Harjoitus 3 - Koppa

Kvanttimekaniikka I A (FYSA231), Kevät 2010Harj 3.1. Kahdesta samanlaisesta vuorovaikuttamattomasta hiukkasesta (k=1,2) muodustuvanjärjestelmän Hamiltonin operaattori on muotoaĤ = Ĥ1 + Ĥ2, Ĥ k = − 22m ∇2 k + V (⃗r k ).Yksittäisen hiukkasen ominaisarvoyhtälö onĤ k φ nk (⃗r k ) = E nk φ nk (⃗r k ).Näytä, että Ĥ:n ominaistilat ovatja ominaisarvotφ n1 n 2(⃗r 1 , ⃗r 2 ) = φ n1 (⃗r 1 )φ n2 (⃗r 2 ),E n1 n 2= E n1 + E n2 .2. Yksiulotteisen harmoonisen värähtelijän Schrödingerin yhtälö on− 2 d 2 ψ(x)+ 1 2m dx 2 2 mω2 x 2 ψ(x) = Eψ(x)tee skaalausmuunnos x = by, missä b 2 = muokkaa diffrentiaaliyhtälö muotoonmissä ψ(x) = ψ(by) = φ(y).Tee yriteja johda yhtälöksimωd 2 φdx 2 + (ɛ − y2 )φ = 0,φ = f(y)e − 1 2 y2 ,f ′′ − 2f ′ y + (ɛ − 1)f = 0,joka on niin sanottu Hermiten diffrentiaaliyhtälö.ja käytä merkintää ɛ =2Eω ja3. Jatkoa edelliseen. Tee Frobeniuksen menetelmän mukainen ratkaisuyriteja johda palautuskaavaf(y) = y s∞∑n=0a n y na n+2 (n + s + 2)(n + s + 1) = a n (2n + 2s − ɛ + 1)1

24. a) Ratkaistessasi palautuskaavaa havaitsit, että s = 0 ja a 1 = 0 on eräsmahdollisuus. Sijoita tämä palautuskaavaan. Osoita, että suurilla n:narvoillaa n+2a n≈ 2 n .Osoita, että e y2 käyttäytyy samoin. Käytä tässä e y2 :n sarjakehitelmää.Tästä voidaan päätellä, että f(y) ja edelleen φ(y) hajoaa kun y → ∞.b) Sarjan täytyy katketa, jotta aaltofunktio on normittuva. Johda tästalauseke energioille.5. a) Kirjoita näkyviin kvanttimekaanisen harmoonisen värähtelijän perustilanaaltofunktio ja energia.b) Potentiaali muuttuu äkisti siten, että aaltofunktio pysyy samana, muttataajuus ω muuttuu 2ω:ksi. Energia mitataan saman tien. Osoita ettävanhan perustilan energia ei ole enää mahdollinen.c) Millä todennäkoisyydellä saadaan arvo ω uudessa systeemissä?