harjoitustehtävät

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 10 / 292. Sovelletaan osittaisintegrointia kahdesti. Ensiksi∫∫x 2 sin x dx = −x 2 cos x + 2 x cos x dx,missä valittiin f(x) = − cos x ja g(x) = x 2 . Lisäksi∫∫x cos x dx = x sin x − sin x dx = x sin x + cos x + C 1 ,valinnoilla f(x) = sin x ja g(x) = x. Täten∫x 2 sin x dx = 2x sin x + 2 cos x − x 2 cos x + C.Kaavaan sijoitettiin uusi vakio C = 2C 1 puhtaasti esteettisistä syistä.3. Valitaan g(x) = arctan x ja f(x) = 1 2 x2 . Tällöin∫x arctan x dx = 1 2 x2 arctan x − 1 ∫2xNyt 2= 1+x2 −1= 1 − 1 , joten1+x 2 1+x 2 1+x 2∫∫Siis∫x 2 ∫1 + x dx = 2dx −x 21 + x 2 dxdx1 + x 2 = x − arctan x + C 1.x arctan x dx = 1 2 x2 arctan x − 1 2 x + 1 arctan x + C,2missä C = − C 12.4. Valitsemalla f(x) = − 1 2 e−2x ja g(x) = cos x saadaan, että∫e −2x cos x dx = − 1 2 e−2x cos x − 1 ∫e −2x sin x dx.2Nyt vastaavasti∫e −2x sin x dx = − 1 2 e−2x sin x + 1 ∫2e −2x cos x dx.Siis∫e −2x cos x dx = − 1 2 e−2x cos x + 1 4 e−2x sin x − 1 4∫e −2x cos x dx.10