harjoitustehtävät

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 28 / 29Tehtävän 1 perusteella vakiofunktiot m(x) ≡ m ja M(x) ≡ M ovat integroituviavälillä [a, b] sekä∫ bm(x) dx = m(b − a)aaja∫ bM(x) dx = M(b − a).Olkoon D mielivaltainen välin [a, b] jako. Oletuksen perusteellam ≤ f(x i ) ≤ M ja m ≤ f(x i+1 ) ≤ M,kaikilla jaon D jakopisteissä x i ja x i+1 , joten funktion m välin [a, b] jokainenyläsumma ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin funktion f vastaava alasummaja funktion M jokainen alasumma ovat suurempi tai yhtäsuuria kuinfunktion f vastaava yläsumma. Tätenm(b − a) =∫ bam(x) dx ≤ sup s D =∫ baf(x) = inf S D dx ≤Tehtävä 19. Oletetaan, että funktio f on jatkuva välillä [a, b] ja funktio g on∫ baM(x) dx = M(b − a).integroituva välillä [a, b]. Oletetaan lisäksi joko g(x) ≥ 0 tai g(x) ≤ 0 kaikillax ∈ [a, b]. Tällöin on olemassa sellainen t ∈ [a, b], että∫ bf(x)g(x) dx = f(t)∫ baag(x)dx.Tehdään lauseen vaatimat oletukset ja tarkastellaan tapausta g(x) ≥ 0 kaikillax ∈ [a, b]. Koska funktio f on jatkuva suljetulla välillä [a, b], niin sillä on maksimiarvoM ja mininiarvo m tällä välillä. Tätenmg(x) ≤ f(x)g(x) ≤ Mg(x)kaikilla x ∈ [a, b] eliJos∫ bam∫ bg(x) dx ≤∫ bf(x)g(x) dx ≤ M∫ baaag(x) dx = 0, niin edellisen arvion nojalla myös∫ bag(x) dx.f(x)g(x) dx = 0. Näinväite olisi tosi mielivaltaisella t ∈ [a, b]. Koska g(x) ≥ 0, niin voidaan olettaa28