yhtenä PDF-tiedostona - FMI

2Tämä luentomoniste on päivitetty versio Ari Viljasen kevään 2002 luennoista,jotka puolestaan perustuivat Hannu Koskisen aiempiin luentoihin.Vuoteen 2002 verrattuna aineisto on suunnilleen sama, mutta järjestystä onjonkin verran muutettu. Vuoden 2002 luvun 10 (sähköiset ja magneettisetmateriaalit) asiat käsitellään nyt enimmäkseen sähkö- ja magnetostatiikanvastaavissa kohdissa. Maxwellin jännitystensori opiskellaan myös sähkö- jamagnetostatiikassa. Poyntingin teoreema johdetaan eri tavalla kuin vuonna2002. Säteilevien systeemien käsittelyä (vuoden 2002 luku 15) on kevennetty.Vuoden 2002 luentomonisteen viisi liite-esimerkkiä, jotka käytiin luennoillaläpi, on siirretty asianmukaisiin kohtiin. Merkintöjä on yhtenäistettyja havaitut painovirheet on korjattu. Luennot ovat nyt saatavissa kokonaansähköisessä muodossa. Paperiversio on kopioitavana kirjaston luentomonistehyllyssä.Uusimmassa monisteessa olevista virheistä voi ilmoittaa Ari Viljaselle(ari.viljanen@fmi.fi).Kevään 2003 luennot: ma 10-12 (E204), to 10-12 (D101).Harjoitukset (2t/vk): to 8-10 (E206), to 14-16 (E206), pe 10-12 (D114);Samuli Hemming ja Ville Honkkila.Välikokeet: pe 21.3. 9-13 (D101), to 15.5. 10-14 (D101).Kurssin arvosana määräytyy siten, että kummankin välikokeen paino on40 % ja laskuharjoitusten 20 %. Ohjeelliset arvosanarajat löytyvät opintooppaastateoreettisen fysiikan kohdalta.Täyden laskuharjoitushyvityksen saa ratkaisemalla tehtävistä viisi kuudesosaa.Oikein ratkaistusta tehtävästä saa kolme pistettä. Laskuharjoituksissatehtävän ratkaisun esittäminen taululla palkitaan yhdellä lisäpisteellä(korkeintaan yksi lisäpiste/harjoitus). Ratkaisujen esittäminen kuuluu fyysikonammattitaitoon.

1.3. ELEKTRODYNAMIIKAN PERUSRAKENNE 5Samaan aikaan suhteellisuusteorian kanssa alkoi myös kvanttifysiikan kehitys.Se aiheutti paljon enemmän elektrodynamiikkaan liittyviä ongelmia,sillä ensinnäkään ei ollut selvää, että makroskooppisista kokeista johdettuteoria olisi riittävän yleinen myös mikromaailmaan vietynä. Kaiken lisäksikvanttimekaniikan alkuperäiset muotoilut, kuten Schrödingerin yhtälö, ovatepärelativistisia. Kesti aina 1940-luvun lopulle ennen kuin onnistuttiin luomaankunnollinen relativistinen kvanttimekaniikka. Tätä teoriaa kutsutaankvanttielektrodynamiikaksi (QED) ja ratkaisevat askeleet sen luomisessaottivat Julian Schwinger, Richard Feynman, Sin-itiro Tomonaga ja FreemanDyson. Nykyään elektrodynamiikka QED:n klassisena rajana on osa menestyksekästästandardimallia, jonka uskotaan olevan oikea tapa yhdistääsähköinen, heikko ja vahva perusvoima keskenään. Niinpä klassisen elektrodynamiikanymmärtäminen on perusta paljon pidemmälle menevän teoreettisenfysiikan tekemiselle!Vaikka käsitteellisesti elektrodynamiikka on tullut osaksi kvanttimaailmanihmeellisyyttä, se on yhä äärimmäisen tärkeä työväline kaikessa kokeellisessafysiikassa ja insinööritieteissä aina ydinvoimaloista kännyköiden rakenteluun.Lähes kaikissa fysiikan mittauksissa tarvitaan elektrodynamiikansoveltamista jossain vaiheessa. Se on keskeistä materiaalifysiikassa, hiukkassuihkujenfysiikassa, röntgenfysiikassa, elektroniikassa, optiikassa, plasmafysiikassajne. Niinpä klassisen elektrodynamiikan ymmärtäminen on aivanolennainen perusta myös menestyksekkäälle kokeellisen fysiikan tekemiselle!Seuraavat tehtävät voidaan määritellä elektrodynamiikan perusongelmiksi:1. Varausten ja sähkövirtojen aiheuttaman sähkömagneettisen kentän määrittäminen.2. Sähkömagneettisen kentän varauksiin tai virtajohtimiin aiheuttamien voimienmäärittäminen.3. Varauksellisten hiukkasten radan määrittäminen tunnetussa sähkömagneettisessakentässä.4. Indusoituvan sähkömotorisen voiman ja induktiovirran ennustaminen tunnetussavirtapiirissä, kun indusoiva muutos tunnetaan.5. Tunnetun indusoivan muutoksen vaikutuksesta ympäristöön leviävän sähkömagneettisenaaltoliikkeen ja tämän avulla tapahtuvan energian siirtymisenennustaminen.1.3 Elektrodynamiikan perusrakenneUseimmat elektrodynamiikan oppikirjat rakentavat teorian esittelyn palapalalta lähtien sähköstatiikasta ja päätyen Maxwellin yhtälöihin ikäänkuin

6 LUKU 1. JOHDANTOolettaen, että opiskelijat eivät olisi koskaan kuulleetkaan asiasta. Tämäeioleaivan totta enää tämän kurssin tapauksessa, vaan käytännössä kaikki ovat jotutustuneet ainakin päällisin puolin Maxwellin yhtälöihin ja tietävät yhtäja toista elektrodynamiikan rakenteesta. Niinpä voimme jo kurssin aluksihieman pohtia, mistä elektrodynamiikassa on kyse. Kirjoitetaan Maxwellinyhtälöt ”tyhjömuodossaan”:∇·E = ρ ɛ 0(1.1)∇·B = 0 (1.2)∇×E = − ∂B(1.3)∂t∇×B = µ 0 J + 1 ∂Ec 2 (1.4)∂tSähkökentän E ja magneettikentän (täsmällisemmin magneettivuon tiheyden)B aiheuttajina ovat sähkövaraukset ρ ja sähkövirrat J. Näin kirjoitettunayhtälöryhmä ontäysin yleinen eikä ota minkäänlaista kantaa mahdollisenväliaineen sähkömagneettiseen rakenteeseen. Väliaineessa yhtälöryhmäkirjoitetaan usein kenttien D ja H avulla, mihin palataan myöhemmin.Yllä ɛ 0 on tyhjön sähköinen permittiivisyys ja µ 0 on tyhjön magneettinenpermeabiliteetti. Näiden ja valon nopeuden c välillä on yhteys c =(ɛ 0 µ 0 ) −1/2 . Koska valon nopeus tyhjössä on vakio, sille annetaan nykyääntarkka arvoc = 299 792 458 m/sKoska sekunti määritellään tietyn Ce-133 siirtymäviivan avulla, tulee metristäjohdannaissuure, joka on aika tarkkaan samanmittainen kuin Pariisissasäilytettävä platinatanko. Myös µ 0 määritellään tarkasti ja se on SIyksiköissäµ 0 =4π · 10 −7 Vs/Amjoten tyhjön permittiivisyydelle jää myös tarkka arvo ɛ 0 =(c 2 µ 0 ) −1 , jonkanumeerinen likiarvo onɛ 0 ≈ 8.854 · 10 −12 As/VmSähkö- ja magneettikenttiä ei voi havaita suoraan, vaan ne on määritettävävoimavaikutuksen avulla. Nopeudella v liikkuvaan varaukseen q vaikuttaaLorentzin voimaF = q(E + v × B) (1.5)Tämä on suureen määrään kokeita perustuva empiirinen laki, jota emmeedes yritä johtaa mistään vielä perustavammasta laista. Vaikka sähkö- jamagneettikenttiä ei voikaan ”nähdä”, ne ovat fysikaalisia olioita. Niillä onenergiaa, liikemäärää ja liikemäärämomenttia ja ne kykenevät siirtämäännäitä suureita myös tyhjössä.

1.4. KIRJALLISUUTTA 7Mitattavat sähkö- ja magneettikentät ovat aina jossain mielessä makroskooppisiasuureita. Mikroskooppisessa kuvailussa QED:n tasolla sähkömagneettinenkenttä esitetään todellisten ja virtuaalisten fotonien avulla. Tähänei yleensä ole tarvetta arkipäivän sähkötekniikassa tai tavanomaisissa laboratoriokokeissa,mikäkäy ilmi seuraavista esimerkeistä (HT: tarkasta lukuarvotperuskurssien tietojen avulla):Esim. 1. Yhden metrin päässä 100 W lampusta keskimääräinen sähkökenttäon 〈E〉 rms≈ 50 V/m. Tämä merkitsee 10 15 näkyvän valon fotonin vuotaneliösenttimetrin suuruisen pinnan läpi sekunnissa.Esim. 2. Tyypillisen radiolähettimen taajuus on 100 MHz suuruusluokkaa.Tällaisen fotonin liikemäärä on2, 2 · 10 −34 Ns. Yksittäisten fotonien vaikutustaei siis tarvitse huomioida esimerkiksi antennisuunnittelussa.Esim. 3. Varausten diskreettisyyttä eimyöskään tarvitse yleensä huomioida.Jos yhden mikrofaradin kondensaattoriin varataan 150 V jännite, siihentarvitaan 10 15 alkeisvarausta. Toisaalta yhden mikroampeerin virran kuljetukseentarvitaan 6, 2 · 10 12 varausta sekunnissa.Yksi elektrodynamiikan peruskivistä onsähköisen voiman 1/r 2 -etäisyysriippuvuus.Jo hyvin varhaisista havainnoista voitiin päätellä, että riippuvuuson ainakin lähes tällainen. Olettamalla riippuvuuden olevan muotoa1/r 2+ε , voidaan mittauksilla etsiä rajoja ε:lle. Cavendish päätyi vuonna 1772tarkkuuteen |ε| ≤0, 02. Maxwell toisti kokeen sata vuotta myöhemmin jasaavutti tarkkuuden |ε| ≤5 · 10 −5 ja nykyään on samantyyppisillä koejärjestelyilläpäästy tulokseen |ε| ≤(2, 7 ± 3, 1) · 10 −16 .Teoreettisesti voi perustella, että1/r 2 -etäisyysriippuvuus on yhtäpitävääfotonin massattomuuden kanssa. Tarkin Cavendishin menetelmään perustuvatulos vastaa fotonin massan ylärajaa 1, 6 · 10 −50 kg. Geomagneettisillamittauksilla yläraja on saatu vieläkin pienemmäksi: m γ < 4 · 10 −51 kg.Fotonin massattomuus ja sähköisen voiman 1/r 2 -etäisyysriippuvuus ovaterittäin hyvin todennettuja kokeellisia tosiasioita. Lopuksi on hyvä muistaa,että elektrodynamiikka tehtiin aluksi makroskooppisille systeemeille.Vasta paljon myöhemmin kävi selväksi, että elektrodynamiikan peruslaitovat yleisiä luonnonlakeja, jotka pätevät myös kvanttitasolla.1.4 Kirjallisuutta• Cronström, C., ja P. Lipas, Johdatus sähködynamiikkaan ja suhteellisuusteoriaan,Limes ry., 2000.Uudistettu laitos TFO:n monivuotisesta luentomonisteesta. Kurssinvarsinainen oppikirja, jota ei kuitenkaan seurata orjallisesti.

8 LUKU 1. JOHDANTO• Feynman, R. P., R. B. Leighton, and M. Sands, The Feynman lectureson physics, vol. II, Addison-Wesley, 1964.Erittäin suositeltavaa oheislukemistoa sisältäen erinomaisia esimerkkejäjasyvällistä ajattelua ilman hankalaa laskennallista pyörittelyä.• Kurki-Suonio, K ja R., Vuorovaikutuksista kenttiin – sähkömagnetisminperusteet ja Aaltoliikkestä dualismiin, Limes ry., useita painoksia.Erittäin fysikaalista tekstiä selvällä suomen kielellä. Tukee erityisenhyvin sähkö- ja magnetostatiikkaa ja aaltoliikkeen perusteita.• Jackson, J. D., Classical electrodynamics, 3rd edition, John Wiley &Sons, 1998.Klassisen elektrodynamiikan piplia. Harjoitustehtävät ovat varmastiriittävän vaativia. Myös aiemmat versiot ovat käyttökelpoisia, joskinniissä onkäytetty cgs-yksiköitä.• Griffiths, D. J., Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, 1999.Suosittu oppikirja amerikkalaisissa yliopistoissa. Persoonallinen esitystapaja paljon opettavaisia esimerkkejä.• Reitz, J. R., F. J. Milford, and R. W. Christy, Foundation of ElectromagneticTheory, 4th edition, Addison-Wesley, 1993.Kurssilla aiemmin käytetty oppikirja. Jonkin verran täältä peräisinolevaa aineistoa on edelleen mukana.• Lindell, I. ja A. Sihvola, Sähkömagneettinen kenttäteoria. 1. Staattisetkentät, Otatieto, 1999. Sihvola, A. ja I. Lindell, Sähkömagneettinenkenttäteoria. 2. Dynaamiset kentät, Otatieto, 2000. Sihvola, A., Sähkömagneettisenkenttäteorian harjoituskirja, Otatieto, 2001.Yliopiston elektrodynamiikkaa vastaava kokonaisuus TKK:lla. Hiemanerilainen lähestymistapa, mutta tutustumisen arvoinen.• Lindell, I., Sähkötekniikan historia, Otatieto, 1994.Sähkömagnetismin historiaa ammoisista ajoista 1900-luvun alkuun.

Luku 2Staattinen sähkökenttäTässä luvussa tutustutaan sähkövarausten aiheuttamaan staattiseen sähkökenttään.Materiaali on periaatteessa tuttua fysiikan peruskurssilta, muttalaskennallinen käsittely on huomattavasti järeämpää. Kannattaa olla kärsivällinen,sillä hyvin opitun sähköstatiikan jälkeen magnetostatiikka on ”helppoa”.2.1 Sähkövaraus ja Coulombin lakiMaailmankaikkeudessa on tietty määrä positiivisia ja negatiivisia sähkövarauksia.Nykytietämyksen mukaan niitä ei voida hävittää eikä luoda. Minkäänsuljetun systeemin varausten määrä ei siis voi muuttua. Käytännössäuseimmat systeemit ovat neutraaleja, eli niissä onyhtä paljon positiivisia janegatiivisia varauksia. Makroskooppisen kokonaisuuden varauksella tarkoitetaanyleensä sen nettovarausta, joka on poikkeama varausneutraalisuudesta.Nettovaraus säilyy, ellei systeemi ole vuorovaikutuksessa ympäristönsäkanssa.1700-luvun lopulla oli opittu, että varauksia on vain kahta lajia, joitanykyisin kutsutaan positiivisiksi ja negatiivisiksi. Charles Augustin deCoulomb muotoili kokeisiinsa perustuen lain:• Kaksi pistevarausta vaikuttavat toisiinsa voimilla, joiden suunta onniitä yhdistävän suoran suuntainen ja kääntäen verrannollinen varaustenvälisen etäisyyden neliöön.• Voimat ovat verrannollisia varausten tuloon siten, että samanmerkkisetvaraukset hylkivät toisiaan ja erimerkkiset vetävät toisiaan puoleensa.9

2.2. SÄHKÖKENTTÄ 11sidottuja toisiinsa siten, että kaikkien alkeishiukkasten varaukset ovat ±e:nmonikertoja ja elektronin varaus on siten pienin luonnossa vapaana olevavaraus.Yksikkövarauksen pienuudesta johtuen makroskooppinen varausjakautumamuodostuu yleensä suuresta joukosta alkeisvarauksia ja varaustiheydenkäsite on hyödyllinen. Kolmiulotteisen avaruuden varaustiheys määritelläänρ =ja pintavaraustiheys vastaavastiσ =lim△V →0lim△S→0△q△V△q△S(2.4)(2.5)missä V on tarkasteltava tiheys ja S tarkasteltava pinta. Jos tilavuudessa Von varausjakautuma ρ ja V :tä rajoittavalla pinnalla S pintavarausjakautumaσ, niin pisteessä r olevaan varaukseen q vaikuttaa voimaF q =q4πɛ 0∫V2.2 Sähkökenttär − r ′|r − r ′ | 3 ρ(r′ ) dV ′ + q r − r4πɛ 0∫S′|r − r ′ | 3 σ(r′ ) dS ′ (2.6)Sähköstaattinen vuorovaikutus ajatellaan kaksivaiheiseksi: staattinen systeemiaiheuttaa kentän E(r), joka vaikuttaa pisteessä r olevaan varaukselliseenhiukkaseen (varaus q) voimallaF(r) =qE(r) (2.7)joka voidaan mitata. Sähköstatiikalle tyypillinen kokeellinen ongelma onse, että kenttään tuodaan tällöin ”ylimääräinen” varattu kappale. Se voivaikuttaa huomattavasti siihen varausjakaumaan, joka aiheuttaa kentän:kappaleet polarisoituvat. Tämän vuoksi useat oppikirjat puhuvat ”pienistätestivarauksista”, jotka eivät vaikuta kentän aiheuttajaan. Sähkökentän voimakkuudenmääritelmä ei kuitenkaan välttämättä edellytä testivarauksenkäsitettä. (HT: Kuinka painovoima eroaa tässä suhteessa sähköstaattisestavoimasta?)Yksittäisten varausten ja varausjakautumien yhteenlaskettu sähkökenttäon voimien yhteenlaskuperiaatteen nojallaE(r) =+14πɛ 014πɛ 0∫S∑ N q ii=1r − r i|r − r i | 3 + 14πɛ 0∫Vr − r ′|r − r ′ | 3 ρ(r′ ) dV ′r − r ′|r − r ′ | 3 σ(r′ ) dS ′ (2.8)

12 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄPeriaatteessa sähkökenttä voidaan siis määrittää laskemalla kaikkien varausjakautumienja yksittäisten hiukkasten aiheuttamat kentät. Käytännössätämä on usein täysin ylivoimainen tehtävä. Myöskään mielikuvan luominensähkökentästä ei ole aivan yksinkertaista. Faraday otti käyttöön kenttäviivankäsitteen. Vektorikentän kenttäviiva on matemaattinen käyrä, joka onjokaisessa pisteessä kyseisen vektorin suuntainen. Se on oikein käytettynähyödyllinen apuväline, mutta se on turvallisinta ymmärtää vain keinoksihavainnollistaa sähkökenttää, joka on varsinainen fysikaalinen suure.2.3 Sähköstaattinen potentiaaliVektorianalyysin alkeistiedoilla osaamme todistaa, että∇× r − r′|r − r ′ | 3 = 0 (2.9)eli staattisen sähkökentän roottori häviää:∇×E = 0 (2.10)ja sähkökenttä voidaan esittää sähköstaattisen potentiaalin ϕ avulla:E(r) =−∇ϕ(r) (2.11)Pisteessä r 1 sijaitsevan hiukkasen aiheuttama potentiaali on sitenϕ(r) = 1 q 1(2.12)4πɛ 0 |r − r 1 |kun sovitaan, että äärettömyydessä potentiaali häviää. Vastaavasti mielivaltaisellevarausjoukolleϕ(r) =+14πɛ 01N ∑i=14πɛ 0∫Sq i|r − r i | + 14πɛ 0∫Vρ(r ′ )|r − r ′ | dV ′σ(r ′ )|r − r ′ | dS′ (2.13)Sähköstaattinen kenttä on esimerkki konservatiivisesta voimakentästä.Se merkitsee sitä, että potentiaalienergia U eli voiman F viivaintegraaliannetusta vertailupisteestä ref tarkastelupisteeseen rU(r) =−∫ rrefF(r ′ ) · dr ′ (2.14)on riippumaton integrointitiestä. Koska itse fysikaalinen suure sähkökenttäriippuu vain potentiaalin derivaatasta, potentiaalin nollakohdan voi valitamieleisekseen. Asettamalla ϕ(ref) = 0 saadaan U(r) =qϕ(r).

2.4. GAUSSIN LAKI 13Potentiaalin käsitteestä on suurta hyötyä erilaisissa sähkökenttään liittyvissäongelmissa. Tämä johtuu osaksi siitä, että sähkökentän integroiminenvarausjakautumista on monimutkaisempi tehtävä kuin yksinkertaisemmanpotentiaalin laskeminen. Potentiaali on vielä derivoitava, mutta se onhelpompaa kuin integrointi. Käytännöllisempi syy potentiaalien käyttökelpoisuudelleon se, että matematiikan potentiaaliteoria tarjoaa koko joukonhyödyllisiä apuneuvoja.SI-järjestelmässä voiman yksikkö on newton (N) ja varauksen yksikköon coulombi (C), joten sähkökentän yksikkö on N/C. Energian yksikkö onpuolestaan joule (J = Nm) eli sähköstaattisen potentiaalin yksikkö on sitenJ/C. Sähköopissa potentiaalin yksikköä kutsutaan voltiksi (V = J/C) jasähkökentän yksikkö ilmaistaan yleensä muodossa V/m.2.4 Gaussin laki2.4.1 Maxwellin ensimmäinen yhtälöTarkastellaan origossa olevan pistevarauksen q kenttääE(r) =q r4πɛ 0 r 3 (2.15)Olkoon V jokin tilavuus varauksen ympärillä jaS sen reuna. Integroidaansähkökentän normaalikomponentti reunan yli∮E · n dS =q r · nr 3 dS (2.16)S4πɛ 0∮SNyt (r/r) · n dS on dS:n projektio r:ää vastaan kohtisuoralle tasolle jatämä pinta-ala jaettuna r 2 :lla on avaruuskulma-alkio dΩ, joka pallokoordinaatistossaon sin θdθdφ. Valitaan V :n sisäpuolelta origokeskinen pallonmuotoinenalue, jonka reuna on S ′ . Infinitesimaalinen pinta-alkio dS ′ kattaayhtä suuren avaruuskulman dΩ kuin elementti dS, jotenmistä seuraa∮S∮r · n r ′ ∮ · nr 3 dS =S ′ r ′3 dS ′ = dΩ=4π (2.17)S ′∮SE · n dS = q/ɛ 0 (2.18)Jos varaus on tilavuuden V ulkopuolella, se ei vaikuta pintaintegraaliin.Tämän näkee tarkastelemalla varauksen kohdalta kohti tilavuutta V avautuvaaavaruuskulmaelementin dΩ suuruista kartiota. Tämä kartio läpäiseetilavuuden V sekä sisään- että ulospäin ja pinta-alkioiden integraalit summautuvatnollaan (piirrä kuva).

14 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄTulos yleistyy N:n varauksen parvelle:∮SE · n dS = 1 ɛ 0N ∑i=1q i (2.19)Jos suurta varausjoukkoa tarkastellaan varausjakautumana, voidaan ρdVajatella alkioksi, joka tuottaa osuuden ρdV/ɛ 0 eli integroituna tilavuuden Vyli∮E · n dS = 1 ∫ρdV (2.20)ɛ 0Smikä on peruskurssilta tuttu Gaussin laki integraalimuodossa.Vektorianalyysin divergenssiteoreeman eli Gaussin lauseen mukaanriittävän siistille vektorikentälle u pätee∮∫u · n dS = ∇·u dV (2.21)Smissä n on tilavuutta V ympäröivän pinnan S ulkonormaalivektori. Sovelletaantätä Gaussin lain vasemmalle puolelle, jolloin∫∇·E dV = 1 ∫ρdV (2.22)ɛ 0VTämän täytyy olla riippumaton tilavuuden V valinnasta, eliVVV∇·E = ρ/ɛ 0 (2.23)ja olemme saaneet Gaussin lain differentiaalimuodossa, joka on Maxwellinensimmäinen yhtälö.2.4.2 Gaussin lain soveltamisestaPallosymmetrinen varausjakautumaPallosymmetrisessä tapauksessa varaustiheys on muotoa ρ = ρ(r), jolloinsähkökenttä on radiaalinen ja riippuu ainoastaan etäisyydestä origosta: E =E(r)e r , mikä on helppo päätellä suoraan Coulombin laista. TarkastellaanGaussin lakia pallokoordinaateissa, kun pinnaksi S valitaan r-säteinen pallo:∮E · dS =∫ π ∫2πToisaalta pallon sisään jää varaus00E(r)e r · (r 2 sin θdθdφe r )=4πr 2 E(r) (2.24)∫∫r ∫π ∫2πρdV = ρ(r ′ )(r ′2 sin θdr ′ dθdφ) =4π0 0 0∫ r0ρ(r ′ )r ′2 dr ′ (2.25)

2.4. GAUSSIN LAKI 15joten pallosymmetrisen varausjakautuman sähkökenttä onE(r) = 1 ∫ rɛ 0 r 2 ρ(r ′ )r ′2 dr ′ (2.26)0Sovelletaan tätä sitten tasaisesti varatulle R-säteiselle pallolle, jonka sisällävaraustiheys on ρ 0 ja ulkopuolella nolla. Pallon kokonaisvaraus on Q =4πR 3 ρ 0 /3. Integrointi antaa sähkökentäksir ≤ R : E(r) = Qr4πɛ 0 R 3r>R: E(r) = Q4πɛ 0 r 2 (2.27)Varausjakautuman ulkopuolella sähkökenttä on siis sama kuin origossa olevanpistevarauksen Q kenttä.ViivavarausEsimerkkinä sylinterisymmetrisestä tapauksesta tarkastellaan pitkää tasaisestivarattua ohutta lankaa, jonka varaustiheys pituusyksikköä kohti onλ. Symmetrian perusteella sähkökenttä on radiaalinen. Tarkastellaan langanympärillä olevaa r-säteistä sylinteriä, jonka pituus on l. Integroitaessasähkökentän normaalikomponenttia sylinterin pinnan yli, sylinterin pääteivät tuota mitään. Vaipan pinta-ala on 2πrl ja sylinterin sisällä oleva varausλl, joten Gaussin laki antaa 2πrlE r = λl/ɛ 0 eliE r =λ2πɛ 0 r(2.28)Viivavarauksen kenttä pienenee siis kuten r −1 . Kentän potentiaali onϕ = −λ ln(r/r 0 ) (2.29)2πɛ 0missä r 0 on vakio. Tässä tapauksessa ei voida sopia potentiaalia nollaksiäärettömän kaukana.JohdekappaleKappaletta, jolla voi olla sisäistä varausta, kutsutaan eristeeksi (engl. dielectric).Johteissa on puolestaan tarpeeksi liikkuvia varauksia, jotka jatkavatliikettään, kunnes sähkökenttä kappaleen sisällä on nolla. Varauksetjoutuvat tällöin kappaleen pinnalle, eli sisällä varaustiheys on nolla ja kappaleenmahdollinen nettovaraus on pintavarausta. Jotta tilanne olisi staattinen,pinnalla olevan sähkökentän täytyy olla pinnan normaalin suuntainen:

16 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄEhσE = 0Kuva 2.1: ”Pillerirasia” johdekappaleen reunalla.E n = nE n , koska muuten varaukset liikkuisivat pitkin pintaa. SovelletaanGaussin lakia tarkastelemalla sylinterinmuotoista ”pillerirasiaa” (korkeus h),jonka ulompi pinta yhtyy tarkasteltavan kappaleen pintaan ja jonka tilavuuson hdS (dS = n dS, dS pohjan pinta-ala) (kuva 2.1).∮∫E · dS = E n · n dS − E i · n dS + E · dS (2.30)vaippamissä E i on kenttä pillerirasian sisemmällä pinnalla, siis 0. Rajalla h → 0integraali vaipan yli menee myös nollaksi jaE n · n dS = 1 ∫ρdV = σdS(2.31)ɛ 0 V ɛ 0Koska tämän täytyy päteä kaikilla pinta-alkioilla, on sähkökenttä johdepallonpinnalla suoraan verrannollinen pintavaraukseenE = σ ɛ 0n (2.32)Harjoitustehtäväksi jää osoittaa, että mielivaltaisen johdekappaleen ympäröimässätyhjässä onkalossa ei ole sähköstaattista kenttää. Samoin jää mietittäväksi,miksi tämä on merkittävä tulos Coulombin lain kokeellisen testaamisenkannalta.2.5 Sähköinen dipoliTarkastellaan kahden erimerkkisen varauksen muodostamaa paria. Olkoonvaraus −q origossa ja varaus q pisteessä d (kuva 2.2). Tällöin potentiaalipisteessä r onϕ(r) =q 1(4πɛ 0 |r − d| − 1|r| ) (2.33)

2.6. SÄHKÖKENTÄN MULTIPOLIKEHITELMÄ 17rr–d–q qdKuva 2.2: Sähködipoli muodostuu kahdesta lähekkäisestä samansuuruisestavastakkaismerkkisestä varauksesta.Tämä lauseke on täysin yleinen riippumatta varausten etäisyydestä. Sähköisellädipolilla tarkoitetaan raja-arvoa d → 0, mikä on sama asia, kuin dipolinkatselu kaukaa (|r| ≫|d|). Binomisarjan avulla saadaan|r − d| −1 = [r 2 − 2r · d + d 2 ] −1/2= 1 r (1 + r · dr 2 + ...) (2.34)Rajalla d → 0 potentiaali häviää, ellei q kasva rajatta. Pistedipoli on idealisaatio,jonka varaus on nolla, mutta jonka dipolimomentti p = qd onäärellinen. Origossa olevan sähködipolin potentiaali on siisϕ(r) = 1 p · r4πɛ 0 r 3 (2.35)Ottamalla tästä gradientin vastaluku saadaan sähkökentäksi (HT)E(r) = 1 { 3r · p4πɛ 0 r 5 r − p }r 3 = 1 { 3p cos θ4πɛ 0 r 3 e r − p }r 3 (2.36)missä θ on dipolimomentin ja vektorin r välinen kulma. Myöhemmin saadaanmagneettiselle dipolille samanmuotoiset lausekkeet. Dipolikentän kenttäviivaton hahmoteltu kuvaan 2.3.2.6 Sähkökentän multipolikehitelmäTarkastellaan seuraavaksi mielivaltaista varausjakautumaa ρ(r ′ ) origon ympäristössä.Sen aiheuttama potentiaali pisteessä r onϕ(r) = 14πɛ 0∫VKehitetään |r − r ′ | −1 binomisarjaksi, kun r>r ′ :ρ(r ′ )|r − r ′ | dV ′ (2.37)|r − r ′ | −1 = (r 2 − 2r · r ′ + r ′2 ) −1/2= 1 {1 − 1 []2r · r′−r 2 r 2 + r′2r 2 + 3 }8 [ ]2 + ...(2.38)

2.7. PISTEVARAUKSEN JAKAUTUMA 19Kaukana varausjakautumasta potentiaali on likimain ensimmäisen nollastapoikkeavan termin aiheuttama potentiaali. Atomien ytimissä dipolimomenttion nolla, mutta korkeammat multipolit ovat tärkeitä ydinfysiikassa.2.7 Pistevarauksen jakautumaYksittäiset pistevaraukset voidaan käsitellä samalla tavalla kuin varausjakautumatottamalla käyttöön Diracin deltafunktio δ(r), jolloinρ(r) =qδ(r) (2.43)Deltafunktion tutuiksi oletettuja perusominaisuuksia ovat∫δ(r) = 0, jos r ≠ 0 (2.44)F (r)δ(r − r 0 ) dV = F (r 0 ) (2.45)Helppona esimerkkinä pisteessä r i olevan varauksen sähkökenttä onE(r) = 14πɛ 0∫Vq i δ(r ′ − r i )|r − r ′ | 3 (r − r ′ ) dV ′ = q i r − r i4πɛ 0 |r − r i | 3 (2.46)2.8 Poissonin ja Laplacen yhtälötSähköstatiikka olisi aika suoraviivaista, jos tietäisimme kaikkien varausjakautumienpaikkariippuvuudet. Näin ei kuitenkaan ole monissa käytännönongelmissa. Koska ∇·E = ρ/ɛ 0 ja E = −∇ϕ, Gaussin laki differentiaalimuodossavastaa matematiikan Poissonin yhtälöä∇ 2 ϕ = −ρ/ɛ 0 (2.47)Jos varaustiheys on nolla, niin Poissonin yhtälö yksinkertaistuu Laplacenyhtälöksi∇ 2 ϕ = 0 (2.48)Laplacen yhtälön toteuttavaa funktiota kutsutaan harmoniseksi.Poissonin yhtälö voidaan ratkaista, jos varausjakautuma ja oikeat reunaehdottunnetaan. Tarkastellaan sähköstaattista systeemiä, joka koostuu Njohdekappaleesta. Kunkin johteen pinnalla potentiaali on ϕ i , i =1,...,N.Reunaehtoja on kahta tyyppiä:1. Tunnetaan potentiaali ϕ alueen reunalla (Dirichlet’n reunaehto).2. Tunnetaan potentiaalin derivaatan normaalikomponentti ∂ϕ/∂n alueenreunalla (von Neumannin reunaehto).

20 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄSelvitetään ensin, ovatko mahdollisesti löydettävät ratkaisut yksikäsitteisiä.On selvää, että jos ϕ 1 (r),...,ϕ n (r) ovat Laplacen yhtälön ratkaisuja, niinϕ(r) = ∑ C i ϕ i (r)missä C i :t ovat mielivaltaisia vakioita, on Laplacen yhtälön ratkaisu.Yksikäsitteisyyslause: kaksi annetut reunaehdot täyttävää Laplacenyhtälön ratkaisua ovat additiivista vakiota vaille samat. Tarkastellaan tämäntodistamiseksi johteiden pinnat S 1 ,...,S N sisäänsä sulkevaa tilavuutta V 0 ,joka on pinnan S sisällä (pinta voi olla äärettömyydessä). Olkoot ϕ 1 ja ϕ 2kaksi Laplacen yhtälön toteuttavaa ratkaisua, jotka täyttävät samat reunaehdotjohteiden pinnalla S I , siis joko ϕ 1 = ϕ 2 tai ∂ϕ 1 /∂n = ∂ϕ 2 /∂nnäillä pinnoilla sekä pinnalla S. Tarkastellaan funktiota Φ = ϕ 1 − ϕ 2 . TilavuudessaV 0 on tietenkin ∇ 2 Φ = 0. Reunaehdoista puolestaan seuraa, ettäkaikilla reunoillajoko Φ = 0 tai n ·∇Φ= ∂Φ∂n =0Sovelletaan sitten divergenssiteoreemaa vektoriin Φ∇Φ:∫∮∇·(Φ∇Φ) dV =(Φ∇Φ) · n dS =0V 0S+S 1 +...+S Nkoska joko Φ tai ∇Φ · n on pinnoilla 0. Toisaalta∇·(Φ∇Φ)=Φ∇ 2 Φ+(∇Φ) 2 =(∇Φ) 2eli∫(∇Φ) 2 dV =0V 0Koska (∇Φ) 2 ≥ 0 koko alueessa V 0 , sen on oltava nolla kaikkialla. Tästäseuraa, että Φ on vakio koko alueessa V 0 ja yksikäsitteisyyslause on sitentodistettu.Tämä ei ole todistus ratkaisun olemassaololle vaan sille, että mahdollisetratkaisut ovat yksikäsitteisiä! Tarkastelun merkitys on siinä, että joslöydämme millä keinolla tahansa annetut reunaehdot täyttävän Laplacenyhtälön ratkaisun, ratkaisu on Dirichlet’n reunaehdolla yksikäsitteinen javon Neumannin reunaehdolla vakiota eli potentiaalin nollatasoa vaille yksikäsitteinen.Todistuksessa käytettiin Greenin ensimmäistä kaavaa (GI)∫∮(ϕ∇ 2 ψ + ∇ϕ ·∇ψ) dV = ϕ∇ψ · n dS (2.49)Vsovellettuna tapaukseen Φ = ϕ = ψ. Greenin toinen kaava (GII)∫∮(ψ∇ 2 ϕ − ϕ∇ 2 ψ) dV = (ψ∇ϕ − ϕ∇ψ) · n dS (2.50)Vtunnetaan myös nimellä Greenin teoreema. Nämä ovat divergenssiteoreemansuoria seurauksia (HT).SS

2.9. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 212.9 Laplacen yhtälön ratkaiseminenLaplacen yhtälö on fysiikan keskeisimpiäyhtälöitä. Sähköopin lisäksi se esiintyylämmönsiirtymisilmiöissä, virtausmekaniikassa jne. Kovin monimutkaisissatilanteissa yhtälöä ei voi ratkaista analyyttisesti, mutta joskus ongelmansymmetriasta on hyötyä. Laplacen yhtälö, joka on osittaisdifferentiaaliyhtälö,saadaan separaintimenetelmällä muunnetuksi ryhmäksi tavallisia yhdenmuuttujan differentiaaliyhtälöitä. Aihetta on käsitelty enemmän kurssillaFYMM II ja fysiikan matemaattisten menetelmien oppikirjoissa. Laplacenyhtälö voidaan separoida kaikkiaan 11 erilaisessa koordinaatistossa, joistatässä esiteltävät kolme tapausta ovat tavallisimmat. On syytä myös huomata,että Laplacen yhtälöllä ei aina ole separoituvia ratkaisuja.2.9.1 Karteesinen koordinaatistoKirjoitetaan Laplacen yhtälö ensin karteesisissa koordinaateissa∂ 2 ϕ∂x 2 + ∂2 ϕ∂y 2 + ∂2 ϕ∂z 2 = 0 (2.51)ja etsitään sille ratkaisua yritteelläϕ(x, y, z) =X(x)Y (y)Z(z) (2.52)Sijoitetaan tämä yhtälöön (2.51) ja jaetaan tulolla XY Z, jolloin saadaan1 d 2 XX dx 2 + 1 Yd 2 Ydy 2 + 1 d 2 ZZ dz 2 = 0 (2.53)Nyt jokainen termi riippuu vain yhdestä muuttujasta, jotka ovat keskenäänriippumattomia. Niinpä kunkin termin on oltava erikseen vakioita1 d 2 XX dx 2 = α2 ;1Yd 2 Ydy 2 = β2 ;1 d 2 ZZ dz 2 = γ2 (2.54)missä α 2 + β 2 + γ 2 = 0. Kukin yhtälöistä (2.54) on helppo ratkaista:X(x) = A 1 e αx + A 2 e −αxY (y) = B 1 e βy + B 2 e −βy (2.55)Z(z) = C 1 e γz + C 2 e −γzmissä yleisesti kompleksiarvoiset vakiot A i ,B i ,C i ja α, β, γ määräytyvätongelman reunaehdoista. Koko ratkaisu on muodollisesti summaϕ(x, y, z) = ∑X(x)Y (y)Z(z) (2.56)α,β,γmissä separointivakioille α, β, γ tulee tilanteesta riippuvia rajoituksia.

22 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄEsimerkki. Potentiaali laatikossaTarkastellaan laatikkoa 0

2.9. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 232.9.2 PallokoordinaatistoKoska pistevarauksen kenttä on pallosymmetrinen, pallokoordinaatisto onusein erittäin käyttökelpoinen. Laplacen yhtälö ontällöin(1 ∂r 2 r 2 ∂ϕ )(1 ∂+∂r ∂r r 2 sin θ ∂ϕ )1 ∂ 2 ϕ+sin θ ∂θ ∂θ r 2 sin 2 θ ∂φ 2 = 0 (2.62)Etsitään tälle ratkaisua muodossaϕ(r, θ, φ) = R(r) Θ(θ)Φ(φ) (2.63)rSijoitetaan tämä yhtälöön (2.62), kerrotaan suureella r 2 sin 2 θ ja jaetaanRΘΦ:llä:(1r 2 sin 2 d 2 RθR dr 2 + 1 1 dr 2 sin θ Θ dθ(sin θ dΘ ) ) + 1 d 2 Φdθ Φ dφ 2 = 0 (2.64)Ainoastaan viimeinen termi riippuu φ:stä, joten sen on oltava vakio, jotamerkitään −m 2 :llä:1 d 2 ΦΦ dφ 2 = −m2 (2.65)Tämän ratkaisut ovat muotoaΦ(φ) =vakio · e ±imφ (2.66)Yleisesti m on kompleksinen, mutta fysikaalinen ehto rajaa sen mahdollisetarvot: jotta potentiaali olisi jatkuva, kun φ → 0jaφ → 2π, on oltavaΦ(0) = Φ(2π), joten m = 0, ±1, ±2,.... Jatkuvuus on luonnollinen vaatimus,koska sähköstaattinen potentiaali voidaan tulkita yksikkövarauksenpotentiaalienergiaksi.Yhtälön (2.64) ensimmäisen termin on oltava puolestaan m 2 , joten( (1R r2 d2 R 1dr 2 + 1 dsin θ dΘ ) )− m2sin θ Θ dθ dθ sin 2 = 0 (2.67)θTämän yhtälön ensimmäinen ja toinen termi riippuvat kumpikin ainoastaanomasta muuttujastaan ja ovat siten yhtäsuuria vastakkaismerkkisiä vakioita,jota merkitään mukavuussyistä l(l + 1):llä1R r2 d2 Rdr 2 = l(l + 1) (2.68)(1 1 dsin θ dΘ )− m2sin θ Θ dθ dθ sin 2 = −l(l + 1) (2.69)θYhtälön (2.68) yleinen ratkaisu on muotoaR(r) =Ar l+1 + Br −l (2.70)

2.9. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 25Mikä hyvänsä riittävän säännöllinen pallon pinnalla määritelty funktiovoidaan kehittää palloharmonisten sarjaksi. Esimerkkinä käy maapallonmagneettikenttä, jonka sarjakehitelmän johtava termi vastaa magneettistadipolia ja korkeammat termit johtuvat kentän lähteen poikkeamisestadipolista, magneettisen maa-aineksen epätasaisesta jakautumasta ja maapallonyläpuolisissa ionosfäärissä ja magnetosfäärissä kulkevista sähkövirroista.Palloharmonisia funktioita tarvitaan paljon myös atomifysiikassa ja kvanttimekaniikassamm. tarkasteltaessa impulssimomenttioperaattoreita. Tekijä(−1) m kaavassa (2.75) on vaihetekijä, joka voidaan jättää pois tai ottaamukaan jo Plm :n määritelmässä (2.74). Sen ottaminen mukaan on hyödyllistäetenkin kvanttimekaniikan laskuissa (katso esim. Arfken).Kootaan lopuksi Laplacen yhtälön muotoaϕ(r, θ, φ) = R(r) Θ(θ)Φ(φ)roleva ratkaisu, kun 0

26 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄkutsutaan Legendren yhtälöksi. Kuten edellä todettiin, fysikaalisesti kelvollisetratkaisut kaikilla θ ∈ [0,π] edellyttävät, että k = n(n+1), missä n onpositiivinen kokonaisluku ja ratkaisut ovat Legendren polynomeja P n (cos θ):joten muutama ensimmäinen P n ond nP n (cos θ) = 12 n n! d(cos θ) n [cos2 θ − 1] n (2.82)P 0 = 1P 1 = cos θP 2 = 1 ()3 cos 2 θ − 12P 3 = 1 ()5 cos 3 θ − 3 cos θ2Tarkastellaan sitten radiaalista yhtälöä(dr 2 dZ )= n(n +1)Z (2.83)dr drYrite Z n (r) =C n r s antaa kaksi riippumatonta ratkaisua r n ja r −(n+1) . Radiaalisenyhtälön täydellinen ratkaisu on näiden lineaarikombinaatioZ n (r) =A n r n + B n r −(n+1) (2.84)ja koko Laplacen yhtälön ratkaisu kiertosymmetriassa on muotoaϕ(r, θ) =∞∑n=0(A n r n +B )nr (n+1) P n (cos θ) (2.85)Integroimisvakiot A n ja B n on määritettävä reunaehdoista.Esimerkki. Johdepallo vakiosähkökentässäTuodaan tasaiseen sähkökenttään E 0 varaamaton a-säteinen johdepallo. Johdepakottaa alunperin suorat kenttäviivat taipumaan siten, että ne osuvatpintaan kohtisuoraan. Valitaan koordinaatisto siten, että origo on pallonkeskipisteessä jaz-akseli on sähkökentän suuntainen. Tällöin ongelmaon kiertosymmetrinen. Johteen pinta on kaikkialla samassa potentiaalissaϕ(a, θ) =ϕ 0 . Kaukana pallosta sähkökenttä lähestyy vakioarvoajoten kaukana potentiaali lähestyy lausekettaE(r, θ) r→∞ = E 0 e z (2.86)ϕ(r, θ) r→∞ = −E 0 z + C = −E 0 r cos θ + C (2.87)

2.9. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 27Tarkastellaan sitten yhtälön 2.85 kertoimia. Kirjoitetaan auki potentiaalinmuutama ensimmäinen termiϕ(r, θ) = C + B 0r + A 1r cos θ + B 1+ B 2r 3 [ 12() ]3 cos 2 θ − 1[ 1r 2 cos θ + A 2r 2 2(3 cos 2 θ − 1) ] + ... (2.88)Kun r →∞, niin ϕ = −E 0 r cos θ, joten A n = 0 kaikille n ≥ 2jaA 1 = −E 0 .Koska pallon kokonaisvaraus on nolla, potentiaalissa ei ole 1/r-riippuvuutta,eli B 0 =0.Jäljellä olevat cos n θ-termit, joissa n ≥ 2, ovat kaikki lineaarisestiriippumattomissa polynomeissa P n , joten ne eivät voi kumota toisiaan pallonpinnalla, missä eioleθ-riippuvuutta, eli B n = 0 kaikille n ≥ 2. Jäljelle jääϕ(a, θ) = ϕ 0 (2.89)ϕ(r, θ) = C − E 0 r cos θ + B 1cos θr2 (2.90)Kun r = a, cos θ-termien on kumottava toisensa, joten C = ϕ 0 ja B 1 = E 0 a 3 .Reunaehdot täyttävä Laplacen yhtälön ratkaisu on siis(a 3 )E 0ϕ(r, θ) =ϕ 0 + − E 0 r cos θ (2.91)Sähkökentän E = −∇ϕ komponentit ovatr 2E r = − ∂ϕ( )∂r = E 0 1+2 a3r 3(E θ = − 1 rPallon pintavaraustiheys on∂ϕ∂θ = −E 0cos θ (2.92)1 − a3r 3 )sin θ (2.93)σ = ɛ 0 E r (r = a) =3ɛ 0 E 0 cos θ (2.94)Pinnalle indusoituva varausjakautuma on θ:n funktio. Sen dipolimomenttion∫∫p = rρ(r) dV = (xe x + ye y + ze z )(3ɛ 0 E 0 cos θ)r 2 sin θdθdφpallor=a∫ π= 6πa 3 ɛ 0 E 0 e z cos 2 θ sin θdθ=4πɛ 0 a 3 E 0 e z (2.95)0Kaukaa katsottuna johdepallon osuus kentästä on sama kuin origoon sijoitetundipolin, jonka dipolimomentti on p =4πɛ 0 a 3 E 0 e z .

28 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ2.9.3 SylinterikoordinaatistoTarkastellaan sitten sylinterisymmetristä tilannetta ja oletetaan lisäksi, etteitilanne muutu sylinterin suunnassa. Nyt ∂ϕ/∂z = 0 ja Laplacen yhtälö on(1 ∂r ∂ϕ )+ 1 ∂ 2 ϕr ∂r ∂r r 2 ∂θ 2 = 0 (2.96)Huom. Sylinterikoordinaatistossa r:llä jaθ:lla on eri merkitys kuin pallokoordinaatistossa!Kirjallisuudessa käytetään usein radiaalietäisyydelle kirjaintaρ ja kiertokulmalle kirjainta φ.Laplacen yhtälö separoituu yritteellä ϕ = Y (r)S(θ):(r dr dY )= − 1 d 2 SY dr dr S dθ 2 = n2 (2.97)missä separointivakiolle n 2 tulee jälleen rajoituksia kulmayhtälöstäd 2 Sdθ 2 + n2 S = 0 (2.98)Tämän ratkaisut ovat sin(nθ) ja cos(nθ). Jos kulma θ saa kaikki arvot välillä0 ≤ θ ≤ 2π, on oltava ϕ(θ) =ϕ(θ +2π). Tästä seuraa, että n on kokonaisluku,joka voidaan rajoittaa positiiviseksi. Lisäksi tapauksessa n = 0 saadaanratkaisu S = A 0 θ + C 0 (ehto ϕ(θ) = ϕ(θ +2π) ei silloin toteudu, muttapidetään tämäkin termi mukana täydellisyyden vuoksi). Radiaalisestayhtälöstä tulee nytr d (r dY )− n 2 Y = r 2 d2 Ydr drdr 2 + r dYdr − n2 Y = 0 (2.99)joka ratkeaa yritteellä Y = a s r sa s s(s − 1)r s + a s sr s − a s n 2 r s = 0 (2.100)Tästä saadaan s = ±n. Ratkaisufunktiot ovat siis muotoa Y = r n ja Y =r −n . Tapaus n = 0 antaa lisäksi Y = ln(r/r 0 ). Kokonaisuudessaan ratkaisuon∞∑ (ϕ(r, θ) = An r n + B n r −n) (C n sin nθ + D n cos nθ)n=1+(A 0 ln (r/r 0 )) (C 0 θ + D 0 ) (2.101)Vakiot on jälleen selvitettävä tarkasteltavan tilanteen ominaisuuksista jareunaehdoista.Huom. Jos kulmariippuvuus on rajattu johonkin sektoriin, on sekäpallo- että sylinterikoordinaatistossa kulmayhtälöiden separointivakioidenarvot määritettävä tapauskohtaisesti. Esimerkiksi pallokalotin tapauksessapäädytään kalottiharmonisiin funktioihin, jotka ovat huomattavasti konstikkaampiakuin palloharmoniset funktiot.

2.10. KUVALÄHDEMENETELMÄ 292.10 KuvalähdemenetelmäLaplacen yhtälön yksikäsitteisyys antaa ratkaisijalle vapauden käyttää mieleisiäänkikkoja ratkaisun löytämiseen. Tietyissä geometrisesti yksinkertaisissatapauksissa peilivarausmenetelmä onkätevä keino välttää differentiaaliyhtälönratkaiseminen. Tarkastellaan tilannetta, jossa on joko annettutai varausjakautumasta helposti laskettavissa oleva potentiaali ϕ 1 (r) ja johteita,joiden pintavarausjakautuma olkoon σ(r). Kokonaispotentiaali onϕ(r) =ϕ 1 (r)+ 1 σ(r4πɛ 0∫S′ ) dS|r − r ′ |(2.102)Ratkaisuun johdesysteemin ulkopuolella ei vaikuta lainkaan, kuinka varauson jakautunut johteen pinnan takana, kunhan pinnalla on voimassa samatreunaehdot. Voidaan siis ajatella, ettei kyseessä olekaan johdekappale vaanpinta, jonka takana on varausjakautuma, joka antaa samat reunaehdot kuinoikea johdekappaleen pintavaraus. Vaikka tässä rajoitutaan staattisiin varauksiinjohdepintojen lähellä, kuvamenetelmää voidaan käyttää myös ajastariippuvissa tilanteissa sekä varausten että virtojen yhteydessä. Teknillisenkorkeakoulun Sähkömagnetiikan laboratoriossa on kehitetty tätä ratkaisutekniikkaaerittäin pitkälle.Esimerkki. Pistevaraus johdetason lähelläValitaan johdetasoksi (y, z)-taso ja asetetaan varaus qx-akselille pisteeseenx = d. Taso oletetaan maadoitetuksi, jolloin sen potentiaali voidaan valitanollaksi. Toisaalta taso saadaan nollapotentiaaliin asettamalla varaus −qpisteeseen (−d, 0, 0). Ratkaisujen yksikäsitteisyyden vuoksi näin saadaanoikea ratkaisu alueessa x ≥ 0. Puoliavaruuteen x < 0tätä menetelmääei saa soveltaa, koska siellä ei ole oikeasti varausta! Kokonaispotentiaali onϕ(r) =q ( 14πɛ 0 |r − d| − 1|r + d|missä d =(d, 0, 0). Tästä saa suoraan sähkökentänE(r) =−∇ϕ(r) =ja johteen pintavaraustiheydenσ(y, z) =ɛ 0 E x | x=0= −)q ( r − d4πɛ 0 |r − d| 3 − r + d )|r + d| 3(2.103)(2.104)qd2π(d 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (2.105)Varaus vetää pintaa puoleensa samalla voimalla kuin se vetäisi etäisyydellä2d olevaa vastakkaismerkkistä varausta. HT: integroi pintavaraustiheys kokotason yli.

30 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄraθbq’dqKuva 2.4: Pistevaraus johdepallon lähellä.Esimerkki. Pistevaraus maadoitetun johdepallon lähelläMaadoitus merkitsee tässä pallon pinnan valitsemista nollapotentiaalipinnaksi.Valitaan origoksi pallon keskipiste, olkoon a pallon säde ja d etäisyysorigosta varaukseen q. Etsitään siis potentiaali ϕ(r), kun r ≥ a reunaehdollaϕ(a) =0.Symmetrian perusteella peilivarauksen q ′ täytyy olla suoralla, joka kulkeevarauksen q ja origon kautta. Tarkastellaan tilannetta kuvan 2.4 mukaisestikäyttäen pallokoordinaatteja. Varauksen ja peilivarauksen yhteenlaskettupotentiaali pisteessä r onϕ(r) ==()1 q4πɛ 0 |r − d| + q′(2.106)|r − b|[1q4πɛ 0 (r 2 + d 2 − 2rd cos θ) 1/2 + q ′](r 2 + b 2 − 2rb cos θ) 1/2Pallon pinnalla potentiaali on nolla kaikilla θ, φ. Sijoittamalla r = a ja asettamallaθ =0jaθ = π saadaan peilivarauksen paikka ja suuruusja ongelma on ratkaistu.b = a2d ,q′ = − a d q (2.107)Mikäli palloa ei olisi maadoitettu, sen keskipisteeseen voitaisiin asettaatoinen peilivaraus q ′′ , joka puolestaan sovitettaisiin antamaan pinnalla oikeareunaehto. Pallon kokonaisvaraus olisi tällöinQ = q ′ + q ′′ (2.108)

2.11. GREENIN FUNKTIOT 312.11 Greenin funktiotEdellä tarkasteltiin tilanteita, joissa oli joko pelkästään johdekappaleita taijohdekappaleita ja yksittäisiä varauksia. Yleisessä tilanteessa voi olla annettuvarausjakautuma ρ sekä johdekappaleita, joiden pintavarausjakautumaon tuntematon. Tällöin on ratkaistava Poissonin yhtälö∇ 2 ϕ = − ρ ɛ 0(2.109)Tämä voidaan tehdä integroimalla varausjakautuman yliϕ 1 (r) =+ 1 ρ(r4πɛ 0∫V′ )|r − r ′ | dV ′ (2.110)ja lisäämällä tähän Laplacen yhtälön sellainen ratkaisu ϕ 2 , että yhteenlaskettupotentiaali toteuttaa reunaehdot johdekappaleiden pinnalla.Aiemmat esimerkit ovat perustuneet hyvin yksinkertaiseen geometriaan.Yleisemmin voidaan osoittaa, että Laplacen ja Poissonin yhtälöt, jotka toteuttavatjoko Dirichlet’n tai von Neumannin reunaehdot, voidaan ratkaistakäyttäen Greenin teoreemaa (2.50) ja Greenin funktioita. Tätä varten tarvitaanvielä kolmas Greenin kaava (GIII). Se saadaan soveltamalla GII:tatapaukseenψ(r, r ′ 1)=|r − r ′ (2.111)|missä r on jokin kiinteä piste alueessa V . Muodollisesti voidaan kirjoittaaSijoittamalla nämä GII:een (2.50) saadaan GIIIϕ(r) = − 1 ∫dV ′ 14π |r − r ′ | ∇2 ϕ(r ′ )+ 14πV∮S∇ 2 ψ(r, r ′ )=−4πδ(r − r ′ ) (2.112)[dS ′ 1|r − r ′ |∂ϕ(r ′ )∂n− ∂ (∂n1|r − r ′ |) ]ϕ(r ′ ) (2.113)(todistus esimerkiksi CL 2.6.1 tai Jackson.)GIII:a ei voi käyttää suoraan, koska siinä esiintyvät sekä Dirichlet’nettä von Neumannin reunaehdot. Oletetaan, että F (r, r ′ ) on jokin alueessamääritelty harmoninen funktio eli funktio, joka toteuttaa Laplacen yhtälön∇ 2 F (r, r ′ ) = 0, missä derivoidaan pilkuttoman koordinaatin suhteen. NytGII antaa tuloksen∫0 = − dV ′ F (r, r ′ )∇ 2 ϕ(r ′ )V∮ (+ dS ′ F (r, r ′ ) ∂ϕ(r′ )∂n − ∂F(r, )r′ )ϕ(r ′ ) (2.114)∂nS

32 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄMuodostetaan sitten Greenin funktioG(r, r ′ )=1|r − r ′ | + F (r, r′ ) (2.115)Summaamalla (2.113) ja (2.114) saadaan tulosϕ(r) = − 1 ∫4π+ 1 ∮4πVSdV ′ G(r, r ′ )∇ 2 ϕ(r ′ )(dS ′ G(r, r ′ ) ∂ϕ(r′ )∂n − ∂G(r, r′ )∂n)ϕ(r ′ )(2.116)Valitsemalla F (r, r ′ ) sopivasti saadaan tästä Poissonin yhtälön ratkaisu annetuillareunaehdoilla.Greenin funktiolla on selvästi ominaisuus∇ ′2 G(r, r ′ )=−4πδ(r − r ′ ) (2.117)Greenin funktioiden käyttö ei rajoitu Poissonin yhtälön ratkomiseen, vaanniillä on keskeinen osa ratkottaessa erilaisia integraaliyhtälöitä. Poissoninlauseke potentiaalille varausjakautuman funktiona on sinällään poikkeuksellisenyksinkertainen integraaliyhtälö.Esimerkki. Pallon Greenin funktioTarkastellaan esimerkkinä pallon Greenin funktiota Dirichlet’n reunehdolla,että potentiaali pallon pinnalla on tunnettu. Tällöin valitaanG D (r, r ′ )=1|r − r ′ | + F D(r, r ′ ) (2.118)reunaehdolla []1|r − r ′ | + F D(r, r ′ ) = 0 (2.119)r ′ ∈Smissä S on pallon pinta. Olemme jo aiemmin ratkaisseet identtisen ongelmanyhdelle pistevaraukselle pallon ulkopuolella ehdolla, että potentiaali pallonpinnalla on nolla yhtälössä (2.106). Siellä saatu ratkaisu on vakiota q/4πɛ 0vaille yhtälön (2.119) ratkaisu, jotenG D (r, r ′ )=1|r − r ′ | − ar ′ |r − (a/r ′ ) 2 r ′ |(2.120)missä a on origokeskisen pallon säde. Potentiaali saadaan integroimallaϕ(r) = 1 G D (r, r4πɛ 0∫V′ )ρ(r ′ ) dV ′ − 1 ∫∂G D (r, r ′ )ϕ(r ′ ) dS ′ (2.121)4π S ∂n

2.11. GREENIN FUNKTIOT 33missä onV viittaa pallon tilavuuteen ja S pallon pintaan. Normaalivektorin suuntautuu ulospäin siitä alueesta, jossa potentiaali halutaan laskea.Tarkasteltaessa aluetta pallon sisällä n = e r ja ulkopuolista aluetta tutkittaessan = −e r . Ulospäin suuntautuva normaaliderivaatta onr ′a ·∇′ G D (r, r ′ ) ∣ = − 1 a 2 − r 2 ∣ ∣∣rr ′ ∈S a |r − r ′ | 3 ′ ∈S= r2 − a 2(a 2 − 2 ar cos γ + r 2 ) −3/2 (2.122)amissä γ on r:n ja r ′ :n välinen kulma.Sovelletaan Greenin funktiota tapaukseen, jossa pallon sisällä ei ole varaustaeli ratkaistaan Laplacen yhtälö reunaehdolla ϕ(a) =f(r), kun r onpallon pinnalla. Tämä antaa Poissonin kaavana tunnetun tuloksenϕ(r) = a2 − r 24πa∫= a(a2 − r 2 )4πf(a, θ ′ ,φ ′ )(a 2 − 2 ar cos γ + r 2 )S∫S3/2dS′f(a, θ ′ ,φ ′ )(a 2 − 2 ar cos γ + r 2 ) 3/2 dΩ′ (2.123)joka ilmaisee siis potentiaalin alueen sisällä olettaen potentiaali tunnetuksipallon pinnalla. Jos puolestaan halutaan tarkastella potentiaalia pallon ulkopuolella,pintaintegraalissa normaalin suunta määritellään ulospäin ja ainoamuutos on korvata (a 2 − r 2 ) → (r 2 − a 2 ).

34 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ

Luku 3Sähkökenttä väliaineessaEdellisessä luvussa tarkasteltiin sähköstaattista kenttää tilanteissa, joissa oliannettuja varausjakautumia tai vapaita varauksia johdekappaleiden pinnalla.Läheskään kaikki aineet eivät kuitenkaan ole johteita. Hyvän johteenvastakohta on ideaalinen eriste, jossa ei ole lainkaan vapaita varauksia. Aineon kuitenkin koostunut positiivisista atomiytimistä ja negatiivisista elektroneista.Jos eriste asetetaan sähkökenttään, kenttä aiheuttaa voimavaikutukseneristeen rakenneosasiin. Vaikutuksen suuruus riippuu aineen mikroskooppisistaominaisuuksista. Eristeeseen syntyvää makroskooppista vaikutustakuvataan eristeen erimerkkisten varausten siirtymänä toistensa suhteen.Aineen sanotaan tällöin polarisoituneen. Sisäisen polarisoituman jaulkoisen kentän yhteisvaikutus on usein hyvin monimutkainen vuorovaikutusketju,sillä polarisoituma muuttaa puolestaan ulkoista kenttää ja mikälieristeen lähellä on johdekappaleita, niiden pinnalle indusoituva varausjakautumamuuttuu, mikä puolestaan muuttaa eristeeseen vaikuttavaa ulkoistakenttää.3.1 Sähköinen polarisoitumaPalautetaan ensin mieleen, että sähköstatiikka hallitaan yhtälöillä∇·E = ρ/ɛ 0 (3.1)∇×E = 0 (3.2)Erityisesti on huomattava, että ρ sisältää kaikki varaukset eikä mitään jakoa”vapaisiin” ja ”muihin” varauksiin tarvitse tehdä. Periaatteessa polarisoituvaaine voidaan siis käsitellä varausjakaumien avulla.Tarkastellaan polarisoituneen aineen pientä tilavuusalkiota △V , jonkadipolimomentti on∫△p = r dq (3.3)△V35

36 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSASähköinen polarisoituma määritellään dipolimomenttitiheytenäP = △p△V(3.4)Tämä määritelmä edellyttää, että △V on makroskooppisessa mielessä pieni.Varsinaisesta raja-arvosta △V → 0 ei ole kysymys, koska tilavuusalkiossatäytyy olla monta molekyyliä, jotta polarisaatio ylipäänsä syntyisi. Makroskooppiseltakannalta polarisoitumaa voi kuitenkin tarkastella jatkuvanapaikan funktiona.Polarisoituman SI-yksikkö onC/m 2 , joten [P] =[ɛ 0 ][E]. Cgs-yksiköissätyhjön permittiivisyys on 1/4π, joten niissä polarisoitumalla on sama yksikkökuin sähkökentällä.3.2 Polarisoituman aiheuttaman sähkökentänmäärittäminenTarkastellaan pisteessä r ′ sijaitsevan pienen eristealkion dV ′ dipolimomenttiadp = PdV ′ . Oletetaan, että korkeampien multipolien vaikutus voidaanjättää huomiotta. Vaihtoehtoisesti voidaan ajatella, että havaintopiste r onniin etäällä, että tämän alkion aiheuttama sähköinen potentiaali saadaanlaskemalla pelkän dipolimomentin potentiaalidϕ(r) = dp · (r − r′ )4πɛ 0 |r − r ′ | 3 = P(r′ ) · (r − r ′ )dV ′4πɛ 0 |r − r ′ | 3 (3.5)Kokonaispotentiaali pisteessä r on tämän integraaliϕ(r) = 1 ∫P(r ′ ) · (r − r ′ ) dV ′4πɛ 0 V 0|r − r ′ | 3 (3.6)Mikäli polarisoituma tunnetaan, potentiaali voidaan laskea tästä suoraan.Käytännössä sama asia on hyödyllistä ilmaista hieman eri tavalla. Koska( )∇ ′ 1|r − r ′ = r − r′| |r − r ′ | 3 (3.7)voidaan potentiaalin integrandi kirjoittaaP(r ′ ) · (r − r ′ ( ))|r − r ′ | 3 = P(r ′ ) ·∇ ′ 1|r − r ′ |(3.8)Käyttämällä kaavaa∇ ′ · (fF) =f∇ ′ · F + F ·∇ ′ f (3.9)

3.3. SÄHKÖVUON TIHEYS 37saadaanP(r ′ ) · (r − r ′ ( ))P|r − r ′ | 3 = ∇ ′ 1·|r − r ′ −| |r − r ′ | ∇′ · P (3.10)Tämän avulla ja soveltamalla divergenssiteoreemaa potentiaali voidaan ilmaistaseuraavasti:ϕ(r) ===∮14πɛ 0[∮14πɛ 0∫14πɛ 0P · n dS ′S 0|r − r ′ |σ P dS ′ ∫S 0|r − r ′ | +dq ′ P|r − r ′ |+ 14πɛ 0∫ρ P dV ′V 0|r − r ′ |(−∇ ′ · P) dV ′V 0|r − r ′ |](3.11)missä S 0 on eristeen pinta.Potentiaali voidaan siis laskea lausekkeista, jotka muistuttavat edellisessäluvussa olleita avaruus- ja pintavaraustiheyden integraaleja. Tämä onkäytännönongelmissa usein näppärämpi tapa laskea potentiaali kuin suorasähköisen polarisoituman integraali. Suureitaσ P ≡ P · n (3.12)ρ P ≡ −∇·P (3.13)kutsutaan polarisaatiovaraustiheyksiksi. Niiden laatu on varaus/pintaala(σ P ) ja varaus/tilavuus (ρ P ) ja ne aiheuttavat eristeen ulkopuolellatodellisen potentiaalin ϕ, josta saadaan sähkökenttä E = −∇ϕ. Kyse eiole kuitenkaan oikeista ”vapaista” varauksista, vaan tavasta kuvata eristeenominaisuuksia varausjakautuman dq P ′ avulla. Tämän vuoksi polarisaatiovarauksiakutsutaan usein näennäisiksi varauksiksi, mikä ei kuitenkaan teeniille täyttä oikeutta. Eriste on kokonaisuudessaan neutraali, joten kokonaisvaraus∫∮Q P = (−∇ · P) dV ′ + P · n dS = 0 (3.14)V 0 S 0mikä seuraa suoraan divergenssiteoreemasta.3.3 Sähkövuon tiheysEdellä oletettiin eristeen polarisoituma P tunnetuksi. Todellisuudessa näinei yleensä ole, vaan polarisoituma syntyy vasteena ulkoiseen sähkökenttään.Tarkastellaan eristettä, jonka sisällä on mahdollisesti ulkoisia (”vapaita”)varauksia. Sovelletaan Gaussin lakia eristeen sisällä olevalla pinnalla S, jokasulkee sisäänsä niin ulkoiset varaukset kuin polarisaatiovarauksenkin:∮E · n dS = 1 (Q + Q P ) (3.15)ɛ 0S

38 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSAmissä Q = ∑ i=1,...,N q i on ulkoisten varausten summa ja∫∮Q P = (−∇ · P) dV = − P · n dS (3.16)VSon polarisaatiovaraus. Tässä on implisiittisesti oletettu, että ulkoiset varauksetovat pistemäisiä. Jos eristeen sisällä olisi makroskooppisia johdekappaleita,niiden pinnoilta tulisi osuus polarisaatiovaraukseen Q P .Nämä pintatermitkuitenkin kumoutuisivat muutettaessa tilavuusintegraalit pintaintegraaleiksi.Saadaan siis ∮(ɛ 0 E + P) · n dS = Q (3.17)Seli vektorin D ≡ ɛ 0 E + P vuo suljetun pinnan läpi on sama kuin pinnansulkemaan tilavuuteen sijoitettu nettovaraus. Tätä vektoria kutsutaansähkövuon tiheydeksi tai sähköiseksi siirtymäksi (electric displacement).Käyttämällä taas divergenssiteoreemaa ja toteamalla, että Q = ∫ V ρdV,saadaan Gaussin laki eristeessä kirjoitetuksi differentiaalimuotoon∇·D = ρ (3.18)missä ρ on nyt ulkoisten varausten tiheys ja kokonaisvaraustiheys on ρ+ρ P .Huom. Ulkoisia varauksia kutsutaan usein vapaiksi, mutta tämä saattaaaiheuttaa sekaannusta, sillä eristeessä oleva ulkoinen varaus ei ole vapaasamassa mielessä kuin johteen pinnalla oleva varaus.Sähköstatiikan peruslait on nyt siis puettu muotoon∇·D = ρ (3.19)∇×E = 0 (3.20)missäD = ɛ 0 E + P (3.21)Etuna tässä on se, että ulkoinen varaus on helpommin hallittavissa kuinpolarisaatiovaraus. Kuitenkin sähkökenttä E on suure, joka loppujen lopuksihalutaan määrittää. Siksi on vielä tunnettava rakenneyhtälö P = P(E),koska muuten yhteydestä D = ɛ 0 E+P ei ole iloa. Tätä ongelmaa käsitelläänseuraavaksi.3.4 Dielektrisyys ja suskeptiivisuusSähköinen polarisoituma aiheutuu sähkökentästä. Niiden riippuvuus voidaanusein ilmaista sähköisen suskeptiivisuuden χ(E) avulla:P = χ(E)E (3.22)

3.5. SÄHKÖKENTTÄ RAJAPINNALLA 39χ(E) määräytyy väliaineen mikroskooppisesta rakenteesta, johon tutustutaanmyöhemmin tässä luvussa. Yleisesti χ(E) on tensori, jolloin polarisoitumaei välttämättä ole samansuuntainen kuin sähkökenttä eli eriste voiolla epäisotrooppista. Tällaisia väliaineita ovat esimerkiksi kiderakenteet,joissa epäisotropia aiheuttaa sähkömagneettisen aallon etenemisessä kahtaistaittavuudeksikutsuttavan ilmiön. Tällöin eri tavoin polarisoituneet aallottaittuvat eri tavoin. Kahtaistaittavuutta tapahtuu myös vapaista varauksistakoostuvassa magnetoituneessa plasmassa. Toinen ongelmakenttä ovatväliaineet, joissa χ(E) onsähkökentän funktio, jolloin P riippuu sähkökentästäepälineaarisesti. Tämä ilmiö esiintyy yleensä vain hyvin voimakkaillasähkökentillä. Kaikissa aineissa ei edes ole suoraa relaatiota P:n ja E:nvälillä. Ferrosähköisissä aineissa on polarisoitumaa myös ilman ulkoista sähkökenttää.Tarkastellaan tässä kuitenkin vain isotrooppisia eristeitä, joille χ(E) onskalaari ja rajoitutaan vielä lineaarisiin väliaineisiin, joille χ on sähkökentästäriippumaton vakio. Tällaista väliainetta kutsutaan myös yksinkertaiseksi.Tällöin polarisoituman, sähkökentän ja sähkövuon tiheyden välillä vallitsevatrakenneyhtälötP = χE (3.23)D = ɛE (3.24)missä permittiivisyys ɛ = ɛ 0 + χ. Laadutonta suurettaɛ r = ɛɛ 0=1+ χ ɛ 0(3.25)kutsutaan väliaineen eristevakioksi, dielektrisyysvakioksi tai suhteelliseksipermittiivisyydeksi.Aineen eristeominaisuudet eivät salli millaisia sähkökenttiähyvänsä, silläriittävän suuri kenttä ajaa elektroneja ulos molekyyleistä, jolloin aine alkaajohtaa sähköä. Tätä rajaa kutsutaan aineen dielektriseksi vahvuudeksi tailäpilyöntikestävyydeksi. Taulukossa 3.1 on joidenkin tärkeiden aineideneristevakioita ja dielektrisiä vahvuuksia. Ilma on sähköisesti melkein tyhjö,siis hyvä eriste. Veden eristevakio on puolestaan suuri, mikä merkitsee vahvaapolarisoitumista ja siten kohtuullisen hyvää sähkönjohtokykyä polarisoitumisvaraustenkantamana.3.5 Sähkökenttä rajapinnallaEristeet ovat usein paljon hankalampia käsiteltäviä kuin johteet. Hyvän johteenominaisuus on, että sen sisäinen sähkökenttä on nolla ja kaikki varaus

40 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSATaulukko 3.1: Eristeiden ominaisuuksia. Tässä annettu ilman läpilyöntikestävyyskoskee kuivaa ilmaa, muissa oloissa arvo on pienempi. Lasin suhteellinenpermittiivisyys vaihtelee kemiallisesta koostumuksesta riippuen.aine suhteellinen läpilyöntipermittiivisyyskestävyys [MV/m]akryyli 3.3 20eboniitti 2.7 10kuiva ilma 1.0006 4.7lasi 5-10 15kova paperi 5 15eristyspaperi 5 30posliini 5.5 35tislattu vesi 81 30kertyy pinnalle. Eristeet sen sijaan polarisoituvat ja erilaiset eristeet polarisoituvateri tavoin. Eristeongelmissa joudutaan usein tarkastelemaan kenttienominaisuuksia eri eristeiden tai eristeiden ja johteiden rajapinnoilla.Tarkastellaan tilannetta kahden yksinkertaisen (lineaarinen, isotrooppinen,homogeeninen = LIH) eristeen rajapinnalla ja oletetaan rajapintamakroskooppisessa mielessä ohueksi. Tämä tarkastelu voidaan ulottaamyös epähomogeenisiin eristeisiin, jos eriste voidaan kuvata eri eristevakiollavarustettuina kerroksina. Toinen eriste voi olla myös tyhjö, jonka permittiivisyyson ɛ 0 eli ɛ r = 1. Merkitään väliaineita indekseillä 1 ja 2 ja olkoonσ pintavaraustiheys rajapinnalla. Tarkastellaan pientä sylinterinmuotoista”pillerirasiaa”, jonka kannet ovat eri väliaineissa (kuva 3.1).12n D 11∆S 1α 11σD 212Kuva 3.1: ”Pillerirasia” kahden väliaineen rajapinnalla ja sähkövuon tiheyden”taittumiskulmien” määritelmä.

3.5. SÄHKÖKENTTÄ RAJAPINNALLA 41Sovelletaan Gaussin lakia∮D · n dS = D 1 · n 1 △S 1 + D 2 · n 2 △S 2 +∮vaippaD · n dS = Q (3.26)Annetaan pillerirasian korkeuden lähestyä nollaa. Tällöin integraali vaipanyli on nolla ja pillerirasian sisällä oleva varaus on pintavaraus kerrottunapinta-alalla: Q = σ△S, missä △S = △S 1 = △S 2 . Koska n 1 = −n 2 , voidaankirjoittaa reunaehto sähkövuon tiheyden normaalikomponentilletai(D 2 − D 1 ) · n 2 = σ (3.27)D 2n − D 1n = σ (3.28)Mikäli kahden eristeen rajapinnalla ei ole ulkoista varausta, sähkövuon tiheydennormaalikomponentti on jatkuva rajapinnan läpi.Huom. Koska eristeet polarisoituvat, ylläoleva tarkastelu on tehtävä nimenomaansähkövuon tiheydelle, ei sähkökentälle.Myös sähköstaattiselle kentälle löytyy reunaehto rajapinnalla. Koska E =−∇ϕ, niin viivaintegraali ∮E · dl = 0 (3.29)pitkin mitä tahansa suljettua silmukkaa. Sovelletaan tätä suorakulmaiseensilmukkaan ABCD eristeiden rajapinnalla. Olkoot rajapinnan suuntaisetsivut AB ja CD kumpikin eri väliaineessa ja pituudeltaan △l. Väliaineestatoiseen kulkevat sivut BC ja DA oletetaan häviävän lyhyiksi. Tällöin∮E · dl =(E 2 − E 1 ) ·△l = 0 (3.30)jotenE 2t = E 1t (3.31)eli sähkökentän tangentiaalikomponentti on jatkuva rajapinnan yli. Tämätulos on voimassa riippumatta mahdollisesta pintavarauksesta.Lasketaan sitten vektorin D taittuminen rajapinnalla tapauksessa σ =0.Olkoon α 1 ”rajapinnalle tulevan” vektorin D 1 ja n 1 :n välinen kulma ja α 2”rajapinnalta lähtevän” vektorin D 2 ja n 2 :n välinen kulma. Koska väliaineeton oletettu yksinkertaisiksi, niinD 1t = ɛ 1 E 1t ; D 2t = ɛ 2 E 2t (3.32)Tällöintan α 2tan α 1= D 2tD 2nD 1nD 1t= ɛ 2E 2tɛ 1 E 1t= ɛ 2ɛ 1= ɛ r2ɛ r1(3.33)

42 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSASähkövuon tiheysvektori taittuu siis poispäin normaalin suunnasta mentäessähuonommasta parempaan eristeeseen. Tämä on sukua aaltojen taittumiselleeri väliaineiden rajapinnalla, johon tutustutaan luvussa 11.Tarkastellaan sitten potentiaalin reunaehtoa rajapinnalla. Oletetaan jälleenσ = 0, jolloin D 2n = D 1n ja ɛ r2 ɛ 0 E 2n = ɛ r1 ɛ 0 E 1n . Koska E n = −∂ϕ/∂n,tulee reunaehdoksi∂ϕ 2ɛ r2∂n = ɛ ∂ϕ 1r1(3.34)∂nTämän lisäksi ϕ on jatkuva reunan yli. Tämä nähdään tarkastelemalla kahtapistettä r 1 ja r 2 reunan molemmin puolin. Tällöin∫ r2r 1E · dr = ϕ 1 − ϕ 2 → 0 (3.35)kun r 1 ja r 2 lähestyvät toisiaan eri puolilta rajapintaa sillä fysikaalisellaoletuksella, että sähkökenttä onäärellinen rajapinnalla.3.5.1 Eristepallo sähkökentässäYksinkertaisessa väliaineessa D = ɛE, joten ∇·E = ρ/ɛ. Siis ainoa muodollinenero edellisten lukujen käsittelyyn on korvata ɛ 0 → ɛ. Useissa käytännönongelmissa eristeessä ei ole ulkoista varausta, joten ∇ 2 ϕ = 0 koko eristeessä.Tarkastellaan esimerkkinä a-säteistä eristepalloa homogeenisessa sähkökentässäE 0 . Ratkaisumenetelmä on samanlainen kuin johdepallon tapauksessa.Valitaan alkuperäinen sähkökenttä z-akselin suuntaiseksi E 0 = E 0 e z , jotentämän potentiaali on ϕ = −E 0 r cos θ, minkä on oltava ratkaisu kaukana pallosta.Asetetaan pallo origoon ja todetaan, että tilanne on kiertosymmetrinenz-akselin suhteen: ϕ = ϕ(r, θ). ɛ r on vakio eristeessä jaɛ = ɛ 0 muualla.Systeemissä ei ole ulkoisia varauksia, joten ρ = 0 kaikkialla ja Laplacenyhtälö on voimassa eristeessä ja sen ulkopuolella. Kirjoitetaan ratkaisujälleen vyöhykeharmonisten funktioiden sarjana (2.85)ϕ(r, θ) =∞∑n=0(A n r n + B n r −(n+1)) P n (cos θ) (3.36)Merkitään termejä pallon ulkopuolella (r >a) indeksillä 1 ja sisäpuolella(r

3.5. SÄHKÖKENTTÄ RAJAPINNALLA 43Pallon sisällä potentiaalin on oltava äärellinen origossa, joten kaikki kertoimetB 2n ovat nollia ja sisäratkaisu on muotoa∞∑ϕ 2 = A 2n r n P n (cos θ) (3.38)n=0Käytetään sitten potentiaalin reunaehtoja rajapinnalla. Ensinnäkin potentiaalinon oltava jatkuva ϕ 1 (a, θ) =ϕ 2 (a, θ), joten−E 0 a cos θ + B 10a + B 11a 2 cos θ + B 12a 3 P 2(cos θ)+...= A 20 + A 21 a cos θ + A 22 a 2 P 2 (cos θ)+... (3.39)Toisaalta potentiaalin derivaatalle on reunaehto∂ϕ 1 (r, θ)∂ϕ 2 (r, θ)= ɛ∂r ∣ r ∣r=a∂rjosta seuraa∣ r=a−E 0 cos θ − B 10a 2 + 2 B 11a 3 cos θ + 3 B 12a 4 P 2 (cos θ)+...= ɛ r A 21 cos θ +2ɛ r A 22 aP 2 (cos θ)+... (3.40)Koska Legendren polynomit muodostavat ortonormaalin kannan, kunkin P n -termin täytyy toteuttaa yhtälöt erikseen. Nyt molemmat yhtälöt (3.39) ja(3.40) toteutuvat vain, jos A 2n =0jaB 1n = 0 kaikilla n ≥ 2. Yhtälön (3.40)ainoa cos θ:sta riippumaton termi on B 10 = 0, joka sijoitettuna yhtälöön(3.39) antaa A 20 = 0 ja jäljelle jää yhtälöpari−E 0 a + B 11a 2 = A 21 a (3.41)−E 0 − 2 B 11a 3 = ɛ r A 21 (3.42)joiden ratkaisuna saadaanA 21 = − 3E 0ɛ r +2 ; B 11 = ɛ r − 1ɛ r +2 E 0a 3 (3.43)Kaiken kaikkiaan ratkaisu pallon ulkopuolella onja pallon sisällä(ϕ 1 (r, θ) =−1 − ɛ r − 1ɛ r +2a 3 )r 3 E 0 r cos θ (3.44)ϕ 2 (r, θ) =− 3ɛ r +2 E 0r cos θ = − 3ɛ r +2 E 0z (3.45)

44 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSAPallon sisällä on vakiosähkökenttäE 2 = 3ɛ r +2 E 0 (3.46)mikä on erona johdepalloon, jossa varaukset jakautuvat pinnalle siten, ettäsisällä ei ole kenttää. Koska ɛ r ≥ 1, niin kenttä eristeen sisällä on pienempikuin ulkopuolella. Jos eriste on jonkin verran sähköä johtavaa vettä (ɛ r =80 − 90), on pallon sisäkenttä muutama prosentti ulkopuolisesta kentästä.Sähkövuon tiheydellä ei ole lähteitä, vaan kaikki kenttäviivat jatkuvatpallon läpi (HT: piirrä kuva). Sitävastoin polarisoitumisesta johtuva pintavarauskateaiheuttaa sen, että sähkökentällä onlähteitä ja nieluja pallonpinnalla ja osalla kenttäviivoista pää on pallon pinnalla. Tämän seurauksenakenttäviivat eivät myöskään ole kohtisuorassa pallon pintaa vastaan.Tämä osoittaa, että polarisaatiovarauksen kutsuminen ”näennäiseksi” onkyseenalaista.3.5.2 Pistevaraus eristepinnan lähelläTarkastellaan tilannetta, jossa xy-taso jakaa avaruuden kahteen homogeeniseeneristealueeseen: (z > 0,ɛ 1 )ja(z < 0,ɛ 2 ). Asetetaan varaus q pisteeseen(0, 0,d) alueeseen 1. Tehtävänä on laskea potentiaali koko avaruudessa.Oletetaan, ettei rajapinnalla ole ulkoisia varauksia.Tehtävän voisi ratkaista suoraan Poissonin yhtälöä käyttäen, mutta helpommallapäästään kuvalähdemenetelmän avulla. Maadoitetun johdetasontapauksessa ongelma ratkesi peilikuvavarauksella −q pisteessä (0, 0, −d).Eristeenkin tapauksessa potentiaali alueessa 1 voidaan yrittää esittää varauksenq ja jonkin alueessa 2 sijaitsevan kuvavarauksen q ′ avulla. Sivistynytarvaus on sijoittaa kuvavaraus pisteeseen z = −d, jolloin potentiaali alueessa1 on sylinterikoordinaateissa lausuttuna Poissonin yhtälön toteuttavaϕ 1 (r, z) = 1 q( √4πɛ 1 r 2 +(z − d) + q ′2 √r 2 +(z + d) ) (3.47)2Kiertosymmetrian vuoksi kannattaa käyttää sylinterikoordinaatistoa, muttatehtävä ratkeaa sujuvasti myös karteesisessa koordinaatistossa.Alue 2 on eriste, joten johdetilanteesta poiketen sielläkin on kenttä. Koskaalueessa 2 ei ole varauksia, potentiaali toteuttaa siellä Laplacen yhtälön.Ainakin laskennallisesti kelvollinen ratkaisu alueessa 2 saadaan alueessa 1 sijaitsevankuvavarauksen q ′′ avulla, joka viisaasti sijoitetaan pisteeseen z = d.Tällöin potentiaali alueessa 2 onϕ 2 (r, z) = 14πɛ 2q ′′√r 2 +(z − d) 2 (3.48)

3.6. MOLEKULAARINEN POLARISOITUVUUS 45Mikäli kuvavarausten suuruudet saadaan sovitettua siten, että reunaehdottoteutuvat, niin ongelma on ratkaistu. Reunaehtojen mukaan sähkövuontiheyden z-komponentti on jatkuva rajapinnalla (ei pintavarausta) samoinkuin sähkökentän r-komponentti. Jälkimmäinen on yhtäpitävää sen kanssa,että potentiaali on jatkuva. Näin saadaan yhtälöpariKuvavaraukset ovat sitenq − q ′ = q ′′1(q + q ′ )ɛ 1= 1 q ′′ɛ 2(3.49)q ′ = − ɛ 2 − ɛ 1qɛ 2 + ɛ 1q ′′ =2ɛ 2qɛ 2 + ɛ 1(3.50)HT: laske polarisoitumaan liittyvä varaustiheys aineiden rajapinnalla. Josväliaine 2 on johde, niin ratkaisu saadaan muodollisesti asettamalla ɛ 2 äärettömäksi,jolloin potentiaali alueessa 2 häviää jaq ′ = −q.Viimeistään reunaehtoja sovellettaessa tuli selväksi, että kuvalähteetkannatti sijoittaa nimenomaan pisteisiin z = −d ja z = d. Paikkariippuvuudetsupistuvat silloin reunaehtoyhtälöistä kokonaan. Kannattaa muistaa,että kuvalähteet ovat vain kuvitteellisia apuvälineitä, jotka eivät oikeasti sijaitsemissään. Kun ratkaisu on löydetty, kuvalähteet voidaan unohtaa jatodeta suoraan saaduista lausekkeista, että kaikki vaadittavat yhtälöt reunaehtoineentoteutuvat.3.6 Molekulaarinen polarisoituvuusTarkastellaan yksinkertaista väliainetta, jossa yksittäisen molekyylin dipolimomenttip m on verrannollinen polarisoivaan sähkökenttään E m :p m = αɛ 0 E m (3.51)Suuretta α kutsutaan polarisoituvuudeksi (yksikkö m 3 ). Oletetaan lisäksi,ettei molekyylillä ole pysyvää dipolimomenttia. Tavoitteena on lausua molekyylinpolarisoituvuus makroskooppisesti mitattavien suureiden avulla.Ensimmäinen ongelma liittyy polarisoivaan sähkökenttään: se on kenttä,jonka aiheuttavat kaikki ulkoiset lähteet ja väliaineen polarisoituneet molekyylitlukuunottamatta tarkasteltavaa molekyyliä itseään. Kuinka kenttäE m määritetään? Luonnollinen ajatus on poistaa makroskooppisesti pieni,mutta mikroskooppisesti suuri palanen ainetta tarkasteltavan molekyylin

46 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSAbacEKuva 3.2: Sähkökentän määrittäminen erilaisissa onkaloissa.ympäriltä ja laskea kenttä jäljelle jäävässä onkalossa. Kenttä tarkasteltavanmolekyylin kohdalla on silloinE m = E + E p + E near (3.52)Tässä E on keskimääräinen kenttä koko kappaleessa, E p onkalon pinnan polarisaatiovarauksenaiheuttama kenttäjaE near on onkalossa olevien kaikkienmuiden molekyylien aiheuttama kenttä. Aivan tarkasteltavan molekyylinkohdalla on siis otettava huomioon aineen yksityiskohtainen mikroskooppinenrakenne.Kenttä E near on nolla esimerkiksi säännöllisen kuutiohilan hilapisteissä,jos molekyylien dipolimomenttivektorit ovat identtisiä (HT). Samoin voidaanolettaa E near nollaksi nesteissä ja kaasuissa, joissa molekyylit ovat täysinsatunnaisesti jakautuneita. Useista molekyylityypeistä koostuvissa aineissase voi kuitenkin poiketa nollasta. Jatkossa oletetaan, että E near =0.Pulmallista on vielä se, että polarisaatiokenttä E p riippuu onkalon muodosta(kuva 3.2). Jos onkalo on kapean suorakaiteen muotoinen ja sen pitkäsivu on makroskooppisen kentän E suuntainen (a), niin sähkökenttä ononkalossa sama kuin väliaineessa kentän tangentiaalikomponentin jatkuvuudenperusteella. Jos suorakaidetta käännetään 90 astetta (b), niin onkalossaE b = E + P/ɛ 0 sähkövuon tiheyden normaalikomponentin jatkuvuudenvuoksi (pinnoilla on polarisaatiovarausta, mutta ei vapaata varausta).Luonnolliselta tuntuva vaihtoehto on olettaa onkalo palloksi (c). Nytkenttä onkalossa saadaan vähentämällä tasaisesti polarisoituneen pallon kenttäkentästä E. Voidaan käyttää hyväksi analogiaa tilanteeseen, jossa tasaisestipolarisoituneen pallon sisällä on vakiokenttä −P/(3ɛ 0 ) (HT), jaonkalossa E m = E + P/(3ɛ 0 ). Tämä on jonkinlainen välimuoto suorakaiteenmuotoisten onkaloiden kentistä.Nyt voidaan laskea polarisoituma suoraviivaisesti. Jos molekyylien lukumäärätiheyson n, niin polarisoituma on määritelmän mukaan P = np m ,

3.6. MOLEKULAARINEN POLARISOITUVUUS 47jotenP = nαɛ 0 (E + P/(3ɛ 0 )) (3.53)Toisaalta P =(ɛ r − 1)ɛ 0 E, joten saadaan Clausiuksen ja Mossottin yhtälöα = 3(ɛ r − 1)n(ɛ r +2)(3.54)jossa ɛ r ja n ovat makroskooppisia suureita. Voidaan esimerkiksi mitatakaasun ɛ r ja n, jolloin saadaan α laskettua. Jos polarisoitumismekanismi onsamanlainen myös nesteessä, voidaan tunnettujen tiheyksien avulla ennustaanesteen suhteellinen permittiivisyys. Näin saadaan varsin hyviä tuloksiaesimerkiksi aineille CS 2 ,O 2 ja CCl 4 . Vedelle tulisi vastaavalla tavalla ennusteeksinegatiivinen permittiivisyys, joten pysyvästi polarisoituneelle aineelleesitetty malli ei päde.Useimmilla eristeillä E m menee nollaan E:n mukana. Joissain tapauksissaon olemassa pysyvää polarisaatiota P 0 , jolloin E:n ollessa nollaE m = P 03ɛ 0(3.55)TällöinP 0 = nαɛ 0 E m = nα 3 P 0 (3.56)joten nollasta poikkeava pysyvä polarisaatio edellyttää, ettänα3 = 1 (3.57)Tämä ehto on varsin tiukka ja useimmille materiaaleille nα/3 < 1, jotenne käyttäytyvät kuten tavalliset eristeet. Jotkin kristallirakenteiset kiinteätaineet kuitenkin toteuttavat ehdon ja niitä kutsutaan ferroelektrisiksi materiaaleiksi.Esimerkiksi BaTiO 3 on ferroelektristä alle 120 ◦ C:n lämpötilassa(aiheesta enemmän Feynman Lectures, osa II, luku 11-7).Pysyvästi polarisoitunut kappale (elektretti) on kestomagneetin sähköinenvastine. Se eroaa kuitenkin magneetista ratkaisevasti, koska elektretinpinnalle ”sataa” vähitellen väliaineesta varauksia, jotka neutralisoivat polarisaatiopintavarauksen.Ferroelektrisyydelle ominainen pysyvä polarisoituvuus aiheuttaa hystereesi-ilmiön.Kun aine on kerran polarisoitu tasolle P , niin polarisaatio eikatoa vietäessä sähkökenttä nollaan, vaan vasta selvästi nollan alapuolella.Kasvatettaessa negatiivista sähkökenttää polarisaatio saavuttaa uudelleenuuden tason −P , josta ei puolestaan päästä eroon kasvattamalla sähkökenttänollaan, vaan kenttää on kasvatettava riittävän paljon nollan yläpuolelle.Siten polarisaation ja sähkökentän välinen relaatio ei ole yksikäsitteinen.Vastaavaan ilmiöön tutustutaan myöhemmin ferromagnetismin yhteydessä.

48 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSA

Luku 4Sähköstaattinen energiaVoiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä kaikessa fysiikassa. Sähköjamagneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaavaraukselliseen hiukkaseen, se tekee työtä ja hiukkasen energia muuttuu.Kuten mekaniikassa, myös elektrodynamiikassa energia voidaan jakaaliike- ja potentiaalienergiaan. Sähköstaattinen energia on potentiaalienergiaa.Kun varaus q siirtyy pisteestä A pisteeseen B sähköstaattisessa kentässä,kenttä tekee työn∫ B ∫ B∫ BW = F · dl = q E · dl = −q ∇ϕ · dl = −q(ϕ B − ϕ A ) (4.1)AAATyön ja energian SI-yksikkö on joule (J), joka on sama kuin wattisekunti(Ws). Työ onmyös varaus kertaa sähköinen potentiaali, jonka yksikkö onCV tai elektronivoltti (eV). Koska elektronin varaus on 1, 6022 · 10 −19 C, on1eV=1, 6022 · 10 −19 J.4.1 Varausjoukon potentiaalienergiaVarausjoukon sähköstaattisella energialla tarkoitetaan systeemin potentiaalienergiaaverrattuna tilanteeseen, jossa kaikki varaukset ovat äärettömänkaukana toisistaan. Energia saadaan laskemalla yhteen työ, kun kukin varaustuodaan yksitellen paikalleen varausjoukkoon. Koska alunperin tarkasteltavassasysteemissä ei ole varauksia, ensimmäinen varaus q 1 saadaan pisteeseenr 1 ilman työtä, W 1 = 0. Toisen varauksen q 2 tuominen merkitsee työntekoavoimaa F = q 1 r 1 /4πɛ 0 |r 1 | 3 vastaan, joten varauksen sijoittamiseksi pisteeseenr 2 on tehtävä työtäW 2 = q 1q 24πɛ 0 r 21(4.2)49

50 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIAKolmannelle varaukselle( q1W 3 = q 3 + q )2(4.3)4πɛ 0 r 31 4πɛ 0 r 32ja niin edelleen kaikille N kappaleelle varauksia. Koko systeemin sähköstaattinenenergia U on⎛⎞N∑ N∑ j−1 ∑ qU = W j = ⎝ j q k ⎠ (4.4)4πɛ 0 r jkj=1j=1k=1Summaus voidaan järjestää uudelleen muotoonU = 1 (N∑ N)∑′ q j q k2 4πɛ 0 r jkj=1k=1(4.5)missä ∑ ′merkitsee, että termit j = k jätetään pois. Energia voidaan siisilmaista varaukseen j vaikuttavien kaikkien muiden varausten potentiaalinavulla:ϕ j =N∑k=1′ q k4πɛ 0 r jk(4.6)U = 1 N∑q j ϕ j (4.7)2j=14.2 Varausjakautuman sähköstaattinen energiaTarkastellaan seuraavassa jatkuvia varausjakautumia. Osan varauksista oletetaanolevan johteiden pinnalla ja lisäksi systeemissä saa olla eristeitä, muttane on oletettava lineaarisiksi. Syy tähän on, että epälineaarisilla eristeillävaraussysteemin kokoaminen riippuu tiestä, jota pitkin varaukset tuodaanäärettömyydestä tarkastelualueeseen.Oletetaan, että osa systeemistä jo koottu. Tällöin uuden alkion δq tuominennollapotentiaalista systeemiin vaatii työnδW = ϕ ′ (r)δq (4.8)Kokonaistyö ei riipu tavasta, jolla varaukset tuodaan paikoilleen. Voidaanajatella, että kaikkia varauksia siirretään vuorotellen vähän kerrallaan, jamerkitään kullakin hetkellä osuutta koko matkasta α:lla. Mielivaltaisella hetkellävarausjakautumat ovat siis αρ(r)jaασ(r) ja siirrokset ovat δρ = ρ(r)dαja δσ = σ(r)dα. Lopullinen energia saadaan integroimalla∫ 1 ∫∫ 1 ∫U = dα ρ(r)ϕ ′ (α; r) dV + dα σ(r)ϕ ′ (α; r) dS (4.9)0 V0 S

4.3. SÄHKÖSTAATTISEN KENTÄN ENERGIA 51Kaikki varaukset ovat joka hetki saman suhteellisen etäisyyden päässä lopullisestasijoituspaikastaan, joten ϕ ′ (α; r) =αϕ(r), missä ϕ(r) on lopullinenpotentiaali pisteessä r. Tämän avulla α-integrointi on laskettavissa jaU = 1 2∫Vρ(r)ϕ(r) dV + 1 2∫Sσ(r)ϕ(r) dS (4.10)Tässä tilavuuden V täytyy olla niin suuri, että se sisältää kaikki ongelmanvaraukset.Jos koko tarkasteltava tila on eristettä, jonka permittiivisyys on ɛ, saadaanpotentiaali laskemalla∫ϕ(r) =V1 ρ(r) ′ dV ′ ∫1 σ(r) ′ dS ′4πɛ |r − r ′ +| S 4πɛ |r − r ′ |(4.11)Jos taas systeemissä on useita erilaisia eristeitä, on huomioitava oikeat reunaehdotrajapinnoilla.Johdekappaleet on käytännöllistä käsitellä erikseen, sillä niiden varauson kokonaan pinnoilla S j ja johteen potentiaali on vakio:U = 1 ∫σϕ dS = 1 2 S j2 Q jϕ j (4.12)Varausjakautuman sähköstaattinen energia on kaiken kaikkiaanU = 1 ∫ρϕ dV + 1 ∫σϕ dS + 1 ∑Q j ϕ j (4.13)2 V 2 S 2jmissä viimeinen termi on summa yli kaikkien johdekappaleiden ja pintaintegraalion rajoitettu eristeiden pintoihin. Energian lausekkeen voi päätellämyös suoraan yleistämällä diskreettien varausjakautumien tulokset jatkuvillejakautumille.Huom. Koska johdekappaleen pinnalla on suuri määrä varauksia, eijohdekappaleita summattaessa kappaleen omaa osuutta (itseisenergiaa) voidajättää huomiotta, kuten tehtiin yksittäisten varausten tapauksessa edellisessäluvussa. Pistevarausten itseisenergia voidaan jättää huomiotta makroskooppisissatarkasteluissa, mutta aikoinaan muotoiltaessa kvanttitason elektrodynamiikkaatästä aiheutui ongelmia.4.3 Sähköstaattisen kentän energiaEdelläoleva tarkastelu edellyttää potentiaalin tuntemista koko systeemissä.Usein tunnetaan kuitenkin sähkökenttä ja halutaan määrittää sen avulla

52 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIAsähköstaattinen energia. Varaustiheydet voidaan ilmaista sähkövuon tiheydenavulla seuraavasti. Eristeissä ρ = ∇·D ja johteiden pinnalla σ = D · n.TällöinU = 1 ∫ϕ ∇·D dV + 1 ∫ϕ D · n dS (4.14)2 V2 STilavuusintegraali lasketaan alueessa, jossa ∇·D ≠ 0 ja pintaintegraali onjohteiden pintojen yli. Muotoillaan tilavuusintegraalin integrandia kirjoittamallaϕ ∇·D = ∇·(ϕ D) − D ·∇ϕ. Tässä oikean puolen jälkimmäinentermi on +D · E ja ensimmäisen termin tilavuusintegraali voidaan muuttaaGaussin lauseen avulla pintaintegraaliksi, jolloin saadaanU = 1 ∫ϕ D · n ′ dS + 1 ∫D · E dV + 1 ∫ϕ D · n dS (4.15)2 S+S ′ 2 V 2 STässä pinta S + S ′ on koko tilavuutta V rajoittava pinta, joka muodostuujohteiden pinnoista S ja tilavuuden V ulkopinnasta S ′ . Molemmissa tapauksissan ′ osoittaa ulospäin tilavuudesta V . Viimeisen integraalin n puolestaanosoittaa johdekappaleista ulospäin eli tilavuuden V sisään. Integraalit johdekappaleidenyli kumoavat siis toisensa.Osoitetaan vielä, että pinnan S ′ yli laskettava integraali häviää, kun pintaviedään kauas varausjakautumasta. Kaukana ϕ ∝ 1/r ja D(r) ∝ 1/r 2 .Olkoon nyt S ′′ pinnan S ′ sisäänsä sulkeva R-säteinen pallo. Tällöin on olemassaäärellinen suure M, jolle∫∫1∣S ′ 2 ϕ D · n′ dS∣ ≤ MS ′′ r 3 dS = 4πR2 MR 3 ∝ 1 R → 0 (4.16)kun R →∞. Niinpä energiaksi jääU = 1 ∫D · E dV (4.17)2 VTässä V on koko avaruus sisältäen myös johdekappaleet, joiden sisällä E =0.Lausekkeen integrandi on sähköstaattinen energiatiheysu = 1 2 D · E (4.18)Koska on oletettu lineaarinen väliaine, tämä voidaan kirjoittaa myösu = 1 2 ɛE2 = 1 D 2(4.19)2 ɛHuom. Sovellettaessa tätä formalismia systeemiin, jossa on pistevarauksia,niiden ääretön itseisenergia on vähennettävä eksplisiittisesti.Toinen tapa johtaa tulos (4.18) on esitetty yksityiskohdittain CL:n luvussa5.2. Siinä lähdetään liikkeelle varausjakautumasta ρ(r) ja oletetaansiihen pieni häiriö δρ. Häiriöön liittyy työ∫δU = δρ(r)ϕ(r) dV (4.20)V

4.3. SÄHKÖSTAATTISEN KENTÄN ENERGIA 53+–+ – +–++–– + –Na+ Cl– +a–+– + –+ – +–+Kuva 4.1: NaCl-kiteen poikkileikkaus.ja siirtymäkenttä δD, jolle ∇·(δD) =δρ, joten osittaisintegroimalla lauseketta(4.20) saadaan∫∫δU = (∇·δD)ϕdV = E · δD dV (4.21)VVNyt voidaan kirjoittaa muodollisesti∫U = dVV∫ D0E · δD (4.22)missä integrointi D:n suhteen riippuu integroimistiestä. Yksinkertaiselle väliaineelleE · δD = 1 δ(E · D) (4.23)2jotenU = 1 ∫E · D dV (4.24)2 VTässä on oletettu, että tarkasteltava systeemi on mekaanisesti jäykkä, jotenyksinkertaisellekin väliaineelle energiatiheyden lauseke (4.18) on vain approksimaatio.Epälineaarisille väliaineille energia on laskettava suoraan lausekkeesta(4.22). Tämä liittyy jälleen hystereesi-ilmiöön.Esimerkki. Ionikiteen sähköstaattinen energiaTarkastellaan tavallista ruokasuolaa (NaCl, kuva 4.1). Kokeellisesti tiedetään,että suolan hajottaminen Na + ja Cl − -ioneiksi vaatii energiaa 7,92 eVmolekyyliä kohti. Lasketaan, onko tämä sama kuin yhden molekyylin sähköstaattinenpotentiaalienergia kaikkien muiden suolakiteen ionien kentässä.

54 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIAYhden Na + -ionin potentiaalienergia onU 1 = 1 2N∑i=1eq i4πɛ 0 r i(4.25)missä q i on ±e (e = alkeisvaraus) ja r i on kunkin ionin etäisyys origoon sijoitetustaNa + -ionista. N voidaan turvallisesti olettaa äärettömäksi makroskooppisillekiteille. Koska halutaan yhden molekyylin potentiaalienergia U,on laskettava summa U =2U 1 :U =∞∑i=1eq i4πɛ 0 r i(4.26)Röntgendiffraktiokokeista tiedetään, että ionit ovat kuutiohilassa, jossakuution sivun pituus a on noin 2, 82 · 10 −10 m. Koska e 2 /(4πɛ 0 a) ≈ 5, 1 eV,niin suuruusluokan puolesta ollaan oikeilla jäljillä. Energian lauseke voidaankirjoittaa summanaU =e24πɛ 0 a∞∑m,n,p=−∞(−1) m+n+p√m 2 + n 2 + p 2 (4.27)missä ei pidä ottaa mukaan termiä m = n = p = 0. Numeerisesti saadaanU ≈−1, 747e 2 /(4πɛ 0 a) ≈−8, 91eV .Tämä on hieman liian suuri arvo, koskaedellä ei otettu huomioon hyvin lähellä toisiaan olevien ionien välillä vallitsevaapoistovoimaa. Sen vaikutus pienentää molekyylin hajottamiseen tarvittavaaenergiaa. Lisäksi pieni korjaus tulisi ottamalla huomioon kidevärähtelyistäjohtuva liike-energia.Esimerkki. Eristekappaleen energiaTarkastellaan tilannetta, jossa muuten tyhjässä avaruudessa on varausjakaumanρ 0 (r) aiheuttama sähkökenttä E 0 . Tuodaan avaruuteen yksinkertaisestaaineesta muodostuva eristekappale V 1 (permittiivisyys ɛ 1 ) siten, että alkuperäisenkentän E 0 aiheuttava varausjakauma ei muutu. Ennen eristekappaleentuontia sähköstaattinen energia onW 0 = 1 ∫E 0 · D 0 dV (4.28)2missä D 0 = ɛ 0 E 0 . Kappaleen tuonnin jälkeen energia onW 1 = 1 ∫E · D dV (4.29)2Energioiden erotus W = W 1 − W 0 voidaan kirjoittaa muotoonW = 1 ∫(E · D 0 − D · E 0 ) dV + 1 ∫(E + E 0 ) · (D − D 0 ) dV (4.30)22

4.4. SÄHKÖKENTÄN VOIMAVAIKUTUKSET 55Jälkimmäisessä integraalissa voidaan kirjoittaa E+E 0 = −∇ϕ. Integrandiksitulee osittaisintegroinnin jälkeen lauseke ϕ∇·(D − D 0 ). Tämä on nolla,koska alkuperäinen varausjakauma ρ 0 oletetaan muuttumattomaksi. Energianmuutos on siisW = 1 ∫(E · D 0 − D · E 0 ) dV (4.31)2Huomataan vielä, että integroimisalue on ainoastaan V 1 , sillä sen ulkopuolellaD = ɛ 0 E. Integrandiksi tulee siis − 1 2 (ɛ 1 −ɛ 0 )E·E 0 = − 1 2 P·E 0 polarisoitumanmääritelmän perusteella. Ulkoiseen kenttään E 0 tuodun eristekappaleenenergiatiheys on siten w = − 1 2 P·E 0. Tuloksen avulla voidaan päätellä, mihinsuuntaan kappale pyrkii liikkumaan (HT).4.4 Sähkökentän voimavaikutuksetSähkökenttä määriteltiin alunperin operatiivisesti sen voimavaikutuksenkautta. Tarkastellaan nyt, kuinka sähköstaattisesta energiasta voidaan johtaavoimavaikutus. Oletetaan systeemi eristetyksi ja kaikki sen energia sähköstaattiseksienergiaksi. Voiman F tekemä työ systeemin pienessä siirroksessadr ondW = F · dr (4.32)Koska systeemi on eristetty, tämä työ on tehtävä sähköstaattisen energianU kustannukselladW = −dU (4.33)Näistä seuraa, että voima on energian gradientin vastalukuF = −∇U (4.34)Jos voima puolestaan kiertää systeemiä kulman dθ verran (vrt. väkipyörä),tehty työ ondW = τ · dθ (4.35)missä τ on vääntömomentti, joka saadaan siis energian negatiivisena gradienttinakiertymäkulman suhteenτ = − ∂U∣ (4.36)∂θ QKoska systeemi on eristetty, gradientit lasketaan olettaen varaus Q vakioksi.Käytännössä sähköstaattiset systeemit eivät useinkaan ole eristettyjä,vaan muodostuvat esimerkiksi johdekappaleista, jotka pidetään kiinteässäpotentiaalissa ulkoisen energialähteen (pariston) avulla. Siirtyköön osa systeemistäjälleen sähköisten voimien vaikutuksesta. NytdW = dW b − dU (4.37)

56 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –dEF+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +L–xLxKuva 4.2: Eristepalkki levykondensaattorin sisällä.missä dW b on paristosta peräisin oleva työ. Johdekappaleiden energia onU =(1/2) ∑ ϕ j Q j . Koska ulkoinen paristo pitää johdekappaleet samassapotentiaalissa saadaandU = 1 ∑ϕ j dQ j (4.38)2Toisaalta paristosta saatava työ onyhtä suuri kuin työ, joka tarvitaan siirtämäänvarauksen muutos dQ j nollapotentiaalista johdekappaleen potentiaaliindW b = ∑ ϕ j dQ j (4.39)jjoteneli nyt voima onjdW b =2dU (4.40)F =(∇U) ϕ (4.41)missä alaindeksi ϕ viittaa siihen, että ulkoinen energialähde pitää johdekappaleidenpotentiaalit vakioina siirroksen dr ajan.Esimerkki. Levykondensaattorin sisällä olevaan eristepalkkiin vaikuttavavoimaOlkoon kondensaattorin levyjen sisällä koko kondensaattorin täyttävä eristepalkki,jonka permittiivisyys on ɛ (kuva 4.2). Kondensaattorin levyjenetäisyys on d, niiden pituus L ja leveys w. Ulkoinen virtalähde pitää kondensaattorinjännitteen vakiona △ϕ. Lasketaan, kuinka suuri voima vetääpalkkia kondensaattoriin.Kondensaattorissa on sekä ilmassa että eristeessä sama sähkökenttä E =△ϕ/d, joten sen energiasisältö onU = 1 2∫VɛE 2 dV (4.42)

4.5. MAXWELLIN JÄNNITYSTENSORI SÄHKÖSTATIIKASSA 57jättämällä kondensaattorin reunavaikutukset huomiotta. Systeemin energiakuvan tilanteessa onVoimaU(x) = ɛ 2( △ϕd) 2wxd + ɛ 02F x = ∂U∂x = ɛ − ɛ 0w (△ϕ)22 d( ) △ϕ 2w(L − x)d (4.43)d= ɛ r − 12ɛ 0 E 2 wd (4.44)osoittaa kasvavan x:n suuntaan vastustaen ulosvetämistä. HT: miten tämänvoi selittää eristepalkkiin indusoituvien varausten avulla?4.5 Maxwellin jännitystensori sähköstatiikassaTutustutaan lopuksi tyylikkääseen tapaan laskea voimavaikutukset jännitystensorinavulla. Oletetaan, että muuten tyhjässä avaruudessa on staattinensähkökenttä E ja äärellisessä alueessa V varausjakautuma ρ. Alueeseen Vvaikuttava kokonaisvoima on Coulombin lain mukaan∫∫F = ρ(r)EdV = f(r)dV (4.45)Vmissä f = ρE = ɛ 0 (∇·E)E on voimatiheys eli voima tilavuusalkiota kohti.Jälleen kerran pyritään muuttamaan tilavuusintegraali pintaintegraaliksi.Todetaan ensin, ettäf x = ɛ 0 ( 1 2 ∂ x(E 2 x)+∂ y (E y E x )+∂ z (E z E x ) − E y ∂ y E x − E z ∂ z E x ) (4.46)Koska sähköstaattinen kenttä onpyörteetön eli ∇×E = 0, niinV∂ x E y = ∂ y E x ,∂ y E z = ∂ z E y ,∂ z E x = ∂ x E z (4.47)Saadaanf x = ɛ 0 (∂ x (E 2 x − 1 2 E2 )+∂ y (E y E x )+∂ z (E z E x )) (4.48)ja vastaava tulos muille komponenteille (HT).Vektorilaskennasta tunnetaan divergenssiteoreeman sukuinen tulos∫∫∇ψ dV = n ψdS (4.49)VTämän avulla saadaan kokonaisvoiman x-komponentiksi∫∫F x = f x (r)dV = ɛ 0 (n x (Ex 2 − 1 2 E2 )+n y E y E x + n z E z E x ) dS (4.50)VS∂V

58 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIAja koko vektoriksi∫F = (ɛ 0 (n · E)E − 1 2 ɛ 0nE 2 ) dS (4.51)SAlueeseen V vaikuttava kokonaisvoima F voidaan siis korvata vain alueenpintaan S kohdistuvalla pintavoimalla F S , jonka pintatiheyden f S komponenttii on3∑fi S = T ij n j (4.52)j=1missä onmääritelty Maxwellin jännitystensoriT ij = ɛ 0 (E i E j − 1 2 δ ijE 2 ) (4.53)Voimatiheys voidaan esittää tensorin divergenssinä3∑f i = ∂ j T ij (4.54)j=1Mekaniikasta muistetaan, että voimien F ja F S ekvivalenssin toteamiseksion vielä osoitettava niiden momenttien yhtäsuuruus mielivaltaisen pisteensuhteen. Toisin sanoen on näytettävä, että N = ∫ Vr × f dV on samakuin N S = ∫ S r × f S dS. Laskennallisesti suoraviivainen todistus perustuujännitystensorin ja permutaatiosymbolin käyttöön (HT). Jännitystensoriinpalataan magnetostatiikassa analogisella tavalla ja se tulee vastaan myösliikemäärän säilymislain yhteydessä.Esimerkki. Johdepalloon vaikuttava sähköstaattinen voimaAsetetaan ohut johtava pallonkuori (säde a) homogeeniseen sähkökenttäänE 0 . Osoitetaan, että kentän suuntaan vastakkaisia pallonkuoren puolikkaitarepii eri suuntiin voima F = 9 4 πɛ 0a 2 E 2 0 .Sähkökenttä määritettiin jo luvussa 2. Pallon pinnalla sähkökentällä onvain radiaalinen komponentti E r (r = a) =3E 0 cos θ. Harjoitustehtävänä onosoittaa jännitystensorin avulla tai muulla tavalla päättelemällä, että staattisessasähkökentässä olevaan johdekappaleeseen vaikuttava kokonaisvoimaonF = 1 ∫σ s EdS (4.55)2 Smissä σ s on varaustiheys johteen pinnalla S. Symmetrian perusteella pallonylempään puoliskoon (0

4.5. MAXWELLIN JÄNNITYSTENSORI SÄHKÖSTATIIKASSA 59F − = −F + . Koska pallon pinnalla σ s = ɛ 0 E r (a), niin∫F + = e z·12 ɛ 0Er 2 (a)e r dS = 9 ∫ 2π ∫ π/22 ɛ 0E0a 2 2 dφ dθ sin θ cos 3 θ = 90 04 πɛ 0a 2 E02(4.56)

60 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA

Luku 5Staattinen magneettikenttä5.1 SähkövirtaNykyaikana sähkövirta lienee tutumpi ilmiö kuin sähkövaraus. Todellisuudessavarauksia ja virtoja ei oikeastaan voi käsitellä erikseen. Edellisissäluvuissakin sähkövirta on ollut implisiittisesti esillä monta kertaa. Kun varauksetjärjestäytyvät johdekappaleen pinnalle, systeemissä kulkee virtaa, jasähkövirran avulla paristo pitää edellisen luvun esimerkissä kondensaattorinjännitteen vakiona. Samoin termit ”johde” ja ”eriste” viittaavat kappaleidenkykyyn kuljettaa sähkövirtaa.Tarkastellaan joukkoa varauksellisia hiukkasia, joiden varaus on q, lukumäärätiheysn ja nopeus v. Sähkövirta I määritellään annetun pinnan läpiaikayksikössä kulkevan varauksen määränäI = dQ/dt (5.1)Olkoon dS jokin pintaelementti. Sen läpi kulkeva virta onnqvdt · n dSdI =dtmissä J on virrantiheys.= ρv · n dS = J · dS (5.2)Sähkövirran SI-yksikkö on ampeeri A = C/s. Virrantiheys on virta pintaalanläpi, joten sen yksikkö onA/m 2 . SI-yksiköissä sähkövirran yksikköotetaan perussuureeksi ja kaikki muut sähköiset yksiköt voidaan ilmaistaampeerin, metrin, kilogramman ja sekunnin avulla.Virrantiheys on samankaltainen vuosuure kuin sähkövuon tiheys D taipian määriteltävä magneettivuon tiheys B. Fysikaalinen vuo tarkasteltavanpinnan läpi saadaan integroimalla vuon tiheys pinnan yli.61

62 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ5.1.1 JatkuvuusyhtälöVirrantiheys ja sähkövaraus liittyvät läheisesti toisiinsa. Tarkastellaan suljetunpinnan S läpi alueeseen V tulevaa virtaa (n osoittaa ulospäin)∮∫I = − J · n dS = − ∇·J dV (5.3)STämän täytyy olla yhtä suuri kuin varausten tilavuuteen V tuoma sähkövirtaI = dQ/dt = d ∫ρdV (5.4)dt VOletetaan tilavuus kiinteäksi, jolloin aikaderivaatta voidaan viedä integraalinsisään. Koska ρ on sekä ajan että paikan funktio, kokonaisderivaatta muuttuuosittaisderivaataksi∫∂ρI = dV (5.5)V ∂tjoten∫(∂ρ/∂t + ∇·J) dV = 0 (5.6)VKoska tämän täytyy olla voimassa kaikilla tilavuuksilla, saadaan virrallejatkuvuusyhtälö∂ρ/∂t + ∇·J = 0 (5.7)Mikäli varaustiheys on ajasta riippumaton eli ∇·J =0,sähkövirralla ei olelähteitä tai nieluja ja siten kaikki virtaviivat sulkeutuvat. Tällaista virtaustakutsutaan stationaariseksi.Huom. Jatkuvuusyhtälö on suora seuraus kokonaisvarauksen säilymislaistaeikä edellytä kiinteän tilavuuden tarkastelua (yleisempi johto: CL 6.1).V5.1.2 Ohmin lakiOn kokeellinen tosiasia, että vakiolämpötilassa olevissa metalleissa sähkövirtariippuu lineaarisesti sähkökentästä:J = σE (5.8)Tämä onOhmin laki ja sen verrannollisuuskerroin σ on johtavuus. Käytämmesähkönjohtavuudelle yleisen tavan mukaan samaa symbolia kuinaiemmin pintavaraukselle. σ on kirjallisuudessa yleisin merkintä ja jos joudummejossain kirjoittamaan molemmat suureet, eroteltakoon ne vaikkapakirjoittamalla pintavaraukselle σ S .Jälleen on tärkeää oppia lukemaanyhtälöiden takana olevaa fysiikkaa eikä niinkään opetella kaavoja ulkoa!Lineaarinen Ohmin laki on voimassa tavallisille aineille, ellei sähkökenttäole kovin suuri. Se ei kuitenkaan ole samanlainen fysiikan peruslaki kuin

5.1. SÄHKÖVIRTA 63Taulukko 5.1: Aineiden resistiivisyyksiä. Johtavuus on resistiivisyyden käänteisluku.Vertailun vuoksi mainittakoon, että taulukossa 3.1 lueteltujen eristeidenresistiivisyydet ovat tyypillisesti suurempia kuin 10 8 Ωm. Vesi onpoikkeus, sillä sen resistiivisyys on noin 5000 Ωm, joten sitä voidaan pitäämyös johteena.aine resistiivisyys10 −8 Ωmalumiini 2.65grafiitti 1375hopea 1.59konstantaani 50kulta 2.35kupari 1.67nikkeli 6.84rauta 9.71sinkki 5.92volframi 5.68Maxwellin yhtälöt, vaan samantapainen rakenneyhtälö kuin D = ɛE, jonkayksityiskohtainen muoto ja jopa olemassaolo riippuvat väliaineen ominaisuuksista.On olemassa epälineaarisia väliaineita, joissa σ on sähkökentänja mahdollisesti myös magneettikentän funktio. Jos sähkökenttä on riittävänsuuri, niin väliaine kuin väliaine alkaa käyttäytyä epälineaarisesti.Johtavuuden käänteislukua η =1/σ kutsutaan ominaisvastukseksi eliresistiivisyydeksi. Myös sen merkintä vaihtelee kirjallisuudessa. On tärkeääerottaa ”ominaisvastus” (engl. resistivity) ja ”vastus” (resistance). JohtavuudenSI-yksikkö on[σ] = (A/m 2 )/(V/m) = A/(Vm), joten ominaisvastuksenyksiköksi tulee Vm/A. Toisaalta V/A on tuttu vastuksen yksikköohmi (Ω), joten ominaisvastuksen yksikkö on Ωm ja johtavuuden Ω −1 m −1= S/m, missä on otettu käyttöön yksikkö siemens. Siemensin sijasta ohminkäänteislukuna esiintyy kirjallisuudessa usein mho. Taulukossa 5.1 luetellaanjoidenkin hyvien johteiden resistiivisyyksiä.Tarkastellaan sähkövirran ja jännitteen välistä yhteytta ohuessa homogeenisessasuorassa virtajohdossa, jonka päiden välillä onjännite △ϕ ja jonkajohtavuus on σ. Johteessa sähkökentällä ei ole komponenttia kohtisuorassajohtoa vastaan, koska tämä aiheuttaisi jatkuvan sähkövirran joko johtoontai siitä pois ja johdon pinnan varautumisen. Koska systeemi on homogeeninenja suora, sähkökenttä on sama koko johdossa, joten △ϕ = El, missä l onjohdon pituus. Ohmin lain mukaan johdossa kulkee virta, joka mielivaltaisen

64 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄpoikkileikkauspinta-alan A läpi on∫I = J · n dS = JA = σA △ϕ (5.9)A lja olemme löytäneet sähkövirran ja jännitteen välisen Ohmin lain. Verrannollisuuskerroinon vastus (resistanssi) R = l/(σA), jonka SI-yksikkö on siisohmi. Tämän avulla voimme johtaa koulufysiikasta tuttuja yhteyksiä, kutentyön, jonka sähkökenttä tekee siirtäessään varauksen Q potentiaalieron Uläpi: W = QU ja sitä vastaavan tehon P = UI = RI 2 = U 2 /R. Tämäntehon sanotaan häviävän materiaalin Joulen lämmityksenä.5.1.3 Johtavuuden klassinen selitysTarkastellaan johteessa nopeudella v liikkuvaa varauksellista hiukkasta (varausq, massa m) klassisen mekaniikan mukaisesti. Sähkökentässä E hiukkanenkiihtyy voiman qE vaikutuksesta. Olkoon kyseessä lineaarinen ohminenjohde, jossa sähkökenttä aiheuttaa tasaisen virrantiheyden J. Hiukkaseentäytyy vaikuttaa toinenkin voima, joka kumoaa sähkökentän aiheuttamankiihtyvyyden. Jos jarruttava voima on mekaanisen kitkan kaltainen eli verrannollinenhiukkasen nopeuteen, niin liikeyhtälö onm dv = qE − Gv (5.10)dtmissä G on vakio. Alkuehdolla v(0) = 0 saadaan ratkaisuksiv(t) = q G E (1 − e−Gt/m ) (5.11)Tämän mukaan hiukkasen nopeus lähestyy kulkeutumisnopeutta v d = qE/Geksponentiaalisesti e −t/τ aikavakion τ ollessaτ = m/G (5.12)Sijoittamalla tämä v d :n lausekkeeseen Ohmin laki voidaan kirjoittaajotenJ = nqv d = nq2 τm E (5.13)σ = nq 2 τ/m (5.14)missä n on hiukkasten lukumäärätiheys. Jos virrankuljettajia on useampaalaatua, niinσ = ∑ n i qi 2τ i(5.15)mi i

5.1. SÄHKÖVIRTA 65Kohtuullisen hyvillä johteilla metalleista puolijohteisiin τ voidaan tulkitajohtavuuselektronien keskimääräiseksi törmäysajaksi. Matkaa, jonkajohtavuuselektroni kulkee keskimäärin törmäysten välillä kutsutaan keskimääräiseksivapaaksi matkaksi l mfp ja se onl mfp = v T τ (5.16)missä v T on elektronien terminen nopeus. Sen on oltava paljon suurempikuin v d , sillä muutoin τ tulisi riippuvaiseksi sähkökentästä eikä väliaineellaolisi enää lineaarista Ohmin lakia. Useimmilla metalleilla v T ≈ 10 6 m/s ja v dyleensä alle 10 −2 m/s. Metalleilla l mfp ≈ 10 −8 m huoneenlämmössä, jotenτ ≈ 10 −14 s. Puolijohteilla relaksaatioaika voi olla kertalukua suurempi, muttajoka tapauksessa sähkövirta reagoi käytännössä välittömästi sähkökentänmuutokseen. Tämän vuoksi ennen Maxwellia kentänmuutosvirtaa (∂D/∂t)ei ollut havaittu missään koetilanteessa.5.1.4 Samoilla yhtälöillä on samat ratkaisutOhmin laki on siis rakenneyhtälö kuten E:n ja D:n välinen yhteys. Analogiamenee pidemmällekin. Stationaarisen virtauksen jatkuvuusyhtälö ∇·J =0on samaa muotoa kuin ∇·D = 0 tai yksinkertaisen väliaineen tapauksessa∇·E = 0. Niinpä stationaarisen sähkövirran virtaviivat voidaan määrittääratkaisemalla Laplacen yhtälö samoilla menetelmällä kuin edellisissä luvuissa.Ensin on etsittävä sopivat reunaehdot virrantiheydelle. Tarkastellaan esimerkkinäjohdetta, jossa on toisesta johdeaineesta koostuva pitkä sylinterinmuotoineneste. Kaukana sylinteristä sähkökenttä on kohtisuorassa sylinterinakselia vastaan.Merkitään sylinteriä (sisäalue) alaindeksillä i ja johdetta (ulkoalue) alaindeksilläu. Sylinterin akseli on z-akseli ja sylinterin säde a. Kaukana sähkökenttäon vakio E 0 e x . Koska ∇·J = 0, reunaehdoksi saadaan J un = J in(vrt. sähkövuon tiheys) eliσ u E un = σ i E in (5.17)eli∂ϕ iσ i∂r = σ ∂ϕ uu∂rsylinterin pinnalla r = a. Toisaalta potentiaali on jatkuva, joten(5.18)Kaukana sylinteristä virta on häiriintymätön, jotenϕ u (a, θ) =ϕ i (a, θ) (5.19)ϕ = −E 0 r cos θ,kun r →∞ (5.20)

66 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄTehdään origossa ja kaukaisuudessa hyvin käyttäytyvät ratkaisuyritteet(vrt. luku 2.9.3)ϕ i = Ar cos θ (5.21)ϕ u = −E 0 r cos θ + B cos θ(5.22)rTässä on rohkeasti arvattu, että vain cosθ:aan verrannolliset termit tulevatkyseeseen, sillä ainoastaan ne kytkeytyvät ulkoiseen kenttään. Nyt reunaehdotantavatAa cos θ = −E 0 a cos θ + B cos θ(5.23)(aσ i A cos θ = σ u −E 0 cos θ − B cos θ )a 2 (5.24)Saadaan kertoimet A ja BA = −2σ uE 0σ i + σ u(5.25)B = σ i − σ uE 0 a 2σ i + σ u(5.26)ja ongelma on yksikäsitteisesti ratkaistu.Jos sylinteri on hyvä eriste (σ i → 0), niin kaikki virta kiertää sen, jolloinJ u = J 0 − J 0a 2r 2 (cos θ e r + sin θ e θ ) (5.27)Sähkövirran virtaviivat kiertävät esteen siististi. Ongelma on analoginenkokoonpuristumattomassa nestevirtauksessa (∇ ·V = 0) olevan sylinterinmuotoisenvirtausesteen kanssa. Laplacen yhtälön ratkominen on varsin yleispätevämenetelmä fysiikassa (Feynman lectures, osa 2, luku 12-1: ”The sameequations have the same solutions”.).5.2 Magneettivuon tiheys - Biot’n ja Savartin lakiMagnetismin olemassaolo on tunnettu kauan, mutta sen yhteys sähköönlöytyi vasta vuonna 1820, kun Ørsted havaitsi, että sähkövirta aiheuttaamagneettikentän. Magneettikenttä määritellään voimavaikutuksen kauttasamaan tapaan kuin sähkökenttä. Pian Ørstedin kerrottua havainnoistaanAmpère julkaisi mittaustuloksensa, joiden mukaan kahden virtasilmukan,joissa kulkee virrat I 1 ja I 2 ,välillä vaikuttaa voimaF 2 = µ ∮04π I dl 2 × [dl 1 × (r 2 − r 1 )]1I 2∮C1 C2 |r 2 − r 1 | 3 (5.28)

5.2. MAGNEETTIVUON TIHEYS - BIOT’N JA SAVARTIN LAKI 67Tämä on siis virtasilmukkaan 2 vaikuttava voima (vrt. Coulombin laki). KoskaSI-yksiköissä määritellään µ 0 /4π =10 −7 N/A 2 ,tämän voiman mittausvarsinaisesti määrittelee ampeerin, josta saadaan coulombi ja muutsähköopin SI-yksiköt. Magneettivuon tiheyden SI-yksikkö on tesla (T =Ns/Cm = N/Am) ja magneettivuon yksikkö weber (Wb = Tm 2 ). Koska esimerkiksimaapallon magneettikenttä maan pinnalla vaihtelee välillä 30000–60000 nT, on tesla useissa sovellutuksissa varsin suuri yksikkö.Voiman lauseke voidaan kirjoittaa muodossa∮F 2 = I 2 dl 2 × B(r 2 ) (5.29)C2missäB(r 2 )= µ ∮04π I dl 1 × (r 2 − r 1 )1C1 |r 2 − r 1 | 3 (5.30)on silmukan C1 synnyttämä magneettikenttä (oikeammin magneettivuontiheys) pisteessä r 2 , joka on silmukassa C2. Tätä kutsutaan Biot’n jaSavartin laiksi tai myös Ampèren ja Laplacen laiksi (kunnia kuuluneekaikille). Se voidaan yleistää jatkuvalle virrantiheydelle korvaamalla Idl →JdV ja korvaamalla lenkki-integraali tilavuusintegraalilla. Integrandi on nollastapoikkeava vain alueessa, jossa J ≠ 0, jotenB(r) = µ ∫0 J(r ′ ) × (r − r ′ )4π V |r − r ′ | 3 dV ′ (5.31)Näin voimme laskea magneettikentän mielivaltaisesta virtajakautumasta samaantapaan kuin staattisen sähkökentän annetusta varausjakautumasta.Kokeellinen tosiasia on, että kaikki magneettikentät voidaan antaa virtajakautumienavulla. Suoraviivaisella laskulla nähdään (HT), että∇·B = 0 (5.32)joka on Coulombin lain jälkeen toinen laki Maxwellin yhtälöiden joukossaja ilmaisee, että ei ole olemassa erillisiä kentän B lähteitä tai nieluja elimagneettisia napoja (magneettisia monopoleja). Tämä merkitsee myös sitä,että magneettikentän kenttäviivoilla ei ole alku- eikä loppupäätä vaan kaikkikenttäviivat sulkeutuvat.Magneettikentäksi kutsumamme suure B on siis oikeammin magneettivuontiheys, jonka SI-yksikkö tesla (T) vastaa yhden weberin (Wb) suuruistamagneettivuota neliömetrin läpi: magneettivuo Φ pinnan S läpi on∫Φ= B · dS (5.33)Jos pinta on suljettu,∮Φ=SS∫B · dS =V∇·B dV = 0 (5.34)

68 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄye x x (r 2 –r 1 )zaIr 2 –r 1θdxxKuva 5.1: Suoran virtajohtimen aiheuttaman magneettikentän laskeminen.eli magneettivuo suljetun pinnan läpi on nolla. Tätä voi havainnollistaaepätäsmällisellä toteamuksella, että jokaisesta avaruuden alueesta lähteeyhtä paljon magneettikentän kenttäviivoja kuin niitä sinne tulee.Magneettikentän lähteettömyys on puhtaasti kokeellinen laki eikä silleole mitään teoreettista tai matemaattista välttämättömyyttä. Itse asiassamodernit sähköistä, heikkoa ja vahvaa vuorovaikutusta yhdistävät yhtenäiskenttäteoriatmahdollistavat magneettisten monopolien olemassaolon. Nevoidaan periaatteessa ottaa klassisestikin mukaan kirjoittamalla ∇·B = ρ m ,missä ρ m on magneettinen varaustiheys. Tähän ei kuitenkaan ole mitäänsyytä, koska emme havaitse monopolien vaikutuksia klassisen elektrodynamiikanpuitteissa.Esimerkki. Pitkän suoran virtajohtimen aiheuttama kenttäOlkoon johdin x-akselilla ja lasketaan magneettikenttä pisteessä r 2 y-akselilla.Merkitään dl = dxe x ; r 1 = xe x ; r 2 = ae y , jolloin dl × (r 2 − r 1 )=adxe z .Biot’n ja Savartin lain suoraviivainen käyttö antaaB(r 2 ) = µ 0I4π= µ 0Ia4π∫C+∞∣−∞dl × (r 2 − r 1 )|r 2 − r 1 | 3 = µ 0I4π+∞ ∫−∞adx(x 2 + a 2 ) 3/2 e zxa 2 (a 2 + x 2 ) 1/2 e z = µ 0I2πa e z (5.35)Jos virtajohde on äärellisen mittainen, magneettikenttä on oheisessa kuvassamääritellyn kulman θ funktioB(r 2 )= µ 0I4πa e zL 2x∣ (a 2 + x 2 ) 1/2 = µ θ 20I4πa e z(− cos θ) (5.36)∣−L 1θ 1

5.2. MAGNEETTIVUON TIHEYS - BIOT’N JA SAVARTIN LAKI 69Tässä käytettiin karteesista koordinaatistoa, missä suunnan e z määrää tarkastelupisteenpaikka. Lukiosta muistetaan, että magneettikenttä kiertääsuoran virtajohteen ympäri oikean käden kiertosäännön mukaisesti. Käyttämälläsylinterikoordinaatistoa, missä positiivinen z-akseli on virran suuntainenja e θ on atsimutaalikoordinaatin yksikkövektori (siis eri kulma kuinylläolevassa kuvassa), magneettikenttä onB(r 2 )=µ 0I2πa e θ (5.37)Esimerkki. Ympyränmuotoisen virtasilmukan kenttä ympyrän keskipisteenläpi kulkevalla akselillaOlkoon ympyrän säde a ja tarkastellaan kenttää ympyrän tasoa vastaankohtisuorassa olevalla keskipisteen kautta kulkevalla z-akselilla. Olkoon e z -vektorin suunta virtaan nähden oikean käden säännön mukainen. NytB(r 2 ) = µ 0I4π= µ 0I4π∫C∫2π0dl × (r 2 − r 1 )|r 2 − r 1 | 3a 2 dθ(z 2 + a 2 ) 3/2 e z =µ 0 Ia 22(z 2 + a 2 ) 3/2 e z (5.38)Jos ympyröitä on useampia, kuten kelassa, on jokaisen osuus summattava.Esimerkki. Helmholtzin kelaHelmholtzin kela muodostuu kahdesta N-kertaisesta silmukasta, joiden keskipisteetovat samalla z-akselilla. Olkoot kelojen säteet a ja etäisyys 2b.Tällöin kenttä z-akselilla kelojen välissä etäisyydellä z toisesta kelasta onB z (z) = Nµ 0Ia 2 {}12 (z 2 + a 2 ) 3/2 + 1[(2b − z) 2 + a 2 ] 3/2 (5.39)Helmholtzin keloja käytetään tuottamaan suhteellisen homogeeninen magneettikenttärajoitettuun alueeseen. Tämän tapainen systeemi on Nurmijärvengeofysiikan observatoriossa, jonka testilaboratoriossa voidaan esimerkiksikumota maapallon kenttä pienessä alueessa.Tarkastellaan magneettikentän derivaattaa z-akselilla. Kun z = b, niindB z /dz =0.Myös toinen derivaatta on nolla tässä pisteessä, jos 2b = a.Asettamalla siis kelat niiden säteen etäisyydelle toisistaan, on kenttä pisteenz = a/2 ympäristössä mahdollisimman homogeeninen. Itse asiassa kolmaskinderivaatta häviää ja kentän epähomogeenisuus ilmenee vasta Taylorinsarjan neljännessä termissäB z (z) = B z (a/2) +(z − a/2)424d 4 B zdz 4 ∣ ∣∣∣∣z=a/2+ ...

70 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ≈B z (a/2)[1 − 144125( ) z − a/2 4]a(5.40)5.3 Ampèren lakiTarkastellaan stationaarista virtaa, siis ∇·J = 0. Lasketaan magneettikentänroottori lähtien Biot’n ja Savartin laista{ ∫ µ0∇×B(r) =∇×4π VJ(r ′ ) × (r − r ′ )|r − r ′ | 3 dV ′ }(5.41)Roottori kohdistuu paikkavektoriin r. Kun se viedään integraalin sisään jakirjoitetaan ristitulot auki, niin saadaan∇×B(r) = µ ∫ [ (0J(r ′ r − r ′ )) ∇·4π V|r − r ′ | 3 − J(r ′ ) ·∇ r − ]r′|r − r ′ | 3 dV ′ (5.42)Muistetaan kaava∇·r − r ′|r − r ′ | 3 = −∇2 1|r − r ′ | =4πδ(r − r′ ) (5.43)joten integraalin ensimmäinen termi on µ 0 J(r).Jälkimmäisessä termissä voidaan r − r ′ :n antisymmetrisyyden vuoksivaihtaa derivointi tapahtuvaksi r ′ :n suhteen vaihtamalla merkki. Koska jälkimmäinentermi sisältää ∇:n ja (r − r ′ ):n välisen dyaditulon, käsitellään se(r − r ′ ):n komponentti kerrallaan. Muokataan x-komponenttia kaavallaJ ·∇ ′ x ′ − x|r − r ′ | 3 = ∇′ ·( )J x′ − x|r − r ′ | 3 − x′ − x|r − r ′ | 3 ∇′ · J (5.44)Oikean puolen jälkimmäinen termi on nolla oletuksen ∇·J = 0 perusteella.Jäljellä oleva tilavuusintegraali voidaan muuttaa pintaintegraaliksi∫ ( ) ∮∇ ′ · J x′ − xV |r − r ′ | 3 dV ′ = J x′ − xS |r − r ′ | 3 · dS′ (5.45)Tämän on oltava voimassa pinnan valinnasta riippumatta, joten pinta voidaansiirtää virtajakautuman ulkopuolelle eli integraalin on oltava nolla.Sama pätee kaikille komponenteille, joten jäljelle on jäänyt Ampèren lakidifferentiaalimuodossa∇×B = µ 0 J (5.46)Integraalimuotoon Ampèren laki saadaan käytämällä Stokesin lausetta muodossa∫∮∇×B · n dS = B · dl (5.47)SC

5.4. VIRTASILMUKAN MAGNEETTIMOMENTTI 71joten∮CB · dl = µ 0∫SJ · n dS = µ 0 I (5.48)Siis suljettua lenkkiä pitkin integroitu magneettivuon tiheys on µ 0 kertaalenkin läpi kulkeva kokonaisvirta. Tätä tulosta kutsutaan Ampèren kiertosäännöksi(vrt. sähköstatiikan Coulombin laki). Sen avulla voi laskeasuoraan magneettikentän sopivissa symmetrisissä tapauksissa (esim. suoravirtajohdin tai ympyräsilmukka). Integraaleissa on muistettava, että pinnanS normaalivektori n määrittelee oikeakätisesti käyräalkion dl.Esimerkki. Kenttä toroidikäämin sisälläTarkastellaan toruksen ympärille kierrettyä käämiä (N kierrosta). Sisälläkenttä on symmetriasyistä B = B(r)e φ , missä φ on toruksen keskipistettäkiertävä kulma ja r etäisyys toruksen keskipisteestä toruksen sisällä olevaanpisteeseen. Sovelletaan Ampèren kiertosääntöä pitkin r-säteistä ympyräätoruksen sisällä: ∮B · dl = B(r)2πr = µ 0 NI (5.49)CjotenB = µ 0NI2πr e φ (5.50)Toroidin ulkopuolella magneettikenttä on nolla, sillä geometrian perusteellaB = B(r, z)e φ ja lenkin läpäisevä virta on nolla.5.4 Virtasilmukan magneettimomenttiTarkastellaan virtajohdinta, joka muodostaa suljetun silmukan C. Tällöinkoko silmukkaan vaikuttaa voima 5.29∮F = Idl × B (5.51)CKokonaisvirta ei riipu paikasta, joten se voidaan siirtää integraalin ulkopuolelle,samoin magneettikenttä, mikäli se on vakio:∮F = −I B × dl = 0 (5.52)CSiis vakiomagneettikentässä virtasilmukkaan vaikuttava voima on nolla.Silmukka-alkioon vaikuttava vääntömomentti ondτ = r × dF = I r × (dl × B) (5.53)

72 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄjoten koko silmukalle∮τ = ICr × (dl × B) (5.54)Oletetaan jälleen, että magneettikenttä on vakio. Kirjoitetaan ristitulo aukikaavalla r × (dl × B) =(r · B)dl − (r · dl)B. Tällöin∮τ = IC∮(r · B)dl − IB r · dl (5.55)CJälkimmäinen integraali muuntuu Stokesin lauseella muotoon ∮ ∫C r · dl =S(∇×r) · dS = 0. Ensimmäinen integraali muuntuu puolestaan yleistetylläStokesin lauseella muotoon∮∫(r · B)dl = dS ×∇(r · B) (5.56)CSKoska B on vakio, niin ∇(r · B) =B, joten∫(∫ )τ = I dS × B = I dS × B = IA × B (5.57)Smissä pinta-alavektori S voidaan kirjoittaa yleistetyn Stokesin lauseen avulla∫S = n dS = 1 ∮r × dl (5.58)S 2 CTuloa IS kutsutaan silmukan C magneettimomentiksim = IS = 1 ∮2 I r × dl (5.59)Tämän avulla vääntömomentti onSCτ = m × B (5.60)Siis vaikka silmukkaan ei kohdistukaan voimaa, joka kiihdyttäisi silmukkaakokonaisuutena, siihen kohdistuu vääntömomentti, joka pyrkii kääntämäänsilmukan pintaa kohtisuoraan magneettikenttää vastaan. Tätä käytetäänhyväksi esimerkiksi avaruusalusten asennonsäätöjärjestelmissä.5.5 Magneettikentän potentiaaliesitys5.5.1 VektoripotentiaaliKoska magneettikenttä onlähteetön, ∇·B = 0, se voidaan ilmaista vektorikentänroottorinaB = ∇×A (5.61)

5.5. MAGNEETTIKENTÄN POTENTIAALIESITYS 73Vektoripotentiaali A ei ole yksikäsitteinen, sillä olipa f mikä riittävänsiisti skalaarikenttä hyvänsä, niin ∇×(A + ∇f) =∇×A.Vektoripotentiaali voidaan ilmaista virran avulla lähtemälläjälleen Biot’nja Savartin laistaB(r) = µ ∫04π VIntegrandi voidaan kirjoittaa muotoonJ(r ′ ) × (r − r ′ )|r − r ′ | 3 dV ′ (5.62)J(r ′ ) × (r − r ′ )|r − r ′ | 3 = −J(r ′ ) ×∇ 1|r − r ′ |(5.63)Sovelletaan tähän kaavaa ∇×(fG) =f∇×G−G×∇f. Nyt ∇×J(r ′ )=0,koska ∇ ei operoi r ′ :uun, joten integrandiksi tuleeJ(r ′ ) × (r − r ′ )|r − r ′ | 3 = −J(r ′ ) ×∇ 1( J(r ′ )|r − r ′ | = ∇× )|r − r ′ (5.64)|∇ voidaan siirtää r ′ :n suhteen laskettavan integraalin ulkopuolelle, joteneli{ ∫ µ0B(r) =∇×4π VA(r) = µ ∫04π VKirjoittamalla A komponenttimuodossaA i (r) = µ ∫04π VJ(r ′ })|r − r ′ | dV ′(5.65)J(r ′ )|r − r ′ | dV ′ (5.66)J i (r ′ )|r − r ′ | dV ′ (5.67)nähdään, että komponentit A i ovat matemaattisesti samaa muotoa kuinsähköstaattisen potentiaalin lausekeϕ(r) = 14πɛ 0∫Vρ(r ′ )|r − r ′ | dV 1 (5.68)joten jokaiselle komponentille erikseen ja siten koko vektorille on voimassaPoissonin yhtälö∇ 2 A = −µ 0 J (5.69)Koska toisaaltaµ 0 J = ∇×B = ∇×(∇×A) =∇(∇·A) −∇ 2 A (5.70)vektoripotentiaalin on toteutettava ehto∇(∇·A) = 0 (5.71)

74 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄUsein vektoripotentiaali valitaan siten, että ∇·A = 0, mikä itse asiassatoteutuu edellä, jos J poikkeaa nollasta vain äärellisessä alueessa.Sähköstatiikassa skalaaripotentiaali helpottaa laskuja olennaisesti. Vektoripotentiaalion monimutkaisempi, mutta silti käyttökelpoinen monessatilanteessa. Vektoripotentiaali on myös hyödyllinen sähkömagneettisiin aaltoihinja säteilyyn liittyvissä ongelmissa ja keskeinen apuväline elektrodynamiikanteoriassa, relativistisissa tarkasteluissa ja kvanttielektrodynamiikassa.5.5.2 MultipolikehitelmäVektoripotentiaali voidaan esittää multipolikehitelmänä samaan tapaan kuinsähköinen skalaaripotentiaali. Laskenta on hieman monimutkaisempaa, koskakyseessä on vektorifunktio. Oletetaan nyt yleinen divergenssitön virrantiheysJ, joka poikkeaa nollasta vain äärellisessä tilavuudessa V .Koska vektoripotentiaalin integraaliesitys on samaa muotoa kuin sähköisenskalaaripotentiaalin, voidaan suoraan kirjoittaa vektoripotentiaalin komponentilleA lA l (r) = µ 04π (1 r∫J l (r) dV ′ + r ∫r 3 ·Integraalien laskemiseksi käytetään seuraavaa aputulosta:r ′ J l (r) dV ′ + ...) (5.72)∇·(fgJ) =fJ ·∇g + gJ ·∇f (5.73)missä f ja g ovat vapaasti valittavia funktioita. Tässä käytettiin myös oletusta∇·J = 0. Integroimalla tilavuuden V yli saadaan∫(fJ ·∇g + gJ ·∇f) = 0 (5.74)(∇ ·(fgJ):n sisältävä integraali voidaan ulottaa yli koko avaruuden, koskaalueen V ulkopuolella virrantiheys on nolla. Muunnos pintaintegraaliksiantaa silloin nollan.)Integroitaessa multipolikehitelmän ensimmäistä termiä valitaan yksinkertaisestif =1jag = x l , jolloin ∫ J dV = 0 eli monopolitermiä ei magneettikentäntapauksessa ole.Seuraava eli dipolitermi käsitellään valitsemalla f = x l ,g = x n , jolloin∫∫r · r ′ J l dV ′ = x n x ′ n J l dV ′ = − 1 ∫2 x n (x ′ lJ n − x ′ nJ l ) dV ′ (5.75)missä summataan kahdesti esiintyvän indeksin n yli ja käytettiin kaavaa5.74. Integrandi muistuttaa vektoritulon komponenttia, ja pienen tarkastelunjälkeen huomataan, että∫r · r ′ J l dV ′ = − 1 ∫2 ɛ lnpx n (r ′ × J(r ′ )) p dV ′ (5.76)

5.5. MAGNEETTIKENTÄN POTENTIAALIESITYS 75missä ɛ lnp on permutaatiosymboli ja summaus on nyt myös yli indeksin p.Lauseke sieventyy muotoon∫r · r ′ J l dV ′ = − 1 ∫2 (r × r ′ × J(r ′ ) dV ′ ) l =(m × r) l (5.77)missä m on virtajärjestelmän magneettimomentti.Vektoripotentiaalin multipolikehitelmän johtava termi on siisA(r) = µ 0 m × r4π r 3 (5.78)Magneettivuon tiheys saadaan laskemalla tämän roottori (HT):B(r) = ∇×A(r) = µ (04π ∇× m × r )r 3= µ [0 3(m · r)r4π r 5 − m ]r 3 (5.79)Kaukaa katsottaessa ainoastaan systeemin magneettinen momentti vaikuttaamagneettikenttään. Tämä on muodoltaan samanlainen kuin sähköisendipolin aiheuttama sähkökenttä 2.36. Tämän vuoksi magneettista momenttiakutsutaan usein magneettiseksi dipolimomentiksi.5.5.3 Magneettikentän skalaaripotentiaaliAlueissa, joissa J = 0, magneettikenttä onpyörteetön ∇×B = 0, jotennäissä alueissa se voidaan ilmaista myös magneettisen skalaaripotentiaalinψ avullaB = −µ 0 ∇ψ (5.80)Koska toisaalta aina ∇·B = 0, skalaaripotentiaali toteuttaa Laplacen yhtälön∇ 2 ψ = 0 (5.81)joten sähköstatiikasta tuttuja apuneuvoja voi soveltaa magnetostatiikan ongelmiin,kunhan ollaan huolellisia erilaisten reunaehtojen kanssa.Koska etäällä olevan virtasilmukan luoma magneettikenttä on matemaattisestisamaa muotoa kuin sähködipolin kenttä, voidaan magneettinen skalaaripotentiaaliilmaista magneettisen dipolimomentin avulla. Koska( ) m · rB = −µ 0 ∇4πr 3 (5.82)niinψ = 1 m · r4π r 3 (5.83)

76 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄKuva 5.2: Virtasilmukan muodostaminen pienistä silmukoista. Nettovirtaakulkee vain ison silmukan ulkoreunalla.Erona sähköstatiikkaan magneettinen skalaaripotentiaali on paikan yksiarvoinenfunktio ainoastaan yhdesti yhtenäisissä alueissa. Tarkastellaan esimerkkinäaluetta, jossa on virtasilmukka. Nyt dipolitarkastelu ei käy suoraanpäinsä. Virtasilmukan voidaan kuitenkin ajatella koostuvan monestadifferentiaalisesta silmukasta, jotka muodostavat tiheän silmukan sulkemanpinnan peittävän verkon (kuva 5.2).Verkon vierekkäisten elementtien virrat kumoavat toisensa, joten kokonaisvirtaon sama kuin silmukkaa kiertävä virta. Kukin silmukka tuottaaulkopuolelleen skalaaripotentiaalielementindψ = dm · r4πr 3(In dS) · r=4πr 3 = − I dΩ (5.84)4πmissä dΩ on differentiaalisen silmukan avaruuskulmaelementti. Integroimallakaikkien pikkusilmukoiden yli saadaanψ = − I4π Ω (5.85)missä Ω on silmukan peittämä avaruuskulma katsottaessa pisteestä, jossa ψlasketaan (tämä selittää ylläolevan miinusmerkin!). Kuljettaessa silmukanläpi ja tultaessa takaisin samaan tarkastelupisteeseen kasvaa avaruuskulmatekijällä 4π, joten potentiaali ei ole yksikäsitteinen, vaanψ = − I4π (Ω 0 ± n 4π) (5.86)Alueesta saadaan yhdesti yhtenäinen asettamalla tarkastelualueen rajapinnaksijokin silmukan reunakäyrän rajoittama pinta.Helppo esimerkki tilanteesta, jossa skalaaripotentiaali ei ole paikan yksiarvoinenfunktio, on äärettömän pitkä suora virtajohdin. Jos johdin on

5.6. LORENTZIN VOIMA 77z-akselilla, niin sylinterikoordinaateissa skalaaripotentiaaliksi kelpaa ψ =−Iφ/(2π), jolle ψ(φ) ≠ ψ(φ +2π).Magneettinen skalaaripotentiaali eroaa sähköisestä siinä, ettäjälkimmäiselläon selvä fysikaalinen tulkinta: se antaa varauksellisen hiukkasen potentiaalienergiansähköstaattisessa kentässä. Magneettikentässätällaista tulkintaaei ole.5.6 Lorentzin voimaTarkastellaan lopuksi varauksellisten hiukkasten välisiä magneettisia vuorovaikutuksia.Palautetaan mieleen origossa olevan varauksen q 1 pisteessä rolevaan varaukseen q aiheuttama Coulombin voimaF e = 1 qq 1 r4πɛ 0 r 2 r(5.87)Tässä molemmat varaukset ovat levossa. Jos varaukset liikkuvat vakionopeuksillav ja v 1 , aiheuttaa varaus q 1 varaukseen q magneettisen voimanF m = µ 0 qq 1(v4π r 2 v × 1 × r )(5.88)rTämän voi päätellä soveltamalla kahden virtasilmukan välistä magneettistavoimaa 5.28 infinitesimaalisille virta-alkioille. Laki on luonnollisesti myöskokeellisesti todennettavissa.Magneettinen voima voidaan myös lausua muodossa (vrt. virtasilmukat)missä B on magneettivuon tiheysF m = qv × B (5.89)B = µ 0 q 14π r 2 v 1 × r r(5.90)Superpositioperiaate pätee myös magneettikentän tapauksessa.Yhteenlaskettua sähköistä ja magneettista voimaaF = q(E + v × B) (5.91)kutsutaan Lorentzin voimaksi. Lauseke on voimassa myös ajasta riippuvillekentille. Magneettinen voima on aina kohtisuorassa hiukkasen nopeuttavastaan, joten v · F m = 0. Se ei siis tee työtä varattuun hiukkaseen.Jos halutaan kiihdyttää varauksia, tarvitaan aina sähkökenttä, vaikka seluotaisiinkin muuttuvan magneettikentän avulla.

78 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄyF eB 1q 2v 2q1v 1B 2F mF mxzF eKuva 5.3: Rikkooko elektrodynamiikka liikemäärän säilymislakia?Koskan ɛ 0 µ 0 =1/c 2 , niinF m = 1 (qq 1 v4πɛ 0 r 2 c × v1c × r )r(5.92)Verrataan magneettista ja sähköistä voimaa toisiinsa:F mF e≤ v cv 1c(5.93)Tavallisilla nopeuksilla liikkuville varauksille sähköiset voimat ovat paljonvoimakkaampia kuin magneettiset voimat. Magneettiset voimat eivät kuitenkaanole merkityksettömiä, sillä vaikka aine on yleensä sähköisesti neutraalia,se saattaa olla voimakkaasti magnetoitunutta.Lopuksi esitetään ongelma, johon palataan luvussa 9 (kuva 5.3). Kaksisamanmerkkistä varausta (q 1 ja q 2 ) liikkuu hetkellisesti negatiivisten x- jay-akselien suuntaan. Hiukkasten välillä onsähköinen poistovoima F e .Varauksenq 1 aiheuttama magneettikenttä varauksen q 2 kohdalla osoittaa sivunsisään ja magneettinen voima F m oikealle. Vastaavasti varauksen q 2 aiheuttamamagneettikenttä varauksen q 1 kohdalla osoittaa sivulta ulospäin jamagneettinen voima ylöspäin. Siispä varauksen q 1 varaukseen q 2 kohdistamasähkömagneettinen kokonaisvoima ei ole vastakkaissuuntainen varauksen q 2varaukseen q 1 kohdistamaan voimaan. Onko siis jouduttu ristiriitaan Newtoninkolmannen lain kanssa ja sitä tietä ristiriitaan liikemäärän säilymislainkanssa!?

Luku 6Magneettikenttä väliaineessa6.1 MagnetoitumaEdellä rajoituttiin magneettikentän määrittämiseen magneettisilta ominaisuuksiltaantyhjönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenneaiheuttaa todellisuudessa kullekin atomille ominaisen magneettisen dipolimomentinm i . Lasketaan yhteen kaikkien atomien dipolimomentit tilavuusalkiossa△V . Aineen magnetoituma määritellään raja-arvonaM =lim△V →01△V∑m i (6.1)iMagnetoituma on siis väliaineen magneettisten dipolimomenttien tiheys paikanfunktiona (vrt. polarisoituma). Koska magneettisen momentin SI-yksikköonAm 2 , on magnetoituman yksikkö A/m.Jos dipolimomenttien tiheys on homogeeninen, kutakin dipolimomenttiavastaavat virtasilmukat summautuvat nollaan eivätkä aiheuta nettovirtaa.Jos jakautuma kuitenkin on epätasainen, on tarkastelupisteen eri puolilla erimäärä virta-alkioita ja tuloksena on kokonaisvirta J M . Virran laskemiseksitarkastellaan kahta pientä tilavuusalkiota. Olkoon kummankin tilavuus△x△y△z ja sijaitkoot ne rinnakkain y-akselin suuntaan (kuva 6.1).Jos ensimmäisen alkion magnetoituma on M(x, y, z), niin toisen magnetoitumaonM(x, y, z)+ ∂M △y + korkeamman kertaluvun derivaattoja∂yEnsimmäisen elementin magneettisen momentin x-komponentti saadaan ilmaistuksisilmukkavirran I C ′ avullaM x △x△y△z = I ′ C△y△z (6.2)79

80 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSAz∆y∆yxM xI’ CI’’ CM + ∂M /∂y ·∆yxx∆x∆zyKuva 6.1: Magnetoitumasta aiheutuvan virran laskeminen.ja vastaavasti toiselle elementille(M x + ∂M )x∂y △y △x△y△z = I C△y△z ′′(6.3)Elementtien välistä nousee nettovirta z-akselin suuntaanI C ′ − I C ′′ = − ∂M x△x△y (6.4)∂yToistamalla tarkastelu kahdelle rinnakkaiselle alkiolle x-akselilla (tarkkanamerkkien kanssa!), saadaan z-akselin suuntaiseksi virraksiI C = ∂M y△x△y (6.5)∂xNämä ovat ainoat magneettiset momentit, jotka tuottavat virtaa z-akselinsuuntaan. Laskemalla ne yhteen ja jakamalla pinta-alaelementillä saadaanmagnetoitumisvirran tiheyden z-komponentiksieli vektorimuodossa(J M ) z = ∂M y∂x− ∂M x∂y(6.6)J M = ∇×M (6.7)6.2 Magnetoituneen aineen aiheuttama kenttäLasketaan sitten magneettisen aineen aiheuttama magneettikenttä. Lähdetäänliikkeelle vektoripotentiaalista (vrt. 5.78)A(r) = µ ∫04π VM(r ′ ) × (r − r ′ )|r − r ′ | 3 dV ′ = µ ∫0M(r ′ ) ×∇ ′ 14π V|r − r ′ | dV ′ (6.8)

6.2. MAGNETOITUNEEN AINEEN AIHEUTTAMA KENTTÄ 81Tutuilla vektorikikoilla tämä saadaan muotoonA(r) = µ ∫04π V∇ ′ × M(r ′ )|r − r ′ |dV ′ + µ ∮0 M(r ′ ) × n4π S |r − r ′ dS ′ (6.9)|missä S on tilavuuden V pinta. Pinnalla magnetoitumisvirran tiheys onj M = M × n (6.10)Tämä on magnetoitumisvirta yksikköpituutta kohti eli virta on ikään kuinlitistetty kulkemaan yksiulotteisen ”pinnan” läpi. Vektoripotentiaali määräytyysiis magnetoitumisvirrasta tilavuudessa V ja tilavuuden pinnalla SA(r) = µ ∫04π VJ M (r ′ )|r − r ′ | dV ′ + µ ∮04π Sj M (r ′ )|r − r ′ | dS′ (6.11)Tämä tulos ei liene yllätys (vrt. sähköstaattinen potentiaali). Tästä ei kuitenkaanole aivan helppo laskea itse magneettikenttää, koska J M = ∇×M.Lähdetään liikkeelle suoraan vektoripotentiaalin määritelmästä.B = ∇×A = µ ∫ [0∇× M(r ′ ) × (r − ]r′ )4π V|r − r ′ | 3 dV ′ (6.12)missä gradientti kohdistuu vektoriin r. Nyt integrandi saadaan muokatuksimuotoon (HT)[∇× M(r ′ ) × (r − ][ r′ )(r − r|r − r ′ | 3 = M(r ′ ′ ]))∇·|r − r ′ | 3 −(M(r ′ )·∇) (r − r′ )|r − r ′ | 3 (6.13)Oikean puolen ensimmäinen termi tuo magneettikenttään osuudenB I (r) = µ ∫0M(r ′ )4πδ(r − r ′ ) dV ′ = µ 0 M(r) (6.14)4π VToinen termi vaatii jälleen vähän vektoriakrobatiaa (HT) ja antaa tuloksen( ∫ 1B II (r) =−µ 0 ∇ M(r ′ ) · (r − )r′ )4π V |r − r ′ | 3 dV ′ = −µ 0 ∇ψ(r) (6.15)Tässä ψ(r) on magneettisen materiaalin skalaaripotentiaali. Magneettikenttäon tämän potentiaalin ja paikallisten virtojen aiheuttaman kentän summaB(r) =−µ 0 ∇ψ(r)+µ 0 M(r) (6.16)Aineen ulkopuolella M on nolla, joten siellä kenttä saadaan skalaaripotentiaalista,joka on siis integraali aineessa olevista dipolimomenttialkioista.

82 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSATässä onpäädytty jokseenkin samanlaiseen kuvailuun kuin eristekappaleidenkanssa. Magneettisen skalaaripotentiaalin saa edelleen muotoonψ(r) = 1 ∫M(r ′ r − r ′) ·4π V |r − r ′ | 3 dV ′= 1 ∮M(r ′ ) · n ′4π |r − r ′ dS ′ − 1 ∫∇ ′ · M(r ′ )| 4π |r − r ′ dV ′ (6.17)|= 14πS∮Sσ M (r ′ )|r − r ′ | dS′ + 14π∫VVρ M (r ′ )|r − r ′ | dV ′Magneettisten napojen tiheys ρ M ja magneettisen napavoimakkuudenpintatiheys σ M ovat samankaltaisia apusuureita kuin polarisaatiotiheydetρ P ja σ P sähköstatiikassa.6.3 Magneettikentän voimakkuusMagneettisen aineen itsensä lisäksi kokonaiskenttään vaikuttaa vapaiden varaustenaiheuttama virta. Esimerkiksi rauta voi olla magnetoitunutta jalisäksi sen johtavuuselektronit kuljettavat ”vapaata” virtaa. NiinpäB(r) = µ ∫04π VJ × (r − r ′ )|r − r ′ | 3 dV ′ − µ 0 ∇ψ(r)+µ 0 M(r) (6.18)Tämä voidaan laskea, mikäli M ja J ovat tiedossa kaikkialla. Usein virtatunnetaankin, mutta M riippuu B:stä.Otetaan käyttöön apukenttä H, jota kutsutaan magneettikentän voimakkuudeksi:H = 1 B − M (6.19)µ 0TällöinH(r) = 1 ∫J × (r − r ′ )4π V |r − r ′ | 3 dV ′ − µ 0 ∇ψ(r) (6.20)Tämä voi näyttää turhalta tempulta, koska H riippuu yhä M:stä ρ M :n jaσ M :n kautta, mutta toimihan sama myös sähköstatiikassa.Kentän H hyödyllisyys piilee siinä, että sille saadaan virrantiheydestäriippuva differentiaaliyhtälö. Palautetaan ensiksi mieleen, että ∇·B =0onkokeellinen laki, jonka mukaan magneettivuon tiheys voidaan aina palauttaavirtajakautumiin, eikä todellisista eristetyistä magneettisista monopoleistaole havaintoja. Nyt Ampèren laissa on tärkeä huomioida kaikki sähkövirrat∇×B = µ 0 (J + J M ) (6.21)

6.4. SUSKEPTIIVISUUS JA PERMEABILITEETTI 83missä J kuvaa varausten siirrokseen liittyvää vapaata virtaa. Tämä päteekaikkialla muualla kuin pintavirtaa ylläpitävän kappaleen pinnalla. Ottamallahuomioon yhteys J M = ∇×M saadaan tästä∇×H = J (6.22)Siis H-kentän pyörteet aiheutuvat vain vapaiden varausten kuljettamastavirrasta. Magneettisten ongelmien ratkomiseen tarvitaan tämän lisäksi tietenkin∇·B = 0, reunaehdot ja rakenneyhtälö B:n ja H:n välille.Integraalimuodossa H:lle pätee∫∫∮I = J · n dS = ∇×H · n dS = H · dl (6.23)SSeli magneettikentän voimakkuuden integraali pitkin suljettua lenkkiä onyhtä suuri kuin varausten kuljettama kokonaisvirta lenkin läpi.C6.4 Suskeptiivisuus ja permeabiliteettiKenttien B ja H välinen suhde riippuu väliaineen ominaisuuksista samaantapaan kuin kenttien D ja E yhteys. Magneettiset aineet ovat yleensä niinmonimutkaisia, että rakenneyhtälö on määritettävä kokeellisesti. Suurellejoukolle aineita (LIH) yhteys on muotoaM = χ m H (6.24)missä kerroin χ m on magneettinen suskeptiivisuus. Epäisotrooppisellemutta lineaariselle väliaineelle χ m on tensori, epälineaarisessa väliaineessase riippuu lisäksi magneettikentästä. SI-yksiköissä magneettinen suskeptiivisuuson laaduton suure (sähköisen χ:n laatu on sama kuin ɛ 0 :n).Jos χ m > 0, väliaine vahvistaa ulkoista magneettivuon tiheyttä ja ainettakutsutaan paramagneettiseksi. Jos taas χ m < 0, magneettivuon tiheysheikkenee ja aine on diamagneettista. Sekä paramagneettisilla että diamagneettisillaaineilla magneettinen suskeptiivisuus on pieni: |χ m |≪1.Kenttien M ja H välinen lineaarinen yhteys merkitsee, että myös kenttienB ja H välinen rakenneyhtälö on lineaarinenB = µ 0 (1 + χ m )H ≡ µH (6.25)missä µ on väliaineen permeabiliteetti. Aineiden magneettisia ominaisuuksiatarkastellaan hieman enemmän tämän luvun lopussa.

84 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSA∆S12B 1n 1B 2n 2n 2H 1l 0x nlH 2Kuva 6.2: Magneettikenttävektoreiden reunaehtojen määrittäminen.6.5 Magneettikenttävektoreiden reunaehdot rajapinnallaTarkastellaan kuvan 6.2 mukaista kahden väliaineen rajapintaa. Magneettivuontiheyden B reunaehto on analoginen sähkövuon tiheyden D reunaehdonkanssa. Kuvan pillerirasian pinnan yli laskettu B:n integraali on∮∫B · n dS = ∇·B dV = 0 (6.26)SVLitistämällä pillerirasian vaippa infinitesimaaliseksi saadaan∮B · n dS = B 2 · n 2 △S + B 1 · n 1 △S = 0 (6.27)Smissä △S on rasian kannen pinta-ala. Koska n 1 = −n 2 , niinB 2n − B 1n = 0 (6.28)eli magneettivuon tiheyden normaalikomponentti on jatkuva rajapinnanläpi.Magneettikentän voimakkuudelle saadaan reunaehto Stokesin lauseenavulla tarkastelemalla H:n lenkki-integraalia kuvan suorakaidetta pitkin∮ ∫∫H · dl = (∇×H) · n dS = J · n dS (6.29)Smissä n on normaalikomponentti integroimislenkin läpi (n = n 2 × l 0 ). Litistettäessäintegroimislaatikko jälleen infinitesimaaliseksi silmukan läpi kulkevavirta voi olla ainoastaan pintavirtaa K, jotenSJ · n△S = △l K · (n 2 × l 0 ) (6.30)

6.6. REUNA-ARVOTEHTÄVIÄ MAGNEETTIKENTÄSSÄ 85jonka avulla saadaan∮H · dl =(H 2 − H 1 ) · l 0 △l = △l K · (n 2 × l 0 )=△l (K × n 2 ) · l 0 (6.31)mistä seuraa reunaehto(H 2 − H 1 ) t =(K × n 2 ) t (6.32)eli magneettikentän voimakkuuden tangentiaalikomponentti on jatkuva rajapinnanyli, ellei pinnalla ole pintavirtaa. Mikäli H-kenttä tunnetaan pinnanmolemmin puolin, saadaan pintavirran tiheys lausekkeestaK = n 2 × (H 2 − H 1 ) (6.33)Useissa magnetismiin liittyvissä ongelmissa on näppärää tarkastella vuoputkia.Tarkastellaan magneettikentän kenttäviivoja, jotka ovat jokaisessapisteessä kentän B tangentin suuntaisia. Vuoputki on ikäänkuin kimppukenttäviivoja tai täsmällisemmin alue, jonka vaipan läpi ei kulje yhtäänkenttäviivaa. Olkoot S 1 ja S 2 vuoputken päät. Tällöin vuoputken tilavuudenyli laskettu integraali on∫∫∫∇·B dV = B · n dS 2 − B · n ′ dS 1 =Φ(S 2 ) − Φ(S 1 ) = 0 (6.34)VS 2 S 1missä n ja n ′ ovat magneettikentän suuntaan laskettuja putken päiden normaalivektoreita.Magneettivuo pitkin vuoputkea on siis vakio. Tämä koskeevain B-kenttää eikä välttämättä päde H-kentälle:∫∫∫∇·H dV = (−∇ · M) dV = ρ M dV (6.35)VVVuoputkeen voi siis tulla magneettikentän voimakkuutta, mikäli aineella onnollasta poikkeava napavoimakkuus.V6.6 Reuna-arvotehtäviä magneettikentässäMagneettiset reuna-arvotehtävät ovat yleensä monimutkaisempia kuin sähköstatiikanvastaavat ongelmat. Sähkövirrat, epätasainen magnetoituminentai epälineaarinen rakenneyhtälö edellyttävät Laplacen yhtälöä monimutkaisempienyhtälöiden ratkomista ja hankaloittavat reunaehtoja. Rajoitutaantässä yksinkertaisiin tilanteisiin.Virrattomuus (∇×H = 0) tekee mahdolliseksi magneettikentän esittämisenskalaaripotentiaalin gradienttina H = −∇ψ. Jos lisäksi aine on magneettisestiainakin likimain lineaarista eli B = µH ja tasaisesti magnetoitunutta(∇·M = 0), niin ∇·H = 0 ja päästään ratkaisemaan Laplacen yhtälöä∇ 2 ψ = 0 (6.36)

86 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSAEsimerkki.Magnetoituva pallo tasaisessa magneettikentässäTämä ongelma on periaatteessa sama kuin luvun 3.5 eristepallo tasaisessaulkoisessa sähkökentässä. Lausumalla ψ vyöhykeharmonisten funktioidenavulla ja käyttämällä reunaehtoja saadaan (HT) magneettikentälle lausekkeetpallon sisällä3B 0B 2 =1+2(µ 0 /µ) e z = vakio (6.37)ja pallon ulkopuolella[ ) (µ/µ0 ) − 1 a 3B 1 = B 0 e z +B 0 (2e r cos θ + e θ sin θ) (6.38)(µ/µ 0 )+2](rmissä e z on ulkoisen magneettikentän suuntainen, koordinaatiston origo onpallon keskipisteessä ja kulma θ on poikkeama z-akselilta. Kannattaa huomata,että nimenomaan B-kenttä vastaa rakenteeltaan sähköstatiikan D-kenttää.Esimerkki.Tasaisesti magnetoituneen pallon kenttä tyhjössäOlkoon pallon säde a ja magnetoituma vakio M = Me z . Tilanne on jälleenaksiaalisymmetrinen, joten magneettinen skalaaripotentiaali pallon ulkopuolella(1) ja sisällä (2) voidaan kirjoittaa (ks. luku 2.9.2)ψ 1 (r, θ) =ψ 2 (r, θ) =∞∑C 1n r −(n+1) P n (cos θ) (6.39)n=0∞∑A 2n r n P n (cos θ) (6.40)n=0Nyt ei ole taustan kenttää, joten ulkokentässä kaikki r:n positiiviset potenssiton jätettävä pois. Sisäkentässä ei voi puolestaan olla negatiivisia potensseja,jotta ratkaisu olisi äärellinen pallon keskipisteessä. Reunalla r = aH:n reunaehdosta seuraa yksinkertaisestiH 1θ = H 2θ (6.41)B 1r = B 2r (6.42)1 ∂ψ 1a ∂θ = 1 ∂ψ 2a ∂θ(6.43)B-kentässä on mukana myös magnetoitumaB(r) =−µ 0 ∇ψ(r)+µ 0 M(r) (6.44)

6.6. REUNA-ARVOTEHTÄVIÄ MAGNEETTIKENTÄSSÄ 87ja tämän jatkuvuus reunalla edellyttää, että∂ψ 1−µ 0∂r = −µ ∂ψ 20∂r + µ 0M cos θ (6.45)Sijoittamalla näihin ψ:n lausekkeet saadaan yhtälöt∞∑(C 1n a −(n+1) − A 2n a n )P n (cos θ) = vakio (6.46)n=0µ 0 C 10 a −2 ∑ ∞+ µ 0 P n (cos θ)[C 1n (n +1)a −(n+2) + A 2n na n−1 ] (6.47)n=1−µ 0 M cos θ =0Muistetaan taas, että Legendren polynomit ovat ortogonaalisia funktioita.Kun n = 0, saadaan ehdotC 10 a −1 − A 20 = vakio (6.48)µ 0 C 10 a −2 = 0 (6.49)Siis C 10 =0jamyös A 20 voidaan valita nollaksi ilman, että sillä on vaikutustakenttiin B tai H. Termeille n = 1 on voimassaC 11 a −3 − A 21 = 0 (6.50)2C 11 a −3 + A 21 − M = 0 (6.51)jonka ratkaisuna on C 11 = Ma 3 /3; A 21 = M/3.Kun n ≥ 2, yhtälöt toteutuvat ainoastaan kertoimilla C 1n = A 2n =0.Ongelma on ratkaistu. Potentiaalit ovatja H-kentät saadaan näiden gradientteinaψ 1 (r, θ) = 1 3 M(a3 /r 2 ) cos θ (6.52)ψ 2 (r, θ) = 1 Mrcos θ (6.53)3H 1 = 1 3 M(a3 /r 3 )[2e r cos θ + e θ sin θ] (6.54)H 2 = − 1 3 Me z (6.55)Ulkoinen B-kenttä onµ 0 H 1 . Koska pallon magnetoituma M = Me z ,jääpallon sisäiseksi B-kentäksiB 2 = 2 3 µ 0Me z = 2 3 µ 0M (6.56)joka on siis vastakkaissuuntainen H-kentälle. Ongelman voisi ratkaista myössuoraan integroimalla magnetoitumaa (yhtälö 6.17). Tasaisesti magnetoitunutpallo on analoginen tasaisesti polarisoituneen pallon kanssa.

88 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSA6.7 Molekulaarinen magneettikenttäTarkasteltaessa aineen magnetismia molekyylitasolla kenttien B ja H välinenero katoaa, sillä molekyylien ajatellaan sijaitsevan tyhjössä ja mikroskooppinenmagneettikenttä B m tarkasteltavan molekyylin kohdalla voidaan korvatamikroskooppisella kentällä H m kirjoittamallaB m = µ 0 H m (6.57)Molekulaarisen magneettikentän muodostavat kaikki ulkoiset sähkövirrat jakaikki molekulaariset dipolit lukuunottamatta molekyyliä, jonka kohdallakenttä lasketaan. Tehdään tarkasteltavan pisteen ympärille onkalo, jonkaulkopuolinen väliaine käsitellään jatkumona samalla tavalla kuin luvussa3.6 molekulaarista polarisoitumista määritettäessä. Molekulaarinen kenttäon siisH m = H + H s + H near (6.58)missä H on makroskooppinen kenttä, H s onkalon reunoilla olevien pintadipolienaiheuttama kenttä jaH near onkalon sisällä olevien dipolien tuottamakenttä. Samanlaisella laskulla, jolla määritettiin E m aiemmin, saadaan(vrt. tasaisesti magnetoitunut pallo)Onkalossa olevat dipolit antavat puolestaanH near = 1[∑ 3(mi · r i )r i4πH s = 1 3 M (6.59)ir 5 i− m ]iri3(6.60)missä r i on etäisyys onkalon keskipisteestä i:nteen dipoliin. Suurelle joukolleaineita H near on merkityksettömän pieni, jolloinH m = H + 1 3 M (6.61)6.8 Para-ja diamagnetismistaTarkastellaan hieman yksityiskohtaisemmin väliaineen vaikutusta magneettikenttäänrajoittuen kvalitatiiviseen käsittelyyn. Hyviä kuvauksia voi löytääkorkeatasoisista lukion oppikirjoistakin (esim. Kurki-Suonio et al., Kvantti2, jota tässä onkäytetty yhtenä lähdeteoksena).Aine magnetoituu ulkoisessa magneettikentässä. Väliaine ja kenttääntuodut kappaleet synnyttävät oman magneettikenttänsä. Tilanne on kuitenkinselvästi erilainen kuin sähkökentän tapauksessa, mikä lienee tuttua kaikillehankaussähkön ja kestomagneettien kanssa leikkineille. Kaikkien aineidenpolarisoituminen sähkökentässä havaitaan siitä, että varattu kappale

6.8. PARA- JA DIAMAGNETISMISTA 89Taulukko 6.1: Joitain dia- (χ m < 0) ja paramagneettisia (χ m > 0) aineita.Suskeptiivisuudet on annettu huoneenlämpötilassa. Kaasujen tapauksessaoletetaan lisäksi normaali ilmanpaine.ainealumiinielohopeahappihopeakultakuparimagnesiumtimanttititaanityppivetysuskeptiivisuus2.1 · 10 −5−2.8 · 10 −5193.5 · 10 −8−2.4 · 10 −5−3.5 · 10 −5−0.98 · 10 −51.2 · 10 −5−2.2 · 10 −518 · 10 −5−0.67 · 10 −8−0.22 · 10 −8vetää puoleensa neutraalejakin kappaleita. Sen sijaan magneeteilla on selvästinäkyvä vaikutus vain harvoihin aineisiin. Lähellä olevat kappaleet ja väliaineeteivät siksi yleensä häiritse merkittävästi magneettisia tutkimuksia.Väliaineen vaikutusta magneettikenttään on yksinkertaista tutkia toroidikääminavulla, koska käämin kenttä on kokonaan toroidin sisällä (vrt. eristeidentutkimus kondensaattorin avulla). Kentän muoto ei muutu, jos toroiditäytetään väliaineella, vaan ainoastaan magneettivuon tiheys muuttuu.Väliaineen suhteellinen permeabiliteetti voidaan silloin mitata vertaamallamagneettivuon tiheyttä käämissä väliaineen kanssa ja ilman sitä.Koska suurimmalla osalla aineista suhteellinen permeabiliteetti on lähelläykköstä, käytetään useammin magneettista suskeptiivisuuttaχ m = µ r − 1 (6.62)ja monille aineille pätee yksinkertainen rakenneyhtälöB = µ 0 (1 + χ m )H (6.63)Ainetta kutsutaan diamagneettiseksi, jos χ m < 0 ja paramagneettiseksi, josχ m > 0. Näille aineille on tyypillisesti |χ m | < 10 −3 , joten yleensä voidaanaineen permeabiliteetti olettaa samaksi kuin tyhjön permeabiliteetti (taulukko6.1). Poikkeuksena ovat ferromagneettiset aineet, jotka eivät noudatayksinkertaista magnetoitumislakia.Aineen magneettisten ominaisuuksien mikroskooppinen selitys perustuuuseisiin eri tekijöihin. Alkeishiukkaset ovat pieniä alkeismagneetteja, joiden

90 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSAmagneettimomentti liittyy hiukkasten spiniin. Elektronin magneettimomenttion noin 700 kertaa suurempi kuin protonin ja noin 1000 kertaa suurempikuin neutronin magneettimomentti, joten elektronit määräävät aineenmagneettiset ominaisuudet. (Neutroni ei siis kuitenkaan ole magneettisessamielessä täysin neutraali.)Elektronin kiertoliike atomissa vastaa virtasilmukkaa ja siitä aiheutuvamagneettimomentti on samaa suuruusluokkaa kuin spinin aiheuttama. Rataliikkeestäjohtuva magneettimomentti voidaan ymmärtää klassisella mallilla,jossa elektroni kiertää r-säteistä ympyrärataa kulmataajuudella ω =2π/T.Malli vastaa virtasilmukkaa, jonka pinta-ala on A = πr 2 ja jossa kulkeevirta I = q/T = qv/2πr. Magneettimomentti on siis m = IA = qvr/2. Elektroninliikemäärämomentti radan keskipisteen suhteen on L = m 0 vr (massa= m 0 ). Ottaen huomioon, että kyse on vektorisuureista, voidaan suuntasäännötmuistaen kirjoittaa m = −e/(2m 0 )L, joka vastaa myös havaintoja.Samaan tulokseen päädytään, jos tarkastellaan pyörivän hiukkasen magneettimomentinja liikemäärämomentin suhdetta (HT). Elektronin spinistäjohtuva magneettimomentti on kuitenkin kaksinkertainen, joten klassinenkuvaeitässä anna oikeaa ennustetta. Spiniä ei voida selittää arkipäiväisenmielikuvan mukaan pyörimisestä johtuvaksi, vaan kyseessä on puhtaastikvanttimekaaninen suure.Atomin magneettimomentti muodostuu elektronien spinien ja rataliikkeenmagneettimomenteista, jotka yleensä pyrkivät kumoamaan toisensapareittain. Jos atomilla tai molekyylillä on parillinen määrä elektroneja, senmagneettimomentti yleensä puuttuu. Muuten atomien magneettimomentitovat samaa suuruusluokkaa kuin elektroneilla.Ulkoinen magneettikenttä suuntaa atomien ja metallien vapaiden elektronienmagneettimomentteja siten, että niiden kenttä vahvistaa ulkoistakenttää aineessa. Tämä selittää paramagnetismin. Lämpötilan noustessalämpöliike häiritsee atomien järjestäytymistä, jolloin suskeptiivisuus pienenee.Vastaavasti lämpötilan nousu heikentää pysyvien sähködipolien suuntautumisestaaiheutuvan polarisoitumista.Ulkoinen magneettikenttä vaikuttaa myös elektronien rataliikkeeseen.Tällöin atomiin indusoituu magneettimomentti, joka suuntautuu ulkoistakenttää vastaan, mikä selittää diamagnetismin. Ilmiö tapahtuu kaikissa aineissa,mutta peittyy molekyylien magneettimomenttien alle, jos molekyyleilläon magneettimomenttia (vrt. pysyvä ja indusoituva polarisaatio sähkökentänvaikutuksesta). Diamagneettinen suskeptiivisuus ei riipu merkittävästilämpötilasta, koska atomien lämpöliike ei pysty häiritsemään nopeastiulkoiseen kenttään sopeutuvia elektroneja.

6.9. FERROMAGNETISMI 91bmagneettivuon tiheys Bbaccmagnetoiva kenttä HKuva 6.3: Magneettivuon tiheys ferromagneettisessa aineessa ei ole magnetoivankentän yksikäsitteinen funktio. Kuvaan on piirretty myös magnetoitumiskäyrä(a).6.9 FerromagnetismiJoissain kiinteissä aineissa atomien välinen vuorovaikutus pyrkii suuntaamaanmagneettimomentit samansuuntaisiksi, jolloin muodostuu atomin kokoonnähden suuria magneettisia alkeisalueita. Ulkoinen kenttä puolestaankasvattaa alkeisalueita ja pyrkii kääntämään kaikkien alueiden magneettimomentitsamansuuntaiseksi. Tämä on ferromagnetismin perusmekanismi.Ferromagneettisia aineita ovat esimerkiksi rauta, koboltti ja nikkeli sekänäiden monet yhdisteet. Riittävän korkeassa lämpötilassa (Curie-pisteessä)ferromagneettinen aine muuttuu paramagneettiseksi. Raudan Curie-piste on770 ◦ C ja nikkelin 358 ◦ C.Myös ferromagneettisille aineille on tapana kirjoittaa rakenneyhtälö µ:navulla, mutta nyt µ = µ(H) ei välttämättä ole yksikäsitteinen funktio.Vastaesimerkkinä on hystereesi (kuva 6.3), jossa magnetoivan kentän H jaaineen magneettivuon tiheyden B välinen yhteys on erilainen riippuen siitä,ollaanko magnetoivaa kenttää kasvattamassa vaiko pienentämässä. Suskeptiivisuusχ m on siis kentän H funktio ja yleisesti ottaen iso.Kun kentän H voimakkuutta kasvatetaan, aineen magnetoituminen voimistuu.Tätä voi jatkua kuitenkin vain tiettyyn kyllästysarvoon M s asti.Tämän jälkeenkin B-kenttä jatkaa kasvamistaan lineaarisesti termin µ 0 Hmyötä. Olkoon ferromagneetti nyt magnetoitu tällä tavoin ja annetaan H:nalkaa pienetä. Nyt B-kenttä ei pienene saman käyrän mukaisesti vaan tapahtuuhystereesi-ilmiö.Ferromagnetismin vastakohta on tilanne, jossa järjestyneen vastakkais-

92 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSAsuuntaisista spineistä muodostuvan rakenteen magneettinen momentti onnolla. Tällaista ainetta kutsutaan antiferromagneetiksi. Vielä yleisempijärjestynyt rakenne on sellainen, jossa on vastakkaisia spinejä, muttakuitenkin nollasta poikkeava kokonaismagneettimomentti. Tällaisia aineitakutsutaan ferriiteiksi. Niitä ovat esimerkiksi tietyt rautaoksidit (MOFe 2 O 3 ,missä Mon jokin kaksivalenssinen metalli-ioni). Tunnetuin ferriitti lieneemagnetiitti (Fe 3 O 4 ). Ferriittien teknologinen merkitys on niiden korkeissamagnetoituman kyllästymisarvoissa ja huonossa sähkönjohtavuudessa. Ferriittientyypilliset resistiivisyydet ovat luokkaa 1–10 4 Ωm, kun raudan resistiivisyyson vain 10 −7 Ωm. Ferriittejä käytetään etenkin korkeataajuuslaitteissa,joissa pyörrevirtoihin liittyvä energianhäviö on ongelma.

Luku 7Sähkömagneettinen induktioToistaiseksi olemme tarkastelleet vain ajasta riippumattomia kenttiä. Ne voimainiosti kuvitella kenttäviivojen avulla, joten emme ole törmänneet mihinkään,mikä puolustaisi Feynmanilta lainattua toteamusta kurssin alussa.Tässä luvussa alamme tarkastella ajasta riippuvia kenttiä ja siirtyä alueelle,jossa mielikuvitus joutuu paljon kovemmalle koetukselle.7.1 Faradayn lakiSähköstaattiselle kentälle pätee ∮ CE · dl = 0. Mikäli kenttä ei ole staattinenja siten integraali ei ole nolla, silmukkaan C sanotaan indusoituvansähkömotorisen voiman (smv)∮E = E ′ · dl (7.1)CTässä E ′ (r) on kenttä silmukka-alkion dl(r) kohdalla. Havaintojen mukaansmv vastaa silmukan läpäisevän magneettivuon muutostaE = − dΦdt = − d ∫B · n dS (7.2)dt STämä onFaradayn induktiolaki. Se ei riipu mitenkään siitä, kuinka magneettivuontiheys itsessään muuttuu. Lain olemassaolo ei myöskään riipufysikaalisen silmukan olemassaolosta, vaan pätee annettua reittiä C pitkinlasketulle integraalille. Faradayn laki on kokeellinen luonnonlaki, joka ei seuraamistään muista luonnonlaeista.Sähkömotorisen voiman yksikkö on sama kuin potentiaalieron eli voltti.Sähkömotorinen voima ei kuitenkaan ole minkään kahden pisteen välinenjännite, koska se lasketaan aina suljetun silmukan yli!93

94 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIOJos tarkastellaan liikkuvia silmukoita ja mahdollisesti liikkeen mukanamuuttuvia silmukoita, on oltava huolellinen. Faradayn lain integraalimuodossaolevan kokonaisaikaderivaatan on otettava huomioon nämä muutokset.On tärkeää huomata, että E ′ (r) onsähkökenttä alkion dl(r) kohdallakoordinaatistossa, jossa dl on levossa. Jos nimittäin silmukka olisi todellinenvirtapiiri, niin nimenomaan kenttä E ′ aiheuttaisi virran siinä.Oletetaan seuraavassa aluksi, että Faradayn laissa olisi kokeellisesti määritettäväverrannollisuuskerroin k siten, että∮E ′ · dl = −k d ∫B · n dS (7.3)C dt SVedotaan lisäksi klassiseen Galilei-invarianssiin eli siihen, että toistensa suhteenvakionopeudella v liikkuvissa koordinaatistoissa K ja K ′ fysiikan laitovat samat muunnoksessa r ′ = r + vt, t ′ = t.Vuo silmukan läpi voi johtua eksplisiittisestä aikariippuvuudesta (∂/∂t)tai muutoksesta liikkeen vuoksi (v·∇). Käyttämällä konvektiivista derivaattaad/dt = ∂/∂t + v ·∇voidaan osoittaa (HT), että∫∫dB · n dS =dt SSTällöin Faradayn laki saa muodon∮C∫(E ′ − k(v × B)) · dl = −k∂B∂t∮C· n dS + B × v · dl (7.4)S∂B∂t· n dS (7.5)Tämä voidaan tulkita toisinkin. Tilannetta sivusta tarkastelevan levossa olevanhavaitsijan voi ajatella katsovan paikallaan olevaa silmukkaa C. Faradaynlaki sovellettuna tällaiseen kiinteään silmukkaan on∮C∫E · dl = −kS∂B∂t· n dS (7.6)missä E on kyseisen havaitsijan näkemä kenttä. Galilei-invarianssin perusteellaon oltava E ′ = E + k(v × B). Tarkastellaan sitten todellisessa johtimessaliikkuvaa virtaa kuljettavaa elektronia. Silmukan C mukana liikkuvankoordinaatiston suhteen johdinelektronit ovat käytännössä levossa (HT:tarkastele tavanomaista metallijohdinta ja siinä kulkevaa tavanomaista virtaa).Siihen vaikuttavassa Lorentzin voimassa on siis vain sähköinen osuusqE ′ . Ulkopuolisen havaitsijan mielestä Lorentzin voima on q(E + v × B),joten on oltava k =1.Nyt Faradayn laki saadaan helposti differentiaalimuotoon. Oletetaan,että silmukka C on levossa valitussa koordinaatistossa. Tällöin myös kentätB ja E on määritelty samassa koordinaatistossa. Stokesin kaavan avullasaadaan∫S∫∂B∇×E · n dS = − · n dS (7.7)S ∂t

7.1. FARADAYN LAKI 95Koska silmukka on muuten mielivaltainen, niin on oltava∇×E = − ∂B(7.8)∂tjoka on Maxwellin kolmas yhtälö.Huom. Tarkasteltaessa liikkuvaa silmukkaa oletettiin implisiittisesti, ettäB ′ = B. Tämä on totta kertalukuun (v/c) 2 asti. Kenttien relativistisiinmuunnoskaavoihin perehdytään kurssin lopussa. Faradayn laki ei kuitenkaanole approksimaatio, vaan fysiikka on samaa kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa,joita yhdistää Lorentzin muunnos.Faradayn laissa oleva miinusmerkki ilmaisee Lenzin lain: “induktiovirtavastustaa muutosta, joka sen aiheuttaa”. Induktiovirta kuluttaa energiaa.Tämä energia on saatava systeemiltä, joka aiheuttaa induktion. Tämämerkitsee, että induktion aiheuttajan on tehtävä työtä induktiovirran vastavaikutuksenvoittamiseksi. Lenzin laki on usein kätevä tapa määrittää indusoituvanvirran suunta, joka saattaa olla vaikea johtaa aikaderivaatan jaroottorin sisältävästä abstraktin näköisestä Faradayn laista.Faradayn lain avulla voidaan ymmärtää esimerkiksi betatronin toiminta.Vain sähkökenttä voi tehdä työtä varaukselliseen hiukkaseen. Betatronissamuuttuva magneettikenttä indusoi hiukkasia kiihdyttävän sähkökentän.Esimerkki. Liikkuva johdin magneettikentässäTarkastellaan yksinkertaisena, mutta toivottavasti ajatuksia herättävänä esimerkkinämagneettikentässä likkuvaa johdetankoa. Oletetaan, että johdetankoab (pituus l) liikkuu vakionopeudella v pitkin johdinkiskoja ja saapuualueeseen x>x 0 , jossa on vakiomagneettikenttä B kohtisuorassa silmukantasoa vastaan (kuva 7.1). Asetetaan välille cd suuriresistanssinen jännitemittari(silmukassa abcda ei siis kulje virtaa).Kentässä olevan johdetangon vapaisiin varauksiin vaikuttaa LorentzinvoimaF = q(E + v × B) (7.9)Voiman magneettinen osa ajaa positiivisia ja negatiivisia varauksia tangoneri päihin. Tämä aiheuttaa sähkökentän, joka pyrkii vastustamaan varausseparaatiotaja syntyy tasapainotilanne, jossa sähkökenttä suuntautuupisteestä a kohti pistettä b ja kentän suuruus onTangon päiden a ja b välillä onjänniteV ab = ϕ a − ϕ b =E = vB (7.10)∫ baE · dl = El = Blv (7.11)

96 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIOcVdnbv Baxx 0Kuva 7.1: Magneettikenttään saapuva kiskoilla liikkuva johdintanko.Tätä sanotaan liikkeen indusoimaksi potentiaalieroksi (joskus epätäsmällisestiliikkeen indusoimaksi sähkömotoriseksi voimaksi).Edellä ei tarvittu induktiolakia ollenkaan, vaan mikrofysikaalinen tarkasteluriitti. Voimme toisaalta laskea magneettivuon silmukan abcda läpi, kunjohdetanko kulkee magneettikentässä. Valitsemalla integroimispinnan eli silmukantason normaalivektori magneettikentän suuntaiseksi saadaan vuonmuutosnopeudeksidΦdt = B dAdt = Bldx = Blv (7.12)dtjoten Faradayn lain mukaan piiriin indusoituu smv− dΦ = −Blv (7.13)dtMerkki kertoo, ettäsähkömotorinen voima vaikuttaa kuvaan merkittyä positiivistakiertosuuntaa vastaan. Jos virtapiiri oikosuljettaisiin jännitemittarinkohdalta, niin induktiovirta kulkisi myötäpäivään. Induktiovirta pyrkii siispienentämään magneettivuon muutosta silmukan läpi.Ajatellaan sitten, että neliösilmukka (sivu l) saapuu magneettikenttäännopeudella v. Oikosuljetaan piiri, jolloin virta voi kulkea siinä. Silmukantullessa magneettikenttään vuon muutos on vakio (−Blv), ja piiriin syntyvänmyötäpäivään kulkevan induktiovirran suuruus on Blv/R (R on piirinresistanssi). Kun silmukka on kokonaan magneettikentän sisällä, vuo eienää muutu ja virta lakkaa kulkemasta (itseinduktion takia virran kulkuei käytännössä lopu aivan heti). Kannattaa huomata, että induktioilmiövoitaisiin tässäkin tapauksessa selittää myös Lorentzin voiman avulla.Silmukan tullessa kenttään sivuun ab kohdistuu nopeudelle vastakkaissuuntainenvoima F suuruudeltaan BlI, joten silmukan kiskomiseen tarvittavateho on Fv = BlIv. Tämä ontäsmälleen yhtä suuri kuin virtasilmukanohmiset tehohäviöt.

7.2. ITSEINDUKTIO 97Oletetaan nyt, että neliösilmukka on kokonaan alueessa x>x 0 eikä liiku.Muutetaan magneettikenttää silmukan kohdalla ajan funktiona: B(t) =Bvt/l. Tällöin magneettivuo silmukan läpi on Φ(t) = Bvlt, jolloin vuonmuutos on sama kuin edellä liikkuvan tangon tapauksessa. Ratkaisevanaerona on se, ettei induktioilmiötä voida nyt selittää Lorentzin voiman avulla(v × B = 0).Magneettikenttään saapuvan silmukan tilannetta voitaisiin tarkastellamyös silmukan mukana liikkuvan tarkkailijan kannalta. Hänen mielestäänmagneettisia voimia ei ole, joten taas tarvitaan induktiolakia selittämäänsähkömotorisen voiman syntyminen.Se, että liikkeen indusoima jännite on yhtä suuri kuin muuttuvan magneettikentänaiheuttama sähkömotorinen voima, ei ole itsestään selvää. Tämänekvivalenssin selvittäminen oli keskeisessä osassa, kun Einstein kehittisuppeamman suhteellisuusteorian vuonna 1905. Liikkuvissa koordinaatistoissaoikean integroimistien valinta vuon muutoksen laskemiseksi ei oleaina helppoa. Koska Maxwellin yhtälöt kuitenkin osoittautuvat Lorentzinvarianteiksi,Faradayn laki differentiaalimuodossa ja Lorentzin voiman lausekepätevät kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa.7.2 ItseinduktioTarkastellaan eristettyä virtasilmukkaa, jossa magneettivuo on silmukan itsensäaiheuttama. Biot’n ja Savartin lain mukaan magneettikenttä riippuulineaarisesti silmukassa kulkevasta sähkövirrasta I. Kiinteässä muuttumattomassasilmukassa vuon muutos johtuu vain virran muutoksesta, jotendΦdt = dΦ dI(7.14)dI dtVirran ja vuon muutoksen välistä verrannollisuuskerrointaL = dΦ(7.15)dIkutsutaan silmukan itseinduktanssiksi. Jos vuo on suoraan verrannollinenvirtaan, niin L =Φ/I. Virran muutos indusoi sähkömotorisen voimanE = −L dIdt(7.16)Koska sähkömotorisen voiman SI-yksikkö on voltti, niin induktanssin SIyksikköon Vs/A ≡ H eli henry. Itseinduktio ilmenee esimerkiksi siten, ettävirtapiireissä virta ei koskaan kytkeydy tai katkea täysin hetkellisesti. Itseinduktiokorostuu, jos piirissä onkäämi, koska silloin piirin induktanssi onkäytännössä sama kuin käämin induktanssi.

98 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIOEsimerkki. Toroidaalisen kelan itseinduktanssiKierretään johdinlankaa N kierrosta toruksen ympäri (poikkileikkauksenala A). Itseinduktanssiin vaikuttaa sekä kela itse että silmukkaan virtaasyöttävä johteen ulkoinen osa. Oletetaan, että ulkoinen osa on koaksiaalikaapeli,joka ei aiheuta merkittävää ulkoista kenttää. Ampèren kiertosääntöantaa magneettikentäksi toruksen sisälläB = µ 0 NI/l (7.17)missä l on toruksen keskimääräinen pituus (luku 5.3). Magneettivuo jokaisenyksittäisen kierroksen läpi onja kaikkien kierrosten yhteenlaskettu vuo onjosta saadaan induktanssi7.3 KeskinäisinduktioΦ 1 = µ 0 NIA/l (7.18)Φ=µ 0 N 2 IA/l (7.19)L = dΦdI = µ 0N 2 A/l (7.20)Tarkastellaan sitten n kappaletta erillisiä silmukoita. Kirjoitetaan kaikkiensilmukoiden aiheuttama yhteenlaskettu vuo silmukan i läpi muodossan∑Φ i = Φ ij (7.21)Tähän silmukkaan indusoituu smvj=1E i = −n∑j=1dΦ ijdt(7.22)Jos kaikki silmukat ovat kiinteitä, kunkin silmukan j osuus Φ ij riippuu vainsiinä kulkevan virran I j muutoksesta, jotendΦ ijdt= dΦ ijdI jdI jdt(7.23)KertoimiaM ij = dΦ ijdI j,i≠ j (7.24)

7.4. PÄHKINÄ PURTAVAKSI: FEYNMANIN KIEKKO 99kutsutaan silmukoiden i ja j välisiksi keskinäisinduktansseiksi.Jos väliaine on magneettisesti lineaarinen, M ij :t ovat vakioita. Sähkömotorisenvoiman lauseke sisältää myös silmukan i itseinduktanssin L i = M ii .Keskinäisinduktanssi voi olla positiivinen tai negatiivinen riippuen virtojenkulkusuunnista silmukoissa.Tarkastellaan kahta kiinteää silmukkaa lineaarisessa väliaineessa (yksinkertaisuudenvuoksi µ = µ 0 ). TällöinM 21 = Φ 21(7.25)I 1Lasketaan magneettikenttä Biot’n ja Savartin lailla ja integroidaan siitämagneettivuoΦ 21 = µ [∮]04π I dl 1 × (r 2 − r 1 )1∫S 2 C 1|r 2 − r 1 | 3 · n dS 2 (7.26)Käyttämällä kaavaa∮saadaanC 1dl 1 × (r 2 − r 1 )|r 2 − r 1 | 3 = ∇ 2 ×M 21 = µ ∫0∇ 2 ×4π S 2= µ 04π∮C 2∮[∮dl 1 · dl 2C 1|r 2 − r 1 |∮dl 1C 1|r 2 − r 1 |]dl 1· n dS 2C 1|r 2 − r 1 |(7.27)(7.28)jota kutsutaan Neumannin kaavaksi. Tämä ei ole kovin hyödyllinen induktanssienlaskemisessa, mutta se osoittaa, että keskinäisinduktanssi onpuhtaasti silmukoiden geometriasta johtuva suure ja siten silmukoiden itsensäominaisuus. Silmukoissa kulkeva sähkövirta ei vaikuta lineaarisessatapauksessa induktanssiin. Lisäksi keskinäisinduktanssi on symmetrinen silmukoidenvaihtamisen suhteen (M 12 = M 21 ), mikä vaikuttaa ensi näkemältähieman yllättävältä.Keskinäisinduktanssin laskeminen on hankalaa, mutta mittaaminen varsinyksinkertaista: syötetään piiriin 1 tunnettu virta ja mitataan sen indusoimasmv piirissä 2. Helpointa tämä on toteuttaa sinimuotoisen vaihtovirranavulla.7.4Pähkinä purtavaksi: Feynmanin kiekkoPalataan lopuksi perusongelmien pariin (Feynman, osa 2, luku 17-4). Tarkastellaanlevyä, joka pääsee pyörimään akselinsa ympäri (kuva 7.2). Keskellä

100 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIOIKuva 7.2: Levy, jonka keskellä kulkevassa käämissä kulkee tasavirta I. Reunallaon tasaisin välein varattuja palloja.on käämi, jossa pieni paristo pitää yllä tasavirtaa. Levyn reunalla on tasainenvarausjakauma, esimerkiksi samanlaisia varattuja palloja. Oletetaan,että levy ei tässä tilanteessa pyöri. Oletetaan sitten, että virta käämissäkatkeaa äkillisesti ilman ulkopuolista vaikutusta. Alkaako levy pyöriä?Magneettikentän heikkeneminen indusoi vähäksi aikaa sähkökentän. Geometrianperusteella kenttäviivat ovat ympyröitä, joiden keskipiste on levynakselilla. Varauspalloihin kohdistuva voima aiheuttaa silloin vääntömomentin,jonka takia levy alkaa pyöriä.Toisaalta laitteiston liikemäärämomentti ennen virran katkaisua on nolla.Siihen ei kohdistu ulkoisia voimia, joten liikemäärämomentin säilymislainperusteella levy ei ala pyöriä.Jos ensimmäinen vastaus on oikea, miten käy liikemäärämomentin säilymislain?Jos taas jälkimmäinen selitys pätee, niin sovellettiinko induktiolakiaväärin? Asiaan palataan luvussa 9.

Luku 8Magneettinen energiaLuvussa 4 nähtiin, että staattiseen sähkökenttään liittyy tietty energia. Näinon myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentänmuuttaminen aiheuttaa muutosta vastustavan voiman ja siten magneettikentänluominen edellyttää työtä.8.1 Kytkettyjen virtapiirien energiaTarkastellaan yksinkertaista virtasilmukkaa, jossa kulkee virta I ja jonkavastus on R. Liitetään virtapiiriin jännitelähde V .TällöinV + E = IR (8.1)missä E on virtasilmukkaan indusoituva smv. Jännite tekee työtä siirtämällävarauksia silmukassa. Differentiaalisen varauksen dq = Idtosalta työ onVdq= VIdt= −EIdt+ I 2 Rdt= IdΦ+I 2 Rdt (8.2)Termi I 2 Rdtantaa resistiivisen tehon hävikin lämmöksi (Joulen lämmitys).Termi IdΦ on indusoitunutta sähkömotorista voimaa vastaan tehty työ, jokatarvitaan magneettikentän muuttamiseen:dW b = IdΦ (8.3)missä alaindeksi b viittaa ulkoisen jännitelähteen (esim. pariston) tekemääntyöhön.Tarkastellaan sitten systeemiä, joka koostuu n kappaleesta virtapiirejä:n∑dW b = I i dΦ i (8.4)i=1101

102 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIAOletetaan, että kaikki vuonmuutokset ovat peräisin systeemin silmukoista,jolloinn∑ dΦ ijn∑dΦ i = dI j = M ij dI j (8.5)dIj=1 j j=1Oletetaan lisäksi, että silmukat ovat jäykkiä ja paikallaan, jolloin energianmuutoksiinei liity mekaanista työtä. Tällöin dW b on yhtäsuuri kuin magneettisenenergian muutos dU. (Virrat oletetaan myös riittävän hitaastimuuttuviksi, jolloin ei tarvitse ottaa huomioon säteilyhäviöitä.)Rajoitetaan tarkastelu yksinkertaiseen väliaineeseen, jossa magneettivuonja virran välinen suhde on lineaarinen. Lasketaan virtapiirisysteeminenergia lähtien tilasta, jossa kaikille virroille I i =0.Väliaineen lineaarisuudestajohtuen lopullinen magneettinen energia ei riipu tavasta, jolla tila onsaavutettu. Näin ollen kaikkien silmukoiden virtaa voidaan kasvattaa nollastalopputilaan samassa tahdissa eli joka hetki I i ′ = αI i, missä α kasvaa0 → 1. Tällöin dΦ i =Φ i dα ja systeemin magneettinen energia on∫ ∫ 1 n∑n∑∫ 1U = dW b = I iΦ ′ i dα = I i Φ i αdα= 1 n∑I i Φ i (8.6)0i=1i=10 2i=1Tämä voidaan myös ilmaista summana silmukoiden yliU = 1 n∑ n∑M ij I i I j (8.7)2i=1 j=1josta saadaan suoraan yhdelle silmukalle (M 11 = L 1 = L = silmukan itseinduktanssi)U = 1 2 IΦ=1 2 LI2 = 1 Φ 2(8.8)2 LTämän voi rinnastaa kondensaattorin energiaan Q 2 /(2C), joka ilmaisee kondensaattorinsähkökenttään varastoituneen energian. Kahdelle silmukallesaadaanU = 1 2 L 1I1 2 + 1 2 L 2I2 2 + MI 1 I 2 (8.9)missä otettiin huomioon symmetria M 12 = M 21 = M. Harjoitustehtäväksijää osoittaa, että L 1 L 2 ≥ M 2 .Virtasilmukkajärjestelmän energia voidaan määrittää myös kokoamallasysteemi silmukoista, joihin yksi kerrallaan luodaan virrat I i . Silmukkaan indusoituvasmv tekee työtä teholla −LI dIdt, joten kasvatettaessa virta nollastalopulliseen arvoonsa tarvitaan ulkoista työtä määrä 1 2 LI2 . Tarkastellaansitten silmukkaparia, joista ensimmäiseen synnytetään virta I 1 ja ulkoinentyö on 1 2 LI2 1 . Pidetään sitten I 1 vakiona ja kasvatetaan toisen silmukan virtanollasta arvoon I 2 .Tällöin tehdään työtä sekä silmukkaan 2 indusoituvaasmv:tä vastaan ( 1 2 LI2 2 ) että silmukkaan 1 indusoituvaa smv:tä vastaan( ∫ t0 MI 1dI 2 /dt = MI 1 I 2 ). Systeemin kokonaisenergia on siis 1 2 LI2 1 + 1 2 LI2 2 +MI 1 I 2 . Sama idea yleistyy suuremmalle silmukkajoukolle.

8.2. MAGNEETTIKENTÄN ENERGIATIHEYS 1038.2 Magneettikentän energiatiheysTarkastellaan edellä käsiteltyä tilannetta magneettikentän näkökulmasta.Oletetaan väliaine edelleen lineaariseksi ja virtapiirit yksinkertaisiksi silmukoiksi.Tällöin magneettivuoksi saadaan Stokesin lauseen avullaΦ i =∫B · n dS =S i∫∇×A · n dS =S i∮A · dl iC i(8.10)joten magneettinen energia onU = 1 ∑∮I i A · dl i (8.11)2 C iiSiirrytään sitten tilanteeseen, missä sähkövirta on tilavuusvirtaa J ja C ion suljettu lenkki johtavassa väliaineessa. Tilannetta voi ajatella suurenajoukkona lähellä toisiaan olevia silmukoita, jolloin I i dl i → J dV ja∑∮iC ieliU = 1 ∫J · A dV (8.12)2 VSähköstatiikassa energia lausuttiin vastaavasti varaustiheyden ja potentiaalintulon integraalina (luku 4.2).Koska ∇×H = J ja ∇·(A × H) =H ·∇×A − A ·∇×H, niindivergenssiteoreemaa käyttämällä saadaanU = 1 ∫H ·∇×A dV − 1 ∫A × H · n dS (8.13)2 V 2 SJärkevä oletus on, että virtasilmukat eivät ulotu äärettömyyteen, joten pintaS voidaan siirtää kauas niiden ulkopuolelle. Staattinen kenttä H heikkeneevähintään kuten 1/r 2 ja vektoripotentiaali A vähintään kuten 1/r, muttapinta kasvaa vain kuten r 2 . Pintaintegraali häviää kuten 1/r tai nopeamminr:n kasvaessa rajatta. Tilavuusintegraali voidaan siis ottaa koko avaruudenyli, jolloinU = 1 ∫B · H dV (8.14)2Samoin kuin sähköstaattisen energian tapauksessa voidaan määritellä magneettinenenergiatiheysu = 1 ∫B · H (8.15)2→∫V

104 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIATulos pätee siis lineaariselle magneettiselle väliaineelle. Mikäli väliaine onlisäksi isotrooppista, saadaanu = 1 2 µH2 = 1 B 22 µ(8.16)Huom. Tässä tarkasteltiin stationaarista tilannetta. Sähkömagneettisenkentän energia yleisessä ajasta riippuvassa tilanteessa käsitellään luvussa 9.Säteilykenttien tapauksessa pintaintegraalit eivät välttämättä häviä.Esimerkki. Koaksiaalikaapelin energiatiheysTarkastellaan koaksiaalikaapelia, jonka keskellä ona-säteinen johdin, senulkopuolella sylinterisymmetrisesti eristekerros välillä a ≤ r ≤ b, jonkaulkopuolella on jälleen johtava sylinterisymmetrinen kerros b ≤ r ≤ c. Oletetaan,että kaikkialla µ = µ 0 . Kulkekoon sisäjohtimessa tasaisesti jakautunutvirta I ja ulkojohtimessa virta −I. Suoran johtimen aiheuttama magneettikenttäon Amperen kiertosäännön perusteellaB = B θ (r) e θ = µ 0I(r)2πre θ (8.17)Tarkastellaan sisempää johdinta (0 ≤ r ≤ a). Tällöin I(r)/I =(πr 2 )/(πa 2 ),jotenB θa = µ 0Ir2πa 2 (8.18)ja magneettinen energiatiheys onu a = B22µ 0= µ 0I 2 r 28π 2 a 4 (8.19)Sisemmän johteen yli integroitu energia l:n pituisella matkalla onU a =∫l ∫2π∫a000µ 0 I 2 r 28π 2 a 4 rdrdθdz = µ 0lI 216π(8.20)Johtimien välissä kenttä määräytyy sisemmän johtimen kokonaisvirrasta:B θb = µ 0I2πru b = µ 0I 28π 2 r 2 (8.21)U b = µ 0lI 24πln b a

8.3. RLC-PIIRI 105missä siis kokonaisenergia tarkoittaa johtimien välisessä alueessa olevaa kokonaisenergiaa.Uloimmassa johtimessa vastaavat lausekkeet ovatB θc =u c =U c =( )µ 0 I c22π(c 2 − b 2 ) r − rµ 0 I 2 ( )c48π 2 (c 2 − b 2 ) 2 r 2 − 2c2 + r 2µ 0 lI 2 [4π(c 2 − b 2 ) 2 c 4 ln c b − 1 4 (c2 − b 2 )(3c 2 − b 2 )](8.22)ja kokonaisenergia on jälleen kyseisen välin yli integroitu energiatiheys.Koaksiaalikaapelin ulkopuolella kenttä on nolla, joten energiakin on siellänolla.8.3 RLC-piiriKerrataan RLC-piirien perusasioita induktion ja sähkömagneettisen energianhavainnollistamiseksi. Asia on sinänsä toivottavasti tuttua peruskurssilta.Tarkastellaan yksinkertaista virtapiiriä, jossa on sarjaan kytkettynä vastus(resistanssi R), käämi (induktanssi L) ja kondensaattori (kapasitanssiC) (kuva 8.1). Lisäksi piirissä onjännitelähde V (t).Valitaan kondensaattorin varauksen merkki ja virran positiivinen suuntakuvan mukaisesti, jolloin Kirchhoffin säännöstä saadaanV − L d2 I= RI + q/C (8.23)dt2 Derivoimalla ajan suhteen ja käyttämällä yhteyttä dq/dt = I saadaan vir-RL–qCqIVKuva 8.1: Yksinkertainen RLC-piiri. Kondensaattorin sen levyn varaus on+q, johon positiivinen virta tuo varausta, jolloin I = dq/dt.

106 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIAralle toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöd 2 Idt 2 + R dIL dt + 1LC I = V L(8.24)Tarkastellaan ensin ideaalista tapausta, jossa piirin vastus on häviävänpieni (LC-piiri). Oletetaan, ettei piirissä myöskään ole jännitelähdettä. Kyseessäon siis kondensaattorin purkaminen käämin kautta. Tällöin 8.24 onharmonisen värähtelijän liikeyhtälö, ja värähtelyn kulmataajuus on ω =1/ √ LC. Jos kondensaattorin varaus on aluksi Q, niin ajan funktiona semuuttuu sinimuotoisesti: q(t) =Q cos ωt ja I(t) =−ωQ sin ωt. Systeeminsähkömagneettinen energia on U(t) = LI 2 /2+q 2 /(2C) = Q 2 /(2C) elikoko ajan sama kuin kondensaattorin sähköstaattinen energia aluksi. Kokonaisenergiasiis säilyy, se vain jakautuu sähkö- ja magneettikentän energiaksi(säteilyhäviöitä eitässä oteta huomioon).Kondensaattorin varaus alkaa aluksi purkautua käämin kautta. Itseinduktiontakia tämä ei tapahdu silmänräpäyksessä. Induktiovirta kulkee myössen hetken jälkeen, jolloin kondensaattorin varaus on nolla. Virta kulkee niinkauan samaan suuntaan, että levyjen varaukset ovat alkutilaan nähden vastakkaismerkkiset.Sen jälkeen kondensaattorin varaus alkaa taas purkautuajne.Todellisessa piirissä on aina jonkin verran resistanssia. Tilanteen laskennallinentarkastelu on suoraviivaista differentiaaliyhtälöiden käsittelyä eikäsitä käydä tässä läpi. Mainitaan vain esimerkiksi tilanne, jossa piiriin kytketääntasajännite V hetkellä t = 0, ja kondensaattori on alkuhetkellä varaamaton.Piirin virta on silloinI(t) =(V 0 /ωL)e −Rt/(2L) sin ωt (8.25)missä ω = √ 1/LC − (R/(2L)) 2 . Kulmataajuus ω voi tässä tapauksessa ollaimaginaarinen, mutta joka tapauksessa piirin virta vaimenee eksponentiaalisesti.Kuvassa 8.2 on esitetty tilanne, jossa ω on reaalinen. Tässä vaiheessakannattaa myös miettiä, mitä virralle tapahtuu kondensaattorissa.8.4 Epälineaariset energiahäviötPoiketaan nyt ferromagnetismiin energianäkökulmasta. Todellinen makroskooppinenferromagneetti käyttäytyy huomattavasti molekyylitasoa rakeisempana.Aine koostuu ferromagneettisista alueista, jotka ovat magnetoituneeteri suuntiin ja joiden välillä on suuruusluokkaa 100 atomin paksuisiaseiniä. Kun nämä alueet järjestyvät uudelleen ulkoisen magneettikentänmuuttuessa, syntyy energiaa kuluttavaa kitkaa. Tarkasteltaessa aiemmin

8.4. EPÄLINEAARISET ENERGIAHÄVIÖT 10710.80.60.40.2virta0-0.2-0.4-0.6-0.8-10 100 200 300 400 500 600 700aikaKuva 8.2: Vaimeneva värähtely RLC-piirissä. Katkoviivoilla on piirrettyvaimennusfunktion ±exp(−Rt/2L) kuvaaja.sähkömagneettista energiaa väliaineet oletettiin lineaarisiksi. Ferromagneettinenaine on kuitenkin epälineaarista ja eteen tulee kysymys, mitä tapahtuu,kun hystereesisilmukkaa kierretään ympäri. Tarkastellaan virtapiiriä, jonkamuodostaa ferromagneettisen aineen ympärille kierretty kela (N kierrosta),johon ulkoinen energian lähde syöttää virtaa.Jos magneettivuo kelan läpi muuttuu tekijällä δΦ, niin ulkoinen energianlähdetekee sähkömotorista voimaa vastaan työnδW b = NIδΦ (8.26)Ajatellaan ferromagneetti pätkäksi magneettista silmukkaa eli aluetta, jossamagneettikenttä poikkeaa nollasta. Tällöin kelan kohdalla Amperen kiertosäännönmukaan NI = ∮ H · dl. Merkitsemällä magneettisen silmukanpinta-alaa dl:n kohdalla A:lla saadaan∮∮∫δW b = δΦ H · dl = AδB · H dl = δB · H dV (8.27)Mikäli ferromagneetti käyttäytyy palautuvasti, saadaan systeemin magneettinenenergia integroimalla magneettivuon tiheys arvosta B = 0 lopulliseenarvoonsa. Lineaariselle aineelle tulos on tuttuU = 1 ∫H · B dV (8.28)2 VLauseke 8.27 on kuitenkin yleisempi ja antaa oikean työn myös hystereesitilanteessa.Magneettikentän muutosta vastaava työ yksikkötilavuudessa onVdw b = H · dB (8.29)

108 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIAcbmagneettivuon tiheys BdBadmagnetoiva kenttä HKuva 8.3: Yksikkötilavuutta kohti tehty työ ferromagneettisessa syklissä.Tarkastellaan nyt hystereesisykliä, joka alkaa H:n arvosta 0, kasvaa arvoonH max , pienenee arvoon −H max ja palaa sen jälkeen takaisin nollaan (kuva8.3).Työ kuvan 8.3 pisteestä a pisteeseen b(w b ) ab =∫baHdB (8.30)on hystereesikäyrän ab ja B-akselin välinen pinta-ala ja se on positiivinenkoska sekä H että dB ovat positiivisia. Vastaavasti (w b ) bc on B-akselinja käyrän bc välinen pinta-ala, mutta se pitää laskea negatiivisena, koskadB < 0. Samoin lasketaan työ negatiivisilla H ja lopputuloksena yhden hystereesisyklinmyötä tehty työ on silmukan sisään BH-tasossa jäävä pinta-ala∮w b = HdB (8.31)Täyden kierroksen jälkeen ferromagneetin tila on sama kuin alussa, jotensen magneettinen energia on yhtä suuri kuin aluksi. Ulkoinen energianlähdeon kuitenkin tehnyt työtä, joka on kulunut magneettisten alueiden uudelleenjärjestäytymiseen. Kyseessä on palautumaton SM-energian häviö lämmöksi.Tämän ilmiön vuoksi esimerkiksi muuntaja lämpenee. Yleensäkin hystereesihäviöton tärkeää huomioida rakennettaessa vaihtovirtalaitteita. Ylläolevalasku tehtiin yhdelle syklille, joten mitä korkeammalla taajuudella laitetoimii, sitä nopeammin hystereesi hävittää energiaa.Käytännössä ferromagneettinen sykli on usein mielekkäämpää käsitellämagneettikentän voimakkuuden ja magnetoituman avulla. Tämä onnistuu

8.5. MAGNEETTIKENTÄN VOIMAVAIKUTUS VIRTAPIIREIHIN 109seuraavasti (B = µ 0 (H + M)):dw b = H · dB = µ 0 HdH+ µ 0 H · dM (8.32)Termi µ 0 HdH on tyhjössä tehty työ, joka on nolla integroituna kokonaisensyklin yli ja termi µ 0 H · dM on materiaalille ominainen työ. Koko syklin ylityö on siis∮∮w b = µ 0 HdM = −µ 0 MdH (8.33)missäonkäytetty hyväksi lauseketta d(MH)=HdM+M dH. Kokonaisdifferentiaalind(MH) integraali on nolla riippumatta aineen ominaisuuksista.8.5 Magneettikentän voimavaikutus virtapiireihinSiirretään virtapiirijärjestelmän yhtä silmukkaa matka dr. Oletetaan, ettäsilmukoissa kulkevat virrat säilyvät ennallaan. Tällöin siirroksessa tehty työon dW = F · dr, joka koostuu kahdesta osasta:dW = dW b − dU (8.34)missä dU on magneettisen energian muutos ja dW b on ulkoisten lähteidentekemä työ, jotta virrat säilyvät ennallaan.Eliminoidaan dW b olettamalla silmukat jälleen jäykiksi ja lineaarinenväliaine. Magneettisen energian muutos ondU = 1 ∑I i dΦ i (8.35)2iToisaaltadW b = ∑ iI i dΦ i (8.36)joten dW b =2dU ja dU = F · dr eli voima saadaan energian gradienttinaolettaen virrat vakioiksiF = ∇U ∣ (8.37)IUsein tilanne on sellainen, että virtapiirin liike rajoittuu kiertymiseenjonkin akselin ympäri. Tällöin dW = τ · dθ, missä τ on magneettinenvääntömomentti ja dθ on kiertymän kulmaelementti. Vääntömomentti akselini suhteen on siten( ∂Uτ i =(8.38)∂θ i)ITarkasteltu tilanne on siis samantapainen kuin luvussa 4.4, jossa johdesysteemipidettiin vakiopotentiaalissa ulkoisen jännitelähteen avulla.

110 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIAJoissain tapauksissa virtapiirien läpi kulkeva magneettivuo voidaan olettaavakioksi. Tällaisiin tilanteisiin joudutaan tarkasteltaessa hyvin johtaviaväliaineita kuten suprajohteita tai täysin ionisoitunutta harvaa plasmaa.Tällöin mikään ulkoinen lähde ei tee työtä eli dW b =0jaF · dr = dW = −dU (8.39)Nyt voiman ja vääntömomentin komponentit saadaan derivoimalla −U:tapitäen Φ vakiona, mikä vastaa sähköstatiikassa vapaiden johteiden systeemiä.Sovellusesimerkki on avaruusaluksen asennonsäätö. Maapallon magneettikentänvaikutuksen alaisena olevaan satellittiin rakennetaan kelajärjestelmä.Kun satelliittia halutaan kääntää, ajetaan keloihin sellaiset virrat, ettäsatelliitti kääntyy haluttuun kulmaan magneettikenttään nähden. Menetelmänetuna on se, että operaatio voidaan tehdä aurinkoenergian avulla, haittanataas kentän pienuudesta johtuva vääntömomentin heikkous ja sitenoperaation hitaus.Esimerkki. Kahden virtasilmukan välinen voimaPalataan magnetostatiikan alkuun, missä kerrottiin Ampèren empiirisestälausekkeesta voimalle kahden virtasilmukan välillä (5.28). Lasketaan samatulos tämän luvun keinoin. Nyt on oltava tarkkana, sillä energian lausekettaon derivoitava silmukoiden välisen keskinäisen etäisyyden suhteen. Selvintäon määritellä r 1 = R 1 + x 1 ja r 2 = R 2 + x 2 , jolloin R = R 2 − R 1 on silmukoidenvälinen keskinäinen etäisyys, josta systeemin magneettinen energiariippuu (silmukoiden oletetaan säilyttävän muotonsa ja suuntautumisensa).Tällöin silmukoiden välinen magneettinen voima onF(R) =I 1 I 2 ∇ R M(R) = µ 0I 1 I 24πµ 0 I 1 I 24π∇ R∇ R∮ ∮C 1∮C 1∮Nyt derivointi voidaan viedä integrointien ohitse:∮C 1∮F = − µ 0I 1 I 24π− µ 0I 1 I 24πdl 1 dl 2C 2|r 2 − r 1 |dl 1 dl 2C 2|R + x 2 − x 1 |R + x 2 − x 1dl 1 dl 2C 2|R + x 2 − x 1 | 3 =∮C 1∮=(8.40)C 2dl 1 dl 2r 2 − r 1|r 2 − r 1 | 3 (8.41)Ensi silmäyksellänäyttää kuin olisi saatu eri tulos kuin aiemmin. Näin ei ole,minkä osoittaminen jää harjoitustehtäväksi. Voiman lausekkeesta nähdäänvälittömästi, että voiman ja vastavoiman laki pätee umpinaisille virtasilmukoille.

8.5. MAGNEETTIKENTÄN VOIMAVAIKUTUS VIRTAPIIREIHIN 111.......................................................................................µ 0F µ a)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx00.......................................................................................xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx∆xx00∆xb)Kuva 8.4: Solenoidiin työnnettyyn rautasauvaan vaikuttava voima.Esimerkki. Rautatanko solenoidin sisälläLuvussa 4 tarkasteltiin levykondensaattorin sisällä olevaan eristepalkkiinkohdistuvaa voimaa. Tutkitaan nyt solenoidin sisällä olevaa rautatankoa,jonka poikkipinta-ala on A ja permeabiliteetti µ. (Kyseessä saa olla mikätahansa aine, joka noudattaa yksinkertaista magnetoitumislakia.) Olkoonsolenoidin pituus l ja olkoon sitä kierretty N kierrosta johteella, jossa kulkeevakiovirta I. Vedetään tankoa ulos solenoidista kunnes siitä onenääpuolet sisällä ja lasketaan voima, joka yrittää vetää tankoa takaisin (kuva8.4).Ongelma olisi aika vaikea, jos kysyttäisiin alkuperäisen tai lopullisentilanteen todellista magneettista energiaa, koska silloin olisi huomioitava reunojenvaikutukset. Koska voima on energian gradientti, sen määrittämiseksiriittää tarkastella kahden eri tilan eroa. Tarkastellaan oheisen kuvan mukaistalyhyttä siirrosta. Kuvien a) ja b) välinen ero on, että pituusalkio △xon siirretty kentän ulkopuolisesta osasta solenoidin sisään, kun taas hankalanreunan kohdalla kaikki näyttää samalta molemmissa kuvissa. KoskaH-kenttä onlähes pitkittäinen alueessa △x ja koska H-kentän tangentiaalikomponenttion jatkuva sauvan sylinterinmuotoisen reunan yli, voidaanmagneettinen energia laskea lausekkeestaU = 1 2∫µH 2 dV (8.42)missä H on vakio sauvan sisä- ja ulkopuolella, koska I on vakio. Siirroksenjälkeen energia onU(x 0 + △x) ≈ U(x 0 )+ 1 2∫A△x(µ − µ 0 )H 2 dV

112 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIA= U(x 0 )+ 1 2 (µ − µ 0) N 2 I 2l 2 A△x (8.43)Koska voima on energian gradientti, se voidaan arvioida tästäF x = ∂U∂x ≈ 1 2 (µ − µ 0) N 2 I 2 Al 2 = 1 2 χ mµ 0 H 2 A (8.44)Voima osoittaa x:n positiiviseen suuntaan eli vetää sauvaa solenoidiin, josχ m > 0.8.6 Maxwellin jännitystensori magnetostatiikassaTarkastellaan aluetta V , jossa on stationaarinen virrantiheys J = ρv. Oletetaanlisäksi, että alueessa on vain tavallista ainetta, jolle B = µ 0 H. TilavuusalkioondV kohdistuva magneettinen voima on Lorentzin lain mukaandF =(ρdV )v × B = J × BdV , joten voimatiheys on f = J × B = µ 0 J × H.Amperen lain mukaan f = µ 0 (∇×H) × H ja komponenteittain (HT)3∑f i = µ 0 H j ∂ j H i − 1 2 µ 0∂ i H 2 (8.45)j=1Otetaan mallia sähköstatiikasta ja määritellään magnetostaattinen MaxwellinjännitystensorijolloinT (m)ij = B i H j − 1 2 δ ijB · H (8.46)f i =3∑j=1∂ j T (m)ij (8.47)Edelleen sähköstatiikan analogian perusteella saadaan kokonaisvoima∫F = ((n · H)B − 1 2 n(B · H) dS) =FS (8.48)∂VPintavoima F S voidaan osoittaa ekvivalentiksi voiman F kanssa samallatavalla kuin sähköstatiikassa.

Luku 9Maxwellin yhtälötNyt meillä on koossa elektrodynamiikan peruspilarit sillä tasolla, jolla netunnettiin 1860-luvun alussa. Maxwell huomasi yhtälöissä piilevän teoreettisenongelman: Mitä tapahtuu, jos varaustiheys ja siten sähkökenttä muuttuvatajallisesti? Ampèren laki on voimassa vain staattiselle systeemille jaottamalla siitä divergenssi ∇·(∇ ×H) =∇·J nähdään, että ∇·J =0.Varaustiheyden muuttuessa ajallisesti pitäisi kuitenkin jatkuvuusyhtälön∂ρ/∂t + ∇·J = 0 olla voimassa.9.1 SiirrosvirtaKuvan 9.1 mukaisessa ajatuskokeessa varataan kondensaattoria sähkövirrallaI. Ampèren lain mukaan∮H · dl =C∫J · n dS = IS 1(9.1)CkondensaattorilevytS 2 I(t) S 1Kuva 9.1: Ampèren laki varattaessa kondensaattoria113

114 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖTmissä S 1 on pinta, jonka läpi virta I kulkee. Nyt kuitenkaan mikään ei sano,missä silmukan C rajoittaman yhdesti yhtenäisen pinnan tulisi olla. Pinnaksivoidaan valita myös kondensaattorin levyjen välisen alueen kautta piirrettypinta S 2 , joka ei leikkaa virtaa missään ja∮∫H · dl = J · n dS = 0 (9.2)CS 2Molemmat integraalit on laskettu matemaattisesti oikein, joten ongelmantäytyy olla puutteellisesti ymmärretyssä fysiikassa. Ratkaisu on siinä, ettävirta I tuo varausta kondensaattorin levylle eikä varaus poistu systeemistäsamaan tahtiin. Virralla on siis divergenssiä pintojen S 1 ja S 2 rajaamassatilavuudessa.Tarkastellaan ongelmaa differentiaalimuodossa lähtien varauksen jatkuvuusyhtälöstä∇·J + ∂ρ∂t = 0 (9.3)Varaustiheys voidaan ilmaista Gaussin lain avulla∇·D = ρ (9.4)joten jatkuvuusyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon(∇· J + ∂D )= 0 (9.5)∂tMaxwellin oivallus oli korvata virrantiheys Ampèren laissa ylläolevalla sulkulausekkeellaja tuloksena oli neljäs Maxwellin laeista∇×H = J + ∂D(9.6)∂tjota voi hyvällä syyllä kutsua Ampèren ja Maxwellin laiksi. Termiä ∂D/∂tkutsutaan kentänmuutosvirraksi, kenttävirraksi tai siirrosvirraksi.Maxwellin idea siirrosvirrasta oli puhtaasti teoreettinen, sillä sen vaikutuson niin pieni, että mikään tuolloinen mittaus ei ollut ristiriidassa Ampèrenlain kanssa. Siirrosvirta alkaa olla verrattavissa johtavuusvirtaan vasta,kun ωɛ/σ > 0.01 eli johteiden tapauksessa taajuuksien on oltava erittäin korkeita.Eristeissä tilanne on toinen ja jo tavallisessa 50 Hz vaihtovirtapiirissäolevan kondensaattorin läpi kulkeva virta on siirrosvirtaa. Kondensaattorinsisäistä virtaa ei tosin useinkaan tarvitse tarkastella virtapiirianalyysissä,kuten RLC-piiriä koskeneessa esimerkissä.Koska siirrosvirta tulee näkyviin vasta suurilla taajuuksilla, se liittyysähkömagneettiseen aaltoliikkeeseen luonnollisella tavalla. Heinrich Hertztodensi vuonna 1888 siirrosvirran olemassaolon tutkiessaan sähkömagneettisiaaaltoja. Tämän jälkeen myös Maxwellin alunperin teoreettinen oivallussai kokeellisen perustan.

9.2. MAXWELLIN YHTÄLÖT 115Varauksen jatkuvuusyhtälö seuraa nyt Ampèren ja Maxwellin laistayhdessä Gaussin lain kanssa, joten sitä ei tarvitse ottaa mukaan erillisenäyhtälönä. Tämä ei kuitenkaan tarkoita, että varauksen säilymislaki seuraisiMaxwellin yhtälöistä, vaan sitä, että annetussa tilavuudessa varauksenajallinen muutos kompensoituu alueeseen tulevalla tai siitä poistuvallasähkövirralla, koska varaus säilyy!9.2 Maxwellin yhtälötNyt meillä on koossa koko Maxwellin yhtälöiden ryhmä∇·D = ρ∇·B = 0∇×E = − ∂B∂t∇×H = J + ∂D∂t(9.7)Tässä lähdetermeinä ovatulkoiset (”vapaat”) varaukset ρ ja ulkoiset(”vapaat”) virrat J. Sidotut varaukset ja virrat on kätketty kenttiin Dja H. Mikäli kyseessä ontyhjöä monimutkaisempi väliaine, tarvitaan lisäksirakenneyhtälöt D = D(E, B), H = H(E, B) jaJ = J(E, B).Yhtälöryhmä 9.7 ei kuitenkaan ole sen yleisempi tai rajoitetumpi kuinluvussa 1 esitetty ”tyhjömuodossa” kirjoitettu yhtälöryhmä∇·E = ρ/ɛ 0∇·B = 0∇×E = − ∂B∂t∂E∇×B = µ 0 J + µ 0 ɛ 0∂t(9.8)missä ρ ja J kuvaavat kaikkia varauksia ja virtoja. Esitysmuoto 9.7 onjoitain merkintöjä vaille sama, jossa Maxwell itse esitti yhtälönsä. Muotoa9.8 voi kuitenkin pitää jossain mielessä perustavampana, koska se eiota mitään kantaa mahdollisen väliaineen sähköisiin tai magneettisiin ominaisuuksiin.Vaikka usein puhutaan neljästä Maxwellin yhtälöstä, yhtälöryhmässä 9.8on kuitenkin 8 yhtälöä (2 skalaariyhtälöä ja 6 vektoriyhtälöiden komponenttia).Yhtälöryhmä onlineaarinen, joten ratkaisuille pätee yhteenlaskuperiaate.Mikäli lähdetermit ρ ja J tunnetaan, on jäljellä 6 tuntematonta jayhtälöryhmä riittää mainiosti E:n ja B:n määräämiseen. Jos kuitenkin etsitäänitsekonsistentteja ratkaisuja, tuntemattomia on 10 kpl (E, B, J ja ρ),

116 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖTjoten systeemistä tarvitaan lisätietoa. Sellaiseksi kelpaa esimerkiksi Ohminlaki (J = σE). Kuten aina differentiaaliyhtälöitä ratkottaessa, myös reunaehdottäytyy määrittää oikein.9.3 Sähkömagneettinen kenttä rajapinnallaLuvuissa 3 ja 6 käsiteltiin staattisten sähkö- ja magneettikenttien reunaehtojakahden aineen rajapinnalla. Magneettivuon tiheydelle saatiin yhtälöstä∇·B = 0 normaalikomponentin jatkuvuusehtoB 1n = B 2n (9.9)Tämä pätee myös ajasta riippuvassa kentässä.Tarkastellaan sitten sähkökentän tangentiaalikomponenttia. Sähköstaattisenyhtälön ∇×E = 0 sijasta on käytettävä Faradayn lakia∇×E = − ∂B(9.10)∂tTehdään samanlainen suorakulmainen silmukka kuin luvussa 3 ja integroidaanFaradayn laki silmukan sulkeman pinnan yli∫∫∂B∇×E · n dS = − · n dS (9.11)SS ∂tSovelletaan Stokesin teoreemaa lausekkeen vasemmalle puolelle ja suoritetaanviivaintegraalit:∫lE 1t − lE 2t + h 1 E 1n + h 2 E 2n − h 1 E 1n ′ − h 2 E 2n ′ ∂B= − · n dS (9.12)S ∂tmissä l on silmukan pituus rajapinnan suunnassa, h 1 ja h 2 ovat silmukanetäisyydet rajapinnasta kummankin väliaineen puolella ja E in ja E in ′ ottavathuomioon, että sähkökentän normaalikomponentit saattavat poiketa toisistaansilmukan eri päissä. Kun silmukan korkeus litistetään häviävän pieneksi,häviävät sähkökentän normaalikomponentteja sisältävät termit ja samoinyhtälön oikea puoli, jos ∂B/∂t pysyy äärellisenä. Lopullisesta yhtälöstä jääjäljelle sama jatkuvuusehto kuin sähköstatiikassaE 1t = E 2t (9.13)Sähkövuon tiheyden normaalikomponentin reunaehto on monimutkaisempi,koska nyt pintavaraustiheys voi muuttua. Sekaannusten välttämiseksi merkitäänjohtavuutta σ:lla ja pintavaraustiheyttä σ s :llä. Yhtälöstä ∇·D = ρsaadaan pillerirasialla samannäköinen tulos kuin sähköstatiikassaD 2n − D 1n = σ s (9.14)

9.3. SÄHKÖMAGNEETTINEN KENTTÄ RAJAPINNALLA 117missä D n = D · n ja pinnan normaalivektori n osoittaa aineesta 1 aineeseen2. Toisaalta varaustiheyden muutosta kontrolloi jatkuvuusyhtälö∇·J = − ∂ρ∂t(9.15)josta seuraa analogisestiJ 2n − J 1n = − ∂σ s∂t(9.16)Sovelletaan tätä yksinkertaiseen aaltoliikkeeseen eli oletetaan sähkökentänolevan muotoa E(t) =E 0 e −iωt .Tällöin voidaan korvata ∂/∂t →−iω.Olettamalla lineaarinen väliaine ja käyttämällä rakenneyhtälöitä D = ɛE jaJ = σE voidaan D n :n ja J n :n reunaehdot kirjoittaa yhtälöparinaɛ 2 E 2n − ɛ 1 E 1n = σ sσ 2 E 2n − σ 1 E 1n = iωσ s (9.17)Jos pintavaraustiheys häviää, on oltava ɛ 1 /σ 1 = ɛ 2 /σ 2 , mikä voidaan saadaaikaan valitsemalla sopivat väliaineet. Yleisesti σ s ei häviä, joten se voidaanratkaista yhtälöparista ja sähkökentän normaalikomponentille saadaan(ɛ 1 + i σ 1ω) (E 1n =ɛ 2 + i σ 2ω)E 2n (9.18)Tarkasteltaessa H-vektorin tangentiaalikomponenttia täytyy kentänmuutosvirtahuomioida∇×H = J + ∂D(9.19)∂tTangentiaalikomponentin reunehto löytyy jälleen suorakulmaisesta silmukasta.Samoin kuin Faradayn laissa oletettiin ∂B/∂t:n pysyvän äärellisenä silmukkaakutistettaessa, nyt pidetään ∂D/∂t äärellisenä jajäljelle jää magnetostatiikastatuttu reunaehton × (H 2 − H 1 )=K (9.20)missä K on pintavirran tiheys ja pinnan normaalivektori n osoittaa alueesta1 alueeseen 2. Pintavirran tiheys on nolla, jos väliaineen johtavuus on äärellinen.Siis ellei väliaineen johtavuus ole ääretön, magneettikentän tangentiaalikomponenttion jatkuva.Tarkastellaan lopuksi tilannetta, jossa väliaineen 2 johtavuus on ääretön.Ampèren ja Maxwellin laki väliaineelle 2 on∇×H 2 = J 2 + ∂D 2∂t(9.21)

118 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖTOlettamalla harmoninen aikariippuvuus e −iωt ja käyttämällä rakenneyhtälöitäsaadaan1E 2 = ∇×H 2 (9.22)σ 2 − iωɛ 2Jos ∇×H 2 on rajoitettu, niin ehto σ 2 →∞edellyttää, että E 2 = 0. Olettaenmyös H 2 :n aikariippuvuus harmoniseksi Faradayn laki ja lineaarinenrakenneyhtälö B = µH antavatH 2 = 1iωµ 2∇×E 2 (9.23)ja siten myös H 2 häviää. Tämä kaikki tarkoittaa sitä, ettäsähkömagneettinenaalto ei etene äärettömän hyvään johteeseen.9.4 Sähkömagneettinen energia ja liikemääräPeriaatteessa koko elektrodynamiikka on nyt hallinnassa. Kurssin alkuosassatuli kuitenkin esille ongelmia liikemäärän ja liikemäärämomentin säilymislakienkanssa. Samoin jäi epäselväksi, mille oliolle esimerkiksi sähköstaattinenenergia oikein kuuluu.9.4.1 Poyntingin teoreema: energian säilyminenTarkastellaan aluksi yksittäistä sähkömagneettisessa kentässä liikkuvaa varauksellistahiukkasta. Siihen vaikuttaa Lorentzin voima F = q(E + v × B).Mekaniikassa on opittu, että voima tekee työtä teholla F·v, joten hiukkasenmekaanisen energian muutosnopeuden määrää sähkökenttä, koska magneettikenttäeiteetyötä:dW mek= qv · E (9.24)dtMuita kuin sähkömagneettisia voimia ei tässä yhteydessä oteta huomioon.Yleistys jatkuvalle virrantiheydelle alueessa V antaa hiukkassysteemin mekaanisenenergian muutosnopeudeksidW mekdt∫=VJ · E dV (9.25)Aletaan muokata pistetuloa J · E käyttäen Maxwellin yhtälöitä väliainemuodossa.Amperen ja Maxwellin laki antaaJ · E = E ·∇×H − E · ∂D∂t(9.26)

9.4. SÄHKÖMAGNEETTINEN ENERGIA JA LIIKEMÄÄRÄ 119Oikean puolen ensimmäinen termi houkuttelee käyttämään tulon derivoimiskaavaa∇·(E × H) =H ·∇×E − E ·∇×H, josta Faradayn lakia käyttäentulee∇·(E × H) =−H · ∂B − E ·∇×H (9.27)∂tTähän mennessä on siis saatuJ · E = −∇ · (E × H) − (E · ∂D∂t + H · ∂B∂t ) (9.28)Oletetaan nyt, että väliaine on yksinkertaista (LIH), jolloinJ · E = −∇ · (E × H) − ∂ ∂t (1 2 D · E + 1 B · H) (9.29)2Statiikassa opitun perusteella on luonnollista tulkita, että jälkimmäisen sulkulausekkeensisällä onsähkömagneettisen kentän energiatiheysw em = 1 2 D · E + 1 2 B · H (9.30)Kun vielä määritellään Poyntingin vektoriS = E × H (9.31)saadaan Poyntingin teoreema differentiaalimuodossa jatkuvuusyhtälönä∂w em+ ∇·S = −J · E (9.32)∂tTulkintaa helpottaa vertailu varauksen jatkuvuusyhtälöön ∂ρ/∂t+∇·J =0,joka seuraa varauksen säilymislaista. Poyntingin teoreema on siis hiukkastenja kentän muodostaman systeemin energian säilymislaki. Nähdään myös,ettähyvällä syylläsähkömagneettista kenttää voidaan pitää itsenäisenä fysikaalisenaoliona. Tämä tulkinta vahvistuu muiden säilymislakien yhteydessä.Termi J · E ilmaisee sen, että kenttä ja hiukkaset voivat vaihtaa energiaakeskenään.Integroimalla jatkuvuusyhtälö alueen V yli ja käyttämällä divergenssiteoreemaasaadaan Poyntingin teoreema havainnolliseen integraalimuotoon∫ddt (W mek + W em )=− S · dA (9.33)∂VTämän perusteella voidaan kvalitatiivisesti ajatella, että Poyntingin vektori”kuljettaa energiaa” (yksikkö on J/(m 2 s) eli energiavuon yksikkö).Tällainen tulkinta johtaa kuitenkin erikoiselta vaikuttaviin tilanteisiin yksinkertaisissakinesimerkeissä, kuten tasavirtajohtimessa.Ei ole itsestään selvää, että Poyntingin vektorin ”oikea” lauseke on 9.31.Poyntingin teoreeman differentiaalimuodon perusteella vektoriin S voitaisiinlisätä roottorikenttä. Monimutkaisempiakin muunnelmia on olemassa, muttasilloin myös energiatiheyden lauseketta on muutettava. Oleellista on, ettäenergian säilymislain muoto ei muutu. Pohjimmiltaan kyse on siitä, etteisähkömagneettisen kentän energiaa voida paikallistaa.

120 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT9.4.2 Maxwellin jännitystensoriPalataan kuvan 5.3 tilanteeseen: rikkooko elektrodynamiikka liikemääränsäilymislakia? Vastaus on kielteinen. Ratkaisu on siinä, että SM-kentälläon energian lisäksi liikemäärää. Säilyvä suure on hiukkasten ja kenttienyhteenlaskettu liikemäärä. Tämän näkemiseksi on tarkastellaan Maxwellinjännitystensoria ajasta riippuvassa tilanteessa.Oletetaan väliaine tyhjön kaltaiseksi. Kaikkien tilavuudessa V olevienhiukkasten liikemäärien summa p mek noudattaa Newtonin toista lakiaF = dp mekdt∫=V∫ρ(E + v × B) dV =V(ρE + J × B) dV (9.34)joten voimatiheys onf = ρE + J × B (9.35)Eliminoidaan ρ ja J Maxwellin yhtälöiden avulla, jolloinf = ɛ 0 (∇·E)E +( )1 ∂E∇×B − ɛ 0 × B (9.36)µ 0 ∂tNyt∂E∂t × B = ∂ (E × B)+E × (∇×E) (9.37)∂tmissä viimeisessä termissä onkäytetty Faradayn lakia. Voimatiheys on sitenf = ɛ 0 [(∇·E)E − E × (∇×E)] − 1 ∂[B × (∇×B)] − ɛ 0 (E × B) (9.38)µ 0 ∂tLauseke saadaan symmetrisemmäksi lisäämällä termi (∇·B)B/µ 0 , joka onaina nolla. Kenttien roottorilausekkeet voi kirjoittaa auki kaavalla (HT)E × (∇×E) = 1 2 ∇(E2 ) − (E ·∇)E (9.39)ja samoin B:lle. Näin voimatiheys on saadaan muotoonf = ɛ 0 [(∇·E)E +(E ·∇)E]+ 1 [(∇·B)B +(B ·∇)B]µ 0− 1 (2 ∇ ɛ 0 E 2 + 1 )B 2 ∂− ɛ 0 (E × B) (9.40)µ 0 ∂tTämä siistiytyy määrittelemällä Maxwellin jännitystensori T :T ij = ɛ 0(E i E j − 1 2 δ ijE 2 )+ 1 µ 0(B i B j − 1 2 δ ijB 2 )(9.41)

9.4. SÄHKÖMAGNEETTINEN ENERGIA JA LIIKEMÄÄRÄ 121Tensorin T divergenssi on vektori, jonka komponentit ovat(∇·T) j = ɛ 0[(∇·E)E j +(E ·∇)E j − 1 2 ∇ jE 2 ]+ 1 µ 0[(∇·B)B j +(B ·∇)B j − 1 2 ∇ jB 2 ](9.42)Nämä ovat Poyntingin vektorin aikaderivaattaa vaille voimatiheyden komponentit,joten∂Sf = ∇·T −ɛ 0 µ 0 (9.43)∂tIntegroidaan tämä tilavuuden V yli ja kirjoitetaan jännitystensorista riippuvaosa pintaintegraaliksi. Tällöin kokonaisvoima on∮F =∂VT·n da − ɛ 0 µ 0ddt∫VS dV (9.44)Staattisessa tilanteessa sähkömagneettinen kokonaisvoima määräytyy jännitystensoristapelkästään tarkasteltavan alueen reunalla. Siis T laskettunaalueen reunalla jotenkin pitää sisällään voimien kannalta olennaisen tiedonkentistä koko alueessa.Voimien laskeminen jännitystensorista ei rajoitu elektrodynamiikkaan.Mekaniikasta tuttu energia-impulssitensori on formaalisti samanlainen otus,yleinen suhteellisuusteoria formuloidaan Einsteinin tensorin avulla jne.9.4.3 Liikemäärän ja liikemäärämomentin säilyminenPalataan sitten liikemäärän säilymiseen. Newtonin toisen lain mukaan hiukkaseenvaikuttava voima on yhtä suuri kuin sen liikemäärän aikaderivaattaF = dp mek(9.45)dtmissä alaindeksi mek viittaa mekaaniseen liiketilan muutokseen. Toisaaltadp mekdt∮=∂VT·n da − ɛ 0 µ 0ddt∫VS dV (9.46)Tämän voi tulkita samaan tapaan kuin Poyntingin teoreeman. Oikean puolenensimmäinen termi kertoo liikemäärän virtauksen aikayksikössä pinnan ∂Vläpi ja jälkimmäinen termi puolestaan kenttiin kertyneen liikemäärän muutoksen.Siis sähkömagneettisen kentän liikemäärä on∫p em = ɛ 0 µ 0 S dV (9.47)Yhteenlasketun sähkömagneettisen ja mekaanisen liikemäärän muutos vastaatarkastelualueeseen kenttien mukanaan tuomaa liikemäärää.V

122 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖTOlkoon ˆp mek mekaaninen liikemäärätiheys. Määritellään vastaavasti SMkentänliikemäärätiheysˆp em = ɛ 0 µ 0 S (9.48)Tällöin liikemäärän säilyminen voidaan ilmaista differentiaalimuodossa∂∂t (ˆp mek +ˆp em )=∇·T (9.49)Todetaan vielä lopuksi, ettäsähkömagneettisella kentälläonmyös liikemäärämomenttiaeli impulssimomenttia. Sen tiheys määritelläänˆlem = r × ˆp em = ɛ 0 µ 0 r × S (9.50)Myös kokonaisimpulssimomentti on säilyvä suure.9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössäSiirrosvirtatermin ansiosta Maxwellin yhtälöillä on ratkaisunaan sähkömagneettinenaaltoliike. Tarkastellaan tilannetta ensiksi tyhjössä (ρ =0,J = 0). Ottamalla roottori Ampèren ja Maxwellin laista saadaan∇×∇×B = ɛ 0 µ 0∂(∇×E)∂t= −ɛ 0 µ 0∂ 2 B∂t 2 (9.51)josta kirjoittamalla vasemman puolen roottorit auki ja käyttämällä magneettikentänlähteettömyyttä saadaan aaltoyhtälö∇ 2 ∂ 2 BB − ɛ 0 µ 0∂t 2 = 0 (9.52)Ottamalla puolestaan roottori Faradayn laista ja huomioimalla, että myöskäänsähkökentällä ei ole tyhjössä lähteitä, saadaan sähkökentälle samayhtälö∇ 2 ∂ 2 EE − ɛ 0 µ 0∂t 2 = 0 (9.53)Tällainen aalto etenee nopeudella c =1/ √ ɛ 0 µ 0 eli valon nopeudella.9.5.2 PotentiaaliesitysTarkastellaan seuraavaksi Maxwellin yhtälöiden ratkaisemista olettamallakenttien lähteet ρ ja J tunnetuiksi. Esitetään tarkastelu tyhjönkaltaisessaväliaineessa (ɛ 0 ,µ 0 ) kentille E ja B. Siirtyminen lineaariseen väliaineeseenon suoraviivaista.

9.5. AALTOYHTÄLÖ JA KENTTIEN LÄHTEET 123Ongelmaa on tehokkainta lähestyä käyttämällä kenttien skalaari- ja vektoripotentiaalejaφ ja A. Yhtälöstä ∇·B = 0 seuraa, että magneettivuontiheys voidaan esittää muodossa B = ∇×A. Sijoittamalla tämä Faradaynlakiin saadaan∇×E + ∂ ∇×A = 0 (9.54)∂tFysikaalisen siisteille kentille aika- ja paikkaderivaattojen järjestyksen voivaihtaa, joten(∇× E + ∂A )= 0 (9.55)∂teli voidaan kirjoittaa E + ∂A/∂t = −∇ϕ. Sähkökenttä on siis muotoaE = −∇ϕ − ∂A∂t(9.56)eli sähköstaattisen potentiaalin lisäksi Faradayn laki tuo vektoripotentiaalinaikamuutoksesta johtuvan osuuden sähkökenttään. Näin kenttien kuusi komponenttiaon ilmaistu neljän muuttujan (ϕ, A) avulla. Tähän on tarvittuneljä Maxwellin yhtälöiden kahdeksasta skalaarikomponentista, joten jäljelläon neljä yhtälöä neljän tuntemattoman ratkaisemiseen. Coulombin ja Ampèrenja Maxwellin lait saadaan muotoon∇ 2 ϕ + ∂(∇·A)∂t= −ρ/ɛ 0 (9.57)∇ 2 A − 1 ∂ 2 (Ac 2 ∂t 2 −∇ ∇·A + 1 )∂ϕc 2 = −µ 0 J (9.58)∂tSaatu yhtälöryhmä näyttää pahemmalta kuin alkuperäiset Maxwellin yhtälöt,mutta sille löytyy käteviä ratkaisumenetelmiä.Koska kentät B ja E muodostuvat potentiaalien derivaatoista, voidaanpotentiaaleihin lisätä sellaisia tekijöitä, jotka katoavat derivoitaessa. Onhelppo nähdä, että seuraava muunnos ei vaikuta kenttiin:A → A ′ = A + ∇Ψ (9.59)ϕ → ϕ ′ = ϕ − ∂Ψ/∂t (9.60)Näitä mittamuunnoksia käsitellään tarkemmin luvussa 9.6.Yksi tapa säilyttää alkuperäiset kentät on edellyttää, että∇·A + 1 c 2 ∂ϕ∂t = 0 (9.61)Tätä kutsutaan Lorenzin mittaehdoksi ja kyseistä mittaa Lorenzin mitaksi.Tällöin jäljellä olevat yhtälöt yksinkertaistuvat epähomogeenisiksi

124 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖTaaltoyhtälöiksi((∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2∂t 2 )ϕ = −ρ/ɛ 0 (9.62)∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2∂t 2 )A = −µ 0 J (9.63)joille tunnetaan yleisiä ratkaisumenetelmiä. Historiallinen huomautus: kyseessäon todellakin Lorenzin mitta eikä Lorentzin mitta. Lorenz oli tanskalainenja Lorentz hollantilainen fyysikko.9.5.3 Viivästyneet potentiaalitEdellä onlöydetty itse asiassa neljä karteesisissa koordinaateissa toisistaanriippumatonta skalaariyhtälöä, joten ratkaisumenetelmän kannalta riittäätarkastella yhtälöä ϕ:lle. Staattisen kentän tapauksessa kyseessä olisi tuttuPoissonin yhtälö, jonka ratkaisuja ovat Laplacen yhtälön yleiset ratkaisutsekä jokin Poissonin yhtälön erikoisratkaisu.Ratkaistaan aaltoyhtälö ensin yhdelle varaukselle, joka on sijoitettu origoon.Tällöin homogeeninen aaltoyhtälö(∇ 2 − 1 ∂ 2 )c 2 ∂t 2 ϕ = 0 (9.64)pätee kaikkialla muualla kuin origossa. Koska tilanne on pallosymmetrinen,ϕ = ϕ(r) ja homogeeninen aaltoyhtälö voidaan kirjoittaa pallokoordinaatistossa∂ 2 (rϕ)∂r 2 − 1 ∂ 2 (rϕ)c 2 ∂t 2 = 0 (9.65)Tällä on tutut ±r-suuntiin etenevät ratkaisutrϕ = f(r − ct)+g(r + ct) (9.66)Näistä f(r −ct) etenee poispäin varauksesta ja g(r +ct) etenee kohti varausta.Koska haluamme ymmärtää varauksen vaikutusta ympäristöönsä, riittäätarkastella ratkaisua f.On siis löydetty homogeeniselle aaltoyhtälölle pallosymmetrinen ratkaisuf(r − ct)ϕ = (9.67)rja nyt määritetään funktion f muoto. Staattisessa tapauksessa potentiaalionϕ =q4πɛ 0 r(9.68)

9.5. AALTOYHTÄLÖ JA KENTTIEN LÄHTEET 125ja nyt ilmeisesti q = q(t). Kirjoitetaan f ajan funktiona f(t − r/c), missävakio −c on upotettu määrättävään funktioon itseensä. Näin ollen ajanhetkellät − r/c on voimassaf(t − r/c) =q(t − r/c)4πɛ 0(9.69)ja yksittäisen varauksen epähomogeenisella aaltoyhtälöllä on ratkaisuϕ(r, t) =q(t − r/c)4πɛ 0 r(9.70)Integroimalla kaikkien varausten yli saadaanϕ(r,t)= 14πɛ 0∫Vρ(r ′ ,t ′ )|r − r ′ | dV ′ = 14πɛ 0∫Vρ(r ′ ,t−|r − r ′ |/c)|r − r ′ |dV ′ (9.71)missä t ′ = t −|r − r ′ |/c on viivästynyt aika. Potentiaalia ϕ kutsutaanviivästyneeksi skalaaripotentiaaliksi, koska se huomioi ajan, joka kuluukustakin pisteestä tarkastelupisteeseen nopeudella c etenevältä signaalilta(HT: piirrä kuva).Vektoripotentiaalin aaltoyhtälön kukin komponentti on matemaattisestiaivan samanlainen kuin skalaripotentiaalin aaltoyhtälö, joten jokaisellekomponentille on olemassa sama ratkaisu. Kokoamalla kaikki komponentityhteen saadaan viivästynyt vektoripotentiaaliA(r,t)= µ ∫04π VJ(r ′ ,t ′ )|r − r ′ | dV ′ = µ ∫04π VJ(r ′ ,t−|r − r ′ |/c)|r − r ′ |dV ′ (9.72)Näin on ratkaistu skalaari- ja vektoripotentiaalit annettujen varaus- ja virtajakautumienfunktioina. Sähkö- ja magneettikentät saadaan näistä suoraviivaisesti:E = −∇ϕ − ∂A/∂t ja B = ∇×A. Käytännössä derivaattojenlaskeminen on usein työlästä. Sen vaikeutta on hyvä kokeilla sijoittamallapotentiaalien integraalilausekkeet takaisin aaltoyhtälöön.Tutustumme kurssin lopulla suppeampaan suhteellisuusteoriaan, jossavektori- ja skalaaripotentiaalien aaltoyhtälöt voidaan koota nelipotentiaalinA α =(ϕ, A i ) aaltoyhtälöksi(∂ 2 A α ≡ ∇ 2 − 1 ∂ 2 )c 2 ∂t 2 A α = −j α (9.73)missä nelivirran j α komponentit ovat (ρ/ɛ 0 ,µ 0 J i ). Osoittautuu, että Maxwellinyhtälöt ovat Lorentz-invariantteja eli valmiiksi kelvollisia suhteellisuusteorianpätevyysalueelle. Historiallisesti juuri elektrodynamiikka johtiEinsteinin suhteellisuusteorian jäljille. Taas historiallinen huomautus: mittaon Lorenzin, mutta invarianssi Lorentzin.

126 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktioTarkastellaan aaltoyhtälön ratkaisua käyttämällä luvussa 2.11 esitettyä Greeninfunktion ideaa. Sekä A:n että ϕ:n aaltoyhtälöt ovat muotoa∇ 2 ψ − 1 ∂ 2 ψc 2 = −4πf(r,t) (9.74)∂t2 missä f(r,t) on tunnettu lähdetermi. Tehdään sekä ψ:lle että f:lle Fouriermuunnosajan suhteenψ(r,t)= 12π∫∞−∞ψ(r,ω)e −iωt dω ; f(r,t)= 12π∫∞−∞f(r,ω)e −iωt dω (9.75)Sijoittamalla nämä aaltoyhtälöön ja merkitsemällä k = ω/c saadaan Fourierkomponenteille(∇ 2 + k 2 ) ψ(r,ω)=−4πf(r,ω) (9.76)Tämäonepähomogeeninen Helmholtzin aaltoyhtälö, joka tapauksessak = 0 palautuu Poissonin yhtälöksi. Sen Greenin funktion täytyy toteuttaayhtälö(∇ 2 + k 2 )G k (r; r ′ )=−4πδ(r − r ′ ) (9.77)Epähomogeenisen aaltoyhtälön ratkaisu on silloin∫ψ(r,ω)= G k (r, r ′ ,ω)f(r ′ ,ω) dV ′ (9.78)johon voidaan lisätä homogeenisen aaltoyhtälön ratkaisuja.Koska aaltoyhtälöä joudutaan käytännössä ratkomaan heijastavien reunojen,aaltoputkien jne. yhteydessä, Greenin funktion muoto riippuu ongelmanreunaehdoista (vrt. pallon Greenin funktio luvussa 2.11). Tarkastellaannyt reunatonta avaruutta, jolloin G k on pallosymmetrinen ja riippuu ainoastaantarkastelupisteen ja lähdepisteen etäisyydestä R = |r − r ′ |, jotenpallokoordinaateissa∇ 2 G k = 1 (∂R 2 R 2 ∂G )k= 1 ∂ 2∂R ∂R R ∂R 2 (RG k) (9.79)Koska R on ainoa muuttuja, voidaan käyttää kokonaisderivaattaad 21R dR 2 (RG k)+k 2 G k = −4πδ(r − r ′ ) (9.80)Muualla kuin pisteessä R =0tämä yksinkertaistuu yhtälöksid 2dR 2 (RG k)+k 2 (RG k ) = 0 (9.81)

9.5. AALTOYHTÄLÖ JA KENTTIEN LÄHTEET 127jonka ratkaisut ovatRG k = Ae ikR + Be −ikR (9.82)Rajalla R → 0 kR ≪ 1 ja 9.80 palautuu Poissonin yhtälöksi, jonka ratkaisukäyttäytyy kuten 1/R.Tämä antaa sidosehdon A+B = 1 ja Greenin funktioon muotoaG k (R) =AG + k (R)+BG− k(R) (9.83)missä G ± k= e ±ikR /R. G + kkuvaa origosta poispäin etenevää palloaaltoaja G − korigoon tulevaa palloaaltoa kuten edellisessäkin luvussa esitetyssäratkaisussa.A ja B määräytyvät reunaehdoista ajan suhteen. Jos lähde on hiljaahetkeen t = 0 asti ja alkaa sitten vaikuttaa, ulospäin etenevä ratkaisu AG + kon fysikaalisesti mielekäs valinta. Jos aallon amplitudi on annettu sopivillareunaehdoilla, myös BG − kvoi olla käyttökelpoinen.Tarkastellaan sitten ajasta riippuvaa Greenin funktiota, joka toteuttaayhtälön(∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2∂t 2 )G ± (r,t; r ′ ,t ′ )=−4πδ(r − r ′ )δ(t − t ′ ) (9.84)Koskaδ(t − t ′ )= 12π∫∞−∞dω e iwt′ e −iwt (9.85)voidaan lähdetermi yhtälössä 9.77 kirjoittaa muodossa −4πδ(r − r ′ )e iωt′ajasta riippuva Greenin funktio onjaG ± (R, τ) = 12π∫∞−∞e ±ikRR e−iωτ dω (9.86)missä τ = t − t ′ . Äärettömän avaruuden Greenin funktio riippuu siis vainlähteen ja havaitsijan välisestä etäisyydestä R ja aikaerosta t − t ′ . Koskak = ω/c, voidaan ω-integraali laskea ja lopputulos onG ± (r,t; r ′ ,t ′ )=1|r − r ′ | δ(t′ − [t ∓|r − r ′ |/c]) (9.87)Nyt G + on viivästynyt Greenin funktio ja G − puolestaan edistynyt Greeninfunktio.Epähomogeenisen aaltoyhtälön ratkaisu on siis∫ ∫ψ ± (r,t)= G ± (r,t; r ′ ,t ′ )f(r ′ ,t ′ ) dV ′ dt ′ (9.88)

128 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖTjohon voi lisätä homogeenisen aaltoyhtälön ratkaisuja. Viivästyneelle Greeninfunktiolle ratkaisu on tietenkin sama kuin edellä suoremmalla laskullalöytynyt ratkaisu. Tässä esitetty menetelmä on kuitenkin yleisempi jakäyttökelpoisempi tarkasteltaessa monimutkaisempia olosuhteita kuin yksinkertaistalähdettä reunattomassa avaruudessa.9.6 MittainvarianssiAaltoyhtälön ratkaisu helpottui valitsemalla sopiva mitta. Tämän teki mahdolliseksiMaxwellin yhtälöiden tärkeä ominaisuus: mittainvarianssi. Kenttienpotentiaaleja voidaan muuttaa tietyllä yleisellä tavalla ilman, että kentätitse muuttuvat. Elektrodynamiikan mittamuunnokset ovat muotoaA → A ′ = A + ∇Ψ (9.89)ϕ → ϕ ′ = ϕ − ∂Ψ/∂t (9.90)Funktiota Ψ kutsutaan mittafunktioksi ja se voidaan valita usealla eritavalla. Yksi näistä on edellä käytetty Lorenzin mittaehto∇·A ′ + 1 ∂ϕ ′c 2 ∂t = 0 (9.91)Tällöin mittafunktion Ψ on toteutettava aaltoyhtälö∇ 2 ψ − 1 c 2 ∂ 2 ψ∂t 2= −∇ · A − 1 c 2 ∂ϕ∂t(9.92)Jos siis potentiaalit A ja ϕ eivät toteuttaisi Lorenzin mittaehtoa, niin uudetpotentiaalit A ′ ja ϕ ′ toteuttavat sen edellyttäen, että Ψ voidaan ratkaistaaaltoyhtälöstä.Voidaan osoittaa, että Lorenzin mittaehdon toteuttava funktio Ψ onaina olemassa, mutta se ei ole yksikäsitteinen. Lorenzin mitan etu on, ettäsitä käytettäessä yhtälöiden Lorentz-kovarianssi näkyy eksplisiittisesti ja tulokseton suoraviivaista siirtää koordinaatistosta toiseen. Käytännön laskutvoivat kuitenkin olla hyvin monimutkaisia.Useissa tapauksissa laskennallisesti yksinkertaisempi vaihtoehto on Coulombinmitta, jonka mittaehto onVektoripotentiaali saadaan muunnoksella∇·A ′ = 0 (9.93)∇ 2 Ψ=−∇ · A (9.94)

9.6. MITTAINVARIANSSI 129joka määrittää mittafunktion additiivista vakiota vaille yksikäsitteisesti, josA → 0 ja ϕ → 0, kun r → ∞. Coulombin mitassa skalaaripotentiaaliratkaistaan yhtälöstä 9.57ϕ(r,t)= 14πɛ 0∫Vρ(r ′ ,t)|r − r ′ | dV ′ (9.95)Nyt aika ei ole viivästetty, vaan skalaaripotentiaali määräytyy samanaikaisestavarausjakautumasta kaikkialla. Tämä merkitsee, että Coulombin mittaei ole Lorentz-kovariantti. Koska mitta on kuitenkin kelvollinen Maxwellinyhtälöille, tästä ei seuraa ristiriitaa kenttien E ja B osalta. Coulombin mittaakäytettäessä on kuitenkin oltava tarkkana koordinaatistonmuutosten kanssa.Coulombin mitassa vektoripotentiaalille tulee aaltoyhtälö∇ 2 A − 1 c 2 ∂ 2 A∂t 2= 1 c 2 ∇∂ϕ ∂t − µ 0J (9.96)Oikean puolen ensimmäinen termi on pyörteetön. Helmholtzin teoreemanmukaan vektorikenttä F voidaan jakaa pyörteettömään ja lähteettömäänosaanF = F l + F t ; ∇×F l =0; ∇·F t =0missä l viittaa pitkittäiseen (longitudinaaliseen, pyörteettömään) ja t poikittaiseen(transversaaliseen, lähteettömään) osuuteen. Käyttämällä virranjatkuvuusyhtälöä aaltoyhtälö saadaan muotoon (ks. esim. Jackson)∇ 2 A − 1 ∂ 2 Ac 2 ∂t 2 = −µ 0J t (9.97)Koska vektoripotentiaali määräytyy vain virran poikittaisesta komponentista,Coulombin mittaa kutsutaan usein poikittaismitaksi. Se tunnetaanmyös nimellä säteilymitta, koska sähkömagneettiset säteilykentät saadaanlasketuksi viivästyneestä vektoripotentiaalista∫ Jt (r ′ ,t−|r − r ′ |/c)A(r,t)= µ 04π |r − r ′ dV ′ (9.98)|mikä on olennaisesti helpompaa kuin säteilykenttien laskeminen Lorenzinmitasta. Coulombin mitta erottelee annetussa koordinaatistossa sähkökentänstaattiseen (s) ja induktiiviseen (i) osaanE s = −∇ϕ ; E i = −∂A/∂t (9.99)Klassinen elektrodynamiikka on ensimmäinen esimerkki mittainvarianteistafysiikan perusteorioista. Mittakentän käsitteestä on tullut erittäinkeskeinen osa fysiikan perusteorioissa kuten kvanttielektrodynamiikassa, sähköheikonvuorovaikutuksen teoriassa, kvanttikromodynamiikassa ja näitäyhdistävissä yhtenäiskenttäteorioissa. Esimerkkinä olkoon vuoden 1999 Nobelinpalkinto, jonka saivat Gerardus t’Hooft ja Martinus Veltman töistäänkvanttikromodynamiikan ei-abelisten mittakenttien parissa.

130 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT

Luku 10Sähkömagneettiset aallotSähkömagneettisten aaltojen spektri on erittäin laaja. Esimerkkejä löytyyhyvin matalista taajuuksista aina gammasäteisiin, joiden taajuudet ovatsuuruusluokkaa 10 20 −10 22 Hz. Aaltoliikkeen merkityksen ymmärtänee vilkaisemallaympärilleen.10.1 Tasoaallot eristeessäEristeellä tarkoitetaan tässä yhteydessä niin huonosti johtavaa väliainetta,ettei sähkönjohtavuutta σ tarvitse huomioida (ωɛ >> σ). Tutkitaan aaltoyhtälönratkaisua monokromaattiselle aallolle, jolla on nimensä mukaisestivain yksi taajuus. Tämä tarkoittaa olennaisesti samaa kuin tarkastella aallonFourier-komponentteja erikseen. Tällöin on hyödyllistä käyttää kompleksilukuesitystäja kirjoittaa aikariippuvuus muodossa e −iωt , esimerkiksiE(r,t)=E(r)e −iωt (10.1)Etuna on aikaderivaatan korvautuminen tekijällä −iω. Kirjallisuudessa onyleisesti käytössämyös aikariippuvuus e +iωt . Esitykseen liittyy sopimus, ettäfysikaalinen suure on kompleksisuureen reaaliosa (voitaisiin myös käyttääimaginaariosaa).Aaltoyhtälö∇ 2 E − 1 ∂ 2 Ec 2 ∂t 2 = 0 (10.2)monokromaattiselle aallolle on(∇ 2 + ω2)E(r) = 0 (10.3)c2 131

132 LUKU 10. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOTTämä Helmholtzin yhtälö kuvaa aallon muutosta paikan funktiona. Oletetaan,että kenttä on riippumaton x- jay-koordinaateista. Tällöind 2 E(z)dz 2+ ω2E(z) = 0 (10.4)c2 Tämä on harmonisen värähtelijän yhtälö, jolla on ratkaisunaE(z) =E 0 e ±ikz (10.5)missä E 0 on vakiovektori ja k = ω/c on aaltoluku. Aaltoyhtälöllä on siisratkaisunaE(r,t)=E 0 e −i(ωt∓kz) (10.6)jonka reaaliosa onE(r,t)=E 0 cos(ωt ∓ kz) =E 0 cos ω(t ∓ z/c) (10.7)Kyseessä on joko +z- tai −z-akselin suuntaan nopeudella c = 1/ √ ɛ 0 µ 0etenevä siniaalto. Aaltoluku voidaan yleisemmin esittää vektorina k, jolloinaallon paikkariippuvuus tulee muotoon e ik·r . Aaltoyhtälön ratkaisu eivälttämättä toteuta Maxwellin yhtälöitä, vaan niistä seuraa lisäehtoja, joihinpalataan kohta.Edelläonkäytetty aaltoliikeopista tuttuja käsitteitä. Kulmataajuudenω yksikkö on radiaania sekunnissa. Vastaava värähtelytaajuus on f =ω/2π, jonka yksikkö on puolestaan hertsi (Hz). Aaltoluvun yksikkö onm −1ja vastaava aallonpituus on λ =2π/k. Aallon vaihenopeus on v p = ω/k,joka tyhjössä on sama kuin valon nopeus.Mikäli väliaineen µ ja ɛ poikkeavat tyhjön suureista, vaihenopeus onv =1/ √ ɛµ (10.8)Tällöin taajuuden ja aaltoluvun välinen relaatio eli dispersioyhtälök = ω v = n c ω (10.9)missä onmääritelty väliaineen taitekerroin√ ɛµn = = √ ɛ r µ r (10.10)ɛ 0 µ 0Taitekerroin on tärkeä parametri tarkasteltaessa aaltojen heijastumista jataittumista väliaineiden rajapinnoilla.Muotoa e −i(ωt−k·r) olevia Maxwellin yhtälön ratkaisuja kutsutaan tasoaalloiksi.Mikäli yhtälöillä voidaan annetussa tilanteessa olettaa olevantasoaaltoratkaisuja, voidaan myös paikkaderivaatat korvata seuraavasti:∇ → ik∇· → ik ·∇× → ik×

10.1. TASOAALLOT ERISTEESSÄ 133Tasoaallolle voidaan löytää suunta, jota vastaan kohtisuoralla, mutta muutenmielivaltaisella tasolla aallon vaihe on annetulla hetkellä sama kaikissa tasonpisteissä. Eristeessä tämä onyhtäpitävää sen kanssa, että kyseisillä tasoillasähkö- ja magneettikentät ovat vakioita. Vaihenopeus tarkoittaa puolestaanvakiovaiheen (k · r − ωt = vakio) etenemisnopeutta. Johtavissa väliaineissavakiovaiheen ja vakiokenttien välinen relaatio on monimutkaisempi.Oletetaan, ettei väliaineessa ole vapaita varauksia eikä virtoja. Tasoaalloillesaadaan Maxwellin yhtälöistä yhtälöryhmäk · D = 0k · B = 0k × E = ωB (10.11)k × H = −ωDHuom. Tasoaallon kenttävektoreita merkitään joskus lisäämällä niiden päällehattu (Ê), mutta tässä ei ole sekaannuksen vaaraa muistaen, että nyt aikajapaikkariippuvuudet ovat eksponenttifunktiossa. Jos on tarpeen erotellatasoaallon vektori vektorista E(r,t), kirjoitetaan edellinen mieluumminE(k,ω) tai E k,ω .Myös E(k,ω) on yleisesti kompleksivektori.Oletetaan väliaine lineaariseksi ja kirjoitetaan ɛ = ɛ r ɛ 0 .Käytännössäkaikilla lineaarisilla väliaineilla µ = µ 0 on hyvä approksimaatio. Silloink · E = 0k · B = 0k × E = ωB (10.12)k × B = − ω c 2 ɛ r EVektorit k, E ja B ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja aaltoa kutsutaanpoikittaiseksi (transversaaliseksi) (kuva 10.1).Sähkö- ja magneettikentän välinen suhde seuraa Faradayn lakia vastaavastayhtälöstä: B =(k/ω)E. Aaltoluvun itseisarvo saadaan laskemallak × (k × E) =ωk × B = −ɛ rω 2Toisaalta k × (k × E) =(k · E)k − k 2 E = −k 2 E, jotenc 2 E (10.13)ω 2−ɛ rc 2 E = −k2 E (10.14)eli dispersioyhtälö saa muodonk = √ ωɛ rc = n ω (10.15)c

134 LUKU 10. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOTEkBKuva 10.1: Sähkömagneettisen tasoaallon sähkökenttä E ja magneettikenttäB ovat toisiaan ja etenemissuunnan ilmaisevaa aaltolukuvektoria k vastaankohtisuorassa ja muodostavat oikeakätisen kolmikon (E, B, k).Oikea aalto ei välttämättä ole monokromaattinen. Jos aalto koostuu joukostadiskreettejä taajuuksia ω m , Maxwellin yhtälöiden lineaarisuuden vuoksikokonaissähkökenttä voidaan esittää summanaE(r,t)= ∑ mE(k m ,ω m ) exp[−i(ω m t − k m · r)] (10.16)Vektoreita E(k m ,ω m ) kutsutaan aallon Fourier-komponenteiksi. Jos kja ω käsitellään jatkuvina, funktio E(k,ω)onE(r,t):n Fourier-muunnos(kertaa FYMM I:stä!).10.2 Aaltojen polarisaatioPeruskurssilta tuttu lineaarinen polarisaatio on helppo käsittää, mutta ympyräpolarisaatiokannattaa miettiä huolellisesti läpi. Asiaa ei lainkaan helpota,että vasen- ja oikeakätisyys määritellään eri lähteissä eri tavoin.Vektorit E(k,ω) ja B(k,ω) ovat kompleksivektoreita. Kirjoitetaan Eoikeakätisessä reaalisessa kannassa, jonka yksikkövektorit ovat (p, s, u)E(k,ω)=Êpp + Êss + Êuu (10.17)missä hattu viittaa kompleksilukuun. Valitaan u tasoaallon etenemissuunnaksi,jolloin sähkökenttä on joka hetki ps-tasossaE(k,ω)=Êpp + Êss (10.18)Ilmaistaan vielä komponentit kompleksitason vaihekulman φ avullaÊ p = E p e iφp ; Ê s = E s e iφs (10.19)

10.2. AALTOJEN POLARISAATIO 135missä E p ja E s ovat reaalilukuja. s-akselin suunta voidaan valita kohtisuoraanu-akseliin nähden, joten φ s voidaan asettaa nollaksi ja merkitä φ p = φ.Niinpä (k,ω)-avaruuden sähkökenttä onE(k,ω)=E p e iφ p + E s s (10.20)ja sitä vastaava (r,t)-avaruuden kenttä puolestaanE(r,t)=E p pe −i(ωt−k·r−φ) + E s se −i(ωt−k·r) (10.21)Fysikaalinen sähkökenttä ontämän reaaliosaE(r,t)=E p p cos(ωt − k · r − φ)+E s s cos(ωt − k · r) (10.22)Kentällä on kaksi komponenttia, joiden reaaliset amplitudit E p ja E svoivat olla eri suuria. Lisäksi komponentit voivat värähdellä eri vaiheessavaihe-eron ollessa φ. Tarkastellaan muutamaa erikoistapausta pisteessä r =0. (Piirrä itse kuva kaikista tapauksista!)1. Komponentit samassa vaiheessa (φ = 0). TällöinE(0,t)=(E p p + E s s) cos ωt (10.23)√√Sähkökenttä värähtelee Ep 2 + Es 2 :sta − Ep 2 + Es 2 :een osoittaen kokoajan suuntaan E p p + E s s.Tämä onlineaarinen polarisaatio.Myös 180 asteen vaihe-ero antaa lineaarisen polarisaation (E p →−E p ).2. Vaihe-ero φ = ±π/2. TällöinE(0,t)=±E p p sin ωt + E s s cos ωt (10.24)Nyt sähkökenttävektori pyörii ps-tasossa piirtäen ellipsin joko myötätaivastapäivään riippuen katselusuunnasta. Tämä onelliptinen polarisaatio.3. Vaihe-ero φ = ±π/2 ja E p = E s .Tällöin ellipsi palautuu ympyräksija kyseessä ympyräpolarisaatio.Jos vaihe-ero on jotain muuta kuin φ = ±π/2, kyseessä on aina elliptinenpolarisaatio (mahdollisesti surkastunut lineaariseksi).Tarkastellaan sitten sähkökentän pyörimissuuntaa rajoittuen yksinkertaisuudenvuoksi ympyräpolarisaatioon. Jos yllä φ = +π/2, pyörii aallonsähkökenttä myötäpäivään, kun katsotaan kohti saapuvaa aaltoa. Optiikassatätä kutsutaan oikeakätisesti polarisoituneeksi aalloksi. Jos

136 LUKU 10. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOTpyörimistä tarkastellaan aallon etenemissuuntaan, se kuitenkin näyttää toteuttavanvasemman käden kiertosäännön. Tarkasteltaessa sähkömagneettistenaaltojen ominaisuuksia magnetoituneessa johtavassa väliaineessa (kutenplasmassa) tällaista aaltoa kutsutaankin vasenkätisesti polarisoituneeksi.Tämä valinta on sikäli johdonmukainen, että näin polarisoitunutaalto muodostaa avaruudessa vasenkätisen ruuvin. Aallolla sanotaan olevannegatiivinen helisiteetti ja voidaan puhua negatiivisesti polarisoituneestaaallosta. Vastaavasti φ = −π/2 antaa päinvastaiset nimitykset. Tälläkurssilla ei tarvitse murehtia oikea- tai vasenkätisyyksien sekamelskasta,mutta asia on hyvä tietää vastaisen varalta.Mielivaltainen elliptinen polarisaatio voidaan hajottaa eri vaiheissa värähtelevienoikea- ja vasenkätisesti polarisoituneiden aaltojen summaksi.Esimerkiksi lineaarinen polarisaatio on summa kahdesta eri suuntiin pyörivästäsamanamplitudisesta komponentista.10.3 Sähkömagneettisen aallon energiaKompleksisen sähkö- tai magneettikentän reaaliosa on fysikaalinen mitattavakenttä. Koska Maxwellin yhtälöt ovat lineaariset kenttien suhteen jatoteutuvat siten erikseen reaali- ja imaginaariosille, tästä ei tullut edelläongelmia. Kenttien energiat ja Poyntingin vuo ovat kuitenkin vektoreidentuloja, jolloin reaali- ja imaginaariosat sekoittuvat toisiinsa eli Re (A · B) ≠Re A · Re B. Niinpä on syytä ottaa ensin suureiden reaaliosat ja kertoa nevasta sitten keskenään.Tarkastellaan aaltoa pisteessä r =0.Tällöin E(0,t)=E p p cos(ωt− φ)+E s s cos(ωt) jaE 2 = Ep 2 cos 2 (ωt − φ)+Es 2 cos 2 (ωt) (10.25)B 2 = (n/c) 2 E 2 = ɛµ 0 E 2 (10.26)Koska D = ɛE ja B = µ 0 H,onB · H = D · E, ja tasoaallon energiatiheysonu w = ɛE 2 = 1 ( ) n 2E 2 (10.27)µ 0 cToisaalta E×H = EH u, joten Poyntingin vektori osoittaa aallon etenemissuuntaanja on suuruudeltaanS = 1 nµ 0 c E2 (10.28)Tasoaaltojen energiatiheys ja energiavuo pinta-alayksikköä kohti saavat siishyvin yksinkertaiset lausekkeet ja lisäksiS = c n u w (10.29)

10.4. TASOAALLOT JOHTEESSA 137Jos vaihenopeutta käsitellään aallon etenemissuuntaisena vektorina v p , voidaankirjoittaaS = u w v p (10.30)Tasoaallon Poyntingin vuo voidaan siis tulkita energiatiheyden etenemisenävaihenopeuden mukana. Kentällä on energian lisäksi liikemäärää ja liikemäärämomenttia.Aallot kuljettavat myös näitä suureita mukanaan.Tasoaallon energiatiheys u w ja energiavuo S ovat verrannollisia suureeseenE 2 . Ympyräpolarisoituneelle aallolle (φ = ±π/2)E 2 = E 2 p sin 2 ωt + E 2 p cos 2 ωt = E 2 p (10.31)joka on vakio. Lineaarisesti polarisoituneella aallolla puolestaanE 2 =(E 2 p + E 2 s ) cos 2 ωt (10.32)vaihtelee nollan ja maksiminsa välillä kaksi kertaa aallon taajuudella.Sähkömagneettisen aallon mukanaan viemää energiaa tarkastellaan useinkorkeataajuisten aaltojen tapauksessa. Tällöin E 2 :n aikakeskiarvo on tärkeämpisuure kuin sen ajallinen vaihtelu. Koska cos 2 (ωt − φ):n keskiarvoyhden jakson aikana on 1/2, kaikilla polarisaatioilla〈E 2 〉 = 1 2 (E2 p + E 2 s ) (10.33)Tämän voi kirjoittaa myös kompleksisen E-vektorin avulla〈E 2 〉 = 1 2 Re(E∗ · E) (10.34)missä ∗ viittaa kompleksikonjugaattiin. Ongelma voidaan siis käsitellä alustaloppuun kompleksisena, mutta silloin mitattavat suureet on käsiteltäväjakson yli otettuina keskiarvoina.10.4 Tasoaallot johteessaLineaarisessa homogeenisessa väliaineessa, jossa ei ole vapaita varauksia (µ,ɛ ja σ vakioita) aaltoyhtälöt ovat (HT)∇ 2 H − ɛµ ∂2 H∂t 2∇ 2 E − ɛµ ∂2 E∂t 2− σµ∂H ∂t− σµ∂E ∂t= 0 (10.35)= 0 (10.36)Muistutetaan taas, että nämä ovat seurausta Maxwellin yhtälöistä. Niillä onmyös ratkaisuja, jotka eivät toteuta Maxwellin yhtälöitä, joten ratkaisujenfysikaalisuus on tarkastettava erikseen käytännön ongelmissa.

138 LUKU 10. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOTSähkökentän aaltoyhtälöä kutsutaan lennätinyhtälöksi. Se on perusesimerkkiosittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta Fourier-muunnostenavulla. Oikaistaan nyt olettamalla suoraan tasoaaltoratkaisu ja lähtemälläliikkeelle Maxwellin yhtälöistä, jolloink · E = 0k · H = 0k × E = ωµH (10.37)ik × H = (σ − iωɛ)EKoska k ⊥ E, k ⊥ H ja E ⊥ H, niin aalto on jälleen poikittainen.Valitaan koordinaatisto siten, että k ‖ e z , E ‖ e x ja H ‖ e y .TällöinkE x = ωµH yikH y = −(σ − iωɛ)E x (10.38)Tästä (tai suoraan aaltoyhtälöstä) saadaan dispersioyhtälö k = k(ω):k 2 = ɛµω 2 + iσµω (10.39)Aaltoluku k on nyt kompleksiluku, joka voidaan kirjoittaa muodossa k =|k|e iα ja dispersioyhtälöstä voidaan ratkaista√|k| = µω √ ɛ 2 ω 2 + σ 2α = 1 2 arctan( σɛω ) (10.40)Käytännössä numeerisia laskentaohjelmistoja käytettäessä ei useinkaan tarvitsekirjoittaa erikseen aaltoluvun reaali- ja imaginaariosia, vaan voi käyttääkompleksilukua k = √ ɛµω 2 + iσµω. Neliöjuuren vaiheen oikea valinta onkuitenkin syytä tarkastaa huolellisesti.Lennätinyhtälön ratkaisu harmonisille aalloille on siisE = E 0 e x e i(Re(k)z−ωt) e −Im(k)z= E 0 e x exp[i(|k|z cos α − ωt)] exp[−|k|z sin α] (10.41)Tässä valitaan α:n vaihe siten, että Im(k) > 0 eli sin α>0 (HT: piirrä kuvakompleksitasossa). Tällöin aalto vaimenee edetessään väliaineeseen (tekijäe −|k|z sin α ), mikä on fysikaalisesti mielekäs ratkaisu. Vaihenopeus onv p =ωRe(k) = ω(10.42)|k| cos αEtäisyys, jolla aallon amplitudi vaimenee tekijällä e, onväliaineen tunkeutumissyvyys(skin depth):δ = 1Im(k) = 1(10.43)|k| sin α

10.4. TASOAALLOT JOHTEESSA 139Väliaineen impedanssi (aaltovastus) määritelläänZ = E x= µω √H y k= µω√ɛ 2 ω 2 + σ exp[− i 2 2 arctan( σ )] (10.44)ɛωImpedanssin yksikkö on sama kuin resistanssilla: [Z] = Ω (kertaa impedanssin,admittanssin ja reaktanssin käsitteet esimerkiksi KSII:sta).Esimerkkejä1) Hyvä johde (mitätön siirrosvirtatermi): σ>>ɛω⇒ α =45 ◦ ;δ = √ 2/(µσω)v p = δω tan α = δω{f =50Hz δ ≈ 1cm vp ≈ 3m/sKuparille:f = 50 MHz δ ≈ 10 µm v p ≈ 3 × 10 3 m/sZ =√ µωσ e−iπ/4 ⇒ 45 ◦ vaihe-ero E:n ja H:n välillä.2) Eriste: σ =0,ɛ>0, µ = µ 0⇒ α = 0 eli aalto ei vaimene tunkeutuessaan eristeeseen!Z = √ √µ 0 /ɛ ≡ Z 0 ɛ0 /ɛ, missä Z 0 on tyhjön impedanssi: √ µ 0 /ɛ 0 ≈376,73 Ω.Fourier-komponenttien yhtälöryhmästä saadaan aaltoluvun ja kenttienvälille yhteydetk · E = 0k · B = 0k × E = ωB (10.45)k × B = − ω c 2 ˆɛ r Emissä on otettu käyttöön kompleksinen dielektrisyysvakio ˆɛ rσˆɛ r = ɛ r + i(10.46)ɛ 0 ωja oletettu, että µ = µ 0 . Nyt myös taitekerroin kannattaa määritellä kompleksilukunaˆn 2 =ˆɛ r (10.47)Tällöin aaltoluku k toteuttaa yhtälönk 2 = ˆn2 ω 2c 2 (10.48)

140 LUKU 10. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT10.5 Druden ja Lorentzin oskillaattorimalliDispersiivisessä väliaineessa dispersioyhtälö on yksinkertaista lineaaristarelaatiota ω =(c/n)k monimutkaisempi. Aineen eristeominaisuudet voivatriippua taajuudesta ja aaltoluvusta: ɛ = ɛ(ω, k). Tarkastellaan väliainetta,jossa ei ole vahvoja sisäisiä voimia, ja jätetään aineen magneettiset ominaisuudethuomiotta (µ = µ 0 ). Tarkastellaan yhtä elektronia, joka on sidottuatomiin harmonisella voimallaF h = −mω 2 0r (10.49)missä r on poikkeama tasapainoasemasta. Oletetaan lisäksi, että elektroninliikettä vastustaa voimaF d = −mγ dr(10.50)dtmissä alaindeksi d (damping) viittaa siihen, että voima vaimentaa harmoniseenvoimaan liittyvää värähtelyä. Ulkoisessa sähkökentässä E(r,t) liikeyhtälöksitulee(d 2 rmdt 2 + γ dr)dt + ω2 0r = −eE(r,t) (10.51)Oletetaan harmoninen aikariippuvuus (∝ exp(−iωt)), jolloin liikeyhtälönratkaisu on−eEr =m(ω0 2 − (10.52)ω2 − iωγ)Elektronin poikkeama tasapainoasemasta aiheuttaa dipolimomentin pp = −er =e 2 Em(ω 2 0 − ω2 − iωγ)(10.53)Oletetaan, että yksikkötilavuudessa on n molekyyliä ja jokaista molekyyliäkohti on Z elektronia. Oletetaan, että f j kappaleella jokaisen molekyylinelektroneista on ominaistaajuus ω 0j ja vaimennustekijä γ j . Tekijöitä f j kutsutaanoskillaattorivoimakkuuksiksi ja ne normitetaan elektronien lukumäärään∑ j f j = Z. Nyt sähköinen polarisoituma (dipolimomenttien tiheys)onP = ne2 Em∑jf jω 2 0j − ω2 − iωγ j(10.54)Sähkövuon tiheydestä yksinkertaisessa aineessa D = ɛE = ɛ 0 E + P saadaan⎛⎞ɛ(ω) =ɛ 0 (1+χ(ω)) = ɛ 0⎝1+ ne2 ∑ f jmɛ 0 ω0j 2 − ⎠ (10.55)ω2 − iωγ jSiis permittiivisyys on taajuudesta riippuva kompleksiluku.j

10.5. DRUDEN JA LORENTZIN OSKILLAATTORIMALLI 141Oletetaan sitten, että aineessa on jonkin verran vapaita elektroneja (f 0kappaletta molekyyliä kohti), mutta että muuten väliaine on samanlainenkuin edellä. Vapaille elektroneille ω 00 = 0, jolloinɛ(ω) =ɛ 0⎛⎝1+ ne2mɛ 0∑j≠0⎞f jω0j 2 − ⎠ − ne2ω2 − iωγ j mωf 0ω + iγ 0(10.56)Merkitään oikean puolen ensimmäistä termiä ɛ b ja käytetään Ohmin lakia(J = σE). Tällöin Maxwellin neljännestä laista saadaanjoten∇×H =(σ − iωɛ b )E ≡−iωɛE (10.57)Vertaamalla tätä lausekkeeseen (10.56) saadaanɛ = ɛ b + iσ/ω (10.58)σ =f 0 ne 2m(γ 0 − iω)(10.59)Johtavuus σ on nyt taajuuden kompleksiarvoinen funktio. Jos γ 0 ≫|ω| jaf 0 =1,tästä tulee luvusta 5 tuttu staattisen johtavuuden lausekemissä γ 0 on törmäysajan τ käänteisluku.σ = ne2mγ 0(10.60)Esimerkki: Kuparilla on huoneen lämpötilassa ominaisuudetσ =5.6 · 10 7 (Ωm) −1 ,n=8· 10 28 m −3 ,f 0 =1⇒ γ 0 =4· 10 13 s −1Oletus staattisesta johtavuudesta on siis hyvä taajuuksilla |ω| ≪4·10 13 s −1 ,mikä on varsin korkea taajuus verrattuna esimerkiksi tyypilliseen radioasemaanω =96, 2 MHz · 2π ≈ 6 × 10 8 s −1Taajuuksia ω 0j kutsutaan resonanssitaajuuksiksi. Monissa käytännönongelmissa γ j ≪ ω 0j , joten ɛ(ω) on melkein reaalinen paitsi resonanssitaajuuksienlähellä eli⎛⎞ɛ(ω) ≈ ɛ 0⎝1+ Ne2 ∑ f jmɛ 0 ω0j 2 − ⎠ (10.61)ω2Dispersiota kutsutaan normaaliksi, jos d(Re ɛ(ω))/dω > 0jaanomaaliseksi,jos d(Re ɛ(ω))/dω < 0. Normaalin dispersion alueella permittiivisyyskasvaa taajuuden myötä. Anomaalista dispersiota ilmenee ainoastaan lähelläresonanssikohtaa, missä Imɛ poikkeaa nollasta (HT: piirrä kuva).j≠0

142 LUKU 10. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOTTarkastellaan energiabudjettia resonanssikohdan lähellä. Sähkövirta onnyt polarisaatiovirtaa J P = ∂P/∂t ja sähkökentän tekemä työonYhden jakson aikana tehty keskimääräinen työ onW = E · J P = E · ∂P/∂t (10.62)〈W 〉 = 1 2 Re(E·(−iωP)∗ )= 1 2 Re(iω(ɛ∗ −ɛ 0 )E·E ∗ )= ω 2 |E|2 Im ɛ(ω) (10.63)Jos Im ɛ>0, energia siirtyy sähkökentältä elektroneille eli aalto vaimenee.Tätä kutsutaan resonanssiabsorptioksi.Tässä mallissa Im ɛ>0, kun ω>0. On olemassa tärkeitä fysikaalisiaprosesseja, joissa aalto saa energiaa hiukkasilta, mutta tämä malli ei sovelluniihin tapauksiin. Tässä yhteydessä on opettavaista todeta merkinvalinnanvaikutus. Jos aikariippuvuudeksi valittaisiin exp(+iωt), muuttuisi Im ɛ:nmerkki. Tilanteen fysiikka on tietenkin riippumatonta merkkisopimuksista.Väliaineen taitekerroin ja aallon aaltoluku ovatTästä saadaan vaihenopeusn(ω) =k(ω) =√ ɛµ≈ɛ 0 µ 0√ɛ(ω) ωɛ 0 c√ɛ(ω)ɛ 0(10.64)(10.65)v p = ω/k = c/n(ω) (10.66)Tämä ei kuitenkaan ole energian etenemisnopeus dispersiivisessäväliaineessa.Sen antaa ryhmänopeus, joka määritellään v g = dω/dk ja on siten (ks.Jackson)v g = dωdk = 1dk/dw = cn(ω)+ω dn(10.67)dkSamaan aikaan lähtevät eritaajuiset aallot saavuttavat vastaanottajan eriaikaan, mikäli ne etenevät dispersiivisessä väliaineessa.10.6 PalloaallotTasoaalto on erittäin käyttökelpoinen matemaattinen idealisaatio. Todellisuudessasähkömagneettinen aalto kuitenkin synnytetään esimerkiksi äärellisenkokoisella antennilla. Antennin lähellä kenttien rakenne on hyvinkinmonimutkainen ja riippuu antennin geometriasta. Kun aalto lähtee etenemäänavaruuteen, se laajenee ja tarkasteltaessa aaltorintamaa riittävän

10.6. PALLOAALLOT 143pienellä alueella se näyttää tasoaaltorintamalta. Joskus on kuitenkin tarpeenottaa huomioon aaltorintaman globaali muoto. Tarkastellaan esimerkkinäorigosta joka suuntaan eteneviä pallonmuotoisia aaltorintamia. Periaatteessaongelma ratkaistiin jo luvussa 9, jossa johdettiin viivästyneet potentiaalit jamyös palloaallon Greenin funktio. Kenttiä ei laskettu, sillä derivointi viivästyneistäpotentiaaleista on aika työlästä.Tyhjössä etenevän SM-aallon sähkökentän aaltoyhtälö on∇ 2 E − 1 ∂ 2 Ec 2 ∂t 2 = 0 (10.68)josta monokromaattiselle aallolle tulee vektorimuotoinen Helmholtzin yhtälö( ) ω 2∇ 2 E(r)+ E(r) = 0 (10.69)cOngelmaksi tulee termin ∇ 2 E = −∇×∇×E + ∇∇ · E kirjoittaminen pallokoordinaateissa.Termin −∇×∇×E radiaalikomponentissa ovat mukanamyös muut pallokoordinaatiston muuttujat ja vastaava pätee kulmakomponenteille.Lopputulos on kolmen osittaisdifferentiaaliyhtälön ryhmä, joissakaikissa ovat mukana kaikki sähkökentän komponentit. VektorimuotoinenLaplacen yhtälö voidaan separoida kunkin muuttujan erillisiksi differentiaaliyhtälöiksivain karteesisissa koordinaateissa.Tarkastellaankin skalaarimuotoista Helmholtzin yhtälöä( ) ω 2∇ 2 ψ + ψ = 0 (10.70)cSuoraviivainen harjoitustehtävä on osoittaa, ettäE = r ×∇ψ (10.71)on (10.69):n ratkaisu, ja ∇·E = 0. Magneettikenttä on valittava siten, ettäse yhdessä sähkökentän kanssa toteuttaa Maxwellin yhtälöt. KirjoitetaanFaradayn laki muodossa∇×E = iωB (10.72)jolloinB = − i ∇×(r ×∇ψ) (10.73)ωmikä toteuttaa loput Maxwellin yhtälöt tyhjössä (HT).Yhtä hyvin voitaisiin lähteä liikkeelle B-kentän aaltoyhtälöstä jalöytääratkaisuB ′ = 1 r ×∇ψ (10.74)cE ′ = ic ∇×(r ×∇ψ) (10.75)ω

144 LUKU 10. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOTRatkaisuparissa (E, B) sähkökenttä on jokaisessa pisteessä tangentiaalinenorigokeskisen pallon pinnan kanssa. Tätä aaltoa kutsutaan joskus transversaaliseksisähköiseksi (TE) moodiksi. Ratkaisuparissa (E ′ , B ′ ) magneettikentälläon puolestaan sama ominaisuus ja aaltoa kutsutaan transversaaliseksimagneettiseksi (TM) moodiksi. (HT: piirrä kuvat!)Nyt on vielä löydettävä ψ Helmholtzin skalaariyhtälön ratkaisuna. Tässäkäytetään Laplacen yhtälön ratkaisemisesta tuttua muuttujien separointiapallokoordinaatistossa (luku 2). Ratkaistava yhtälö on pallokoordinaateissa(1 ∂r 2 r 2 ∂ψ )(1 ∂+∂r ∂r r 2 sin θ ∂ψ )1 ∂ 2 ψ+sin θ ∂θ ∂θ r 2 sin 2 θ ∂φ 2 + k2 ψ = 0 (10.76)Erona Laplacen yhtälöön on siis termi k 2 ψ.Sijoitetaan separointiyrite ψ = R(r)Θ(θ)Φ(φ) ylläolevaan yhtälöön. Jaetaantulos ψ:llä ja kerrotaan tekijällä r 2 sin 2 θ, jolloin1R sin2 θ d dRr2dr dr + 1 Θ sin θ d dΘsin θdθ dθ + 1 d 2 ΦΦ dφ 2 + k2 r 2 sin 2 θ = 0 (10.77)φ-riippuvuuden osalta separointi antaa saman yhtälön kuin Laplacen yhtälöntapauksessa:d 2 Φ mdφ 2 + m 2 Φ m = 0 (10.78)θ- jar-riippuvat yhtälöt ovat puolestaan1sin θddθ sin θ dΘ lm+dθ[m2l(l +1)−sin 2 θ]Θ lm = 0 (10.79)d dR dr r2 ldr − [l(l +1)− k2 r 2 ]R l = 0 (10.80)Yhtälön (10.78) ratkaisut ovat muotoa Φ m = e ±imφ ja yhtälön (10.79)ratkaisut ovat tutut Legendren liittofunktiot (luku 2). Termi k 2 ψ muuttaasiis ainoastaan radiaalista yhtälöä (10.80), jonka ratkaisut saadaan tekemälläensin muuttujanvaihdos ξ = kr, jolloind dR dξ ξ2 ldξ − [l(l +1)− ξ2 ]R l = 0 (10.81)Tästä saadaan Besselin yhtälö sijoituksella R l = ξ −1/2 Z l :ξ 2 d2 Z ldξ 2+ ξ dZ ldξ − [(l +1/2)2 − ξ 2 ]Z l = 0 (10.82)Tämä on yksi matemaattisen fysiikan tärkeimpiäyhtälöitä, jonka ratkaisuinaovat Besselin ja Neumannin funktiot J l+1/2 (kr) jaN l+1/2 (kr). Pallokoordinaatistossanäistä muodostetaan erityisiä pallobesseleitä√j l (kr) = π/2kr J l+1/2 (kr) (10.83)√n l (kr) = π/2kr N l+1/2 (kr) (10.84)

10.6. PALLOAALLOT 145Pallobesselit ovat alkeisfunktioita, joten niitä ei tarvitse pelätä: esimerkiksij 0 (r) = sin r/r, n 0 (r) =− cos r/r. Jääköön enempi pohdiskelu kuitenkinFYMM II:n huoleksi.Nyt meillä on koossa yleinen ratkaisu skalaarimuotoiselle Helmholtzinyhtälölle muodossa√ψ lm = π/2kr Z l (kr) Pl m (cos θ) e ±imφ (10.85)Sijoittamalla tämä TE- tai TM-moodin kenttien lausekkeisiin saadaan niidenpaikkariippuvuus. Yksinkertaisin fysikaalisesti mielenkiintoinen valinta onψ 10 = 1 [kr eikr 1+ i ]cos θ (10.86)krjosta saadaan TE-moodille[ 1E = r ×∇ψ 10 = −E 0 e ikr kr + i ]k 2 r 2 sin θ e φ (10.87)jaB = −i 1 ∇×E (10.88)ω= i {[ 1ω E 0e ikr kr 2 + i ][ ik 2 r 3 2 cos θ e r −r − 1kr 2 − i ] }k 2 r 3 sin θ e θMyöhemmin nähdään, että tämä on magneettisen dipoliantennin säteilemäaaltokenttä.

146 LUKU 10. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT

Luku 11Aaltojen heijastuminen jataittuminenTässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumistaväliaineiden rajapinnalla. Rajoitumme monokromaattisiin aaltoihinja oletamme väliaineet lineaarisiksi ja magnetoitumattomiksi (µ = µ 0 ) kokoluvun ajan, ellei toisin mainita.11.1 Kohtisuora saapuminen kahden eristeen rajapinnalleTarkastellaan ensin heijastumista kahden eristeen rajapinnalla, kun aaltosaapuu kohtisuoraan pintaa vastaan eli aaltovektori on pinnan normaalinsuuntainen (kuva 11.1). (E 1 , B 1 ) kuvaa +z-akselin suuntaan etenevää saapuvaaaaltoa, (E ′ 1 , B′ 1 ) −z-akselin suuntaan etenevää heijastunutta aal-xE 1B 2B 1E 2B 1´ E 1´yzKuva 11.1:Heijastuminen ja läpäisy kohtisuoraan xy-tasolle saapuvalle aallolle.147

148 LUKU 11. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINENtoa ja (E 2 , B 2 ) rajapinnan läpäissyttä aaltoa. Rajapinta on xy-tasossa.Oletetaan, että aallon sähkökenttä on lineaarisesti polarisoitunut x-akselinsuuntaan, jolloinE 1 = e x E 1x e i(k 1z−ωt)E ′ 1 = −e x E 1xe ′ −i(k 1z+ωt)E 2 = e x E 2x e i(k 2z−ωt)(11.1)missä k 1 = n 1 ω/c, k 2 = n 2 ω/c. Magneettikenttä saadaan Faradayn laistaseuraavasta relaatiosta B =(n/c)u×E, missä u = e z tulevalle ja läpäisseelleaallolle ja u = −e z heijastuneelle aallolle. Magneettikenttä ony-akselinsuuntainen:cB 1 = e y n 1 E 1x e i(k 1z−ωt)cB ′ 1 = e y n 1 E 1xe ′ −i(k 1z+ωt)cB 2 = e y n 2 E 2x e i(k 2z−ωt)(11.2)Kaikilla aalloilla on oltava sama kulmataajuus ω, jotta reunaehdot rajapinnallatoteutuisivat kaikilla ajanhetkillä t. Sähkökentän tangentiaalikomponenttion jatkuva, jotenE 1x − E ′ 1x = E 2x (11.3)Sama pätee epämagneettisessa väliaineessa (µ = µ 0 )myös magneettikentälle.Jatkuvuusehdoksi saadaann 1 (E 1x + E ′ 1x) =n 2 E 2x (11.4)Oletetaan saapuvan aallon amplitudi E 1x tunnetuksi ja ratkaistaan heijastuneenja läpäisseen aallon amplitudit:E 1x ′ = n 2 − n 1E 1x ; E 2x = 2n 1E 1x (11.5)n 2 + n 1 n 2 + n 1Määritellään Fresnelin kertoimet kohtisuoraan tulevalle aallolle:r 12 = E′ 1x= n 2 − n 1E 1x n 2 + n 1(11.6)t 12 = E 2x= 2n 1E 1x n 2 + n 1(11.7)missä r viittaa heijastumiseen (reflection) ja t läpäisyyn (transmission).Käytännön ongelmissa mitataan yleensä kunkin osa-aallon mukana kulkevaakeskimääräistä energiavuota pinta-alayksikköä kohti eli intensiteettiä.Se saadaan Poyntingin vektorista luvun 10.3 mukaisesti〈S〉 =n2µ 0 c (E2 p + E 2 s ) (11.8)

11.2. SAAPUVA AALTO MIELIVALTAISESSA KULMASSA 149Tässä käsiteltävässä tapauksessa on E p = E x ja E s =0.Määritellään heijastussuhdeR n ja läpäisysuhde T n (n viittaa normaalin suuntaiseen saapumiseen)seuraavasti:R n = 〈S′ 1 〉〈S 1 〉 = r2 12 =( n 2 − n 1n 2 + n 1) 2 (11.9)T n = 〈S 2〉〈S 1 〉 = n 2n 1t 2 12 = 4n 2n 1(n 2 + n 1 ) 2 (11.10)Mille hyvänsä eristeparille R n + T n = 1, mikä ilmaisee energian säilymisen.Elliptiselle polarisaatiolle on tarkasteltava erikseen x- jay-komponentteja.x-komponenteille pätee yllä oleva tarkastelu sellaisenaan ja y-komponenteilletulee samat Fresnelin kertoimet. Myös y-komponentit pysyvät samassavaiheessa keskenään, vaikka ne ovatkin eri vaiheessa kuin x-komponentit.Myös heijastus- ja läpäisysuhteet pysyvät ennallaan, sillä intensiteetti 〈S〉on eri polarisaatiokomponenttien intensiteettien summa.Esimerkkejä1. Ilman (n 1 = 1) ja lasin (n 2 =1.5) rajapinnalla R n =0.04 ja T n =0.96.2. Puhtaan veden taitekerroin näkyvän valon aallonpituudella on n 2 =1.33, joten R n = 0.02. Kun ω on alle 10 11 s −1 , veden suhteellinenpermittiivisyys on kuitenkin suuri (81), joten n 2 =9jaR n =0.64.Vesi siis heijastaa huomattavasti tehokkaammin radioaaltoja kuin valoa.Paremmin sähköä johtavalle suolaiselle merivedelle heijastussuhdeon paljon suurempi.11.2 Saapuva aalto mielivaltaisessa kulmassaTarkastellaan sitten mielivaltaista saapumiskulmaa. Kuvan 11.2 tilanteessarajapinta on xy-tasossa ja saapuvan aallon aaltovektori xz-tasossa (saapumistasossa).Valitaan jokaiselle osa-aallolle jälleen {p, s, u}-kanta, jolloinkuvan tilanteessa kullakin aallolla on vain sähkökentän p-komponentti.E 1 = p 1 Ê 1p e i(k 1·r−ωt)E ′ 1 = p ′ 1Ê′ 1pe i(k′ 1·r−ωt) (11.11)E 2 = p 2 Ê 2p e i(k 2·r−ωt)Koska kunkin osa-aallon magneettikenttä on kohtisuorassa sekä k- että p-vektoreihin nähden, magneettikentällä onvains-komponentti ja se on tässägeometriassa kaikilla osa-aalloilla y-akselin suuntainen.

150 LUKU 11. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINENxk’ 1k 2E’1E 2θ’ 1θ 1n = e zθ 2zKuva 11.2:Heijastuminen ja taittuminen p-polarisaatiolle.Vaikka kuva 11.2 näyttää erikoistapaukselta, kyseessä on toinen kahdestaperustilanteesta. Olkoon n = e z rajapinnan yksikkönormaali. Jotta aaltokenttäolisi jatkuva rajapinnalla, täytyy aaltojen taajuuden lisäksi myösvaiheiden olla samat missä hyvänsä rajapinnan pisteessä r 0 , jotenTästä on helppo (HT) näyttää, ettäk 1 · r 0 = k ′ 1 · r 0 = k 2 · r 0 (11.12)n × k 1 = n × k ′ 1 = n × k 2 (11.13)Siis kaikki k-vektorit ja n ovat kohtisuorassa vektoria (n×k 1 )/|n×k 1 | = e ykohtaan, joten kaikkien osa-aaltojen aaltovektorit ovat samassa tasossa.Muistisääntönä p-komponentti viittaa saapumistasossa olevaan komponenttiin(parallel). Käytämme tällaisesta polarisaatiosta nimitystä p-polarisaatio.Radioaaltojen yhteydessä tätä kutsutaan myös vertikaaliseksipolarisaatioksi, sillä tarkasteltaessa radioaallon heijastumista ionosfääristänäin polarisoituneen aallon sähkökentällä on pystykomponentti.Toinen peruspolarisaatio on s-polarisaatio tai horisontaalinen polarisaatio,jossa sähkökentällä on vain s-komponentti. s viittaa saksankielensanaan senkrecht (kohtisuora). Tällöin puolestaan osa-aaltojen magneettikentilläon erisuuntaiset p-komponentit. Koska kaikki muut polarisaatiotilatvoidaan ilmaista eri vaiheissa värähtelevien s- jap-polarisoituneiden aaltojensummana, riittää tarkastella näitä kahta perustapaustaEhdosta (11.12) seuraa kaksi muutakin tärkeää tulosta. Ensinnäkink 1 · n = k 1 cos θ 1k ′ 1 · n = −k 1 ′ cos θ 1 ′ (11.14)k 2 · n = k 2 cos θ 2

11.2. SAAPUVA AALTO MIELIVALTAISESSA KULMASSA 151joten|k 1 × n| = k 1 sin θ 1|k ′ 1 × n| = k 1 ′ sin θ 1 ′ (11.15)|k 2 × n| = k 2 sin θ 2Niinpä on oltavak 1 sin θ 1 = k ′ 1 sin θ ′ 1 = k 2 sin θ 2 (11.16)Koska saapuva ja heijastunut aalto etenevät samalla taajuudella samassaväliaineessa, k 1 = k 1 ′ ja saadaan heijastuslakisin θ 1 = sin θ ′ 1 eli θ 1 = θ ′ 1 (11.17)Aaltolukuja eri väliaineissa puolestaan sitoo dispersioyhtälö k = nω/c, mistäseuraa Snellin lakin 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 (11.18)Huom. Näissä relaatioissa ei ole käytetty Maxwellin yhtälöistä seuraaviareunaehtoja, vaan ne riippuvat aaltoliikkeen yleisistä geometrisista ominaisuuksistaja Snellin lain osalta väliaineen taitekertoimesta.Fresnelin kertoimien määrittämiseksi tarkastellaan kenttien tangentiaalikomponenttienjatkuvuusehtoja. Normaalikomponenttien jatkuvuusehdottoteutuvat automaattisesti. Vektorikenttä voidaan hajottaa normaali- ja tangentiaalikomponentteihinkirjoittamalla E =(n · E)n − n × (n × E). Tangentiaalikomponentinjatkuvuus tarkoittaa, ettäMagneettikentälle puolestaan (kun µ = µ 0 )n × (E 1 + E ′ 1)=n × E 2 (11.19)n × (B 1 + B ′ 1)=n × B 2 (11.20)Jos aaltovektorin suuntainen yksikkövektori on u, niin B =(n/c)u × E,joten magneettikentän jatkuvuus edellyttää, ettän 1 n × (u 1 × E 1 + u ′ 1 × E ′ 1)=n 2 n × (u 2 × E 2 ) (11.21)Kirjoittamalla vektorikolmitulot auki ja tarkastelemalla s-komponenttia saadaanosa-aallolle E 1 yhtälön × (u 1 × E 1s )=− cos θ 1 E 1s (11.22)ja vastaavasti muille osa-aalloille. Näin (11.21) saadaan muotoonn 1 (cos θ 1 E 1s − cos θ ′ 1E ′ 1s) =n 2 cos θ 2 E 2s (11.23)

152 LUKU 11. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINENKoska θ 1 = θ 1 ′ ,tämä sievenee muotoonn 1 cos θ 1 (E 1s − E ′ 1s) =n 2 cos θ 2 E 2s (11.24)Sähkökentän tangentiaalikomponentin jatkuvuudesta saadaan suoraan s-komponenteille ehtoE 1s + E ′ 1s = E 2s (11.25)Näistä yhtälöistä saadaan Fresnelin kertoimet s-polarisaatiollemissäE ′ 1s = r 12s E 1s , E 2s = t 12s E 1s (11.26)r 12s = n 1 cos θ 1 − n 2 cos θ 2(11.27)n 1 cos θ 1 + n 2 cos θ 22n 1 cos θ 1t 12s =(11.28)n 1 cos θ 1 + n 2 cos θ 2p-polarisaatio näyttää geometrialtaan hankalammalta, koska sähkökenttäei ole rajapinnan tasossa. Nyt kannattaa tarkastella magneettikenttää, jokaon rajapinnan tasossa. Näin saadaan yhtälöpari1cos θ 1 (B 1s − B ′n1s)1= 1 cos θ 2 B 2sn 2(11.29)B 1s + B ′ 1s = B 2s (11.30)ja Fresnelin kertoimet tulevat ehdostamissäB ′ 1s = r 12p B 1s , B 2s = n 2n 1t 12p B 1s (11.31)r 12p = n 2 cos θ 1 − n 1 cos θ 2(11.32)n 2 cos θ 1 + n 1 cos θ 22n 1 cos θ 1t 12p =(11.33)n 2 cos θ 1 + n 1 cos θ 2Koska Snellin laki sitoo taitekertoimet saapumis- ja taittumiskulmiin√cos θ 2 = 1 − (n 1 /n 2 ) 2 sin 2 θ 1 (11.34)voidaan taittumiskulma eliminoida Fresnelin kertoimista.Intensiteettien väliset relaatiot saadaan keskimääräisten Poyntingin voidenavulla, mutta nyt täytyy käsitellä s- jap-polarisaatiot erikseen:R s = n ·〈S′ 1s 〉n ·〈S 1s 〉R p = n ·〈S′ 1p 〉n ·〈S 1p 〉T s = n ·〈S 2s〉n ·〈S 1s 〉T p = n ·〈S 2p〉n ·〈S 1s 〉(11.35)(11.36)

11.2. SAAPUVA AALTO MIELIVALTAISESSA KULMASSA 153jotka Fresnelin kertoimien avulla saavat muodonR s = r12s 2 T s = n 2 cos θ 2t 2 12sn 1 cos θ 1(11.37)R p = r12p 2 T p = n 2 cos θ 2t 2 12pn 1 cos θ 1(11.38)ja lisäksi R s + T s =1jaR p + T p =1.Käyttämällä hyväksi Snellin lakia Fresnelin kertoimet voi muuntaa puhtaastitrigonometrisiksi (HT)r 12s = sin(θ 2 − θ 1 )sin(θ 2 + θ 1 )(11.39)t 12s = 2 cos θ 1 sin θ 2sin(θ 2 + θ 1 )(11.40)r 12p = tan(θ 1 − θ 2 )tan(θ 1 + θ 2 )(11.41)t 12p =2 cos θ 1 sin θ 2sin(θ 1 + θ 2 ) cos(θ 1 − θ 2 )(11.42)Tarkastellaan näiden avulla paria esimerkkiä.Brewsterin kulmaMillä kulmilla aalto ei lainkaan heijastu rajapinnalta? Molemmilla polarisaatioillatämä tapahtuu, kun θ 1 = θ 2 , mutta tämä ei ole mielenkiintoinentapaus, koska silloin molemmilla väliaineilla on oltava sama taitekerroin.p-polarisaation kyseessä ollen myös tapaus θ 1 + θ 2 = π/2 tekee heijastuskertoimestanollan. Taittuneen ja heijastuneen säteen välinen kulma on silloinsuora. Merkitään sisääntulokulmaa θ B ja kirjoitetaan θ 2 = π/2 − θ B , jolloinSnellin laista saadaan ratkaistuksi Brewsterin kulmatan θ B = n 2 /n 1 (11.43)Koska tämä ehto on voimassa vain p-polarisaatiolle (vertikaaliselle polarisaatiolle),sen avulla voidaan tuottaa polarisoitunutta valoa. Esimerkiksi ilman(n = 1) ja lasin (n =1.5) rajapinnalla θ B =56 ◦ ja tässä kulmassa rajapinnalletulevasta polarisoitumattomasta (tai mielivaltaisesti polarisoituneesta)valosta heijastuu vain s-polarisoitunut komponentti.KokonaisheijastusAalto heijastuu kokonaan, jos θ 2saadaan jälleen Snellin laista= π/2. Sitä vastaava sisääntulokulmasin θ c = n 2 /n 1 (11.44)

154 LUKU 11. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINENTätä kutsutaan kriittiseksi kulmaksi. Se on reaalinen vain, jos n 2 1 (11.45)jolla ei ole reaalisia ratkaisuja. Tarkastelemalla kompleksisia Fresnelin kertoimiavoidaan näyttää, että R s = R p = 1 kaikille θ 1 ≥ θ c . Fysikaalisestitämä merkitsee, että kriittistä kulmaa suuremmilla saapumiskulmilla kaikkiaallon energia heijastuu. Tästä onhyötyä käytännön optiikassa, kutenprismakiikareissa ja valokaapeleissa.

Luku 12Aaltoputket jaresonanssikaviteetitTässä luvussa tutustutaan ohjattuun aaltoliikkeeseen. Kerrataan ensin ajastariippuvan sähkömagneettisen kentän käyttäytyminen ideaalijohteessa jasen pinnalla. Äärettömän hyvän johteen sisällä ei ole sähkökenttää, koskavapaasti liikkuvat varaukset luovat pinnalle sellaisen varauskatteen σ S ,että kokonaiskenttä johteen sisällä on nolla. Samoin ajasta riippuva magneettikenttähäviää ideaalijohteen sisällä. Varaukset liikkuvat pinnalla luodensellaisen pintavirran K, että kokonaiskenttä on nolla johteessa. Muutreunaehdot ovat B:n normaalikomponentin ja E:n tangentiaalikomponentinjatkuvuus. Koska B ja E ovat nollia ideaalijohteessa, niin aivan johteenulkopuolella sähkökenttä on kohtisuorassa ja magneettikenttä yhdensuuntainenpintaan nähden. Todellisuudessa ideaalijohteita ei ole, mutta malliantaa kuitenkin hyvän peruskäsityksen aaltoputkista. Käytännön esimerkkiaaltoputkesta on optinen kuitu ja resonanssikaviteetista mikroaaltouuni.12.1 SylinteriputkiTarkastellaan onttoa poikkileikkaukseltaan mielivaltaista metallisylinteriä,jonka seinämät oletetaan ideaalijohteiksi. Sylinterin sisällä aine oletetaanjohtamattomaksi (permittiivisyys ɛ 0 , permeabiliteetti µ 0 ). Kenttien aikariippuvuusolkoon harmoninen (e −iωt ). Maxwellin yhtälöt sylinterin sisälläovat∇·E = 0 (12.1)∇·B = 0 (12.2)∇×E − iωB = 0 (12.3)∇×B + iωɛ 0 µ 0 E = 0 (12.4)155

156 LUKU 12. AALTOPUTKET JA RESONANSSIKAVITEETITKenttien Helmholtzin yhtälöt ovat(∇ 2 + ω2c 2 )E =0, (∇2 + ω2)B = 0 (12.5)c2 Valitaan koordinaatisto siten, että z-akseli osoittaa aallon etenemissuuntaan.Sylinterigeometrian vuoksi tehdään yritteetE(x, y, z) =E(x, y)e i(kz−ωt) , B(x, y, z) =B(x, y)e i(kz−ωt) (12.6)(z-akselin negatiiviseen suuntaan etenevä aalto e −ikz käsitellään vastaavallatavalla.) On huomattava, että nyt ei enää yleensä ole k = ω/c. Sijoittamallayritteet aaltoyhtälöihin saadaan(∇ 2 t + ω2c 2 − k2 )E =0, (∇ 2 t + ω2c 2 − k2 )B = 0 (12.7)missä∂∇ t = ∇−e z∂z , ∇2 t = ∇ 2 − ∂2∂z 2 (12.8)Jaetaan kentät pitkittäiseen ja poikittaiseen osaan, esimerkiksimissäE = E z + E t (12.9)E z = (E · e z )e z(12.10)E t = (e z × E) × e zNyt Maxwellin yhtälöt saadaan muotoon (HT)∇ t · E t = − ∂E z∂z = −ikE z (12.11)∇ t · B t = − ∂B z∂z = −ikB z (12.12)e z · (∇ t × E t )=iωB z (12.13)∇ t E z − ∂E t∂z = ∇ tE z − ikE t = iωe z × B t (12.14)e z · (∇ t × B t )=− iωc 2 E z (12.15)∇ t B z − ∂B t∂z = ∇ tB z − ikB t = −i ω c 2 e z × E t (12.16)Jos B z ja E z tunnetaan, voidaan poikittaiset kentät ratkaista yhtälöistä12.14 ja 12.16. Yhtälöitä 12.11-12.16 ei pidä opetella ulkoa, vaan on ymmärrettäväkäsittelyn perusideat.

12.1. SYLINTERIPUTKI 157TEM-mooditTEM-moodit (transverse electromagnetic modes) ovat sähkömagneettisiaaaltoja, joiden kentät ovat kohtisuorassa etenemissuuntaan nähden (siis B z =0, E z = 0). Tällöin yhtälöistä 12.11-12.16 seuraa ∇ t · E t =0, ∇ t · B t =0, ∇ t × E t =0, ∇ t × B t = 0 ja kenttien laskeminen palautuu muodollisestikaksiulotteiseksi statiikan ongelmaksi:Havaitaan seuraavat seikat:∇ 2 t E t =0, ∇ 2 t B t = 0 (12.17)1) Aaltoluku k onk = ω/c = ω √ µ 0 ɛ 0 (12.18)2) Kentillä on 12.16:n mukaan samanlainen yhteys kuin tyhjön tasoaalloissa:B t = 1 c e z × E t (12.19)3) TEM-moodi ei voi edetä, jos sylinteri on ontto (sähkökenttä sisällä ontäsmälleen nolla). Jos sylinteripintoja on useampia kuten koaksiaalikaapelissa,TEM-moodit voivat edetä.4) TEM-moodilla ei ole katkaisutaajuutta (cut-off frequency) eli taajuutta,jolla aaltoluku häviäisi.TM- ja TE-mooditTarkastellaan onttoa sylinteriä, jossa ei siis ole TEM-moodeja. Oletetaannyt, että kentillä on etenemissuuntaiset (z-)komponentit. Kentät voidaanjakaa kahteen toisistaan riippumattomaan moodiin:1) TM-moodit (transverse magnetic modes):B z = 0 kaikkiallaE z = 0 sylinterin pinnalla2) TE-moodit (transverse electric modes):E z = 0 kaikkialla∂B z /∂n = n ·∇ t B z = 0 sylinterin pinnalla (HT).Huom. Kirjallisuus on moodien nimityksessä varsin sekava.Tarkastellaan ensin TM-moodeja ja oletetaan z-jat-riippuvuus e i(kz−ωt) .Lausutaan B t ja E t E z :n avulla (vrt. 12.11, 12.14, 12.16):B t =ωkc 2 e z × E t (12.20)

158 LUKU 12. AALTOPUTKET JA RESONANSSIKAVITEETITjamissä on merkittyE z ratkaistaan yhtälöstä 12.7:E t = ikγ 2 ∇ tE z (12.21)γ 2 = ω2c 2 − k2 (12.22)(∇ 2 t + γ 2 )E z = 0 (12.23)Samalla tavalla käsitellään TE-moodeja, ja saadaan (HT)E t = ω k B t × e z (12.24)B t = ikγ 2 ∇ tB z (12.25)missä B z toteuttaa yhtälön 12.7:(∇ 2 t + γ 2 )B z = 0 (12.26)Suureen γ 2 :n on oltava positiivinen, jotta E z ja B z ovat värähteleviä jareunaehdot voivat toteutua. Yhtälöiden ratkaisuja vastaa joukko ominaisarvojaγ p , joita puolestaan vastaavat aaltoluvut k p . Katkaisutaajuus saadaanmääritelmän mukaan asettamalla k 2 nollaksi, jolloinω p = cγ p = γ p / √ µ 0 ɛ 0 (12.27)Aaltoluku on tällöin√ω 2 − ωp2k p =(12.28)cJos taajuus on alle katkaisutaajuuden, aaltomoodi on eksponentiaalisestivaimeneva, eikä siis etene.12.2 Suorakulmainen aaltoputkiErikoistapauksena tutkitaan suorakulmaisessa aaltoputkessa eteneviä TEmoodeja(kuva 12.1). Ratkaistaan ensin B z :n Helmholtzin yhtälö( ∂2∂x 2 + ∂2∂y 2 + γ2 )B z = 0 (12.29)reunaehdoin ∂B z /∂n = 0, kun x =0,x = a, y =0,y = b.

12.2. SUORAKULMAINEN AALTOPUTKI 159yideaalijohdebxaKuva 12.1: Aaltoputki, jonka poikkileikkaus on suorakaide.Tehdään separointiyrite B z (x, y) =X(x)Y (y), jolloin saadaanX ′′ + p 2 X =0,Y ′′ + q 2 Y = 0 (12.30)missä p 2 on separointivakio ja q 2 = γ 2 − p 2 . Ratkaisu onB z (x, y) =B 0 (e ipx + Ce −ipx )(e iqy + De −iqy ) (12.31)missä B 0 , C ja D ovat vakioita. Reunaehdot toteutuvat, josC = D =1sin pa =0⇒ p = mπ/a, m =0, 1, 2, ... (12.32)sin qb =0⇒ q = nπ/b, n =0, 1, 2, ...Yhtälön ominaisarvot ovat siisγmn 2 = p 2 + q 2 = π 2 (m 2 /a 2 + n 2 /b 2 ) (12.33)joita vastaavat ratkaisut ovatB z,mn (x, y) =B mn cos mπxanπycosb(12.34)Katkaisutaajuudet ovat√ω mn = cγ mn = πc m 2 /a 2 + n 2 /b 2 (12.35)Jos a>b, niin matalin katkaisutaajuus on ω 10 = πc/a.Tämän TE 10 -moodinB z -komponentti onB z = B 0 cos πxa ei(kz−ωt) (12.36)ja muut komponentit saadaan yhtälöistä 12.24 ja 12.25:B t = − ikaπ B 0 sin πxa ei(kz−ωt) e x (12.37)

160 LUKU 12. AALTOPUTKET JA RESONANSSIKAVITEETITk =E t = iωaπ B 0 sin πx√ω 2 /c 2 − π 2 /a 2 =a ei(kz−ωt) e y (12.38)√ω 2 − ω102c(12.39)Vastaavalla tavalla käsitellään z-akselin negatiiviseen suuntaan etenevä aalto(e −ikz ).12.3 ResonanssikaviteetitTarkastellaan äärellisen pituisia sylinterimäisiä aaltoputkia (kaviteetteja, onkaloita),joiden päissä on täydellisesti johtavat seinät. Sisällä oleva aineon johtamatonta sähkömagneettisin parametrein µ 0 , ɛ 0 . Resonanssikaviteettion onkalo, jonka pituus on jonkin aaltoputken moodin aallonpituudenmonikerta. Kenttien z-riippuvuus on muotoa A sin kz + B cos kz (seisovataallot eli e +ikz ja e −ikz - aaltojen summa). Jos päädyt ovat tasoilla z =0jaz = d, niin reunaehdot voivat sekä TM- että TE-moodeille toteutua vain,jos k = πp/d, p =0, 1, 2, ... Silloinγ 2 = ω2c 2 − π2 p 2d 2 (12.40)eli jokaisella p ominaisarvoa γ q vastaa ominaistaajuus ω qp :ωqp 2 = c 2 (γq 2 + π2 p 2d 2 ) (12.41)Ominaisarvot määräytyvät systeemin geometriasta. Havaitaan seuraava eroaaltoputkien ja resonanssikaviteettien välillä: aaltoputkissa taajuus ω voisaada minkä tahansa katkaisutaajuutta suuremman arvon. Kaviteetissa taajuussaa vain diskreettejä arvoja.TM- ja TE-moodit voidaan käsitellä käyttämällä suoraan aaltoputkillesaatuja tuloksia laskemalla sopivasti yhteen e +ikz -jae −ikz -aaltoja. EsimerkiksiTM-moodilla sähkökentän tangentiaalikomponentin häviäminen pinnoillaz =0jaz = d vaatii, ettäE z = ψ(x, y) cos πpz(12.42)dkoska silloinE t = − πp πpzγ 2 sind d ∇ tψ(x, y) (12.43)Funktio ψ toteuttaa Helmholtzin yhtälön(∇ 2 + γ 2 )ψ(x, y) = 0 (12.44)

12.3. RESONANSSIKAVITEETIT 161Magneettikenttä saadaan lausekkeestaB t =iω πpzγ 2 cosc2 d e z ×∇ t ψ(x, y) (12.45)Hyödyllinen HT on osoittaa, että nämä lausekkeet toteuttavat kaikki Maxwellinyhtälöt. Reunaehdoista seuraa puolestaan lisäehtoja ψ:lle.Esimerkkinä tarkastellaan ympyräsylinteriä(säde R). TM-moodissa E z :non hävittävä sylinterin pystyreunoilla eli sylinterikoordinaateissa ψ(R, φ) =0. Separointimenetelmällä saadaan fysikaalisesti kelvolliseksi ratkaisuksiψ(r, φ) =ψ mn (r, φ) =AJ m (γ mn r)e ±imφ ,m=0, 1, 2, ... (12.46)missä J m on Besselin funktio ja γ mn = x mn /R ja x mn on yhtälön J m (x) =0n:s juuri. Ominaistaajuudet ovat nytωmnp 2 = c 2 ( x2 mnR 2 + π2 p 2d 2 ) (12.47)Alin TM-moodi on TM 010 , jossa ω 010 ≈ 2.405c/R. Tämä on riippumatonsylinterin korkeudesta. Vastaavalla tavalla käsitellään TE-moodit (yksityiskohdatsivuutetaan). Niiden ominaistaajuuksissa on aina myös d-riippuvuus,joten taajuuksien säätäminen on helpompaa kuin TM-moodilla.MikroaaltouuneistaMikroaallot ovat sähkömagneettista säteilyä aallonpituuksilla 1 mm-0.3 m(taajuus 10 9 −3·10 11 Hz). Mikroaaltouunin käyttö ruuanvalmistuksessa perustuusiihen, että mikroaallot saavat ruoka-aineiden polaariset molekyylitpyörähtelemään. Kitkan takia osa pyörähdysenergiasta muuttuu lämmöksi.Mikroaaltouuneissa käytetään tyypillisesti aallonpituutta 12.2 cm (taajuus2450 MHz), jolloin saavutetaan hyvä absorptio erityisesti vesimolekyylille.Oleellista on, että ruoka-aineiden pitää sisältää polaarisia molekyylejä. Polaarittomataineet läpäisevät mikroaaltoja, ja metallit taas heijastavat niitä.Tyypillinen tunkeutumissyvyys ruoka-aineissa on muutaman senttimetrinluokkaa. Kypsennys tapahtuu siis suoraan ruuan sisällä, ellei annos ole kovinpaksu, jolloin sisäosissa kuumennus tapahtuu johtumalla. Mikroaaltouunintärkein osa on luonnollisesti uunitila, jossa ruoka kuumennetaan ja jokasiis on resonanssikaviteetti. Mikroaaltokenttä synnytetään magnetronissa,josta kenttä johdetaan aaltoputkea pitkin uuniin. Magnetroni koostuu useastaresonanssiontelosta (sähköisestävärähtelypiiristä). Erillinen uunitila ontarpeen, koska näihin onteloihin ei saada mahtumaan ruokaa.

162 LUKU 12. AALTOPUTKET JA RESONANSSIKAVITEETIT

Luku 13Liikkuvan varauksen kenttäTässä luvussa tutustutaan liikkuvan varauksen aiheuttamaan kenttään. Jokaisensähködynaamikon on laskettava ainakin kerran elämässään Liénardinja Wiechertin potentiaalit ja kentät.13.1 Liénardin ja Wiechertin potentiaalitTarkastellaan yksittäistä varauksellista hiukkasta, jonka rata on r = r q (t).Varaus- ja virrantiheys ovat tällöinρ(r,t) = qδ(r − r q (t)) (13.1)J(r,t) = qṙ q δ(r − r q (t)) (13.2)Käyttökelpoisten potentiaalien laskeminen ei ole aivan helppo tehtävä. Hahmotellaantässä ratkaisumenetelmä Greenin funktioita käyttäen (yksityiskohdatHT).Tehtävänä on ratkaista epähomogeeniset aaltoyhtälöt(∇ 2 − 1 ∂ 2 )c 2 ∂t 2 ϕ = −ρ/ɛ 0 (13.3)(∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2∂t 2 )A = −µ 0 J (13.4)Kuten luvussa 9 todettiin, näiden ratkaisut ovat Greenin funktion avullalausuttuina∫ ∫ψ ± (r,t)= G ± (r,t; r ′ ,t ′ )f(r ′ ,t ′ ) dV ′ dt ′ (13.5)missä ψ ± (r,t)ovat viivästyneet (+)ja edistyneet (–)skalaaripotentiaalit taivektoripotentiaalin karteesiset komponentit ja f(r ′ ,t ′ )vastaa lähdetermejä163

164 LUKU 13. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄ(ρ/ɛ 0 ,µ 0 J). Nyt riittää käyttää viivästyneen potentiaalin Greenin funktiotaG(r,t; r ′ ,t ′ )= 1 δ(t ′ − (t −|r − r ′ |/c))4π |r − r ′ |(13.6)Tekijä 4π on otettu Greenin funktion määritelmään, kun se luvussa 9 oliG:n aaltoyhtälössä.Ensin integroidaan paikkaintegraalit lähdetermien δ-funktioiden avulla.Sen jälkeen aikaintegraalia laskettaessa käytetään hyväksi tulosta∫f(x)δ(g(x))dx = ∑ if(x i )|g ′ (x i )|(13.7)missä g(x i )= 0. Lopputuloksena saadaan Liénardin ja Wiechertin potentiaalit:ϕ(r,t)=q []1= q [ ]1(13.8)4πɛ 0 (1 − n · β)R 4πɛ 0 R − R · βA(r,t)=q [4πɛ 0 cβ(1 − n · β)Rret]retret= q [ ]β4πɛ 0 c R − R · βret(13.9)missä R = r − r q , n = R/R ja β = v/c. Alaindeksi ret viittaa lausekkeenlaskemiseen viivästyneellä ajalla t ′ , joka on ratkaistava ehdostaHavaitsija siis mittaa kentän pisteessä r hetkellä t.t ′ + |r − r q (t ′ )|/c = t (13.10)Kaikkein eleganteinta (?), joskaan ei sen helpompaa, on tehdä ylläolevalasku relativistisessa formalismissa, missä ϕ ja A ovat nelipotentiaalin A αkomponentit ja∫A α (x) = G(x − x ′ )J α (x ′ ) d 4 x ′ (13.11)(ks. Jackson tai CL luku 13.3).13.2 Kenttien laskeminenKun potentiaalit tunnetaan, kentät saadaan derivoimalla, joka vaatii nytkärsivällisyyttä. Hankaluuden aiheuttaa viivästyneen ajan implisiittisestimäärittelevä yhtälö 13.10. Aluksi kannattaa selvittää itselleen koordinaatisto(kuva 13.1). Sähkökenttä saadaan lausekkeestaE = −∇ϕ − ∂A∂t =q [ ]∇(R − β · R)4πɛ 0 (R − β · R) 2 −q [ ∂4πɛ 0 c ∂tβR − β · R](13.12)

13.2. KENTTIEN LASKEMINEN 165r (t’) qr (t) qR(t’) = r–r (t’) qr (t’) qrKuva 13.1: Varauksellisen hiukkasen liiketila hetkellä t ′ määrää kentänmyöhempänä hetkenä t. Kenttä etenee pisteestä r q (t ′ )havaintopisteeseenr ajassa R(t ′ )/c, jolloin hiukkanen on ehtinyt radallaan pisteeseen r q (t).Hakasulku viittaa lausekkeen laskemiseen viivästetyllä ajalla (jätetään sulutpois välivaiheissa).Aloitetaan R(t ′ ):n derivoinnista: koska t ′ riippuu paikkavektorista r, niin∇R(t ′ )=−c∇t ′ . Derivoidaan lauseketta 13.10 puolittain, jolloin esimerkiksigradientin x-komponentti on∂t ′∂x = −x − x q − cβ · (r − r q )(∂t ′ /∂x)c|r − r q |(13.13)Tässä onkäytetty derivoinnin ketjusääntöä ∂/∂x =(∂t ′ /∂x)(∂/∂t ′ ). Nytvoidaan ratkaista∂t ′∂x = −(x − x q)(13.14)c(R − β · R)joten∇t ′ R= −(13.15)c(R − β · R)jaR∇R =R − β · RTarvitaan myös ∇(β · R). Lasketaan taas x-komponentti:Täten(13.16)(∇(β · R)) x = β x + ∂t′∂x ( ˙β · R − β · ṙ q )(13.17)∇(β·R) =β+( ˙β·R−β·ṙ q )∇t ′ = (R − β · R)β +(β2 − ˙β · R/c)RR − β · R(13.18)

166 LUKU 13. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄKokoamalla tulokset saadaan skalaaripotentiaalin gradientiksi∇ϕ = −q[R − (R − β · R)β − (β 2 − ˙β]· R/c)R4πɛ 0 (R − β · R) 3(13.19)Vektoripotentiaalia varten täytyy laskea ∂R/∂t = c(1 − ∂t ′ /∂t). Nytjosta ratkaistaanVastaavalla tavalla saadaan∂t ′∂t =1+β · R ∂t ′R ∂t∂t ′∂t =RR − β · R(13.20)(13.21)∂R∂t = ∂t′ ∂R∂t ∂t ′ = − cRβR − β · R(13.22)Vektoripotentiaalin lausekkeessa esiintyvä aikaderivaatta on siis[ ∂∂t]βR − β · R=Sähkökentäksi saadaan lopultaE(r,t)=[R(R − β · R) ˙β +(R ˙β · R + cβ · R − cRβ 2 ])β(R − β · R) 3q[(1 − β 2 )(R − Rβ)+R × ((R − Rβ) × ˙β)/c]4πɛ 0 (R − β · R) 3ret(13.23)(13.24)Samanlaisten veivausten (luonnollisesti HT)jälkeen saadaan magneettikentällelausekeB(r,t)= 1 [ ] R× E(r,t)(13.25)c RVälittömästi todetaan, että staattisen varauksen (β =0)sähkökenttä onCoulombin kenttä. Silloin sähkökenttä on yhdensuuntainen vektorin R kanssa,joten staattinen varaus ei odotetusti aiheuta magneettikenttää. Vakionopeudellaliikkuvan varauksen kenttä on selvästi tekemisissä Lorentzin muunnoksenkanssa. Säteilykentäksi kutsutaan kiihtyvyyteen ˙β verrannollistatermiä, joka pienenee kaukana varauksesta kuten 1/R eli kertalukua hitaamminkuin Coulombin kenttä. Tästä seuraa erityisesti se, että säteilykentänPoyntingin vuo ei mene nollaan äärettömyydessäkään. Tarkastellaan näitätilanteita seuraavassa yksityiskohtaisemmin.ret

13.2. KENTTIEN LASKEMINEN 167y(x,y,z)zrq(t’) = rq(t-R/c)= (vt’,0,0)R = r–r (t’) qxKuva 13.2: Vakionopeudella liikkuvan varauksellisen hiukkasen kentänlaskeminen.13.2.1 Vakionopeudella liikkuvan varauksen kenttäTarkastellaan x-akselia pitkin vakionopeudella v liikkuvan varauksen kenttää(kuva 13.2). Kenttä pisteessä (x, y, z)lasketaan hetkellä t, jolloin varauson ehtinyt pisteeseen (vt, 0, 0)(varaus on ohittanut origon hetkellä t =0).Koska R = √ (x − vt ′ ) 2 + y 2 + z 2 = c(t − t ′ ), niin viivästynyt aika t ′saadaan lausekkeesta√(1 − β 2 )t ′ = t − βx/c − (1/c) (x − vt) 2 +(1− β 2 )(y 2 + z 2 )(13.26)jolloin[R − R · β] ret=√(x − vt) 2 +(1− β 2 )(y 2 + z 2 )(13.27)Skalaaripotentiaali voidaan nyt esittää muodossaϕ(x, y, z, t) =qγ√ (13.28)4πɛ 0 γ 2 (x − vt) 2 + y 2 + z 2missä γ =1/ √ 1 − β 2 . Vektoripotentiaalilla on vain x-komponenttiA x (x, y, z, t) =βϕ(x, y, z, t)/c (13.29)Varauksen lepokoordinaatistossa potentiaalilla on tuttu lausekeϕ(x, y, z, t) =q 1√ (13.30)4πɛ 0 x 2 + y 2 + z 2Liikkuvan varauksen potentiaali saadaan (melkein)koordinaattimuunnoksella,jossa y ja z pysyvät ennallaan ja x:stä tulee γ(x − vt). Vielä jää mietittäväksi,mistä tekijä γ ilmestyy kertomaan potentiaalia. Lisäksi täytyisi

168 LUKU 13. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄselvittää, mistä vektoripotentiaali saadaan, kun se on nolla lepokoordinaatistossa.Tähän palataan suhteellisuusteoriassa, jossa A:n ja ϕ:n havaitaanyhdessä muodostavan nelivektorin.Kentät saadaan derivoimalla (tällä kertaa helposti):E x (x, y, z, t) =q γ(x − vt)4πɛ 0 (γ 2 (x − vt) 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (13.31)E y (x, y, z, t) =q4πɛ 0E z (x, y, z, t) =q4πɛ 0γy(γ 2 (x − vt) 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (13.32)γz(γ 2 (x − vt) 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (13.33)B(x, y, z, t) = v × E(x, y, z, t)(13.34)c2 Nämä lausekkeet pätevät kaikilla nopeuksilla. Kaukana varauksesta kenttäheikkenee kääntäen verrannollisesti etäisyyden neliöön. Suurellakaan nopeudellaliikkuva hiukkanen ei siis säteile.Kenttää on mukavinta tarkastella varauksen kulloisenkin paikan suhteen.Kohtisuorassa suunnassa (x − vt =0)sähkökentän voimakkuus onE =√Ey 2 + Ez 2 = q γ4πɛ 0 y 2 + z 2 (13.35)Tämä on Coulombin kenttä tekijällä γ suurennettuna (aina γ ≥ 1). Varauksenedessä ja takana y = z =0jaE = E x =q 14πɛ 0 γ 2 (x − vt) 2 (13.36)Tämä on puolestaan Coulombin kenttä tekijällä 1/γ 2 pienennettynä.Kenttäviivat saadaan piirtämällä ensin staattisen varauksen kenttäviivatja sitten liikuttamalla kuviota suurella nopeudella silmien ohi, jolloin havaitaanLorentz-kontraktio (ei onnistu kotioloissa kovin helposti). Vaihtoehtoisestipuristetaan x-akselia kasaan tekijän γ verran (kuva 13.3). Kannattaakuitenkin muistaa, että kenttäviivat eivät ole todellisia fysikaalisia olioita.Magneettikentän hahmottaminen jää lukijan mietittäväksi samoin kuin hitaastiliikkuvan varauksen magneettikentän osoittaminen samaksi kuin luvussa5.13.2.2 Kiihtyvässä liikkeessä olevan varauksen kenttäTarkastellaan aluksi epärelativistista rajaa (β ≪ 1), jolloin 1/R-säteilykentiksituleeE rad (r,t)=q n × (n × ˙v)/R (13.37)4πɛ 0 c2

13.2. KENTTIEN LASKEMINEN 169vKuva 13.3: Vakionopeudella liikkuvan varauksellisen hiukkasen sähkökentänkenttäviivat. Vasemmalla staattinen varaus, oikealla liikkuva varaus.B rad (r,t)= 1 Rc R × E = q ˙v × n/R (13.38)4πɛ 0 c3 missä n = R/R. Näistä saadaan Poyntingin vektoriksiS = 1 µ 0E rad × B rad =q 2 |R × ˙v| 216π 2 ɛ 0 c 3 R 5 R (13.39)Tämä vaimenee etäisyyden funktiona kuten 1/R 2 , joten Poyntingin vuo ei1/R-säteilykentillä mene nollaksi kaukanakaan varauksesta.Säteilyteho avaruuskulmaan dΩ on siisdPdΩ = q2 ˙v 216π 2 ɛ 0 c 3 sin2 θ (13.40)missä θ on ˙v:n ja n:n välinen kulma. Suorittamalla kulmaintegroinnit saadaanLarmorin kaavaP = q2 ˙v 26πɛ 0 c 3 (13.41)Tästä on oleellista ymmärtää, mistä verrannollisuus tekijään (q ˙v) 2 on peräisin.Relativistisille hiukkasille t:n ja t ′ :n välinen ero on tärkeä. Aikavälillät 1 = t ′ 1 + R(t′ 1 )/c...t 2 = t ′ 2 + R(t′ 2 )/c säteilty energia onW =∫ t2t 1[S · n] retdt =∫ t ′2t ′ 1S · n dtdt ′ dt′ (13.42)

170 LUKU 13. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄOn siis mielekästä määritellä hiukkasen säteilyn intensiteetti S · n dt/dt ′ =S · n (1 − n · β)sen omassa ajassa ja omassa paikassa:dP (t ′ )dΩ = q 2 ∣∣n × ((n − β) × ˙β) ∣ 216π 2 ɛ 0 c (1 − n · β) 5 (13.43)Kun β → 1, niin dP/dΩ:n nimittäjän merkitys kasvaa ja säteilykeila alkaavenyä hiukkasen liikkeen suuntaan. Maksimi-intensiteetti saavutetaan, kunθ max → 1/(2γ)ja keilan leveys on ≈ 1/γ. Koska laskuissa ei ole tehty oletuksiakiihtyvyyden suunnasta, saadut kaavat kuvaavat sekä jarrutussäteilyäettä syklotroni- ja synkrotronisäteilyä. Säteilyn kokonaisteho saadaan integroimallakulmien yli (siis ei helposti)tai tekemällä Larmorin kaavalleLorentzin muunnos (jos osataan suhteellisuusteoriaa). Lopputulos onP =q26πɛ 0 c γ6 ( ˙β 2 − (β × ˙β) 2 )(13.44)

Luku 14Säteilevät systeemitEdellisessä luvussa käsiteltiin vain yhden varauksellisen hiukkasen säteilykenttiä.Nyt tutustutaan esimerkinomaisesti yksinkertaisiin antenneihin javarausjoukon aiheuttamaan säteilyyn.14.1 Värähtelevän dipolin kenttäTarkastellaan tyhjössä olevaa sähköistä dipolia, joka muodostuu kahdesta z-akselilla pisteissä z = ±L/2 sijaitsevasta pallosta (kuva 14.1). Ne on yhdistettyjohdolla, jonka kapasitanssi voidaan jättää huomiotta. Ylemmän pallonvaraus olkoon q(t), alemman −q(t).Varauksen säilyminen antaa virrantiheydeksiJ(r,t)=I(t)δ(x)δ(y)θ(L/2 − z)θ(z + L/2) e z (14.1)qzL/2yx–q–L/2Kuva 14.1: Yksinkertainen dipoliantenni.171

172 LUKU 14. SÄTEILEVÄT SYSTEEMITmissä I =+dq/dt. Viivästyneellä vektoripotentiaalillaA(r,t)= µ ∫04π Von nyt ainoastaan z-komponenttiJ(r ′ ,t−|r − r ′ |/c)|r − r ′ |dV ′ (14.2)A z (r,t)= µ ∫ L/20 I(t −|r − z ′ e z |/c)4π −L/2 |r − z ′ dz ′ (14.3)e z |Katsotaan dipolia kaukaa (L ≪ r), jolloin|r − z ′ e z | =(r 2 − 2z ′ e z · r + z ′2 ) 1/2 ≈ r − z ′ cos θ (14.4)missä θ on katselupisteen paikkavektorin r ja z-akselin välinen kulma. Vektoripotentiaalinnimittäjässä z ′ cos θ voidaan jättää huomiotta, kun dipoliakatsotaan kaukaa. Viivästystermissä se voidaan jättää huomiotta, josz ′ cos θ/c on pieni verrattuna virran muutoksen aikaskaalaan, esimerkiksiharmonisesti värähtelevän virran jaksoon T . Koska z ′ cos θ ≤ L/2, voidaanz ′ cos θ/c jättää huomiotta vain, josL/2 ≪ cT = λ (14.5)Oletetaan, että näin on eli että syntyvän aallon aallonpituus λ on paljondipolin pituutta suurempi ja tarkastellaan dipolia kaukaa. TällöinA z (r,t)= µ 0 LI(t − r/c)(14.6)4π rSkalaaripotentiaalin laskeminen on yksinkertaisinta käyttäen Lorenzin mittaehtoa∇·A + 1 ∂ϕc 2 ∂t = 0 (14.7)mistä saadaan∂ϕ∂t[ 1r I(t − r/c) ]= − L ∂4πɛ 0 ∂z[ ]L z z= I(t − r/c)+4πɛ 0 r3 r 2 c I′ (t − r/c)(14.8)missä I ′ on I:n (t − r/c):n suhteen laskettu derivaatta. Koska toisaalta I =+q ′ , missä q ′ on saman argumentin suhteen otettu derivaatta, saadaanϕ(r,t)=L [ ]z q(t − r/c) I(t − r/c)4πɛ 0 r 2 + (14.9)rcRajataan tarkastelu harmonisesti värähtelevään dipoliinq(t − r/c) = q 0 cos ω(t − r/c)I(t − r/c) = I 0 sin ω(t − r/c) = −ωq 0 sin ω(t − r/c)(14.10)

14.1. VÄRÄHTELEVÄN DIPOLIN KENTTÄ 173Kirjoitetaan A pallokoordinaatistossaA r = µ 0 I 0 L4π rA θ = − µ 04πA φ = 0cos θ sin ω(t − r/c)I 0 LrNyt ∇×A:lla on vain φ-komponentti, jotenB φ = 1 ∂(rA θ )− 1 ∂A rr ∂r r ∂θ= µ 04πsin θ sin ω(t − r/c)(14.11)I 0 Lr sin θ [ ωc cos ω(t − r/c)+1 r sin ω(t − r/c) ](14.12)Sähkökenttä onE = −∂A/∂t −∇ϕ:E r = 2I [ ]0L cos θ sin ω(t − r/c) cos ω(t − r/c)4πɛ 0 r 2 −cωr 3E θ = − I [(0L sin θ 14πɛ 0 ωr 3 − ω )rc 2 cos ω(t − r/c) − 1]r 2 c sin ω(t − r/c)E φ = 0 (14.13)Koska B on kaikkialla tangentiaalinen dipoli keskipisteenä piirretylle pallonpinnalle, kyseessä on TM-moodi (HT: totea, että suurilla r:n arvoilla E =cB × e r ).Lasketaan dipolin säteilemä energia integroimalla Poyntingin vektorinnormaalikomponentti R-säteisen pallon pinnan yli.∮S · n da = 1 ∫ πR 2 E θ B φ 2π sin θdθ (14.14)µ 0Kun R → ∞, ainoastaan 1/r:ään verrannolliset termit antavat nollastapoikkeavan osuuden. Rajoittumalla näihin tulee tehoksi0∮S · n da = (I 0L) 2 ω 26πɛ 0 c 3 cos2 ω(t − R/c)(14.15)Tämä on siis dipolin hetkellisesti säteilemä teho. Integroimalla jakson ylisaadaan keskimääräinen säteilyteho〈P 〉 = l2 ω 26πɛ 0 c 3 I 2 02 = 2π 3√ ( ) µ0 L 2I02ɛ 0 λ 2(14.16)Tämän voi tulkita siten, että vastus R, jossa kulkee sinimuotoinen virtaI 0 cos ωt, kuluttaa energiaa keskimääräisellä teholla 〈P 〉 = RI0 2 /2. SuurettaR r = 2π 3√ ( ) µ0 L 2 ( ) L 2≈ 789 Ω (14.17)ɛ 0 λλ

174 LUKU 14. SÄTEILEVÄT SYSTEEMITkutsutaan säteilyvastukseksi. Mikäli dipoli ei ole tyhjössä, on permittiivisyysja permeabiliteetti korvattava väliaineen vastaavilla suureilla.Magneettinen dipoli käsitellään aivan samaan tapaan. Se voidaanesittää ympyräsilmukkana, jossa kulkee sinimuotoinen virta. Dipolivektorion kohtisuorassa silmukan tasoa vastaan. Koska virralla on vain φ-komponentti,on vektoripotentiaalin ainoa nollasta poikkeava komponenttiA φ (r,t)= µ 0I 0 a4π∫ 2π0cos ω(t −|r − r ′ |/c)|r − r ′ |cos φdφ (14.18)missä a on virtasilmukan säde. Nyt dipoliapproksimaatio edellyttää, ettär ≫ a ja ωa ≪ c. Tästä eteenpäin lasku etenee samalla reseptillä kuinedellä (HT). Erona värähtelevään sähködipoliin on, että tällä kertaa aallonsähkökenttä on dipolikeskisen pallon tangentti eli kyseessä on TE-moodi.Huom. Oletettaessa harmoninen aikariippuvuus (e −iωt )skalaaripotentiaaliaei välttämättä tarvitse laskea. Magneettikenttä määräytyy pelkästäänvirrasta vektoripotentiaalin kautta. Toisaalta lähdealueen ulkopuolella∇×B = −iωµ 0 ɛ 0 E (14.19)josta saadaanE = ic2 ∇×B (14.20)ω14.2 PuoliaaltoantenniEdellä saatu tulos ei anna oikeaa säteilytehoa oikealle radioantennille, koskayleensä antenni ei ole lyhyt verrattuna aallonpituuteen eikä sitä yleensäsyötetä päistä vaan keskeltä.Tarkastellaan tasan puolikkaan aallonpituuden mittaista antennia. Tämäon realistinen esimerkki, koska esimerkiksi 100 MHz aallon aallonpituuson 3 m. Antennin voi ajatella koostuvan infinitesimaalisista osista, joihinkuhunkin sopii edellä ollut tarkastelu. Olkoon antenni z-akselilla välillä(−λ/4, +λ/4)ja kulkekoon siinä virta( 2πzI(z ′ ′ ),t)=I 0 sin ωt cos(14.21)λTämä on nolla antennin molemmissa päissä. Nyt pisteen z ′ ympärillä olevaelementti dz ′ tuottaa tyhjössä sähkökentän θ-komponenttiin(sin θ2πz′ )dE θ = I 04πɛ 0 Rc 2 ω cos ω(t − R/c)cos dz ′ (14.22)λ

14.2. PUOLIAALTOANTENNI 175Tässä R on etäisyys dz ′ :sta katselupisteeseen ja kertalukua 1/R 2 olevat termiton jätetty huomiotta. Magneettikenttään tulee puolestaan osuusdB φ = µ (0 I 0 ω2πz′ )4π Rc sin θ cos ω(t − R/c)cos dz ′ (14.23)λE θ :n ja B φ :n laskemiseksi on integroitava lausekeK =∫ π/2−π/21cos ω(t − R/c)cos udu (14.24)Rmissä u = 2πz ′ /λ. Nyt jälleen R = r − z ′ cos θ ja riittävän suurella rnimittäjässä voidaan korvata R → r. Kosinitermissä täytyy kuitenkin ollavarovainen ja kirjoittaaK = 1 r∫ π/2−π/2Tämän voi esittää muodossajolloin lopputulos oncos[ω(t − r/c)+u cos θ] cos udu (14.25)K = 1 ∫ π/2r Re (eiω(t−r/c) du e iu cos θ cos u)−π/2K = 2 θ]cos ω(t − r/c)cos[(π/2)cosr sin 2 (14.26)θSijoittamalla tämä sähkö- ja magneettikenttien lausekkeisiin saadaanE θ =B φ = µ 0I 02πrKeskimääräiseksi säteilytehoksi tuleeI 0θ]cos ω(t − r/c)cos[(π/2)cos2πɛ 0 rc sin θcos ω(t − r/c)cos[(π/2)cosθ]sin θ(14.27)(14.28)〈P 〉 = 1 √ ∫ µ0 πI 2 cos 2 [(π/2)cos θ]04π ɛ 0 0 sin 2 sin θdθ (14.29)θIntegraalin numeerinen arvo on 1,219, joten puoliaaltoantennin säteilytehoon〈P 〉 =73, 1Ω I2 0(14.30)2Tästä eteenpäin antennilaskut käyvät pian hankaliksi. Jo se korjaus, ettäantennia syötetään usein keskeltä sinimuotoisella virralla tai jännitteellä aiheuttaateknisiä monimutkaisuuksia.

176 LUKU 14. SÄTEILEVÄT SYSTEEMIT14.3 Liikkuvan varausjoukon aiheuttama kenttäTarkastellaan sitten mielivaltaisen varausjoukon säteilyä. Oletetaan, että varausjoukkoon etäällä tarkastelupisteestä siten, että joukko pysyy tilavuudessaV 1 sen ajan, joka aallolta kuluu saavuttaa tarkastelupiste ja V 1 :n mitatovat pienet verrattuna etäisyyteen tarkastelupisteestä (siis v ≪ c). Oletetaanlisäksi, että tilavuuden pituusskaalat ovat pieniä hallitseviin säteilynaallonpituuksiin verrattuina ja että varaukset ovat tyhjössä.Valitaan origo tilavuuden V 1 sisälle, merkitään varauksien koordinaattejar ′ :llä, tarkastelupiste olkoon r ja R = r − r ′ . NytR = |r − r ′ |≈r − r · r′rViivästynyt skalaaripotentiaali tarkastelupisteessä onϕ(r,t) =≈Käyttäen binomisarjaa∫14πɛ 0∫14πɛ 0ρ(r ′ ,t− R/c)V 1RdV ′ρ(r ′ ,t− r/c + r · r ′ /cr)V 1r − (r · r ′ )/r(14.31)dV ′ (14.32)(r − r · r ′ /r) −1 = r −1 + r −2 (r · r ′ /r)+... (14.33)ja Taylorin kehitelmääρ(r ′ ,t− r c + r · ) (r′= ρ r ′ ,t− r )+ r · r′ ∂ρ∣crc cr ∂tsaadaanϕ(r,t) =∣ r ′ ,t−r/c+ ... (14.34)∫ (1ρ r ′ ,t− r )dV ′ + 1 ∫ (4πɛ 0 r V 1c 4πɛ 0 r 3 r · r ′ ρ r ′ ,t− r )dV ′V 1c1+4πɛ 0 r 2 c r · d ∫ (r ′ ρ r ′ ,t− r )dV ′ + ...dt V 1cEnsimmäinen integraali antaa jakautuman kokonaisvarauksen, toinen dipolimomentinja kolmas dipolimomentin aikaderivaatan ja loput ovat korkeampiamultipolimomentteja, jotka häviävät etäällä nopeammin. Siisϕ(r,t)= 14πɛ 0[ Qr+r · p(t − r/c)r 3+]r · ṗ(t − r/c)cr 2(14.35)Viivästynyt vektoripotentiaali on puolestaanA(r,t) = µ ∫0 J(r ′ ,t− r/c + r · r ′ /cr)4π V 1r − (r · r ′ dV ′)/r= µ ∫ (0r ′ ,t− r )dV ′ + ... (14.36)4πrcV 1J

14.3. LIIKKUVAN VARAUSJOUKON AIHEUTTAMA KENTTÄ 177Äärelliselle tilavuudelle V pätee ∫ VJ dV = dp/dt (HT), jolloinA(r,t)= µ 0− r/c)(14.37)4πrṗ(tOlisimme yhtä hyvin voineet johtaa tämän ensin ja laskea sitten ϕ:n käyttäenLorenzin mittaehtoa.Rajoitutaan jatkossa säteilykenttiin, jotka siis pienenevät etäisyyden funktionakaikkein hitaimmin (r −1 ). Laskettaessa ∇ϕ:ta todetaan, että koska ṗon (t − r/c):n funktio, ∂ṗ/∂r = −(1/c)¨p, jotenE(r,t)=− µ 01 r · ¨p(t − r/c)¨p(t − r/c)+4πr 4πɛ 0 c 2 r 3 r (14.38)Samoin laskettaessa vektoripotentiaalin roottoria täytyy huomioida se, ettäA on (t − r/c):n funktio. Pieni vektoriakrobatia (HT) antaa säteilykentäksiB(r,t)=∇×A(r,t)=− µ 0r × ¨p (14.39)4πcr2 Edellä saatu sähkökenttä on (HT)E(r,t)=− c r r × B(r,t)(14.40)Kaikissa laskuissa dipolimomentin aikaderivaatta on laskettava viivästetylläajanhetkellä t−r/c, joka on sama koko varausjakaumalle pieniksi oletettujennopeuksien vuoksi.Säteilykenttä on poikittainen SM-aalto, jonka Poyntingin vektori onS = cB2µ 0 r r = 116π 2 ɛ 0 c 3 r 5 (r × ¨p)2 r (14.41)Jos z-akseli valitaan ¨p:n suuntaiseksi, niinS = ¨p2 sin 2 θ r16π 2 ɛ 0 c 3 r 2 (14.42)rSäteilyn maksimisuunta on kohtisuoraan ¨p:tä vastaan. Säteilytehon P R laskemiseksitarkastellaan pallonkuorta, joka on kokonaan säteilyalueessa:P R∮∂VS · n da = 16πɛ 0¨p 2c 3 (14.43)Varausjoukko siis säteilee, mikäli siihen liittyvällä dipolimomentilla on”kiihtyvyyttä”. Edellä käsitelty dipoliantenni on esimerkki tällaisesta tilanteesta.Niinkin voi käydä, että vaikka varausjoukossa olisi kiihtyvässä liikkeessäolevia varauksia, niiden muodostama dipolimomentti voisi olla ajastariippumaton, mutta varaukset säteilisivät siitä huolimatta. Tällöin edellä

178 LUKU 14. SÄTEILEVÄT SYSTEEMITolevissa sarjakehitelmissä on mentävä korkeampiin kertalukuihin. Seuraavanatulee kvadrupolitermi ja itse asiassa kvadrupoliantenni on aivan käyttökelpoinenvehje. Sen etuna on se, että kenttä pienenee kuten r −2 , joten seei häiritse kaukana lähteestä olevia vastaanottimia.Tässä esitetty tarkastelu soveltuu myös yksittäiseen kiihtyvään varaukseen,jolloin ¨p = q ˙v ja saadaan tuttu Larmorin kaavaP R =q2 ˙v 26πɛ 0 c 3 (14.44)Se on voimassa hitaasti liikkuvalle (ei-relativistiselle)kiihtyvälle varaukselle.

Luku 15Elektrodynamiikka jasuhteellisuusteoriaTämän luvun esitietoina oletetaan modernin fysiikan alkeista tai muualtatutut perustiedot Lorentzin muunnoksista jne. Koska tensorilaskenta eiole kaikille ennestään tuttua, tässä luvussa esitellään joitain käytännönlaskuissa tarvittavia perusasioita. Johdatus tensoreihin löytyy CL:n lisäksikirjoista Honkonen, Pitkänen, Perko: Fysiikan matemaattiset apuneuvot(Limes, 1994) tai Arfken, Weber: Mathematical Methods for Physicists (AcademicPress, 1995) sekä useista suhteellisuusteorian oppikirjoista.15.1 Lorentzin muunnosSuhteellisuusteoria ja elektrodynamiikka liittyvät läheisesti toisiinsa, mikäon tullut esiin useampaan kertaan. Koordinaatistomuunnosten merkitys elektrodynamiikassailmenee esimerkiksi tilanteessa, jossa on varauksia levossatarkastelijan suhteen. Hän näkee niistä aiheutuvan sähkökentän, mutta neeivät aiheuta hänen koordinaatistossaan magneettikenttää. Jos tarkastelijakuitenkin liikkuu varauksiin nähden, varaukset kuljettavat tarkastelijannäkökulmasta sähkövirtaa ja aiheuttavat magneettikentän. Niinpä sähkö- jamagneettikentät muuntuvat jollain tavoin toisikseen liikkeen seurauksena.Ehkä vieläkin tärkeämpi esimerkki liittyy lukuun 7.1, jossa kuljetettiinjohdetankoa magneettikentässä ja saatiin aikaan sähkökenttä. Siellä olennaistaoli, että siirrettiinpä sitten tankoa magneettikentässä, kestomagneettiatangon suhteen tai muutettiin magneettikenttää ajan suhteen, kaikissatapauksissa pätee sama Faradayn laki ∇×E = −∂B/∂t. Siis vaikka kentätitsessään riippuvat liiketilasta, niitä toisiinsa sitova fysikaalinen laki on liikkeestäriippumatta sama.179

180LUKU 15. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA1800-luvun lopulla sähkömagneettisen aallon olemassaolo oli kokeellisestivarmistettu tosiasia, mutta kysymys, missä koordinaatistossa sen nopeus olitasan c, oli ongelmallinen. Tähän liittyi kysymys eetteristä, johon mm. Maxwelloli itse uskonut ja joka oli hänelle ilmeisestikin tärkein syy kentänmuutosvirrankäyttöönottoon. Tämä pelasti myös jatkuvuusyhtälön, mikä olitietenkin hyvä asia sinänsä. Vuosisadan loppupuolen havainnot tähden näennäisenpaikan pienestä siirtymisestä Maan rataliikkeen suuntaan sekä kuuluisaMichelsonin ja Morleyn koe, jolla pyrittiin määrittämään Maan liikenopeuseetterin koordinaatistossa, kuitenkin viittasivat siihen, että valoetenee tyhjössä vakionopeudella havaitsijan koordinaatistosta riippumatta.Klassisessa Galilei-muunnoksessa koordinaatisto K ′ liikkuu koordinaatistonK suhteen x-suuntaan vakionopeudella v siten, että koordinaatistojenakselit ovat samansuuntaisia ja origot yhtyvät nollahetkellä. Tällöin muunnosK → K ′ on x ′ = x − vt, y ′ = y, z ′ = z,t ′ = t. Newtonin lait ovat samatmolemmissa systeemeissä. Aaltoyhtälö ei ole kuitenkaan ole sama (HT).Vuonna 1904 Lorentz huomasi, että varsin erikoinen koordinaatistomuunnosjätti Maxwellin yhtälöt samoiksi. Asian yksinkertaistamiseksi tarkastellaanhomogeenista skalaarimuotoista aaltoyhtälöä, joka kuvaa valon nopeudella(x, y, z)-koordinaatistossa K etenevää aaltoa∂ 2 ϕ∂x 2 + ∂2 ϕ∂y 2 + ∂2 ϕ∂z 2 = 1 ∂ 2 ϕc 2 ∂t 2 (15.1)Olkoon K ′ toinen koordinaatisto, joka liikkuu tasaisella nopeudella v x-akselin suuntaan. Lorentzin muunnos onx ′ 1= √ (x − vt)1 − v 2 /c2 y ′ = yz ′ = z (15.2)(t ′ 1= √ t − v )1 − v 2 /c 2 c 2 xOsittaisderivaatat muuntuvat muotoon∂∂x = ∂x′ ∂∂x ∂x ′ + ∂t′ ∂∂x ∂t ′∂= ∂y′ ∂∂y ∂y ∂y ′∂= ∂z′ ∂∂z ∂z ∂z ′ (15.3)∂= ∂x′ ∂∂t ∂t ∂x ′ + ∂t′ ∂∂t ∂t ′Sijoitetaan nämä aaltoyhtälöön (HT), jolloin saadaan koordinaatistossa K ′∂ 2 ϕ∂x ′ 2 + ∂2 ϕ∂y ′ 2 + ∂2 ϕ∂z ′ 2 = 1 c 2 ∂ 2 ϕ∂t ′ 2(15.4)

15.1. LORENTZIN MUUNNOS 181eli aalto etenee samalla nopeudella c myös koordinaatistossa K ′ .Lorentz ei ilmeisesti ymmärtänyt muunnoksen merkitystä. Ehkäpä sesoti vastoin hänenkin käsitystään eetterin olemassaolosta. Suhteellisuusteorianmerkityksen oivalsivat ensimmäisinä Poincaré ja Einstein. Poincaré olijo vuonna 1899 esittänyt suhteellisuusperiaatteen, jonka mukaan fysiikanlakien pitää olla samat toistensa suhteen tasaisessa liikkeessäolevissa koordinaatistoissa. Vuonna 1905 Einstein lisäsi tähän postulaatin,että valon nopeus tyhjössä on sama kaikissa koordinaatistoissaja riippumaton valoa lähettävän kappaleen liikkeestä. Suppeampisuhteellisuusteoria oli syntynyt.Tarkastellaan Lorentzin muunnosta neliulotteisessa avaruudessa, jonkapaikkavektori on X =(ct, x, y, z). Sen koordinaatteja merkitään x α , missäα =0, 1, 2, 3. Jatkossa käytetään kreikkalaisia indeksejä osoittamaan neliavaruudenkomponentteja ja latinalaisia indeksejä tavallisen kolmiulotteisenkotiavaruuden komponenteille (1,2,3 tai x, y, z). Otetaan lisäksi käyttöönmerkinnät β = v/c sekä γ −1 = √ 1 − β 2 = √ 1 − (v/c) 2 . Kaikilla vektoreilla(nelinopeus, nelivoima, neliliikemäärä jne.) on nyt neljä komponenttia.Esimerkiksi nelinopeus u onu = dX(15.5)dτmissä dτ = dt √ 1 − β 2 on liikkeessä olevan olion itseisaika eli aika mitattunasen omassa lepokoordinaatistossa.Sellaiset muunnokset, jotka jättävät neliömuodonI = c 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2 (15.6)invariantiksi (I = I ′ ) koordinaatistomuunnoksessa K → K ′ , ovat Lorentzinmuunnoksia. Tämän voi todeta esimerkiksi SM-aallolle tilanteessa, jossakoordinaatistojen origot ovat samat hetkellä t =0jat ′ = 0. Jos origostalähtee tuolla hetkellä SM-aalto, I = 0 aaltorintaman mukana kummassakinkoordinaatistossa.Lorentz-muunnoksen johtaminenEsitetään tässätäydellisyyden vuoksi yksi hyvin yleisiin periaatteisiin perustuvatapa johtaa Lorentz-muunnoskaavat (K. ja R. Kurki-Suonio, Vuorovaikuttavatkappaleet). Liikkukoon koordinaatisto K’ koordinaatiston K suhteenvakionopeudella v. Havaitsijat O ja O’ havaitsevat saman tapahtumanja määrittävät sen paikan ja hetken: (x, y, z, t) ja(x ′ ,y ′ ,z ′ ,t ′ ). Lisäksioletetaan, että heillä on yhteinen fysikaalisiin ilmiöihin perustuva standardi,jonka perusteella he käyttävät samoja mittayksiköitä. Etsitään havaintojenvälinen yhteys käyttäen neljää yleistä ehtoa.

182LUKU 15. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIAEhto 1. Aika ja avaruus ovat homogeenisia. Kahden infinitesimaalisen lähekkäisentapahtuman siirtymien ja aikavälien välinen muunnos (dr,dt) ↔(dr ′ ,dt ′ ) on silloin sama aina ja kaikkialla eli niiden välillä on lineaarinenyhteys. Tästä seuraa, että myös koordinaattien välinen yhteys on lineaarinen:missä a i ,b i ,c i ,d i ,e i ovat vakioita.x ′ = a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 t + e 1y ′ = a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 t + e 2z ′ = a 3 x + b 3 y + c 3 z + d 3 t + e 3t ′ = a 4 x + b 4 y + c 4 z + d 4 t + e 4Yleisyyttä rajoittamatta voidaan sopia, että koordinaatistojen origotyhtyvät kummankin nollahetkellä. Voidaan myös sopia, että koordinaattiakselitovat samansuuntaisia ja että K’ liikkuu K:n x-akselia pitkin positiiviseensuuntaan. Tällöin yhtälöryhmä yksinkertaistuu muotoonx ′ = ax + bty ′ = yz ′ = zt ′ = hx + ktEhto 2. Koordinaatistojen suhteellinen nopeus on kummankin havaitsijanmielestä sama. Tällöin K’:n origossa hetkellä t ′ sattuva tapahtuma havaitaanK:ssa hetkellä t pisteessä x = vt tapahtuvaksi: (vt, t) ↔ (0,t ′ ). Vaaditunsymmetrian mukaan pätee vastaavasti (0,t) ↔ (−vt ′ ,t ′ ). Sijoittamallamuunnoskaavoihin saadaanMuunnos siis pelkistyy muotoonmissä α = h/k.0 = avt + btt ′ = hvt + kt−vt ′ = btt ′ = ktx ′ = k(x − vt)y ′ = yz ′ = zt ′ = k(t − αx)

15.2. TENSORILASKENTAA 183Ehto 3. Valon nopeus c on absoluuttinen. Tämä on ratkaiseva ero klassiseenGalilei-muunnokseen verrattuna. Ajatellaan, että yhteisellä nollahetkellä yhteisessäorigossa tapahtuu valonvälähdys. Valon saapuminen mielivaltaisessapisteessä olevaan ilmaisimeen havaitaan hetkillä t ja t ′ . Tapahtumien vastaavuuson (x = ct, t) ↔ (x ′ = ct ′ ,t ′ ), koska c on sama kummankin havaitsijanmielestä. Tästä seuraa, ettäct ′ = k(ct − vt)t ′ = k(t − αct)ja voidaan ratkaista α = v/c 2 .Ehto 4. Käänteismuunnos saadaan symmetrisesti vaihtamalla nopeudenetumerkki eli molempien inertiaalikoordinaatistojen on oltava samassa asemassa(vrt. ehto 2). Tällöinx = k(x ′ + vt ′ )t = k(t ′ + vx ′ /c 2 )Näin voidaan ratkaista k =1/ √ 1 − (v/c) 2 .Lorentz-muunnoskaavat ovat siisx ′ =x − vt√ = γ(x − vt)1 − (v/c) 2y ′ = yz ′ = zt ′ =t − vx/c 2√ = γ(t − 1 − (v/c) 2 vx/c2 )15.2 TensorilaskentaaEdellä ollut x-akselin suuntainen Lorentzin muunnos voidaan kirjoittaa matriisiyhtälönä⎛x ′0 ⎞ ⎛⎞ ⎛γ −γβ 0 0 x 0 ⎞x ′1⎜⎝ x ′2 ⎟⎠ = −γβ γ 0 0x 1⎜⎟ ⎜⎝ 0 0 1 0 ⎠ ⎝ x 2 ⎟ (15.7)⎠x ′3 0 0 0 1 x 3Merkitsemällä kerroinmatriisia Λ:lla tämä voidaan kirjoittaa tensorimuodossax ′µ =Λ µ νx ν (15.8)missä onkäytetty Einsteinin summaussääntöä eli toistetun indeksin yli summataan:x ′µ = ∑ Λ µ νx ν (15.9)ν

184LUKU 15. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIATässä luvussa käytettävässä tensoriformalismissa indeksien paikka ja järjestysovattärkeitä.Toisen kertaluvun tensoreilla indeksien järjestys kertoo,onko kyseessä tensorin matriisiesityksen vaakarivi vai pystyrivi. Vektoria,jolla on yläindeksi, kutsutaan kontravariantiksi vektoriksi ja alaindeksillävarustettua vektoria puolestaan kovariantiksi vektoriksi. Summaus tapahtuuaina ylä- ja alaindeksin välillä. Jos tensoriformalismi muotoillaan ilmanylä- ja alaindeksejä, siitä tulee laskuteknisesti jonkin verran hankalampaa.Kahdesta kontravariantista vektorista u µ ja v ν muodostetaan toisen kertaluvuntensori T µν suorana tulona, jonka komponentit muodostavat matriisinu µ v ν . Tensori T µν muuntuu siis seuraavasti:missäT ′µν =Λ µ αΛ ν βT αβ (15.10)Kahden kontravariantin nelivektorin pistetulo määritellään puolestaan⎛g αβ = ⎜⎝A · B = g αβ A α B β (15.11)1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1⎞⎟⎠(15.12)on metrinen perustensori. Se on symmetrinen (g αβ = g βα ) ja sillä onkäänteismatriisi g αβ eli g αβ g βγ = δ α γ, missä δ α γ on yksikkötensori eli Kroneckerindeltan neliulotteinen vastine, jolle δ α γ = 1, kun α = γ ja muulloinδ α γ =0.Metrisellä perustensorilla on tärkeä laskutekninen rooli. Koska summaustapahtuu aina ylä- ja alaindeksin välillä, täytyy esimerkiksi kahden kontravariantinvektorin pistetuloa laskettaessa toinen muuntaa kovariantiksi elilaskea sen indeksi alas, mikä tapahtuu seuraavasti:Edellä oleva pistetulo (15.11) on siisv β = g αβ v α ; v β = g αβ v α (15.13)A · B = g αβ A α B β = A β B β = A α B α (15.14)Samalla tavoin nostetaan ja lasketaan toisen tai korkeamman kertaluvuntensoreiden indeksejä:T α β = g αω T ωβ (15.15)Huom. Metrisen perustensorin komponenttien ±-merkit määritellään jokonäin tai päinvastoin. Valinnalla ei ole fysikaalista merkitystä, mutta laskettaessaon pidettävä kiinni tehdystä valinnasta. Lisäksi indeksit on syytäkirjoittaa selvästi peräkkäin, etteivät vaaka- ja pystyrivit mene sekaisin.

15.3. LORENTZIN MUUNNOKSET JA DYNAMIIKKA 185Invariantti neliömuoto I ennen Lorentzin muunnosta onI = g αβ x α x β (15.16)ja Lorentzin muunnoksen jälkeen (x µ → x ′µ =Λ µ αx α )I ′ = g µν Λ µ αΛ ν βx α x β (15.17)Vaatimus I = I ′ antaa ehdong µν Λ µ αΛ ν β = g αβ (15.18)taig µν Λ α µΛ β ν = g αβ (15.19)Vain sellaiset muunnokset, jotka toteuttavat tämän yhtälön, ovat Lorentzinmuunnoksia. Yleisessä lineaarisessa muunnoksessa on 16 vapaata parametriaja ehdossa (15.19) on 10 eri yhtälöä, joten Lorentzin muunnoksessa on kuusivapaata parametria: pusku jokaisen (kolmiavaruuden) koordinaattiakselinsuuntaan ja kierto jokaisen akselin ympäri.Määritetään vielä (Λ −1 ) α γ . Merkitään M α γ = g αβ Λ ν βg νγ ja kerrotaanpuolittain Λ µ α:lla:Λ µ αM α γ = g αβ Λ µ αΛ ν βg νγ = g µν g νγ = δ µ γjoten(Λ −1 ) α γ = gαβ Λ ν αβg νγ =Λ γ (15.20)HT: laske Λ −1 x-akselin suuntaisen Lorentz-muunnoksen tapauksessa.15.3 Lorentzin muunnokset ja dynamiikkaVaikka suhteellisuusteorian fysikaalinen perusta onkin elektrodynamiikassa– valon nopeushan on nimenomaan sähkömagneettisen aallon nopeus,Lorentzin muunnokset, ajan venyminen jne. ovat useille tutumpia mekaanisenliikkeen avulla annetuissa esimerkeissä.Valon nopeus on rajanopeus, jolla vain massaton hiukkanen voi edetä.Näin ollen sitä ei voi saavuttaa laskemalla yhteen nopeuksia, jotka ovat allevalon nopeuden, eli esimerkiksi tekemällä kaksi Lorentz-muunnosta peräkkäin.Yhtälöt (15.2) kuvaavat muunnosta koordinaatistoon K ′ , joka liikkuunopeudella v koordinaatiston K suhteen. Liikkukoon sitten koordinaatistoK ′′ nopeudella v ′ koordinaatiston K ′ suhteen, jolloinx ′′ 1= √1 − v 2 /c 2 (x′ − v ′ t ′ )y ′′ = y ′z ′′ = z ′ (15.21)t ′′ =( )1√ t ′ − v′1 − v ′2 /c 2 c 2 x′

186LUKU 15. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIASijoittamalla tähän systeemin K ′ (yhdellä pilkulla merkityt) koordinaatitmuunnoksen (15.2) mukaisesti saadaan yhdistetty muunnosx ′′ =1√ (x − wt)1 − w 2 /c2 y ′′ = yz ′′ = z (15.22)(t ′′ 1= √ t − w )1 − w 2 /c 2 c 2 xmissäw = v + v′1+vv ′ /c 2 (15.23)Tämä onnopeuksien yhteenlaskukaava. Olivatpa v ja v ′ kuinka lähellävalon nopeutta tahansa, niiden summa jää kuitenkin alle valon nopeuden.Tämä on itse asiassa seuraus siitä, että Lorentzin muunnokset muodostavatmatemaattisesti ryhmän. Yhdistämällä kaksi muunnosta saadaan uusiLorentzin muunnos, tässä tapauksessa koordinaatistosta K koordinaatistoonK ′′ , joiden suhteellinen nopeus on w.Suppea suhteellisuusperiaate voidaan ilmaista sanomalla, että kaikkiLorentzin muunnosten yhdistämät inertiaalijärjestelmät ovat samanarvoisiakaikkien fysikaalisten tapahtumien kuvailussa. Tämä jättää kiihtyvätkoordinaatistot tarkastelun ulkopuolelle. Tarkastellaan seuraavaksi lyhyestitavallista massapistemekaniikkaa suhteellisuusperiaatteen valossa.Kutsutaan massapisteen (hiukkasen) liikerataa neliavaruudessa sen maailmanviivaksija merkitään sen koordinaatteja x µ . Differentiaalit dx µ määrittäväthiukkasen differentiaalisen siirtymän pitkin maailmanviivaa. Muodostetaansitten Lorentz-invariantti skalaarisuureds 2 = g µν dx µ dx ν (15.24)joka on sama kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. Tarkastellaan nyt hiukkastakoordinaatistossa, jossa se on hetkellisesti levossa. Tällöineli tässä koordinaatistossa vain aika kuluu. Nytdx ′ =(dx ′0 , 0, 0, 0) (15.25)ds 2 = g 00 (dx ′0 ) 2 = c 2 (dt ′ ) 2 (15.26)Ajanlaatuinen suure ds/c on invariantti aikaväli hiukkasen hetkellisessä lepokoordinaatistossaeli se on hiukkasen mukana liikkuvan kellon mittaama

15.3. LORENTZIN MUUNNOKSET JA DYNAMIIKKA 187aikaväli. Määritellään kiinteästä maailmanpisteestä s A laskettu hiukkasenominaisaika integraalina⎧ ⎡τ = 1 ∫ s ∫ t ⎨ds = dtc s A t A⎩ 1 − 1 ( )⎣ dx1 2 ( )dx2 2 ( ) ⎤⎫dx3 2 1/2⎬c 2 + + ⎦dt dt dt ⎭Tässä kaavassa esiintyy kolminopeus v koordinaatistossa Kv =( )dx1dt , dx2dt , dx3dt(15.27)(15.28)ja ominaisajan differentiaalinen muoto on sama kuin luvussa 15.1 mainittudτ√ = dt (15.29)1 − v 2 /c2 joka kuvaa ajan venymistä liikkeessä olevassa koordinaatistossa.Hiukkasen nelinopeus u määritellään sen nelipaikan derivaattana ominaisajansuhteen. Sen komponentit ovatu µ = dxµdτ(15.30)Kolminopeuden avulla ilmaistuna tämä onu =(γc,γv). Suoralla laskullanähdään, että nelinopeuden neliö on invariantti:Vastaavasti lasketaan nelikiihtyvyysTarkastellaan sitten Newtonin liikeyhtälöäu 2 = g µν u µ u ν = c 2 (15.31)a µ = duµdτ = d2 x µdτ 2 (15.32)dpdt = F (15.33)missä p = mv on liikemäärä. Tämä on kuitenkin Galilei-invariantti yhtälö,missä mikään ei rajoita nopeutta alle valon nopeuden. Muodostetaan nelivektoriyhtälödm 0dτ uµ = K µ (15.34)missä m 0 on massanlaatuinen vakiosuure ja K µ nelivoima. Jotta tämä olisikelvollinen liikeyhtälö pienen nopeuden rajalla (sama asia kuin raja c →∞),

188LUKU 15. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIAsen avaruusosasta on saatava Newtonin liikeyhtälö. Käyttäen koordinaattiaikaat kirjoitetaan yhtälön avaruuskomponentit muodossad m 0 v i√√1dt= 1 − β 2 Ki − β 2 (15.35)Jos ulkoinen voima on nolla, liikemäärä on vakio, joten liikemäärän määritelmäksituleep i =m 0v i√ (15.36)1 − β 2joka rajalla β → 0 vastaa Newtonin mekaniikan liikemäärää. Näin kolmivoimanja nelivoiman välinen yhteys onF i = K i √1 − β 2 (15.37)Liikeyhtälön (15.34) nollannen komponentin määrittämiseksi kirjoitetaan senelikiihtyvyyden a µ avullam 0 a µ = K µ (15.38)Laskemalla nelikiihtyvyyden ja nelinopeuden pistetulo saadaang µν a µ u ν = 1 d2 dτ (g µνu µ u ν )= 1 d2 dτ c2 = 0 (15.39)eli nelikiihtyvyys ja nelinopeus ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jotenmyösg µν K µ u ν = 0 (15.40)Sijoittamalla tähän nelinopeuden komponentit (u =(γc,γv)) ja nelivoimanavaruusosa jää jäljelleelic√1 − β 2 K0 =3∑i=1K 0 = 1 cv i F i√ √1 − β 2 1 − β 2F · v√1 − β 2(15.41)(15.42)Liikeyhtälön nollas komponentti on siisd m 0 c 2√dt= F · v (15.43)1 − β 2Hiukkasen liike-energia määritellään Newtonin mekaniikassa siten, että senaikaderivaatta (teho) on F·v. Tarkastellaan sitten energianlaatuista suurettaW = m 0c 2√1 − β 2(15.44)

15.4. ELEKTRODYNAMIIKAN KOVARIANTTI FORMULOINTI 189Kirjoittamalla γ sarjaksi saadaanW = m 0 c 2 [1+ v22c 2 + O (v4c 4 )](15.45)Epärelativistisella rajalla (β → 0) tästä tuleeW = m 0 c 2 + 1 2 m 0v 2 (15.46)eli Newtonin mekaniikan mukainen m 0 -massaisen hiukkasen liike-energia jasuure m 0 c 2 , jota kutsutaan m 0 -massaisen hiukkasen lepoenergiaksi.Nyt neliliikemäärä voidaan kirjoittaa muodossa(Wp =c , m 0 v i )√ (15.47)1 − β 2taiTämän invariantiksi neliöksi saadaanp µ = m 0 u µ (15.48)g µν p µ p ν =(m 0 c) 2 = W 2 /c 2 − p 2 (15.49)Relativistiset liikeyhtälöt voi tiivistää muotoonddτ pµ = K µ (15.50)Huom. Hiukkasen massa on m 0 . Sitä kutsutaan joskus lepomassaksi, muttasiihen ei ole mitään syytä, sillä massa m 0 on itseasiassa Lorentz-invarianttisuure, joka määrittelee lepoenergian kaavallaW 0 = limv→0W = m 0 c 2 (15.51)15.4 Elektrodynamiikan kovariantti formulointiTarkastellaan seuraavaksi Lorentzin voiman lauseketta muodossaF i = q(E i + ɛ i jk v j B k ) (15.52)missä ɛ ijk on permutaatiotensori ja oletetaan summaus toistettujen indeksienyli (HT: kertaa ɛ ijk :n ominaisuudet). Varaus q oletetaan invariantiksisäilymislain perusteella.Edellä saatiin hiukkasen liikeyhtälö muotoondp µdτ = Kµ (15.53)

190LUKU 15. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIAmissä nelivoiman komponentit ovatK 0 = γ c F · v ; Ki = γF i (15.54)Oletetaan nyt, että kyseisen voiman avaruusosa on juuri Lorentzin voima.Kirjoitetaan liikeyhtälö komponenteittain. Aikakomponentista tuleedp 0dτ = K0 = γ c F · v = γ qE · v (15.55)celi kentän tekemä työ. Paikkakomponenteille saadaandp 1( )() Edτ = γq E 1 +(v 2 B 3 − v 3 B 2 1) = qc u0 + u 2 B 3 − u 3 B 2dp 2( )() Edτ = γq E 2 +(v 3 B 1 − v 1 B 3 2) = qc u0 + u 3 B 1 − u 1 B 3dp 3( )() Edτ = γq E 3 +(v 1 B 2 − v 2 B 1 3) = qc u0 + u 1 B 2 − u 2 B 1(15.56)Aika- ja paikkakomponentit voidaan koota yhtälöiksidp µdτ = qu βF βµ (15.57)missä (F 01 ,F 02 ,F 03 )=(1/c)(E 1 ,E 2 ,E 3 ), (F 23 ,F 31 ,F 12 )=(B 1 ,B 2 ,B 3 )jaF µν = −F νµ .Tästä saa suoralla laskulla liikeyhtälön komponentit.Osoitetaan sitten, että (F µν ) on kelvollinen toisen kertaluvun tensori eliettä se muuntuu oikein Lorentzin muunnoksissa. Muunnettu liikeyhtälö ondp ′ µdτ = qu′ βF ′ βµ⇔ Λ µ dp ννdτ = qΛ β α u α F ′ βµ = qΛ µ νu α F αν⇒ Λ β α F ′ βµ =Λ µ νF αν⇔ (Λ −1 ) α β F ′ βµ =Λ µ νF αν⇔ Λ γ α(Λ −1 ) α β F ′ βµ =Λ γ αΛ µ νF αν⇔ F ′ γµ =Λ γ αΛ µ νF αν (15.58)

15.5. KENTTIEN MUUNNOKSET 191Tensoria (F µν ) kutsutaan sähkömagneettiseksi kenttätensoriksi ja senkomponentit ovat⎛0 E 1 /c E 2 /c E 3 ⎞/c(F µν −E)=1 /c 0 B 3 −B 2⎜⎝ −E 2 /c −B 3 0 B 1 ⎟ (15.59)⎠−E 3 /c B 2 −B 1 0Kirjoitetaan sitten Maxwellin yhtälöt kenttätensorin komponenttien avulla.∇·E = ρ/ɛ 0 ≡ µ 0 c 2 ρ tulee muotoon∂ 1 F 01 + ∂ 2 F 02 + ∂ 3 F 03 = µ 0 cρ (15.60)Ampèren ja Maxwellin lain kolme komponenttia ovat puolestaan∂ 0 F 10 + ∂ 2 F 12 + ∂ 3 F 13 = µ 0 j 1∂ 0 F 20 + ∂ 1 F 21 + ∂ 3 F 23 = µ 0 j 2 (15.61)∂ 0 F 30 + ∂ 1 F 31 + ∂ 2 F 32 = µ 0 j 3Ottamalla käyttöön nelivirta J =(j µ )=(cρ, J) voidaan nämä yhtälötkirjoittaa muodossa∂ ν F µν = µ 0 j µ (15.62)Vastaavasti homogeeniset yhtälöt (∇ ·B =0, ∇×E + ∂ t B = 0) saadaanmuotoon (HT)∂ α F βγ + ∂ β F γα + ∂ γ F αβ = 0 (15.63)Koska Maxwellin yhtälöt voidaan kirjoittaa tensoriyhtälöinä, ne säilyttävätmuotonsa Lorentzin muunnoksissa. Näin siis Maxwellin 1860-luvulla kehittämäteoria on osoittautunut ensimmäiseksi suppeamman suhteellisuusteoriankanssa sopusoinnussa olevaksi fysiikan kuvailuksi.15.5 Kenttien muunnoksetElektrodynamiikan Lorentz-kovarianssi tarkoittaa siis sitä, että Maxwellinyhtälöt ovat samat inertiaalikoordinaatistosta riippumatta. Sitävastoin sähkö-ja magneettikentät riippuvat havaitsijan liiketilasta. Muunnosten täytyyolla sellaiset, että sijoitettaessa muunnetut kentät Maxwellin yhtälöihin, tuloksenaovat alkuperäiset yhtälöt. Kaikki tämä on jo edellisen kappaleen formalisminsisällä, mutta johdetaan tässä vielä kenttien E ja B muunnoskaavat.Valitaan koordinaattiakselit siten, että koordinaatistojen välinen suhteellinennopeus v on x-akselin suuntainen. Muunnosmatriisi on tällöin⎛(Λ µ ν)= ⎜⎝γ −γβ 0 0−γβ γ 0 00 0 1 00 0 0 1⎞⎟⎠(15.64)

192LUKU 15. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIAMuuntumaton sähkökentän 1-komponentti on F 01 = E 1 /c. Lasketaan F ′ 01 :F ′ 01 = Λ 0 µΛ 1 νF µν= Λ 0 0Λ 1 0F 00 +Λ 0 0Λ 1 1F 01 +Λ 0 1Λ 1 0F 10 +Λ 0 1Λ 1 1F 11= γ 2 1 c E1 + β 2 γ 2 (− 1 c E1 )⇒E ′ 1 = γ 2 (1 − β 2 )E 1 = E 1 (15.65)Siis puskun suuntainen sähkökenttä säilyy ennallaan. Lasketaan seuraavaksiF 02 = E 2 /c:n muunnosF ′ 02 = Λ 0 µΛ 2 νF µν= Λ 0 0Λ 2 0F 02 +Λ 0 0Λ 2 2F 02 +Λ 0 1Λ 2 2F 12= γ 1 c E2 − βγB 3⇒E ′ 2 = γE 2 − γvB 3 (15.66)Vastaavat laskut komponentille E 3 ja magneettikentän komponenteille antavatmuunnoskaavatE ′ ‖ (r′ ,t ′ )=E ‖ (r,t) ; E ′ ⊥(r ′ ,t ′ )=γ(E ⊥ (r,t)+v × B(r,t))(15.67)B ′ ‖ (r′ ,t ′ )=B ‖ (r,t) ; B ′ ⊥(r ′ ,t ′ )=γ(B ⊥ (r,t) − 1 c 2 v × E(r,t))missä ‖ ja ⊥ viittaavat v:n suuntaisiin ja sitä vastaan kohtisuoriin komponentteihin.Esimerkki. Liikkuvan varauksen kenttäKäsitellään luvun 13.2.1 esimerkki suhteellisuusteorian keinoin. Pistevarausliikkuu nopeudella vx-akselia pitkin pilkuttomassa tarkkailijan koordinaatistossa,jossa halutaan määrittää kentät. Olkoon pilkullinen koordinaatistosellainen, että se liikkuu varauksen mukana ja sen origo olkoon varauksenkohdalla. TällöinB ′ = 0E ′ =qr ′4πɛ 0 (r ′ ) 3 (15.68)Käytetään edellä johdettuja muunnoskaavoja (käänteisesti!)E x = E ‖ = E ′ x =qx ′4πɛ 0 (r ′ ) 3E ⊥ = γE ′ ⊥ =γqr ′ ⊥4πɛ 0 (r ′ ) 3 (15.69)

15.6. POTENTIAALIEN MUUNNOKSET 193Vektorin r ′ komponentit ovatr ′ =(γ(x − vt),y,z) (15.70)Määritellään suureγR ∗ =(γ(x − vt),y,z) (15.71)jolloin sähkökentän komponentit ovatE x =E y =E z =q γ(x − vt)4πɛ 0 γ 3 (R ∗ ) 3q γy4πɛ 0 γ 3 (R ∗ ) 3 (15.72)q γz4πɛ 0 γ 3 (R ∗ ) 3eli koottuna vektoriksiE =q4πɛ 0R(R ∗ ) 3 (1 − β2 ) (15.73)missä R =(x − vt,y,z). Tämä on luvusta 13.2.1 tuttu tulos.Magneettikentäksi tulee puolestaanB x = B ‖ =0B ⊥ = γ 1 c 2 v × E′ = γ 1 c 2 v × E′ ⊥ = 1 c 2 v × E ⊥ (15.74)eliB = 1 c 2 v × E (15.75)15.6 Potentiaalien muunnoksetHomogeeniset Maxwellin yhtälöt ovat luvussa 15.4 opitun mukaan∂ α F βγ + ∂ β F γα + ∂ γ F αβ = 0 (15.76)Nämä yhtälöt ovat välttämättömiä ja riittäviä ehtoja sille, että on olemassanelipotentiaali A µ , jolleF µν = ∂ ν A µ − ∂ µ A ν (15.77)Suoralla laskulla nähdään, että näin esitetty F µν toteuttaa homogeenisetMaxwellin yhtälöt eli välttämättömyysehto on voimassa. Riittävyysehdontodistaminen sivuutetaan (ks. CL).

194LUKU 15. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIANostamalla indeksit saadaanF µν = ∂ ν A µ − ∂ µ A ν (15.78)Muistamalla kenttätensorin määritelmä ja kenttien esitys potentiaalien avullasaadaan nelipotentiaalijoka toteuttaa aaltoyhtälön(A µ )=(ϕ/c, A) (15.79)∂ γ ∂ γ A ν − ∂ ν (∂ α A α )=µ 0 j ν (15.80)Valitsemalla Lorenzin mittaehto (∂ α A α =0)tämä palautuu tutuksi aaltoyhtälöksi.Todetaan lopuksi, että nelipotentiaali yleensä ajatellaan nelivektoriksi.Tämä on oikeutettua, vaikkakaan ei välttämätöntä. Voidaan osoittaa, ettänelipotentiaali muuntuu mittamuunnosta vaille nelivektorina (ks. CL).15.7 SäilymislaitLuvussa 9 esitettiin energian, liikemäärän ja impulssimomentin säilymislaitkolmiavaruuden Maxwellin jännitystensorin avulla. Esitetään nämäsäilymislaitnyt kovariantissa muodossa.Lorentzin voimatiheys onOlkoon f =(f 1 ,f 2 ,f 3 ). Tällöinf = ρE + J × B (15.81)f 1 = ρE 1 + j 2 B 3 − j 3 B 2= cρF 01 + j 2 F 12 − j 3 F 31= j 0 F 01 − j 2 F 12 + j 3 F 31 (15.82)= j 0 F 01 + j 2 F 21 + j 3 F 31sillä (j 0 ,j 1 ,j 2 ,j 3 )=(j 0 , −j 1 , −j 2 , −j 3 ). Olemme saaneet siis yhtälönf i = j α F αi ; (F αα = 0) (15.83)Lorentzin voimatiheys on siten nelivektorin f µ = j α F αµ avaruusosa. 0-komponentti on puolestaanf 0 = j α F α0 = −F 0α j α = 1 c E · J (15.84)

15.7. SÄILYMISLAIT 195eli tehohäviö tilavuusyksikössä. Koskaj α = g αβ j β = 1 µ 0g αβ ∂ ν F βν = 1 µ 0∂ ν F αν(15.85)voidaan nelivoima kirjoittaa muodossaf µ = 1 µ 0(∂ ν F α ν )F αµ (15.86)Määritellään (jälkiviisaasti) symmetrinen tensori (T νµ )T νµ = 1 [F ν α F αµ − 1 µ 0 4 gνµ F αβ F αβ ]=T µν (15.87)Nyt pieni indeksijumppa antaa tuloksen∂ ν T νµ = 1 (∂ ν F ν α )F αµ = f µ (15.88)µ 0(T µν ) on siis sellainen tensori, jonka divergenssi antaa Lorentzin nelivoimatiheyden.Tensori on Maxwellin jännitystensorin yleistys neliavaruudessa. Tämäntoteamiseksi lasketaan tensorin komponentit. Tensorin määritelmässäon mukana invariantti −(1/4)F αβ F αβ = (1/2)((E/c) 2 − B 2 ), joka tuleemukaan diagonaalisiin termeihin. NytT 00 = 1 [F 0 α F α 0+ 1 ( )] (1µ 0 2 c 2 E2 − B 2 ɛ0 E 2 )= − + B2(15.89)2 2µ 0eli kentän energiatiheys w em = −T 00 .T 0i = 1 µ 0F α 0 F αi = ...= − 1 c (E × B)i = − 1 c Si (15.90)ovat puolestaan Poyntingin vektorin komponentit. Pelkästään avaruusosiasisältävät komponentit ovatT kl = 1 [F k α F α l+ g kl 1 ( )]1µ 0 2 c 2 E2 − B 2= ɛ 0 E k E l + g kl ɛ 0E 2= T kle+ T klm2+ 1 B k B l kl B2+ g (15.91)µ 0 2µ 0eli luvussa 9 johdetun Maxwellin jännitystensorin T sähköiset ja magneettisetkomponentit. Tensori T αβ on kuitenkin Maxwellin jännistystensorinlaajennus koska sen 0α-komponentit antavat suoraan sekä sähkömagneettisenenergiatiheyden että Poyntingin vektorin.

196LUKU 15. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIATuloksista f µ = j α F αµ ja f µ = ∂ β T βµ saadaan yhtälöTämän nollas komponentti ∂ β T β0 = j α F α0 antaa∂ β T βµ = j α F αµ (15.92)∂w em∂t+ ∇·S = −J · E (15.93)eli differentiaalisen energian säilymislain (Poyntingin teoreeman). Avaruuskomponentit∂ β T βi = j α F αi puolestaan antavat liikemäärän säilymislain− ∂ ∂t (ɛ 0E × B) l + ∂ k (T kle+ T klm )=ρE l +(J × B) l (15.94)Olemme siis onnistuneet kirjoittamaan olennaisesti koko klassisen mikroskooppisenelektrodynamiikan kovariantissa muodossa, kun väliaineeksi oletetaantyhjö.Luvussa 13 käsitelty liikkuvan varauksen säteily voidaan esittää hiemantyylikkäämmin tässä luvussa käsitellyssä formalismissa. Asiasta kiinnostuneitakehoitetaan tutustumaan CL:n lukuun 13 tai Jacksonin säteilyteoriaakäsitteleviin lukuhin.

Luku 16Varatun hiukkasen liikeSM-kentässäTarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä.Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin.Yleisesti asetettuna tehtävänä on ratkaista relativistinen liikeyhtälödp/dt = q(E + v × B) (16.1)missä p = mv/ √ 1 − (v/c) 2 . Lisäksi muistetaan, että kenttä tekee työtäteholla dW/dt = qE · v. Liikeyhtälö on hankala integroitava yleisille ajastaja paikasta riippuville kentille ja se on usein ratkaistava numeerisesti. Josaika- ja paikkariippuvuuksien voi olettaa olevan riittävän hitaita ja laakeita,on mahdollista käyttää häiriöteoriaa lähtien vakiokentistä ja tehdä niihinpieniä korjauksia.16.1 Säteilyhäviöiden vaikutusLiikeyhtälön käsittelyyn sisältyy hyvin vaikea ongelma. Jos hiukkasella onkiihtyvyyttä, se säteilee ja säteily kuljettaa mukanaan energiaa, liikemäärääja liikemäärämomenttia. Varatun hiukkasen säteilyä kuitenkin tarkastellaantyypillisesti kaksivaiheisesti. Ensin ratkaistaan liikeyhtälöstä hiukkasen rataannetussa ulkoisessa kentässä. Sen jälkeen lasketaan säteilyhäviöt olettaen,että hiukkanen pysyy ratkaistulla radallaan. Käytännössä monessatilanteessa säteilyn vaikutus voidaankin jättää huomiotta.Säteilyn merkitystä voidaan arvioida tutkimalla tilannetta, jossa hiukkasen(varaus q) kiihtyvyys on suuruusluokkaa a ajan T verran. Jos nopeus onpaljon valon nopeutta pienempi, niin Larmorin kaavan perusteella hiukkasensäteilemä energia onW rad ∼ q2 a 2 T6πɛ 0 c 3 (16.2)197

198 LUKU 16. VARATUN HIUKKASEN LIIKE SM-KENTÄSSÄJos kyseessä on levosta lähtenyt hiukkanen, niin silloin sen liike-energia onluokkaa W kin ∼ m(aT ) 2 . SitenW radW kin∼q 26πɛ 0 mc 3 T = τ T(16.3)missä τ = q 2 /(6πɛ 0 mc 3 ) on karakteristinen aika. Varauksellisista hiukkasistase on suurin elektroneille (∼ 10 −23 s), missä ajassa valo etenee matkancτ ∼ 10 −15 m. Jos taas kyseessä on jaksollinen liike amplitudilla d ja kulmataajuudellaω, niin W kin ∼ mω 2 d 2 , a ∼ ω 2 d ja T ∼ 1/ω. SilloinW rad /W kin ∼ ωτ (16.4)Yhteenvetona voi todeta, että säteilyhäviöt ovat lyhytkestoisessa liikkeessämerkittäviä vain, jos hiukkasen liike muuttuu ulkoisten voimien takiamerkittävästi aikaskaalassa τ tai pituusskaalassa cτ. Pitkäkestoisessa liikkeessäkumuloituvat säteilyhäviöt on puolestaan aina otettava huomioon.16.2 Homogeeninen ja staattinen BOletetaan aluksi, että E =0jaB = vakio. Rajoitutaan lisäksi epärelativistiseentapaukseen v

16.2. HOMOGEENINEN JA STAATTINEN B 199missä ω c on pyörähdystaajuus, syklotronitaajuus tai Larmorin taajuus.Koska ÿ = −ω c ẋ, niin integroimalla ja alkuehdot huomioimalla saadaanv y = −ω c x.Tällöin yhtälöstä ẍ = ω c ẏ seuraaẍ + ω 2 c x = 0 (16.9)Yhtälö kuvaa harmonista värähtelyä, jonka kulmataajuus on ω c . Ratkaisemallahiukkasen rata nähdään, että ratakäyrän projektio xy−tasossa onympyrä, jonka säde onTässä v ⊥ =r L = v ⊥|ω c | = mv ⊥|q|B(16.10)√v 2 x + v 2 y on hiukkasen nopeus kohtisuoraan magneettikenttäävastaan. Sädettä r L kutsutaan pyörähdyssäteeksi (Larmorin säteeksi).Pyörimisliikkeen keskipistettä kutsutaan johtokeskukseksi (guiding center,GC). Yhteen kierrokseen kuluva aika, pyörähdysperiodi (Larmorinaika), onτ L =2π/|ω c | (16.11)Katsottaessa magneettikentän suuntaan myötäpäivään pyörivän hiukkasenvaraus on negatiivinen (HT).Näin hiukkasen liike on jaettu kahteen komponenttiin: vakionopeus v ‖kentän suuntaan ja pyörimisliike v ⊥ kenttää vastaan kohtisuoraan. Näidensumma on ruuviviiva. Ruuviviivan nousukulma määritellään kaavallajotentan α = v ⊥ /v ‖ (16.12)α = arcsin(v ⊥ /v) = arccos(v ‖ /v) (16.13)Koordinaatistoa, jossa v ‖ = 0, kutsutaan johtokeskuskoordinaatistoksi(GCS) ja hiukkasen liikkeen jakamista GC:n liikkeeseen ja pyörimisliikkeeseenGC:n ympäri kutsutaan johtokeskusapproksimaatioksi.GCS:ssä varaus aiheuttaa sähkövirran I = q/τ L , johon liittyvä magneettinenmomentti onµ = IπrL 2 = 1 q 2 rL 2 B2 m = 1 mv⊥22 BVektorimuodossa magneettinen momentti on= W ⊥B(16.14)µ = 1 2 q r L × v ⊥ (16.15)Koska pyörähdyssädevektorissa on mukana varauksen merkki, µ:n suunta onvarauksesta riippumatta vastakkainen taustan magneettikentälle eli vapaatvaratut hiukkaset muodostavat tässä mielessä diamagneettisen systeemin.

200 LUKU 16. VARATUN HIUKKASEN LIIKE SM-KENTÄSSÄEBionielektroniKuva 16.1: Sähköinen kulkeutuminen.Myös relativistinen liikeyhtälö ontässä tapauksessa helppo ratkaista.Koska liike-energia on vakio (p · dp/dt = 0), niin γ on vakio. Liikeyhtälönkomponentit ovat siisγm˙v x = qBv yγm˙v y = −qBv x (16.16)γm˙v z = 0eli vakiotekijää γ lukuunottamatta samat kuin edellä. Pyörähdystaajuus onnyt ω c = qB/(γm).16.3Homogeeniset ja staattiset B ja EOletetaan nyt, että vakiomagneettikentän lisäksi hiukkasiin vaikuttaa myösvakiosähkökenttä E. Magneettikentän suuntaiseksi epärelativistiseksi liikeyhtälöksituleem ˙v ‖ = qE ‖ (16.17)Tämä kuvaa kiihdytystä magneettikentän suuntaan. Tarkastellaan sittenpoikittaista sähkökenttää ja valitaan se x-akselin suuntaiseksi, jolloin˙v x = ω c v y + q m E x˙v y = −ω c v x (16.18)Ratkaisun yksityiskohdat jätetään harjoitustehtäväksi. Tässäkin tapauksessahiukkanen kieppuu GC:n ympäri, mutta nyt GC kulkeutuu y-akselin suuntaannopeudella E x /B. Vektorimuodossa kulkeutumisnopeus onv E = E × BB 2 (16.19)Tätä kutsutaan sähköiseksi kulkeutumiseksi tai E × B-kulkeutumiseksi(kuva 16.1). Kulkeutumisnopeus ei riipu varauksesta eikä hiukkasen massasta!

16.4. LIIKEYHTÄLÖ KANONISESSA FORMALISMISSA 20116.4 Liikeyhtälö kanonisessa formalismissaHiukkasliike voidaan käsitellä elegantisti käyttäen mekaniikasta (toivottavasti)tuttua kanonista formalismia. Koska elektrodynamiikan esitietoina eikuitenkaan oleteta mekaniikan kurssia, seuraava jää yleissivistäväksi tärkeäksitiedoksi.Sijoitetaan sähkö- ja magneettikentät Lorentzin voiman lausekkeeseenskalaari- ja vektoripotentiaalien avulla:F = q(−∇ϕ − ∂ t A + ṙ × (∇×A)) (16.20)Muunnetaan tämä kanoniseen muotoon ilmaisemalla se riippumattomienmuuttujien r ja ṙ = v avulla. Käytetään seuraavassa merkintöjä ∂/∂r i =∂ i = ∇ i ja oletetaan summaus toistetun indeksin yli. Suorilla laskuillanähdään, että[ṙ × (∇×A)] i =ṙ j ∂ i A j − ṙ j ∂ j A i = ∂ i (ṙ · A) − (ṙ ·∇)AYhtälöiden dA/dt = ∂ t A +(ṙ ·∇)Aj a ṙ j ∂ i A j = ∂ i (ṙ · A) avulla voimanlausekkeesta saadaanF = q[−∇ϕ −∇(ṙ · A) − d ]dt A (16.21)Koska ϕ ei riipu nopeudesta, voidaan kirjoittaaddt A i = d ( ) ∂(ṙ · A) = d ( )∂(−ϕ + ṙ · A)dt ∂ṙ i dt ∂ṙ iminkä avulla voiman i:s komponentti saadaan muotoonF i = − ∂ (qϕ − q ṙ · A)+ d ( )∂(−qϕ + q ṙ · A)∂r i dt ∂ṙ i(16.22)Lorentzin voima on nyt ilmaistu Lagrangen mekaniikassa yleistetyn potentiaalinU = qϕ − q ṙ · A (16.23)avullam¨r i = − ∂U + d ∂U(16.24)∂r i dt ∂ṙ iLagrangen funktion L = m ṙ 2 /2 − U avulla liikeyhtälö saa muodon∂L∂r i− d dt∂L∂ṙ i= 0 (16.25)

202 LUKU 16. VARATUN HIUKKASEN LIIKE SM-KENTÄSSÄNämä Lagrangen liikeyhtälöt ovat toista kertalukua. Niistä voidaan muodostaaensimmäisen kertaluvun yhtälöitä siirtymällä kanonisiin muuttujiinr i (kanoninen koordinaatti) ja π i = ∂L/∂ṙ i = mṙ i + qA i (kanoninenliikemäärä). Muodostetaan näiden muuttujien Hamiltonin funktioH(π, r,t) = ṙ i π i − L(r, ṙ,t) = ṙ i π i − 1 2 mṙ2 + qϕ − q ṙ · A= 12m (π − qA)2 + qϕ (16.26)Kanoniset liikeyhtälöt ovat nytṙ i = ∂H∂π i= 1 m (π i − qA i ) (16.27)˙π i = − ∂H∂r i= − q ∂ϕ∂r i+ q m π · ∂A∂r i− q2m A · ∂A∂r i(16.28)joista alkuperäisen liikeyhtälön johtaminen on suoraviivainen HT.Kvanttimekaniikan Schrödingerin yhtälö voidaan ilmaista Hamiltoninfunktion avulla yleistämällä se kvanttimekaaniseksi operaattoriksi. Kun elektrodynamikkaaviedään kvanttitasolle, se tehdään nimenomaan tässä formalismissa,missä olennaista on kappaleen mekaanisen liikemäärän p = mvkorvaaminen sen sähkömagneettisella liikemäärällä mv + qA.

Luku 17Ihan oikea esimerkki17.1 AvaruussäästäEsitellään lopuksi yleissivistävästi geomagnetismiin liittyvä sovellutus. Kyseessäovat geomagneettisesti indusoituvat virrat (GI-virta, geomagneticallyinduced current, GIC). Ilmiö liittyy avaruussäähän (space weather; kuva17.1), joka on viimeisten 15 vuoden aikana ollut nopeasti kehittyvä tutkimusala.Vakiintuneen määritelmän mukaan avaruussää tarkoittaa Maan lähiavaruudenvaihtelevia sähkömagneettisia ja hiukkasolosuhteita, jotka voivatvaikuttaa haitallisesti avaruudessa ja Maan pinnalla oleviin teknologisiinlaitteisiin ja joissain tapauksissa myös ihmisten terveyteen. Avaruussääilmiöidenaiheuttajina ovat auringon purkauksista peräisin olevat varauksellisethiukkaset, jotka kulkevat aurinkotuulen mukana. Maan magneettikenttämuodostaa suojan aurinkotuulta vastaan, ja kentän vaikutuksesta hiukkasetpyrkivät ohjautumaan napa-alueille, jossa ne synnyttävät revontulia. Auringonaktiivisuuden yhdentoista vuoden pituinen auringonpilkkujakso näkyytilastollisesti myös avaruussääilmiöissä. Edellinen maksimi saavutettiinkesällä 2000. Auringon aktiivisuus vaikuttaa myös Maahan kohdistuvaankosmiseen säteilyyn, ja aktiivisuuden pitkäaikaisilla vaihteluilla on ilmeinenyhteys ilmastoon.Maanpinnalla avaruussääriski on suurin revontulialueiden lähellä, missäionosfäärin sähkövirrat ovat voimakkaimpia ja nopeasti vaihtelevia. EnsimmäisetGIC-havainnot tehtiin lennätinlaitteissa jo 1800-luvun puolivälissäEnglannissa, mutta merkittävimmät haitat esiintyvät sähköverkoissa, joissaGIC voi häiritä sähkönjakelua ja jopa vaurioittaa muuntajia pysyvästi.Tunnetuin tapaus sattui maaliskuussa 1989, jolloin Kanadassa oli usean tunninsähkökatkos ja Yhdysvalloissa tuhoutui suurjännitemuuntaja.Ilmatieteen laitos on tehnyt korkeajänniteverkkoa ja maakaasuputkea203

204 LUKU 17. IHAN OIKEA ESIMERKKIcosmic raysaurorasS/C anomaliesair dragj (r,t)particle radiationn(r,t)signal degradationB(r,t)E(r,t)GICKuva 17.1: Avaruussääilmiöitä. Kuva: Antti Pulkkinen, Ilmatieteen laitos.koskevaa GIC-yhteistyötä suomalaisen teollisuuden (Fingrid, Gasum) kanssayli 25 vuoden ajan. Tutkimuksessa on kehitetty mallit, joiden avulla GICvoidaan laskea johdinjärjestelmissä, kun geofysikaaliset olosuhteet tunnetaan.Suomalaisten yliopistojen (Helsinki, Turku, Oulu) ja Ilmatieteen laitoksentutkimusaiheet kattavat auringosta maan pinnalle ulottuvan avaruussääketjunmonta osa-aluetta.17.2 GI-virran laskeminen sähköverkossaGI-virran laskeminen sähköverkossa on kätevä jakaa kahteen osaan. Ensinmääritetään maanpinnan sähkökenttä, joka aiheutuu maan magneettikentännopeista vaihteluista Faradayn lain mukaan. Sen jälkeen lasketaansähkökentän synnyttämä virta tarkasteltavassa johdinjärjestelmässä.Sähkökentän mallintamisessa tarvitaan kuvaus ionosfäärin ja magnetosfäärinvirroista, jotka ovat GIC-ilmiön ensisijaiset aiheuttajat. Lisäksisähköä johtava maa on otettava huomioon. Koska avaruusvirrat ovat monimutkaisiaajan ja paikan funktioita ja maan johtavuus paikan funktio,tarvitaan käytännössä runsaasti yksinkertaistavia oletuksia.Suoraviivaisimmassa mallissa maan magneettikentän vaihteluja kuvataantasoaallolla, joka etenee maanpintaa vastaan kohtisuorassa suunnassa.Voidaan rajoittua paikalliseen tarkasteluun, jossa maanpinta on ääretöntaso. Maan sähkömagneettisten parametrien oletetaan riippuvan vainsyvyydestä, ja maa kuvataan koostuvaksi homogeenisista kerroksista. Nyton mahdollista ratkaista sähkömagneettinen kenttä kaikkialla, kun kokonaismagneettikenttäoletetaan tunnetuksi maanpinnalla. Aaltoyhtälö palautuu

17.2. GI-VIRRAN LASKEMINEN SÄHKÖVERKOSSA 205maassa diffuusioyhtälöksi, koska geomagneettisten vaihteluiden tapauksessasiirrosvirtatermi on häviävän pieni verrattuna johtavuusvirtaan. Tasoaaltomallissamaanpinnan sähkökenttä voidaan ilmaista pintaimpedanssin jamagneettikentän tulona. Vaihteluiden hitaus on myös perussyy sille, ettäGIC voi olla haitallinen sähköverkoille: muuntajat on suunniteltu toimimaanvaihtovirralla (50 Hz), mutta tyypilliset GIC-taajudet ovat alle 1 Hzluokkaa. GIC on siis sähköverkon kannalta tasavirtaa.Kun sähkökenttä onmääritetty, mallinnetaan sähköverkko tasavirtapiirinä,jonka solmupisteet ovat maadoitettuja muuntajia. Solmupisteiden välinenjännite saadaan integroimalla sähkökenttää pitkin johdinten määrittelemäätietä. Tässäontärkeää huomata, että tasavirtatarkastelusta huolimattasähkökenttä ei yleensä ole pyörteetön, joten jännite riippuu tiestä. Ohminja Kirchhoffin lakien suoraviivainen soveltaminen johtaa matriisiyhtälöönmaadoitusvirroille. Vastaava mallinnus on mahdollinen maahan haudatulleputkiverkolle (esimerkiksi Suomen maakaasuputki), mutta laskennallisestiongelma on monimutkaisempi, koska maadoitus on jatkuva eikä diskreetti.Todellisuudessa tasoaaltomalli ei sellaisenaan toimi hyvin revontulialueenlähellä, missä ionosfäärivirrat aiheuttavat hyvin epähomogeenisen sähkömagneettisenkentän. Käytännölliseksi on havaittu ratkaisu, jossa mitatunmagneettikentän avulla ensin mallinnetaan ionosfäärin ekvivalenttivirrat.Tämä on virtajärjestelmä, joka selittää täysin ionosfäärin alapuolella havaittavanmagneettikentän (todistus potentiaaliteorian avulla). Kun ekvivalenttivirrattunnetaan, voidaan maanpinnan magneettikenttä laskea missä tahansapisteissä. Sen jälkeen sovelletaan paikallisesti tasoaaltomallinnustasähkökentän laskemiseksi.Esimerkkinä on magneettinen myrsky huhtikuussa 2001. Pohjoismaidenalueella mitataan maan magneettikenttää yli 20 paikassa ja kentän pohjoiskomponentinvaihtelut on esitetty kuvassa 17.2. Havainnoista voidaanmäärittää ionosfäärin ekvivalenttivirrat ja niistä puolestaan interpoloidakenttä maanpinnalla. Kuvassa 17.3 esitetään maanpinnan horisontaalikenttäyhtenä ajanhetkenä. Kenttävektorit on ionosfääritutkimuksen tavanomaisenkäytännön mukaan käännetty 90 astetta myötäpäivään. Tällöin ne antavatkarkean kuvan ionosfäärin horisontaalivirroista (HT: miksi näin?).Sähkökentän laskemiseksi tarvitaan maalle johtavuusmalli, joita Suomessaon kehitetty erityisesti Oulun yliopistossa. Yksinkertainen Etelä-Suomellesopiva malli on kuvassa 17.4. Tasoaaltomenetelmää sovellettaessa tarkasteluon helpointa taajuusalueessa. Aikasarjana mitattu magneettikenttä Fouriermuunnetaan(FFT), minkä jälkeen se kerrotaan taajuudesta riippuvalla pintaimpedanssilla.Näin määritetty taajuusalueen sähkökenttä käänteismuunnetaanlopuksi aika-alueeseen (kuva 17.5).GI-virran laskemiseksi tarvitaan tiedot sähköverkon geometriasta ja vastusarvoista.Tarkastelu voidaan rajoittaa 220 kV ja 400 kV verkkoihin Suo-

206 LUKU 17. IHAN OIKEA ESIMERKKIIMAGE magnetometer network 2001-04-111 minute averagesSORKEVTROMAS2000 nTANDKILABKLEKMUOKIRSODX-COMPONENTPELRVKLYCOUJHANDOBNURUPS15 17 19 21 23Hour (UT)Kuva 17.2: Maan magneettikentän pohjoiskomponentin vaihtelut 11.4. 2001Fennoskandian manneralueella IMAGE-magnetometrin verkon mittaamana.Asemat ovat järjestyksessä etelästä (UPS) pohjoiseen (SOR).75 o N20010411 21:30:0070 o N65 o N60 o N0 o20 o E40 o EKuva 17.3: Maan magneettikentän interpoloitu horisontaalikomponenttimaanpinnalla 11.4. 2001. Vektorit on käännetty 90 astetta myötäpäivään.

17.2. GI-VIRRAN LASKEMINEN SÄHKÖVERKOSSA 2075000 ohmm500 ohmm100 ohmm10 ohmm3 km6 km5 km7 km20 ohmm23 km1000 ohmm106 km1 ohmmKuva 17.4: Yksinkertainen maan johtavuusmalli Etelä-Suomessa. Kuvassaannetaan resistiivisyyden eli johtavuuden käänteisluvun arvot. Maan permeabiliteettivoidaan suurella tarkkuudella olettaa samaksi kuin tyhjössä.Permittiivisyyden tarkalla arvolla ei ole merkitystä matalataajuusapproksimaatiossa(HT: totea tämä kuvan lukuarvoilla, kun taajuudet ovat alle 1Hz).21:29:0021:30:0021:31:0021:32:00max = 87 mV/kmmax = 67 mV/kmmax = 239 mV/kmmax = 561 mV/km21:33:0021:34:0021:35:0021:36:00max = 550 mV/kmmax = 387 mV/kmmax = 261 mV/kmmax = 178 mV/kmKuva 17.5: Kuvasarja lasketusta horisontaalisesta sähkökentästä 11.4. 2001.Kuvan 17.4 johtavuusmallia on sovellettu koko alueelle.

208 LUKU 17. IHAN OIKEA ESIMERKKIRAU 20010411 (finet_2000x.m)measured GIC [A]420-2-4-6-8-10-1215:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00UT [h]Kuva 17.6: Mitattu (musta) ja laskettu (sininen) GIC Rauman 400 kV muuntajalla.Positiivinen arvo tarkoittaa verkosta maahan kulkevaa virtaa.messa, koska alempijännitteisten verkkojen suuremmat vastukset rajoittavattehokkaasti virran kulkua. Mitattua ja laskettua virtaa verrataan kuvassa17.6 Rauman 400 kV muuntajalla. Käytetyt oletukset huomioon ottaen tuloson erinomainen. (HT: Laskettu virta on systemaattisesti hieman pienempikuin mitattu. Miten yhteensopivuus saataisiin vielä paremmaksi johtavuusmalliamuuttamalla?)Yhteenvetona todetaan, että GIC osataan laskea sähköverkossa, jos käytettävissäon magneettikentän mittauksia maanpinnalta, maan johtavuusmallejaja sähköverkon tasavirtamalli. Tutkimuksella on silti vielä paljonhaasteita. Suuria GIC-tapahtumia aiheuttavat ionosfäärin virrat tunnetaanhuonosti eikä erilaisia tapahtumatyyppejä ole luokiteltu kovinkaan tarkasti.Vielä suurempi työ on sellaisten ennusteiden kehittäminen, että aurinkotuulihavaintojenperusteella pystyttäisiin ennustamaan tarkasti magneettikentänkäyttäytyminen maanpinnalla. Avaruussää tarjoaa siis huomattavanpaljon työtä puhtaassa perustutkimuksessa.

Sisältö1 Johdanto 31.1 Mikä tämä kurssi on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Hieman taustaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Elektrodynamiikan perusrakenne . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Kirjallisuutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Staattinen sähkökenttä 92.1 Sähkövaraus ja Coulombin laki . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Sähkökenttä ............................ 112.3 Sähköstaattinen potentiaali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Gaussin laki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.1 Maxwellin ensimmäinen yhtälö ............. 132.4.2 Gaussin lain soveltamisesta . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Sähköinen dipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6 Sähkökentän multipolikehitelmä ................. 172.7 Pistevarauksen jakautuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.8 Poissonin ja Laplacen yhtälöt .................. 192.9 Laplacen yhtälön ratkaiseminen . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.9.1 Karteesinen koordinaatisto . . . . . . . . . . . . . . . 212.9.2 Pallokoordinaatisto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.9.3 Sylinterikoordinaatisto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.10 Kuvalähdemenetelmä ....................... 292.11 Greenin funktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31209

210 SISÄLTÖ3 Sähkökenttä väliaineessa 353.1 Sähköinen polarisoituma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Polarisoituman aiheuttaman sähkökentänmäärittäminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Sähkövuon tiheys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4 Dielektrisyys ja suskeptiivisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5 Sähkökenttä rajapinnalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5.1 Eristepallo sähkökentässä ................ 423.5.2 Pistevaraus eristepinnan lähellä ............. 443.6 Molekulaarinen polarisoituvuus . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 Sähköstaattinen energia 494.1 Varausjoukon potentiaalienergia . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Varausjakautuman sähköstaattinen energia . . . . . . . . . . 504.3 Sähköstaattisen kentän energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.4 Sähkökentän voimavaikutukset . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.5 Maxwellin jännitystensori sähköstatiikassa . . . . . . . . . . . 575 Staattinen magneettikenttä 615.1 Sähkövirta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.1.1 Jatkuvuusyhtälö ..................... 625.1.2 Ohmin laki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.1.3 Johtavuuden klassinen selitys . . . . . . . . . . . . . . 645.1.4 Samoilla yhtälöillä on samat ratkaisut . . . . . . . . . 655.2 Magneettivuon tiheys - Biot’n ja Savartin laki . . . . . . . . . 665.3 Ampèren laki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.4 Virtasilmukan magneettimomentti . . . . . . . . . . . . . . . 715.5 Magneettikentän potentiaaliesitys . . . . . . . . . . . . . . . . 725.5.1 Vektoripotentiaali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.5.2 Multipolikehitelmä .................... 745.5.3 Magneettikentän skalaaripotentiaali . . . . . . . . . . 755.6 Lorentzin voima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

SISÄLTÖ 2116 Magneettikenttä väliaineessa 796.1 Magnetoituma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2 Magnetoituneen aineen aiheuttama kenttä ........... 806.3 Magneettikentän voimakkuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.4 Suskeptiivisuus ja permeabiliteetti . . . . . . . . . . . . . . . 836.5 Magneettikenttävektoreiden reunaehdot rajapinnalla . . . . . 846.6 Reuna-arvotehtäviä magneettikentässä ............. 856.7 Molekulaarinen magneettikenttä ................ 886.8 Para- ja diamagnetismista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.9 Ferromagnetismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917 Sähkömagneettinen induktio 937.1 Faradayn laki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.2 Itseinduktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.3 Keskinäisinduktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.4 Pähkinä purtavaksi: Feynmanin kiekko . . . . . . . . . . . . . 998 Magneettinen energia 1018.1 Kytkettyjen virtapiirien energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.2 Magneettikentän energiatiheys . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.3 RLC-piiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.4 Epälineaariset energiahäviöt...................1068.5 Magneettikentän voimavaikutus virtapiireihin . . . . . . . . . 1098.6 Maxwellin jännitystensori magnetostatiikassa . . . . . . . . . 1129 Maxwellin yhtälöt 1139.1 Siirrosvirta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139.2 Maxwellin yhtälöt ........................1159.3 Sähkömagneettinen kenttä rajapinnalla . . . . . . . . . . . . . 1169.4 Sähkömagneettinen energia ja liikemäärä ............1189.4.1 Poyntingin teoreema: energian säilyminen . . . . . . . 1189.4.2 Maxwellin jännitystensori . . . . . . . . . . . . . . . . 120

212 SISÄLTÖ9.4.3 Liikemäärän ja liikemäärämomentin säilyminen . . . . 1219.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössä ...................1229.5.2 Potentiaaliesitys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229.5.3 Viivästyneet potentiaalit . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio . . . . . . . . . . . . . . 1269.6 Mittainvarianssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12810 Sähkömagneettiset aallot 13110.1 Tasoaallot eristeessä .......................13110.2 Aaltojen polarisaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13410.3 Sähkömagneettisen aallon energia . . . . . . . . . . . . . . . . 13610.4 Tasoaallot johteessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13710.5 Druden ja Lorentzin oskillaattorimalli . . . . . . . . . . . . . 14010.6 Palloaallot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14211 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen 14711.1 Kohtisuora saapuminen kahden eristeen rajapinnalle . . . . . 14711.2 Saapuva aalto mielivaltaisessa kulmassa . . . . . . . . . . . . 14912 Aaltoputket ja resonanssikaviteetit 15512.1 Sylinteriputki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15512.2 Suorakulmainen aaltoputki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15812.3 Resonanssikaviteetit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16013 Liikkuvan varauksen kenttä 16313.1 Liénardin ja Wiechertin potentiaalit . . . . . . . . . . . . . . 16313.2 Kenttien laskeminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16413.2.1 Vakionopeudella liikkuvan varauksen kenttä ......16713.2.2 Kiihtyvässä liikkeessä olevan varauksen kenttä ....16814 Säteilevät systeemit 17114.1 Värähtelevän dipolin kenttä ...................17114.2 Puoliaaltoantenni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17414.3 Liikkuvan varausjoukon aiheuttama kenttä ...........176

SISÄLTÖ 21315 Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria 17915.1 Lorentzin muunnos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17915.2 Tensorilaskentaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18315.3 Lorentzin muunnokset ja dynamiikka . . . . . . . . . . . . . . 18515.4 Elektrodynamiikan kovariantti formulointi . . . . . . . . . . . 18915.5 Kenttien muunnokset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19115.6 Potentiaalien muunnokset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19315.7 Säilymislait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19416 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä 19716.1 Säteilyhäviöiden vaikutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19716.2 Homogeeninen ja staattinen B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19816.3 Homogeeniset ja staattiset B ja E . . . . . . . . . . . . . . . . 20016.4 Liikeyhtälö kanonisessa formalismissa . . . . . . . . . . . . . . 20117 Ihan oikea esimerkki 20317.1 Avaruussäästä ...........................20317.2 GI-virran laskeminen sähköverkossa . . . . . . . . . . . . . . 204