harjoitustehtävät

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 23 / 29[ π, π ] kosini on ei-negatiivinen. Siis2 2∫ √9∫ √− x2 dx = 9 − 9 sin 2 t · 3 cos t dt∫ √= 9 1 − sin 2 t cos t dt= 9∫cos 2 t dt∫= 9 ( 1 2 + 1 cos 2t)dt,2missä viimeisin rivi saadaan kaavasta cos 2t = 2 cos 2 t − 1. Täten∫ √9− x2 dx = 9 ∫dt + 9 ∫2 cos 2t dt2 4= 9 2 t + 9 sin 2t + C4= 9 2 arcsin x 3 + 9 sin t cos t + C2= 9 2 arcsin x 3 + 3 2 x cos t + C= 9 2 arcsin x 3 + 3 ( x) 2√12 x − + C,3koska cos t = √ √1 − sin 2 t = 1 − x2 . Tuloksen oikeellisuuden voi tarkistaa9suorittamalla derivoinnin. Sijoituksessa ei kuitenkaan tehty mitään luvatonta,koska 3 sin t on derivoituva bijektio, kun − π 2 ≤ t ≤ π 2 .3. Tehdään sijoitus t = x+ √ x 2 + 9. Nyt korottamalla yhtälö t−x = √ x 2 + 9toiseen saadan sievennyksen jälkeenx = t2 − 9.2tTästä derivoimalla puolittain taas saadaan dx = 2t·2t−2(t2 −9)dt = t2 +9dt.(2t) 2 2t 223