Johdanto - FMI

Luku 1JohdantoIt requires a much higher degree of imagination to understand the electromagneticfield than to understand invisible angels.R. P. Feynman1.1 Mikä tämä kurssi onEdessä on koko kevätlukukauden kestävä 10 opintopisteen paketti elektrodynamiikkaa,joka voidaan sisällyttää joko fysiikan syventäviin tai teoreettisenfysiikan perusopintoihin. Tämä merkitsee, että kurssille osallistuvienopiskelijoiden mielenkiinnon suuntautuminen, esitiedot ja laskutekniikkanhallinta vaihtelevat huomattavasti. Kurssin tavoitteena on oppiaymmärtämään elektrodynamiikan perusrakenne ja käyttämään sitäerilaisissa vastaan tulevissa tilanteissa. Elektrodynamiikan rakenteenymmärtäminen kuuluu jokaisen fyysikon yleissivistykseen. Toisaaltasähkömagnetismi on keskeisessä osassa niin kaikkialla fysiikassa kuin arkipäivässäkin.Parempaa syytä elektrodynamiikkaan perehtymiselle on vaikeakeksiä.Kurssi on jaksotettu siten, että sähkö- ja magnetostatiikka sekä induktiolakitulevat käsitellyiksi ensimmäisen puolen lukukauden aikana. Kurssintoinen puolikas sisältää pääasiassa dynaamisia ilmiöitä, jolloin samallamennään syvemmälle sekä teoriaan että käytäntöön.Kurssin lähtötasoksi sähkömagnetismin osalta oletetaan fysiikanperuskurssien hallinta. Tämänhetkisessä kurssiohjelmassa se tarkoittaakurssien Sähkömagnetismin perusteet I ja II suoritusta. Toki myös hyvinsuoritettu fysiikan approbatur riittää sekin.Elektrodynamiikka on useimmille opiskelijoille ensimmäinen fysiikan teoria,jossa kentän käsitteellä on ratkaiseva osa. Sähkö- ja magneettikentät3

4 LUKU 1. JOHDANTOovat vektorikienttiä eli niillä on suunta ja suuruus, jotka riippuvat siitä,missä avaruuden pisteessä niitä tarkastellaan. Myös avaruuden jokainen pistevoidaan ajatella vektorikenttänä. Sen suunta riippuu siitä, missä päintarkastelupistettä kyseinen avaruuden piste on, ja suuruu siitä, kuinka kaukanase on. Fysiikassa on myös skalaarikenttiä, joiden käsittely on paljonhelpompaa. Elektrodynamiikassa esimerkiksi varausjakautuma on tälläinen.Sillä on jokaisessa avaruuden pisteessä suuruus muttei suuntaa.Kentän käsittely johtaa aiempaa vaativampien matemaattisten apuneuvojentarpeeseen: elektrodynamiikkaa oppiakseen ja ymmärtääksenon opeteltava laskemaan sujuvasti. Tällä kurssilla opiskelijan oletetaanhallitsevan fysiikan matemaattisia menetelmiä MAPU I–II:n ja FYMM I:ntasolla. Koska monet teoreettisen fysiikan opiskelijat suorittavat elektrodynamiikankurssin jo toisen vuoden keväällä FYMM II:ta ei oleteta suoritetuksi,mutta kurssin opiskelu viimeistään tämän kurssin rinnalla on suositeltavaa.Sähkö- ja magnetostatiikassa tarvitaan vektorilaskentaa, johon kuuluuerinäinen kokoelma derivointi- ja integrointitaitoja. Ne on syytä opetellaheti kunnolla, koska niitä tarvitaan ihan oikeasti (jopa myöhemmin esimerkiksitutkijan työssä). Muuta perustarvikkeistoa ovat esimerkiksi FYMMI:ltä tutut Fourier-sarjat ja kompleksiluvut. Eksoottisinta lienee tensorilaskenta,jota tarvitaan suhteellisuusteoriassa. Sen perusteita opiskellaan hiemantämän kurssin loppuvaiheessa.Laskuharjoitustehtävien ratkaiseminen on olennainen osa oppimista. Vaikeimpienongelmien kohdalla aktiivinen ryhmätyö on erittäin hyödyllistä,kuten myös kirjallisuuden käyttö. Physicumin kirjasto tarjoaa tähän hyvänympäristön. On myös täysin luvallista kysyä vihjeitä luennoitsijalta ja assistenteilta.Välikokeissa ja lopputenteissä on syytä “laskennallisissa” tehtävissä kirjoittaalyhyt sanallinen perustelu. Oikein ymmärretystä fysiikasta voi heruairtopisteitä, vaikka laskenta olisi epäonnistunut. Sanattomat kaavailut eivätole välttämättä kovin ansiokkaita.1.2 Hieman taustaaKlassinen elektrodynamiikka on yksi fysiikan peruskivistä. Se saavutti formaalisestinykyasunsa vuonna 1864, kun James Clerk Maxwell julkaisi ensimmäisenpainoksen kuuluisasta teoksestaan “Treatise on Electricity andMagnetism”. Vaikka Maxwell olikin yksi fysiikan tutkimuksen jättiläisistä,hänen monumenttinsa perustui tietenkin useiden aiempien fyysikkopolvientutkimuksiin. Mainittakoon tässä 1700-luvulta vaikkapa Cavendish, Coulomb,Franklin, Galvani, Gauss ja Volta sekä aiemmalta 1800-luvulta Ampère,Arago, Biot, Faraday, Henry, Savart ja Ørsted.

1.2. HIEMAN TAUSTAA 5Tärkeimpiä Maxwellin teorian ennustuksia oli valonnopeudella eteneväsähkömagneettinen aaltoliike, jonka Heinrich Hertz onnistui todentamaanrakentamallaan värähtelypiirillä vuonna 1888. Pian tämän jälkeen tultiinyhteen fysiikan historian suureen murroskauteen. Osa ongelmista liittyi suoraanelektrodynamiikkaan, jonka kummallisuuksia olivat esimerkiksi liikkeenindusoiman jännitteen ja sähkömotorisen voiman ekvivalenssi sekä valonnopeuden vakioisuus. Juuri tällaisia ongelmia selittämään Albert Einsteinkehitti suppeamman suhteellisuusteoriansa vuonna 1905. Vaikka suhteellisuusteorianperusteet voikin nykyään olla havainnollisempaa opetellamekaniikan välinein, kyseessä on nimenomaan elektrodynamiikasta noussutteoria. Jälkiviisaasti ajatellen Maxwellin elektrodynamiikka osoittautui ensimmäiseksirelativistisesti korrektisti muotoilluksi teoriaksi.Samaan aikaan suhteellisuusteorian kanssa alkoi kvanttifysiikan kehitys.Siihen liittyi vielä vaikeampia elektrodynamiikkan ongelmia. Ensinnäkään eiollut selvää, että makroskooppisista kokeista johdettu teoria olisi riittävänyleinen myös mikromaailmassa. Kaiken lisäksi kvanttimekaniikan alkuperäisetmuotoilut, kuten Schrödingerin yhtälö, olivat epärelativistisia. Kesti aina1940-luvun lopulle ennen kuin onnistuttiin luomaan kunnollinen relativistinenkvanttimekaniikka. Tätä teoriaa kutsutaan kvanttielektrodynamiikaksi(QED) ja ratkaisevat askeleet sen luomisessa ottivat Julian Schwinger,Richard Feynman, Sin-itiro Tomonaga ja Freeman Dyson. QED:ssa osataanlaskea tarkkoja tuloksia, mutta sen matemaattinen perusta ei ole kovintyydyttävä sillä teoria sisältää äärettömyyksiä, jotka pitää “renormalisoida”pois erityisen muodollisen reseptin turvin.Vuonna 1967 Weinberg ja Salam onnistuivat johtamaan sekä (Q)ED:nettä heikon vuorovaikutuksen teorian erään monimutkaisemman yhtenäisteorianmatalaenergiarajana. Kyseinen yhtenäisteoria on elektrodynamiikanyleistys tapaukseen, jossa varauksia on enemmän kuin yhtä (etumerkillistä)tyyppiä. Samaan tapaan elektrodynamiikkaa monimutkaistamalla luotiin1970-luvulla ilmeisen onnistunut malli myös vahvoille vuorovaikuksille. Siinä“varauksia”on kolmenlaisia, minkä vuoksi vahvojen vuorovaikutusten yhteydesäpuhutaan usein “väreistä” ja “värivoimasta”. Tämä vahvojen vuorovaikutustenteoria ja Weinbergin ja Salamin sähköheikon vuorovaikutuksenteoria elävät nykyään rauhanomaista rinnakkaineloa niinsanottuna hiukkasfysiikanstandardimallina. Niiden johtaminen syvemmästä yhtenäisteoriastaei toistaiseksi ole onnistunut ainakaan kaikkia tyydyttävällä tavalla. Klassisenelektrodynamiikan ymmärtäminen on todellakin välttämätön perustapidemmälle menevän teoreettisen fysiikan tekemiselle, sillä siihen nojaavatsekä suhteellisuusteoria että kvanttiteoria, ja modernit hiukkasfysiikan teoriatovat sen yleistyksiä.HT: Kertaa perusvuorovaikutukset ja aaltohiukkasdualismi.Vaikka käsitteellisesti elektrodynamiikka onkin tullut osaksi kvanttimaa-

6 LUKU 1. JOHDANTOilmaa, se on yhä äärimmäisen tärkeä työväline kaikessa kokeellisessa fysiikassaja insinööritieteissä aina ydinvoimaloista kännyköiden rakenteluun.Lähes kaikissa fysiikan mittauksissa tarvitaan elektrodynamiikan soveltamistajossain vaiheessa. Se on keskeistä materiaalifysiikassa, hiukkassuihkujenfysiikassa, röntgenfysiikassa, elektroniikassa, optiikassa, plasmafysiikassajne. Klassisen elektrodynamiikan ymmärtäminen on aivan olennainen perustamenestyksekkäälle kokeellisen fysiikan tekemiselle!Elektrodynamiikan perusasioihin kuuluvat:• Varauksellisten hiukkasten ja sähkövirtojen aiheuttaman sähkömagneettisenkentän (sekä staattisen että aaltokentän) määrittäminen.• Sähkömagneettisen kentän varauksiin tai virtajohtimiin aiheuttamien voimienmäärittäminen.• Varauksellisten hiukkasten radan määrittäminen tunnetussa sähkömagneettisessakentässä.• Indusoituvan sähkömotorisen voiman ja induktiovirran ennustaminen tunnetussavirtapiirissä, kun indusoiva muutos tunnetaan.• Tunnetun indusoivan muutoksen vaikutuksesta ympäristöön leviävän sähkömagneettisenaaltoliikkeen ja tämän avulla tapahtuvan energian siirtymisenennustaminen.1.3 Elektrodynamiikan perusrakenneUseat elektrodynamiikan oppikirjat rakentavat teorian esittelyn pala palaltalähtien sähköstatiikasta ja päätyen Maxwellin yhtälöihin ikäänkuin olettaen,että opiskelijat eivät olisi koskaan kuulleetkaan asiasta. Tämä ei oleaivan totta enää opintojen tässä vaiheessa, vaan Maxwellin yhtälöihin on jotutustuttu ainakin päällisin puolin eikä sähkömagnetismi ole aivan uusi jaouto asia. Pohditaanpa jo näin kurssin aluksi hieman, mistä elektrodynamiikassaon kyse. Kirjoitetaan Maxwellin yhtälöt “tyhjiömuodossaan”:∇ · E = ρ ɛ 0(1.1)∇ · B = 0 (1.2)∇ × E = − ∂B(1.3)∂t∇ × B = µ 0 J + 1 ∂Ec 2 ∂t . (1.4)Sähkökentän E ja magneettikentän (täsmällisemmin magneettivuon tiheyden)B aiheuttajina ovat sähkövaraukset ρ ja sähkövirrat J. Näin kirjoitettunayhtälöryhmä on täysin yleinen eikä ota minkäänlaista kantaa mahdollisenväliaineen sähkömagneettiseen rakenteeseen. Väliaineessa yhtälöryhmäkirjoitetaan usein kenttien D ja H avulla, mihin palataan myöhemmin.

1.3. ELEKTRODYNAMIIKAN PERUSRAKENNE 7Yllä ɛ 0 on tyhjiön sähköinen permittiivisyys ja µ 0 on tyhjiön magneettinenpermeabiliteetti. Näiden ja valonnopeuden c välillä on yhteys c =(ɛ 0 µ 0 ) −1/2 . Koska valonnopeus tyhjiössä on vakio, sille annetaan nykyääntarkka arvoc = 299 792 458 m/s .Sekunti määritellään puolestaan tietyn Ce-133:n siirtymäviivan avulla, jolloinmetristä tulee johdannaissuure, joka on aika tarkkaan saman mittainenkuin tietty Pariisissa säilytettävä platinatanko. Myös µ 0 määritellään tarkastija se on SI-yksiköissäµ 0 = 4π · 10 −7 Vs/Am ,joten myös tyhjiön permittiivisyydelle tulee tarkka arvo ɛ 0 = (c 2 µ 0 ) −1 , jonkanumeerinen likiarvo onɛ 0 ≈ 8.854 · 10 −12 As/Vm .Sähkö- ja magneettikenttiä ei voi havaita suoraan, vaan ne on määritettävävoimavaikutuksen avulla. Nopeudella v liikkuvaan varaukseen q vaikuttaaLorentzin voimaF = q(E + v × B) . (1.5)Tämä on suureen määrään kokeita perustuva empiirinen laki, jota emmeedes yritä johtaa mistään vielä perustavammasta laista. Vaikka sähkö- jamagneettikenttiä ei voikaan “nähdä”, ne ovat fysikaalisia olioita. Niillä onenergiaa, liikemäärää ja liikemäärämomenttia ja ne kykenevät siirtämäännäitä suureita myös tyhjiössä.Mitattavat sähkö- ja magneettikentät ovat aina jossain mielessä makroskooppisiasuureita. Mikroskooppisessa kuvailussa QED:n tasolla sähkömagneettinenkenttä esitetään todellisten ja virtuaalisten fotonien avulla. Tähänei yleensä ole tarvetta arkipäivän sähkötekniikassa tai tavanomaisissa laboratoriokokeissa,mikä käy ilmi seuraavista esimerkeistä (HT: tarkasta lukuarvotperuskurssien tietojen avulla):• Yhden metrin päässä 100 W lampusta keskimääräinen sähkökenttäon suunnilleen 50 V/m. Tämä merkitsee 10 15 näkyvän valon fotoninvuota neliösenttimetrin suuruisen pinnan läpi sekunnissa.• Tyypillisen radiolähettimen taajuus on 100 MHz suuruusluokkaa. Vastaavanfotonin liikemäärä on 2, 2 · 10 −34 Ns. Yksittäisten fotonien vaikutustaei siis tarvitse huomioida esimerkiksi antennisuunnittelussa.• Varausten diskreettisyyttä ei myöskään tarvitse huomioida tavanomaisessakäyttöelektroniikassa. Jos yhden mikrofaradin kondensaattoriinvarataan 150 V jännite, siihen tarvitaan 10 15 alkeisvarausta. Toisaaltayhden mikroampeerin virran kuljetukseen tarvitaan 6, 2·10 12 varaustasekunnissa.

8 LUKU 1. JOHDANTOYksi elektrodynamiikan peruskivistä on sähköisen voiman 1/r 2 -etäisyysriippuvuus.Jo hyvin varhaisista havainnoista voitiin päätellä, että riippuvuuson ainakin lähes tällainen. Olettamalla riippuvuuden olevan muotoa1/r 2+ε , voidaan mittauksilla etsiä rajoja ε:lle. Cavendish päätyi vuonna 1772tarkkuuteen |ε| ≤ 0, 02. Maxwell toisti kokeen sata vuotta myöhemmin jasaavutti tarkkuuden |ε| ≤ 5 · 10 −5 . Nykyään on samantyyppisillä koejärjestelyilläpäästy tulokseen |ε| ≤ (2, 7 ± 3, 1) · 10 −16 .Teoreettisesti voi perustella, että 1/r 2 -etäisyysriippuvuus on yhtäpitävääfotonin massattomuuden kanssa. Tarkin Cavendishin menetelmään perustuvatulos vastaa fotonin massan ylärajaa 1, 6 · 10 −50 kg. Geomagneettisillamittauksilla yläraja on saatu vieläkin pienemmäksi: 1, 4 · 10 −51 kg. Fotoninmassattomuus ja sähköisen voiman 1/r 2 -etäisyysriippuvuus ovat siis erittäinhyvin todennettuja kokeellisia tosiasioita.Lopuksi on hyvä muistaa, että elektrodynamiikka tehtiin aluksi makroskooppisillesysteemeille. Vasta paljon myöhemmin kävi selväksi, että elektrodynamiikanperuslait ovat yleisiä luonnonlakeja, jotka pätevät myös kvanttitasolla.

1.4. KIRJALLISUUTTA 91.4 KirjallisuuttaVaikka tämä luentomoniste pyrkiikin kattamaan kurssin materiaalin, tulevienopintojen kannalta on hyödyllistä oppia käyttämään myös muitalähteitä. Kurssin oppikirjoina voi pitää teoksia:• Cronström, C., ja P. Lipas, Johdatus sähködynamiikkaan ja suhteellisuusteoriaan,Limes ry., 2000 (jatkossa viite CL).Uudistettu laitos TFO:n monivuotisesta luentomonisteesta.• Reitz, J. R., F. J. Milford, and R. W. Christy, Foundations of Electromagnetictheory, 4th edition, Addison-Wesley, 1993 (viite RMC).Kokeellisen fysiikan laudaturin perinteinen oppikirja.Suositeltavaa oheislukemistoa:• Feynman, R. P., R. B. Leighton, and M. Sands, The Feynman lectures onphysics, vol. II, Addison-Wesley, 1964 (viite Feynman).Ehdottomasti tutustumisen arvoinen teos! Kirja sisältää erinomaisia esimerkkejäja syvällistä ajattelua ilman hankalaa laskennallista käsittelyä.• Griffiths, D. J., Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, 1999.Suosittu oppikirja amerikkalaisissa yliopistoissa. Persoonallinen esitystapaja paljon opettavaisia esimerkkejä.• Jackson, J. D., Classical electrodynamics, 3rd edition, John Wiley & Sons,1998 (viite Jackson).Klassisen elektrodynamiikan piplia. Harjoitustehtävistä löytyy riittävän haastaviaongelmia parhaillekin oppilaille. Myös aiemmat versiot ovat käyttökelpoisia,joskin niissä on käytetty cgs-yksiköitä.• Kurki-Suonio, K. ja R., Vuorovaikutuksista kenttiin – sähkömagnetisminperusteet ja Aaltoliikkeestä dualismiin, Limes ry., useita painoksia.Erittäin fysikaalista tekstiä selvällä suomen kielellä. Tukee erityisen hyvinsähkö- ja magnetostatiikkaa ja aaltoliikkeen perusteita.• Lindell, I., Sähkötekniikan historia, Otatieto, 1994.Sähkömagnetismin historiaa ammoisista ajoista 1900-luvun alkuun.• Lindell, I. ja A. Sihvola, Sähkömagneettinen kenttäteoria. 1. Staattisetkentät, Otatieto, 1999. Sihvola, A. ja I. Lindell, Sähkömagneettinen kenttäteoria.2. Dynaamiset kentät, Otatieto, 2000. Sihvola, A., Sähkömagneettisenkenttäteorian harjoituskirja, Otatieto, 2001.Elektrodynamiikkaa suunnilleen vastaava kokonaisuus TKK:lla. Hieman erilainenlähestymistapa, mutta tutustumisen arvoinen.

10 LUKU 1. JOHDANTO