Harjoitus 3 - Koppa

Jyväskylän yliopiston avoin yliopistoMaLuOpe-koulutusDIFFERENTIAALIYHTÄLÖTHarjoitus 3 la 26.9.20091. Määrää alkuarvotehtävän3x 2 y + 8xy 2 + (x 3 + 8x 2 y + 12y 2 )y ′ = 0, y(2) = 1,ratkaisu y = y(x) implisiittisessä (eli ratkaisemattomassa) muodossa u(x, y(x)) = C.2. Etsi jokin funktio f, jolle yhtälöf(x)y ′ + x 2 + y = 0, x ≠ 0,palautuu eksaktiksi integroivalla tekijällä µ(x) = x.3. Todista lauseen 2.6.3. alkuosa: Jos alue D toteuttaa ehdon S, Q(x, y) ≠ 0 kaikilla (x, y) ∈ Dja funktio( )1 ∂P ∂Qϕ(x, y) =(x, y) −Q(x, y) ∂y ∂x (x, y)riippuu vain muuttujasta x, niin µ(x) = e R ϕ(x) dx on yhtälön P (x, y) + Q(x, y)y ′ = 0 integroivatekijä.4. Etsi yhtälölle12 y2 + 2ye x + (y + e x )y ′ = 0integroiva tekijä ja ratkaise yhtälö alkuarvolla y(1) = 1.(Vihje: lause 2.6.3.)5. Etsi integroiva tekijä lineaariselle yhtälölley ′ + p(x)y = q(x),missä funktiot p, q : ∆ → R ovat jatkuvia, ja ratkaise saamasi yhtälö käyttäen eksaktienyhtälöiden ratkaisumenetelmää. Mitä huomaat?(Vihje: lause 2.6.3.)6. Etsi yhtälölle1 +( xy − sin y )y ′ = 0jokin muotoa µ(y) oleva integroiva tekijä ja ratkaise yhtälö.7. Ratkaise yhtälöy ′′ + 1 x y′ = 2 + 1 x 3 , x ≠ 0.8. Etsi se differentiaaliyhtälön y ′′ = 1y 3pisteessä y = 1.ratkaisu, jonka kuvaaja leikkaa y-akselin kohtisuorastiKäännä

9. Minkä ensimmäisen kertaluvun separoituvan differentiaaliyhtälön alkuarvotehtävän⎧⎪⎨ y ′′ + k sin y = 0y(0) = y 0⎪⎩y ′ (0) = y 1ratkaisu toteuttaa? Tässä k on positiivinen vakio. (Löytämääsi separoituvaa yhtälöä ei tarvitseratkaista.)10. Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä y ′′ + ay ′ + by = 0, missä a, b ∈ R.(a) Tutki, millä ehdolla funktiot y 1 (x) = e λx ja y 2 (x) = xe λx , λ ∈ R, ovat yhtälön ratkaisuja.(b) Millä ehdolla y 3 (x) = sin(ωx) + cos(ωx), ω ∈ R, on yhtälön ratkaisu?Kirjallinen tehtävä 3Palautus kirjallisena viimeistään lauantaina 26.9. harjoitusten 3 yhteydessä.Ratkaise alkuarvotehtävä y ′′ = yy ′ , y(0) = 0, y ′ (0) = 1 2 .