osa 5

Spektrin energiatiheysSignaalin energia- ja tehotiheysReaaliarvoisen energiasignaalin g(t) kokonaisenergia E saadaan kaavalla∞∫−∞E = g2 ( t)dtOlkoon signaalin g(t) Fourier-muunnos G(ω). Parsevalin teoreeman mukaankokonaisenergia E voidaan laskea joko aika- tai taajuustasossaE∞−∞∞2 122= ∫ g ( t)dt = ∫ G(ω)dω= ∫ G(f ) df2π−∞∞−∞Käytännössä signaalin kokonaisenergia on usein helpompi laskea taajuustasossa.Fourier-muunnoksen itseisarvon (= amplitudispektri) neliö määrittää signaalinenergian taajuusyksikköä kohti (J/Hz) eli spektrin energiatiheyden ψ g(f).ψ g( f ) = G(f )2©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2005 1

Signaalin energia- ja tehotiheysEnergiasignaalien autokorrelaatioTarkastellaan signaalia g(t), jonka Fourier-muunnos on G(f). Spektrin energiatiheyson nyt siisψ ( f ) =gG(f )2= G(f ) G∗( f )Tässä G * (f) on G(f):n kompleksikonjugaatti. Yllä kerrotaan siis taajuustasossasignaalit G(f) ja G * (f) keskenään. Aikatasossa taajuustason kertolaskua vastaaFourier-muunnoksen konvoluutioteoreeman mukaisesti konvoluutio.Kompleksikonjugointia vastaa puolestaan aikatasossa aikaparametrin muuttaminenvastakkaismerkkiseksi.∗g( τ ) ∗ g(−τ) ⇔ G(f ) G ( f )Kaavassa esiintyvää konvoluutiota sanotaan signaalin g(t)autokorrelaatiofunktioksi R g(τ) ja se määritellään muodossa∞∫−∞R g( τ ) = g(τ ) ∗ g(−τ) = g(τ ) g(t −τ) dt©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2005 3

Signaalin energia- ja tehotiheysAutokorrelaatiofunktio kuvaa signaalin ja sen τ:n verran viivästetyn versionsamankaltaisuutta. Autokorrelaatio on maksimissaan, kun τ=0, jolloin vertailtavanaon kaksi samaa signaalia. Jaksolliselle signaalille autokorrelaatiofunktio saamaksimiarvon jaksonpituuden välein. Signaalin jaksollisuuden tutkiminen onkin yksiautokorrelaatiofunktion tärkeimmistä sovelluksista.Esimerkki. Kosinisignaali.2Signaali10-1-20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102000Autokorrelaatio10000-1000-2000-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2005 4

Signaalin energia- ja tehotiheysEsimerkiksi tutkatekniikassa hyödynnetään autokorrelaatiofunktiota. Tutka lähettääsignaalia kohteeseen ja laskee vastaanotossa autokorrelaatiota. Kun autokorrelaatiosaa maksimiarvonsa, on tutkan lähettämä signaali heijastunut kohteesta ja palannuttakaisin. Signaalin kulkuajasta voidaan määrittää kohteen etäisyys.Autokorrelaatiofunktion ominaisuuksiaReaaliarvoisen signaalin autokorrelaatiofunktio on reaaliarvoinen ja parillinen funktio.R ( −τ) = R ( τ )ggEnergiasignaalin autokorrelaatiofunktion arvo origossa on signaalin kokonaisenergiaR g(0) = EEnergiasignaalin autokorrelaatiofunktio ja spektrin energiatiheys muodostavatFourier-muunnosparinRg( τ ) ⇔ψ( f )g©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2005 5

Signaalin energia- ja tehotiheysEnergiasignaalien ristikorrelaatioRistikorrelaatio mittaa kahden signaalin samankaltaisuutta eli koherenssiasignaalien välisen viiveen τ funktiona. Kahden reaaliarvoisen energiasignaalin g 1(t)ja g 2(t) välinen ristikorrelaatiofunktio R 12(τ) määritellään kaavalla∞12( τ ) ∫ g1(τ ) g2(t −τ−∞R = ) dtKorrelaation laskenta muistuttaa konvoluution laskentaa, ja käytännön toteutuksissakäytetäänkin usein samaa aliohjelmaa kummankin operaation laskentaan.Signaalit ovat keskenään ortogonaalisia eli niissä ei ole samankaltaisuutta kokoaikavälillä, jos∞∫−∞g1 ( τ ) g2(t −τ) dt = 0©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2005 6

Signaalin energia- ja tehotiheysJos korreloitavien signaalien järjestystä vaihdetaan, saadaanristikorrelaatiofunktioksi∞21( τ ) ∫ g2(τ ) g1(t −τ−∞R = ) dtVoidaan osoittaa, että R 12(τ) = R 21(-τ).Ristikorrelaatiofunktion R 12(τ) ja signaalien g 1(t) ja g 2(t) Fourier-muunnosten G 1(f) jaG 2(f) välillä on voimassa ns. korrelaatioteoreema, joka voidaan esittää Fouriermuunnosparina∗R21( τ ) ⇔ G1( f ) G2( f )Kahden energiasignaalin ristikorrelaatiofunktio aikatasossa vastaa siistaajuustasossa yhden signaalin Fourier-muunnoksen ja toisen signaalin Fouriermuunnoksenkompleksikonjugaatin kertomista keskenään.©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2005 7

Spektrin tehotiheysSignaalin energia- ja tehotiheysReaaliarvoisen tehosignaalin g(t) keskimääräinen teho P saadaan kaavallaP 1 2= limT →∞ ∫ g ( t dt2T)T−TKäytännössä Fourier-muunnoksen laskeminen voi olla mahdotonta tehosignaalille,jonka energia on ääretön. Tämän vuoksi tehosignaalin Fourier-muunnos määritetäänuseimmiten katkaistusta signaalista g T(t), joka määritellään rect-funktion avullamuodossag T( t)=g(t) rect(2tT⎧ g(t),) = ⎨⎩0,−T≤ t ≤ TmuulloinKatkaistulle signaalille on olemassa Fourier-muunnos, jos T on äärellinen.Parsevalin teoreeman perusteella saadaan yhteys signaalin g T(t) keskimääräisentehon P ja Fourier-muunnoksen G T(f) välille.©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2005 8

Signaalin energia- ja tehotiheysP= limT →∞12TT∫−Tg2T( t)dt= limT →∞12TT∫−TGT( f )2dfJälkimmäisessä integraalissa voidaan raja-arvotarkastelu siirtää integroinnin sisälle,koska integraali on suppeneva (energia äärellinen):P=T∫1lim2TT →∞−TGT( f )2dfIntegrandi on tässä spektrin tehotiheys (tehosignaalin tehospektri) S g(f).Sg1( f ) = lim GT( f )T →∞ 2T212TGT( f )2on signaalin periodogrammi.©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2005 9

Signaalin energia- ja tehotiheysJaksollisen signaalin spektrin tehotiheysOlkoon g(t) jaksollinen signaali, jonka jaksonpituus on T 0. Signaali voidaan esittääFourier-sarjana muodossa∞= ∑ n ∑ n ∑jnωotjn2πf0tT 0g( t)c e = c e = c en=−∞∞n=−∞∞nn=−∞1jn2πt,n = 0, ± 1, ± 2,KKaavassa esiintyvät kertoimet c novat Fourier-sarjan kertoimia, jotka määritelläänkaavallacn=1T0T / 20∫−T0g(t)e/ 2− jnω otdt,n = 0, ± 1, ± 2,KJaksollisen funktion spektrissä on nollasta poikkeavia komponentteja vainperustaajuuden f 0= 1/T 0harmonisilla monikertataajuuksilla 0, ± f 0, ± 2f 0, ± 3f 0, …Spektrin tehotiheys voidaan nyt esittää muodossa©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2005 10

Signaalin energia- ja tehotiheys2 nSg( f ) = cnδ ( f − )T∑ ∞n=−∞0Signaalin keskimääräinen P teho saadaan summaamalla kaikki tehotiheysarvotP =∑ ∞ c nn=−∞2Keskimääräinen teho on siis sama kuin Fourier-sarjan kertoimien c nitseisarvojenneliöiden summa. Tässä amplitudi on kertoimen itseisarvo, jolloin vastaava tehosaadaan korottamalla amplitudiarvo toiseen potenssiin. Kun kaikki tehoarvotsummataan saadaan signaalin keskimääräinen teho. Tämä tunnetaan Parsevalintehoteoreemana.Jaksollisen signaalin dc-teho (teho nollataajuudella) saadaan ensimmäisen Fouriersarjankertoimen c 0itseisarvon neliönä. Kerroin c 0on signaalin keskiarvo.P dc=c 02©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2005 11

Signaalin energia- ja tehotiheysJaksollisen signaalin ac-teho saadaan, kun summataan Fourier-sarjan kertoimetlukuunottamatta dc-kerrointa c 0.∑ ∞nn≠ =0−∞P ac= c n2Signaalin keskimääräinen teho saadaan dc- ja ac-tehojen summana.Signaalin rms-arvo (root mean square) on P ac:n neliöjuurirms =∑ ∞ 2c nnn≠ =0−∞©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2005 12

KohinaSatunnaiset signaalitSatunnaiset signaalit muodostavat erikoistapauksen tehosignaaleista. Satunnaisensignaalin käyttäytymistä ei kyetä ennakoimaan tarkasti esimerkiksi ennakoltatunnettua kaavaa hyödyntäen. Deterministisen signaalin käyttäytyminen tunnetaansen sijaan kaikkina ajanhetkinä tarkasti.Satunnaiset signaalit liittyvät tilastollisiin prosesseihin. Voidaan ajatella, että tiettynäajanhetkenä satunnainen signaali poimitaan joukosta mahdollisia signaaleja, joitakutsutaan näytefunktioiksi. Kaikkien näytefunktioiden joukkoa kutsutaan puolestaansatunnaisprosessiksi.Kohinasignaalit ovat tyypillisiä satunnaisia signaaleja.Toistettaessa saman mittaus eri ajan hetkinä saadaantyypillisesti aina hieman erilainen tulos, koskauseimmissa reaalimaailman prosesseissa signaaleihinsummautuu satunnaisia kohinasignaaleja.©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2005 13

KohinaSignaalikohinasuhdeElektronisissa järjestelmissä kohinaa syntyy ulkoisista ja sisäisistä lähteistä. Ulkoisialähteitä ovat esimerkiksi ionosfäärin häiriöt (satelliittisiirto) tai säätilan muutokset(radiotaajuinen siirto). Sisäistä kohinaa syntyy mm. elektronisten piirienfluktuaatioista (mm. terminen kohina), jotka asettavat rajoituksen järjestelmäntoiminnalle. Tiedonsiirrossa sisäinen kohina havaitaan useimmiten vainvastaanotossa, minkä vuoksi sitä kutsutaan usein vastaanotinkohinaksi (receivernoise) tai kanavakohinaksi (channel noise).Signaalin siirrossa kohinaa mallinnetaan usein additiivisella mallilla, jossa kohinanoletetaan summautuvan siirrettävään signaaliin. Lisäksi kohinan oletetaan, ettäkohinan ja signaalin välillä ei ole korrelaatiota ja että kohina on nollakeskiarvoistavalkoista (laajakaistaista) kohinaa 1 .1AWGN = additive white gaussian noise©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2005 14

X(t)KohinaKanavakohina n(t)YLähetin Kanava i(t)VastaanotinS i, N iY o(t)S o, N oJos merkitään S o= vastaanotettu signaalin (informaation) keskimääräinen teho ja N o= vastaanotettu kohinan keskimääräinen teho, niin additiivisessa mallissavastaanotettu kokonaistehoteho Y o= S o+ N o. Vastaanotettu signaalikohinasuhde(SNR) puolestaan on⎡⎢⎣SN⎤⎥⎦o=SNooYleisemmin signaalikohinasuhde määritellään kohinattoman signaalin tehon P Sjakohinaisen signaalin tehon P Nsuhteen useimmiten desibeli-yksiköissä:SNR ⎛ P10log10 ⎟ ⎞S=⎜⎝ PN⎠[ dB]©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2005 15

Signaali-kohinasuhde asettaa yleensä tiedonsiirron laadulle rajan.Signaalikohinasuhde määrittää pienimmän tehomuutoksen joka signaalissa onhavaittavissa. Jos esimerkiksi SNR = 30 dB, on kohinan teho tuhannesosa signaalintehosta. Signaalissa tapahtuvien tehomuutosten on tällöin oltava kohinatehoasuurempia, jotta ne voitaisiin luotettavasti havaita.Normaalijakautunut valkoinen kohinaKohinaKohinamalleissa käytetään yleensä normaalijakautunutta valkoista kohinaa, jollaistasyntyy usean kohinalähteen summautuessa. Koska käytännössä kohinalähteitä onyleensä useita, niiden yhteisvaikutuksena syntyy normaalijakautunut kohina.Normaalijakautuneessa kohinassa keskiarvo on kaikkein todennäköisin arvo jakeskiarvosta poikkeavat arvot tulevat Gaussin kellokäyrän muotoisesti sitäepätodennäköisemmiksi mitä kauempana ne keskiarvosta ovat.©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2005 16

KohinaNormaalijakautunut kohina43210-1-2Keskihajonta σKeskiarvo µσ 2 = varianssi= teho-3-40 50 100 150 200 250 300©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2005 17

KohinaTodennäköisyys0.450.40.350.30.250.20.150.10.050Normaalijakauma (µ = 0, σ = 1)σ σ-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5Arvo©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2005 18

Valkoisessa kohinassa on tasaisesti kaikkia taajuuksia ja sen keskiarvo on nolla.Valkoinen kohina on ideaalista kohinaa ja käytännössä tällaisen kohinankeskimääräinen teho olisi ääretön. Todellisissa järjestelmissä kohina kuitenkin useinmuistuttaa valkoista kohinaa siten, että tietyllä taajuuskaistalla kohinassa esiintyytasaisesti kaikkia taajuuksia.Valkoisen kohinan tehotiheys onKohinaS w(f)N0S w( f ) =2Kaavassa N 0on signaalin intensiteetti[W/Hz]. Valkoisen kohinan autokorrelaatiofunktiosaadaan spektrin tehotiheydenkäänteisenä Fourier-muunnoksena:N0 R w( τ ) = δ ( τ )2R w(τ)N 0δ(τ) /2N 0/2fτ©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2005 19

Valkoinen kohina korreloi itsensä kanssa vain viiveen arvolla 0 eli kaksi eri aikanamitattua kohinasignaalia ovat aina korreloimattomia keskenään.Ekvivalentti kohinakaistanleveysKohinaTarkastellaan ideaalista alipäästösuodatusta. Suodatetaan valkoista kohinaa, jonkakeskiarvo on 0 ja tehotiheys N 0/2, ideaalisella alipäästösuotimella, jonka rajataajuuson B ja päästökaistan vahvistus 1. Suodatetun kohinan tehotiheys onS N⎧ N⎪( f ) = ⎨ 2⎪⎩ 0,0f B,− B

RBBN( =0−B−BKohinaSuodatetun kohinan autokorrelaatiofunktio on tehotiheyden käänteinen Fouriermuunnos:1 N0 jωtN0j 2πftτ ) = e dωe df N B sinc(2Bτ)2π∫ =2∫2R N(τ)N 0Bτ-3/2B-1/B-1/2B0 1/2B 1/B 3/2B©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2005 21

KohinaAlipäästösuodatetun kohinan keskimääräinen teho on tehotiheyden ja taajuuskaistantuloNP = 02B= N0B2Signaalinkäsittelyjärjestelmille määritetään (alipäästö)suodatuksen kohinamallinperusteella usein tunnusluku ekvivalentti kohinakaistanleveys B N:Järjestelmän ekvivalentti kohinakaistanleveys on sellaisen ideaalisen(alipäästö)suotimen kaistanleveys, jonka suodattaman kohinasignaalinkokonaisteho on sama kuin järjestelmän läpi kulkeneen kohinasignaalin teho.Ekvivalentti kohinakaistanleveys kuvaa järjestelmän herkkyyttä laajakaistaisellekohinalle.Ideaalisen alipäästösuotimen läpikulkeneen kohinan tehotiheys ~|H 2 (0)|Tiedonsiirtojärjestelmän läpikulkeneen kohinan tehotiheys ~|H(f)| 2f-B NB N©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2005 22

KohinaEkvivalentti kohinakaistanleveys voidaan edellä määrittää asettamallatehotiheyskäyrien alle jäävät pinta-alat (~ keskimääräinen teho) yhtäsuuriksi2BN⇒ BHN2(0) ==∞∫0H ( f )H∞∫−∞2H ( f )2(0)df2df⇒BNH2(0) =∞∫0H ( f )2dfVastaavasti voidaan määrittää kaistanpäästösuodattimen (keskitaajuus f c)ekvivalentti kohinakaistanleveys muodossaBN=∞∫0H ( f )H2( fc2)df©Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2005 23