harjoitustehtävät

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 17 / 292. Jaetaan epäoleellisen integraalin tarkasteleminen kahteen osaan merkitsemällä∫ ∞∫1∫∞dx√x3 + x = dx√x3 + x + dx√x3 + x .001Osoitetaan, että molemmat osaintegraalit suppenevat jolloin myös koko integraalisuppenee. Oletetaan, että 0 < x ≤ 1. Nyt √ x + x 3 = √ x √ 1 + x 2 >√ x√ 1 + 0 =√ x eli1√x + x3 < 1 √ x,kun 0 < x ≤ 1. Koska integraali∫ 10√dxxsuppenee, niin myös integraali∫ 10dx√x + x3suppenee majoranttiperiaatteen nojalla. Oletetaan, että 1 ≤ x. Tällöin1√ ≤ √ 1x + x3 x3ja majoranttiperiaatteen nojalla integraalin ∫ ∞1integraalinsuppeneminen.∫ ∞1dx√x + x3dx √x 3suppenemisesta seuraa3. Nyt ongelmia aiheuttaa vain äärettömät integroimisrajat. Jaetaan integraalikahteen osaan. Tällöin∫ 0acos x dx +∫ b0cos x dx =0/b/sin x + sin x = sin(b) − sin(a).aKoska funktiolla f(x) = sin x ei ole raja-arvoja kummassakaan äärettömyydessä,niin integraali hajaantuu.170