pitäisi lisätä alkuarvoa yhdellä. Tällaisten varjojen määrän laskeminen on,kuten aiemmin todettiin, pahimmillaan erittäin raskasta. Lisäksi se ei korjaatilannetta, jossa varjomalli leikkaa näkökentän etutason vain osittain. Tällainentapaus aiheuttaa sen, että osa ruudusta varjostuu oikein mutta osa ei. Tällöinainoa vaihtoehto on leikata ja sulkea varjomalli näkökenttää vasten, mikä onosoittautunut äärimmäisen hankalaksi toimenpiteeksi. Crown menetelmääonkin kehitetty eteenpäin juuri tämän ongelman takia. Kannattaa vielähuomata, että takatason kanssa ongelmaa ei pääse syntymään, koska väärävarjo ilmestyisi ainoastaan takareunan taakse, eikä siellä sijaitsevia pisteitätietenkään edes piirretä.Koska jokainen silmästä näkökentän pisteeseen kulkeva säde jossainvaiheessa läpäisee näkökentän etureunan, voidaan varjotarkastelu tehdäpikselikohtaisesti samalla kun kuvaa piirretään. Tästä johtuen menetelmäsaadaan hyvin luontevasti yksinkertaistettua kaksiulotteiseksi ongelmaksi.Pikselitason operaatioissa suureen osaan nousevat jo aikaisemmin esitellytsyvyys- ja sapluunapuskurit, joiden avulla piirrettävät pisteet ja niidenvarjostus on luontevaa määritellä.4.1.1. Zpass-menetelmäCrown säteenseurantamenetelmä sellaisenaan olisi hidas toteutettava, muttaTim Heidmann [1991] ymmärsi hyödyntää menetelmän kaksiulotteistaluonnetta, ja käyttää aiemmin ideoituja näyttöpuskureita [Fournier and Fussell,1988] varjolaskennan apuna. Lopputuloksena koko varjomallien piirtäminenpystytään suorittamaan pikselikohtaisesti syvyys- ja sapluunapuskurien avulla.On syytä huomauttaa, että vaikka varjotilavuuksia monesti kutsutaansapluunavarjoiksi (stencil shadow), niiden piirtäminen on mahdollista toteuttaailman sapluunapuskuriakin, esimerkiksi alfakanavan avulla [Roettger et al.,2002]. Toistaiseksi keskitytään kuitenkin sapluunan käyttöön, koska nykyisinon käytännössä mahdotonta hankkia tietokonetta, jonka näytönohjaimessa se eiolisi vakiotoiminto.Heidmann aloittaa projisoimalla pisteen P ruudulle. Kameran ja P:n välissäolevat varjopinnat ovat ne, joiden syvyystarkastelu pisteen P kohdalla menee

16läpi. Laskemalla tällaisten pintojen määrä tiedetään, kuinka monen varjopinnanläpi säde kamerasta P:hen kulkee. Kamerasta poispäin osoittavien pintojenmäärä vähennetään kameraan päin osoittavien määrästä, aivan kuten Crownmenetelmässä.P:t saadaan selville piirtämällä koko näkymä ensin syvyyspuskuriin ilmanvarjomalleja. Kuten aiemmin todettiin, sapluunapuskurilla voidaan suorittaasyvyystarkastelun tuloksesta riippuen erilaisia toimintoja, joten laskuri onluontevaa toteuttaa sen avulla. Aluksi kunkin sapluunapisteen alkuarvoksiasetetaan nolla, minkä jälkeen piirretään kameraan päin osoittavat varjomallinmonikulmiot. Jos syvyystarkastelu P:n kohdalla menee läpi, eli monikulmionpiste on P:n ja kameran välissä, sapluuna-arvoa lisätään yhdellä. Tämän jälkeenasetetaan sapluunaan toiminto, joka vähentää arvoa aina kun syvyystarkastelumenee läpi, ja piirretään kamerasta poispäin osoittavat monikulmiot.Lopputuloksena kullekin P:lle on sapluunassa tieto siitä, kuinka monen varjonsisällä se sijaitsee. Lopullinen näkymä voidaan piirtää asettamallaväripuskuriin kirjoitus päälle ja sapluunalle toiminto, joka piirtää pikselinnäytölle vain, mikäli pistettä vastaava sapluuna-arvo on nolla (eli piste ei olevarjossa). Lopputuloksena on näkymä, jonka varjostetut kohdat ovat mustia.Käytännössä ruutu on ennen piirtoa jo alustettu taustavalolla, ja usean valontapauksessa (luku 2.4) mahdollisesti aiemmin käsiteltyjen valojen valaisemillanäkymillä.Se, osoittavatko varjon monikulmiot kameraa kohti, saadaan selvilleesimerkiksi niiden normaalivektorien ja kameran suuntavektorin pistetulolla.Tehokkaampaa ja käytännöllisempää on kuitenkin käyttää 3D-rajapintojentarjoamaa kaksiulotteista piilopintojen poistoa (OpenGL:ssä toimintoakäytetään glCullFace- ja glFrontFace-funktioiden avulla). Toiminto vaatii, ettäkaikkien varjomonikulmioiden kärkipisteet kiertävät kaksiulotteisessatarkastelussa ruudulla samaan suuntaan (yleensä vastapäivään). Tämä ei olesuuri ongelma, mutta vaatii huolellisuutta kun varjomalleja kootaan.On syytä pitää mielessä, että sapluunapuskuri ei osaa käsitellä negatiivisiakokonaislukuja. Jos sapluuna-arvoon nolla sovelletaan vähennystoimintoa,arvo jää ennalleen. Tämän vuoksi zpass-menetelmä tekee ensin kaikkilisäysoperaatiot, ja vähentää poispäin osoittavien monikulmioiden määränvasta sitten. Crown algoritmilla on ominaisuus, että mikäli kamera ei olevarjossa ja kaikki varjomallit ovat suljettuja, sen lopputulos ei voi koskaanjäädä negatiiviseksi. On siis mahdollista poistua vain niin monesta varjostakuin mihin on menty. Rajaaminen tapahtuu myös sapluunapuskurinyläarvoille, eli esimerkiksi lisäysoperaatio kahdeksanbittisen sapluunanpisteeseen joka sisältää arvon 255, aiheuttaa arvon pysymisen samana. Yläraja

17on kuitenkin vaikeampi saavuttaa, ja se aiheuttaa harvoin ongelmia. Nykyisinnäytönohjaimet tukevat nk. kiertävää sapluunaa (luku 4.3.2), mikä käytännössäpoistaa edellä mainitut virhetilanteet.Koska Heidmannin menetelmä perustuu Crown algoritmiin, se sisältäämyös samat perusongelmat. Varjossa oleva kamera oireilee joko varjojenkatoamisina tai niiden muuttumisena käänteisiksi. Samankaltainen ongelmasyntyy, jos takaapäin lankeava varjo leikkaa näkökentän etureunan. Ainoakeino selvitä ongelmasta on etsiä leikkauskohta varjomallin ja näkökentänetureunan välillä, ja täyttää avoimeksi jäävä alue keinotekoisesti. Tehtävä onmonimutkainen, koska varjoja voi olla paljon ja ne voivat osua näkökenttäänmonista eri paikoista aiheuttaen runsaasti erikoistapauksia. Everitt ja Kilgard[2002] listaavat ratkaisuyrityksiä sekä ongelmia, joihin ne ovat kaatuneet.Esimerkiksi Diefenbachin [1996] menetelmä ei ole yleispätevä, ja useat muutkärsivät numeerisista epätarkkuuksista [Batagelo et al., 1999].Pyöristysepätarkkuudet ovatkin suurin este matemaattisesti toimivienratkaisujen käyttöön. Ne esimerkiksi estävät varjomallin suoran projisoinninnäkökentän etureunaan. Ongelmat ilmenevät mm. varjossa näkyvinä aukkoinaja päällekkäisyyksinä. Hankaluutena kaikissa menetelmissä on myös se, että neon tehtävä pääasiassa keskusprosessorilla. Tämä sekä siirtää piirtovastuuta poisnäytönohjaimelta että edelleen lisää epätarkkuutta (sama laskutoimitus eivälttämättä tuota samaa likiarvoa keskusprosessorilla ja näytönohjaimella).Tämän vuoksi ongelma on käytännössä ratkaistava kaksiulotteisesti.4.1.2. ZP+-menetelmäKaikista etutason leikkausongelmiin kehitetyistä menetelmistä, ZP+-algoritmi[Hornus et al., 2005] lienee pätevin. Se pyrkii korjaamaan virheet luomallavirtuaalisen kameran valon sijaintipisteeseen ja suuntaamalla sen siten, ettävalon ja kameranäkymän pisteet vastaavat tarkalleen toisiaan. Tämämahdollistaa näkökentän etutasolle lankeavien varjojen paikantamisenpikselitasolla, ja vähentää merkittävästi numeerisista epätarkkuuksista johtuviavirheitä. Tätä ylimääräistä piirtokertaa, sekä muutamaa muuta myöhemminesiteltävää vaihetta lukuun ottamatta, ZP+-menetelmä toimii täsmälleen kutenzpass-algoritmikin, eikä vaadi myöhemmin esiteltävien, vieläyleiskäyttöisempien menetelmien tapaan suljettuja varjomalleja.Ihannetilanteessa ZP+-menetelmä ei tuota uusia monikulmioita näkökentänetutasoa peittämään. Sen sijaan se luo projektion alueesta, joka ulottuu valostakameran etutasolle. Tällä alueella sijaitsevat monikulmiot ovat ne, jotkaaiheuttavat zpass-menetelmän ongelmat. Projektio tehdään luomalla vinonäkökenttä, jonka kärki on valon sijaintipisteessä, ja takareuna onkohdistettuna tarkasti kameran näkökentän etureunaan (kuva 8a). Jos valo ja

18kamera sijaitsevat kameran näkökentän samalla puolella, molempienkatsesuunta on sama. Muussa tapauksessa ne ovat päinvastaiset. Valonnäkökentän etureuna asetetaan siten, että se on varjostavan esineen takanamutta kuitenkin sen verran kaukana valosta, ettei pikselikohtainen tarkkuuskärsi. Hornus et al. [2005] antavat sen määrittämiseen kaavan: ln = lfd/dmax,missä lf on valon takareunan etäisyys, d on etäisyys valosta varjostavaanesineeseen, ja dmax on etäisyys valosta kaukaisimpaan kameran etureunanpisteeseen. Kun näkökenttä on luotu, sille voidaan määritellä projektiomatriisi,jonka avulla valonäkymä on helposti piirrettävissä normaaliin tapaan (kuva8b).Kuva 8. ZP+-menetelmän näkökenttä (a) ja sen projektiomatriisi (b) [Hornus etal., 2005]. l on valo ja c kamera. Matriisissa on l – c, ja on 1, jos kamera javalo ovat kameran etutason samalla puolella. Muussa tapauksessa se on -1.Koska pikselit valon ja kameran piirtotasolla vastaavat toisiaan, etureunaanlankeavat varjot piirtyvät suoraan sapluunapuskuriin. Korjaustoimenpidetehdään piirtämällä kaikki varjostavan mallin valoon päin osoittavatmonikulmiot, ja lisäämällä sapluunan arvoa jokaisessa piirretyssä pisteessä.Kun tämä on tehty, kaikki sapluunapuskurin pikselit sisältävät oikeatalkuarvot, ja näkymä voidaan nyt varjostaa normaalisti kamerasta katsottuna.ZP+-algoritmin epätarkkuudet eivät ole samaa luokkaa kuinkolmiulotteisissa korjausmenetelmissä, mutta niitä ilmenee jonkin verrankameran etutason ja varjomonikulmioiden leikkauspisteissä. Vaikka virheeteivät yleensä olekaan kovin näkyviä [Hornus et al., 2005], on yleispätevyydentakia keksittävä keino, jolla ne saadaan korjattua. Tämä vaatii ensin vääriäpikseleitä tuottavan monikulmion ja kameran etutason leikkauspisteidenlaskemista. Tämän jälkeen täytyy vielä piirtää monikulmiot korjaamaanvirheelliset alueet. Korjausmenetelmä sisältää useita erikoistapauksia, jasuurimpana ongelmana ovat tilanteet, joissa varjomallin reunat kulkevatnäkökentän molemmin puolin, sitä kuitenkaan leikkaamatta. Näitä tilanteita ei

Actualidad, y estuvo dirigido por D. Antonio Fraguas de Pablo, Forges.Seminario Humor Gráfico y Actualidad en TenerifeSeminario enmarcado en el programa de actividades organizadas por la Sociedad deDesarrollo del Ayuntamiento de Santa Cruz de Tenerife, que en esta edición de 2008 recibióel nombre Santa Cruz Diseña.Entre los días 21 al 25 de Julio en el Círculo de Bellas Artes de dicha ciudad se celebraroncon gran éxito de asistencia, diversos talleres y conferencias, de la mano de algunosde los humoristas más prestigiosos de nuestro país e investigadores sobre la materia.Programa Vive y ConviveEl Programa Vive y Convive es gestionado por la Fundación General de la Universidad deAlcalá desde el Departamento de Humor Gráfico a partir del Patrocinio de la FundaciónVive y Convive de Caixa de Catalunya y cuenta con la colaboración del Ayuntamiento deAlcalá. Es un programa intergeneracional, cuyos objetivos son promover y facilitar relacionessolidarias y ayuda mutua entre dos generaciones, proponer medidas para afrontarel problema de la soledad de las personas mayores y facilitar alternativas de alojamientoa los jóvenes estudiantes.Convenio Instituciones PenitenciasExiste un convenio entre la Universidad de Alcalá y la Dirección General de InstitucionesPenitenciarias por el que se vienen realizando actividades de Humor Gráfico de la que sebenefician los reclusos. Se realizaron distintas actividades durante la Muestra de HumorGráfico tanto en Madrid I como en Madrid II.V. EXPOSCIONES EN LA FÁBRICA DEL HUMORDesde 2006 la Fundación General de la Universidad deAlcalá cuenta con una sala de exposiciones dedicada enen exclusiva a exposiciones de Humor Gráfico.Dicha sala recibe el nombre de La Fábrica del Humor, yentre las exposiciones que ha albergado este año destacamoslas siguientes:Humoristas Gráficos en el exilio AmericanoAl igual que en otros ámbitos de la cultura y la sociedadespañola, el Humor Gráfico también sufrió las secuelasdel exilio. Un gran número de autores de la época tuvieronque salir de España al concluir la Guerra Civil. Entresus destinos preferentes estaban los países americanos.Esta exposición es la segunda de cuatro que con el títulogenérico de Humoristas Gráficos Españoles en el Exilio(la primera de ellas se centró exclusivamente en el exilioMexicano) y con ellas pretendemos rescatar del olvi-23

20Kuva 9. Zfail-menetelmä. Nyt alemmankin säteen laskuri toimii oikein (vrt.kuva 7).Ennen kuin zfail-menetelmä on täydellinen, on keksittävä ratkaisutakareunan leikkausongelmalle. Everitt ja Kilgard [2002] kehittivät tällaisen.Pohjana heillä oli Jim Blinnin [1993] kehittämä projektiomatriisi (kuva 10), jokakykenee työntämään perspektiivisen näkökentän takareunan äärettömänkauas. Tämä toimenpide yhdessä varjomallien sulkemisen (joka käsitelläänvähän myöhemmin) kanssa ratkaisee kaikki näkökentän leikkauksiin liittyvätongelmat.Kuva 10. Perspektiivinen projektiomatriisi joka työntää näkökentän takareunanäärettömyyteen. Kirjaimet viittaavat näkökentän reunojen sijaintiin etutasollasamaan tapaan kuin OpenGL:n funktiossa glFrustum, josta matriisi on johdettu.Näkökentän takareunan siirtäminen äärettömyyteen ei vaikutamerkittävästi syvyyspuskurin tarkkuuteen. Itse asiassa vaikutus onmarginaalinen, suurimmillaankin käytännössä vain prosentin luokkaa [Everittand Kilgard, 2002]. Matriisin puutteena on kuitenkin se, että takareuna voidaanviedä äärettömyyteen ainoastaan perspektiivisillä näkökentillä. Jos halutaan

21käyttää ortografista projisointia, tämä lähestymistapa ei ole mahdollinen.Everittin ja Kilgardin ehdotuksesta nykyiset näytönohjaimet mahdollistavatkuitenkin näkökentän etu- ja takareunalle tehtävien näkymäleikkaustenpoistamisen käytöstä nk. syvyysrajaimen (depth clamp) avulla. Mikäli leikkausestetään, takareunan ongelma poistuu äärellistenkin näkökenttien yhteydessä,jolloin ortografiset projektiot ovat mahdollisia.Merkittävämpi ongelma juontaa juurensa varjomallien sulkemiseen. Zpassmenetelmässävarjostava malli tukki varjomallien etureunat, ja takareunatvoitiin jättää avonaisiksi, kunhan varjomalleja vain venytettiin vähintäännäkökentän reunoihin. Tämä ei valitettavasti riitä zfail-menetelmän yhteydessä.Syy on että säde, joka zpass-menetelmässä lähetettiin P:tä kohti kameransijaintipisteestä, voidaan nyt käsittää äärettömän monena säteenä jotka kaikkilähtevät P:tä kohti näkökentän takareunalta. Jos säde lähtee sellaisesta paikastajossa varjomalli leikkautuu, se on jo valmiiksi kyseisen varjomallin sisällä, janäin sen alkuarvo nolla on väärin. On huomattava, että tämä ongelma koskeemyös äärettömiä näkökenttiä, mutta niiden kohdalla virhe voidaan korjatasulkemalla varjomallit. Tällöin äärettömyydestä lähtevä säde ei enää pääsevarjomallin sisään kulkematta jonkun sen reunan läpi, ja laskuri toimii oikein.Varjomallien sulkeminen tekee zfail-menetelmästä yleispätevän, mutta zpassalgoritmiamonimutkaisemman ja hitaamman.4.2. Varjomallien koostaminenVarjotilavuuden luominen varjostavan mallin jokaiselle monikulmiolle erikseenolisi siis periaatteessa täysin toimiva ratkaisu, mutta käytännössä se johtaisiniin suureen varjojen määrään, ettei se reaaliaikaisuuden näkökulmasta olejärkevää. Tehokkuussyyt kannustavatkin varjomallien lukumääränminimoimiseen, sekä niiden rakenteen yksinkertaistamiseen.Paras tapa tämän saavuttamiseksi on laskea varjostavan esineen ääriviivat,ja koostaa varjomallit niiden avulla. Tällöin voidaan parhaassa tapauksessapäästä siihen, että kutakin esinettä varten tarvitaan vain yksi varjomalli.Täsmällisten ääriviivojen löytäminen on kuitenkin matemaattisestimonimutkainen toimenpide, ja siksi onkin järkevintä pyrkiä löytämään hyväkompromissi siluettien määrittämiseen ja mallien piirtämiseen käytettävän ajanväliltä. Monimutkaisista silueteista luotujen varjomallien sulkeminen on myöspaljon vaikeampaa kuin yksinkertaisempien.4.2.1. Mallin ääriviivojen määrittäminenCrow [1977] käyttää omassa varhaisessa menetelmäkuvauksessaan nk.Sutherlandin mahdollisten siluettien algoritmia [Sutherland, 1973]. Sen mukaanmonikulmioista koostuvan mallin mahdollinen siluettireuna on sellainen, johon

22kiinnittyneistä monikulmioista toinen osoittaa valoa kohti, ja toinen valostapoispäin (kuva 11). Tämä ei tietenkään takaa täydellistä siluettireunaa koverilleesineille, mutta on toiminut hyvänä kompromissina näihin päiviin saakka. Kuntarkastus tehdään kaikille mallin reunoille, saadaan lopputulokseksi listamahdollisista siluettireunoista. Jos malliin ei ole tallennettu tarkempaa tietoareunoista, ne etsitään käymällä läpi kaikki mallin monikulmiot.Kuva 11. Mahdollisen siluettireunan määrittäminen [Brabec and Seidel, 2003]Monikulmion suunta valoon nähden saadaan selvitettyä laskemalla sennormaalivektorin ja siitä valoon kulkevan vektorin pistetulo. Positiivinen arvotarkoittaa monikulmion osoittavan valoa kohti, negatiivinen taas päinvastaista.Laskennan yhteydessä kannattaa muistaa, että monikulmio on oltavamääriteltynä samassa avaruudessa kuin valo. Mikäli siluettilaskenta tehdäänkeskusprosessorilla, on nopeinta muuntaa valopiste varjostavan esineenpaikalliseen koordinaatistoon, ja muuntaa varjomalli globaaliin avaruuteenvarjostavan esineen matriisilla. Joissakin tilanteissa valon ja monikulmioidensaattaminen samaan avaruuteen on kuitenkin haasteellista. Vaikeuksia syntyyesimerkiksi ihomallinnettujen tai muuten dynaamisesti näytönohjaimellaanimoitujen esineiden kanssa. Tästä aiheesta lisää luvussa 4.2.3.Philippe Bergeron [1986] laati Crown algoritmista yleisen menetelmän, jokakykenee tukemaan myös kokeellisempia piirtomenetelmiä. Tähänominaisuuteen ei syvennytä enempää, koska käytännössä kaikkireaaliaikamallit perustuvat nykyisin tasapintaisista kolmioista koostuviinesineisiin. Mielenkiintoisempana yksityiskohtana Bergeron esittääyksinkertaisen tavan, jolla varjomallinnus saadaan tukemaan myös avoimiamalleja. Avoimet reunat (jotka liittyvät vain yhteen monikulmioon) tulkitaansiluettireunoiksi. Näille tehtävät varjonelikulmiot tallennetaan omaan listaansaja piirretään muista erillään. Kun kameraa kohti osoittavaa, avoimestareunasta luotua varjopintaa piirretään, sapluuna-arvoa lisätään tavalliseen

23tapaan, mutta piirrettäessä tavallista, suljetusta reunasta tehtyävarjomonikulmioita, sapluuna-arvoa lisätäänkin kahdella. Poispäin osoittavienreunojen kohdalla arvoa vähennetään samaan tapaan (zfail-menetelmässäoperaatiot ovat toisinpäin). Jatkossa kuitenkin oletetaan kaikkienvarjotilavuuksin varjostettavien mallien olevan suljettuja. Tämä siitäkin syystä,ettei kahdella lisäys ole yleinen toiminto sapluunapuskureissa.Ääriviivojen analyyttistä laskemista on tutkittu paljon (mm. [Barequet et al.,2001] ja [Markosian et al., 1997]). Niiden avulla on mahdollista luoda erittäinpitkälle optimoituja varjomalleja, mutta johtuen laskennan epätriviaalistaluonteesta, ne joudutaan tekemään puhtaasti keskusprosessorilla. Lisäksimonet analyyttiset menetelmät vaativat esilaskettua tietämystä piirrettävistämalleista, ja näiden tietojen jatkuva päivittäminen muuttuvassa näkymässä voiolla raskasta. Näistä menetelmistä on kuitenkin apua, jos halutaan luodasuljettuja siluettireunoja, joista on hyötyä varsinkin pehmeiden varjojenmuodostamisessa (ks. luku 6.3.1).4.2.2. Suljettu ja ääretön varjotilavuusKärkipisteet voidaan työntää äärettömyyteen nollaamalla niiden w-koordinaatti. Tätä ominaisuutta apuna käyttäen jokaisesta siluettireunastaluodaan nelikulmio, jonka etureunan (valosta katsottuna) muodostavatalkuperäisen reunan kärkipisteet. Takareuna taas työnnetään valon ja pisteensijaintia sekä w-koordinaattia hyväksikäyttäen äärettömyyteen. Kilgardin[2001a] menetelmällä varjomallista pystytään samalla periaatteella tekemäänsuljettu.Varjomalli luodaan käymällä läpi kaikki varjostavan mallin reunat, jatarkastelemalla reunaan liittyviä kahta monikulmiota (joiden oletetaan tässätapauksessa olevan kolmioita). Oletetaan, että valo sijaitsee pisteessä L.Jokaiselle varjostavan mallin reunalle tehdään seuraava operaatio.Jos reuna on mahdollinen siluettireuna, luodaan äärettömyyteen jatkettuvarjonelikulmio, jonka ääripisteet ovat A, B, (A.xL.w – L.xA.w, A.yL.w– L.yA.w, A.zL.w – L.zA.w, 0) ja (B.xL.w – L.xB.w, B.yL.w – L.yB.w,B.zL.w – L.zB.w, 0), missä A ja B ovat ääriviivan kärkipisteet. Tässävaiheessa on tärkeää pitää huoli, että luodun nelikulmion pisteet ovatoikeassa järjestyksessä.Jos molemmat reunaan liittyvät kolmiot osoittavat valosta poispäin,luodaan varjokolmio, jonka ääripisteet ovat (A.xL.w – L.xA.w, A.yL.w –L.yA.w, A.zL.w – L.zA.w, 0), (B.xL.w – L.xB.w, B.yL.w – L.yB.w, B.zL.w

24– L.zB.w, 0) ja (C.xL.w – L.xC.w, C.yL.w – L.yC.w, C.zL.w – L.zC.w, 0),joissa A, B ja C ovat varjostavan mallin kolmion kärkipisteet.Jos molemmat reunaan liittyvät monikulmiot osoittavat valoon päin,luodaan varjokolmio, jonka ääripisteet ovat A, B ja C, eli samat kuinvarjostavan mallin pisteet.Ideana on siis käyttää varjostavan mallin omia monikulmioita tukkimaanvarjotilavuuden etu- ja takareunat. Luoduista kolmioista saadaan koostettuaäärettömyyteen jatkuva ja suljettu varjomalli. Jättämällä kaksi viimeistävaihetta pois, menetelmällä on mahdollista tehdä myös avoin malli zpassmenetelmäävarten.4.2.3. Varjotilavuuden laskeminen näytönohjaimellaBrabec ja Seidel [2003] luettelevat etuja, joita saavutetaan kun varjomallitlasketaan kokonaisuudessaan näytönohjaimella. Ensinnäkin silloin voidaantaata saman laskutoimituksen tuottavan aina saman likiarvon. Jos samalaskutoimitus tehdään sekä keskusprosessorilla että näytönohjaimella,lopputuloksissa voi olla pieniä mutta kiusallisia eroja, jotka aiheuttavatongelmia, kuten etureunan sulkemisen kohdalla aiemmin todettiin. Lisäksikolmiulotteisten mallien tallentaminen ja käsittely keskusprosessorin puolellamuuttuu helpommaksi, kun sen ei tarvitse huolehtia mallien muuntamisesta.Keskusprosessori myös vapautuu siluettilaskennasta, jolloin näytönohjaimen eitarvitse odotella prosessin päättymistä, vaan transformointi ja piirtäminenvoidaan suorittaa taustalla. Viimeinen etu liittyy siihen, että kaikkivarjomalleihin liittyvä tieto pystytään tallentamaan näytönohjaimen muistiin.Tämä nopeuttaa piirtämistä huomattavasti, eikä aikaa kulu suuren tietomääränjatkuvaan kuljettamiseen prosessoreiden välillä. Koska nykyisetnäytönohjaimet pystyvät muokkaamaan malleja reaaliaikaisesti, tuntuisituhlaukselta tehdä sama keskusprosessorilla, ja sen jälkeen syöttää tietovalmiiksi muunnettuna lähes tyhjän muunnoskanavan läpi ruudulle.Näytönohjainten kasvava nopeus myös kannustaa kuormittamaan niitämahdollisimman paljon, ja antamaan keskusprosessorille aikaa keskittyämuuhun ohjelmalogiikkaan.Ihomallit (skin meshes) ovat tyypillinen esimerkki näytönohjaintenmahdollisuuksista sekä ongelmista, joita aiheutuu kun osa toiminnallisuudestajoudutaan pilkkomaan prosessorien kesken. Ihomalli on tavallinenkärkipisteistä ja niitä yhdistävistä monikulmioista koostuva malli, mutta senerottaa muista malleista se, että kukin kärkipiste muunnetaan globaaliinavaruuteen useamman eri muunnosmatriisin avulla. Matriisien vaikutus

25muunnokseen määritetään antamalla pisteelle jokaista vaikuttavaa matriisiakohti painoarvo. Mitä suurempi painoarvo on, sitä suurempi on myös matriisinvaikutus. Painoarvojen summa on aina yksi.Nykyisissä näytönohjaimissa tällaiset mallit on helppoa ja tehokastamuuntaa verteksivarjostimissa. Varjostuksen näkökulmasta ongelmaksikuitenkin muodostuu se, että koska laskenta tehdään näytönohjaimella,keskusprosessori ei enää missään vaiheessa pääse käsiksi globaaliin avaruuteenmuunnettuun malliin, josta varjosiluetit pitäisi laskea. Mikäli siluetti halutaanmäärittää analyyttisin menetelmin, joudutaan varjomallien lisäksi suuri osamuunnoskanavaa toteuttamaan keskusprosessorilla, mikä luonnollisestiheikentää näytönohjaimista saatavaa hyötyä. Geometriavarjostimetmahdollistavat siluettilaskennan näissäkin tapauksissa kokonaannäytönohjaimella, mutta koska toimintoa ei ole vielä olemassa lähellekäänkaikissa laitteistoissa, on tarpeen käydä läpi pari menetelmää, joiden avullaihomallit on mahdollista varjostaa tehokkaasti lähes kokonaannäytönohjaimella.Chris Brennanin [2002] menetelmä mahdollistaa varjomallin pitämisennäytönohjaimen muistissa muuttumattomana koko ohjelman suorituksen ajan.Hintana tosin on, että tietoa joudutaan syöttämään muunnoskanavaan varsinrunsaasti. Algoritmi myös automaattisesti sulkee kaikki varjomallit. Menetelmäluo esilasketun varjomallin, joka jo valmiiksi sisältää reunoista muodostettavatnelikulmiot, että näytönohjain pystyy käsittelemään sitä ilman muuta tietoa.Varjomallin luonti tapahtuu tekemällä seuraavat toimenpiteet kaikillevarjostavan mallin kolmioille.Ensin kopioidaan kolmio varjomalliin ja lasketaan sen normaali. Tämänormaali asetetaan kolmion kaikille kärkipisteille. Sen jälkeen käydään läpikaikki kolmion reunat. Mikäli reuna on jo käsitelty (jokainen reuna liittyykahteen kolmioon, eli tulee suljetussa mallissa käsitellyksi kahteen kertaan),luodaan nelikulmio, joka koostuu aiemmin käsitellyn ja nyt käsiteltävän reunanpisteistä. Sitten poistetaan reuna käsiteltyjen reunojen listalta. Mikäli reunaa eiole käsitelty, se lisätään käsiteltyjen reunojen listaan. Tärkeää on kiinnittäähuomiota siihen, että kun reuna tulee käsitellyksi toiseen kertaan, aiemminkäsitellyn reunan kärkipisteillä on sama sijainti, mutta eri normaali. Tämäjohtuu siitä, että kaikki kolmion pisteet saavat nimenomaan kolmion itsensänormaalin (kuva 12). Toisin sanoen, jokaista reunaa kohden luodunnelikulmion vastakkaiset reunat osoittavat viereisen kolmion osoittamaansuuntaan.

26Kuva 12. Varjostavan mallin kaksi kolmiota normaalivektoreineen (a), ja niidenpohjalta luodun varjomallin vastaavat pisteet ja normaalit (b). Reunakolmioitaon hieman venytetty, että se näkyy paremmin.Lopputuloksena varjomalli sisältää kaikki alkuperäisen varjostavan mallinkolmiot sekä nelikulmiot, jotka on muodostettu varjostavan mallin reunoista.Se, mitkä näistä nelikulmioista lopulta venytetään, jää näytönohjaimenpäätettäväksi. Varjomallin sisältämän tiedon perusteella on hyvin yksikertaistatehdä verteksivarjostin, joka laskee pistetulon saamansa kärkipisteen normaalinja pisteestä valoon kulkevan vektorin välillä. Jos tulos on negatiivinen, pistetyönnetään äärettömyyteen. Muussa tapauksessa se pidetään paikallaan.Varjostin ei siis tarvitse mitään erillistä tietoa mallista, ja pystyy toimimaanitsenäisesti kunkin pisteen kohdalla. Tämä mahdollistaa varjomallin pitämisennäytönohjaimen muistissa.Edellinen menetelmä toimii hyvin muuttumattomien mallien kohdalla,mutta ihomallien toteuttaminen vaatii hieman lisää työtä. Varjomallin pisteidennormaalit laskettiin vastaamaan vierekkäisten monikulmioiden normaaleita,mutta ihomallien ominaispiirteisiin kuuluu, että monikulmion eri pisteet voivatmuuntua eri tavalla painotuksistaan riippuen. Tästä johtuen monikulmioidenmuoto ja suunta toisiinsa nähden eivät pysy samana, ja menetelmä tuottaavirheellisiä tuloksia, koska väärät kärkipisteet voivat tulla työnnetyksiäärettömyyteen.Brennan [2002] itse suosittelee tapaa, jossa painotukset lasketaan myösvarjomallien monikulmioille. Tämä tehdään yksinkertaisesti laskemalla niihinliittyvien kärkipisteiden keskiarvot kunkin matriisin painoarvolle. Nytmonikulmioiden normaalit voidaan laskea painotusten mukaan, jalopputuloksena ne saavat oikean arvon. Korjaus voidaan siis tehdä joesilaskentavaiheessa, eikä sillä ole merkitystä itse piirtämisen nopeuteen.

27Kilgard ja Everitt [2003] puuttuvat Brennanin menetelmän suurimpiinheikkouksiin. Menetelmä kasvattaa muunnoskanavaan syötettävän tiedonmäärää merkittävästi, ja pakottaa käyttämään suljettuja varjotilavuuksia.Verteksivarjostimet eivät välttämättä takaa tehonnousua, jos ne joutuvatkäsittelemään liian suuren määrän pisteitä. Tällöin keskusprosessorivetoinenratkaisu voi muuttua nopeammaksi. Hyväksi havaittu kompromissi on käyttääkeskusprosessoria laskemaan mahdolliset siluettireunat, ja syöttää tämänjälkeen niiden indeksit näytönohjaimelle, minne pisteiden koordinaatit ontallennettu jo aikaisemmin ([Kilgard and Everitt, 2003] ja [van Waveren, 2005]).Kun varjomalli luodaan, jokainen kärkipiste tallennetaan näytönohjaimellekahtena peräkkäisenä kopiona. Ensimmäinen sisältää homogeenisenkoordinaatin, joka on täsmälleen sama kuin varjomallissa. Toisessa w-koordinaatti on nolla. Ainoastaan kärkipisteiden sijainnit tarvitsee tallentaa.Näin näytönohjaimella käsiteltävän tiedon määrä on paljon pienempi (8desimaaliarvoa kärkipistettä kohti) kuin Brabecin menetelmässä.Siluettimääritykset tehdään keskusprosessorilla. Jos piirrettävä siluettireunamuodostuu kärkipisteistä joiden indeksit ovat A ja B, näytönohjaimelleannetaan ohje piirtää nelikulmio, jonka kärkipisteiden indeksit ovat A*2, B*2,A*2+1 ja B*2+1. Täytyy muistaa, että pisteiden järjestyksellä on merkitystäeteen- ja taaksepäin osoittavien reunanelikulmioiden määrittelyssä. Oikeasuunta riippuu siitä, mihin suuntaan käsiteltävä reuna kulkee valoon päinosoittavassa kolmiossa. Myös varjomallin alku- ja loppupää voidaantarvittaessa syöttää verteksivarjostimelle helposti. Alkupään kolmioidenindeksit ovat A*2, B*2 ja C*2 ja loppupään vastaavasti A*2+1, B*2+1 ja C*2+1,missä A, B ja C ovat varjostavan mallin kolmion kärkipisteiden indeksit.Indeksit kerrotaan kahdella, koska näytönohjaimella olevaan kärkipistelistaanon tallennettu kärkipisteet kahteen kertaan. Ensimmäinen on paikalleen jääväpiste, ja toinen on äärettömyyteen työnnettävä.Verteksivarjostin voidaan kuvata yksinkertaisimmillaan seuraavallakaavalla [Kilgard and Everitt, 2003]: P’ = P * P.w + (P * L.w - L * P.w) * (1 - P.w),missä P on pisteen ja L valon sijainti. Käytännössä verteksivarjostimen onhuolehdittava myös mahdollisista ihomuunnoksista. Koordinaattiparinensimmäinen piste jää aina paikalleen, mutta jälkimmäinen työnnetäänäärettömän kauas valosta, eikä näytönohjaimen tarvitse tietää mitään muutakuin pisteen indeksi.Tämän menetelmän heikkoutena on luonnollisesti se, että pisteidenmuunnokset globaaliin avaruuteen joudutaan tekemään keskusprosessorilla.Toisaalta muunnoskanavan läpi kulkevien pisteiden määrä on huomattavanpaljon pienempi kuin Brabecin algoritmissa.

284.3. Varjotilavuusmenetelmän toteutuksestaVarjotilavuudet ovat hyvin raskaita laskettavia, ja vievät aktiivisesti käytettynämerkittävän osan ohjelmien suoritusajasta. Sen vuoksi on tärkeää perehtyätapoihin, joilla suoritusta saadaan tehostettua. Varjotilavuuksissa optimointikeskittyy ensisijaisesti piirrettävien pikseleiden määrän minimointiin.4.3.1. OptimointiTietotekniikassa joudutaan yleensä turvautumaan kompromisseihinmenetelmien yleispätevyyden ja tehokkuuden välillä. Samoin on asia myösvarjomallien kohdalla. Zpass-menetelmä on ongelmineenkin monessasuhteessa tehokkaampi kuin Zfail. Tämä lähinnä siksi, ettei varjomallientarvitse olla suljettuja, ja täten niiden luominen on huomattavasti helpompaa.Zpass-algoritmia tulisikin suosia aina kun pakottavaa tarvetta zfailin käytölle eiole. Menetelmien sekoittaminen on mahdollista, koska niitä voidaan vaihdellamallien välillä ilman, että näkymän kokonaisvarjostus menee pieleen. Sensijaan saman mallin kohdalla menetelmien sekoittaminen on vaikeampaa, mm.koska ääretöntä (zfail) ja yleensä äärellistä (zpass ja ZP+) näkökenttääkäyttävien menetelmien syvyysarvot eivät ole yhteensopivia [Hornus et al.,2005].Periaatteessa zfailia tarvitaan vain, kun varjomalli leikkaa näkökentänetureunan (eikä aina silloinkaan, jos ZP+ menetelmä toimii). Eric Lengyel [2002]kehitti ZP+-menetelmää ennakoineen, yksinkertaisen tavan selvittää, millointämä tapahtuu. Tarvitsee vain luoda kalteva nelisivuinen pyramidi, jonkahuippu on valon sijaintipisteessä, ja alareunan pisteet näkökentän etureunankulmapisteissä. Mikäli jokin näkymän esineistä leikkaa tämän pyramidin setarkoittaa, että esine on valon ja näkökentän etureunan välissä (kuva 13a). ZP+-tyylisen piirtämisen sijaan tarkastelu voidaan tehdä esimerkiksi vertaamallakunkin esineen kapseloimia yksinkertaisia geometrisia malleja, kuten palloja tailaatikoita, pyramidiin. Tämä johtaa hieman epätarkkaan tulokseen (jolloin zfailmenetelmääkäytetään enemmän kuin on tarpeen), mutta on varsinkin suurissanäkymissä laskennallisesti tehokas toteuttaa.

29Kuva 13. Näkökentän ja valonlähteen yhdistävä tilavuus (a), sekä valonvaikutusalueen projisointi näkökenttään (b) [Lengyel, 2002]. L ja C ovat valon jakameran sijaintipisteet, r on valon vaikutusalueen säde ja n on kameranetutason etäisyys.Avoimien varjomallienkaan käyttäminen ei kuitenkaan ratkaise sitäongelmaa, että äärettömyyteen jatkuvat varjotilavuudet peittävät monestiruudusta suuria alueita. Lisäksi varjomalleista on piirrettävä sekä kameraanpäin että siitä poispäin osoittavat monikulmiot, mikä kasvattaa piirrettävienpikseleiden määrää entisestään. On syytä huomata, että pienikin varjo voivaatia valtavan määrän suuria varjomonikulmioita.Lengyel [2002] jatkaa optimointia käyttämällä 3D-rajapintojen tarjoamaasaksitestausta (scissor test), jolla voidaan rajoittaa ruudulta suorakulmionmuotoinen piirtoalue. Kaikki sen ulkopuolelle kohdistuvat piirto-operaatiotkeskeytetään jo ennen sapluuna- tai syvyyspuskuria. Koska näkymä joudutaanpiirtämään erikseen jokaiselle valolle, kannattaa sakset asettaa estämäänsellaisten pisteiden käsittely, mihin valo ei vaikuta. Lengyelin tapa rajoittaapiirrettävää aluetta on antaa valoille vaikutusalue. Sitä voidaan kuvata pallolla,jonka keskus on valon sijaintipisteessä, ja jonka säde on valon kantama (kuva13b). Tällainen pallo on helppo projisoida normaalin muunnoskanavan läpiruudulle, ja muodostaa sitten pienin mahdollinen suorakulmio, joka kapseloisen sisäänsä. Kun tämä suorakulmio annetaan näytönohjaimensaksitoiminnolle, ainoastaan valon vaikutusalueella olevat pisteet piirretäänruutuun.Toinen tehostamiskeino on Everittin ja Kilgardin [2003] ideoimasyvyysrajoitin (depth bounds), joka suoritetaan aktivoituna ollessaan hetisaksitestauksen jälkeen. Sen toimintakin muistuttaa saksitestausta. Erona on,että piirrettävät pisteet rajataan syvyysarvojen mukaan. Jos pisteen z-

30koordinaatti ei ole syvyysrajoittimen määrittelemällä alueella, piste hylätään.Syvyysrajoitinta voidaan käyttää Lengyelin mallin mukaisesti rajoittamaannäkymän piirtämistä sellaisella alueella, jonne valon vaikutus ei ulotu.Vastaavasti varjomalleja piirrettäessä voidaan estää sapluunaoperaatiotsellaisille pisteille, joiden syvyysarvo on valon kantamattomissa.Zpass- ja zfail-menetelmät, saksitestauksen sekä syvyysrajoittimen voiyhdistää tehokkaasti [McGuire et al., 2003]. Aluksi luodaan Lengyelin [2002]esityksen mukainen pyramidi valosta näkökentän etureunaan. Tämän avullavoidaan selvittää, onko kamerapiste varjossa ja valita, käytetäänkö zpass- vaizfail-menetelmää. Seuraavaksi projisoidaan valon vaikutusalue ruudulle, jaasetetaan saksitoiminto leikkaamaan kaikki sen ulkopuolelle jäävät alueet pois.Jos tilavuus projisoituu ruudun ulkopuolelle, se ei ole näkyvissä. Tällöinpiirtäminen voidaan jättää kokonaan tekemättä. Tämän jälkeen luodaan uusinäkökenttä, jonka etureuna määritetään saksineliön ääripisteiden avulla (kuva13b). Tämä näkökenttä kapseloi sisäänsä vain sellaiset alueet, joihin valovaikuttaa. Kun valokohtaiset rajoitukset on näin saatu tehdyksi, voidaan siirtyäkäsittelemään esineitä. Kunkin esineen kohdalla tehdään seuraavattoimenpiteet.Lasketaan esineelle varjomalli. Jos käytetään zpass-menetelmää, varjon eitarvitse olla suljettu. Luodaan tilavuus T, joka kapseloi valon vaikutusalueen,saksien mukaan luodun näkökentän ja varjomallin leikkauksen. Tämän jälkeenasetetaan syvyysrajat T:n ääripisteiden z-koordinaattien mukaan, ja piirretäänvarjomalli. Tämä menetelmä rajaa tehokkaasti ulos kaikki sellaiset pisteet, jotkaeivät vaikuta lopulliseen näkymään.On tapauksia, joissa edellinen menetelmä ei kuitenkaan takaa riittäväätehokkuutta. Esimerkiksi näkymä, jossa on paljon avoimia tiloja ja suunnattujavaloja aiheuttaa sen, että tilavuus T täyttää koko näkökentän, eikä leikkauksistaole hyötyä. Nk. CC-menetelmä (CC tulee sanoista culling ja clamping) rajoittaavarjomallien määrää ja kokoa eri tavalla. Sen tavoitteena on poistaa käsittelystäsellaiset varjomallit, jotka ovat itsekin varjossa, tai joilla ei muuten olevaikutusta näkökenttään [Lloyd et al., 2004]. Lisäksi pyritään olemaanpiirtämättä sellaisia osia varjomalleista, jotka eivät langeta näkyviä varjoja (elieivät lävistä mitään varjostettavaa esinettä). Menetelmä toteutetaan esineetsulkevien tilavuuksien sekä pikselitason hierarkkisten näkyvyystarkastelujen(occlusion culling) avulla, jotka ovat perusominaisuus nykyisissänäytönohjaimissa. Niissä ruutuun piirretään jotain, minkä jälkeen tarkasteluilmoittaa sen, kuinka suuri osa piirretyistä pikseleistä läpäisi syvyystarkastelun(eli on oikeasti näkyvissä).

31Kuva 14. CC-menetelmän vaiheet [Lloyd et al., 2004]CC-menetelmä koostuu kolmesta osasta. Ensimmäisessä vaiheessa karsitaankaikista esineistä (kuva 14a) listaan vain ne varjostavat ja varjostettavat mallit,jotka vaikuttavat kuvaan (kuva 14b). Aluksi piirretään näkymä valonnäkökulmasta syvyyskarttaan. Tämän jälkeen suoritetaan hierarkkinennäkyvyystarkastelu kunkin esineen kapseloivalle tilavuudelle. Jos tilavuudenyksikään piste ei ole näkyvissä, esine on kokonaan varjossa ja se hylätään.Muut lisätään mahdollisten varjostavien esineiden listaan (PSC). Sama tehdäänkameran näkökulmasta, ja lisätään näkyvät esineet mahdollisten varjostettavienlistaan.Toisessa vaiheessa varjot leikataan siten, että ainoastaan varjostukseentarvittavat osat piirretään (kuva 14c). Esine S on T:n varjostama jos S ja T ovatvalosta katsottuna limittäin tai päällekkäin, ja S:n kaukaisin kärkipiste onkauempana kuin T:n lähin kärkipiste (kuva 15). Tämän jälkeen jokaiselle PSC:nesineelle luodaan lista sen varjostamien esineiden valosta katsottunalähimmistä ja kaukaisimmista kärkipisteistä. Edellisten avulla voidaanmäärittää ne syvyysalueet, joissa varjo lankeaa varjostettavaan esineeseen jatuottaa näkyviä varjoja. Varjomalli on tarpeen piirtää ainoastaan näillesyvyysväleille. Jokaiselle välille luodaan erillinen varjomalli, joka on leikattualkuperäisestä.

32Kuva 15. Varjomallien syvyysalueiden määrittäminen [Lloyd et al., 2004]Varjojen sulkeminen voidaan välttää pilkkomalla näkökenttä osiin tasoilla,jotka kulkevat kamerapisteen läpi ja osoittavat valoa kohti. Pilkottujenvarjomallien syvyysääriarvoja siirretään sen verran, että niiden avoimet etu- jatakareunat osuvat näkökentän pilkkoville tasoille (kuva 14d). Tämän jälkeenleikkauskohta on aina katseen suuntainen, eikä kamerapisteestä lähtevä sädevoi koskaan kulkea läpi avoimesta reunasta. Lopputuloksena lähes kaikkivarjojen kannalta turhat kohdat voidaan jättää piirtämättä.Muista optimointimenetelmistä on syytä mainita myös, että varsinkinavonaisten varjomallien reunoihin on mahdollista soveltaa geometrisianauhatyyppejä (triangle tai quad strip), jolloin kärkipisteitä tarvitsee syöttäämuunnoskanavaan vähemmän. Menetelmää voidaan tehostaa edelleenpiirtämällä reunanelikulmiot kolmioina, joiden yksi kärkipiste on venytettyäärettömyyteen [Everitt and Kilgard, 2002]. Kannattaa myös olla tarkkana, etteisellaisia esineitä joiden varjot eivät näy (tällaisia ovat usein sisänäkymissäesimerkiksi lattiat ja seinät), oteta varjostavien esineiden joukkoon lainkaan.Lisäksi paikallaan pysyvien valojen ja esineiden tapauksessa voidaan tietenkinkäyttää esilaskettuja varjomalleja.4.3.2. Tuki 3D-rajapinnoissaAiemmin on jo puhuttu saksitestistä, syvyysrajoittimesta ja -rajaimesta sekähierarkkisesta näkyvyystarkastelusta. Nykyiset näytönohjaimet tarjoavatmuitakin ominaisuuksia, joista on hyötyä varjotilavuuksien piirtämisessä.Seuraavaksi käydään läpi muutamat keskeisimmät.Ympärimenevä sapluuna (stencil wrap) [Everitt and Kilgard, 2002] estääsapluuna-arvojen ylivuodot. Sen sijaan että arvot rajautuisivat nollaan jabittisyvyyden puitteissa suurimpaan arvoon, ne pyörähtävätkin ympäri. Kunsuurin arvo ylitetään, sapluunan arvoksi tulee nolla ja vastaavasti toisinpäin.Ympärimenevä sapluuna käytännössä estää laskurin virhearvot, sillä esim.kahdeksanbittisellä sapluunalla virhe syntyy vasta, kun sisäkkäin on vähintään256 varjoa.Everitt ja Kilgard [2002] ehdottivat myös kaksipuolista sapluunapuskuria(two sided stencil), joka mahdollistaa eri sapluunaoperaatiot eteen- jataaksepäin osoittaville pinnoille. Tämä tekee mahdolliseksi myös varjomalliensyöttämisen näytönohjaimelle yhdellä kertaa. Piirtämisen määrä ei varsinaisestivähene, mutta ominaisuus auttaa näytönohjaimia optimoimaan omaatoimintaansa, ja tehostaa näin ollen suoritusta.Uusimpien näytönohjaimien tukemat geometriavarjostimet mullistanevatvarjotilavuuksien piirtämisen täysin. Niillä pystytään luomaan uusia

33kärkipisteitä ja monikulmioita sen jälkeen kun piste on kulkenutverteksivarjostimen läpi. Varjomallit voidaan täten koota käytännössäkokonaan näytönohjaimella. Niiden avulla varjotilavuudet muuttuvattulevaisuudessa todennäköisesti paljon tehokkaammiksi, ja ainakin paljonhelpommiksi toteuttaa.Monet ongelmat jäävät kuitenkin yhä auki. Sitä mukaa kun 3D-näkymätkäyvät monimutkaisemmiksi, monimutkaistuvat myös varjomallit.Varjotilavuusmenetelmä ei myöskään kykene reaaliaikaisesti varjostamaankuin tasaisista kolmioista koostuvia malleja. Esimerkiksi läpikuultavat pinnatja tekstuuripohjaiset tehosteet (kuten savu ja tuli) ovat käytännössämahdottomia varjostettavia varjotilavuuksien avulla, vaikka niitä käytetäänkinnykyisin erittäin paljon. Tämä on ajanut kehitystyötä viime vuosina yhäenemmän bittikarttapohjaisten varjostusmenetelmien suuntaan.5. VarjokartatVarjokartat [Williams, 1978] ovat menetelmä, jossa varjot projisoidaankaksiulotteiselle tasolle valon näkökulmasta katsottuna. Niillä on edellisiinmenetelmiin verrattuna se etu, että ne eivät ole riippuvaisia siitä, millaisia taimillä tavalla mallinnettuja esineitä näkymä sisältää. Periaatteessa kaikki mitävoidaan piirtää, voidaan myös varjostaa. Varjokartat ovat myös ainoavarjoalgoritmi, jonka tehokkuus ei riipu suoraan varjostettavan näkymänmonimutkaisuudesta [Woo et al., 1990]. Esilaskettujen ja paikallaan pysyvienvarjojen tapauksessa tämä onkin totta, eikä hidastuminen reaaliajassalaskettujen varjojenkaan kohdalla tapahdu samassa suhteessa kuin esimerkiksivarjomalleilla.Näkymäriippumattomuudestaan, helppokäyttöisyydestään janäytönohjainten kiihdytettäväksi sopivasta luonteestaan johtuen, varjokartatovat olleet kaikista varjostusmenetelmistä viime vuosina kenties ahkerimmantutkimuksen kohteena. Eikä suosio rajoitu ainoastaan reaaliaikaiseenmallintamiseen: mm. Pixar käyttää varjokarttoja 3D-animoitujen elokuviensavarjostamiseen [Upstill, 1990].5.1. Varjokarttojen toimintaVarjokartat toimivat kameran tapaan. Varjostavista esineistä luodaankaksiulotteinen projektio, jonka avulla kameranäkymän varjoalueet voidaanselvittää. Voidaankin sanoa, että kun tasoprojisoidut varjot perustuivatpisteisiin ja varjomallit tilavuuksiin, varjokartoissa keskeinen tekijä on taso,jolle varjo muodostetaan. Tämä tekee niistä erityisen hyvän menetelmäntoteutettavaksi näytönohjainten puskurien avulla.

345.1.1. Tasainen varjokarttaOletetaan aluksi, että käytettävä valo on kohdevalo, jonka sijainti, suunta javaikutusalueen avauskulma voidaan esittää samalla tavalla kuin kamerankin.Näin valoa voidaan käyttää kamerana, ja sen näkökentän etureunalle pystytäänmuodostamaan kuva, joka käsittää esineet valosta katsottuna (kuva 16a).Suunnattujen valojen tapauksessa voidaan käyttää ortografista projisointia,mutta pistevalojen kohdalla tilanne on hieman monimutkaisempi (ks. luku5.1.2). Pelkkä kuva ei vielä riitä varjojen luomiseen vaan on lisäksi tiedettävä,missä kohtaa valonsäde osuu varjostavaan tasoon. Tämä saadaan selvillepiirtämällä kuvaan pisteen syvyysarvot (kuva 16b). Tällaista tekstikarttaakutsutaan joko syvyyskartaksi (depth map) tai varjokartaksi (shadow map).Kuva 16. Varjokartan toiminta: näkymä valosta (a), syvyyskartta (b),syvyyskartan arvot kameranäkymästä (c), varjostusarvokartta (d) ja lopullinenkuva (e) [Kilgard, 2001b].Varjokarttamenetelmä jakautuu kahteen osaan: ensimmäisessä luodaanvarjokartta, ja toisessa piirretään kameranäkymä, joka varjostetaan luotuavarjokarttaa hyödyntäen. Menetelmä siis vaatii näkymän piirtämisen kahteenkertaan kutakin valonlähdettä kohti. Ensimmäisessä vaiheessa piirretäännäkymä valon katsekulmasta syvyyskarttaan, joka pidetään tallessa ainakinkameranäkymän piirtämiseen saakka (kuva 16b). Toisessa vaiheessa näkymäpiirretään kamerasta katsottuna. Kukin kameranäkymän piste muunnetaanensin valonlähteen normalisoituun koordinaatistoon. Näin saadaan selvillekyseistä pistettä vastaava pikseli varjokartassa (kuva 16c). Jos muunnetunpisteen syvyysarvo (joka siis muunnoksen jälkeen on etäisyys valosta) onsuurempi kuin vastaava varjokarttaan tallennettu syvyysarvo tiedetään, ettävalon ja piirrettävän pisteen välissä on oltava toinen piste. Tällöin muunnettupiste on varjossa. Muussa tapauksessa se on valossa ja voidaan piirtäänormaalisti. Jos piste projisoituu varjokartan ulkopuolelle, valaistuksenratkaisu on yksiselitteinen. Tapauksesta riippuen pisteen voidaan tulkitaolevan joko valossa tai varjossa.

35Muunnos kamera-avaruudesta valoavaruuteen tapahtuu siirtämälläpiirrettävä piste ensin globaaliin avaruuteen, ja sieltä edelleen valonnormalisoituun koordinaatistoon (kuva 17). Ensimmäinen muunnos tapahtuukertomalla piste kameran muunnosmatriisilla. Tämän jälkeen siirtovaloavaruuteen tapahtuu valon käänteisellä muunnosmatriisilla, ja projektioedelleen valon projektiomatriisilla. Näiden jälkeen tulee vielä muunnos, jollapiste saadaan normalisoidusta avaruudesta [-1,1]³ sellaiselle välille, ettänäytönohjain voi löytää vastaavan pikselin. Tämä kaikki voidaan luonnollisestiesittää yhdellä matriisilla.Kuva 17. Muunnosketju kamera-avaruudesta varjokartan pikseliksi. Mtarkoittaa muunnosmatriisia ja P projektiomatriisia. Vasemmanpuoleisinmatriisi muuttaa koordinaatit normalisoidusta avaruudesta välille [0,1]. Se voivaihdella käytettävästä 3D-rajapinnasta riippuen.Valaistuksellisesti oikeaoppinen menetelmä siis vaatii näkymän piirtämistäkaksi kertaa jokaiselle valolle. Lisäksi jokainen kameranäkymään piirrettäväpiste on muunnettava varjokarttaan näkyvyystarkastelua varten. Toimenpidesaattaa vaikuttaa raskaalta, mutta se ei ole ollenkaan niin hidas kuin voisiajatella. Näytönohjaimet nimittäin ovat tukeneet perspektiivisiä tekstikarttoja joainakin vuosikymmenen ajan osana vakiotoiminnallisuuttaan. Tätätoiminnallisuutta hyödyntämällä varjokartat on mahdollista toteuttaa hyvintehokkaasti, kuten Segal et al. [1992] osoittavat. Jokaista pikseliä ei tarvitsesiirtää kamera-avaruudesta valoavaruuteen erikseen, vaan siirto voidaan tehdäainoastaan mallien kärkipisteille. Tämän jälkeen näytönohjain laskeevarjokarttakoordinaattien arvot kullekin piirrettävän monikulmion pikselilleautomaattisesti. Perspektiivisesti oikeaoppinen väliarvolaskenta tehdään ainariippumatta siitä, suoritetaanko syvyysvertailu 3D-rajapintojen omienominaisuuksien avulla vai pikselivarjostimissa. Automaattisestaperspektiivisestä interpoloinnista on jatkossa haittaakin, mutta tässätapauksessa ne toimivat koko varjokarttamenetelmän reaaliaikaisentoteutuksen pohjana.Valoavaruudessa tapahtuvan syvyystarkastelun tuloksena saadaanpiirrettävälle pikselille varjostusarvo. Williamsin [1978] menetelmässä tämä onyksinkertainen totuusarvo, eli piste on joko varjossa tai ei. Esimerkiksi

36läpikuultavien esineiden kohdalla se voi kuitenkin olla jotain muutakin.Varjostusarvoista voidaan myös piirtää kuva, joka erottaa kameranäkymässävalaistut pisteet varjostetuista (kuva 16d). Sitä voidaan myöhemminesimerkiksi suodattaa pehmeämpien varjoreunojen saavuttamiseksi. Varsinkinsuodatusten osalta on syytä ymmärtää ero syvyyskartan ja varjostusarvokartan(attenuation map) välillä.Varjokartta on piirrettävä uudelleen aina kun valon tai jonkun senvaikutusalueella olevan esineen sijainti tai suunta muuttuu. Kameranliikkuminen ei sen sijaan vaikuta tasaiseen varjokarttaan. Mikäli muuttuviaesineitä ei ole, varjokartat voidaan piirtää kerran ja tallentaa tekstikartoiksinäytönohjaimen muistiin. Tämän jälkeen niiden käyttäminen on erittäintehokasta. Kannattaa myös huomata, että mikäli näkymä sisältää sekäpaikallaan pysyviä että liikkuvia esineitä, voidaan staattiset esineet piirtääyhteen muuttumattomaan varjokarttaan. Kun näkymään lisätään liikkuviaesineitä, niistä voidaan luoda oma varjokarttansa jättämällä staattiset esineetpiirtämättä. Tämän jälkeen nämä voidaan yhdistää lopullisen, piirtämisessäkäytettävän varjokartan luomiseksi.5.1.2. PistevalotVarjotilavuudet käsittelivät pistevaloja automaattisesti, mutta koska varjokarttaon projisoitava tasolle, se voi suoraan tukea ainoastaan kohdevaloja taisuunnattuja valoja. Joka suuntaan paistavat pistevalot, ovat ongelmallisempia.Käytetyin keino on piirtää kuusi varjokarttaa, joista kukin kattaa valostakatsottuna yhden suunnan [Dietrich, 2001]. Kun kaikki kartat määritetäänneliöiksi ja kunkin suunnan valon aukeamiskulmaksi annetaan 90 astetta,saadaan aikaan nk. kuutiokartta (cube map), jonka tasot kapseloivat valonsisäänsä. Kuution akselit kulkevat samaan suuntaan kuin globaalinkoordinaatiston akselit.Kuutiokarttaa käsitellään kuten normaaliakin varjokarttaa. Ainoana eronaon, että pistettä varjostettaessa täytyy tietää mihin kuudesta varjokartasta pistemuunnetaan. Tämä voidaan tehdä aktivoimalla yksi sivu kerrallaan, jamäärittelemällä kartan ulkopuolelle projisoidut pisteet olemaan varjossa.Tulokset voidaan yhdistää esimerkiksi sapluunapuskuria käyttämällä. Toinen,huomattavasti vähemmän erityisvaiheita vaativa tapa, on laskea suuntavektoripisteestä valoon, ja päättää käytettävä varjokartta sen perusteella.Suuntavektori voidaan laskea verteksivarjostimessa kullekin mallinkärkipisteelle, ja palauttaa se tämän jälkeen näytönohjaimelle. Pikselivarjostinsaa vektorin valmiiksi interpoloituna. Koska kuution akselit ovatsamansuuntaiset kuin globaalin koordinaatistonkin, voi varjostin vektorinnormalisoituaan määrittää sen, mitä kuution sivua pitää käyttää.

37Koska kuuden eri varjokartan piirtäminen on hyvin raskasta, on tärkeää,ettei mitään tarpeetonta piirretä. Esimerkiksi kaikki sellaiset kuution sivut jotkaeivät vaikuta kameranäkymään, kannattaa jättää piirtämättä. On syytähuomata, että mikäli pistevalo sijaitsee näkökentän ulkopuolella, ainakin yksikuution tasoista voidaan aina jättää piirtämättä [King, 2004]. Näytönohjaimettukevat kuutiotekstuureita nykyisin hyvin kattavasti mikä tarkoittaa, että sensivujen hakeminen muistista on tehokkaampaa, kuin jos varjokartattallennettaisiin erikseen. Kuitenkin pahimmillaan jopa kuusi piirtokertaavaativa algoritmi on auttamatta liian hidas jatkuvaan käyttöön.Projektiot eivät onneksi rajoitu perspektiivisiin projisointeihin, vaan onmatemaattisesti täysin mahdollista muuntaa jopa kokonainen pallo yhdelletasolle. Tällaiset suuren avauskulman näkökentät ovat matemaattisestihelppoja toteuttaa, mutta niiden ongelmana on se, etteivät ne ole luonteeltaanhyperbolisia. Toisin sanoen, niiden tuottamassa avaruudessa suorat reunateivät säily suorina. Kärkipisteet voidaan muuntaa oikeaoppisesti, mutta koskanäytönohjaimet käyttävät vain perspektiivisiä interpolointeja monikulmioidenpiirtämiseen, eivät mallien reunat piirry oikein. Tämä puolestaan aiheuttaaepätarkkuutta pikseleiden syvyysarvojen kanssa.Brabec et al. [2002b] tutkivat eri projisointien soveltuvuutta 3D-grafiikkaanja päätyivät siihen, että 180 asteen paraboloidiprojektio [Heidrich and Seidel,1998] sopii käyttötarkoituksiin parhaiten tarkkuutensa, tehokkuutensa jahelppokäyttöisyytensä ansiosta. Projisoimalla ruudulle kerralla puolipallo, eitäydellisen pistevaloon tarvita kuin kaksi varjokarttaa. Projisointi tapahtuuvarjostimilla hieman samaan tapaan kuin kuutiokarttojen kohdalla. Varjokartankoordinaatit määritellään varjostimessa, ja tämän jälkeen syvyysarvo lasketaanetäisyytenä piirrettävästä pisteestä valon sijaintipisteeseen. Piirrettäessä onosattava valita oikea pallonpuolisko. Pyöristysongelmista johtuen tieto siitäkumpaa pallonpuoliskoa käytetään, kannattaa tallentaa alfakanavaan. Tälläsaadaan ratkaistua myös tilanne, jossa monikulmion kärkipisteet sijaitsevat eripallonpuoliskoilla [Brabec et al., 2002b].Vaikka edellä esitellyssä projektiossa syvyyspuskurin epätarkkuudetsaadaan kutakuinkin kuriin, ei niistä silti päästä kokonaan eroon. Käytännössätällaisten projektioiden käyttäminen vaatiikin erittäin yksityiskohtaisia malleja.Monista näytönohjaimista tosin löytyy nykyisin ominaisuuksia, joilla mallinmonikulmioita voidaan automaattisesti pilkkoa pienempiin osiin (tessellation).Tämä voidaan tehdä uusimmissa laitteissa myös geometriavarjostimiakäyttäen.

385.2. Tasaisen varjokartan ongelmatPistevalojen toteutus ei ole varjokarttojen ainoa ongelma. Vaikka menetelmäonnistuu korjaamaan edellisten algoritmien suurimmat puutteet, sillä on myösheikkoutensa. Suurimmat ongelmat liittyvät sen bittikarttapohjaisuuteen. Siinämissä vektoripohjaiset tasoprojisointi- ja varjotilavuusmenetelmä tuottivattarkkoja ja teräviä reunoja, ei resoluutiosta riippuvainen bittikarttagrafiikkakykene samanlaiseen skaalautuvuuteen. Mikäli varjokartan resoluutio on liianpieni, varjot voivat muuttua epätarkoiksi. Tällaista ilmiötä kutsutaanlaskostumiseksi (aliasing). Toinen, hieman helpommin ratkaistava ongelma onjo tasoprojisoiduista varjoista tuttu syvyysarvojen epätarkkuus. Näidenongelmien ratkaisemiseksi on ehdotettu lukemattomia eri tapoja, ja seuraavissaluvuissa käydään läpi keskeisimmät.Kuva 18. Väärä varjostuminen (vasemmalla) sekä perspektiivinen (keskellä) japrojektiivinen (oikealla) laskostuminen ovat varjokarttamenetelmänperusongelmat [King, 2004].5.2.1. Syvyysarvojen epätarkkuusMikäli syvyysvertailun molempien osapuolien etäisyys valosta on sama,muunnettu piste sijaitsee täsmälleen varjostavalla tasolla, ja on näin ollenvalossa. Kuten tasoprojisoitujen varjojen tapauksessa kuitenkin jo aikaisemmintodettiin, tämä ei ole välttämättä tilanne tietokonegrafiikan tapauksessa.Syvyyskarttojen bittileveyden aiheuttamat pyöristysepätarkkuudet johtavathelposti siihen, että osa pinnalla olevista pisteistä painuu varjostettavan pinnantaakse, ja tulee väärin varjostetuksi. Tasoprojisoitujen varjojen tapauksessaongelma saatiin ratkaistua vähentämällä varjopikseleiden syvyysarvoapiirtovaiheessa. Koska syvyysmuunnos tehtiin projisoinnin jälkeen, hiemansuuremmallakaan muutoksella ei ollut kielteistä vaikutusta näkymään.Varjokarttojen kohdalla tilanne on kuitenkin toinen. Syvyysarvonmuuttaminen varjokartassa tarkoittaa sitä, että muunnos näkyy konkreettisestimyös varjon sijainnissa. Siirtämällä varjoa liikaa, aiheutetaan kiinnitetyn varjon

39irtoaminen varjostavasta esineestä. Seurauksena on nk. Peter-Pan-ilmiö, elivarjo alkaa leijua. Oikean muunnosarvon löytämiseen ei ole yhtä oikeaaratkaisua, vaan se riippuu aina näkymän ominaisuuksista.Mark Kilgard [2001b] luettelee joitakin neuvoja oikean syvyysmuunnoksenmäärittämiseen. Yleensä varjon syvyysarvoa kannattaa lisätä mieluumminliikaa kuin liian vähän. Tämä johtuu siitä, että leijuva varjo ei ole yleensä yhtähelposti havaittava virhe kuin väärä varjostuminen. Lisäksi kannattaahuomata, että yleensä suurellakaan syvyysarvojen työntämisellä ei olevaikutusta lankeavan varjon piirtymiseen. Toinen huomion arvoinen seikka on,että jyrkästi valoon päin kallellaan olevat tasot vaativat muunnosta enemmänkuin muut tasot. Tämä on otettu huomioon myös 3D-rajapintojensyvyysmuunnosfunktioissa. Esimerkiksi OpenGL:n glPolygonOffset-funktiollaon mahdollista määrittää myös kulman jyrkkyyden vaikutus. Muunnoksenmäärää voi myös vähentää sitä mukaa kun syvyyspuskurin bittileveys kasvaa.Tämän lisäksi Kilgard muistuttaa, ettei varjokartan pintojen sijaintia saamuuttaa kolmiulotteisissa muunnoksissa. Tällöin syvyysarvot eivät muutuperspektiivijaosta johtuen tasaisesti, eikä pinnan kulmaa valoon nähden voidaenää ottaa huomioon.Syvyysmuunnoksen lisäksi voidaan käyttää muitakin menetelmiä. Wang jaMolnar [1994] eivät kirjoita syvyyskarttaan valoon päin osoittavia pintoja, vaanvalosta poispäin osoittavat (kuva 19a). Tämä menetelmä takaa sen, että joitakinaivan ohuita esineitä lukuun ottamatta esineiden valoisa pinta näkyy oikein.Syvyystesti muuttuu siten, että muunnettu piste on valaistu, mikäli sen etäisyysvalosta on pienempi kuin varjokartassa olevan pisteen. Tämä menetelmäluonnollisesti vaatii, että kaikki näkymän esineet ovat suljettuja.Kuva 19. Syvyysarvojen määrittyminen Wangin ja Molnarin [1994] (a), Woon[1992] (b) sekä Weiskopfin ja Ertlin [2003] (c) menetelmissä. Nuolet osoittavat

40valon suunnan, harmaa on esine, ja musta väri osoittaa varjokartansyvyystasot.Andrew Woo [1992] kirjoittaa omassa menetelmässään varjokarttaankahden valoa lähimmän pinnan syvyyskeskiarvon (kuva 19b). Menetelmätoimii myös avoimilla malleilla, mutta silloin käytetään vain lähimpänä valoaolevaa pintaa, ja algoritmin hyöty häviää. Menetelmä on nykyisintoteutettavissa nk. syvyyskuorintamenetelmällä (depth peeling), jota käytetäänyleisemmin läpikuultavien tasojen toteuttamiseen [Everitt et al., 2001]. Woonmenetelmä vaatii enemmän piirrettävää kuin tavallinen varjokartta, koskasuljettujen mallienkaan tapauksessa piilopintojen poistoa ei voida käyttää.Weiskopf ja Ertl [2003] ovat havainneet tiettyjä tapauksia, joissa Woonalgoritmi tuottaa vääriä tuloksia. Erityisen hankalia alueita ovat mallien reunat,joissa eteen- ja taaksepäin osoittavat pinnat ovat lähellä toisiaan sekä jyrkästivaihtelevat pinnan suunnat, jotka aiheuttavat sen, että osa esineestä saattaajäädä virheellisesti varjostumatta. Heidän menetelmänsä parantaa Woonalgoritmia lisäämällä siihen myös mahdollisuuden normaaliinsyvyysmuunnokseen (kuva 19c). Muunnos lisätään lähimpänä valoa olevanpinnan syvyysarvoon ennen muunnetun pisteen vertailua. Kehittäjätsuosittelevat muunnoksen laskemista pistekohtaisesti pikselivarjostimessa.Tällöin syvyysarvoon lisätään joko käyttäjän itse määrittelemä vakiomuunnostai kahden valoa lähimmän pinnan etäisyys jaettuna kahdella. Pienempi näistäarvoista valitaan. Vakiomuunnoksen ansiosta menetelmä ei vaadi valostapoispäin osoittavien pintojen piirtämistä, vaan varjo pysyy aina varjostavanpinnan takana. Kun kaksi pintaa tulee hyvin lähelle toisiaan, varjolaskentatapahtuu niiden keskiarvoja käyttämällä, jolloin varjo pysyy niiden välissä, jamolemmat pinnat varjostuvat oikein. Koska syvyystaso normaalisti määrittyykahden valoa lähimmän pinnan keskiarvona, voidaan syvyysmuunnostakäyttää tavallista huolettomammin ilman välitöntä pelkoa varjon leijumisesta.Tämänkin menetelmän heikkoutena on tosin se, että varjokartta on piirrettäväkaksi kertaa.Brabec et al. [2002a] huomasivat, ettei varjokartan syvyysarvojen tarvitseolla perspektiivisiä. Kameranäkymässä se, että syvyysarvot ovat etualallatarkempia, on hyvin perusteltavissa sillä, että tällä alueella yksityiskohdatmyös näkyvät tarkemmin. Valojen kohdalla tilanne ei kuitenkaan ole sama. Onhyvin tavallista, että valosta katsottuna etäisimmät esineet ovat lähimpänäkameraa. Tällaisissa tapauksissa käy niin, että esineiden syvyysarvotvarjokartassa eroavat toisistaan vain vähän, aiheuttaen suuria ongelmiasyvyysarvojen vertailussa. Ratkaisuksi tarjotaan verteksivarjostimessa tehtävääoperaatiota, jossa z-koordinaatin arvoa ei lähetetäkään projektion läpi

41sellaisenaan, vaan sen arvo kerrotaan vektorin w-komponentilla. Tämäkompensoi leikkausavaruuden normalisoinnissa tapahtuvan w-koordinaatillajaon, ja tekee syvyysarvoista lineaarisia. Nyt syvyysarvot pysyvät yhtätarkkoina kaikilla varjokartan tasoilla. Menetelmän heikkoutena on, ettävirheellisen z-arvon interpolointi voi tuottaa ongelmia varsinkin suurtenmonikulmioiden kanssa [Wimmer et al., 2004].5.2.2. LaskostuminenLaskostuminen on kaikille bittikartoille ominainen ongelma. Koskatekstuureiden resoluutio on sidottu johonkin tiettyyn tarkkuuteen, kuvansuurentaminen johtaa siihen, että yksittäiset pisteet tulevat näkyviin aiheuttaennk. palikoitumisilmiön. Laskostumisen määrä riippuu siis käytettävänbittikartan koosta ja siitä, kuinka suurena se ruudulla näkyy. Ongelmaahelpottaa tekstuurien resoluution kasvattaminen, mutta käytännön syytprosessoritehon ja muistitilan suhteen sanelevat niiden koolle ylärajat.Laskostumisesta onkin lähes mahdotonta päästä kokonaan eroon, muttaerilaisia korjausmenetelmiä on kehitetty lukuisia. Huomio keskittyynimenomaan varjojen reunoihin, sillä ne ovat ainoa paikka joissa laskostumistailmenee.Stamminger ja Drettakis [2002] jakavat varjokarttoihin liittyvätlaskostumisongelmat kahteen ryhmään: projektiiviseen ja perspektiiviseen.Projektiivista laskostumista (projective aliasing) esiintyy tilanteissa, joissavarjon reuna osuu varjostettavaan pintaan hyvin loivassa kulmassa, javarjokartan pikselit venyvät sitä vasten. Perspektiivinen laskostuminen(perspective aliasing) taas johtuu siitä, että pieni osa varjokarttaa heijastetaanhyvin lähelle kameraa, jolloin näytöllä näkyvän kuvan tarkkuus on paljonsuurempi kuin varjon. Tätä esiintyy lähinnä sellaisten esineiden kohdalla, jotkaovat kaukana valosta, mutta lähellä kameraa. Tällöin, perspektiivisestävääristyksestä johtuen, esine näkyy valosta katsottuna vain pienenä, ja senvarjoon käytetään vain vähän varjokartan pikseleitä. Kameran näkökulmastakatsottuna varjo sen sijaan täyttää suuren osan näkökenttää, ja tällöin varjonyksittäiset pikselit tulevat selvästi näkyviin. Laskostumisesta on annettu myösformaali esitys (kuva 20) [Stamminger and Drettakis, 2002], jonkaymmärtäminen auttaa sisäistämään myöhemmin käsiteltäviäkorjausmenetelmiä.

42Kuva 20. Laskostumisen formaali esitys [Stamminger and Drettakis, 2002].Kuvassa ds on varjokartan pikseli, joka langettaa varjon varjostettavaanpintaan etäisyydellä rs ja kulmassa . Pisteen koko on tässä kohdassa dsrs/cos. Tämän pohjalta voidaan laskea, minkä kokoisena piste näkyy kamerannäkökentän etureunassa. Mikäli tämä koko, d, on suurempi kuin väripuskurinpikselin koko, varjokartan pikseli kattaa useamman väripuskurin pisteen, jatästä seuraa laskostumista. Kun varjokartan resoluutiota kasvatetaan, ds:n jasitä kautta myös d:n koko pienenee, ja laskostuminen vähenee. Jatkon kannaltaon myös hyvä huomata, että jos valo on suunnattu, eli sillä ei ole perspektiiviä,sen säde on koko matkaltaan ds:n paksuinen. Tällöin rs:n arvolla ole merkitystä.Jo aiemmin todettiin projektiivista laskostumista syntyvän, kun varjonreuna osuu varjostettavaan pintaan hyvin loivassa kulmassa. Kuvan perusteellavoidaankin todeta, että mitä suuremman arvon cos /cos saa, sitä pahempaaprojektiivinen laskostuminen on. Perspektiivinen laskostuminen puolestaan onsitä suurempi, mitä suuremman arvon dsrs/ri saa. Ihannetilanne olisi sellainen,missä ds ja d olisivat kaikissa pisteissä samat. Tähän aiheeseen palataan luvussa5.4.3.Kummallekin laskostumistyypille on omat, tosin hyvin pitkälle toisiaantukevat, korjausmenetelmänsä. Lisäksi, muiden bittikarttojen tavoin, myösvarjokarttojen kohdalla voidaan käyttää suodatusta näkyvien reunojenpehmentämiseen. Tämä ei kuitenkaan ole aivan niin yksinkertaista kuintavallisten tekstuurien kanssa.

435.3. Varjokartan suodattaminenTavallisten bittikarttakuvien pisteiden arvot suodatetaan tietyn alueennäytteiden perusteella. Näistä tekstikartoista rakennetaan usein nk. mipmap,joka tallentaa kuvasta versioita eri tarkkuuksilla. Syvyyskartalle vastaavaasuodatusta ei kuitenkaan voi tehdä, koska se sotkisi syvyysarvot aiheuttaenvarjotarkastelujen epäonnistumisia. Varjostusarvokartalla tätä rajoitusta ei ole,joten sitä voidaan suodattaa vapaasti. Mm. Daniel Scherzer [2005] ehdottaaensin generoimaan koko varjostusarvokartan, ja tämän jälkeen pehmentämäänsen varjoalueiden reunat väripuskurissa. Tämä on kuitenkin kankea ja hidastapa. Lisäksi se vaatii erilaista pehmennystä eri etäisyyksillä oleville alueille,koska tasainen suodatus sotkee kaukana olevien varjojen yksityiskohdat.Prosenttisuodatin (percentage closer filter) [Reeves et al., 1987] suodattaavarjostusarvokartan vertaamalla muunnetun pisteen syvyyttä myös vastaavanvarjokarttapikselin naapureihin. Varjostusarvo muodostetaan sen mukaan,kuinka suuri osa pikseleistä on pisteen edessä (kuva 21). Kuvan esimerkissämuunnettu piste on etäisyydellä 49.8. Normaalisti valaistusarvokarttaantallennettaisiin siis arvo 1, koska syvyystarkastelu osoittaa muunnetun pisteenolevan kokonaan varjossa. Prosenttisuodatin kuitenkin vertaa syvyysarvoonmyös ympäröiviä pikseleitä, ja muodostaa lopullisen varjostusasteenvalaistujen naapuripisteiden osuutena välillä 0-1. Prosenttisuodatin ei siisvarsinaisesti tee mitään laskostumisen syille, vaan ainoastaan pehmentäävalaistusarvokarttaa sen verran, että palikat varjojen reunoilla pehmenevät.Kuva 21. Prosenttisuodattimen toiminta K:n arvolla 1. Vasemmalta lähtienvarjokartta, jonka pohjalta syvyystarkastelu tehdään, naapuripikseleidenvarjostusarvot muunnetun pisteen suhteen, ja viimeisenä siitä suodatettulopullinen varjostusarvo [Reeves et al., 1987].Suodattimelle voidaan antaa arvo K sen mukaan, kuinka suurelta alueeltase näytteitä hakee. Suuret K:n arvot johtavat pehmeämpiin reunoihin, mutta

44luonnollisesti myös hidastavat algoritmin suorittamista. Menetelmässä voidaansoveltaa myös satunnaisotantaa, jossa kaikkia K:n alueella olevia pisteitä eihyödynnetä, vaan poimitaan niistä enemmän tai vähemmän satunnaisesti vaintietty osa. Varsinkin suurilla K:n arvoilla prosenttisuodatinta on käytetty myösluomaan illuusiota puolivarjoista, mutta vaikka reunat pehmentyvätkin, ei tällämenetelmällä ole tietenkään mitään tekemistä todellisten puolivarjojen kanssa.Nykyisin prosenttisuodattimen käyttö on automaattinen toimenpidekäytännössä kaikissa sisäisesti varjokarttoja tukevissa näytönohjaimissa.Donnelly ja Lauritzen [2006] ymmärsivät menetelmän perusluonteen siten,että se itse asiassa käyttää K:n alueella olevien syvyysarvojen jakaumaa. Tämäinnoitti heitä kehittämään uuden, todennäköisyyslaskentaan perustuvantekniikkansa, varianssivarjokartan (variance shadow map). Perusajatus on ollavälittämättä yksittäisistä varjokartan pisteistä, ja perustaa syvyystarkastelu sensijaan syvyysjakaumille. Aluksi luodaan kaksi syvyyskarttaa. Ensimmäisenpisteisiin tallennetaan ympäröivien pikseleiden syvyyskeskiarvot, jajälkimmäiseen keskiarvojen neliöt. Molemmat kartat voidaan laskemisenjälkeen suodattaa vapaasti. Valaistustarkastelua tehtäessä menetelmä käyttäätodennäköisyyslaskennan sääntöjä (mm. Tšebyševin epäyhtälöä)varjostusasteen määrittämiseen. Tarkka matemaattinen kuvaus löytyy mm.Donnellyn ja Lauritzenin [2006] tekstistä. Kevin Meyers [2007] antaamenetelmästä konkreettisen kuvauksen koodiesimerkkeineen.Varianssivarjokarttojen suurin vahvuus on se, että niitä voidaan suodattaakäytännössä vapaasti. Lisäksi niistä voidaan rakentaa mipmappejatehokkaamman syvyysvertailun saavuttamiseksi. Kumpikaan ei olemahdollista prosenttisuodattimen yhteydessä. Kuten monet muutkinmatemaattisesti monimutkaiset menetelmät, varianssivarjokartat kärsivätkuitenkin numeerisista epätarkkuuksista, jotka aiheuttavat mm. valojenvuotamista. Varsinkin 16 bittisillä syvyyspuskureilla tämä on ollut jossainmäärin merkittävä ongelma, mutta kehittäjät uskovat, että jatkossa operaatiotvoidaan tehdä 32 bittisellä puskurilla, jolloin ongelma saadaan kuriin.Varianssivarjokartat saattavatkin jossain vaiheessa syrjäyttääprosenttisuodattimen, joten niiden olemassaolosta on hyvä olla tietoinen.5.4. Laskostumisen korjaaminenEdelliset menetelmät parantavat varjojen laatua pehmentämällä niiden reunoja.Tämä ei kuitenkaan ole tarpeeksi, mikäli varjokartan pikselit piirtyvät ruudullehuomattavan suurina. Varjokartta ja kamera onkin pystyttävä kohdentamaansiten, että laskostumiseen johtavat tilanteet kävisivät mahdollisimmanharvinaisiksi.

45Tärkein asia varjon kohdistamisessa on se, että pyritään minimoimaanvarjokarttaan jäävän hukkatilan määrä [Brabec et al., 2002a]. Hukkatilallatarkoitetaan sellaisia alueita, jotka eivät vaikuta kameranäkymään. Näitä ovatesimerkiksi kameran näkökentän ulkopuolelle jäävät alueet. Scherzer [2005]muistuttaa lisäksi, että näkökentän perusteella laskettava varjon projektioalueei riitä, sillä nykyisissä sovelluksissa näkökenttä on usein erittäin suuri tai jopaääretön. Näin on päätettävä tarkemmin, mitkä osat näkökentän sisältä otetaanmukaan käsittelyyn.Brabec et al. [2002a] projisoivat näkymän keskeiset pisteet valon näkymään,ja laskevat lopullisen varjokarttaan piirrettävän alueen analyyttisesti. Tämätakaa hyvin tiiviin näkökentän ja vain vähän hukkatilaa. Toinen heidänesittelemänsä tapa muistuttaa hieman Lengyelin [2002] menetelmää, jokaesiteltiin luvussa 4.3.1. Siinä ruudulle projisoidaan ainoastaan näkymänkeskeiset esineet kapseloivat tilavuudet, ja lasketaan varjokartan ääripisteetniiden mukaan. Kapselointi ei tällä jälkimmäisellä tavalla ole yhtä tiukka,mutta varsinkin näkymät, jotka sisältävät paljon monimutkaisia esineitä,hyötyvät tämän pienen epätarkkuuden tuomasta lisätehosta. Samassa tekstissämuistutetaan myös syvyyssuunnan kapseloinnista, ja sen huomattavastahyödystä syvyysarvojen tarkkuuden kanssa. Nämä menetelmät ovat hyvä alkulaskostumisen ehkäisemiseen, mutta ne eivät varsinkaan suurissa näkymissävielä riitä tarkentamaan varjoja riittävästi.Muut korjausmenetelmät voidaan jakaa kahteen ryhmään: niihin joissasuuri varjokartta pilkotaan pienempiin osiin ja niihin, joissa karttaavääristetään. Molempien tarkoituksena on taata parempi resoluutio varjokartantärkeille alueille. Vain ensin mainitut auttavat projektiiviseen laskostumiseen,jälkimmäisten keskittyessä korjaamaan perspektiivisyydestä johtuvatvarjokartan epätarkkuudet. Projektiivinen laskostuminen ei ole ratkaistavissayleispätevästi, vaan vaatii aina näkymän analysointia [Wimmer et al., 2004].Ainoaksi tavaksi jääkin pyrkiä löytämään varjojen reuna-alueet, ja ratkaistaongelma niitä tarkentamalla. Perspektiivisessä laskostumisessa tilanne ei oleaivan näin paha, vaan ongelmaan on kehitetty yleispäteviäkin ratkaisumalleja.5.4.1. Mukautuva varjokarttaMukautuva varjokartta (adaptive shadow map) [Fernando et al., 2001] edustaatämän tutkielman kentässä poikkeustapausta sikäli, ettei sitä ole vielä kovinonnistuneesti pystytty käyttämään reaaliaikaisissa sovelluksissa. Tästähuolimatta sen asema on tärkeä, koska se, ja siitä edelleen kehitetyt menetelmätovat ainoita, jotka pystyvät tehokkaasti ehkäisemään sekä projektiivista ettäperspektiivistä laskostumista [Lefohn et al., 2007].

46Projektiivista laskostumista voidaan korjata ainoastaan nostamallavarjokartan resoluutiota niissä kohdissa, missä palikoituvia reunoja ilmenee.Laskostumisen havaitsemiseksi täytyy pystyä jotenkin selvittämään, minkäkokoisena kukin varjon piste näkyy kamerasta katsottuna. Tämä olisiperiaatteessa tehtävissä Stammingerin ja Drettakisin [2002] kaavalla (kuva 20),mutta sen soveltaminen jokaiselle pikselille olisi liian hidasta reaaliaikaiseenkäyttöön. Mukautuva varjokartta tarjoaa menetelmään ratkaisun, jokahyödyntää ovelalla tavalla näytönohjainten toiminnallisuutta.Mukautuva varjokartta tallentaa laskostumisen osalta kriittiset kohdatsuuremmalla resoluutiolla kuin sellaiset kohdat, joissa laskostumisen vaaraa eiole. Tämä toteutetaan tallentamalla varjokartta yhden suuren kuva sijastapuumaiseen rakenteeseen (kuva 22). Kartan hierarkian juurisolmuna ontavallinen, melko pienellä resoluutiolla kuvattu varjokartta. Solmu on jaettuneljään soluun. Mikäli solussa ei ole laskostumisen kannalta kriittisiä alueita,varjostukseen voidaan käyttää juuren tekstikarttaa. Jos taas solun alueellavaaditaan tarkempaa varjoa, soluun kiinnitetään uusi solmu, joka onrakenteeltaan juuren kaltainen. Uusi solmu sisältää tekstikartan, johonpiirretään juuren solua vastaavan neljänneksen alue paremmalla resoluutiolla.Mukautuvan varjokartan rakenne on puumainen hierarkia, eli kaikki solutvoivat sisältää edelleen uusia lapsia.Kuva 22. Mukautuva varjokartta. Vasemmalla tarkennetut alueet, ja oikeallaniistä rakennettu puurakenne [Lefohn et al., 2005].Mukautuva varjokartta voidaan sitoa tiettyihin tehokkuus- jamuistivaatimuksiin, jolloin hierarkiaa kasataan vain niin kauan kunnes asetetutrajat ovat tulleet vastaan. Näin puumallin rakentamiseen kuluva aika voidaanrajoittaa tarvittaessa jopa reaaliaikaisuuden vaatimalle tasolle. Mitätiukemmiksi rajat asetetaan, sitä heikompi on varjojen laatu. Tehokkuuden

47saavuttamisessa auttaa myös menetelmän progressiivinen luonne. Hierarkiaa eitarvitse rakentaa joka kerta alusta saakka (ellei näkymä muutu täydellisesti),vaan menetelmä pitää kirjaa rakenteen osien käyttötiheydestä, ja poistaa niitämahdollisesti tarvittavien uusien solmujen tieltä. Tämän ansiosta menetelmänon helppo mukautua erilaisiin muistivaatimuksiin: poistamalla tarpeettomiksikäyneitä solmuja voidaan vapauttaa tilaa uusille, jolloin aiemmin lasketut jaedelleen käytössä olevan solmut voidaan pitää muistissa. Kehittäjät tarjoavatoman yksinkertaisen heuristiikkansa määrittämään sen, milloin uusi solmu onlisättävä ja vanhoja poistettava [Fernando et al., 2001].Mukautuvien varjokarttojen ongelmana on niiden raskaus. Pullonkauloiksinousevat varsinkin laskostuvien reuna-alueiden tunnistaminen sekähierarkkisen tietomallin ylläpito, joka tekstuurien käsittelyn vuoksi vaatiikäytännössä yhteistyötä näytönohjaimen kanssa. Lisäksi mukautuvavarjokartta on riippuvainen kameran sijainnista, eli se on yleensä laskettavaainakin osittain uudelleen kun kamera liikkuu.Epätarkkojen reuna-alueiden löytämisessä suurin ongelma on selvittää,kuinka suurena mikäkin varjokartan piste kamerassa näkyy. Fernando et al.[2001] selvittävät tämän käyttämällä hyväksi näytönohjainten mipmaptekniikkaa.Näytönohjaimen piirtologiikka pyrkii aina löytämään kullekinsyvyystasolle mahdollisimman sopivan mipmap-tason välttääkseen kuvienturhaa skaalaamista. Tätä ominaisuutta voidaan hyödyntää luomalla tekstuuri,jonka jokaisen mipmap-tason väriarvoiksi kirjoitetaan kyseisen tasonresoluutio. Varjokartta piirretään käyttäen luotua tekstikarttaa esineidenpäällystämiseen. Koska näytönohjain automaattisesti käyttää sellaista mipmaptasoajossa skaalaamista tarvitaan vähiten, kunkin pisteen koko globaalissakoordinaatistossa on nyt luettavissa pikselin väriarvosta. Kun näkymääpiirretään kameran näkökulmasta, voidaan varjostusta laskettaessa tarkastaa,onko varjokartan pikseli riittävän tarkka. Mikäli näin ei ole, lasketaankäsiteltävän pisteen sisältävälle solulle uusi solmu, jossa varjoalue onpiirrettynä tarkemmin. Menetelmä on mielenkiintoinen, mutta lievästäepämääräisyydestään johtuen, se voi toisinaan hukata varjojen reunojavarsinkin hyvin yksityiskohtaisten mallien kohdalla [Lefohn et al., 2007].Lisäksi uusien karttojen piirtäminen hierarkiaan on raskasta varsinkin, jospiirrettävä näkymä muuttuu paljon.Menetelmän vaatimat tietorakenteet on saatu hiljattain toteutettua suureltaosin myös näytönohjaimella [Lefohn et al., 2005], mikä tekee mukautuvistavarjokartoista entistä paremman vaihtoehdon reaaliaikaisuuden näkökulmasta.Riittävää tehokkuutta ja tarkkuutta ei silti vieläkään ole kyetty saavuttamaan[Zhang et al., 2006a]. Viimeisin yritys mukautuvien varjokarttojen

48tehostamiseksi on Lefohnin et al. [2007] kehittämä malli, joka perustuuhierarkian kasaavien iteraatiokierrosten optimoinnille, ja näytönohjaintenparemmalle hyväksikäytölle. Uusi menetelmä pääsee kehittäjiensä mukaan jolähelle sitä tehoa, minkä reaaliaikasovellukset vaativat. Tämä antaisi merkkejäsiitä, että lähivuosina mukautuvat varjokartat saattavat tulla suositummaksikuin ne nyt ovat.5.4.2. Perspektiiviset varjokartatTarkemman varjon piirtämiseksi lähelle kameraa ei välttämättä tarvitasuurempaa resoluutiota. Vaihtoehtona on piirtää varjokartta siten, ettäkameran näkökentän etualalla olevat varjot saavat varjokartasta käyttöönsäsuuremman osan kuin takana olevat. Kuten jo aiemmin todettiin,projektiomatriisi vääristää näkymää suurentamalla kameran lähellä oleviamalleja suhteessa takana oleviin. Stamminger ja Drettakis [2002] ymmärsivätsoveltaa tätä havaintoa varjojen tarkentamiseen. He nimesivät menetelmänsäperspektiiviseksi varjokartaksi (perspective shadow map).Perspektiivinen muunnos siirtää kaikki näkökentässä sijaitsevat kärkipisteetnormalisoituun koordinaatistoon välille [-1,1]³ siten, että esineet kasvavatkuution etureunaa lähestyttäessä. Stammingerin ja Drettakisin [2002]ajatuksena on siirtää näkymä ja valo ensin kameran normalisoituunavaruuteen, ja piirtää varjokartta vasta siellä. Täten lähellä kameraa olevatesineet näkyvät suurempina, ja niille tuotetaan tarkempi varjo kuin kamerastakaukana oleville. Toteutus on periaatteessa yksinkertainen: muunnetaannäkymän kärkipisteet normalisoituun avaruuteen kameran matriiseilla, jatehdään tämän jälkeen sama globaalissa koordinaatistossa määritellylle valolle.Nyt varjokartan luominen ja piirtäminen käy samalla tavalla kuin ennenkin.Lopputuloksena kameran lähellä olevat varjot piirtyvät tarkemmin kuinnormaalisti. Tarkkuus on pois näkökentän takareunoilla sijaitsevista varjoista,mutta niiden kohdalla yleensä riittääkin pienempi resoluutio (kuva 23).Kuva 23. Vasemmalla näkymä varjostettuna tasaisella varjokartalla, oikeallasama perspektiivistä varjokarttaa käyttäen [Stamminger and Drettakis, 2002]

49Ongelmaksi muodostuu kuitenkin se, että koska valo kerrotaanprojektiomatriisilla, myös w-komponentti voi muuttua. Täten äärettömästäsijainnista voi tulla äärellinen ja toisinpäin. Tämä vaikuttaa valon tyyppiin:suunnattu valo voi muuttua kohdevaloksi, ja kohdevalo suunnatuksi valoksi.Projektio myös siirtää kaikki kameran takana olevat valot äärettömyyteennäkökentän toiselle puolelle. Stamminger ja Drettakis [2002] huomauttavat, ettäjälkimmäinen tilanne saadaan korjattua kirjoittamalla varjokarttaan valostakauimpana olevien pisteiden syvyysarvot. Tarkempi analyysierikoistapauksista löytyy Stammingerin ja Drettakisin tekstistä.Mikäli valolla on muunnoksen jälkeen äärellinen sijainti, voi laskostumistaesiintyä edelleen. Kaikkein pahimmillaan tilanne on silloin, kun suunnattu valopaistaa kaukaa edestä suoraan kameraa kohti. Tällöin lähellä kameraasijaitsevat esineet ovat perspektiiviseksi muuttuneesta valosta katsottuna hyvinpieniä, ja varjon tarkkuus laskee tasaisten varjokarttojen tasolle. Tätä tilannettakutsutaan taistelevien näkökenttien (duelling frusta) ongelmaksi, ja se onhankala tilanne kaikille varjokartta-algoritmeille. Parhaat tapaukset ovat ne,jolloin pistevalo sijaitsee samalla xy-tasolla kuin kamera, tai kun suunnattu valoosuu näkökenttään kohtisuorassa katseen suuntavektoriin nähden (kuva 24).Näissä tilanteissa laskostuminen voidaan välttää täysin, ja jälkimmäinen tilanneonkin toiminut lähtökohtana hieman myöhemmin esiteltäville menetelmille.Kuva 24. Tilanne jossa suunnattu valo paistaa näkökenttään kohtisuorassa.Tässä tilanteessa laskostumista ei esiinny lainkaan [Stamminger and Drettakis,2002].Aiemmin todettiin, että projektio siirtää kameran takana olevat valotnäkökentän toiselle puolelle. Sama koskee myös esineitä. Tämä aiheuttaavirheen, jos kameran takana oleva esine langettaa varjon kameran eteen.Äärettömän kauas näkökentän eteen siirtyvä esine häviää valon näkökentästä,ja sen varjo jää langettamatta. Stammingerin ja Drettakisin [2002] ratkaisu on

50luoda virtuaalinen kamera (kuva 25), jota käytetään varjokartan luontiin, muttaei itse näkymän piirtämiseen. Se luodaan globaalissa koordinaatistossaliikuttamalla oikean kameran sijaintipistettä taaksepäin niin kauan, että kaikkivalon, kameran ja koko näkymän leikkauksessa sijaitsevat esineet mahtuvat sensisään. Tämä varjostaa viimeisetkin ongelmaesineet, mutta samalla on syytähuomata, että varjon laatu kameran etualalla heikkenee.Kuva 25. Virtuaalinen kamera, joka kapseloi kaikki varjostavat esineet[Stamminger and Drettakis, 2002].Perspektiivisen varjokartan periaate toimii hyvin, mutta menetelmä sisältäämyös ikäviä piirteitä. Wimmer et al. [2004] kiinnittivät huomionsa menetelmänongelmiin. Monet erikoistapaukset tekevät siitä varsin monimutkaisentoteutettavan, eikä näkymän käsittely normalisoidussa koordinaatistossa oleluontevaa. Myös virtuaalisen kameran luominen on epätriviaali tehtävä, japahimmassa tapauksessa se laskee varjon laatua merkittävästi. Lisäksimenetelmä korostaa usein liikaa näkökentän etualalla olevia esineitä, jollointaaempana olevien varjojen tarkkuus kärsii. Näiden ongelmien lisäksiprojektiivinen varjokartta on laskettava uudelleen aina kun kamera liikkuu, japerspektiivin muunnos myös pahentaa syvyyspuskurin epätarkkuuteenliittyviä ongelmia.5.4.3. Vääristyksen määrittäminenPerspektiivisen varjokartan ongelmien jälkeen on syytä perehtyä tilanteeseen,jossa sen hyvät ominaisuudet tulevat parhaiten esiin. Aiemmin mainittiin, ettälaskostuminen poistuu kokonaan tilanteessa, jossa suunnattu valo paistaanäkökenttään kohtisuorassa kameran suuntavektoriin nähden. Wimmer et al.[2004] käyttivät tätä tilannetta apunaan kehittäessään Stammingerin jaDrettakisin [2002] menetelmää edelleen. Heidän lähtökohtansa on, etteivarjokarttaa välttämättä tarvitse vääristää kameran näkökentän mukaan, kutenvirtuaalinen kamera jo aiemminkin osoitti. Sen sijaan kameran näkymä voidaankapseloida toiseen näkökenttään, jonka etu- ja takareunat ovat samansuuntaisiavalon suuntavektoriin nähden (kuva 26).

51Kuva 26. Virtuaalisen näkökentän määrittäminen valonavaruudessa. l on valon,ja v kameran suuntavektori. B on kameran näkökenttä, ja p on piste, jonkaavulla virtuaalista näkökenttää voidaan säätää [Wimmer et al., 2004].Kun varjokarttaa vääristetään tämän uuden näkökentän mukaan, voidaanaina olla varmoja, että valo paistaa siihen kohtisuorassa. Samalla voidaanvälttää perspektiivisen varjokartan erikoistapaukset. Tämä johtuu siitä, ettäkoska virtuaalinen näkökenttä koostetaan aina suhteessa valoavaruuteen, valonon oltava tyypiltään suunnattu. Valon kääntymistäkään ei enää tapahdu.Näkökentän määrittely aloitetaan luomalla tilavuus, joka sisältää sekäkameran näkökentän että kaikki tarvittavat varjostavat esineet. Tämän jälkeenluodaan virtuaalinen näkökenttä, joka puolestaan kapseloi sisäänsä edellämainitun tilavuuden ja jonka y-akseli on vastakkaissuuntainen valonsuuntavektoriin nähden. Nyt jäljellä on enää viimeinen, ja vääristyksenkannalta keskeisin vaihe: oikean etäisyyden määrittäminen virtuaalisennäkökentän huippupisteestä etutasolle.Varjokartan vääristymistä voidaan säätää liikuttamalla virtuaalisennäköpisteen kärkeä p eteen- tai taaksepäin, pitäen näkökentän etutasopaikallaan. Etäisyyttä pisteen ja etutason välillä merkitään n’:llä. Vääristyminenperustuu siihen, että varjokartan pinta globaalissa avaruudessa on ainasamansuuntainen kuin näkökentän xz-taso. Vääristys kohdistuu tätennimenomaan tälle tasolle. Tarkasteltaessa tilannetta, jossa kameran näkökenttäon samansuuntainen kuin virtuaalinen näkökenttä, voidaan havaitavääristysten vaikutus. Jos p viedään taaksepäin äärettömyyteen, tuloksena ontasainen varjokartta (kuva 27a). Mikäli p taas on sama kuin kameransijaintipiste, tuloksena on Stammingerin ja Drettakisin [2002] esittelemä

52vääristys (kuva 27b). Valoavaruudessa määritelty näkökenttä antaamahdollisuuden säätää vääristymää portaattomasti (kuva 27c).Kuva 27. Vääristymät valonlähteestä nähtynä: tasainen varjokartta (a),perspektiivinen varjokartta (b) ja valoavaruudessa määritelty varjokartta (c). n’on pisteen p etäisyys virtuaalisen näkökentän etureunasta. Valoavaruudessamääritetyssä kartassa se määräytyy vapaasti (n’LSPSM), ja perspektiivisessävarjokartassa se on sama kuin kameran etutason etäisyys n [Lloyd et. al., 2006].Arvo n’:lle voidaan valita vapaasti kameran sijaintipisteen jaäärettömyyden välillä. Wimmer et al. [2004] tutkivat kirjoituksessaan erilaisiatapoja laskea sille ihannearvo, joka tuottaisi aina mahdollisimman laadukkaatvarjot. Koska valo on suunnattu ja paistaa näkökenttään kohtisuoraan ylhäältä,Stammingerin ja Drettakisin [2002] kaavasta (ks. kuva 20) voidaan mitätöidärs:n merkitys. Ideaalitilanne olisi siis se, että d ja ds olisivat aina yhtä suuret.Wimmer et al. [2004] osoittavat tämän ratkaisemisen logaritmiseksiongelmaksi. Logaritmiset vääristymät eivät taas näytä oikeilta, koskanäytönohjaimet eivät tue logaritmisia interpolaatioita (ks. luku 5.1.2).Kirjoittajat päätyvät esittämään n-arvon laskemiseksi seuraavaa kaavaa, jossazn ja zf ovat etäisyyksiä kamerapisteestä kameran etu- ja takareunaan, ja onkulma valon ja kameran suuntavektorien välillä:.Joitakin satunnaistilanteita lukuun ottamatta, tämän kaavan todettiinantavan paras kompromissi eri syvyyksissä esiintyvien varjojen tarkkuuteen.Vääristyksen vaikutus kuitenkin vähenee kun valo ei enää ole kohtisuorassakatsevektoriin nähden. Pahimmillaan tilanne on silloin, kun valo ja kameraosoittavat toisiaan kohti, jolloin perspektiivistä vääristymistä ei enää tapahdu.Varjokarttojen muuntamista valoavaruudessa on tutkittu paljon. Mm. Lloyd etal. [2006] ja Zhang et al. [2006b] analysoivat vääristymien käyttämistä eritilanteissa hyvin perinpohjaisesti.

53Vääristymisen määrittelyyn voi toki käyttää muitakin menetelmiä kuinvirtuaalista näkökenttää. Chongin ja Gortlerin [2004] menetelmässä onmahdollista valita pieni määrä tasoja, joilla varjokartan pikselin voidaanperiaatteessa taata vastaavan tasan yhtä kameran pikseliä. Menetelmä onjossain määrin raskas, sillä se vaatii erillisen varjokartan piirtämistä jokaistamääriteltyä tasoa varten. Tästä, ja muista pienistä ongelmistaan huolimatta seon hyvä vaihtoehto esimerkiksi seinien ja lattioiden kaltaisten esineidenvarjostamiseen. Toinen paljon suosiota saanut menetelmä on Martinin ja Tanin[2004] kehittämä vääristysmalli, missä kameran näkökentän kärkipisteetprojisoidaan valoon ja niiden avulla muodostetaan pisteet kapseloivapuolisuunnikas. Muuntamalla valokartta tähän nk. t-avaruuteen voidaankameran näkökentän ulkopuolelle jäävä hukkatila poistaa lähes kokonaan.Menetelmän avulla saadaan vähennettyä myös kaikkiin vääristysmenetelmiinliittyvää varjojen reunojen väreilyä, jota esiintyy varjon tarkkuuden muuttuessapitkin näkökenttää.Kaikkien vääristyksiin perustuvien menetelmien kohdalla on oltavatarkkana syvyyspuskurin tarkkuuden kanssa. Vääristymästä johtuen ongelmaon niissä paljon suurempi kuin tasaisten varjokarttojen kohdalla. Varsinkinpuolisuunnikkaan määrittelemään t-avaruuteen muunnettuina kärkipisteidensyvyydet puristuvat käytännössä samoiksi [Martin and Tan, 2004]. Menetelmänkehittäjät kehottavatkin käyttämään Brabecin et al. [2002a] esittelemiälineaarisia syvyysarvoja.5.4.4. Näkökentän jakaminenVarsinkin suurten näkymien kohdalla, joissa näkymä ulottuu kauas ja valo onsuunnattua, on yleensä parasta jakaa näkökenttä pienempiin osiin. Tämä jakovoidaan tehdä monella tavalla [Lloyd et al., 2006], mutta tässä tutkielmassakäydään läpi näkökentän pilkkominen sen syvyysakselia pitkin. Tällöinmenetelmään pystytään kätevästi soveltamaan myös valoavaruudessamääriteltyjä perspektiivisiä varjokarttoja. Näkökentän pilkkominen muistuttaajossain määrin mukautuvaa varjokarttaa, mutta iteratiivisen, varjojen reunoihinkohdistuvan tarkentamisen sijaan siinä luodaan vain yksitasoinen jakosuhteessa kameraan.Kuten jo aiemmin todettiin, laskostumisen kannalta täydellisen tilanteen(jossa valon ja kameran pisteet ovat kaikkialla samankokoiset) ratkaiseminenon logaritminen ongelma, eikä sovellu näytönohjainten piirtorutiineihin.Näkökentän pilkkomisella useisiin syvyystasoihin voidaan kuitenkin estimoidatätä tilannetta [Zhang et al., 2006a]. Tadamura et al. [2001] käyttivätsyvyysarvojen mukaan pilkkomista ensimmäisinä, mutta sittemmin Zhang etal. [2006a] ovat kehittäneet menetelmää eteenpäin. Tadamuran et al. [2001]

54menetelmä mm. määrittää näkökenttää leikkaavat tasot monimutkaisinlaskutoimituksin, käyttää vaihtelevan kokoisia varjokarttoja ja vaatii erillisenpiirtokerran jokaiselle näkymän osalle. Uudempi menetelmä on päässyt eroonnäistä kaikista ongelmista. Se myös olettaa, että päävalonlähde on ainasuunnattu. Tämä ehto saavutetaan määrittelemällä leikeltävä näkökenttäsuhteessa valoon.Menetelmä alkaa näkökentän pilkkomisella syvyysakselia pitkin. Tämänjälkeen sen jokaiselle osalle määritetään oma varjokartta, joka kattaa vainkulloisenkin näkökentän osan. Varjokartat piirretään tavalliseen tapaan.Piirtokertoja tulee useita, mutta siitä ei ole merkittävää haittaa, koska piirtokohdistuu kulloinkin vain yhteen näkökentän osaan, eikä samaa kohtaakoskaan piirretä kahdesti. Kameranäkymän piirto toimii lähdes normaaliintapaan. Ainoa muutos tavalliseen on se, että on selvitettävä varjokartta, mihinpiste kuuluu.Kuva 28. Pilkottu näkökenttä. Oikealla ylhäällä normaali varjokartta, alhaallapilkkomismenetelmällä syntyneet varjokartat. c0-c3 ovat näkökentän osien (V1-V3) pilkkomiseen käytetyt etäisyydet kamerasta (n on etureuna ja f takareuna)[Zhang et al., 2006a].Zhang et al. [2006a] vertailevat kolmea eri tapaa, millä näkökenttä voidaanjakaa: tasaisesti, logaritmisesti tai käytännöllisesti. Kaksi ensimmäistä vastaavatominaisuuksiltaan tasaista ja perspektiivistä varjokarttaa. Tasainen jako pilkkoonäkökentän osat samankokoisiin osiin, mikä johtaa varjojen epätarkkuuteenkameran lähellä. Logaritminen tapa taas on tarkka edessä, mutta taaemmaksimentäessä varjojen laatu heikkenee liian nopeasti. Kehittäjien suosittelema ns.käytännöllinen jakoperuste on kahden edellisen keskiarvo, johon on vielä

55lisätty ylimääräinen muunnos käytännön sanelemien säätöjen tekemiseen.Tämän menetelmän avulla näkökentän jakaminen käy helpommin kuinesimerkiksi Tadamuran et al. [2001] menetelmän monimutkaisillalaskutoimituksilla.Kun näkökenttä on pilkottu, sen jokaiselle osalle luodaan omavarjokarttansa, joiden koko on periaatteessa vapaavalintainen. Kutakin kuvaapiirrettäessä asetetaan kamera siten, että sen näkökenttä kapseloimahdollisimman tiukasti vain sellaiset esineet, jotka langettavat varjoanäkökentän käsiteltävälle osalle. Tämä vaihe mahdollistaa hukkatilanminimoinnin paremmin kuin yksi koko näkymän kattava varjokartta (kuva 28).Voi myös käydä niin, ettei näkökentän alueella ole yhtään varjostettavaaesinettä. Tällöin varjokartta voidaan jättää kokonaan piirtämättä.Kameranäkymän piirtäminen tapahtuu kuten normaalistikin, mutta nytkutakin pistettä kohti täytyy ensin selvittää oikea varjokartta. Tämä voidaantehdä joko piirtämällä jokainen näkökentän osa erikseen [Tadamura et al.,2001], tai käyttämällä pikselivarjostinta päättämään oikea varjokartta pisteensyvyysarvon perusteella. Siellä kartan selvittäminen on yksinkertainensyvyysvertailutoiminto. Täytyy kuitenkin muistaa, että pisteiden syvyysarvotovat nyt välillä 0-1, mikä tarkoittaa, että näkökentän leikkaustasojensyvyysarvot on vertailua varten muunnettava ensin tähän koordinaatistoon.Zhang et al. [2006a] antavat esimerkin Direct3D-ympäristölle. Usein käy niin,että jokin esine ylittää leikkaustason, ja on täten kahden tai useammannäkökenttäosan alueella samaan aikaan. Tadamura et al. [2001] menetelmällätämä vaati käytännössä ylimääräisten leikkaustasojen määrittelyä, muttapikselivarjostimien ansiosta niitä ei tarvita, ja näkymä tarvitsee piirtää vainkerran.Näkökentän jakamisella saavutetaan siis monia etuja. Se sopii täydellisestiyhteen varjokarttojen vääristysmenetelmien kanssa, ja auttaa myösratkaisemaan niihin liittyviä ongelmia. Esimerkiksi taistelevien näkökenttienaiheuttama palikoituminen vähenee huomattavasti, kun näkökentän etualallemääritellään erillinen varjokartta. Esineiden tehokkaasta kapseloinnista johtuenvarjokarttojen ala tulee myös paremmin hyödynnetyksi. Näistä syistäsyvyyskarttaa voidaan kutistaa, jolloin niiden kokonaismuistinkulutus onpienempi kuin yhtä, suurta kuvaa käytettäessä. Uusimmat näytönohjaimettukevat usean eri kuvapinnan piirtämistä samaan aikaan, mikä on omiaantehostamaan tämän menetelmän toimintaa. Muissa laitteissa voidaan käyttääesimerkiksi kuutiokarttoja nopeamman tekstuurikäsittelyn saavuttamiseksi.Lloyd et al. [2006], jotka testasivat kattavasti varjokarttojen käsittelyyn jaoptimointiin liittyviä menetelmiä, totesivat näkökentän pilkkomisen ja

56valoavaruudessa määritellyn tekstikartan vääristämisen parhaaksimenetelmäksi varsinkin suurissa näkymissä, joissa näkökenttä jatkuu pitkälle.Molemmat menetelmät ovat lisäksi toteutettavissa suhteellisen helposti ilmanmonimutkaisia tietorakenteita ja erikoistapauksia.5.5. Varjokarttojen muunnelmatVarjokarttojen ei tarvitse välttämättä sisältää ainoastaan syvyysarvoja, vaanniihin voidaan tallentaa, esimerkiksi väripuskuria hyödyntäen, paljonmuutakin. Seuraavassa käydään läpi pari menetelmää, jotka käyttävätpiirtopintoja hyvin monipuolisesti. Niissä kiteytyy myös varjokarttojenmonipuolisuus: usein näytönohjaimista löytyy kuin yllättäen juuri riittävättoiminnot kokeellisempienkin ratkaisujen tekemiseen, jos mielikuvitusta vainlöytyy.5.5.1. SiluettikarttaLaskostumisen tärkein aiheuttaja on se, etteivät bittikarttakuvat pystyapproksimoimaan varjon reunaa riittävän tarkasti. Sen et al. [2003] keksivätkäyttää syvyyskartan lisäksi myös toista kuvaa, siluettikarttaa, jonka pikselinväriarvoihin tallennetaan koordinaattipiste, joka ilmaisee varjon reunan tarkankulkureitin pisteen läpi (kuva 29). Piirtämällä viiva pikseleiden koordinaattienväliin, saadaan muodostettua huomattavasti paljon tarkempi reuna kuinainoastaan pikseleitä käyttämällä. Tämä mahdollistaa myös projektiivisenlaskostumisen korjaamisen. Siluettikartan pisteet sijaitsevat limittäin suhteessavarjokarttaan, eli sen pikseleiden kulmat ovat neljän ympäröivän varjokartanpikselin keskipisteet. Saman logiikan mukaan normaali varjokartta voidaanajatella siluettikarttana, jossa kaikki koordinaatit ovat aina pisteen keskellä. Senet al. [2003] tallentavat koordinaattipisteet pikselin paikallisessakoordinaatistossa suhteessa sen reunoihin.Kuva 29. Siluettikartta. Piirrettävät siluettiviivat (a), käsiteltävät pikselit (b) jakunkin pisteen koordinaatti (c) [Sen et al., 2003].Siluettikarttamenetelmä koostuu kolmesta vaiheesta. Ensimmäisessäpiirretään syvyyskartta samalla tavalla kuin aikaisemminkin. Ainoa asia mikä

57kannattaa ottaa huomioon, on se, että syvyysarvot täytyy pystyä lukemaantakaisin. Tämä voi vaatia joillakin rajapinnoilla niiden kirjoittamistavärikomponentteihin.Toisessa vaiheessa luodaan itse syvyyskartta. Tämä alkaa etsimällävarjostavalle mallille siluettireunat samaan tapaan kuin varjomallientapauksessa. Ne piirretään valon näkökulmasta siluettikarttaan antamallapikselivarjostimelle ylimääräisinä syötteinä reunan kärkipisteiden koordinaatit.Piirrettävän viivan on oltava sen verran paksu, että kaikki pisteet joiden kauttareuna kulkee, tulevat varmasti piirretyksi (kuva 29a). Tämä takaa sen, etteiyksikään siluettireunan piste jää määrittelemättä. Paksusta viivasta johtuenpiirretyksi tulee sellaisiakin pisteitä, jotka eivät sisällä ääriviivaa. Lopullinenpäätös siitä, asetetaanko piste kuuluvaksi siluettireunaan, tehdäänpikselivarjostimessa.Se, onko käsiteltävä siluettikartan piste varjon reunalla, saadaan selvillereunan kärkipisteiden avulla. Jos toinen niistä sijaitsee pikselin alueella, pisteon yksiselitteisesti reunalla (kuva 30a). Muussa tapauksessa luodaan kaksisuoraa, jotka lävistävät pisteen vastakkaisista kulmista. Kärkipisteiden javäliarvolaskennan avulla saadaan selvitettyä näiden suorien ja reunanleikkauspisteet. Jos reuna leikkaa käsiteltävän pikselin alueella vain toisenhalkaisijan (kuva 30b), leikkauspiste tallennetaan koordinaatiksi (muutettunapisteen paikalliseen koordinaatistoon). Jos se leikkaa molemmat halkaisijat,lopullinen koordinaatti on näiden pisteiden puolivälissä (kuva 30c). Josleikkauspiste taas on pisteen alueen ulkopuolella, koordinaatti jätetään tyhjäksi(kuva 30d). Pyöristysepätarkkuudet vaativat käytännössä sen, että niukastikulmien ulkopuolelta kulkeva reuna lasketaan kulkevaksi pisteen kautta.Nämä, vain niukasti naapurin puolella olevat leikkauspisteet muunnetaanlopuksi pikselin rajojen sisään, että jatko toimii moitteettomasti. Jos reunansyvyys koordinaattipisteessä on suurempi kuin kaikissa kulmiin liittyvissäsyvyyskartan pikseleissä, piste (riippumatta siitä onko se reuna vai ei) onvarjossa, eikä koordinaattia aseteta.Kuva 30. Siluettikartan pisteen halkaisijoiden käyttö [Sen et al., 2003].Kolmannessa vaiheessa näkymä piirretään kameran näkökulmasta.Näkyvyystarkastelu tehdään käsiteltävän siluettipisteen kulmiin liittyville

58syvyyskartan pisteille. Jos niillä kaikilla on sama arvo, piste on yksikäsitteisestijoko valossa tai varjossa, eikä siluettikarttaa tarvitse käyttää. Muussatapauksessa varjostus selvitetään jakamalla käsiteltävä siluettipiste ensinneljään osaan käyttämällä sen, ja sen neljän naapurin koordinaatteja. Tämänjälkeen selvitetään, minkä neljänneksen alueella piirrettävä kameranäkymänpikseli sijaitsee, ja päätetään varjostus kyseisen neljänneksen kulmaa vastaavansyvyyskartta-arvon perusteella. Myös tämä toimenpide tehdäänpikselivarjostimessa. Koska numeeriset epätarkkuudet voivat toisinaan johtaasiihen, että jotain pistettä luullaan virheellisesti reunaksi, kaikki siluettikartankoordinaattiarvot alustetaan olemaan pisteen keskellä.Menetelmä on kehittäjiensä mukaan nopeampi kuinvarjotilavuusmenetelmä, mutta monimutkaisista varjostimistaan ja runsaistatekstikarttojen takaisinluvuistaan johtuen se on selvästi hitaampi kuin tavallisetvarjokartat. Koska kukin siluettikartan piste sisältää vain yhden koordinaatin,menetelmä ei myöskään pysty selviämään tilanteista, joissa kaksi reunaa osuusaman pisteen alueelle. Asiassa normaalisti auttava varjokartan resoluutionkasvattaminen johtaa suurempaan määrään pikselikohtaista laskentaa, jotentällaiset tilanteet eivät ole ratkaistavissa ilman merkittävää tehonalennusta.Suurin ongelma on kuitenkin se, että siluettikarttamenetelmä vaatii mallienreunojen laskemista, ja täten myös tietämystä piirrettävästä geometriasta. Näinsen yhteydessä menetetään monet varjokarttojen parhaista puolista, ja sitävoidaankin kutsua enemmän varjokarttojen ja –mallien hybridimenetelmäksi.Varjokarttojen laskostumisen korjaamista varjomonikulmioiden avulla ontutkittu muutenkin. Tunnetuimmat suuntaukset lienevät McCoolin [2000] taparakentaa varjomallit syvyyskartan pohjalta, sekä Chanin ja Durandin [2004]vastaava menetelmä, jossa varjomallit piirretään ainoastaan niille alueille, missälaskostumista ilmenee. Kaikki hybridimenetelmät perivät varjomalleista ja –kartoista niin hyviä kuin huonojakin puolia, eikä niitä käydä tämän tutkielmanpuitteissa läpi tarkemmin.5.5.2. Hienojakoisten esineiden varjostaminenSyvät varjokartat (deep shadow maps) [Lokovich and Veach, 2000] ovatmenetelmä, jonka avulla on mahdollista varjostaa läpikuultavia pintoja jatiheydeltään vaihtelevia, esimerkiksi kaasumaisia elementtejä. Lisäksi yhdessäpikselisuodatuksen kanssa käytettynä se tarjoaa itesevarjostavan menetelmänhyvin hienojakoisten esineiden (esimerkiksi hiusten) varjostamiseen.Molemmat tapaukset ovat sellaisia, joita normaaleilla varjokartoilla ei olekäytännössä mahdollista toteuttaa. Syvien varjokarttojen menetelmä eisellaisenaan toimi riittävän nopeasti reaaliaikaisten sovellusten tarpeisiin,mutta ainutlaatuisista ominaisuuksistaan johtuen sen pohjalta on tehty

59yksinkertaistettuja versioita, jotka kykenevät myös tosiaikaiseenvarjostamiseen.Syvä varjokartta ei tallenna syvyysarvoja vaan valaisufunktioita, jotkalaskevat varjostusarvot kullekin pisteelle. Funktio saa syötteenään muunnetunpisteen syvyysarvon ja palauttaa luvun välillä 0-1 riippuen siitä, kuinka paljonvaloa muunnetun pisteen syvyyteen pääsee. Savu on hyvä esimerkki tällaisentoiminnallisuuden käytöstä. Valo valaisee savupilven reunoja, muttasyvemmälle pilveen mentäessä valonsäde heikkenee, kunnes riittävän kauasjatkettuaan se ei valaise enää ollenkaan.Funktion suoritus, sellaisena kuin Lokovich ja Veach [2000] sen esittelevät,lähtee liikkeelle arvosta 1. Tämä tarkoittaa täyttä valaistusastetta. Tämänjälkeen sädettä lähdetään seuraamaan valosta poispäin. Valoarvo muuttuukahden alifunktion perusteella. Ensimmäiselle voidaan määritellä tietyillesyvyysarvoille tasoja, jotka muuttavat valaistusta porrasmaisesti (kuva 31a).Tyypillinen esimerkki tällaisesta tasosta on esimerkiksi himmennetty ikkuna.Toinen funktio on hieman samankaltainen, mutta siinä himmennyksen astetasojen välillä päätetään laskemalla väliarvo edellisen ja seuraavan tasonperusteella (kuva 31c). Lopullinen valaistusarvo saadaan yhdistämällä nämätekijät (kuva 31d).Kuva 31. Syvän varjokartan funktiot [Lokovich and Veach, 2000]. s onporrasmaisesti, ja v aineen tiheyden (funkio ) mukaan laskeva valaistus, jotkakertomalla saadaan lopullinen valaistusfunktio .Funktioiden palautusarvoja voidaan suodattaa samalla tavalla kuin mitätahansa tekstikarttoja. Näin saadaan otanta valaisuarvoista tietyllä säteellä,

60mitä voidaan käyttää esimerkiksi hiusten varjostamiseen. Yksittäiset hiuksetovat liian ohuita suurillekin varjokartoille, joten mallin avulla voidaanmäärittää tiheysjakauma, mikä mahdollistaa realistisen näköisenitsevarjostuvuuden ohuille esineille.Kim ja Neumann [2001] yksinkertaistivat syvän varjokartan ajatuksenvoidakseen käyttää sitä reaaliaikaiseen hiusten varjostamiseen. Heidänmenetelmänsä pilkkoo ensiksi varjostettavan esineen valoon päin osoittavillatasoilla (kuva 32a). Tämän jälkeen näkymä piirretään valon näkökulmasta niinmonta kertaa kuin tasoja on, siirtäen valon näkökentän etutaso jokapiirtokerralla vastaavalle tasolle. Kun tämä on tehty, kaikki edellisessävaiheessa piirretyt kuvat käydään läpi, kulkien järjestyksessä valosta poispäin.Edellinen kuva sulautetaan aina seuraavaan siten, että lopputuloksena on sarjakuvia, joista kukin sisältää varjostuksen määrän tasoa vastaavalla etäisyydellävalosta. Näiden karttojen perusteella saadaan helposti selvitettyä, mikävalaistuksen määrä vallitsee missäkin pisteessä tietyllä etäisyydellävalonlähteestä.Kimin ja Neumannin menetelmä vaatii paljon piirtokertoja, eli sillä ei voireaaliaikaisesti saavuttaa kovin vaikuttavia lopputuloksia. Mertens et al. [2004]kehittivät sitä lähemmäksi Lokovichin ja Veachin [2000] menetelmää. Hekeräävät näytteitä piirrettävästä esineestä, ja tilastoivat tiheydet ryppäiksi. Kunvalonsäde saapuu tällaisen ryppään alueelle, se himmenee lineaarisestimääritellyn tiheyden mukaisesti.Viimeisin kehitelmä reaaliaikaisten hiusmallien luomiseen lienee Yukselinja Keyserin [2007] menetelmä. Kuten edellisetkin menetelmät, se vaatii ktekstikarttaa, joiden perusteella varjostus lasketaan. Algoritmi etenee kolmessavaiheessa.Ensimmäinen piirtää tavallisen syvyyskartan, ja jakaa varjostettavan mallink osaan kunkin varjokartan pikselin kohdalta. Tässä erona esimerkiksi Kimin jaNeumannin [2001] menetelmään on se, että osat voivat olla eri pikseleilleerikokoisia riippuen siitä, kuinka syvä malli kussakin kohtaa on. Samantekstikartan pisteet siis viittaavat aina samaan k:n arvoon, mutta eivätvälttämättä samaan syvyysarvoon (kuva 32b).

61Kuva 32. Kimin ja Neumannin [2001] (a) ja Yukselin ja Keyserin [2007] (b) tavatjakaa syvyyskartan tasot [Yuksel and Keyser, 2007].Toisessa vaiheessa malli piirretään uudelleen, jolloin kunkin pisteenkohdalla tarkastetaan kuinka kaukana valosta se on, ja lisätään varjostusastettakaikille sen takana oleville k:n varjotasoille. Syvyys- ja varjostavuusarvojenesittämiseen käytetään tekstikartan värikomponentteja. Näin niidensulauttaminen keskenään hoituu nopeasti näytönohjaimella, ja kolme tasoavoidaan esittää yhden pikselin avulla [Yuksel and Keyser, 2007]. Kolmannessavaiheessa näkymä piirretään, ja varjostusarvot muunnetulle pisteelle voidaanhakea syvyyttä vastaavalta tasolta.Edellisiä menetelmiä on käytetty lähinnä hiusten varjostamiseen, mutta nevoidaan saada helposti tukemaan myös esimerkiksi itsevarjostaviasavutehosteita. Tämä alue tulleekin jatkossa olemaan yhä enemmän tutkinnankohteena. Varjostusarvojen vapaasta määrittämisestä yksinkertaistentotuusarvojen sijaan on kyse myös silloin, kun on tarkoitus mallintaa kovienvarjojen sijasta pehmeitä puolivarjoja.6. Pehmeät varjotToistaiseksi on käsitelty ainoastaan äärettömän pieniä valonlähteitä ja varjoja,joiden valaistusarvot perustuvat totuusarvoihin. Tällaisia varjoja ei kuitenkaanesiinny todellisuudessa, vaan oikeasti valonlähteellä on aina äärellinen tila,mikä aiheuttaa varjoreunojen luonnollisen pehmenemisen. Pehmeät varjot siisluovat kuvaan realismia, ja tekevät näkymästä myös monesti selkeämmän, silläkovareunaiset varjot sekoittuvat helposti muihin graafisiin elementteihin.Aikaisemmin esiteltyjä suodatusmenetelmiä ei lasketa pehmeidenvarjoalgoritmien joukkoon, vaan pehmeät varjoreunat, sellaisina kuin ne tästäeteenpäin käsitetään, määräytyvät sen mukaan, kuinka suuri osa valonlähteestäon mistäkin pisteestä katsottuna näkyvissä. Aiemmin tilanne oli periaatteessa

62sama, mutta koska valonlähde oli äärettömän pieni, se oli aina joko kokonaanesillä, tai kokonaan varjostavan esineen peittämä. Vastedes ei siis pyritäkysymään, näkyykö valonlähde varjostettavasta pisteestä, vaan kuinka suuriosa valonlähteestä on näkyvissä. Varjon ominaisuuksiin vaikuttaa jatkossa siisvalon, varjostavan ja varjostettavan pinnan etäisyyksien ja asennon lisäksimyös valon koko. Aluetta, jossa valonlähde on näkyvissä vain osittain,kutsutaan puolivarjoksi.Todellisuudessa tilallinen valonlähde koostuu äärettömästä määrästäpistevaloja joten on selvää, ettei tällaista tilannetta ole mahdollista tietokoneella(varsinkaan reaaliajassa) mallintaa. Käytännössä kaikki pehmeitä varjojatosiaikaisesti muodostavat algoritmit pyrkivätkin luomaan vainmahdollisimman uskottavia illuusioita, eivätkä edes pyri olemaan fysikaalisestioikeita. Lähestymistapa on hyväksyttävä, koska pehmeät varjot ovatluonnostaankin utuisia ja epäselviä, eikä niiden mahdollisia virheitä varsinkaananimoidussa näkymässä helposti huomaa.Reaaliaikaisessa tietokonegrafiikassa puolivarjot pilkotaan käytännön syistäusein sisempään ja ulompaan osaan. Nämä puoliskot erotetaan jakamallapuolivarjoalueet kovien varjojen reunanelikulmiolla eli tasoilla, jotka kulkevatvarjostavan mallin siluettireunojen ja valon keskipisteen kautta. Useimmatreaaliaikamenetelmät pyrkivät vaalentamaan sisempää puolivarjoaluetta jatummentamaan ulompaa. On syytä huomauttaa, että sisempi ja ulompipuolivarjo ovat puhtaasti ohjelmointiteknisiä käsitteitä, eikä niitä useinkaanvoida todellisessa maailmassa erottaa toisistaan. Kovan varjon ulkopuolelleleviävien puolivarjojen tummentamiseen ja vaalentamiseen perustuvatmenetelmät kärsivät myös monista ongelmista, joita ei aiempien algoritmienkohdalla ole tullut vastaan. Esimerkiksi yhden valon ja useiden esineidentapauksessa käy usein niin, että lopullinen pehmeä varjo on suurempi kuinyksittäisistä malleista lähtevien erillisten varjojen unioni [Hasenfrantz et al.,2003]. On myös täysin mahdollista, että laajan valonlähteen synnyttämätpuolivarjot hävittävät täysvarjoalueen kokonaan.Koska varjostusasteet eivät enää ole totuusarvoja vaan ne määräytyvätvapaasti välillä [0-1], luvussa 2.4 esiteltyä usean valon piirtoalgoritmia on syytähieman muuttaa. Pehmeiden varjojen tapauksessa näkymä piirretään ensinväri- ja syvyyspuskuriin siten, että käsiteltävä valo on päällä. Tämän jälkeenlasketaan varjostusastekartta, jonka avulla piirretyn kuvan varjoalueitahimmennetään (yleensä alfakanavan avulla). Tämä tulos sulautetaan sittentaustavalon ja muiden valojen muodostamien näkymien joukkoonkeräyspuskurissa. Tämä menetelmä on jonkin verran hitaampi kuin aikaisempi,

63koska ensimmäinen piirto joudutaan tekemään myös sellaisille pikseleille, jotkaeivät näy lopullisessa kuvassa.Hasenfrantz et al. [2003] käyvät kirjoituksessaan perinpohjaisesti läpiyleisimmät pehmeitä varjoja piirtävät algoritmit. Erikoisominaisuuksistaanjohtuen niille ominaista on erikoistapauksien paljous sekä yleinenepämääräisyys, mikä vaikeuttaa myös niiden luokittelua. Tässä tutkielmassakäydään aluksi läpi muutama perusmenetelmä, joita voidaan käyttääreaaliaikaisesti korkeintaan hyvin rajoitetuissa tapauksissa. Tämän jälkeentehdään silmäys pistevaloja laajentaviin menetelmiin, joissa fysikaalinenoikeaoppisuus on hylätty tehokkuuden hyväksi. Pääpaino on uudemmissa,takaisinprojisointiin perustuvissa menetelmissä, joiden avulla voidaannykyisten näytönohjainten ominaisuuksien avulla saavuttaa jo varsinuskottavia, ja lähes oikeaoppisiakin pehmeitä varjoja.6.1. Kovien varjojen yhdistäminenYksinkertaisin tapa piirtää pehmeitä varjoja, on approksimoida tilannetta, jossatilallinen valonlähde koostuu äärettömästä määrästä pistevaloja.Oikeaoppisinta onkin jakaa valonlähde näytepisteisiin, ja piirtää jokaistavastaava kova varjo. Tämän jälkeen varjot sulautetaan esimerkiksikeräyspuskurissa (tai erillisessä tekstikartassa, mikäli keräyspuskurinresoluutio ei ole riittävä) yhdeksi varjokartaksi, jota voidaan käyttää normaalintekstikartan tapaan. Tämä luku käsittelee menetelmiä, jotka mallintavattilallista valoa juuri näytepisteiden avulla. Koska jokainen piste vaatii omanpiirtoprosessinsa, on kuitenkin selvää, ettei näitä menetelmiä ole mahdollistakäyttää reaaliaikaiseen varjojen luontiin muuten kuin hyvin rajatuissanäkymissä tai laitteistoympäristöissä. Ne antavat kuitenkin hyvän kuvan siitä,miten pehmeät varjot käytännössä toimivat.Heckbert ja Herf [1997] sekä Herf [1997] luovat kullekin näytepisteelleoman, totuusarvoista koostuvan kuvansa, ja sulauttavat ne sitten aiemminmainitulla tavalla yhdeksi. Sulauttaminen tehdään yksinkertaisenlisäysoperaation avulla, joten se voidaan suorittaa joka varjostusarvokartalleerikseen heti kun se on laskettu. Näin menetelmän muistivaatimukset pysyvätpieninä (yksi tekstikartta totuusarvoista koostuvan varjon laskemiseen, jakeräyspuskuri tulosten yhdistämistä varten).Menetelmä perustuu luvussa 3 esitetyn tasoprojisoinnin käyttöön. Tilallisenvalon alueelta valitaan ensin vapaasti n kappaletta näytepisteitä (yleensäkäytetään ainakin valon ääripisteitä, ja muut näytteet voidaan valita jokosäännöllisesti tai esimerkiksi satunnaisotantaa käyttäen). Tämän jälkeenrajataan nelikulmion muotoinen alue, jota vasten varjo langetetaan. Näidenavulla luodaan näkökenttäpyramidi, jonka kärki asetetaan valon

64näytepisteeseen, ja alareuna rajoitetaan varjostettavaan nelikulmioon.Näkökentän luominen tapahtuu erityisen matriisin avulla (kuva 33).Menetelmä rinnastuu tasoprojisoituihin varjoihin siinäkin suhteessa, ettävarjostavat ja varjostettavat esineet on eriteltävä toisistaan, ja ettävarjostettavan esineen on oltava tasainen pinta. Tämä rajaa luonnollisesti poismyös itsevarjostuvuuden.Kuva 33. Mallin projisointi tasolle [Heckbert and Herf, 1997]Menetelmä toimii siten, että kullekin näytepisteelle määritelläänsamankokoinen varjokartta (kuten aiemmin mainittiin, samaakin karttaa voikäyttää), ja nollataan kaikkien pikselien arvot. Tämän jälkeen piirretäännäytepisteen näkökenttää käyttäen kaikki ennalta valitut varjostavat esineetsiten, että kaikki piirrettävät pikselit asetetaan varjokarttaan ykkösiksi. Nyt sevoidaan sulauttaa keräyspuskuriin käyttämällä yhteenlaskuoperaatiota. Kunkaikki näytepisteet on käsitelty, keräyspuskuri sisältää tiedon siitä, kuinkamonta näytepistettä kustakin varjokartan pikselistä on näkymättömissä, elivarjostavan esineen takana. Arvot saadaan välille [0,1] jakamalla pikseleidenarvot näytepisteiden määrällä. Syntynyt varjostusarvokartta voidaan piirtäävarjostettavan nelikulmion päälle kuten mikä tahansa tekstikartta, ja staattistennäkymien tapauksessa se voidaan tallentaa myöhempää käyttöä varten.

65Kuva 34. Pehmeä varjo 4:stä (vasemmalla) ja 256:sta (oikealla) näytepisteestäestimoituna [Heckbert and Herf, 1997].Esilasketut varjot ovatkin menetelmän yleisin käyttötarkoitus, silläpiirtokertojen määrä on sama kuin näytepisteiden määrä kerrottunavarjostettavien pintojen määrällä. Se on normaaleilla laitteilla auttamatta liiansuuri reaaliaikaiseen varjojen luomiseen, sillä näytepisteitä tarvitaan yleensäsuhteellisen suuri määrä ennen kuin lopputulos näyttää oikeasti pehmeältävarjolta (kuva 34). Toisaalta menetelmä sopii hyvin moniajoon, koska erinäytepisteet voidaan projisoida ja lisätä varjostuskarttaan toisistaanriippumatta [Isard et al., 2002]. Tällöin menetelmällä voidaan päästä jopareaaliaikaisuuden vaatimaan tehoon, mikäli prosesseja pystytään ajamaanrinnakkain riittävän monta [Hasenfrantz et al., 2003]. Uusimmatnäytönohjaimet tukevat useamman eri näkymän piirtämistä samaan aikaan,mikä on tämän menetelmän kannalta erinomaisen hyödyllinen toiminto.Agrawala et al. [2000] kehittivät menetelmästä itsevarjostavan, jolloin se eivaadi varjostavien ja varjostettavien esineiden erottamista toisistaan. Näin ollense soveltuu varsinkin suurten valonlähteiden käsittelyyn huomattavasti edellämainittua menetelmää paremmin. Menetelmä perustuu edelleen valonnäytepisteiden valintaan. Ne valitaan samalla tavalla kuin Heckbertin jaHerfinkin menetelmissä, mutta kaikkien katsesuunnaksi asetetaan valonnormaalivektori (edellisessä katsesuunnat osoittivat aina varjostettavaanelikulmiota kohti, ja näin ollen ne vaihtelivat eri näytepisteissä). Kun tämä ontehty, jokaisesta näytepisteestä piirretään perinteinen syvyyskartta.Lopulliset varjostusarvot lasketaan kerroksittaiseen varjokarttaan, jonkakunkin tason pikselit sisältävät paitsi syvyysarvon, myös laskurin.Yhdistäminen tehdään kohdistamalla näytepisteiden syvyyskartat ensin

66keskenään valon keskipisteen suhteen, ja käsittelemällä niiden jokainen pikselis seuraavalla tavalla. Aluksi etsitään vastaava pikseli kerroksittaisenvarjokartan ensimmäiseltä tasolta, ja verrataan karttojen syvyysarvojakeskenään. Jos sz on sama kuin kerroksen vastaavan pisteen syvyysarvo,pikselin laskuria lisätään yhdellä. Muussa tapauksessa siirrytään seuraavalletasolle ja toistetaan tarkastelu siellä. Jos syvyyttä ei löydy miltään tasolta,luodaan uusi taso, jonka syvyysarvoksi asetetaan sz, ja laskuriksi alustetaan 1.Kun käsittely on tehty kaikkien valonäytteiden kartoille, kerroksittaisensyvyyskartan laskurit kertovat näkyvien näytteiden määrän varjokartanpisteen kullakin syvyystasolla. Käsittelyn päätteeksi kaikki laskuritnormalisoidaan jakamalla ne näytepisteiden lukumäärällä. Jokainen laskurinarvo kertoo nyt valaistusarvon kunkin varjokartan pikselin tietyllä tasolla(huomaa, että edellisessä menetelmässä laskettiin valaistusarvon sijaanvarjostusarvo).Näkymä varjostetaan muuntamalla piirrettävä piste normaalistivaloavaruuteen. Tämän jälkeen pisteen syvyyttä verrataan varjokartansyvyysarvoihin aloittaen ensimmäisestä tasosta (joka kuvaa lähimpänä valoaolevat pinnat). Jos muunnetun pisteen ja tason pikselin syvyysarvot ovat samat,piste varjostetaan saadun valaistusarvon mukaisesti. Mikäli mikään taso eivastaa muunnetun pisteen syvyysarvoa, piste on kokonaan varjossa.Agrawalan et al. [2000] menetelmä vaatii edelleen näkymän piirtämistäjokaiselle näytepisteelle erikseen, eli siitä ei ole yleiskäyttöiseksi reaaliaikaalgoritmiksi.Se on kuitenkin huomattavasti nopeampi ja yleiskäyttöisempikuin Heckbertin ja Herfin [1997] menetelmä, koska nyt koko näkymä voidaanvarjostaa yhdellä kertaa. Muistivaatimuksetkaan eivät ole kohtuuttomat, silläainakaan kehittäjien mukaan varjokartan tasoja ei tarvita kovin montaa, javuoden 2000 jälkeen näytönohjainten muistimäärät ovat kasvaneeträjähdysmäisesti. Myös tämä menetelmä voi hyödyntää moniajoa, joskinsynkronointi tasojen luomisen suhteen muuttuu hieman edellistä menetelmäämonimutkaisemmaksi. Kehittäjiensä mukaan menetelmä voi lisäksi kärsiäepätarkkuusongelmista varjokarttojen kohdistamisen yhteydessä. Myössyvyysvertailuissa on muistettava käyttää jonkinlaista virhemarginaalia, koskasyvyysarvot eivät pyöristysepätarkkuuksista johtuen ole yleensä täysin samoja,vaikka niiden pitäisikin olla.Koska monien näytepisteiden käsitteleminen on hidasta, käyttivät Heidrichet al. [2000] toisenlaista lähestymistapaa. Heidän menetelmänsä käyttääainoastaan kahta näytepistettä, ja pyrkii arvioimaan alueiden, joissa vain toinenpiste on näkyvissä, varjostusta lineaarisesti. Menetelmä aloitetaan edellisentapaan säätämällä valonlähteet samansuuntaisiksi kohtisuoraan niiden väliin

67jäävää vektoria vasten, ja laskemalla tavallinen syvyyskartta molemmillepisteille (kuva 35a). Tämän jälkeen molemmista syvyyskartoista erotetaansiluettireunat jotain kuva-analyysimenetelmää käyttäen. Kummankinvarjokartan rinnalle luodaan erilliset näkyvyyskanavapuskurit (visibilitychannel), jotka sisältävät näkyvyysarvoja välillä 0-1.Vasemmanpuoleinen syvyyskartta käsitellään siirtämällä se kuvainnollisestioikean päälle. Koska valonlähteet ovat olleet eri paikoissa, globaalissakoordinaatistossa samat ääriviivat (jotka nyt on siis erotettu kuvasta) ovatpiirtyneet karttoihin eri kohtiin. Ääriviivat yhdistetään näkyvyyskanavassatäyttämällä niiden väliin jäävä alue esimerkiksi Gouraud-varjostetuillamonikulmioilla siten, että näkyvissä oleva reuna saa arvon 1 ja näkymättömissäoleva reuna arvon 0 (kuva 35b). Tämän jälkeen näkyvyyskartta sisältäälineaarisen siirtymän ääriviivalta toiselle. Se siis estimoi vasemman varjokartanpikselien näkyvyyttä oikeanpuoleisesta näytepisteestä. Sama käsittelytoistetaan käänteisesti myös oikealle syvyyskartalle, ja näin molemmatnäkyvyyskanavat on laskettu.Kuva 35. Lineaarisen valonlähteen näytepisteiden syvyyskartat (a),näkyvyyskanavat (b) sekä lopullinen varjo (c) [Heidrich et al., 2000].Piirtovaiheessa piste p siirretään molempien näytepisteiden avaruuteen, jaetsitään syvyyskartoista sitä vastaavat pikselit. Jos piste näkyy molemmistavaloista, se on täysin valaistu, eikä näkyvyyskanavaa tarvita. Sama toistuukäänteisesti myös täydellisen varjostumisen tapauksessa. Jos piste on sen sijaannäkyvissä vain toisesta näytepisteestä, saadaan lopullinen valaistusarvoselvitetyksi laskemalla näkyvyyskanavien vastaavien pikseleiden arvot yhteen.Menetelmä on siinä mielessä edellisiä tehokkaampi, ettei sen tarvitse luodakuin kaksi syvyyskarttaa. Vastaavasti kuva-analyysiin käytettävä aika hidastaamenetelmän suorittamista, eikä tee siitäkään riittävän tehokasta dynaamistenvarjojen käsittelyyn [Hasenfrantz et al., 2003]. Varsinkin monimutkaiset

68näkymät ja mallit tuottavat menetelmälle vaikeuksia. Alkuperäisenmenetelmän ongelma on myös sen rajoittuminen ainoastaan kahteennäytepisteeseen, jolloin tulee helposti vastaan tilanteita, joissa näytepisteidenkatvealueeseen jäävät esineet eivät varjostu oikein [Heidrich et al., 2000].Menetelmää on sittemmin laajennettu käyttämään myös monikulmionmuotoisia valonlähteitä [Ying et al., 2002]. Tällöin näkyvyyskanava lasketaanmonikulmion pisteitä yhdistäville reunoille, ja näkyvyysarvo lasketaanvalomonikulmion alan suhteen. Useampien näytepisteiden käyttö kuitenkinmyös hidastaa menetelmää samassa suhteessa.6.2. Puolivarjon laskeminen pistevalostaUseiden näytepisteiden käsitteleminen siis hidastaa ohjelman suorittamista niinpaljon, ettei edellisiä menetelmiä voida käyttää dynaamisten varjojenluomiseen. Näin ollen onkin kehitetty menetelmiä, jotka pystyvät arvioimaanpehmeän varjoalueen käyttämällä ainoastaan yhtä pistemäistä valonlähdettä.Menetelmiä yhdistää se, etteivät ne pyri luomaan fysikaalisesti oikeaoppisiavarjoja, vaan varjot ovat periaatteellisellakin tasolla aina virheellisiä. Tätentavoite onkin pyrkiä tekemään varjosta sellainen, että virheet ovatmahdollisimman vaikeasti havaittavissa. Haines [2001], Wyman ja Hansen[2003] sekä Chan ja Durand [2003] käyttävät puolivarjon estimointiinhybridimenetelmiä, joissa varjostuskartta luodaan varjomallin ja näkymän ylleprojisoitavien varjokarttojen avulla.Hainesin [2001] tasannemalli (plateaus) projisoi pehmeän varjostuskartanennalta määritetylle tasaiselle pinnalle. Ideana on muodostaa varjostavastaesineestä varjotilavuusmenetelmän mukaisesti siluetti, jonka jokaista pistettäkohden luodaan kalteva kartio, jonka kärki on siluettipisteessä, ja alareunavenytetään valosta katsottuna varjostettavaa pintaa vasten (kuva 36a). Kameraasetetaan osoittamaan varjostettavaan tasoon kohtisuorassa, ja tämän jälkeennäkymään piirretään varjostettavan mallin pohjalta luotu perinteinenvarjotilavuus. Syvyystarkastus säädetään siten, että seuraavat piirto-operaatiotjäävät aina varjomallin taakse. Tämän jälkeen piirretään kartiot sekä niitäyhdistävät monikulmiot siten, että reunat ovat vaaleita ja sisäalueet tummia.Tuloksena kovan varjotilavuuden ympärille syntyy asteittaisesti himmeneväalue. Varjon vaalenemista voidaan säätää erilaisia tekstikarttoja käyttämällä.Wymanin ja Hansenin [2001] esittelemän tehostuksen jälkeen menetelmäkykenee myös reaaliaikaiseen varjolaskentaan, ja kartioiden koko riippuu myösvalonlähteen etäisyydestä.

69Kuva 36. Tasannemalli (a) [Haines, 2001] sekä syvyyskartta (b) ja sitä vastaavatpehmentimet (c) [Chan and Durand, 2003].Kumpikaan edellisen menetelmän muunnelma ei tue itsevarjostuvuutta jarajoittuu tasapintaiseen varjostettavaan esineeseen. Chan ja Durand [2003]kääntävät edellisten menetelmien ajatuksen toisinpäin, ja käyttävät ylimääräisiämonikulmioita laajentamaan varjokarttaan piirrettyä kovaa varjoa. Aluksipiirretään näkymästä tavallinen varjokartta. Tämän jälkeen varjostavan mallinsiluettireunoihin kiinnitetään ylimääräiset nelikulmiot, sumentimet(smoothies), joista kukin on kohtisuorassa reunan normaaliin nähden.Sumentimet on päällystetty varjostavan esineen reunoilta poispäin vaalenevillatekstuureilla, joiden arvot määrittävät sen, millainen puolivarjoalue syntyy.Käytännössä tekstuuri piirretään valon koon ja etäisyyden mukaan. Varjonpiirtäminen tapahtuu kahdessa vaiheessa. Ensin piirretään kova varjosyvyyskarttaa käyttäen (kuva 36b), ja sen jälkeen piirretään sumentimet valonnäkökulmasta toiseen tekstikarttaan (kuva 36c), joka lopuksi projisoidaankameranäkymään.Sumentimien käyttö on erittäin nopeaa, ja itsevarjostuvuuden ansiostaniiden käyttö sopii hyvin reaaliaikaiseen grafiikkaan. Se jakaa kuitenkinkahden aiemmin esitellyn menetelmän tapaan merkittävän ongelman: se eimahdollista kuin ulomman puolivarjon laskemisen. Tämä voidaan antaaanteeksi pienillä valonlähteillä, mutta kookkaat täysvarjot tekevät näkymästätummemman kuin sen pitäisi oikeasti olla [Hasenfrantz et al., 2003]. Ei siis riitä,että tummennetaan ulompaa puolivarjoa, vaan on lisäksi vaalennettava kovaanvarjoon jäävää sisempää puolivarjoa.Brabec ja Seidel [2002] ratkaisivat ongelman puhtaan bittikarttamenetelmänavulla. Pohjana he käyttivät Parkerin et al. [1998] ajatusta, joka on puhtaastikolmessa ulottuvuudessa laskettava, niin ikään vain ulomman puolivarjonlaskeva menetelmä, jossa varjostusaste määräytyy sen mukaan, kuinka läheltävarjostavaa esinettä valonsäde kulkee. Brabec ja Seidel [2002] siirsivät

70tarkastelun tehtäväksi syvyyskartassa, jolloin on mahdollista laskea myössisempi puolivarjo. Menetelmä toimii siten, että mikäli muunnettu piste p onvarjossa, lasketaan etäisyys lähimpään valossa olevaan varjokartan pikseliin, jalisätään p:n valaistusarvoa sen mukaisesti. Sama tehdään toisinpäin, mikälipiste p on valossa. Tällöin valaistusarvoa vähennetään suhteessa lähimpäänvarjossa olevaan pikseliin.Kuva 37. Pistevarjon laajentamisen periaate [Brabec and Seidel, 2002].Puolivarjolle asetetaan maksimikoko rmax, joka samalla myös rajoittaaetsintään käytettävän alueen. rmax määräytyy varjostettavan pinnanetäisyydellä valosta. Pisteen etäisyyttä varjon reunasta merkitään vastedeskirjaimella r. Valaistusaste lasketaan kaavalla, joka ottaa huomioon valon,varjostavan ja varjostettavan esineen etäisyydet toisistaan. Hasenfrantz et al.[2003] määrittelevät kaavan seuraavalla tavalla (R ja S ovat vapaastimääriteltäviä vakioita):.Menetelmässä luodaan kaksi karttaa: tavallinen syvyyskartta sekätunnistekartta [Hourace and Nicholas, 1985], jonka pikseleihin tallennetaanyksilöllisen tunnisteen avulla tieto siitä, mihin esineeseen syvyysarvo kuuluu.Tunnistekartta auttaa varjon reunan löytämisessä, koska sen avulla voidaanvälttää pehmeiden varjojen vääränlainen itsevarjostuminen [Brabec ja Seidel,2002]. Samalla se valitettavasti synnyttää myös menetelmän pahimmanongelman, eli itsevarjostuvuuden puuttumisen. Kun p ja siihen liittyvä tunnisteon muunnettu valoavaruuteen, syvyys ja esinetunniste haetaan varjokartastatavalliseen tapaan. Jos muunnettu piste on kauempana kuin syvyyskartanvastaava arvo, se on kovassa varjossa, ja voi kuulua vain sisempään

71puolivarjoon. Muussa tapauksessa se voi olla osa ulompaa puolivarjoa.Puolivarjon koko lasketaan kaavalla rmax = R * zvarjostettava, missä R onvapaavalintainen parametri [Hasenfrantz et al., 2003].Tämän jälkeen seuraa menetelmän raskain osa, missä rmax:n alueelta etsitäänlähin varjossa tai valossa oleva pikseli. Mikäli p on kovan varjon sisällä, etsintäpäättyy kun on löydetty lähin piste, jonka syvyysarvo on suurempi taiyhtäsuuri kuin pz, ja pikseliin tallennettu esinetunniste on sama kuinkameranäkymästä välitetty. Vastaavasti p:n ollessa valossa on löydettävä piste,jonka syvyysarvo on pienempi, ja jonka esinetunniste on jokin muu kuin p:nmukana saapunut. Kun sopiva piste on löytynyt, saadaan p:n valaistusarvolaskettua aiemmin esitellyllä kaavalla. Sisävarjossa olevan pisteen varjostustasoon 0.5(1-f), ja muulloin 0.5(1+f). Mikäli etäisyydeltä rmax ei löytynyt ehdottäyttävää pistettä, varjostustaso on joko 0 (p ei ollut kovassa varjossa) tai 1.Varjoreunan etäisyyden laskeminen on menetelmän tehokkuuden kannaltatärkein tekijä. Vaikka spiraalimaisesti etenevä etsiminen tuntuisikinloogisimmalta vaihtoehdolta, Brabec ja Seidel [2002] ovat havainneetlineaarisen, kaikki etsintäalueen rajaaman neliön pikselit tarkastavanmenetelmän olevan tehokkain. Tämä johtuu lähinnä näytönohjainten tavastakäsitellä muistia. Lisäksi he esittelevät hieman binäärihakua muistuttavanetsintäalgoritmin, jonka kaltaisen hyödyntäminen on reaaliaikaisuudenkannalta välttämätöntä. Myös rmax:in koolla on luonnollisesti suuri vaikutusmenetelmän nopeuteen. Kirsch ja Doellner [2003] ovat sittemmin tehneetmenetelmästä tehokkaamman käyttämällä erillistä tekstikarttaa, jonkapikseleihin esilasketaan kunkin pisteen etäisyys lähimmästä valaistustapisteestä. Tämä menetelmä kuitenkin mahdollistaa vain sisemmän puolivarjonmuodostamisen.Itsevarjostuvuuden puuttumisen lisäksi menetelmää vaivaa sama ongelmakuin kaikkia muitakin äärettömän pientä valonlähdettä käyttäviä algoritmeja.Joitakin äärimmäisen yksinkertaisia malleja lukuun ottamatta, esineen siluettimuuttuu näkökulmasta riippuen. Tämä koskee myös valon näytepisteitä, jamikäli pehmeä valo luodaan vain yhtä pistettä käyttäen, varjon muoto eivaloalueen reunoilta katsottuna ole oikea. Tämä on ongelma myöstakaisinprojisoinnin kanssa6.3. TakaisinprojisointiUseat tahot ovat havainneet takaisinprojisoinnin (backprojection) [Drettakisand Fiume, 1994] ratkaisuksi moniin aikaisempien algoritmien ongelmiin. Näinse on noussut viime vuosina merkittäväksi tutkimuskohteeksi reaaliaikaisengrafiikan yhteydessä. Takaisinprojisoinnin ajatus perustuu siihen, ettävarjostettavan pisteen ja tilallisen valonlähteen välille luodaan näkökenttä,

72johon varjostava geometria projisoidaan. Tämän avulla voidaan yleispätevästiselvittää, kuinka suuri osa valonlähteestä on kustakin pisteestä katsottunapeitossa, mikä takaa myös fysikaalisesti oikeaoppisen varjostuksen. Menetelmämuistuttaa jossain määrin ZP+-algoritmia (ks. luku 4.1.2), missä peitettiinalueita kameran näkökentästä valonlähteestä katsottuna. Nyt sama tehdäänvarjostavasta pisteestä valoa vasten.Varjostavien mallien projisointi jokaista pistettä kohti on luonnollisesti liianhidasta, joten lähestymistapaa on jouduttu yksinkertaistamaan. Tästähuolimatta takaisinprojisointi vaatii monimutkaisia pikselikohtaisiaoperaatioita, eikä ole täten ollut varteenotettava vaihtoehto ennenohjelmoitavien näytönohjaimien tuloa markkinoille. Takaisinprojisointi-termiäkäytetään yleensä nimenomaan varjokarttojen yhteydessä, mutta samaaperusajatusta sovellettiin varjotilavuuksiin jo paljon aikaisemmin.6.3.1. PuolivarjokiilatAkenine-Möller ja Assarsson [2002] laajentavat perinteistävarjotilavuusmenetelmää luomalla varjomallin reunalle kiilat (penumbrawedge), jotka kapseloivat sisäänsä sekä sisemmän että ulomman puolivarjon(kuva 38). Nämä mallit luodaan saman ajatuksen mukaan kuin kovatkin varjot,eli venyttämällä siluettireunaa valosta poispäin. Tämä venytys tehdäänkuitenkin valon molemmilta puolilta, jolloin tuloksena on kaksi venytettyänelikulmiota, joista toinen erottaa ulomman puolivarjon ja valon, ja toinensisemmän puolivarjon ja täysvarjon. Eli kun valonlähteen koko lähestyy nollaa,puolivarjokiilat lähestyvät tavallista kovaa varjoa. Kiiloja luotaessa otetaan siisautomaattisesti huomioon kaikki pehmeiden varjojen keskeiset elementit:esineiden ja valon etäisyydet toisistaan, sekä valon koko.

73Kuva 38. Puolivarjokiilojen ajatus kaksiulotteisesti esitettynä [Akenine-Möllerand Assarsson, 2002].Varjokiilan luontia on helpointa havainnollistaa käyttämällä valonlähteenäpalloa (tämä on myös Akenine-Möllerin ja Assarssonin [2002] oletus). Pistevalo,josta kovat varjot luodaan, sijaitsee pallon keskipisteessä, ja kiilojen reunojavenytetään pallon tangenttien ja siluettireunan suuntaisesti. Hieman Brabecin jaSeidelin [2002] tapaan, tila jaetaan osiin varjostustavan suhteen. Täysvarjossaoleva piste (joka on kovassa varjossa mutta ei kummassakaan puolivarjossa)mustataan lopullisesta kuvasta. Sisemmässä puolivarjossa olevan pisteenvalaistustasoa nostetaan nollasta kovan varjon reunoja lähestyttäessä, jaulommassa puolivarjossa valaistusta vastaavasti vähennetään. Varjojenulkopuolella oleva piste jätetään varjostamatta. Kuten muissakinvarjotilavuusmenetelmissä, valaistusasteet lasketaan kameranäkymässä.Menetelmän ensimmäisessä versiossa [Akenine-Möller and Assarsson,2002] valonlähde oli siis pallon muotoinen. Kiiloja luotaessa määritettiin ensinkaksi pistettä: b = c + rn ja f = x - rn, missä c on valon keskipiste, r on sen säde,ja n on kovan varjoreunan normaali. Ulompi puolivarjoreuna venyttiinkäyttämällä valonlähteenä pistettä f, sisempi puolestaan rakennettiin pisteen bkautta. Tämän lisäksi tarvittiin ylimääräinen reunakolmio sulkemaan kiilojenväliset reunat. Tämä menetelmä aiheutti lukuisia ongelmia [Assarsson andAkenine-Möller, 2003]. Ensinnäkin, mikäli reunan kärkipisteet olivat erietäisyydellä valosta, tuloksena oli hyperbolinen kiila, jonka muuttaminenvarjomalliksi on epäluontevaa. Laajan valonlähteen tapauksessa puolivarjotsaattoivat lisäksi kohdata varjostavan esineen takana, jolloin ne piti leikatatoisiaan vasten. Lähes valonsuuntaiset reunat aiheuttivat sisäkkäisiäpuolivarjoja, jotka sotkivat varjostusta, ja kun tähän vielä lisättiin menetelmänkykenemättömyys huolehtia useampaan kuin kahteen muuhun ääriviivaanliittyvistä siluettireunoista, oli menetelmään tehtävä parannuksia.Puolivarjokiilojen ensimmäinen versio ei käyttänyt takaisinprojisointia,vaan varjostusaste määritettiin laskemalla varjostettavan pisteen sijaintisuhteessa kiilan reunoihin. Tasaisena jatkuvan varjostuksen aikaansaaminentällä menetelmällä vaati, että reunakiilat olivat tietoisia toistensaominaisuuksista [Akenine-Möller and Assarsson, 2002]. Takaisinprojisoinnissatällä tiedolla ei kuitenkaan ole merkitystä, joten Assarsson ja Akenine-Möller[2003] ratkaisivat (takaisinprojisointiin siirtyessään) ongelmat muuttamallareunakiilojen muodostusta siten, että ne voitiin luoda toisistaan riippumatta.Menetelmän avulla kiilan molemmat reunat saadaan lisäksi avautumaantasaisesti, jolloin hyperbolisilta kiiloilta vältytään.

74Oletetaan, että muodostetaan kiila reunasta, jonka kärkipisteet ovat e0 ja e1,ja että e1 on lähempänä valon keskipistettä. Luodaan piste e’0, joka saadaanliikuttamalla e0:aa valon suuntavektorin vastakkaiseen suuntaan, kunnes se onyhtä kaukana valosta kuin e1 (kuva 39a). Reunaa vastaava kiila muodostetaannyt pisteiden e’0 ja e1 avulla. Ensin luodaan etu- ja takareuna muodostamallakaksi tasoa, jotka sisältävät valon keskipisteet sekä pisteet e’0 ja e1. Molempiatasoja kierretään reunan ympäri vastakkaisiin suuntiin siten, että ne sivuavatvalonlähdettä sen eri puolilta (kuva 39b). Sivureunat muodostetaan hiemansamaan tapaan. Aluksi luodaan tasot, joista toinen (oikea sivureuna) kulkeee'0:n kautta ja toinen (vasen sivureuna) e1:n kautta. Molempien tasojennormaali asetetaan osoittamaan reunan suuntaisesti varjostettavasta mallistapoispäin. Tämän jälkeen sivutasoja käännetään siten, että nekin sivuavat valoapäinvastaisilta puolilta (kuva 39c). Kiilan lopulliset monikulmiot saadaanmuodostettua käyttämällä hyväksi reunan pisteitä ja tasojen normaaleita (kuva39d). Jos käytetään zfail-menetelmää, on kiilan alareuna muistettava vieläsulkea ylimääräisellä suorakulmiolla. Reunan toisen kärkipisteen siirtäminenvaloa kohti suurentaa kiilaa, ja takaa varsinaisen puolivarjon mahtuvan sensisään. Kiilaan kuuluva piste ei välttämättä kuulu puolivarjoon, mutta tämä eiole ongelma lopullista varjostusarvoa määritettäessä. Kiiloja on mahdollistapienentää, jos valo on suorakulmion muotoinen. Tällöin kiila voidaan tehdähyvin yksinkertaisesti heijastamalla valonlähde reunan kautta äärettömyyteen[Assarsson et al., 2003]. Tällöin myös alareunan sulkeminen muuttuutriviaaliksi.Kuva 39. Reunakiilojen muodostaminen [Assarsson and Akenine-Möller, 2003].Kiilojen piirtäminen tapahtuu Assarssonin et al. [2003] ohjeiden mukaisesti(esimerkissä käytetään zpass-menetelmää, mutta zfailia voidaan soveltaakääntämällä operaatiot päinvastaisiksi, kuten luvussa 4.1.3 on kuvattu). Aluksikameranäkymä piirretään väri- ja syvyyspuskuriin pitämällä käsiteltävä valo

75päällä. Tämän jälkeen näkyvyyskartan pikselit asetetaan arvoon 1.0. Kovatvarjot piirretään muuten tavalliseen tapaan, mutta kameraan päin osoittavienvarjopintojen kohdalla näkyvyyspuskurin arvoa vähennetään yhdellä, japoispäin osoittavan kohdalla sitä lisätään yhdellä. Nyt näkyvyyskartan nollaarvotosoittavat kovan varjon sijainnin. Menetelmässä on mahdollista käyttäämyös sapluunapuskuria, ja kopioida se sopivasti kerrottunanäkyvyyspuskuriin (mikäli laitteisto sen sallii) [Lengyel, 2005]. Tällöin voidaanhyödyntää laitteistokohtaisia optimointeja sapluunapuskureille.Seuraavaksi piirretään puolivarjokiilat yksi kerrallaan. Koska puolivarjonvaalennus ja himmennys vaatii melko raskaita pikselikohtaisia toimintoja,käytetään sapluunapuskuria rajaamaan pois sellaiset alueet, joissa puolivarjo eiole näkyvä [Assarsson et al., 2003]. Ensin piirretään kiilojen etureunatainoastaan sapluunapuskuriin, asettamalla pikselin arvoksi 1 aina syvyystestinonnistuessa. Tämän jälkeen asetetaan näkyvyyspuskuriin kirjoittaminen päälle(tämä aktivoi myös pikselivarjostimet), ja piirretään kiilojen takareunat. Pistepiirretään vain, jos sen syvyysarvo on suurempi kuin aiemminsyvyyspuskuriin kirjoitettu arvo, ja sapluunapuskurin arvo on 1. Kukinpuolivarjo on piirrettävä erikseen, koska muuten limittäin menevät sisemmät jaulommat puolivarjoalueet sotkevat toistensa varjostuksen (Fauerby ja Kjær[2003] antavat tästä seikkaperäisen selvityksen). Kullekin piirrettävälle pisteelleajetaan pikselivarjostin, joka tummentaa ulomman puolivarjon aluetta javaalentaa sisempää. Tämän jälkeen näkyvyyskartta voidaan sulauttaa alussapiirrettyyn väripuskuriin.Vähennettävän tai lisättävän varjostusarvon laskeminenpikselivarjostimessa on menetelmän raskain vaihe. Akenine-Möller jaAssarsson [2002] laskivat varjostusarvon reunapisteiden normaalien ja kiilanetu- ja takareunan avulla. Tämä mahdollisti kuitenkin vain varjostusarvonlineaarisen approksimaation, eikä näin ollen tuottanut aina realistisen näköisiätuloksia. Lisäksi menetelmä toimi väärin limittäisten varjokiilojen tapauksessa.Takaisinprojisointi [Assarsson and Akenine-Möller, 2003] korjaa nämäongelmat.Ennen kuin varjostusarvoa voidaan säätää, pikselivarjostimen on tiedettävä,pitääkö valoa vähentää vai lisätä. Tämän päättämiseen tarvitaan tieto siitä,sijaitseeko piste sisemmän vai ulomman puolivarjon alueella. Lengyel [2005]antaa pikselivarjostimelle vakiosyötteinä kiilan ja kovan varjoreunan tasojenneliulotteiset vektorit muunnettuina normalisoituun kamera-avaruuteen.Tämän jälkeen se, millä alueella piste on, voidaan laskea pikselikohtaisesti,käyttämällä pisteen kaksiulotteisia koordinaatteja ja syvyyspuskurin arvoa.Sijainnit suhteessa kuhunkin tasoon saadaan pistetulojen avulla. Assarsson et

76al. [2003] kuitenkin varoittavat syvyysarvojen epätarkkuudesta ja ongelmista,joita pyöristysvirheet aiheuttavat varjostettavan pisteen ollessa lähellä kovaavarjoa. He pilkkovat puolivarjokiilat sisempään ja ulompaan osaan käyttämälläylimääräisillä reunakolmioilla jatkettua kovaa varjoa. Tämän jälkeenpuolivarjoalueet piirretään toistaan erillään, eikä tarkastusta tarvitse enää tehdäpikselikohtaisesti.Takaisinprojisointi suoritetaan projisoimalla kaikki varjostavien mallienääriviivat globaaliin koordinaatistoon muunnetun piirrettävän pisteen javalonlähteen rajaamaan, normalisoituun avaruuteen. Tässä avaruudessavarjostettava piste sijaitsee origossa, ja valonlähde täyttää muotonsa puitteissakoko takakentän. Siluettireunoilla tarkoitetaan pisteistä e0 ja e1 koostuviareunoja, ei niitä, joista kiilat on tehty. Näin myös oikean puolivarjoalueenulkopuolella olevat pikselit varjostuvat oikein. Mallin peittämä alue saadaanlaskettua seuraavalla tavalla [Assarsson and Akenine-Möller, 2003]. Ensinkukin reuna leikataan pisteen projisoidun näkökentän reunoja myöten, jolloinsaadaan p:n näkökentässä olevat pisteet p0 ja p1. Tämän jälkeen lasketaan valonkeskipisteen (joka on normalisoidun avaruuden takareunan keskellä) jareunapisteiden välinen terävä kulma, joka saadaan vähentämällä atan2-funktion avulla lasketut kulmat toisistaan. Nämä funktiot ovat liian raskaitasuoritettavaksi pikselikohtaisesti, joten ne suositellaan esilaskettavaksierilliseen tekstuuriin, josta ne voidaan lukea reunan projisoitujenkoordinaattien avulla [Assarsson and Akenine-Möller, 2003]. Myös kulmaavastaava ala voidaan esilaskea, mutta varsinkin pallonmuotoisten (eliprojisoituna ympyränmuotoisten) valonlähteiden kohdalla se saadaan nopeastijakamalla radiaaneina esitetty kulma :n arvolla. Tuloksesta on tämän jälkeenvähennettävä valon keskipisteen ja pisteiden rajaaman kolmion ala, jokasaadaan kaavalla 0.5|(a-c)x(b-c)|, missä c on valon keskipiste, ja a sekä b ovatreunan leikatut kärkipisteet. Lopputuloksena on alue, jonka mallin reunavalonlähteestä peittää. Suhteellinen varjostusaste saadaan jakamalla se valonkokonaispinta-alalla (kuva 40a).

77Kuva 40. Yhden reunan varjostaminen (a) [Assarsson et al., 2003], ja reunojenyhteinen varjostus (b) [Fauerby and Kjær, 2003]. Harmaa kuvaa varjostettuaaluetta.Yhden reunan laskeminen ei luonnollisesti riitä, vaan näkökenttään onprojisoitava koko siluetti. Assarsson et al. [2003] osoittavat, että jokainen reunavoidaan käsitellä erikseen, ja niiden aiheuttaman varjostuksenkokonaisvaikutus saadaan lisäämällä tai vähentämällä tulos aiemminkäsiteltyjen reunojen aiheuttamasta varjostuksesta. Reunan suunta suhteessavarjostettavaan pisteeseen saadaan selville monikulmioiden piirtosuunnanmukaisesti (vasta- tai myötäpäivään). Reunan etupuolella oleva piste onulommassa puolivarjossa, ja täten reunan varjostama alue vähennetään pisteenkokonaisvalaistuksesta. Muussa tapauksessa piste on sisemmässäpuolivarjossa, ja valaistusarvoa lisätään (kuva 40b). Koska laskenta tehdäänreunakohtaisesti, pystytään käsittelemään myös tilanteet, joissa osa reunoistaosoittaa pistettä kohti, ja osa poispäin.Mikäli valonlähde on pallo tai suorakulmio, varjostusarvon laskenta onyleensä mahdollista suorittaa analyyttisin menetelmin [Assarsson et al., 2003].Varjostusarvot voidaan kuitenkin myös esilaskea neliulotteiseen listaan, jonkakaksi ensimmäistä tasoa kuvastavat p0:n kaksiulotteisia koordinaatteja, ja kaksiseuraavaa p1:n vastaavia [Assarsson and Akenine-Möller, 2003]. Listan arvotilmaisevat alan, jonka pisteistä muodostuva reuna varjostaa. Esilaskenta lisäätehokkuutta (varjostusarvojen tarkkuuden kustannuksella), ja mahdollistaalisäksi kuvallisten valonlähteiden käyttämisen. Tämä onnistuu tallentamallaneliulotteisen tekstikartan väriarvoihin tieto siitä, kuinka paljon kutakin väriävarjostava alue peittää. Nämä arvot vähennetään sitten valaistusarvokartan(jonka on nyt tallennettava arvot kullekin värikanavalle erikseen) täysistäväriarvoista. Samalla menetelmä mahdollistaa myös tulen kaltaisetyksinkertaiset valoanimaatiot [Assarsson and Akenine-Möller, 2003].Menetelmä tuottaa aidonnäköisiä varjoja, mutta sitä vaivaa pari hankalastiratkaistavaa ongelmaa. Ensimmäinen on jo aiemmin mainittu, yhdenvalonäytteen käytöstä johtuva epätarkkuus ja toinen on se, että mikäli kahdeneri mallin siluetit varjostavat samaa pistettä, varjo tummuu liikaa. Ensimmäistäongelmaa on mahdollista korjata pilkkomalla valonlähde pienempiin osiin.Tämä hidastaa suoritusta jonkin verran, mutta ei kuinkaan samassa suhteessakuin varjokarttojen kohdalla, sillä yksittäisten valonlähteiden kutistuessa jaonyhteydessä myös niiden langettamat puolivarjot kutistuvat, ja yhden kiilanpiirtämiseen kuluva aika vähenee [Assarsson et al., 2003]. Päällekkäistensiluettireunojen aiheuttamaa ongelmaa voidaan helpottaa muodostamallaääriviivoista yhtenäisiä ketjuja, ja piirtää jokainen ketju erikseen omaan

78valaisuarvokarttaansa. Lopuksi nämä yhdistetään, jolloin päällekkäiset varjoteivät enää tummenna toisiaan liikaa [Assarsson et al., 2003]. Forest et al. [2006]korjaavat ongelmaa pilkkomalla valonlähdettä p:n avaruudessa, ja pyrkimälläkapseloimaan mahdollisia päällekkäisyyksiä. Menetelmä lienee kuitenkin liianraskas reaaliaikaiseen käyttöön [Schwarz and Stamminger, 2007].Algoritmin tehokkuus riippuu mallin reunojen määrästä ja varjojen koosta.Lisäksi kiilat on piirrettävä erikseen, ja koska jokainen niistä vaatii montapiirto-operaatiota, ei menetelmä skaalaudu kovin hyvin monimutkaistenmallien esittämiseen. Kiilojen piirtämistä voidaan nopeuttaa mm. käyttämälläluvussa 4.3.1 esiteltyjä varjomallien optimointimenetelmiä [Lengyel, 2005].Lisäksi Assarsson et al. [2003] esilaskevat piirrettävien pisteiden sijainnitglobaalissa koordinaatistossa ylimääräiseen tekstikarttaan, koska se on heidänmukaansa tehokkaampaa kuin muunnoksen tekemisen pikselivarjostimessa(Lengyel [2005] toimii päinvastoin). Fauerby ja Kjær [2003] kehittivät rajoitetunmenetelmän, jonka avulla reunakiiloja voidaan piirtää kerralla useampia.Algoritmi ei kuitenkaan ole yleispätevä vaan vaatii, että valonlähde on pyöreä,ja että siluetit ovat suljettuja ketjuja. He tehostivat myös varjostuksenlaskemista pallonmuotoisille valonlähteille.Varjokiilamenetelmän suurin ongelma kuitenkin on, ettei se tunnu kovinhelposti taipuvan 3D-rajapintojen perusominaisuuksiin, vaan vaatii paljontoiminnallisuutta, joihin näytönohjaimia ei ole optimoitu. Esimerkiksivalaistuskartan käytännön toteuttamiseksi on kokeiltu monia eri menetelmiä(mm. [Assarsson et al., 2003], [Fauerby ja Kjær, 2003] ja [Lengyel, 2005]), muttayhtäkään niistä ei voi kutsua kovin luontevaksi. Menetelmää ei viime vuosinaolekaan liiemmin kehitetty, vaan huomio on keskittynyt vastaavaavarjostustapaa soveltaviin varjokartta-algoritmeihin6.3.2. BittikarttapeitotAtty et al. [2006] ja Guennebaud et al. [2006] keksivät samaan aikaan toisistaanriippumatta soveltaa takaisinprojisoinnin ajatusta varjokarttoihin. Aivan kutenpuolivarjokiilojen tapauksessa, kummankin ajatuksena on tehdä projektiopiirrettävästä pisteestä valonlähteeseen, ja laskea varjostusarvo sen mukaan,kuinka suuri osa valonlähteestä on näkyvissä. Kuten edellisessäkinmenetelmässä, valaistusasteiden arvot ovat välillä [0,1] ilmaisten prosentteina,kuinka paljon valonlähteestä on piirrettävän pisteen p näkökulmastanäkyvissä. Bittikarttapeittojen tapauksessa p:n ja valonlähteen väliin eikuitenkaan projisoida geometriaa vaan syvyyskartta, joka lasketaan valonkeskipisteestä. Täten menetelmä ei vaadi tietoa piirrettävästä geometriasta, elise jakaa muiden bittikarttamenetelmien hyvät puolet, ja on varsinkinmonimutkaisten mallien varjostamiseen paljon varjokiiloja elegantimpi

79ratkaisu. Valonlähteiden on periaatteessa oltava suorakaiteen muotoisia, muttasopivilla maskeilla voidaan luoda minkä muotoinen valo tahansa.Tekstikarttavaloja voidaan tukea samalla periaatteella kuin Assarsson jaAkenine-Möller [2003] tekivät varjomallien kohdallaMenetelmä muuttaa syvyyskartan pikselit nk. peitoiksi (micropatch), jotkaovat tilallisen valonlähteen suuntaisia, kolmiulotteisia suorakulmioita. Valostakatsottuna yksi peitto on täsmälleen yhden varjokartan pikselin kokoinen, eliglobaalissa koordinaatistossa niiden koko kasvaa perspektiivin mukaisestisuhteessa niiden etäisyyteen valosta (kuva 41). Kun varjokiilojen yhteydessäp:n näkökenttään projisoitiin varjostavan mallin siluettireunat, tässämenetelmässä siihen projisoidaan syvyyskartasta luodut peitot. Mitäsuuremman osan valonlähteestä peitot peittävät, sitä vähemmän valonlähteestäon näkyvissä, ja sitä tummempi piste p on.Kuva 41. Peitot esitettynä kaksiulotteisessa koordinaatistossa. L onvalonlähteen keskipiste, NP on taso jolle syvyyskartta luodaan, ja A, B ja C ovatvarjostavia esineitä.Koska kaikkien peittojen suunta ja suhdeluku on sama kuin valonlähteen,niiden peittämän alueen laskeminen on helppoa ja nopeaa: tarvitsee vain löytääkahden suorakaiteen leikkausalue. Guennebaud et al. [2006] antavat kaavan,jolla peiton kärkipisteet saadaan laskettua p:n muodostamassa avaruudessa(kuva 42). Kaavasta on huomattava se, että z-arvojen on oltava etäisyyksiävalosta globaalissa koordinaatistossa, ei pikseleiden normalisoitujasyvyysarvoja. Peiton ääripisteet rajataan alueelle [-½,½], ja sen ala saadaankertomalla sivujen pituudet. Tämä arvo voidaan vähentää valaistusarvostailman erillistä normalisointia, koska laskutoimitukset tehdäänyksikköavaruudessa.

80Kuva 42. Kaava, jolla varjokartan piste muunnetaan peitoksi pisteenyksikköavaruuteen (r on varjokartan resoluutio) [Guennebaud et al., 2006]Attyn et al. [2006] menetelmä luo pehmennetyn varjokartan, joka voidaanlaskemisen jälkeen projisoida näkymän päälle. Menetelmä alkaa piirtämälläkaksi syvyyskarttaa: toiseen piirretään varjostavat esineet ja toiseenvarjostettavat. Esineet siis jaetaan varjostaviin ja varjostettaviin esineisiin, eikämenetelmä täten tue itsevarjostuvuutta. Varjostavista esineistä tehdynsyvyyskartan pikselit muutetaan peitoiksi. Sitten lasketaan kunkin peitonlangettama puolivarjoalue virtuaalisella tasolla, joka kulkee varjostettavienesineiden etureunalla (kuva 43a). Tämä on se taso, jolle pehmeä varjokarttaluodaan. Jokaiselle peiton puolivarjossa olevalle pisteelle lasketaan tämänjälkeen varjostusarvo takaisinprojisointia käyttäen (kuva 43b). Pisteennäkökenttään projisoidaan vain se peitto, joka puolivarjoalueen on synnyttänyt.Pisteen koordinaatit saadaan varjostettavien esineiden syvyyskartasta. Tämänjälkeen varjostusarvo lisätään pehmennetyn varjokartan vastaavan pikselinarvoon. Kun jokaisen peiton osalta on käsitelty kaikki sen varjostamat pikselit,pehmeää varjokarttaa voidaan käyttää projisoimalla se näkymään.

81Kuva 43. Attyn et al. [2006] menetelmän toiminta. Peiton puolivarjoalueenlaskenta (a) ja takaisinprojisointi (b).Periaatteessa menetelmä voitaisiin toteuttaa myös siten, että varjostuslaskettaisiin kaikille varjostettavien esineiden kartan pisteille. Peittojenpuolivarjoalueen laskennan avulla menetelmä on kuitenkin nopeampi, koskasellaiset pisteet, jotka eivät kuulu yhdenkään peiton varjoalueelle, ovat valossa,eikä niitä tarvitse käsitellä takaisinprojisoinnin avulla. Käytännössä menetelmäkykenee käyttämään vain melko pieniä tekstikarttoja [Atty et al., 2006], jaongelmana on myös se, että koska varjostettavien karttaa estimoidaanvirtuaalisella tasolla, tuloksena saattaa olla pahaa laskostumista [Guennebaudet al., 2006]. Suurin ongelma on kuitenkin se, että menetelmä ei tueitsevarjostuvuutta.Guennebaudin et al. [2006] menetelmä korjaa itsevarjostuvuuden puutteen.Se on muuten samankaltainen kuin Attyn et al. [2006] näkemys, muttavarjostus lasketaan kameranäkymässä. Näin menetelmä tuottaa samanlaisenvalaistusastekartan kuin varjokiilamenetelmäkin. Kameranäkymänkäyttäminen tekee menetelmästä siinä mielessä edellistä hitaamman, ettäkäsiteltäviä pikseleitä on paljon. Kukin pikseli kuitenkin varjostetaan vainkerran, käymällä samalla kertaa läpi kaikki peitot, jotka kuuluvatvarjostettavan pisteen näkökenttään. Menetelmä siis käyttää vain yhtäsyvyyskarttaa, joka äärellistää valoon päin osoittavan näkymän. Varjokarttamuodostetaan tavalliseen tapaan, mutta myöhemmin esiteltävää optimointiaajatellen siitä täytyy pystyä muodostamaan hierarkia, joten sen resoluutionpitäisi olla kahden potenssi. Toisessa vaiheessa luodaan valaistusastekartta,mikä tapahtuu muodostamalla jokaiselle kameranäkymän pisteelle näkökenttä,jonka kärki on piirrettävässä pisteessä (globaalissa koordinaatistossa), ja

82takareuna valonlähteessä. Varjostusaste lasketaan samaan tapaan kuin Attyn etal. [2006] tapauksessa, käyttäen kuitenkin kaikkia syvyyskartasta luotujapeittoja. Aluksi valaistus on täysi, eli 1. Tämän jälkeen siitä vähennetään kunkinpeiton aiheuttama varjostuksen määrä.Kuten Attyn et al. [2006] menetelmässäkin, varjostuslaskennan tehokkuusriippuu paljolti siitä, kuinka monta peittoa kunkin pikselin kohdalla onkäsiteltävä. Edellistä menetelmää pystyttiin tehostamaan rajoittamallakäsiteltävien varjokartan pikselien määrää, mutta koska Guennebaudin et al.[2006] algoritmissa on varjostettava kaikki kameranäkyvyyden pisteet, onerityisen tärkeää, että ainoastaan pisteen varjostukseen vaikuttavat peitotkäsitellään. Luonnollisin tapa peittojen karsimiseksi on tietysti syvyyskartanresoluution pienentäminen, mutta se aiheuttaa laskostumista ja epätarkkojavarjoja.Guennebaudin et al. [2006] tehostusmalli alkaa mipmap-tyyppisen,hierarkkisen syvyyskartan luomisella. Siinä epätarkempi taso sisältäätarkemman alueen pikseleiden suurimman ja pienimmän syvyysarvon siten,että tarkin taso on syvyyskartta sellaisenaan ja ylin, ainoastaan yhden pikselinsisältävä taso kertoo koko varjokartan syvyysintervallin. Tämän avullapikselivarjostimessa voidaan nopeasti suodattaa syvyyskartasta pois sellaisiaalueita, jotka eivät vaikuta piirrettävän pisteen varjostukseen. Seuraava tehtäväon poistaa sellaiset peitot, jotka sijaitsevat valosta katsottuna p:n takana, tai sennäkökentän ulkopuolella. Tämä tapahtuu rajaamalla syvyyskartasta alue, jonkaulkopuolella olevia pikseleitä ei oteta mukaan varjostustarkasteluun. Tämä aluevoidaan rajoittaa globaalissa koordinaatistossa pyramidiin, jonka kärkipiste onvalonlähteen keskipisteessä, ja takareuna rajoittuu p:n näkökentän reunoihinsyvyydessä zmin (p:stä katsottuna). Se, minkä kokoinen tämä näkökenttä onvalon todellisen näkökentän etutasolla (jossa syvyyskartta piirretään) ratkaiseesen, mistä pikseleistä luodut peitot vaikuttavat pisteen p varjostumiseen (kuva44a). Tavoite on siis saada zmin mahdollisimman pieneksi.

83Kuva 44. Pyramidi, joka rajoittaa käsiteltävien peittojen määrän (a). Peittojenväliin voi jäädä aukkoja tai ne voivat limittyä toistensa päälle (b) [Guennebaudet al., 2006].Globaali zmin (joka on siis sama kaikille varjostettaville pisteille) saadaanhierarkkisen syvyyskartan ylimmän tason ainoasta pisteestä. Tämä arvo onsamalla lähimpänä valoa olevan syvyyskarttapisteen arvo. Tämän jälkeenkäsiteltävät pikselit on rajoitettu alueelle, joka saadaan seuraavalla kaavalla[Guennebaud et al., 2006] (kirjaimet viittaavat tekijöiden aiemmin esitettyynkaavaan):.Nyt voidaan määrittää p:n paikallinen minimisyvyys (joka on siismääritettävä jokaiselle varjostettavalle pisteelle erikseen). Se saadaan käymällähierarkkista syvyyskarttaa läpi rekursiivisesti aiemmin määritellystä alueestaalkaen. Alueelta etsitään lähimpänä p:tä oleva syvyysarvo, ja rajoitetaanhakualuetta joka kierroksella uudelleen (kaavaa käyttäen), kunnes on löydettyp:stä katsottuna kaukaisin piste, joka vaikuttaa varjostukseen. Guennebaud etal. [2006] toteavat yhden iteraatiokierroksen riittävän käytännössä.Hierarkiaan tallennettuja alipuun suurimpia syvyysarvoja voidaan käyttäätunnistamaan tilanteet, joissa p on täysvarjossa. Näin käy silloin, jos etsittävänalueen (valosta katsottuna) kaukaisin piste on valonlähteen ja p:n välissä. Tämätarkoittaa sitä, että kaikki alueen peitot ovat p:n ja valon välissä, ja näin nepeittävät valonlähteen kokonaan. Jos pz zmin, kaikki peitot ovat valosta

84katsottuna p:n takana, ja p näin ollen kokonaan valossa. Myös sitä, kuinkatarkalle tasolle hierarkkista syvyyskarttaa käsitellään, voidaan säätää tietynkynnysarvon mukaan. Näin syvyyskartan tarkkuutta voidaan muuttaa koskatahansa. Tämä mahdollistaa ajonaikaisesti säädettävän kompromissin varjonlaadun ja algoritmin nopeuden välillä, jolloin esimerkiksi kameran liikkuessavoidaan panostaa nopeuteen, koska varjojen epätarkkuus on vaikeastihuomattavissa. Kun kamera pysähtyy, voidaan käyttää tarkempia varjoja,koska nopeudella ei ole enää niin suurta merkitystä.Hierarkkinen kartta on tehokas menetelmä, jota näytönohjaimet tukevatsuoraan mipmappien muodossa. Tässä tapauksessa se ei kuitenkaan oleihanteellinen, sillä mikäli käsiteltävä suorakulmio leikkaa yhdenkin pisteenjonkin alipuun alueelta, koko alipuu joudutaan käymään tarkastelussa läpi.Tämä aiheuttaa monesti tehottomuutta, koska tarkasteltava alue harvoinrajoittuu juuri yhden alipuun alueeseen. Schwarz ja Stamminger [2007]käyttävätkin perinteisen hierarkian sijasta skaalautuvaa syvyyskarttaa, jonkakaikki tasot sisältävät yhtä suuren tekstikartan. Tason i piste sisältääsuurimman ja pienimmän syvyysarvon alemman tason alueella 2 i x2 i , jonkakeskipisteessä se on. Tämä mahdollistaa sen, että kutakin käsiteltävää aluettavoidaan tarkastella yksittäisesti.Menetelmän hankaluutena on se, että koska kunkin peiton varjostama aluejoudutaan laskemaan erikseen, p:n näkökentästä katsottuna päällekkäiset peitotaiheuttavat liiallista tummentumista, koska limittyvät alueet lisätäänvarjostusasteeseen monta kertaa. Vielä suurempi ongelma on se, että peittojenväliin voi myös jäädä aukkoja, jolloin varjoihin syntyy helposti havaittaviavaaleita kohtia (kuva 44b).Välien täyttäminen on onneksi helppoa, koska voidaan tehdä oletus, ettäaukot sijaitsevat aina vierekkäisten peittojen välissä [Guennebaud et al., 2006].Täten kutakin peittoa voidaan venyttää siten, että se kohtaa p:nkaksiulotteiseksi projisoidussa näkökentässä naapuripeiton rajat. Täyttäminentehdään laskemalla sekä käsiteltävän peiton että sen vasemmalla ja yläpuolellaolevien naapureiden ääripisteet. Tämän jälkeen peiton vasen reuna venytetäänvasemman naapurin oikeaa reunaa vasten, ja yläreuna yläpuolella olevannaapurin alareunaa vasten. Jos naapuripeitto on kauempana valosta kuinkäsiteltävä piste p, venytystä ei luonnollisestikaan tarvitse tehdä. Limittäinmenevien peittojen kohdalla vastaavaa korjausmenetelmää ei ole, koskalimittäin voi olla useita peittoja, jotka eivät välttämättä ole toistensa naapureita.Limittymisistä johtuva varjojen tummuminen (jota aukkojen täyttäminenjossain määrin pahentaa) ei ole kuitenkaan niin huomattava ongelma kuinaukot. Yleensä limittäisyys muuttuu suuremmaksi ongelmaksi vasta, kun yksi

85erittäin lähellä valoa oleva peitto peittää monta valosta kaukana olevaa.Tällaiset tilanteet ovat kuitenkin hyvin harvinaisia [Guennebaud et al., 2006].Menetelmään on lyhyessä ajassa annettu useita kehitysehdotuksia. Bavoil etal. [2006] käyttävät monitasoisia syvyyskarttoja (ks. luku 5.2.1) aukkojentäyttämiseksi, koska Guennebaudin et al. [2006] esittelemä malli ei toimierityisen hyvin ohuiden esineiden varjostamisessa. He piirtävät näkymänuseaan kertaan (kehittäjien mukaan kolme kerrosta riittää), ja luovat peitotlähimpänä p:tä olevista pisteistä. Menetelmä on luonnollisesti hitaampi kuinyksikerroksista syvyyskarttaa käyttävät, mutta toisaalta sen avulla voidaankorjata myös syvyysarvojen epätarkkuuteen liittyviä ongelmia.Schwarz ja Stamminger [2007] korjaavat varjojen tummentumistapilkkomalla valon palasiksi, ja luomalla bittikartan, jossa yksi bitti vastaa yhtävalonlähteen osaa. Bitin arvo 0 tarkoittaa sitä, että kyseinen valon alue näkyykäsiteltävästä pisteestä. Muussa tapauksessa alue on varjostavan esineenpeittämä. Pisteen p varjostaminen toimii asettamalla kaikki bitit ensin nolliksi.Tämän jälkeen kukin käsiteltävä peitto projisoidaan p:n näkökenttään jamääritetään se, mitkä jaetuista alueista jäävät sen taakse. Vastaavat bititasetetaan tämän jälkeen ykkösiksi. Jos alue on jo jonkun toisen peiton peittämä,sen arvo ei muutu, eikä päällekkäisyydellä näin ole merkitystä varjostusarvoon.Lopullinen varjostusaste määräytyy sen mukaan, kuinka suuri osuus biteistä onykkösiä. Menetelmän tuottamien varjojen tarkkuus riippuu siitä, kuinkamoneen osaan valo on pilkottu. Schwarz ja Stamminger [2007] huomauttavatmyös, että bittikentän avulla on mahdollista yhdistää useamman erisyvyyskartan tulokset. Tästä on apua esimerkiksi laajojen valonlähteidenkohdalla, koska sen avulla voidaan luoda useampi syvyyskartta erinäytepisteistä, ja laskea p:n näkyvyys niiden kaikkien suhteen. Tämä korjaisipistevalosta tehtyjen pehmeiden varjojen perusongelmaa merkittävästi.Menetelmää voidaan myös käyttää tehostamaan teksturoituja valonlähteitä.Guennebaud et al. [2007] esittelevät viimeisimpänä ajatuksenaanvarjotilavuusmenetelmistä tutun ääriviivalaskennan yhdistämistätakaisinprojisoituihin varjokarttoihin, sekä mukautuvien varjokarttojenkaltaista lähestymistapaa varjon tarkkuusvaatimusten arviointiin. Direct3D10:n tarjoama tuki bittikohtaisille operaatioille pikselivarjostimissa tekee näistämenetelmistä varteenotettavan tutkimuskohteen tulevaisuutta ajatellen.7. YhteenvetoReaaliaikaiset varjomallinnusmenetelmät ovat käyneet läpi mielenkiintoisenkehityskaaren. Vuoroin on pyritty kehittämään menetelmiä, jotka rajatuissatilanteissa antavat fysikaalisesta virheellisyydestään huolimatta ohjelman

86käyttäjälle illuusion todellisuudesta, ja vuoroin taas keskitytty kehittämäännäitä menetelmiä eteenpäin, että vaativammatkin näkymät voidaan varjostaaniiden avulla yleispätevästi.Yleisesti ottaen, yksinkertaisuus on kaunista myös varjoalgoritmientapauksessa. Reaaliaikaiseen varjomallinnukseen on kehitetty lukemattomiamenetelmiä, joista monimutkaisimmat tuntuvat poikkeuksetta sisältävän enitenepätarkkuuksia ja erikoistapauksia. Matemaattisesti oikeaoppinenlähestymistapa ei yleensä ole paras, vaikka laitteistojen laskentavoimakasvaakin kovaa tahtia. Pyöristysepätarkkuudet pahenevat laskujenmonimutkaistuessa, ja niistä aiheutuvien virheiden korjaaminen on useinerittäin hankalaa. Reaaliaikamenetelmissä onkin usein kysymys enemmänohjelmoinnillisista kuin matemaattisista oivalluksista, ja ennen kaikkea kyvystälöytää oleelliset asiat kaavojen takaa, ja jättää kaikki ylimääräinen pois.Varjotilavuusmenetelmien hyvänä puolena on aina ollut muidenvektorigraafisten algoritmien tapaan se, että niiden avulla on voitu saavuttaatarkkaa grafiikkaa suhteellisen pienillä muistivaatimuksilla. Tämä oli erityisentärkeää silloin, kun tietokoneet eivät vielä kyenneet pitämään muistissaankerralla useita suuria kuvia. Kuten vektoripohjaiset menetelmät yleensäkin,muistin määrää joudutaan kuitenkin kompensoimaan laskutoimituksilla, ettämallit saadaan tuottamaan haluttua kuvaa. Viime vuosina varjotilavuuksienkäyttö onkin selvästi vähentynyt, mikä johtuu siitä, että niiden tehokkuuslaskee näkymien monimutkaistuessa. Toisaalta laitteiden muistimäärien nopeakasvu mahdollistaa tarkemmat tekstikartat, ja näin niihin liittyvätlaskostumisongelmat helpottuvat vuosi vuodelta. Varjokarttamenetelmättoimivat myös varjomalleja yleisemmällä tasolla, ja ne voivat helpomminhyödyntää kaksiulotteiseen kuvankäsittelyyn kehitettyjä menetelmiä, joitatutkitaan paljon 3D-grafiikan ulkopuolella.Tulevaisuudessa realismivaatimukset kasvavat, ja näin pehmeistä varjoistatulee jossain vaiheessa standardi. Riippuu hyvin pitkälle laitevalmistajista,minkälaisia ominaisuuksia menetelmien toteuttamiseksi saadaan. Tällä hetkelläkuitenkin vaikuttaa siltä, että varjokartat ovat seuraavina vuosina ottamassatukevan niskalenkin varjomallimenetelmistä. Toisaalta geometriavarjostimienkehittyminen saattaa jossain vaiheessa yksinkertaistaa varjotilavuusalgoritmientoteuttamista, ja nostaa ne jälleen esiin. Karkeasti ottaen voikin sanoa, ettävarjotilavuudet hyötyvät nopeista matematiikkaprosessoreista, ja varjokartattaas kasvavasta muistikapasiteetista. Sillä, kumpi laitteissa kasvaa nopeammin,on ratkaiseva merkitys siihen, millaisia varjoalgoritmeja tulevaisuudenreaaliaikaisissa 3D-ohjelmistoissa käytetään.

Viiteluettelo87[Agrawala et al., 2000] Maneesh Agrawala, Ravi Ramamoorthi, Alan Heirich,and Laurent Moll, Efficient image-based methods for rendering softshadows. In Computer Graphics (SIGGRAPH 2000), Annual ConferenceSeries, pages 375–384. ACM SIGGRAPH, 2000.[Akenine-Moeller and Assarsson, 2002] Akenine-Moeller, T., and Assarsson, U.,Approximate soft shadows on arbitrary surfaces using penumbra wedges.In 13th Eurographics Workshop on Rendering 2002.[Ambrož, 2006] David Ambrož, Planar shadows by J. Blinn. 2006. Available ashttp://www.shadowstechniques.com/blinn.html.[Assarsson and Akenine-Möller, 2003] Ulf Assarsson and Tomas Akenine-Möller, A geometry-based soft shadow volume algorithm using graphicshardware. ACM Transactions on Graphics (SIGGRAPH 2003), 22(3), 2003.[Assarsson et al., 2003] Ulf Assarsson, Michael Dougherty, Michael Mounier,and Tomas Akenine-Möller, An optimized soft shadow volume algorithmwith real-time performance. In Graphics Hardware, 2003.[Atty et al., 2006] Atty L., Holzschuch N., Lapierre M., Hasenfratz J.-M.,Hansen C. and Sillion F., Soft shadow maps: efficient sampling of lightsource visibility. Computer Graphics Forum (2006). (to appear).[Barequet et al., 2001] G. Barequet, C.A. Duncan, M. T. Goodrich, W. Huang, S.Kuma and M. Pop, Efficient perspective-accurate silhouette computation.Proc. 17th Ann. ACM Symp. on Computational Geometry (SoCG), Medford,MA, pp. 60-68, June 2001[Batagelo and Júnior, 1999] Harlen Costa Batagelo and Ilaim Costa Júnior,Realtime shadow generation using BSP trees and stencil buffers. InSIBGRAPI, volume 12, pages 93–102, October 1999.[Bavoil et al., 2006] Louis Bavoil, Steven P. Callahan and Claudio T. Silva,Robust soft shadow mapping with depth peeling. SCI Institute TechnicalReport, No. UUSCI-2006-028, University of Utah, 2006.[Bergeron, 1986] Philippe Bergeron, A general version of crow's shadowvolumes. IEEE Computer Graphics and Applications, Sept. 1986, pp. 17-28.[Bilodeau and Songy, 1999] Bill Bilodeau and Mike Songy, Creative Labssponsored game developer conference, unpublished slides, Los Angeles, May1999.[Blinn, 1988] Blinn, James, Me and my (fake) shadow. IEEE Computer Graphicsand Applications, January 1988. N. (eds.) ISBN 3-211-83213-0[Blinn, 1993] Jim Blinn, A trip down the graphics pipeline: the homogeneousperspective transform. IEEE Computer Graphics and Applications, May 1993,pp. 75-88.

88[Brabec and Seidel, 2002] Brabec, S., and Seidel, H.-P., Single sample softshadows using depth maps. In Proc. Graphics Interface, 219–228, 2002.[Brabec and Seidel, 2003] Stefan Brabec and Hans-Peter Seidel, Shadowvolumes on programmable graphics hardware. Computer Graphics Forum(Eurographics 2003), 25(3), September 2003.[Brabec et al., 2002a] Brabec S., Annen T. and Seidel H.-P., Practical shadowmapping. Journal of Graphics Tools 7, 4 (2002), pp. 9-18.[Brabec et al., 2002b] Brabec, S., Annen, T. and Seidel, H.-P., Shadow mappingfor hemispherical and omnidirectional light sources. In Computer GraphicsInternational, 2002.[Brennan, 2002] Chris Brennan, Shadow volume extrusion using a vertexshader. In ShaderX: Vertex and Pixel Shaders Tips and Tricks, WolfgangEngel editor, Wordware, May 2002.[Carmack, 2000] John Carmack, Carmack on shadow volumes, correspondencebetween Mark Kilgard and John Carmack, 2000.[Chan and Durand, 2003] Eric Chan and Fredo Durand, Rendering fake softshadows with smoothies. In Rendering Techniques 2003 (14th EurographicsSymposium on Rendering). ACM Press, 2003.[Chong and Gortler, 2004] Chong H. and Gortler S., A lixel for every pixel. InProceedings of the Eurographics Symposium on Rendering (2004),Eurographics Association, pp. 167-172.[Crow, 1977] Crow, F. C., Shadow algorithms for computer graphics. InComputer Graphics (Proceedings of SIGGRAPH 77), vol. 11, 242–248.[Diefenbach, 1996] Paul Diefenbach, Multi-pass pipeline rendering: interactionand realism through hardware provisions. Ph.D. thesis, University ofPennsylvania, tech report MS-CIS-96-26, 1996.[Dietrich, 2001] Sim Dietrich, Shadow techniques. NVIDIA Corporation, 2001.PowerPoint Presentation available from http://www.nvidia.com.[Donelly and Lauritzen, 2006] Donnelly W. and Lauritzen A., Variance shadowmaps. In SI3D '06: Proceedings of the 2006 symposium on Interactive 3Dgraphics and games (New York, NY, USA, 2006) ACM Press pp. 161-165[Drettakis and Fiume, 1994] George Drettakis and Eugene Fiume, A fastshadow algorithm for area light sources using backprojection. In ComputerGraphics (SIGGRAPH 1994), Annual Conference Series, pages 223–230.ACM SIGGRAPH, 1994.[Everitt et al., 2001] C. Everitt, A. Rege, and C. Cebenoyan, Hardware shadowmapping. White paper, nVIDIA, 2001.

89[Everitt and Kilgard, 2002] Everitt, C., and Kilgard, M. J., Practical and robuststenciled shadow volumes for hardware-accelerated rendering. Publishedonline at developer.nvidia.com.[Everitt and Kilgard, 2003] Cass Everitt and Mark J. Kilgard, Optimized stencilshadow volumes. 2003[Fauerby and Kjær, 2003] Real-time Soft Shadows in a Game Engine. Master’sthesis, December 2003.[Fernando et al., 2001] R. Fernando, S. Fernandez, K. Bala, and D. P. Greenberg,Adaptive shadow maps. Proc. of SIGGRAPH 2001, pages 387–390, 2001.[Forest et al., 2006] Forest V., Barthe L. and Paulin M., Realistic soft shadows bypenumbra-wedges blending. In Proceedings of Graphics ardware 2006 (2006),pp. 39-47.[Fournier and Fussell, 1988] Alain Fournier and Donald Fussell, On the powerof the frame buffer. ACM Transactions on Graphics, April 1988, 103-128.[Guennebaud et al., 2006] Gael Guennebaud, Loc Barthe and Mathias Paulin,Realtime soft shadow mapping by backprojection. In EurographicsSymposium on Rendering, pp. 227–234, 2006.[Guennebaud et al., 2007] Gaël Guennebaud, Loïc Barthe and Mathias Paulin,High-quality adaptive soft shadow mapping. In Eurographics, 2007.[Guinot, 2005] Jérôme Guinot, Stencil shadow volumes. 2005. Available ashttp://www.ozone3d.net/tutorials/stencil_shadow_volumes.php.[Haines, 2001] Eric Haines, Soft planar shadows using plateaus. Journal ofGraphics Tools, 6(1):19–27, 2001.[Hasenfrantz et al., 2003] Jean-Marc Hasenfratz, Marc Lapierre, NicolasHolzschuch and François Sillion, A survey of real-time soft shadowsalgorithms. In Computer Graphics Forum, Volume 22, Number 4 - 2003.[Heckbert and Herf, 1997] P. S. Heckbert and M. Herf, Simulating Soft Shadowswith Graphics Hardware. Technical Report CMU-CS-97-104, CarnegieMellon University, Januar 1997[Heidmann, 1991] Heidmann, T., Real shadows real time. IRIS Universe, 18, 28–31.[Heidrich and Seidel, 1998] Wolfgang Heidrich and Hans-Peter Seidel, Viewindependentenvironment maps. 1998 SIGGRAPH / Eurographics Workshopon Graphics Hardware, pages 39–46, August 1998. Held in Lisbon, Portugal.[Heidrich et al., 2000] Wolfgang Heidrich, Stefan Brabec and Hans-Peter Seidel,Soft shadow maps for linear lights high-quality. In Rendering Techniques2000 (11th Eurographics Workshop on Rendering), pages 269–280. Springer-Verlag, 2000. Slides available as http://www.mpi-inf.mpg.de/~brabec/.

90[Herf, 1997] Michael Herf, Efficient generation of soft shadow textures.Technical Report CMU-CS-97-138, Carnegie Mellon University, 1997.[Hornus et al., 2005] Hornus S., Hoberock J., Lefebvre S. and Hart J., ZP+:correct z-pass stencil shadows. In SI3D ’05: Proceedings of the 2005symposium on Interactive 3D graphics and games, ACM Press, pp. 195–202.[Hourcade and Nicolas, 1985] J.-C. Hourcade and A. Nicolas, Algorithms forantialiased cast shadows. Computers & Graphics, 9(3):259–265, 1985.[Isard et al., 2002] M. Isard, M. Shand and A. Heirich, Distributed rendering ofinteractive soft shadows. In 4th Eurographics Workshop on Parallel Graphicsand Visualization, pages 71–76. Eurographics Association, 2002.[Kilgard, 1999] M. J. Kilgard, Improving shadows and reflections via the stencilbuffer. Advanced Game Development course notes, Game DevelopmentConference, pp. 204-253, March 16, 1999[Kilgard, 2001a] Mark Kilgard, Robust stencil volumes. CEDEC 2001presentation, Tokyo, Sept. 4, 2001.[Kilgard, 2001b] Kilgard, M. J., Shadow mapping with today’s openglhardware. Published online at developer.nvidia.com.[Kim and Neumann, 2001] Kim T.-Y., Neumann U., Opacity shadow maps. InProceedings of the 12th Eurographics Workshop on Rendering Techniques(London, UK, 2001), Springer-Verlag, pp. 177–182.[King, 2004] Gary King, Shadow mapping algorithms. Technical report,NVIDIA Corporation, 2004.[Kirsch and Doellner, 2003] Florian Kirsch and Juergen Doellner, Real-time softshadows using a single light sample. Journal of WSCG (Winter School onComputer Graphics 2003), 11(1), 2003.[Lefohn et al., 2005] Aaron Lefohn, Shubhabrata Sengupta, Joe Kniss, RobertStrzodka and John D. Owens, Dynamic adaptive shadow maps ongraphics hardware. International Conference on Computer, 2005[Lefohn et al., 2007] Aaron E. Lefohn, Shubhabrata Sengupta and John D.Owens, Resolution-matched shadow maps. ACM Transactions on Graphics,Vol. 26, No. 4, October 2007, Pages 1-23.[Lengyel, 2002] Eric Lengyel, The mechanics of robust stencil shadows.Available in http://www.gamasutra.com (October 2002).[Lengyel, 2005] Lengyel E., Advanced stencil shadow and penumbral wedgerendering. Presentation at Game Developers Conference 2005, available ashttp://www.terathon.com/gdc_lengyel.ppt.[Lokovich and Veach, 2000] Tom Lokovic and Eric Veach, Deep shadow maps.In Computer Graphics (SIGGRAPH 2000), Annual Conference Series, pages385–392. ACM SIGGRAPH, 2000.

91[Lloyd et al., 2004] Lloyd B., Wendt J., Govindaraju N. K. and Manocha D., CCshadow volumes. In Proceedings of the Eurographics Symposium on Rendering(2004).[Lloyd et. al., 2006] Brandon Lloyd, David Tuft, Sung-eui Yoon and DineshManocha, Warping and partitioning for low error shadow maps. Inproceedings of the Eurographics Symposium on Rendering 2006, p. 215-226.[Mamassian et al., 1998] Pascal Mamassian, David C. Knill, and Daniel Kersten,The perception of cast shadows. Trends in Cognitive Sciences, 2(8):288–295,1998.[Markosian et al., 1997] Lee Markosian, Michael A. Kowalski, Samuel J.Trychin, Lubomir D. Bourdev, Daniel Goldstein and John F. Hughes, Realtimenonphotorealistic rendering. Computer Graphics (Proceedings ofSIGGRAPH '97), August, 1997.[Martin and Tan, 2004] Martin, T. and Tan, T.-S., Anti-aliasing and continuitywith trapezoidal shadow maps. In Proc. Eurographics Symposium onRendering 2004, 153--160.[McCool, 2000] McCool, M. D., Shadow volume reconstruction from depthmaps. ACM Transactions on Graphics 19, 1 (January), 1–26, 2000, ISSN 0730-0301.[McGuire et al., 2003] McGuire M., Hugues J. F., Egan K. T., Kilgard M. andEveritt C., Fast, practical and robust shadows. Tech. Rep. CS03-19, BrownUniversity, October 2003.[Mertens et al., 2004] Mertens T., Kautz J., Bekaert P., Van Reeth F., Aselfshadow algorithm for dynamic hair using clustered densities. InProceedings of Eurographics Symposium on Rendering 2004 (June 2004), pp.173–178.[Morein, 2000] Steve Morein, ATI Radeon hyperZ technology. In Workshop onGraphics Hardware, Hot3D Proceedings. ACM SIGGRAPH/Eurographics,August 2000.[Parker et al., 1998] Steven Parker, Peter Shirley and Brian Smits, Single samplesoft shadows. Technical Report UUCS-98-019, Computer ScienceDepartment, University of Utah, October 1998.[Reeves et al., 1987] W. T. Reeves, D. H. Salesin and R. L. Cook, Renderingantialiased shadows with depth maps. Computer Graphics (Proc. ofSIGGRAPH 87), 21(4):283–291, 1987.[Roettger et al., 2002] Stefan Roettger, Alexander Irion and Thomas Ertl,Shadow volumes revisited. In Winter School on Computer Graphics, 2002.

92[Scherzer, 2005] Daniel Scherzer, Robust shadow maps for large environments.Proceedings of the Central European Seminar on Computer Graphics 2005,ISSN, 2005[Schwarz and Stamminger, 2007] Michael Schwarz and Marc Stamminger,Bitmask soft shadows. Computer Graphics Forum 26:3 (2007), 515–524.[Segal et al., 1992] Segal M., Korobkin C., Van Widenfelt R., Foran J. andHaeberli P., Fast shadows and lighting effects using texture mapping. InProceedings of SIGGRAPH (1992), pp. 249-252.[Sen et al., 2003] Sen P., Cammarano M. and Hanrahan P., Shadow silhouettemaps. In Proceedings of SIGGRAPH (2003), pp. 521–526.[Stamminger and Drettakis, 2002] Stamminger, M. and Drettakis, G.,Perspective shadow maps. In Proceedings of ACM SIGGRAPH 2002, ACMPress/ ACM SIGGRAPH, J. Hughes, Ed., Annual Conference Series.[Sutherland, 1973] Sutherland, I. E., Polygon sorting by subdivision: a solutionto the hidden Surface Problem. Unpublished, 1973.[Tadamura et al., 2001] Tadamura, K., Qin, X., Jiao, G. and Nakamae, E.,Rendering optimal solar shadows with plural sunlight depth buffers. TheVisual Computer 17, 2, 76-90, 2001.[Upstill, 1990] S. Upstill, The RenderMan Companion. Addison-Wesley, 1990.[van Waveren, 2005] J.M.P. van Waveren, Shadow Volume Construction. 2005.Available as http://cache-www.intel.com/cd/00/00/29/37/293752_293752.pdf[Weiskopf and Ertl, 2003] D. Weiskopf and T. Ertl, Shadow mapping based ondual depth layers. In Procceedings of Eurographics ’03 Short Papers, pages53–60, 2003.[Wang and Molnar, 1994] Yulan Wang and Steven Molnar, Second-depthshadow mapping. Technical report, University of North Carolina atChapel Hill, 1994.[Williams, 1978] Williams, L., Shadow algorithms for computer graphics.Computer Graphics, vol. 12, no. 3, pp270-4, 1978.[Williams, 1983] L. Williams, Pyramidal parametrics. Computer Graphics(Proceedings of SIGGRAPH 83), 17(3):1–11, July 1983. P. Tanner, editor.[Wimmer et al., 2004] Michael Wimmer, Daniel Scherzer and WernerPurgathofer, Light space perspective shadow maps. In Proceedings of theEurographics Symposium on Rendering 2004, pp. 143–152.[Woo et al., 1990] Andrew Woo, Pierre Poulin and Alain Fournier, A survey ofshadow algorithims. IEEE Computer Graphics and Applications, 10(6):13-32,November 1990[Woo, 1992] A. Woo. The shadow depth map revisited. In D. Kirk, editor,Graphics Gems III, pages 338-342. AP Professional, Boston, 1992.

93[Wyman and Hansen, 2003] Chris Wyman and Charles Hansen, Penumbramaps: approximate soft shadows in real-time. In Rendering Techniques 2003(14th Eurographics Symposium on Rendering). ACM Press, 2003.[Ying et al., 2002] Zhengming Ying, Min Tang and Jinxiang Dong, soft shadowmaps for area light by area approximation. In 10th Pacific Conference onComputer Graphics and Applications, pages 442–443. IEEE, 2002.[Yuksel and Keyser, 2007] Cem Yuksel and John Keyser, Deep opacity maps.Technical report tamu-cs-tr-2007-6-1, Department of Computer Science,Texas A&M University.[Zhang et al., 2006a] Zhang, F., Sun, H., Xu, L., and Lun, L. K., Parallel-splitshadow maps for large-scale virtual environments. In Proceedings of the2006 ACM international Conference on Virtual Reality Continuum and ItsApplications (Hong Kong, China). VRCIA '06. ACM, New York, NY, 311-318.[Zhang et al., 2006b] Zhang, F., Xu, L., Tao, C. and Sun, H., Generalized linearperspective shadow map reparameterization. In Proc. of the 2006 ACMinternational conference on Virtual reality continuum and its applications, pp.339–342. ACM Press, New York (2006)