harjoitustehtävät

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 21 / 29Vaativampien tehtävien ratkaisutTehtävä 13. Oletuksen perusteella f(x) ≥ 0 kaikilla x ∈ [a, b]. Tehdään vastaoletus,että olisi sellainen x 0 ∈ [a, b], että f(x 0 ) > 0. Valitaan ɛ = f(x 0 ) > 0.Funktion f jatkuvuuden perusteella on olemassa sellainen δ > 0, että|f(x) − f(x 0 )| < ɛ 2aina, kun |x − x 0 | ≤ δ ja x ∈ [a, b].Merkitään I δ = [x 0 − δ, x 0 + δ] ∩ [a, b]. Lisäksi luku δ > 0 voidaan valita niinpieneksi, että välin I δ pituus on vähintään δ, koska x 0 ∈ [a, b]. Jos x ∈ I δ , niinɛ2< f(x) 0,mikä on ristiriita. Epäyhtälön ensimmäisessä arviossa integroimisväliä pienennetään,jolloin integraalin arvo tietenkin pienenee. Toisessa arviossa käytetetäänfunktion f alarajaa välillä I δ . Kolmannessa käytetään hyväksi tietoa, että välinI δ pituus on vähintään δ laskettaessa vakiofunktion integraali. Näiden arvioidentäsmällinen perustelu voidaan suorittaa Riemannin summien avulla, mutta yksinkertaisuudenvuoksi sivutetaan nämä päättelyt selvinä. Merkintä∫I δf(x)dxtarkoittaa funktion f integroimista yli välin I δ .Tulos ei päde ilman jatkuvuuden oletusta. Vastaesimerkiksi käy funktio⎧⎪⎨ 1, kun x = 0f(x) =⎪⎩ 0, kun x ≠ 0.Tällöin∫ 1−1f(x)dx = 0, mutta f(x) ≢ 0 integroimisvälillä.Tehtävä 14. Oletuksen perusteella∫ ba(f(x) − g(x)) dx =∫ baf(x)dx −∫ bag(x)dx = 0.21