harjoitustehtävät

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 29 / 29jatkossa, että∫ bag(x) dx > 0. Siism ≤∫ baf(x)g(x) dx∫ bg(x) dx ≤ M.aKoska f oli jatkuva välillä [a, b], niin se saa kaikki arvot suurimman arvonsa Mja pienimmän arvonsa m väliltä. Siis on olemassa sellainen t ∈ [a, b], ettäf(t) =∫ baf(x)g(x) dx∫ b,g(x) dxajosta väite seuraa. Vastaavasti todistetaan tapaus g(x) ≤ 0 kaikilla x ∈ [a, b].f(x)Tehtävä 20. Raja-arvon lim = 0 määritelmän perusteella kiinnitettyä lukua1 > ɛ > 0 kohti on olemassa sellainen luku δ > 0, että jos |x| < δ, niin∣ f(x) ∣∣∣x→0 + g(x)∣ g(x) − 0 < ɛ.Tällöin−ɛ < f(x)g(x) < ɛja koska f(x), g(x) > 0 kaikilla 1 > x > 0, niinSiis jos epäoleellinen integraali0 < f(x) < ɛg(x).∫ δ0g(x) dxsuppenee, niin majoranttiperiaatteen nojalla myös epäoleellinen integraaali∫ δ0f(x) dxsuppenee, koska luku 1 > ɛ > 0 oli kiinnitetty ja sillä kertominen ei vaikutasuppenemiseen. Siis epäoleellinen integraali∫ 10f(x) dx =∫ δ0f(x) dx +∫ 1δf(x) dx,suppenee, koska oletuksen perusteella funktio f on integroituva välillä [δ, 1].29