harjoitustehtävät

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 15 / 29Tehtävä 8. Integraalilaskennan peruslause sanoo, että välillä [a, b] jatkuva, välillä]a, b[ derivoituva funktio f, jolle f ′ (x) = 0 kaikilla x ∈]a, b[, on vakiofunktio välillä[a, b].Oletetaan, että funktio f on jatkuva välillä [a, b], derivoituva välillä ]a, b[ jaf ′ (x) = 0 kaikilla x ∈]a, b[. Olkoon x ∈]a, b[ mielivaltainen. Väliarvolausettavoidaan soveltaa tälle välille ja täten on olemassa sellainen piste x 0 ∈]a, x[, ettäf(x) − f(a) = f ′ (x 0 )(x − a) = 0(x − a) = 0Täten f(x) = f(a) kaikilla x ∈]a, b[. Jatkuvuuden perusteella myös f(a) = limx→b=f(b). Siis f on vakiofunktio välillä [a, b].Tehtävä 9. 1. Integroitava funktiox(4x 2 +1) 2 on rajoitettu välillä [0, ∞[, jotenintegraalin kannalta ainoa ongelma on käyttäytyminen äärettömyydessä.Nytkun a → ∞.∫ a0x(4x 2 + 1) dx = 1 ∫ a2 82. Vastaavasti kuten edellä∫ ax4x 2 + 1 dx = 1 8008x(4x 2 + 1) 2 dx= 1 a/− ( 4x 2 + 1 ) −1dx80= 1 ()11 −8 4a 2 + 1→ 1 8 (1 − 0) = 1 8 ,= 1 8= 1 8∫ a08x4x 2 + 1 dxa/ln ∣ 4x 2 + 1 ∣ 0→ ∞,(ln(4a 2 + 1) − 0 )15