harjoitustehtävät

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 14 / 29Tehdään vasemmanpuoliseen integraaliin sijoitus t = −x.∫ −af(x) dx = −∫ af(−t) dt = −∫ a000f(t) dt.Koska integoinnissa integroitavalla muuttujalla ei ole käytännön merkitystä,niin korvataan edellisessä tuloksesta muuttuja t muuttujalla x ja tehdäänsijoitus ja saadaan väite∫ af(x) dx = 2−a∫ a0f(x) dx2. Jos funktio f on pariton, niin f(x) = −f(−x). Jakamalla integrointi taasosiin saadaan, että∫ a−af(x) dx =∫ 0= −f(x) dx +−a∫ −a0∫ a0f(x) dx +f(x) dx∫ a0f(x) dxSijoittamalla t = −x vasemmanpuoleinen integraali muuttuu muotoon∫ −a0f(x) dx = −∫ a0f(−t) dt =∫ a0f(t) dt.Täten ∫ af(x) dx = 0. Nämä tulokset ovat voimassa myös silloin, kun−af on vain integroituva. Tällöin todistus voidaan suorittaa tarkastelemallaRiemannin summia. Tässä todistuksessa jatkuvuutta tarvitaan varmistassasijoitusten oikeellisuus.Tehtävä 7. Funktio f(x) = 1 1ei ole integroituva välillä [−1, 1], sillä lim = ∞xx→0 + x1ja lim = −∞. Siten funktio f ei ole rajoitettu välillä [−1, 1]. Tätenx→0 − x∫ 1−11x dxon epäoleellinen integraali. Oikea tapa on kirjoittaa∫ 1−1∫10x dx =−1∫11x dx +01x dx,missä molemmat osat ovat hajaantuvia epäoleellisia integraaleja.14