harjoitustehtävät

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 13 / 295. Tehdään sijoitus t = ln x, joka on derivoituva bijektio, joten sijoitus onluvallinen. Tällöin x = e t ja dx = e t dt. Näin integointi saadaan muotoon∫∫sin (ln x) dx = e t sin t dt.Käytetään osittaisintegrointia ja saadaan, että∫∫e t sin t dt = e t sin t − e t cos t dtja vastaavasti∫∫e t cos t dt = e t cos t +e t sin t dt.Siten∫∫e t sin t dt = e t sin t − e t cos t −e t sin tdteli∫e t sin t dt = 1 2(e t sin t − e t cos t ) .Palataan sijoituksella alkuperäiseen muuttujaan ja tulokseksi saadaan∫∫sin (ln x) dx = e t sin t dt= 1 (e t sin t − e t cos t ) + C2= 1 (eln x sin(ln x) − e ln x cos(ln x) ) + C2= 1 x (sin(ln x) − cos(ln x)) + C,2missä tarvittava integroimisvakio C on lisätty yhtälöön vasta tässä viimeisessävaiheessaTehtävä 6.1. Jos funktio f on parillinen, niin f(x) = f(−x). Koska integrointivoidaan suorittaa osissa, niin∫ a−af(x) dx =∫ 0= −f(x) dx +−a∫ −a0∫ a0f(x) dx +f(x) dx∫ a0f(x) dx13