harjoitustehtävät

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 20 / 29Selvästi∫dxx + 2 = ln |x + 2| + C 1.Koska x = 1 4 · 4x = 1 4 D(2x2 + 1), niin∫x2x 2 + 1 dx = 1 4 ln ∣ ∣ 2x 2 + 1 ∣ ∣ + C2 .Hankalin integrointi on viimeinen. Tehdään sijoitus t = √ 2x, jolloin t 2 =2x 2 ja dt = √ 2dx. Siis∫∫dx2x 2 + 1 = 1 dt√2 t 2 + 1 = √ 1 arctan t + C 3 = √ 1 arctan √ 2x + C 3 .2 2Lopulta saadaan siis (yhdistetään vakiot suoraan yhdeksi vakioksi C)∫2x 2 (x − 3) 2022dx = ln |x + 2| −x(x + 2)(2x 2 + 1) 9 9 · 14 ln ∣ 2x 2 + 1 ∣ 10 −9 · 1√ arctan √ 2x + C2= 209ln |x + 2| −1118 ln ∣ ∣ 2x 2 + 1 ∣ ∣ −5 √ 29 arctan √ 2x + C.20