harjoitustehtävät

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 12 / 29missä A = 1 2 ja B = − 1 2 . Siis∫ e 24dt(t − 1)(t + 1) = 1 ∫ e 22 (4∫dt e 2t − 1 −4dtt + 1 )⎛⎞= 1 / e 2/ e 2⎝ ln(t − 1) − ln(t + 1) ⎠244= 1 (ln(e 2 − 1) − ln 3 − ln(e 2 + 1) + ln 5 )2= 1 ( ) 5(e 22 ln − 1).3(e 2 + 1)Täten∫ 1dxln 2 e 2x − e = 1 ( ) 5(e 2−2x 4 ln − 1).3(e 2 + 1)Tehtävä 5. 1. Suoraan integroimissääntöjä soveltamalla saadaan, että∫∫ ∫ ∫ ∫(x 4 + 5x 3 − x 2 + 2x − 3) dx = x 4 dx + 5 x 3 dx − x 2 dx + 2= 1 5 x5 + 5 4 x4 − 1 3 x3 + x 2 − 3x + C.∫x dx − 3dx2. Sijoitus t = −3x on dierentioituva bijektio, joten se ei tuota mitään ongelmia.Nyt x = − 1t ja dx = − 1 dt. Siis3 3∫∫2e −3x dx = − 2 3 et dt= − 2 3 et + C = − 2 3 e−3x + C.3. Koska D sin x = cos x, niin integrointi on muotoa ∫ f(x)f ′ (x) dx = 1f 2 (x)+2C. Siis∫sin x cos x dx = 1 2 sin2 x + C.4. Koska sin 2 x = 1 (1 − cos 2x), niin2∫sin 2 x dx = 1 ∫(1 − cos 2x) dx = 1 22 x − 1 sin(2x) + C.412