harjoitustehtävät

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 16 / 29kun a → ∞. Siis integraali hajaantuu.3. Integrandi on parillinen funktio, joten∫ ∞−∞∫∞14x 2 + 1 dx = 2 14x 2 + 1 dx,mikäli se suppenee. Lasketaan tämä epäoleellinen integraali tekemällä sijoitust = 2x. Tällöin t 2 = 4x 2 ja dt = 2dx, mutta integroimisrajat vainpuolittuvat. Siiskun a → ∞. SiisTehtävä 10.∫ a0014x 2 + 1 dx = 1 2∫ ∞−∞= 1 2a∫20a1t 2 + 1 dt2/arctan t0→ 1 2 · π2 = π 4 ,14x 2 + 1 = π 2 .1. Tutkitaan funktiota f(x) = x − sin x. Se on jatkuva ja derivoituvasekä f ′ (x) = 1 − cos x. Kun 0 < x ≤ 1, niin funktio f on aidostikasvava ja positiivinen. Täten x > sin x ≥ 0, kun 0 ≤ x ≤ 1 eli1x + sin x > 1x + x = 12xkun x ∈]0, 1[. Koska epäoleellinen integraali12∫ 10hajaantuu, niin minoranttiperiaatteen nojalla myös epäoleellinen integraalidxxhajaantuu.∫ 10dxx + sin x16