Matriisit.pdf - Moodle

sanotaan pystyvektoriksi tai sarakevektoriksi.Tilan säästämiseksi pystyvektori usein merkitään vastaavan vakaavektorintranspoosina eli muodossa[x1 x 2 . . . x n] T.Olkoon A mielivaltainen (n × m)-matriisi. Tällöin jokainen sen rivi voidaanajatella m-pituisena vakaavektorina. Näitä rivejä on n kappaletta jane merkitään A 1 , . . . , A m (alaindeksit!).Samoin jokainen matriisin sarake on n-pituinen pystyvektori. Sarakkeita onm kappaletta ja ne merkitään A 1 , . . . , A m (yläindeksit!).Esimerkki: OlkoonA =[ ] 2 1 7.−1 2 2Tällöin A on 2 × 3-matriisi. Sen rivit, vakaavektoreina ajateltuna ovatSen sarakkeet, pystyvektoreina, ovatA 1 = [ 2 1 7 ] jaA 2 = [ −1 2 2 ] .A 1 =A 2 =A 3 =[ 2−1],[ 12],[ 72].Matriisien kertolasku on ”Funktiot ja vektorit” kurssilta tutun pistetulonkäsitteen yleistys, joten palautetaan ensin mieleen miten vektorien pistetulomääritellään. Olkootx = (x 1 , x 2 , . . . , x n )jay = (y 1 , y 2 , . . . , y n )samanpituisia n-vektoreita. Skalaaritulo x · y (myös nimitystä pistetulokäytetään) on reaalilukux · y = x 1 y 1 + . . . + x n y n ,7

joka saadaan kertomalla vektorien x ja y vastaavia koordinaatteja keskenäänja laskemalla yhteen kaikki näin saadut tulot.Huomautuksia:• Skalaaritulo on määritelty vain samanpituisille vektoreille• Vaikka skalaaritulossa ”kerrotaan” kaksi n-vektoria, tulos ei ole enäävektori, vaan tavallinen reaaliluku.Esimerkki: 4-vektorien (1, 0, −3, 6) ja (−2, 7, 9, 1) pistetulo onMatriisienkertolasku1 · (−2) + 0 · 7 + (−3) · 9 + 6 · 1 = −23.Olkoot A (n×m)-matriisi ja B (m×p)-matriisi. Huomaa, oletamme siis, ettäA:ssä on sama määrä sarakkeita kuin B:ssä on rivejä. Tällöin jokainen A:nrivivektori A i on m-pituinen vakaavektori ja jokainen B:n sarakevektori B jon m-pituinen pystyvektori. Koska vektoreina molemmat ovat samanpituisia,skalaaritulo A i · B j on olemassa ja on reaaliluku. Kun merkitään A:n alkioitatavalliseen tapaan (a ij ) ja B:n alkioita vastaavasti (b kl ), voidaan kirjoittaaA i = (a i1 , a i2 , . . . , a im ),B j = (b 1j , b 2j , . . . , b mj ),missä molemmat tulkitaan nyt m-vektoreina. Skalaaritulo c ij = A i · B j ontällöin summa näiden vektorien vastaavien koordinaattien tuloista,c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + . . . a im b mj .Kun näin saatuja lukuja c ij laitetaan matriisin C = (c ij ) alkioiksi, saadaann × p-matriisi C. Tämä matriisi sanotaan matriisien A, B matriisituloksiAB. Näin määritellään matriisien kertolasku.Matriisien A = (a ij ) ja B = (b jk ) tulo AB on siis sellainen matriisiC = (c ik ) jonka alkiot c ik saadaan kaavallac ik = a i1 b 1k + a i2 b 2k + . . . + a im b mk .Käytännössä kannattaa muodostaa AB esimerkiksi ” rivi riviltä ” - ensimmäinenrivi saadaan kun otetaan A:n ensimmäinen rivi ja kerrotaan se (skalaaritulonmielessä) kaikilla B:n sarakkeilla. Sitten siirrytään toiselle riville ja8

käydään läpi tämän rivin skalaarituloja B:n sarakkeiden kanssa ennen kuinsiirrytään seuraavalle A:n riville jne.Esimerkki. OlkootA =⎡ ⎤[ ] 2 12 1 7, B = ⎣0 3⎦ .−1 2 25 2A on (2 × 3)-matriisi ja B on (3 × 2)-matriisi. Koska A:ssä on kaksi kolmesaraketta ja B:ssä kolme riviä, voidaan muodostaa tulo C = AB. Alkio c 11saadaan, kun otetaan A:n ensimmäisen rivin A 1 ja B:n ensimmäisen sarakkeenB 1 skalaaritulo. Koska A 1 = (2, 1, 7) ja B 1 = (2, 0, 5), niin saadaanc 11 = (2, 1, 7) · (2, 0, 5) = 2 · 2 + 1 · 0 + 7 · 5 = 39.Alkio c 12 saadaan vektorien A 1 ja B 2 skalaaritulona,c 12 = (2, 1, 7) · (1, 3, 2) = 2 · 1 + 1 · 3 + 7 · 2 = 19.Näin muodostuu tulomatriisin AB ensimmäinen rivi.Toinen rivi muodostuu kun otetaan A:n toinen rivi A 2 ja käydään läpi B:nsarakkeita B 1 , B 2 . Saadaanc 21 = (−1, 2, 2) · (2, 0, 5) = (−1) · 2 + 2 · 0 + 2 · 5 = 8,c 22 = (−1, 2, 2) · (1, 3, 2) = (−1) · 1 + 2 · 3 + 2 · 2 = 9.Matriisin AB = C kaikki alkiot laskettu, joten lopputulos on[ ] 39 19AB = .8 9Huomautuksia:• n × m-matriisin A ja p × q-matriisin B tulo AB on määritelty jos javain jos m = p. Siinä tapauksessa tulomatriisi AB on n × q-kokoinen.• Erityisesti kahden samankokoisen n × n-neliömatriisin A, B tulo onaina määritelty.• Paras ja ainoa tapa oppia kertomaan matriiseja sujuvasti on harjoitella.9

⎡1 0⎤0I 3 = ⎣0 1 0⎦ .0 0 1Tällaisella matriisilla on samanlainen ominaisuus kuin luvulla 1. Täsmällisemmin,jos A on (n × m)-matriisi, päteeEsimerkki.OlkoonI n A = A = AI m .A =[ ]2 −1 4.3 0 3, 5Lasketaan I 2 A ja AI 3 . Molemmista pitää tulla A.Varsinainen lasku jätetään lukijalle.KäänteismatriisiJokainen nollasta eroava reaaliluku x ≠ 0 on kääntyvä eli sille löytyy käänteislukux −1 = 1/x, jolle on seuraava ominaisuus - kun sitä kerrotaan x:llä,saadaan luku 1:xx −1 = 1 = x −1 x.Neliömatriisille voidaan määritellä samantyyppinen käsite. NeliömatriisiA sanotaan kääntyväksi jos on olemassa matriisi A −1 jolle pätee AA −1 =A −1 A. Tällainen matriisi on tällöin A:n käänteismatriisi.Neliömatriisin kääntämisellä tarkoitetaan matriisin käänteismatriisin laskemista(jos olemassa).Matriisin kääntäminen on yleisesti ottaen vaikeata ja työlästä. Mitä suurempimatriisi on kyseessä, sitä vaikeampi se yleensä on. Opimme myöhemminyleisiä menetelmiä matriisin kääntämiselle.2 × 2-matriisin kääntäminenPienen (2 × 2)- kokoisen matriisin kääntäminen on suhteellisen helppoa. Olkoon[ ] a bA = ,c d2 × 2-matriisi. Tällöin se on kääntyvä jos ja vain jos sen niin sanottu determinanttidet A = ad − bc12

eroaa nollasta, eli jos ad − bc ≠ 0. Siinä tapauksessa sen käänteismatriisisaadaan kaavalla[ ]A −1 1 d −b=,ad − bc −c aJos det A = ad − bc = 0, matriisi ei ole kääntyvä.Käytännössä (2 × 2)-matriisin kääntäminen tapahtuu seuraavasti. Ensinlasketaan determinantti. Jos se on nollasta eroava, vaihdetaan matriisinpäälävistäjän alkiot keskenään ja muutetaan jäljellä olevien alkioiden merkitvastakkaisiksi. Sen jälkeen jaetaan näin saatu matriisi alkuperäisen matriisindeterminantilla.(3 × 3) ja sitä suurempien neliömatriisin kääntäminen onnistuu samantyyppisilläkaavoilla, joissa esiintyy determinantteja, mutta ne ovat paljonmonimutkaisempia. Tähän palataan myöhemmin (Cramerin sääntö).Esimerkki.OlkoonA =[ ] 1 2.3 4Lasketaan ensin determinantti. Se on det A = 1 · 4 − 2 · 3 = 4 − 6 = −2 ≠ 0.Siis A kääntyvä ja sen käänteismatriisi onA −1 =1 [ ] [ ]4 −2 −2 1=.−2 −3 1 3/2 −1/2OlkoonB =[ ] 2 1.8 4Tällöin det B = 2 · 4 − 1 · 8 = 0, joten B ei kääntyvä. Käänteismatriisi B −1ei ole olemassa.13