Matematiikan perusmetodit I/Mat HARJOITUKSIA, SYKSY 2005 1 ...

Matematiikan perusmetodit I/MatHARJOITUKSIA, SYKSY 20051. Johda yhtälön ax 2 + bx + c =0(a ≠ 0) ratkaisukaava. Tarkasteleensin esimerkkinä yhtälöä x 2 +5x +6=0.2. Mitä alkioita kuuluu joukkoon A = {x ∈ R | x 2 = −1}?3. Olkoon A = {x ∈ R |Osoita, että A ⊂ B.11+x< 1+x} ja B = {x ∈ R | x ≥−2}.4. Osoita, että joukot A = {x ∈ R | x 2 − x − 2 < 0} ja B = {x ∈R | −1

12. Oletetaan, että A ⊂ B. Osoita, että B C ⊂ A C .13. Olkoon A = {n ∈ Z|n >3} ja B = {n ∈ Z|n 2 < 5}.Laske A C ,A∪ B,A ∩ B ja B \ A.14. Olkoon A = {x ∈ R| |x| < 1}. Laske A C ja A × A C .15. Olkoot A = {1, 4, 6, 8, 10, 11} ja B = {2, 3, 4, 5, 8, 10}. Määrää A ∩ Bja A ∪ B.16. Olkoot A = {x ∈ R| −2 |5 − 2x| c) ∣ 1+1 ∣ < 1d) |x +1|

24. Ratkaise epäyhtälöta) |x − 1| + |x +1| < 4 b) x 2 − 4x ≥ 2c) |x 2 − 4x| < 3 d) |2x − 1| < |5x − 3|.25. Todista oikeaksi tai vääräksi väite10 5√ n 3 + 700 + 10 6 n +10 7 >n 2 ∀n ∈ Z + .26. Todista induktiolla seuraavat väitteet:n∑ n(n +1)n∑a) i = , b) j 2 n(n + 1)(2n +1)= ,26c)i=1n∑i=13 2i−1 = 3(9n − 1)8j=1∀n ∈ Z + .27. Osoita, että (1 − 1 n 2 )n ≥ 1 − 1 , kun n ∈ N ja n ≥ 2 (vihje: käytänBernoullin epäyhtälöä).28. Joukossa E on n alkiota. Todista induktiolla, että E:n kaikkienosajoukkojen joukossa P (E) on2 n alkiota.29. Todista tarkasti väite:x2 +1≥ √ x +1 ∀x ≥−1.30. Tutki ovatko seuraavat väitteet tosia ja todista ne siinä tapauksessa.a) n 3 − 500n − 90 < √ 70n 5 + 900 ∀n =1, 2, ...b) luku n 2 − 1 on jaollinen kolmella aina, kun n on parillinenpositiivinen kokonaisluku.31. Todista, että n 3 − n on jaollinen kolmella aina, kun n on kokonaisluku.32. Osoita, että luku n 2 − 1 on jaollinen kolmella aina, kun n>3onalkuluku (jaoton).33. Osoita, että n 3 +1≥ n 2 + n aina, kun n ∈ N.

34. On n taloa, joista jokainen halutaan kytkeä puhelinkaapelilla toisiinsa(kytkentä = kahden talon välinen kaapeli). Kuinka montakytkentää tarvitaan?35. Todista induktiolla seuraavat väitteet:n∑n∑ 1a) 1+ k·k! =(n+1)!, b) √ < 2 √ n aina kun n =1, 2, ... .kk=136. Osoita induktiolla, että n-kulmion kulmien summa=(n − 2)180 ◦ .k=137. Todista induktiolla seuraavat väitteet∑a) n i(i +1)= n(n+1)(n+2)3, aina, kun n ∈ Z + ,i=1b) n 3 ≥ 3n + 3 aina, kun n ∈ Z + , n ≥ 3,c) luku 2 2n +15n − 1 on jaollinen luvulla 9, kun n ∈ Z + .38. Osoita, että a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + ac + bc (vihje: tutki lauseketta(a − b) 2 +(b − c) 2 +(a − c) 2 ).39. Olkoot a, b ja c positiivisia reaalilukuja. Osoita, että(a + b + c)( 1 a + 1 b + 1 c ) ≥ 9.40. a) Todista, että x + 1 x≥ 2 aina, kun x>0.b) Todista a)-kohtaa käyttäen, että (a + b + c)( 1 a + 1 b + 1 c ) ≥ 9 aina,kun a, b ja c ovat positiivisia reaalilukuja.41. Olkoon a

43. a) Osoita, että kahden rationaaliluvun summa, tulo ja erotus ovatmyös rationaalilukuja.b) Olkoon x ∈ R irrationaaliluku. Osoita oikeaksi tai vääräksi väite:x − 1on irrationaalinen.x +144. Oletetaan: n, m ∈ Z ja m 2 + n 2 on parillinen. Osoita, että m + n onparillinen.45. Ratkaise kaikki sellaiset x, y ∈ Z, että x 2 − y 2 =146. Esitä muodossa m n luvut1a) 0, 15 b) 2, 34¯2 c) . 1,2747. Määrää jaksollisten desimaalilukujen 1, 35 35 ... ja 2, 351 351...käänteisluvut muodossa m n , missä m, n ∈ Z +.48. Tiedetään, että |a| ≤2ja|b| ≤7. Arvioi lukua |4a + b| ylöspäin.49. Osoita kolmioepäyhtlöä käyttäen, ettäa) |x−1| ≥1 aina, kun |x| ≥2, b) |x 2 −4| < 5 aina, kun |x−2| < 1,c) |4x +7| + |4x − 1| ≥8 kaikilla x ∈ R, d)2+x∣2 − x∣ < 2 aina,kun |x| < 1 2 .50. Osoita, että epäyhtälö√(x +2)2 + |y 2 − 4| +(2x − 1) 2 − 1 ≥ 2on voimassa kaikilla x:n ja y:n reaaliarvoilla. Milloin yhtäsuuruuson voimassa?51. Todista: Jos 0

52. Ratkaise epäyhtälöta) |x − 1| + |x| < 2, b) x 2 − 4x ≥ 2, c)|x 2 − 4x| < 3,d) |5x +1| < |3x − 1|, e) 2x − x22< |x| + |x − 2|.53. Todista induktiolla, ettäa) 1 · 5+2· 5 2 +3· 5 3 + ... + n · 5 n 5+(4n − 1)5n+1= ∀n ∈ Z + ,16n∑ ∑b) | a j |≤ n |a j |∀n ∈ Z + ja mille tahansa reaaliluvuille a 1 ,a 2 , ...,c)j=1nπ (1 − 1j=2j=1+1)=n , n =2, 3, ... .j2 2n54. Todista induktiollan∑a) j 3 =[ n(n+1) ] 2 n =1, 2, ...2b)j=1nΠj=2 (1 − 1 j )= 1 nn =2, 3, ...55. Olkoon a n =n+2∑k=nk 2 .a) Osoita todeksi väite: jos luku a n on jaollinen kolmella, niin myösa n+1 on jaollinen kolmella.b) Tutki milloin a n on jaollinen kolmella.56. a) Osoita suoraan laskemalla, että binomikertoimille ( )n n!k =k!(n − k)!on aina voimassa( n+k)( nk − 1) ( n +1=k), n,k ∈ Z + , k ≤ nb) Todista induktiolla kaavan∑( n(1 + x) n = xk)kk=0∀n ∈ Z + , x ∈ R

c) Todista b-kohdan perusteella ns. binomikaavan∑( n(a + b) n = ak)k b n−k , n ∈ Z + , a,b ∈ R.k=057. Osoita kolmioepäyhtälöä käyttäen, ettäa) |3x +2| + |3x − 2| ≥4 kaikilla x ∈ R,∣b) ∣ > 1 2 aina, kun |x| < 1 2 .∣ 2+x2−x58. Olkoon a>0, |x − 1| 0 sekä |x − a|

65. Osoita, että max (−S) = -min S ja sup(−S) = -inf S (mikäli olemassa).66. Ovatko seuraavat funktiot injektioita tai surjektioita:(i) f : Z → Z, f(x) =x + 2 (ii) f : N → N, f(x) =x +2(iii) f : Z → Z, f(x) =2x (iv) f : R → R, f(x) =2x.67. Kirjoita määritysjoukko D f , kuna) f(x) = 1x−1 + 1x−2 + √ 3x − 2,√b) f(x) = |x|− √ |x|−x 268. Olkoon f : R → R, f(x) =x 2 +1 ja g : R → R, g(x) =x+1. Määrääf ◦ g, g ◦ f, f ◦ f ja g ◦ g.69. Määritellään funktio f asettamalla{ x, kun |x| ≤1f(x) = 1,xkun |x| > 1a) Määrää D f ja R f ja piirrä kuvaaja.b) Määrää f ◦ f.c) Ratkaise epäyhtälö − 1 2

{ 1c) f : Z → N, f(x) =x 2 x, d)f : R → R, f(x) =, x ≠00, x =0 .73. Olkoon f(x) = x1+|x| .a) Tutki, onko f surjektio tai injektio.b) Määrää R f ja f −1 : R f → R.74. Olkoon a>0jaf reaalifunktio, joka toteuttaa ehdon f(x + a) =12 + √ f(x) − (f(x)) 2 aina, kun x ∈ R. Osoita, että f on jaksollinenfunktio, jonka jakso = 2a (on siis osoitettava, että f(x) =f(x +2a)aina, kun x ∈ R).75. Olkoon f jaksollinen funktio ja ω>0 sen perusjakso. Osoita induktiolla,että nω on f:n jakso aina, kun n ∈ Z + .76. Bijektio f : R → R toteuttaa yhtälönf(f −1 (x)+x) =f(2x) ∀x ∈ R.Määrää funktio f.77. Olkoot f,g : R → R. Osoitaa) Jos (f ◦ g)(x) =x ∀x ∈ R, niin f on surjektio.b) Jos (g ◦ f)(x) =x ∀x ∈ R, niin f on injektio.c) Jos edellisten kohtien molemmat ehdot ovat voimassaniin f −1 = g.78. Olkoon f : R → R bijektio ja g(x) =2f(x) +1. Osoita, että myösg : R → R on bijektio.79. Olkoon f : R → R funktio, joka toteuttaa yhtälön(f(x)) 3 + f(x) =x∀x ∈ Ra) Osoita, että f on injektio,b) Osoita, että f on surjektio,c) Määrää f −1 : R → R.80. Olkoot f(x) = √ x +1jag(x) =x 2 − 1. Ratkaise yhtälö (f ◦ g)(x) =g(x).

81. Olkoot f(x) = 1 x ja g(x) =|x+1|. Määrää D f◦g, ja ratkaise epäyhtälö(f ◦ g)(x) >g(x).82. Olkoon f : R → R bijektio ja g(x) =7f(x)+8 kaikilla x ∈ R. Osoita,että g on bijektio:R → R.83. Olkoot f ja g : R → R funktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystäfunktiosta g ◦ f, kuna) f ja g ovat kasvavia,b) f ja g ovat väheneviä,c) f on kasvava ja g on vähenevä,d) f on vähenevä ja g on kasvava.84. Laske P (0), kun polynomin P (x) =x 3 + ax 2 + bx + c 0-kohdat ovat-1,1 ja 2.85. Olkoon P astetta n oleva polynomi ja P (k) = 2 kun k =1, 2, ..., n.Millä ehdolla P (0) = 1?86. Tiedetään, että r-säteisen kiekon ala = πr 2 ja kehän pituus = 2πr.Johda kulmaa θ, 0

90. Määrääa) sin2x, b) cos2x, c) tan2x, kun0cos x,d) cos 2x − tan x>1, e) 2 sin 2 x =1− sin ( x + π 3).

100. Osoita, että kompleksiluvuille z ja wa) z + w =¯z +¯w, b) zw =¯z ¯w, c) = z = z,d) z¯z = |z| 2 , e) |z| = |¯z|, f) |zw| = |z||w|g) ∣ z ∣ = |z| (w ≠ 0), h) |z| =0⇔ z =0 i)wz =0⇔ w =0w |w|tai z = 0 (tulon nollasääntö).101. Esitä kompleksiluvut (1 + 2i)(1 − 3i) ja 1+i5+2imuodossa x + yi.102. Esitä muodossa a + bi kompleksiluvuta) (1 + 4i)(2 − 5i) b) 1+2i4−ic) (1 + 2i) 2 d) (1 + 2i) −2 .103. Määrää kompleksilukujen 1+i4+3ija cos α+i sin α, α ∈ R, itseisarvot.104. Millä reaaliluvun x arvoilla lausekekun z = x +3i.z 2z − 6ion reaalinen,105. Ratkaise z = x + yi yhtälöstä |z|−z =1+2i.106. Olkoon P (x) =a n x n + a n−1 x n−1 + ···+ a 1 x + a 0 reaalikertoiminenpolynomi. Osoita: Jos z ∈ C on P (x):n nollakohta, niin myös ¯z onP (x):n nollakohta.107. Esitä kompleksiluvut √ 3+3i, −2 +2i, − √ 3 − i ja 1 − i muodossar(cos ϕ + i sin ϕ).108. Laske a) ( √ 3+i) 30 , b)(−√32 + 1 2 i ) 321.109. Ratkaise yhtälö a) z 3 = 1, b) z 4 = −1.110. Esitä sin 3α ja cos 3α lausekkeiden sin α ja cos α avulla (vihje: Käytäde Moivre’n kaavaa).

120. Määrää määritysjoukko D f , kun f(x) =√11 − x − 1 − x.121. Olkoot f(x) = √ x +1jag(x) =x 2 −1. Määrää(f ◦g)(x) ja(g◦f)(x)sekä määritysjoukot D f◦g ja D g◦f . Ratkaise yhtälö (f ◦g)(x) =g(x).122. Osoita, että ehdolla x + y + z = π on sin 2x + sin 2y + sin 2z =4 sin x sin y sin z.123. Ratkaise yhtälö 4 sin 2 x − tan x =0.124. Osoita, että f(x) =x|x|,f : R → R, on bijektio.125. Funktiolla f : R → R, f(x) =2x 3 + x, on käänteisfunktio. Määrääf −1 (3).126. Määrää reaali- ja imaginaariosat, kuna) z = i(2 + 3i)(1 − 2i)b) z = 1 − 4i2+i .127. Esitä napakoordinaateissa kompleksiluvuta) z =5 b)z = −7 c) z = −2 − 2i d) √ 3+i.128. Ratkaise kompleksiset yhtälöta) z 3 + z =0 b)z +2¯z =5 c)2z + |z| = i.129. Määrää reaali- ja imaginaariosat luvulle ( √ 3+i √ 3) 52 .130. Ratkaise napakoordinaattien avulla yhtälöta) z 3 =1+i b) z 5 =1.131. Ratkaisea) z 2 − 2¯z +1=0 b)|¯z + iz| < 2.132. Lue monisteen sivu 54.

133. Jaa polynomi P (x) =x 3 − 2x 2 + x − 2 tekijöihina) kunnassa R, b) kunnassa C.134. Olkoon P (x) =2x 4 +7x 3 +14x 2 +63x − c, c ∈ R.a) Määrää luku c, kun P :n yksi nollakohta on 3i.b) Jaa polynomi P tekijöihini) kunnassa R,ii) kunnassa C.135. Polynomin P (x) =x 3 − 9x 2 +9x + c yksi nollakohta on 2. Jaa P (x)tekijöihina) kunnassa R, b) kunnassa C.136. Polynomin P (x) =x 3 − 2x 2 +9x + c yksi nollakohta on 2. Jaa P (x)tekijöihina) kunnassa R, b) kunnassa C.137. Olkoot z 1 = i, z 2 =2+i ja z 3 = −3. Määrää sellainen alinta astettaolevaa) reaalikertoiminen polynomi, jonka nollakohtia ovat z 1 ,z 2 ja z 3 .b) kompleksikertoiminen polynomi, jonka nollakohtia ovat z 1 ,z 2 jaz 3 .138. Olkoot z 0 ,z 1 , ..., z n−1 yhtälön z n = 1 ratkaisut, kun n ∈ Z + ,n ≥ 2.Osoita, että n−1 ∑z k =0.k=0139. Johda toisen asteen yhtälön z 2 +a 1 z+a 0 =0, a 0 ,a 1 ∈ C, ratkaisukaava.140. Osoita tarkasti, ettäa) lim (11x − 18) = 4x→2141. Laske raja-arvot2n +7a) limn→∞ n 3 +21b) limx→x ◦ x = 1 , kun x ◦ ≠0.x ◦b) limn→∞n 2 + n +12n 2 +3

c) limn→∞ (√ n 2 + n − n)sin(n)d) limn→∞ n .142. Laske raja-arvo()1lim √n→∞ n2 +1 + 1√n2 +2 + ... + 1√ .n2 + n143. Määrää limn→∞ x n, kun x n ona) 2n2 + n − 3n 2 +1√d) n 2 (n−144. Osoita tarkasti, että limn→∞145. Osoita tarkasti, että limn→∞, b) (n +1)2 − (n − 1) 2nn 2 + 1 n ), e) 1 n 2 + 1(n +1) 2 +···+ 1(2n) 2 ,n1+n 2 =0.n √1+n2 =1., c) n( √ n 2 +1− n),f)n ∑k=11√n2 + k .146. Todista: Jos lukujono (a n ) suppenee, niin raja-arvo limn→∞ a n on yksikäsitteinen.147. Olkoon jono (a n ) ∞ n=1 vähenevä ja alhaalta rajoitettu lukujono, jaolkoon inf{a n } = a. Osoita, että jono (a n ) suppenee ja lim a n = a.n→∞148. Lue monisteen sivut 59-61.149. Määrittele käsitteet sarjan ∞ ∑k=1a n osasumma, suppeneminen ja summa.150. Tutki seuraavien sarjojen suppenemista ja laske summa, mikäli mahdollista:∑a) ∞ 1k(k+1) (teleskooppisarja), b) ∑ ∞ a k (geometrinen sarja).k=1151. Pallo ponnahtaa tiputettuna lattiasta niin, että se saavuttaa 90% pudotuskorkeudesta.Laske pallon kulkema kokonaismatka, kun pallotipautetaan 1 m:n korkeudesta ja annetaan pomppia kunnes se pysähtyy.k=0

152. Osoita osasummien jonoa tutkimalla, että sarja ∞ ∑k=11√khajaantuu.∑153. Oletetaan, että sarja ∞ a k suppenee. Osoita, että lim a n =0.k=1n→∞(vrt. teht. 152; käänteinen väite ei pidä paikkaansa).154. Lue monisteen sivut 63-64.155. Osoita kahdella tavalla, ettäa) 0,121212...= 4 33(jakso=12), b) 0,999...=1 (jakso=9).156. Osoita, että jono (a n ) suppenee ja määrää limn→∞ a n, kuna) a 1 =1jaa n+1 = 1 6 (a2 n +9), n ∈ Z + ,b) a 1 =1jaa n+1 = 3a n1+a n, n ∈ Z + .157. Osoita, että sarja suppenee, ja laske sen summaa) ∞ ∑k=11+2 k+13 kb) ∞ ∑k=11(2k−1)(2k+1)

158. Osoita, että funktio f : R → R on bijektio, jos se toteuttaa ehdona) f(3f(x)) − x = 0 aina, kun x ∈ R,b) (f ◦ f)(x) =5x aina, kun x ∈ R,c) (f ◦ f)(x) =2x + 1 aina, kun x ∈ R.159. Olkoon ε>0jaδ ε = min( 3 2 , 9ε ). Osoita, että2a) 1|x| ≤ 2 3 aina, kun 0 < |x − 3| < 3 2 .b) | 1 x − 1 3 |

13) limx→215) limx→0sin(πx)x − 2sin 2 x1 − cos x14) limx→02 sin x − sin 2xx 316) limx→0sin(πx + x 2 )x17) limx→019) limx→020) limx→π4sin(11x) sin(10x) sin(59x)tan x − sin xx 3cos 2xcos(x + π 4 )x 321) limx→1sin( π 2 [x])18) limx→0√ 1+2x − 1sin 3x22) lim [sin( π x)] ([x] = suurin kokonaisluku, joka ≤ x).x→1 2163. Määrää sellainen vakio a, että funktiolla f(x) = ax2 − 6x +4x 2 − x − 2raja-arvo, kun x → 2. Mikä ko. raja-arvo on?on164. Määrää sellaiset luvut a, b ∈ R, että raja-arvoax 2 + bx +1limx→1 x − 1on olemassa. Laske tällöin kyseinen raja-arvo.165. Laske raja-arvota) limx→4−√ x − 2, b) lim|x − 4| x→0−|x|tan x ,c) limx→∞√x2 +1x 6 +5x 2 − 13x 6 ,+8d) lim (√ x 2 + x− √ √x2x 2 +1− x), e) lim , f) lim .x→∞ x→∞ xx→−∞ x166. Määrää seuraavat raja-arvot1 + cos x3√ √ √x +27− 3x +2− 21) lim , 2) lim, 3) lim,x→π (x − π)2 x→0 xx→0 x 2 − 2xx 3 + x 2 − x − 1x 3 − 2x 2 + x − 24) limx→1 x 2 , 5) lim+ x − 2x→2 x 2 ,− 2x(1 + x) 2 − 1x 4 − 16) limx→0 (1 + x) 3 , 7) lim− 1 x→1 x 2 − 1 ,x 3 − 18) limx→1 x 2 − 1 ,9) limx→3x 3 − 27x − 3 ,10) limx→0cos x − 1cos 2 2x − 1, 11) lim,xx→0 x 2

12) limx→0x sin 1 x ,sin 3x15) limx→0 7x18) limx→2π13) limx→0, 16) limx→0sin 4x, 14) limx x→3xsin 8x ,1 − cos x, 19) lim(x − 2π)2 x→0sin(x − 3),x − 3sin 7x17) limx→0 sin 4x ,( 1x 2 − 1x 4 + x 2 ),√ √ 2x +1− x +2tan 4x20) lim, 21) limx→1 x − 1x→0 x23) limx→0x 2 sin x − x 3x 3 , 24) lim√ x +4− 2x→0 x, 22) limx→0sin 4xcos x sin x ,, 25) limx→1√ 3+x − 2sin(x − 1) ,9x 3 +12x 2 + 1991x − 21121 − cos 3 x26) lim, 27) lim ,x→1 x − 1x→0 x 228) limx→0cos 3x − cos 2xx 2 , 29) limx→0sin(cos x − 1)x 2 .167. Osoita tarkasti, ettäa) limx→5(3x − 1) = 14b) limx→2x 2 =4.168. Määrää vakioille a ja b sellaiset arvot, että raja-arvo limon äärellisenä olemassa. Määrää k.o. raja-arvo.√ 1+x−ax−bx→0 x 2169. Olkoon a 1 = 99 ja a n+1 = √ 7a n , kun n =1, 2, ··· . Osoita, ettälukujono (a n )suppenee ja määrää limn→∞ a n.170. (Yo-tehtävä K2001)Lukujonon termit ovat a 1 = 1, a 2 = √ 2, a 3 = √ 2 √ √2, a 4 =2 √ 2 √ 2, jne. Muodosta termeille rekursiokaava. Laske lim a n.n→∞171. (Yo-tehtävä S2001)Tutki, millä x ∈ R sarja ∞ ∑k=0(2x−13x+1) ksuppenee. Määritä summafunktioja piirrä sen kuvaaja.

172. Osoita, että yhtälöllä x 3 − 2x 2 − 3x + 1 = 0 on täsmälleena) yksi negatiivinen ratkaisub) kaksi positiivista ratkaisua.Piirrä ko. polynomifunktion kuvaaja.173. Osoita, että jatkuvalla funktiolla f :[0, 1] → [0, 1] on kiintopiste ts.sellainen x 0 ∈ [0, 1], että f(x 0 )=x 0 .174. Määrää sellainen luku a ∈ R, että funktio{ 1 − x, kun x ≤ 2f(x) =2x + a, kun x>2on kaikkialla jatkuva.cos x − cos 2x175. Olkoon f(x) = . Voidaanko f(0) määritellä niin, ettäx 2f tulee jatkuvaksi pisteessä 0?176. Määrää sellaiset luvut a, b ∈ R, että funktio⎧⎪⎨x +2 ,x0bxon jatkuva origossa.177. Osoita, että yhtälöllä x 7 + x + 1 = 0 on ainakin yksi reaalijuuri.178. Tutki, onko yhtälöllä x 3 − x 2 +2x − 3=|x − 2| yhtään ratkaisua.179. Olkoon f : R → R jatkuva funktio, joka toteuttaa ehdon |f(x) −x| ≤1 aina., kun x ∈ R. Osoita, että funktiolla f on ainakin yksinollakohta (vihje: käytä Bolzanon lausetta).180. Olkoon f : R → R jatkuva funktio, joka toteuttaa ehdon |(f(x)) 3 +x +2| < 1, aina, kun x ∈ R. Osoita, että funktiolla f on ainakin yksinollakohta.181. Osoita, että yhtälöllä 2x = cos x on ratkaisu x 0 ∈ R.182. Olkoon{ x ,x ∈ Qf(x) =−x ,x /∈ Q .Tutki, missä pisteissä f on jatkuva.

183. Olkoon f : R → R jatkuva ja f(x) =x 2 − 1, kun x ∈ Q. Tutki, mikäfunktio on kyseessä.184. Olkoon{ 0 ,x /∈ Qf(x) =,x= p q ∈ Q1qmissä x = p q (q>0) on supistetussa muodossa (sovitaan tässä 0 = 0 1 ).Tutki, missä pisteissä f on jatkuva.185. Ratkaise x, kuna) ln √ x − 1+ln √ 2x − 1=ln √ 3 b) log 2 (log 2 x)=−1c) e −2x+1 =2 d)2· 4 x − 2 x > 1.186. Olkoon f : R → R, f(x) =ln( √ 1+x 2 − x). Osoita, että f onpariton funktio.187. Onko log 3 6 rationaali - vai irrationaaliluku?188. Määrää raja-arvot√a) lim 4−x−2x→0 x(x+1), 2d) lim (1 + 1x→∞ x )3x ,(g) lim 2x+1) xx→∞ 2x ,h) lim (1 + 1x→∞ 3x )2x ,k) limx→∞189. Laske arc sin ( 12)(arc cosb) limx[ln x − ln(x + 1)].− √ 32,(arc tan(−1), arc tansin(arc tan 3).√ 3x+8−2x→0 x 2 +xe) limx→∞ (1 − 1 x )x ,i) limx→∞ ( x+3x−1 )x+3 ,sin(51x), c) limx→0 x,f) limx→∞ (1 + 2 x )x ,j) limx→∞ ( 2x+32x+1 )x+1 ,) ( ) ( ), arc sin −12 , arc sin − √ 12, arc cos ( 12),)√13, arc cot( √ 3), sin ( )arc cos 4 5Nerous on prosentin verran inspiraatiota ja 99 % hikeä.-Thomas Alva Edison-

190. Olkoon f(x) = √ 2x − 1. Määrää f ′ (5) suoraan derivaatan määritelmäännojaten.191. Onko f ′ (1) olemassa, kun{ x , kun x ≤ 1a) f(x) =2x − 1 , kun x>1,{ 2x 2 − 1 , kun x ≥ 1b) f(x) =4x − 3 , kun x

199. Oletetaan, että pisteen x = 0 eräässä ympäristössä1 − x 2 ≤ f(x) ≤ 1+x 2 .Määrää f(0). Osoita, että f on derivoituva pisteessä x =0, jalaske f ′ (0).200. Kappaleen paikka hetkellä t on s(t) =t+ 41+t,t≥ 0. Missä kohdassakappaleen nopeus on nolla? Milloin kappale on lähinnä origoa?201. Tutki, millä vakioiden a>0jab>0 arvoilla käyrät y = ax 2 jay = √ bxleikkaavat toisensa kohtisuoraan.202. Todista derivoimiskaavat D(cos x) =− sin x, D(tan x) = 1 + tan 2 xja D(cot x) =−(1 + cot 2 x).203. Määrää käyrän y = x 2 pisteen (1,0) kautta kulkevien tangenttienyhtälöt.204. Derivoi f(x), kun f(x) ona) (x − 1)(x + x 3 ), b) x2 − 1x 2 +1 , c) x3 sin x cos x,sin xd)1 + cos x , e) x ln x − x, f) x5 ln x.205. Derivoi f(x), kun f(x) on( ) 4 √x +1a) , b) x √ x √ x, c) e ex , d) cosh x, e) 2 x2−1 ,x − 1f) (ln x) ln x , g) x sin x , h) (arc sin x) 2 , i) arc sin 1 x ,j) arc tan √ x, k) arc tan √ e x − 1, l) arc tan(ln x).206. Osoita, että a) D sinh x = cosh x, b) funktiolla f(x) = sinh x onkäänteisfunktio f −1 (x) =ar sinh x ja määrää sen derivaatta.207. Osoita, että a) D tanh x = 1cosh 2 x , b) funktiolla f(x) = tanh x onkäänteisfunktio f −1 (x) =ar tanh x ja määrää sen derivaatta.208. Olkoon f(x) =x 3 +5x +8. Merkitään h(y) =e f −1 (y) . Laske h ′ (2).209. Olkoon y(1) > 0jax 3 − y 3 + xy − 1=0. Laske y ′ (1).

210. Osoita väliarvolauseen avulla, ettäa) 1 9 < √ 66 − 8 < 1 8 , b) 1 6 < ln 6 − ln 5 < 1 5 ,xc) < ln(1 + x) 0,1+xd) x − x3< arc tan x0.3211. Olkoon f derivoituva funktio, jolla 0 ≤ f ′ (x) ≤ 2 aina, kun x ∈ [0, 2].Olkoon lisäksi f(0) = 1 ja f(2) = 4. Osoita, että 2 ≤ f(1) ≤ 3.212. Funktio f : R → R toteuttaa ehdot: f(1) = 1 jaMäärää funktio f.|xf(x) − yf(y)| ≤|x − y| 2 ∀x>0,y >0.213. Määrää seuraavat raja-arvota) limx→11 + cos πxln(cos 3x)x 2 , b) lim− 2x +1 x→0+ ln(cos 2x) ,e x − e −x − 2xd) lim, e) lim (cos x) cot2 x ,x→0 x − sin xx→0( 1g) limx→0 x 2 − sin x )x 3 .c) limx→0sin 2xe 3x − 1 ,f) limx→0sin(cos(7x) − 1)x 2 ,214. Osoita, että yhtälöllä 10x 4 − 6x + 1 = 0 on juuri välillä [0,1]. (Opastus:tarkastele funktiota f(x) = 2x 5 − 3x 2 + x ja sovella Rollenlausetta.)215. Osoita, että yhtälöllä 10x 3 +4x 2 − 7 = 0 on tarkalleen yksi positiivinenjuuri.216. Määrää ne positiiviluvut a, joilla yhtälöllä x + a sin x − 2=0onratkaisu x välillä [ 0, π 2].

217. Olkoon g(x) = cos x, π ≤ x ≤ 2π. Esitä g −1 : [−1, 1] → [π, 2π]funktion arc cos avulla.218. Todista identiteetti arc tan( y−1y+1 )+ π 4= arc tan y, kun y>−1.219. Piirrä funktion f(x) =arc sin(sin x), x ∈ R, kuvaaja (ilman laskinta).220. Osoita väliarvolauseen avulla, ettäa) √ 1+x0,∀ x ∈ R.221. Tutki miten yhtälön x 3 −3ax 2 +2 = 0 reaalisten ratkaisujen lukumääräriippuu vakiosta a ≥ 0.222. Laske raja-arvota) limx→2x 3 − 8x − 2x − sin x2x − πb) limc) limx→0 x 2 x→ π 2 − cos 2 xd) limx→01 − cos ax1 − cos bx .223. Valmistetaan tasapaksusta aineesta astia, jonka pohja on neliö jatilavuus 1. Astiaan tehdään kansi kalliimmasta materiaalista, jonkahinta on 15-kertainen pinta-alayksikköä kohden verrattuna muuhunosaan. Määrää astian mitat, kun materiaalikulut on saaava mahdollisimmanpieniksi.224. Olkoon f(x) =x 7 +2x 5 − 3, x ∈ R.a) Osoita, että f −1 : R → R on olemassa.b) Laske (f −1 ) ′ (0).225. Olkoon f(x) =2x + sin x, x ∈ R.a) Osoita, että f −1 : R → R on olemassa.b) Laske (f −1 ) ′ (2π).

226. Funktio f : R → R toteuttaa ehdon( ) x + yf(x) − f(y) =f ′ (x − y) ∀x, y ∈ R.2Määrää funktio f.227. Osoita, että funktio f(x) =x 2 on alaspäin kupera suoraan määritelmänperusteella (ks. sivu 125 moniste).228. Käytettävissä on 100 m aitaa sekä pitkä, suora muuri, jota voidaankäyttää osana aitausta. Rakenna mahdollisimman suuri aitaus, kuna) Muuri ja aita muodostavat yhdessä suorakulmion.b) Aita on osa jonkin ympyrän kehää.229. Olkoon f(x) =x− arc tan (tan x) ∀x ≠ π 2 + nπ, n ∈ κ. Laske f ′ (x)ja piirrä funktion kuvaaja.230. Derivoia) f(x) =(x + 1)(x +4)√x(x +2)b) f(x) = (x+1)2√ x−1(x+4) 3 e x .231. Integroia) ∫ √x 1dx, b) ∫ 2x( √ x − 1)dx, c) ∫ x( √ x +2x 3√ x)dx,d) ∫ (1 − 1 x )2 dx, e) ∫ 1x+3 dx, f) ∫ 12x+3 dx, g) ∫ x 23+x dx,h) ∫ xx 2 +8 dx, i) ∫ 11+a 2 xdx, j) ∫ dx2 2+x, k) ∫ x √ 1 − x 2 dx,2l) ∫ cos(6x)dx, m) ∫ sin(4x +1)dx, n) ∫ sin 5 x cos xdx,o) ∫ sin 2 xdx, p) ∫ cos 2 xdx, q) ∫ sin 3 xdx, r) ∫ cos 3 xdx,s) ∫ sin 5 xdx, t) ∫ sin 4 xdx, u) ∫ cos 4 xdx, v) ∫ tan 2 xdx,x) ∫ √ dx7x+5, y) ∫ 1tan x dx, z) ∫ e xe x +1 dx.232. Määrää osittaisintegroinnin avullaa) ∫ xe 2x dx, b) ∫ xe − x 2 dx, c) ∫ x sin xdx, d) ∫ x ln xdx,e) ∫ ln xdx, f) ∫ ln(x 2 )dx, g) ∫ x 2 sin xdx, h) ∫ x 2 ln xdx,i) ∫ ln(1+x 2 )dx, j) ∫ (2x + 1) sin(2x)dx, k) ∫ ln(1+x 2 )dx,x 2 x 2

l) ∫ ln(1 + x 2 )dx, m) ∫ arc tan xdx, n) ∫ cos(ln x)dx,o) ∫ e x cos xdx, p) ∫ arc sin xdx, q) ∫ x 3 e x dx.233. Johda osittaisintegroinnin avulla palautuskaavata) ∫ sin n xdx= − 1 n sinn−1 x cos x + n − 1 ∫sin n−2 xdx,nb) ∫ cos n xdx= 1 n cosn−1 x sin x + n − 1 ∫cos n−2 xdxn(n =2, 3, ...).234. Integroi suluissa annettua sijoitusta käyttäena) ∫ 1√9 − x2 dx, (x = 3 sin t, −π 2

jaetaan kahteen osaan niin, että lyhyemmän osan suhde pitempäänon yhtä suuri kuin pitemmän suhde koko janaan. Olkoon jananpituus l, joka jaetaan kultaisen leikkauksen suhteessa. Laske osienpituudet.237. Uutta matematiikkaa: Jos A sahaa puun poikki kolmessa tunnissa, Bkahdessa tunnissa ja C yhdessä tunnissa - niin miksi ihmeessä kokohommaa ei anneta C:lle? Mitä tämä tarkoittaa laskuharjoituksiinsovellettuna?238. Haet Korvatunturin tuotekehittelyosastolta matemaatikon paikkaa.Työhönottohaastattelussa saat Joulupukilta tehtäväksi suunnitellajoulukuusenkoristeen, jonka käyrä{ 12y = √ x, 0 ≤ x ≤ 44 − (x − 4)2 , 4