jtiili.pdf, 1797 kB
jtiili.pdf, 1797 kB
jtiili.pdf, 1797 kB
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Pro gradu - tutkielma<br />
MEKAANISET VÄRÄHTELIJÄT KOKEELLISEN<br />
OPETUKSEN VÄLINEINÄ<br />
Juho Tiili<br />
1997<br />
Ohjaaja:<br />
Tarkastajat:<br />
Prof. Kaarle Kurki-Suonio<br />
Prof. Kaarle Kurki-Suonio<br />
Dos. Heimo Saarikko<br />
HELSINGIN YLIOPISTO<br />
FYSIIKAN LAITOS<br />
PL 9 (Siltavuorenpenger 20 D)<br />
00014 Helsingin yliopisto
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET<br />
Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion<br />
Laitos Institution<br />
Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Fysiikan laitos<br />
Tekijä Författare<br />
Tiili, Juho Antti<br />
Työn nimi Arbetets titel<br />
Mekaaniset värähtelijät kokeellisen opetuksen välineinä<br />
Oppiaine Läroämne<br />
Fysiikan opettajan sv<br />
Työn laji Arbetets art<br />
Pro gradu<br />
Tiivistelmä Referat<br />
Aika Datum<br />
14.11.1997<br />
Sivumäärä Sidoantal<br />
53<br />
Hahmottava lähestymistapa on fysiikan opetuksen lähestymistapa, joka perustuu merkityksiä<br />
luovan kokeellisuuden käyttöön fysiikan opetuksessa. Sen mukaan fysiikan käsitteet ja<br />
lait eivät ole ainoastaan suureiden algebrallisia relaatioita vaan käsitteet on liitettävä niiden<br />
fysikaaliseen merkitykseen. Käsitteiden merkitykset täytyy tuntea ennen itse käsitteitä.<br />
Tutkimuksessa suunnitellaan ja toteutetaan demonstraatiokokonaisuus, jossa lähestytään<br />
mekaanisiin värähtelyihin liittyviä käsitteitä hahmottavan lähestymistavan mukaisesti. Samalla<br />
tutustutaan sähkömekaanisen värähtelijän käyttöön värähtelyihin ja aaltoliikkeeseen<br />
liittyvien demonstraatioiden välineenä.<br />
Värähdysliikkeen kvantitatiiviseen kuvaamiseen liittyvä käsitteistö luodaan yksinkertaisella<br />
jousi-punnussysteemillä. Samalla systeemillä luodaan myös ominaisvärähtelyjen ja ominaistaajuuden<br />
käsitteet systeemille ominaisina itsenäisinä liikkeen vapausasteina. Ominaistaajuuden<br />
olemassaolon yhteys systeemin sisäiseen dynamiikkaan löydetään värähtelevän<br />
systeemin tasapainoasemaan palauttavan voiman kautta ja näin saadaan esiin ominaistaajuuden<br />
olemassaolon yhteys mekaniikkaan.<br />
Sähkömekaanisen värähtelijän avulla tutkitaan erilaisten systeemien ominaisvärähtelyjä.<br />
Tutkimuksen kohteena ovat jousi-punnussysteemien ominaisvärähtelyt, jännitetyn kielen<br />
ominaisvärähtelyt suljetuilla ja avoimilla reunaehdoilla, sekä vedenpinnan ja kimmoisten levyjen<br />
ominaisvärähtelyt.<br />
Käsitteenmuodostus ulotettiin myös aaltoliikkeen käsitteistöön. Tulkitsemalla jännitetyn kielen<br />
ominaisvärähtelyt seisovaksi aaltoliikkeeksi saadaan esitettyä laki aaltoliikkeen vaihenopeuden<br />
riippuvuudelle taajuudesta. Tämä riippuvuus, aaltoliikkeen dispersiorelaatio, on jännitetyn<br />
kielen tapauksessa lineaarinen. Vaihenopeus on taajuudesta riippumaton ja riippuu<br />
ainoastaan väliaineen, kielen, jännitystilasta ja pituusmassasta. Dispersiorelaatio yleistetään<br />
epälineaariseksi tutkimalla aaltoliikettä jäykässä metallisilmukassa. Tässä systeemissä aaltoliikkeen<br />
vaihenopeus kasvaa siirryttäessä kohti suurempia taajuuksia.<br />
Avainsanat - Nyckelord<br />
hahmottava lähestymistapa, dispersiorelaatio, demonstraatio, ominaisvärähtely<br />
Säilytyspaikka - Förvaringställe<br />
Muita tietoja
Sisältö<br />
1. JOHDANTO .....................................................................................................................................1<br />
2. FYSIIKAN KÄSITTEENMUODOSTUS JA HAHMOTTAVA LÄHESTYMISTAPA ............2<br />
2.1. FYSIIKAN KÄSITTEENMUODOSTUS ................................................................................................2<br />
2.2. FYSIIKAN KÄSITTEELLINEN RAKENNE ...........................................................................................3<br />
2.3. SUUREET PROSESSEINA ................................................................................................................5<br />
2.4. HAHMOTTAVA LÄHESTYMISTAPA.................................................................................................7<br />
3. KÄSITTEELLISET TAVOITTEET ..............................................................................................8<br />
4. VÄRÄHTELIJÄ...............................................................................................................................9<br />
5. VÄRÄHDYSLIIKKEEN HAHMOTTAVA KOKEELLISUUS ................................................14<br />
5.1. VÄRÄHDYSLIIKKEEN KÄSITTEISTÄMINEN ...................................................................................14<br />
5.2. OMINAISVÄRÄHTELY JA SEN OLEMASSAOLON YHTEYS SYSTEEMIN DYNAMIIKKAAN ..................15<br />
5.3. RESONANSSI...............................................................................................................................19<br />
6. ERILAISTEN SYSTEEMIEN OMINAISVÄRÄHTELYJÄ......................................................21<br />
6.1. JOUSI-PUNNUSSYSTEEMIEN OMINAISVÄRÄHTELYT .....................................................................21<br />
6.2. JÄNNITETYN KIELEN OMINAISVÄRÄHTELYT................................................................................22<br />
6.2.1. Koelaitteisto........................................................................................................................22<br />
6.2.2. Kielet ..................................................................................................................................23<br />
6.2.3. Päistä kiinnitettyjen kielten ominaisvärähtelyt...................................................................24<br />
6.2.4. Kielen pituuden vaikutus ominaisvärähtelyihin..................................................................25<br />
6.2.5. Toisesta tai molemmista päistä vapaan kielen ominaisvärähtelyt......................................26<br />
6.3. VEDENPINNAN OMINAISVÄRÄHTELYT ........................................................................................30<br />
6.4. CHLADNIN LEVYT - OHUEN TERÄSLEVYN OMINAISVÄRÄHTELYT................................................31<br />
7. DISPERSIORELAATIO ...............................................................................................................36<br />
7.1. OMINAISVÄRÄHTELYJEN TULKINTA SEISOVAKSI AALTOLIIKKEEKSI ............................................36<br />
7.2. KIELEN JÄNNITYSVOIMAN JA PITUUSMASSAN VAIKUTUS AALTOLIIKKEEN VAIHENOPEUTEEN .....38<br />
7.3. PULSSIN ETENEMISNOPEUS-SUUREEN LIITTÄMINEN NOPEUSSUUREIDEN JOUKKOON ...................43<br />
7.4. VAIHENOPEUDEN YLEISTÄMINEN DISPERSIORELAATIOKSI ..........................................................44<br />
7.5. PITKITTÄINEN AALTOLIIKE JOUSESSA..........................................................................................47<br />
8. JOHTOPÄÄTÖKSET ...................................................................................................................50<br />
VIITTEET...........................................................................................................................................52
1<br />
1. Johdanto<br />
Helsingin yliopiston fysiikan laitoksen didaktisen fysiikan osastolla tehtävä<br />
tutkimus keskittyy tutkimaan fysiikan tiedollis-käsitteellistä ja metodisprosessuaalista<br />
rakennetta ja sen merkitystä fysiikan opettamiselle. Näiden rakenteiden<br />
tuntemuksen avulla pyritään arvioimaan ja kehittämään fysiikan opetusta Suomen<br />
koululaitoksessa.<br />
Kokeellisuus kuuluu fysiikan opettamiseen jo metodis-prosessuaalisista<br />
syistä. Kokeiden tekeminen opetustilanteessa vain sen vuoksi, että fysiikka on kokeellinen<br />
luonnontiede, ei kuitenkaan ole fysiikan käsitteenmuodostuksen, oppimisen,<br />
kannalta kovinkaan avartavaa. Samoin “motivoiva demo” eli temppu, johon annetaan<br />
luontevalta ja opettajan mielestä fysikaaliselta kuulostava selitys, ei usein<br />
auta ymmärtämään liidulla hätäisesti taululle kirjoitettua kaavaa, palaa fysiikan kauniista<br />
teoriasta, joka jalostuu näin täysin vailla merkitystä olevaksi tyhjäksi lauseeksi.<br />
Pahimmassa tapauksessa tämä kaava pitää osata kokeessa ulkoa.<br />
Kokeellisuus voidaan kuitenkin valjastaa ei ainoastaan auttamaan vaan olemaan<br />
oleellisin osa fysiikan käsitteenmuodostusprosessia. Tämä edellyttää opetuksen<br />
kokeellisuudelta tietoista pyrkimystä merkityksiä luovaan kokeellisuuteen, jossa<br />
kokeellisuuden tavoitteena on fysiikan käsitteellisten tavoitteiden omaksuminen.<br />
Tämä käsitteenmuodostusprosessi luo fysikaalisen tiedon osaksi oppijan tietorakennetta<br />
samoja periaatteita käyttäen kuin se on luotu aikanaan osaksi fysiikan tietorakennetta.<br />
Prosessin ohjaaminen edellyttää fysiikan tiedollis-käsitteellisen rakenteen<br />
tuntemista ja laajapohjaista demonstraatiovälineiden käyttötaitoa, joka ei rajoitu ainoastaan<br />
kokeiden mekaaniseen tekemiseen. Hyödyllisin kysymys jonka fysiikan<br />
opetustehtävissä oleva henkilö voi itselleen tehdä kuuluu: “miksi minä teen tämän<br />
kokeen/demonstraation?”<br />
Opetuksen lähestymistapaa, joka nojautuu merkityksiä luovaan kokeellisuuteen<br />
käsitteellisten tavoitteiden omaksumiseksi on alettu kutsua Helsingin yliopiston<br />
fysiikan laitoksen didaktisen fysiikan osastolla hahmottavaksi lähestymistavaksi.<br />
Hahmo tässä nimityksessä viittaa fysiikan käsitteen syntyyn hahmona, jonka merkitys<br />
ja kiinnitys kehittyy, abstrahoituu ja yleistyy käsitteenmuodostusprosessin edetessä.<br />
Tämän tutkimuksen tavoitteena on osittain laitteistolähtöisesti selvittää mekaanisen<br />
värähtelijän käyttömahdollisuudet fysikaalisen käsitteenmuodostuksen tukena.<br />
Samalla luodaan hahmottavan lähestymistavan keinoin mekaanisiin värähtelyihin<br />
liittyvä fysikaalinen käsitteistö.
2<br />
2. Fysiikan käsitteenmuodostus ja hahmottava lähestymistapa<br />
Tämä luku perustuu lähteeseen [11], ellei toisin mainita.<br />
2.1. Fysiikan käsitteenmuodostus<br />
Fysiikan käsitteenmuodostus on tieteellinen prosessi, joka pyrkimyksenä on<br />
luonnossa tapahtuvien tahdosta riippumattomien ilmiöiden selittäminen luonnontieteellistä<br />
metodia käyttäen samojen yleisten peruslakien avulla. Lähtökohtana on<br />
luonto ja tavoitteena luoda sen käyttäytymistä kuvaava yhtenäinen teoria, joka tarjoaa<br />
selitysperustan kaikille tahdosta riippumattomille luonnonilmiöille. Fysiikan oppimisen<br />
prosessi on oleellisesti samanlainen. Tieto luodaan nyt vain osaksi oppijan<br />
tietorakennetta samalla tavoin kuin se on luotu fysiikan tietorakenteeksi.<br />
Käsitteenmuodostuksen kannalta ei ole olemassa puhtaasti kokeellisia tai<br />
puhtaasti teoreettisia fysiikan käsitteitä. Uuden fysiikan käsitteen syntyyn tarvitaan<br />
empirian ja teorian keskinäistä vuorovaikutusta. Puhutaan empirian ja teorian yhdistävästä<br />
dualismista. Kaikki fysiikan käsitteet syntyvät hahmoina, joiden merkitys<br />
kehittyy sekä empirian että teorian avulla.<br />
Empiriaa ovat havainnot ja mittaukset. Pelkkä mittaaminen ei kuitenkaan tee<br />
fysiikasta tiedettä ja edistä tieteellistä käsitteenmuodostusta. Käsitteet ovat teorian<br />
peruselementtejä. Fysiikan teoria liittää olioiden ominaisuuksia kuvaavat suureet laeiksi<br />
ja kokoaa ilmiöspesifiset peruslait yhdeksi fysiikan kunkin osa-alueen perusteoriaksi,<br />
jotka yhdessä muodostavat fysiikan teoreettisen tietorakenteen. Pelkkä teoria<br />
ilman kokeellista todistusaineistoa on kuitenkin merkityksetön. Nämä kaksi elementtiä,<br />
empiria ja teoria tarvitsevat kiinteästi toisiaan. Fysiikan tieto muodostuu<br />
empirian ja teorian yhteistyöstä. “Toinen saa merkityksensä toisen kautta”. Kaikki<br />
fysiikan käsitteet ovat luonteeltaan empiiris-teoreettisia. Täten tiukka jako teoreettiseen<br />
fysiikkaan ja kokeelliseen fysiikkaan on merkityksetön käsitteenmuodostuksen<br />
kannalta.<br />
Tieteellisessä prosessissa käsitteenmuodostuksen suunta on kuitenkin aina<br />
empiriasta teoriaan. Samalla siirryttäessä kohti teoriaa käsite yleistyy ja abstrahoituu<br />
koska siirrytään kauemmaksi ihmisen havaintomaailmasta, tehdystä kokeesta. Käsitteen<br />
sitominen empiriaan on välttämätöntä ymmärtämisen kannalta. Todellinen<br />
ymmärtäminen alkaa havainnosta, empiriasta. Havaintojen avulla luodaan käsitteelle<br />
ensin merkitys. Käsitteiden merkitykset syntyvät empiirisinä hahmoina havainnosta<br />
ennen itse käsitettä, jolle tulee näin järkevä merkitys. Ilman havaintoon sitomista<br />
käyttöön otettu käsite on turha, koska sille ei ole annettu mitään havaintoon liittyvää<br />
merkitystä. Täten empirian primaarisuus korostuu aina uutta käsitettä luotaessa. Empiirisista<br />
lähtökohdista luotua käsitettä yleistetään ja täsmennetään sekä empirian<br />
että teorian keinoin. Käsitteen kehittymisen hahmotusprosessi empiriasta teoriaan ei<br />
ole kuitenkaan suoraviivainen. Hahmottamisen dynamiikka on kaksisuuntaista teorian<br />
ja empirian vuorottelua. Sitä voidaan havainnollistaa kuvan 1 induktiodeduktiosyklillä.
3<br />
KOKEELLINEN<br />
FYSIIKKA<br />
TEOREETTINEN<br />
FYSIIKKA<br />
INDUKTIO<br />
PELKISTYS<br />
YLEISTYS<br />
LUONTO<br />
ILMIÖT<br />
HAVAINTO<br />
MITTAUS<br />
KOE<br />
HAHMOTUS<br />
KÄSITTEET<br />
SUUREET<br />
LAIT<br />
TEORIAT<br />
MALLIT<br />
ENNUSTEET<br />
DEDUKTIO<br />
Kuva 1: Hahmottamisen dynamiikka. [11 s.149]<br />
Kokeiden perusteella tehdään yleistäviä induktiopäätelmiä, joilla pyritään<br />
kohti yleisiä periaatteita, teoriaa. Teorian pohjalta voidaan tehdä ilmiötä koskevia<br />
yksittäisiä ennusteita, deduktiopäätelmiä, joita testataan kokeita tekemällä. Kokeet<br />
joko vahvistavat tai kaatavat teoreettisen ennusteen paikkansapitävyyden tai vaativat<br />
teorian täsmentämistä. Käsitteiden muodostuminen fysiikan tietorakenteen osasiksi<br />
koostuu tällaisista peräkkäisistä sykleistä.<br />
Käsitteenmuodostusprosessi ei kuitenkaan ole induktio-deduktioautomaatti,<br />
joka ottaa vastaan mittausdataa ja jalostaa siitä tietoa osaksi fysiikan teoriaa. Hahmotusprosessi<br />
on luonteeltaan intuitiivinen, ei looginen. Sitä ohjaa luova intuitiivinen<br />
oivaltaminen, joka perustuu ihmismielen kykyyn ymmärtää ja tulkita kokeissa<br />
esiintyviä säännönmukaisuuksia ja lainalaisuuksia. Tutkijalla on tietoinen pyrkimys<br />
kohti loogis-rakenteellisia hahmokokonaisuuksia. Tämä pyrkimys ohjaa tekemään<br />
luonnolta juuri oikeita kysymyksiä, tekemään juuri oikeita kokeita ja tulkitsemaan<br />
kokeiden antamia tuloksia ja tekemään niiden perusteella järkeviä induktiivisia päätelmiä.<br />
Tämän intuitionsa ohjaamana syntyneen teorian, lait, tutkija altistaa kuitenkin<br />
kokeille. Hän testaa kokeita tekemällä lakiensa toimivuutta yksittäisissä erikoistapauksissa.<br />
2.2. Fysiikan käsitteellinen rakenne<br />
Fysiikan käsitteenmuodostus on oleellisesti prosessi, joka etenee ilmiön kvalitatiivisesta<br />
havaitsemisesta ja hahmottamisesta kohti ilmiöiden täsmällistä kvantitatiivista<br />
esittämistä. Tässä prosessissa on erotettavissa neljä eri tasoa: Kielen, suureiden,<br />
lakien ja teorian tasot. Jokaisen tason sisällä käsitteenmuodostus on luonteeltaan<br />
intuition ohjaama induktio-deduktiosykli. Siirtyminen käsitehierarkian tasolta<br />
toiselle vastaa suurta hyppäystä abstraktiotasolta toiselle. Nämä siirtymiset kä-
4<br />
sitteenmuodostuksen keskeisten kynnysten yli ovat myös luonteeltaan samanlaisia<br />
intuition ohjaamia induktio-deduktiosyklejä, kuva 2.<br />
1. KVALITATIIVINEN TIETO: KIELI<br />
HAVAINTO<br />
PERUSHAHMOTUS<br />
luonnehdinta, tunnistus, luokittelu<br />
MIELIKUVAT, TERMIT<br />
oliot, ilmiöt, ominaisuudet<br />
ESIKVANTIFIOINTI<br />
säilyjät, muuttujat, riippuvuudet<br />
2. KVANTITATIIVINEN TIETO: SUUREET<br />
MITTAUS<br />
SUUREEN PERUSMÄÄRITTELY<br />
YLEISTYS, LAAJENNUS<br />
KÄYTTÖALUE<br />
3. KVANTITATIIVINEN ESITYS: LAIT<br />
KONTROLLOITU KOE<br />
LAKI<br />
numeerinen - graafinen - algebrallinen<br />
TÄSMENNYS, YLEISTYS<br />
SUURE-ENNUSTEET<br />
PÄTEVYYSALUE<br />
4. KVANTITATIIVINEN SELITYS: TEORIA<br />
KOKEELLINEN TUTKIMUS<br />
PERUSLAIT<br />
SELITTÄVÄT MALLIT<br />
LAKIENNUSTEET<br />
SOVELLUSALUE<br />
Kuva 2: Fysiikan käsitteellinen rakenne. [11 s.159]<br />
Kvalitatiivisella tasolla tehdään käsitteenmuodostusprosessiin liittyvä perushahmotus<br />
ja esikvantifiointi. Perushahmotukseen kuuluu tutkimuksen kohteena olevaan<br />
ilmiöalueeseen liittyvä olioiden, ilmiöiden ja olioiden ominaisuuksien tunnistaminen<br />
ja luokittelu. Olioita, ilmiöitä ja olioiden ominaisuuksia kuvaamaan luodaan<br />
kvalitatiivisen tason käsitteet. Käsitteitä, teorian peruselementtejä, luodaan jo perushahmotuksen<br />
tasolla.<br />
Kvantifiointi, ominaisuuden saattaminen mitattavaan muotoon, on askel<br />
kvalitatiivisen esittämisen tasolta kvantitatiivisen esittämisen tasolle. Tässä prosessissa<br />
ominaisuuksista tulee suureita. Ominaisuuksien välisistä riippuvuuksista tulee<br />
lakeja. Lakien avulla havaintomaailmasta voidaan tehdä yksinkertaisia ennusteita,<br />
joiden pätevyyttä testataan.
5<br />
Täten jokaisen suureen kvantifioinnissa edetään suureiden hierarkkisessa<br />
verkossa. Jokainen uusi suure, jonka kvantifiointiin tarvitaan alemman tason suureita<br />
on suureiden hierarkiassa korkeammalla tasolla. Tällaista tiukkaa suureiden hierarkiaa<br />
ei löydy kvalitatiivisen tiedon tasolta. Tämä tekee kvantifioinnista fysiikan käsitteenmuodostuksen<br />
kannalta keskeisimmän prosessin. Se luo kvaliteeteista kvantiteetteja<br />
ja siten saattaa kvalitatiivisella tasolla luodut käsitteet fysiikan tietorakenteen<br />
jäykän suurehierarkian piiriin.<br />
Kvantitatiivisella tasolla olioiden ominaisuuksia kuvataan suureilla ja ilmiöiden<br />
riippuvuudet muodostavat lakeja. Esikvantifioinnissa havaitut riippuvuudet täsmennetään<br />
algebrallisiksi esityksiksi. Kvantifioitua suuretta yleistetään ja täsmennetään.<br />
Lakien, myös suureiden määrittelylakien idealisointeja pyritään purkamaan<br />
ja näin käsitteet yleistyvät ja abstrahoituvat. Käsitteen kehitys jatkaa taas induktiodeduktiosykliään.<br />
Kvantitatiivisella tasolla empiirisistä lähtökohdista luodut eri käsitteet<br />
voivat käsitteenmuodostusprosessin edetessä yleistyä yhdeksi kattokäsitteeksi.<br />
Teorian taso on fysiikan tietorakenteen ylin hierarkkinen taso, jolle johtaa<br />
looginen strukturointi. Strukturoinnissa luodaan jo ymmärretyn ilmiömaailman selittävä<br />
perusmalli ja kausaalisuhteiden, jotka on havaittu jo esikvantifiointivaiheessa,<br />
täsmällinen esitys. Teoria on vain jo ymmärretyn täsmennettyä esittämistä. Teorian<br />
tasolla ilmiömaailman suureet ja lait kytketään fysiikan yleiseen tietorakenteeseen.<br />
Teoria käsittää koko ilmiömaailman selittävät peruslait ja on näin ollen suuri kokonaisuus,<br />
esim. Newtonin mekaniikka. Myös teorian tasolla on löydettävissä hierarkkista<br />
yleistymistä ja abstrahoitumista.<br />
2.3. Suureet prosesseina<br />
Fysiikan käsitteenmuodostus tapahtuu luomalla uusia suureita, jotka liitetään<br />
aikaisemmin tunnettuun fysiikan tietorakenteeseen. Suureet ovat fysiikan tietorakenteen<br />
perusobjekteja ja lait ovat niiden välisiä relaatioita. Suure on tärkeä silta<br />
empirian ja eksaktin fysiikan tietorakenteen välillä. Aina kun mitataan, mitataan suureen<br />
arvoja. Suure ei ole vain toisten suureiden välinen algebrallinen relaatio vaan<br />
sillä on aina oma fysikaalinen merkityksensä. Uuden suureen käyttöönotto on esisijaisesti<br />
sen fysikaalisen merkityksen toteaminen.<br />
Uuden suureen määritteleminen yhdellä tyhjentävällä määrittelyllä, joka tyhjentävästi<br />
kertoo suureen merkityksen siten, että sen fysikaalinen merkitys on ymmärretty,<br />
on mahdotonta. Uuden suuren syntyprosessi etenee portaittain fysiikan käsitteellisten<br />
tasojen mukaan.<br />
Suure syntyy ensin kvalitatiivisen tason hahmona perushahmotuksessa, jossa<br />
suure, joka tässä vaiheessa on kvaliteetti, käsitteistyy kuvaamaan jonkin olion jotain<br />
ominaisuutta. Esikvantifioinnissa selvitetään tarkasteltavaan ilmiöalueeseen liittyvät<br />
riippuvuussuhteet ja syy-seuraussuhteet kvalitatiivisella tasolla. Luodaan komparatiivisia<br />
hahmoja perushahmotuksessa luotujen ominaisuuksien välille. Verrataan olion<br />
ominaisuuksien asteita. Mikä pysyy, mikä muuttuu? Jos muutetaan olion jotain<br />
ominaisuutta tai altistetaan olio erilaisiin olosuhteisiin, miten se vaikuttaa olion<br />
muihin ominaisuuksiin.<br />
Varsinainen suure syntyy kvantifioinnin kautta. Olion ominaisuutta kuvaava<br />
käsite kvantifioidaan suureeksi. Tehdään kvantifioiva koe, jossa ominaisuus esiintyy<br />
mahdollisimman pelkistettynä ja muuttumattomana, invarianttina. Kokeessa tulisi<br />
myös näkyä selkeä yhteys kvalitatiivisen tason kvaliteettiin, josta ollaan luomassa<br />
kvantiteettia. Tällaisen kokeen tekeminen vaatii yleensä tarkkaa rajausta ja ideali-
sointeja. Kvalitatiivisen tason perushahmotus ja esikvantifiointi ohjaavat näihin<br />
idealisointeihin ja pelkistyksiin. Kvantifioivan kokeen tavoitteena on todentaa suureen<br />
määrittelylaki. Tämä tapahtuu useimmin osoittamalla jo tunnettujen suureiden<br />
verrannollisuus tilanteessa, jossa kvantifioitava suure pysyy vakiona. Graafinen esitys<br />
on tärkein väline tällaisessa kvantifiointiprosessissa. Graafiseen esitykseen nojautuen<br />
on helppo todentaa kahden suureen välinen verrannollisuus, suureiden suhteen<br />
invarianssi, joka on riippumattomuutta toisen suureen arvosta. Graafisen esityksen<br />
avulla todettu verrannollisuus kirjoitetaan algebralliseen muotoon, jolloin olemme<br />
vain verrannollisuuskertoimen määrityksen päässä suureen algebrallisesta määrittelylaista.<br />
Nopeuden kvantifiointi on yksinkertainen esimerkki kvantifioivasta kokeesta.<br />
Kvantifioitaessa nopeuden käsitettä järjestetään koe, jossa kappaleeseen ei kohdistu<br />
vuorovaikutuksia kappaleen etenemissuunnassa. Tällöin on perusteltua olettaa, että<br />
kappaleen liiketila ei tässä suunnassa muutu. Esimerkkitilanteena on vaunu vaakasuoralla<br />
ilmatyynyradalla. Mitataan liikkeelle sysätyn vaunun paikkaa ajan funktiona.<br />
Toistetaan koe antamalla vaunulle erilaisia liiketiloja, siis erilaisia nopeuksia<br />
kuitenkin laitteisto silmällä pitäen järkevissä rajoissa. Kaikkien liikkeitten kuvaajat<br />
ovat suoria. Vaunun siirtymä on siis verrannollinen aikaväliin. Vaunun liiketilan ollessa<br />
suurin, siis nopeuden ollessa suurin saadaan liikkeen kuvaajaksi jyrkin suora.<br />
Näiden suorien fysikaaliset kulmakertoimet kuvaavat vaunun nopeutta, joka on kullekin<br />
liikkeelle ominainen invariantti. Riippumatta aikavälin pituudesta paikan ja<br />
ajan muutoksen suhde pysyy kussakin liikkeessä vakiona. Kun tämä verrannollisuus<br />
on todettu ja tulkittu, voidaan suureen määrittelylaki kirjoittaa nyt graafisen esityksen<br />
pohjalta algebrallisessa muodossa. Laki on kuitenkin tässä vaiheessa pätevyysalueeltaan<br />
varsin suppea. Se on voimassa vain tilanteissa, jossa suure pysyy vakiona.<br />
Toinen kvantifioivan kokeen periaate on olion ominaisuuksien vertailu, siten,<br />
että toisen olion avulla mitataan toista. Toisella oliolla tutkittava ominaisuus on<br />
esim. kaksinkertainen toiseen verrattuna. Tällöin kvantifioitavan suureen yksikön<br />
valintaan tarvitaan yksikköolio, jonka ominaisuus saa yksikköjärjestelmässä arvon<br />
yksi yksikkö. Tällöin täytyy myös osoittaa yksikköolion valinnan mielivaltaisuus.<br />
Suureen määrittelyn täytyy olla yksikköoliosta riippumaton. Missä tahansa valitussa<br />
yksikköjärjestelmässä toisen olion ominaisuuden asteen kaksinkertaisuus merkitsee<br />
myös kaksinkertaista suureen arvoa. Tyypillinen ja selvä esimerkki kahden olion<br />
ominaisuuksien vertailuun perustuvasta kvantifioinnista on hitaan massan käsitteen<br />
kvantifiointi. Kappaleiden vuorovaikuttaessa hitaamman kappaleen liiketila muuttuu<br />
vähemmän. Tämän ominaisuuden, hitauden, kvantifiointi massaksi tapahtuu törmäyskokeiden<br />
avulla. Tässä kokeessa keskeisenä idealisointina tarvitaan tilanne, jossa<br />
kappaleiden liiketilaa muuttaa vain niiden välinen kosketusvuorovaikutus. Lähimmäksi<br />
tätä tilannetta päästään tarkastelemalla liukujien törmäyksiä ilmatyynyradalla.<br />
Kvantifioinnin ensimmäinen vaihe on osoittaa, että törmäävien kappaleiden A ja B<br />
nopeuksien muutosten itseisarvojen suhde on kappaleparille ominainen vakio riippumatta<br />
törmäyksen luonteesta ja voimakkuudesta. Tämä on kappaleparille ominainen<br />
suure, joka tulkitaan kappaleen A hitauden mittaamiseksi kappaleen B hitaudella.<br />
Toisessa vaiheessa kappaleiden A ja B hitaudet mitataan kolmannen kappaleen C<br />
hitaudella. Näiden hitauksien suhde on riippumaton käytetystä yksikkökappaleesta<br />
C, joka voidaan valita mielivaltaisesti.[11 s.216][1]<br />
Kvantifioitua suuretta, joka on ensi sijassa olemassa vain invarianttina suureena<br />
määrittelylakinsa idealisointien toteutuessa, aletaan yleistämään. Kvantifioinnin<br />
vaatimista idealisoinneista ja rajauksista luopuminen ulottaa suureen merkityk-<br />
6
7<br />
sen yhä laajemmalle alueelle tilanteisiin, joissa se ei ole invariantti. Suureen merkitys<br />
saattaa laajentua jopa eri ilmiöalueisiin.<br />
2.4. Hahmottava lähestymistapa<br />
Hahmottava lähestymistapa on fysiikan opetukseen kehitetty lähestymistapa<br />
joka perustuu edellä luvuissa 2.1. - 2.3. esitettyihin argumentteihin fysiikan käsitteenmuodostuksesta.<br />
Tämän lähestymistavan mukaan fysiikan opetuksen tulisi edetä<br />
yleisen fysiikan käsitteenmuodostuksen portaita pitkin empiriasta kohti teoriaa, suureiden<br />
merkityksistä kohti niiden algebrallisia lausekkeita. Lähestymistapa ohjaa oppijan<br />
tekemään omakohtaisia havaintoja ja oppimaan niiden avulla. Samalla intuition<br />
ohjaama hahmotusprosessi kasvattaa oppijaa itsenäiseen ajatteluun. [11 s. 264-<br />
265]
8<br />
3. Käsitteelliset tavoitteet<br />
Tässä tutkimuksessa pyritään luomaan demonstraatiokokonaisuus hahmottavan<br />
lähestymistavan ideoiden mukaan niistä käsitteistä, jotka ovat lähestyttävissä<br />
mekaanisten värähtelijöiden kautta. Tähän käsitteistöön kuuluvat:<br />
Värähtelyjen kvantitatiiviseen kuvaamiseen tarvittavat käsitteet.<br />
Ominaisvärähtely ja ominaistaajuus systeemille ominaisina itsenäisinä vapausasteina.<br />
Reunaehto systeemin ominaisvärähtelyjen muodon määrääjänä.<br />
Erilaisten systeemien ominaisvärähtelyt.<br />
Käsitteenmuodostus ulotetaan myös aaltoliikkeen käsitteistöön. Jännitettyjen<br />
kielten ominaisvärähtelyt tulkitaan seisovaksi aaltoliikkeeksi. Jännitettyjen kielten<br />
avulla tulisi pystyä luomaan seuraavat käsitteet:<br />
Aaltoliikkeen vaihenopeus väliaineen tilalle ominaisena suureena.<br />
Aaltoliikkeen vaihenopeus yleistettynä dispersiorelaatioksi.<br />
Ryhmänopeus - pulssin etenemisnopeus.<br />
Käsitteenmuodostuksen apuna käytetään sähkömekaanista värähtelijää [2].<br />
Samalla testataan sen käyttömahdollisuuksia hahmottavan lähestymistavan mukaisissa<br />
kokeissa.
9<br />
4. Värähtelijä<br />
Kuva 3: Värähtelijä<br />
SF-9324.<br />
Joissain tämän tutkimuksen kokeissa värähtelijänä<br />
käytettiin Pascon välittämää mekaanista värähtelijää: Variable<br />
Frequency Mechanical Wave Driver, Model SF-<br />
9324, kuva 3. [2]. Laitteen suomalaisena jälleenmyyjänä<br />
on toiminut Gammadata Finland Oy. Samaa laitetta välittää<br />
moni eri demonstraatiovälinevalmistaja, ainakin<br />
NTL (Suomen edustaja MFKA-kustannus OY) [7] ja SF<br />
(edustaja Printel OY) [15], joka on samalla laitteen todellinen<br />
tanskalainen valmistaja. Pascon välittämänä värähtelijään<br />
on lisätty jalusta, jolla se voidaan kiinnittää<br />
statiiviin myös vaakasuoraan. Laite on suunniteltu toimimaan<br />
värähtelyjen ja aaltojen lähteenä koejärjestelyissä,<br />
joissa tarvitaan värähtelyjä halutulla tarkasti määrättävissä<br />
olevalla taajuudella ja säädettävissä olevalla amplitudilla.<br />
Näillä ominaisuuksilla laitteella pitäisi olla paljon<br />
käyttöä hahmottavan lähestymistavan mukaisessa opetuksessa<br />
aina perushahmotuksesta kvantifioiviin kokeisiin. Viime vuosina raportoiduissa<br />
kokeissa laitetta on käytetty värähtelyjen lähteenä ainakin analogiademonstraatiossa<br />
yksiulotteisen hilan dynamiikasta jaksollisilla reunaehdoilla [5] ja demonstraatiossa<br />
poikittaista seisovista aalloista kielessä, jonka päät pääsevät vapaasti värähtelemään.[8]<br />
Toimintaperiaate<br />
Värähtelyjen tuottamiseen tarvitaan itse värähtelijän lisäksi signaaligeneraattori,<br />
josta ulos tulevan jännitteen taajuutta ja amplitudia voidaan säätää. Signaaligeneraattorin<br />
tulisi myös tuottaa tarvittaessa muitakin kuin sinimuotoista värähtelyä.<br />
Signaaligeneraattorissa tulisi olla vahvistimellinen ulostulo, josta saadaan käyttöön<br />
1 A virta.<br />
Varsinaisena värähtelijänä laitteessa toimii pitkäiskuinen kaiutinelementti,<br />
joka muuntaa elementin puhekelan läpi kulkevan sähkövirran edestakaiseksi liikkeeksi.<br />
Elementti sisältää renkaan muotoisen kestomagneetin ja sen keskellä magneetin<br />
kentässä olevan kelan, jonka läpi johdetaan sähkövirtaa, kuva 4. Magneetti on<br />
kiinnitetty laitteen runkoon. Kela on kiinnitetty elementin kalvoon, johon myös laitteen<br />
värähtelevä osa, sauva on kiinnitetty.
10<br />
magneetti puhekela kalvon ripustus<br />
Kuva 4: Yksinkertaistettu kuva värähtelijän rakenteesta.<br />
Sähkövirran kulkiessa kelan läpi siihen kohdistuu magneettinen voima, joka<br />
liikuttaa kelaa ja kalvoa sähkövirran tahdissa. Liike on vaimennettu siten, että kela ja<br />
sen mukana elementti ja sauva pääsevät liikkumaan magneetin sisällä maksimissaan<br />
3,5 mm:n amplitudilla. Jos kelan läpi johdetaan vaihtovirtaa, kela värähtelee vaihtovirran<br />
taajuudella. Maksimiamplitudi saavutetaan valmistajan ilmoituksen mukaan<br />
0,25 A:n tehollisella virralla. Syötetyn virran ei tarvitse olla sinimuotoista, laitteella<br />
saadaan myös tuotettua myös muun muotoisia värähtelyjä.<br />
Valmistaja ilmoittaa värähtelijän toimivan taajuuksilla 0,1 Hz - 5 kHz, ja värähtelyjen<br />
amplitudin pienenenevän huomattavasti yli 100 Hz:n taajuuksilla. Valmistajan<br />
ilmoittama taajuusvaste, eli värähtelijän amplitudi taajuuden funktiona kun<br />
värähtelijään syötetyn vaihtovirran amplitudin säätö pidetään vakiona, on esitetty<br />
tummemmalla värillä kuvassa 5.<br />
Kuva 5: Valmistajan ilmoittama taajuusvaste [12 s. 116].
11<br />
Värähtelijään kiinnitettävät systeemit liitetään värähtelijän sauvaan, jossa on laitteiden<br />
kiinnittämistä varten naaraspuolinen banaaniliitin. Värähtelijään kohdistuva<br />
kuormitus tulisi tapahtua värähdysliikkeen suunnassa. Sauvan vääntäminen sivusuunnassa<br />
voi johtaa laitteen vaurioitumiseen. [2]<br />
Mitattu taajuusvaste<br />
Taajuusvaste, värähtelijän amplitudi taajuuden funktiona kun värähtelijään<br />
syötetyn vaihtovirran amplitudin säätö pidetään vakiona määritettiin kokeellisesti.<br />
Kaavio mittausjärjestelystä on kuvassa 6. Värähtelijään syötettiin sinimuotoista<br />
vaihtojännitettä Signaali Oy:n signaaligeneraattorista malli OFG-101.<br />
Kuva 6: Kaavio taajuusvasteen mittauksen koejärjestelystä.<br />
Signaaligeneraattorin amplitudin säätö pidettiin mittausten ajan vakiona siten,<br />
että 1 Hz:n taajuudella värähtelyn amplitudi oli valmistajan ilmoittaman maksimiamplitudin<br />
(3,5 mm) suuruinen. Muutettiin vaihtojännitteen taajuutta ja värähtelijän<br />
amplitudi mitattiin katetometrillä. Värähtelyjen amplitudien mittaamiseksi katetometriin<br />
oli kiinnitetty teipillä jäykkä paperinpala. Kun värähtelijän kärki osui paperinpalaan<br />
se taipui hieman ja tapahtumasta kuului myös ääni. Alle 2 Hz:n taajuuksilla<br />
havainnoitiin lapun liikettä värähtelijän kärjen osuessa paperinpalaan. Tätä korkeammilla<br />
taajuuksilla näköhavaintoa oli vaikeampi tehdä, jolloin kuunneltiin osumasta<br />
aiheutuvaa ääntä. Mittaus suoritettiin aina laskemalla katetometrin tankoa<br />
kunnes havaittiin värähtelijän kärjen osuminen lappuun, jonka jälkeen tankoa nostettiin<br />
kunnes löytyi kohta jossa osuminen oli juuri ja juuri aistein havaittavissa.<br />
Jännitteen taajuus määritettiin matalilla taajuuksilla (alle 25 Hz) tietokoneeseen<br />
kytkettävällä Universal Laboratory Interface (ULI) - mittausjärjestelmän [16]<br />
jänniteanturilla mittaamalla syöttöjännitettä ajan funktiona. Ohjelman kursoritoiminnolla<br />
määritettiin jännitteen jaksonaika, jonka käänteisarvo on jännitteen taajuus.<br />
Korkeilla taajuuksilla (yli 25 Hz) taajuuden mittaukseen käytettiin yleismittaria<br />
TES-2730. Laitteiden keskinäinen kalibraatio varmistettiin mittaamalla kummallakin<br />
menetelmällä 25 Hz:n vaihtojännitteen taajuus. Molemmilla menetelmillä saatiin<br />
sama tulos.<br />
Värähtelyjen mitatut amplitudit taajuuden funktiona on esitetty kuvassa 7.<br />
Kuvasta nähdään, että värähtelyjen amplitudi pysyy lähes vakiona 40 Hz:n taajuuteen<br />
asti, jonka jälkeen se pienenee nopeasti. Yli 500 Hz:n taajuuksilla amplitudi on<br />
alle 0,1 mm, joten se ei ole enää mitattavissa katetometrillä.
12<br />
Taajuus<br />
Kuva 7: Värähtelijän mitattu taajuusvaste.<br />
f / Hz<br />
Mitatusta taajuusvasteesta havaitaan värähtelijän amplitudin pienenevän jo<br />
huomattavasti 100 Hz pienemmillä taajuuksilla. Tämä täytyy mittauksia tehtäessä<br />
ottaa huomioon lisäämällä värähtelijään syötettävän signaalin amplitudia siirryttäessä<br />
korkeammille taajuuksille. Mikäli työskentely edellyttää värähtelyiltä ehdotonta<br />
vakioamplitudia, on värähtelijä käyttökelpoinen taajuusalueella 0,1 Hz - 30 Hz, jos<br />
värähtelijään syötettävän signaalin amplitudi pidetään vakiona.<br />
Valmistajan ilmoittamassa taajuusvasteessa, kuva 5, esiintyvää resonanssikohtaa<br />
ei havaittu mitatussa taajuusvasteessa. Mitattu taajuusvaste laski selvästi<br />
valmistajan ilmoittamaa matalammilla taajuuksilla. Kuvan 5 mukaan värähtelijän<br />
amplitudin pitäisi olla maksimiamplitudin suuruinen vielä 50 Hz:n taajuudella. Mittausten<br />
mukaan, kuva 6, taajuusvaste alkaa laskea jo 30 Hz:n taajuudella. Valmistajan<br />
ilmoittaman taajuusvasteen mittauksessa värähtelijän käyttöjännite on otettu eri<br />
signaaligeneraattorista, mallia PASCO PI-9587C [12 s.206].<br />
Laitteen amplitudin muuttumista laitetta kuormitettaessa tutkittiin samanlaisella<br />
koejärjestelyllä. Värähtelijää kuormitettiin asentamalla se värisyttämään jännitettyä<br />
kieltä. Kielenä käytettiin Pascon valmistaman kielisarjan punaista kieltä [3].<br />
Yksityiskohtaisempi kuvaus kielen kiinnityssysteemistä on luvussa 6.2.1. Kieli jännitettiin<br />
ripustamalla sen vapaaseen päähän punnuksia, joiden yhteenlaskettu massa<br />
oli 1,7 kg. Tämä järjestelyn aiheuttama kuormitus on suurimpia värähtelijään kohdistuvia<br />
kuormituksia sen normaalissa opetuskäytössä. Kieli on pituusmassaltaan<br />
toiseksi suurin ja kieltä jännittävät punnukset ovat myös suurimpia, mitä herkkäliikkeisen<br />
väkipyörän yli menevän kielen päähän voi ripustaa väkipyörän vaurioitumatta.<br />
Olosuhteiden vakioimiseksi tutkittaessa kuormituksen vaikutusta amplitudiin<br />
käytettiin samaa signaaligeneraattoria ja pidettiin jännitteen säätö samana kuin mitattaessa<br />
kuormittamattoman värähtelijän taajuusvastetta.
13<br />
Kuvassa 8 on esitetty värähtelijän taajuusvasteet kuormittamattomana ja<br />
kuormitettuna.<br />
Kuva 8: Värähtelijän taajuusvaste kuormitettuna ja kuormittamattomana.<br />
Kuvasta 8 havaitaan kuormituksen pienentävän värähtelijän maksimiamplitudia<br />
merkittävästi. Värähtelijän amplitudi ei ole systeemissä säilyvä suure vaan<br />
riippuu värähtelijän kuormituksesta. Amplitudin maksimi pieneni vapaan värähtelijän<br />
3,5 mm:tä 2,8 mm:iin. Vasteen muoto sen sijaan säilyy oleellisesti samanlaisena<br />
sekä kuormittamattomalla että kuormitetulla värähtelijällä. Amplitudi pysyy kuormakohtaisesti<br />
vakiona kun värähtelijän taajuus on alle 30 Hz. Kuormitetun värähtelijän<br />
amplitudi tosin pieneni alle 0,1 mm:iin jo noin 200 Hz:n taajuudella.<br />
Värähtelevä systeemi vaikutti vain vähän värähtelijän vasteen muotoon.<br />
Käytettäessä värähtelevää kieltä värähtelijän amplitudi kasvoi kielen resonanssitaajuuksilla.<br />
Tämä näkyy kuvassa 8 kohoumina 10 Hz:n - 40 Hz:n alueella. Vastetta<br />
tutkittaessa signaaligeneraattori viritettiin kielen resonanssitaajuudelle ja lähelle sitä<br />
taajuuden molemmin puolin. Tällöin havaittiin kielen perustaajuudella sekä ensimmäisellä<br />
ja toisella harmonisella kerrannaistaajuudella amplitudin kasvavan selvästi<br />
värähtelijän ollessa resonanssissa kielen kanssa. Sen sijaan kolmannella ja sitä suuremmilla<br />
harmonisilla kerrannaistaajuuksilla värähtelijän amplitudi katetometrillä<br />
mitaten pieneni vähän, yleisimmin 0,1 mm. Tämä voi johtua vasteen yleisestä laskusta<br />
tällä taajuusalueella.
14<br />
5. Värähdysliikkeen hahmottava kokeellisuus<br />
5.1. Värähdysliikkeen käsitteistäminen<br />
Värähdysliikkeen ilmiömaailmaan tutustuminen aloitetaan hahmottavan lähestymistavan<br />
mukaisesti liikkeen perushahmotuksesta, jossa opitaan tunnistamaan<br />
värähdysliike ja luodaan värähdysliikkeeseen kuuluvat perushahmot. Perushahmotuksen<br />
lähteinä voidaan käyttää erilaisia ympäristöstä löytyviä kimmoisia kappaleita.<br />
Kaikille värähtelyille hahmotetaan helposti luonne edestakaisena, toistuvana ja jaksollisena<br />
ilmiönä. Ilmiössä on kyse systeemin sisäisestä liikkeestä. Käsitteenmuodostus<br />
etenee kuitenkin vasta kun tutkittava tilanne osataan idealisoida mahdollisimman<br />
yksinkertaiseksi, tilanteeksi jossa värähdysliike esiintyy pelkistetyimmillään<br />
systeemin sisäisenä vapausasteena. Tähän tarkoitukseen sopiva systeemi on sopivan<br />
löysään jouseen tiukasti nippusiteellä kiinnitetty punnus.<br />
Tätä yksinkertaista systeemiä käyttäen esitetään samalla värähdysliikkeen<br />
kuvaamista varten tarvittavat käsitteet kuten tasapainoasema, amplitudi, jaksonaika<br />
ja tasapainoasemaan palauttava voima.<br />
Värähtely:<br />
Jousi ja siihen ripustettu punnus muodostavat yksinkertaisen värähtelevän<br />
systeemin. Jouseen ripustettua punnusta poikkeutetaan siten, että systeemi alkaa värähdellä.<br />
Havaitaan liikkeen olevan edestakaista liikettä systeemin tasapainoaseman<br />
molemmin puolin. Liike toistuu jaksollisena siten, että sillä on silminnähden koko<br />
ajan sama jaksonaika.<br />
Värähdysliike on siis systeemin sisäistä jaksollista liikettä tasapainoaseman molemmin<br />
puolin.<br />
Tasapainoasema:<br />
Jouseen ripustettu punnus riippuu jousen varassa paikallaan jos mikään ulkoinen<br />
häiriö ei sitä liikuta. Jos jousta poikkeutetaan tasapainoasemastaan, alkaa se<br />
värähdellä tämän tasapainoaseman molemmin puolin. Kun värähtely vaimentuu ja<br />
lopulta häviää on punnus taas tasapainoasemassaan.<br />
Tasapainoasemaan palauttava voima:<br />
Yksinkertaisen jousi-punnus-systeemin tapauksessa tasapainoasemastaan<br />
poikkeutettuun punnukseen kohdistuvien voimien (gravitaatio, jousivoima) resultantti<br />
on jousen venymisestä tai kasaan painumisesta johtuva jousivoima, joka on<br />
verrannollinen punnuksen etäisyyteen tasapainoasemasta ja suuntautuu tasapainoasemaan<br />
päin. Tämä voima kääntää aina punnuksen liikkeen tasapainoasemaa kohti<br />
ja ylläpitää värähtelyjä. Värähtelyt kuitenkin vaimenevat. Tämä johtuu mm. ilmanvastuksesta<br />
ja systeemissä tapahtuvista energiahäviöistä. Energiaa kuluu jossain<br />
määrin jousen lämpenemiseen ja enemmän värähtelyn jatkuessa liikkeeseen tulevien<br />
sivusuuntaisten heilahtelujen pyörimisen liike-energioihin.
15<br />
Amplitudi:<br />
Jousi ja punnus saatetaan värähtelemään siten, että poikkeutettaessa punnuksen<br />
etäisyys tasapainoasemasta vaihtelee. Liike on kuitenkin aina värähtelyä. Värähtelyjen<br />
laajuus sen sijaan riippuu siitä, kuinka paljon systeemiä on poikkeutettu tasapainoasemastaan.<br />
Amplitudi on suure, joka kuvaa värähdysliikkeen laajuutta ja on<br />
systeemin suurin poikkeama tasapainoasemastaan.<br />
Jaksonaika ja taajuus:<br />
Jaksonajan ja taajuuden käsitteiden lähestymiseen tarvitaan systeemi, jolla<br />
nämä ominaisuudet pysyvät mahdollisimman hyvin vakiona. Tällainen on juuri jousen<br />
varassa riippuva punnus, joka värähtelee jousen suunnassa. Jousi-punnussysteemin<br />
avulla käsitteiden luominen tapahtuu asettamalla jouseen ripustettu punnus<br />
värähtelemään. Silmämääräisesti katsottuna yhteen värähtelyyn näyttää kuluvan<br />
aina sama aika. Tätä voidaan tutkia myös tarkemmin mittaamalla sekuntikellolla<br />
viiteen värähdykseen kulunut aika, joka toistettaessa mittausta havaitaan aina mittaustarkkuuden<br />
rajoissa samaksi. Yhteen jaksoon kulunut aika on siis viiteen jaksoon<br />
kulunut aika jaettuna viidellä. Jaksonajan samuutta voidaan vielä testata mittaamalla<br />
myös neljään, kolmeen tai kahteen jaksoon kulunut aika. Aina jaettaessa kyseinen<br />
aika jaksojen lukumäärällä saadaan yhden jakson ajaksi sama tulos. Varioimalla värähtelyn<br />
amplitudia jaksonaika ei muutu. Tässä täytyy kuitenkin varoa liian suuria<br />
amplitudeja, koska tällöin systeemiin tulee helposti häiriöitä (sivuttaisheilahtelut),<br />
jotka peittävät alleen puhtaan edestakaisen värähtelyn.<br />
5.2. Ominaisvärähtely ja sen olemassaolon yhteys systeemin dynamiikkaan<br />
Varioimalla systeemiä, vaihtamalla punnuksen massaa tai jousta saadaan aina<br />
kullekin systeemille oma jaksonaika, joka kuitenkin vaihtelee eri jousi-punnusyhdistelmien<br />
mukaan. Voidaan sanoa jaksonajan olevan systeemille ominainen vakio<br />
riippumatta värähtelyn amplitudista.<br />
Jaksonaika siis ilmaisee kuinka kauan aikaa värähtelijältä kuluu yhteen värähdykseen.<br />
Jaksonajan käänteisarvo, taajuus ilmaisee kuinka monta värähdystä värähtelijä<br />
tekee aikayksikössä. Jos jaksonaika on systeemille ominainen niin sen<br />
käänteisarvo, vastaavaa taajuus on myös systeemille ominainen ja sitä kutsutaan<br />
systeemin ominaistaajuudeksi. Yksinkertaisella jousi-punnus-systeemillä on vain<br />
yksi ominaistaajuus. Se värähtelee aina samalla taajuudella. Tämä on yksinkertaisen<br />
värähtelevän systeemin ainoa vapausaste.<br />
Tämä värähdysliike on harmoninen värähdysliike. Tällöin värähtelyn jaksonaika<br />
on sama riippumatta värähtelyn amplitudista. Vain tällöin voidaan sanoa<br />
systeemillä olevan sille ominainen ominaistaajuus. Ominaistaajuudella tapahtuvaa<br />
värähtelyä kutsutaan systeemin ominaisvärähtelyksi.<br />
Vastakohtana edellisille rakennetaan epäharmoninen värähtelijä, jonka jaksonaika<br />
ja taajuus riippuvat värähtelyn laajuudesta. Rakenteeltaan koejärjestely on<br />
yksinkertainen. Värähtelijänä käytetään kappaletta, joka on kiinnitetty jännitetyn<br />
jousen keskikohtaan ja joka asetetaan värähtelemään siten, että värähtelyt tapahtuvat<br />
90:n kulmassa jouseen nähden. Koejärjestely on esitetty kuvassa 9.
16<br />
Kuva 9: Epäharmonisen värähtelijän koejärjestely.<br />
Värähtelevänä kappaleena käytettiin Pascon vaunuradan vaunua, johon oli<br />
kiinnitetty ULI-järjestelmän voima-anturi Dual range force sensor [16]. Vaunun liikettä<br />
tutkittiin ULI-järjestelmän ultraäänianturilla ja samalla mitattiin vaunuun kohdistuvaa<br />
voimaa. Vaunu kiinnitettiin voima-anturista rataan nähden 90:n kulmassa<br />
olevan löysän jousen keskikohtaan. Jousen jousivakio määritettiin erikseen itsenäisesti<br />
venyttämällä sitä eri massaisilla punnuksilla. Jousivakioksi saatiin 3,1 N/m.<br />
Kuvassa 10 on esitetty vaunun paikka ajan funktiona kun systeemi pannaan<br />
värähtelemään.<br />
t= 1,8s<br />
t = 2,0s<br />
Kuva 10: Epäharmonisen värähtelijän paikka ajan funktiona.<br />
Kuvaajasta havaitaan, että värähtelyjen amplitudin pienentyessä niiden jaksonaika<br />
pitenee. Kun amplitudi on noin 25 cm värähdyksen jaksonaika on 1,8 s. Kun<br />
amplitudi on pienentynyt alle 10 cm:n jaksonaika on 2,0 s.
17<br />
Kuvassa 11 on esitetty vaunuun vaikuttava voima vaunun paikan funktiona.<br />
Kuva 11: Epäharmoniseen värähtelijään vaikuttava voima paikan funktiona.<br />
Voiman kuvaajasta nähdään, että se kaartuu selvästi suurilla venymillä. Vaunuun<br />
vaikuttava voima ei ole verrannollinen venymään, joten voima ei ole harmoninen.<br />
Suurilla venymillä voima on harmonisen voiman lakiin verrattuna suurempi.<br />
Tällöin systeemin jaksonaika lyhenee kun amplitudi kasvaa, kuten mittauksista havaittiin.<br />
Mahdollisia ennusteita varten voiman laki tässä kokeessa on pääteltävissä algebrallisessa<br />
muodossa teorian kautta. Oletetaan, että kokeessa käytetyn kimmoisan<br />
harmonisen jousen jousivakio on k . Vaunun ja jousen liitoskohdan ja jousen kiinnityspisteen<br />
välistä etäisyyttä merkitään a:lla. Vaunun poikkeama tasapainoasemastaan<br />
on x, kuva 12.<br />
a<br />
x<br />
l<br />
Kuva 12: Epäharmoninen värähtelijä ylhäältä päin kuvattuna.
18<br />
Kuvan tilanteessa jousi ajatellaan kahdeksi sarjaan kytketyksi jouseksi, joiden<br />
jousivakiot ovat 2k . Kun vaunua on poikkeutettu tasapainoasemastaan matka x,<br />
kuva 12, kohdistaa yksi jousi vaunuun jousen suuntaisen, venymään verrannollisen<br />
voiman, jonka suuruus on :<br />
F 2 k( la) (1)<br />
Pythagoraan lauseen perusteella tämä muuntuu muotoon:<br />
2 2<br />
F 2k( x a a) (2)<br />
Yhden jousen kohdistaman voiman liikkeen suuntainen komponentti F x on<br />
suuruudeltaan:<br />
F F x 2 2<br />
x<br />
x<br />
2k( x a a) (3)<br />
l<br />
2 2<br />
x a<br />
Joka voidaan kirjoittaa lyhyemmin:<br />
a<br />
Fx 2kx( 1<br />
) (4)<br />
2 2<br />
x a<br />
Vaunuun kohdistuu liikkeen suunnassa yhtä suuri voima kummastakin jousen puolikkaasta,<br />
ja näin vaunuun kohdistuva liikkeen suuntainen kokonaisvoima F T poikkeaman<br />
x funktiona on :<br />
a<br />
FT<br />
2Fx<br />
4kx( 1<br />
) (5)<br />
2 2<br />
x a<br />
Tämän funktion (5) kuvaaja on kuvassa 13.<br />
Epäharmonisen värähtelijän<br />
mallinnus<br />
1,5<br />
1<br />
voima F / N<br />
0,5<br />
0<br />
-0,5<br />
-0,25<br />
-0,20<br />
-0,15<br />
-0,10<br />
-0,05<br />
0,00<br />
0,05<br />
0,10<br />
0,15<br />
0,20<br />
0,25<br />
-1<br />
-1,5<br />
paikka<br />
x / m<br />
Kuva 13: Epäharmonisen värähtelijän mallinnus.<br />
Teoreettisen päättelyn tuloksena saatu voiman lain kuvaaja, kuva 13, ei ole<br />
täysin samanlainen kuin aito mitattu voima. Kaareutumissuunta ja muoto pääpiirteittäin<br />
on kuitenkin sama. Mitattu voiman lain kuvaaja, kuva 12, sisältää monen värähdyksen<br />
aikana mitatun voiman kuvaajan. Kuvassa on havaittavissa jonkin verran<br />
hystereesiä.
19<br />
Vaunuun kohdistuva voima ei ole verrannollinen vaunun etäisyyteen tasapainoasemastaan.<br />
Tämä laki antaa suurilla venymillä (x >>a) tuloksen, jonka mukaan<br />
voima on verrannollinen etäisyyteen. Tämä tilanne vastaisi aidosti tilannetta, jossa<br />
molemmat jousenpuolikkaat ovat venyneet ja kohdistavat vaunuun radan suuntaisen<br />
voiman joka vastaa näiden rinnan kytkettyjen jousien vaunuun kohdistamaa voimaa.<br />
Pieniä värähtelyjä tarkasteltaessa voiman laki (5) voidaan kirjoittaa muotoon:<br />
1<br />
F 4kx( 1<br />
) (6)<br />
2<br />
x<br />
1<br />
2<br />
a<br />
Pienillä venymillä (l
ja värähtelijä ovat toisiinsa nähden vastakkaisessa vaiheessa. Jos värähtelevään systeemiin<br />
kohdistuu jaksollinen häiriö, jonka taajuus on sama kuin systeemin ominaistaajuus,<br />
joutuu systeemi resonanssiin pakkovärähtelyn kanssa. Tällöin sen värähtelyjen<br />
amplitudi kasvaa huomattavasti. Värähtelevä systeemi ottaa vastaan energiaa<br />
ominaistaajuudellaan. Tämä on tietenkin mahdollista ainoastaan systeemille,<br />
jolla on tarkasti määrätty ominaistaajuus, joka ei riipu värähtelyjen amplitudista. Jos<br />
värähtely on epäharmonista, amplitudin kasvaessa värähtelijä ei enää vastaanota<br />
energiaa, koska se ei ole resonanssissa vakiotaajuisen pakkovärähtelijän kanssa. Käsin<br />
aiheutettu pakkovoima ei ole kaikkein havainnollisin, koska käden liike on usein<br />
varsin epämääräinen. Tätä resonanssi-ilmiötä voidaan käyttää erilaisten mekaanisten<br />
systeemien ominaisvärähtelyjen etsimiseen. Jos systeemi joutuu resonanssiin tunnetuntaajuisen<br />
pakkovoiman kohdistuessa systeemiin, tiedetään pakkovoiman taajuuden<br />
olevan systeemin ominaistaajuus.<br />
20
21<br />
6. Erilaisten systeemien ominaisvärähtelyjä<br />
6.1. Jousi-punnussysteemien ominaisvärähtelyt<br />
Ensimmäinen värähtelyjen hahmottavaan lähestymiseen liittyvä demonstraatio,<br />
jossa tarvitaan tarkasti tietyllä taajuudella tuotettua värähdysliikettä on erilaisten<br />
jousi-punnussysteemien värähtelyt. Tällaisten systeemien ominaisvärähtelyjen demonstroiminen<br />
mekaanista värähtelijää hyväksi käyttäen on tärkeää. Jos systeemi<br />
saatetaan pakkovärähtelyyn käsin, ei pakkovärähtelyn taajuus pysy vakiona vaan ihminen<br />
säätää sen taajuutta aistinvaraisesti havaittavan pienen positiivisen takaisinkytkennän<br />
ansiosta. Värähtelijän synnyttämät värähtelyt ovat tarkasti tietyntaajuisia.<br />
Tällöin punnussysteemin ominaistaajuudet ovat määritettävissä hyvinkin tarkasti.<br />
Punnussysteemin käyttäytyminen ominaistaajuuden molemmin puolin ominaistaajuuden<br />
lähellä tulee myös helpommin havaittavaksi. Värähtelijä värähtelee koko ajan<br />
samalla pienellä amplitudilla. Tällöin punnusten resonanssi-ilmiö on paljon vakuuttavampi<br />
kuin käytettäessä systeemiä käsin. Resonanssissa punnusten värähtelyjen<br />
amplitudi on huomattavasti värähtelijän aiheuttaman pakkovärähtelyn amplitudia<br />
suurempi kun taas käsin aiheutetut pakkovärähtelyjen amplitudi on helposti lähes<br />
samansuuruinen punnusten värähtelyjen amplitudin kanssa. Käsin aiheutettuna tämä<br />
demonstraatio toimii kuitenkin kvalitatiivisen tason demonstraationa, jonka tavoitteena<br />
on vain osoittaa systeemin ominaisvärähtelyn muodot.<br />
Tutkitut systeemit:<br />
Käytetään ensin kahta samanmassaista punnusta (m = 50 g)<br />
ja kolmea keskenään samanlaista löysähköä jousta Tämä<br />
punnussysteemi laitetaan riippumaan pitkästä statiivista,<br />
kuva 14. Jousien ja punnusten väliset liitokset vahvistettiin<br />
ennen demonstraation toteuttamista nippusiteillä. Näin<br />
systeemi pysyy koossa vaikka värähtelyjen amplitudi kasvaisi<br />
suureksi. Värähtelijän ohjaussignaali otettiin Philip<br />
Harrisin power signal generator - signaaligeneraattorista.<br />
Tässä generaattorissa on herkempi taajuuden säätö halutulla<br />
taajuusalueella ja punnussysteemi on näin helpompi saada<br />
resonanssiin. Värähtelijän taajuuden mittaamiseksi mitattiin<br />
värähtelijään syötettävän signaalin taajuus digitaalisen<br />
muistioskilloskoopin Tektronix TDS 210 taajuudenmittaustoiminnolla.<br />
Laitteella voidaan mitata signaalin taajuus<br />
millihertsin resoluutiolla.<br />
Säädettiin värähtelijään syötettävän signaalin taajuutta.<br />
Punnussysteemi värähteli kauttaaltaan tahdissa kahdella<br />
eri taajuudella, 1,14 Hz ja 2,06 Hz. Tällöin punnussysteemin<br />
vätähtelyjen muodot olivat:<br />
1. Molemmat punnukset liikkuvat samaan suuntaan.<br />
2. Punnukset liikkuvat vastakkaisiin suuntiin.<br />
Kuva 14.
22<br />
Viritettäessä havaitaan myös, että systeemin alimmainen jousi värähtelee värähtelijän<br />
kanssa samaan suuntaan kun pakkovärähtelijän taajuus on systeemin resonanssitaajuutta<br />
pienempi. Kun pakkovärähtelyn taajuus on suurempi, alimmainen<br />
jousi ja värähtelijä liikkuvat toisiinsa nähden vastakkaiseen suuntaan. Tätä ilmiötä<br />
on hyvä käyttää myös apuna värähtelijän virittämisessä systeemin ominaistaajuudelle.<br />
Virittäminen on aika hidasta, johtuen siitä, että käytetyt taajuudet ovat suuruusluokaltaan<br />
noin 1 Hz. Tällöin punnussysteemin amplitudin kasvu resonanssikohdassa<br />
on niin hidasta, että pakkovärähtelyn taajuus viritetään helposti ominaistaajuuden<br />
ohi.<br />
Koe toistetaan kolmella samanlaisella punnuksella ja neljällä samanlaisella<br />
jousella. Tällöin värähtelymoodeja on kolme erilaista:<br />
1. Kaikki punnukset liikkuvat samaan suuntaan.<br />
2. Ylin ja alin liikkuvat eri suuntiin, keskimmäinen on paikoillaan.<br />
3. Ylin ja alin liikkuvat samaan suuntaan, keskimmäinen niihin nähden vastakkaiseen<br />
suuntaan.<br />
Näiden värähtelymuotojen ominaistaajuudet olivat 0,88 Hz, 1,68 Hz ja 2,27 Hz.<br />
Punnussysteemien saattaminen resonanssiin värähtelijän kanssa on huomattavasti<br />
vaikeampaa kuin käsin. Pakkovärähtelyjen täytyy olla erittäin tarkasti samantaajuisia<br />
punnussysteemin ominaistaajuuksien kanssa. Tämä tuo esiin selvästi<br />
värähtelyjen energian ja systeemin vapausasteen välisen yhteyden. Punnussysteemi<br />
vastaanottaa energiaa vain ominaistaajuuksillaan. Nämä ominaistaajuudet liittyvät<br />
kukin yhteen systeemin vapausasteeseen. Punnuksien lisääminen vaikuttaa systeemin<br />
ominaisvärähtelyjen määrään. Tästä systeemin vapausasteen mielikuva kehittyy<br />
edelleen. Kun systeemin rakenneosasten määrä lisääntyy, sen värähtelyjen vapausasteiden<br />
määrä lisääntyy.<br />
6.2. Jännitetyn kielen ominaisvärähtelyt<br />
6.2.1. Koelaitteisto<br />
Tutkittiin värähtelijällä aiheutettuja värähtelyjä ja poikittaista aaltoliikettä<br />
jännitetyissä kielissä. Mittauksissa värähtelijän syöttösignaali otettiin Signaali Oy:n<br />
signaaligeneraattorista mallia OFG-101. Taajuus mitattiin mittaamalla syötetyn signaalin<br />
taajuutta yleismittarilla TES-2740.<br />
Koelaitteisto koostui värähtelijän lisäksi eri pituusmassaisista kielistä, joita<br />
jännitettiin viemällä kieli pöydän reunaan kiinnitetyn väkipyörän yli ja ripustamalla<br />
tähän päähän punnus. Toinen pää kiinnitettiin tukevasti paikoilleen statiivipuristimen<br />
avulla, kuva 15.<br />
Kuva 15: Koelaitteisto jännitettyjen kielten ominaisvärähtelyjen tutkimiseksi.<br />
Puristimen käyttäminen kielen kiinnittämiseen oli hyvä ratkaisu. Tällöin<br />
kieltä pystytään tarvittaessa vaihtamaan helposti ilman ylimääräisiä solmuja. Pelkkä
23<br />
metallikärkinen puristinleuka ei kuitenkaan sellaisenaan ollut hyvä kiinnike, koska<br />
se vahingoitti paksuimpien kielten päällä ollutta muovikerrosta. Leukoja parannettiin<br />
liimaamalla puristinleukojen kärkiin joustavat kumiset tyynyt. Tällöin leukojen ja<br />
kielen välinen kitka saatiin tarpeeksi suureksi ja kieliä ei tarvinnut puristaa niin suurella<br />
voimalla, että ne olisivat vahingoittuneet. Kielen väkipyörän puoleisen päähän<br />
ei laitettu terävää kiinnitystä, jotta kielen jännitystila olisi mahdollisimman hyvin<br />
tunnettu. Värähtelijän kytkentä värähtelevään kieleen tapahtui laitteen mukana toimitetuilla<br />
sauvan banaaniliittimeen sopivalla kappaleella, jonka päällä olevan U-<br />
muotoisen raon yli kieli kulki.<br />
6.2.2. Kielet<br />
Kokeissa käytettiin Pascon valmistamaa kielisarjaa: Vibrating Wire Set, Model<br />
WA-9608.[3] Sarja sisältää kahdeksan erilaista kieltä, joiden pituusmassat ovat<br />
välillä 0,675 g/m - 16,08 g/m. Kielet ovat itse asiassa poikkipinta-alaltaan erilaisia<br />
sähköjohtoja. Kuusi paksuinta kieltä on päällystetty erivärillisillä muovikuorilla.<br />
Tämä helpottaa eri kielten tunnistamista. Kevyimmät päällystämättömät kielet olivat<br />
jo liiankin kevyitä ja menivät helposti sotkuun ja ylimääräisille mutkille. Tämä tekee<br />
niiden käyttämisestä käytännössä mahdotonta.<br />
Kaikkien kielten sisus on kuitenkin metallia. Tämä mahdollistaa kielen värähtelyjen<br />
tutkimisen ilman värähtelijää vaihtovirran ja magneetin avulla siten, että<br />
magneetin kohtioiden väliin asetetun kielen läpi johdetaan sinimuotoista vaihtovirtaa.<br />
Tällöin kieleen kohdistuu virtaan verrannollinen magneettinen voima. Kieli saadaan<br />
värähtelemään vaihtovirran taajuudella.<br />
Tutkittavana olleiden kielten pituusmassat määritettiin kokeellisesti punnitsemalla<br />
kielet Mettler P-1000 vaa'alla ja mittaamalla niiden pituudet rullamitalla.<br />
Kielen pituusmassa on sen massan ja pituuden suhde.<br />
m l<br />
(9)<br />
Missä on kielen pituusmassa, m on kielen massa ja l on kielen pituus.<br />
Kokeellisesti määritetyt ja valmistajan ilmoittamat pituusmassat ovat taulukossa 1.<br />
Taulukko 1: Kielten massat, pituudet ja pituusmassat.<br />
Kieli m/(g) l/(m) / (g/m) valm. / (g/m)<br />
Valkoinen 152,4 0,2 9,40 0,01 16,21 0,03 16,08<br />
Punainen 98,7 0,2 9,30 0,01 10,61 0,02 10,32<br />
Sininen 71,8 0,2 9,75 0,01 7,36 0,02 7,07<br />
Vihreä 49,0 0,2 9,43 0,01 5,20 0,02 5,13<br />
Keltainen 23,8 0,2 9,39 0,01 2,54 0,02 3,16<br />
Musta 11,0 0,2 9,45 0,01 1,16 0,02 1,53<br />
Metalli 0,016" 9,9 0,2 9,65 0,01 1,03 0,02 1,02<br />
Metalli 0,013" 6,6 0,2 9,88 0,01 0,67 0,02 0,675<br />
Kokeellisesti määritetyillä pituusmassoilla ja valmistajan ilmoittamilla ohjeellisilla<br />
pituusmassoilla oli joissain tapauksissa varsin suuri ero. Suurimmillaan se
24<br />
oli mustalla kielellä. Valmistajan ilmoittama pituusmassa oli 1,53 g/m ja kokeellisesti<br />
määritetty pituusmassa oli 1,16 g/m. Poikkeama ilmoitetusta arvosta on 24 %.<br />
Kieli on mahdollisesti venynyt aikaisemmassa käytössä. Tämä täytyy ottaa huomioon<br />
tällä kielisarjalla tehtäviä laboratoriotöitä suunniteltaessa.<br />
6.2.3. Päistä kiinnitettyjen kielten ominaisvärähtelyt<br />
Systeemiin kiinnitettiin aluksi keltainen kieli, jota jännitettiin kiinnittämällä<br />
siihen 1,0 kg:n punnus. Punnuksen kieleen kohdistama jännitys kohdistuu tasaisesti<br />
koko kieleen, joten se on pituussuunnassaan homogeeninen ja sen jännitystila on vakio.<br />
Säädettiin värähtelijään syötettävän signaalin taajuutta ja havainnoitiin kielen<br />
värähtelyjä kielen ominaistaajuuksien löytämiseksi.<br />
Kielen poikittaisten värähtelyjen amplitudi suureni huomattavasti värähtelijän<br />
värähdellessä 15 Hz:n taajuudella. Kieli oli resonanssissa värähtelijän kanssa.<br />
Tällöin koko kieli värähteli yhtenä kupuna joten sillä oli solmukohdat ainoastaan<br />
päissä. Myös 31 Hz:n taajuudella amplitudi kasvoi huomattavasti. Tällöin kielen<br />
keskellä oli solmukohta. Amplitudi suureni aina taajuuden kasvaessa n. 15 Hz:llä,<br />
resonanssitaajuudet on esitetty taulukossa 2.<br />
Taulukko 2: Jännitetyn kielten ominaisvärähtelyjen taajuudet ja solmujen lukumäärät.<br />
Solmuja 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
Taajuus 15 31 46 61 76 92 107 123 138 154 169<br />
Kielen ominaistaajuudet esiintyivät perustaajuuden 15 Hz moninkertoina,<br />
joita kutsutaan perusvärähtelyn harmonisiksi kerrannaisiksi. Värähtelyjen muodot<br />
muuttuivat siten, että jokainen 15 Hz:n taajuuden lisäys sai aikaan värähtelyn, jossa<br />
oli yksi solmukohta enemmän kuin edellisessä ominaisvärähtelyssä. Näitä ominaisvärähtelyjä<br />
saatiin näkyviin aina kymmenenteen harmoniseen kerrannaiseen asti. Värähtelijän<br />
amplitudi pienenee näillä taajuuksilla jo niin pieneksi alkuperäiseen verrattuna,<br />
että se ei riitä saamaan aikaan riittävän voimakkaita värähtelyjä silmin havaittavaksi.<br />
Tästä nähdään, että kielellä on kuitenkin useita ominaistaajuuksia joista<br />
tosin tässä saatiin näkyviin vain osa. Jännitetyn kielen ominaistaajuudet esiintyvät<br />
perustaajuuden harmonisina kerrannaisina. Ne noudattavat ainakin johonkin n asti<br />
lakia:<br />
f<br />
nf<br />
n 1 (10)<br />
, jossa f 1 on kielen perustaajuus ja n saa arvoja 1, 2, 3, … .<br />
Huomioita:<br />
Koetta tehdessä havaittiin, että kieleen muodostuu solmu värähtelijän liitoksen<br />
kohdalle tai hyvin lähelle sitä. Tämä käsitys vahvistuu mitattaessa kieleen muodostuvien<br />
solmujen välimatkoja. Solmut jakavat kielen värähtelevän osan yhtä pitkiin<br />
osiin. Mitattaessa solmujen välimatkoja havaitaan värähtelijän puoleisen<br />
reunimmaisen solmun osuvan kielen pään sijasta hyvin lähelle värähtelijän kiinnityskohtaa.<br />
Tämä efekti voimistuu ja näkyy selvimmin siirryttäessä korkeammille<br />
taajuuksille. Perustaajuudella värähtelevällä kielellä ja perustaajuuden ensimmäisellä<br />
harmonisella kerrannaistaajuudella värähtelevällä kielellä tätä ei vielä huomaa, mutta
25<br />
ensimmäistä kerrannaistaajuutta korkeammilla ominaistaajuuksilla solmun muodostuminen<br />
värähtelijän kohdalle on jo silmin havaittavissa. Värähtelijä oli 3,0 cm:n<br />
etäisyydellä kielen päästä. Tästä johtuen kielet käyttäytyvät kuin ne olisivat 3,0 cm<br />
lyhyempiä. Tästä eteenpäin puhuttaessa kielen pituudesta tarkoitetaan tällä kielen<br />
pituutta väkipyörästä värähtelijään, todellisen värähtelevän osan pituutta. Tästä<br />
syystä värähtelijä tulisi aina liittää mahdollisimman lähelle kielen paikalleen kiinnitettyä<br />
päätä. Värähtelijän liittäminen keskelle kieltä aiheuttaa myös kielen irtoamisen<br />
värähtelijästä.<br />
Nyt on saatu määritetyksi yksinkertainen pelkistetty laki jännitetyn kielen<br />
ominaisvärähtelyille. Tarkoituksena on nyt selvittää tarkemmin miten jännitetyn<br />
kielen ominaisvärähtelyt riippuvat kielen ominaisuuksista.<br />
6.2.4. Kielen pituuden vaikutus ominaisvärähtelyihin<br />
Tutkittiin kielen pituuden vaikutusta kielen ominaisvärähtelyihin. Käytettiin<br />
kielisarjan [3] keltaista kieltä. Kielen värähtelevän osan pituutta muutettiin statiiviin<br />
kiinnitetyn teräväkulmaisen statiiviliittimen avulla. Statiiviliitin oli hieman korkeampi<br />
kuin kielen kiinnikkeen korkeus pöydän pinnasta. Tällöin kieli painautui liittimen<br />
terävää särmää vasten ja käyttäytyi kuin sen pituus olisi ollut vain väkipyörästä<br />
statiiviliittimeen. Värähtelijää siirrettiin raudan mukana siten, että kielen värähtelevän<br />
osan pituus lyheni, kuva16.<br />
Kuva 16: Kielen pituuden variointi, koejärjestely.<br />
Värähtelijä pidettiin mahdollisimman lähellä kieltä tukevaa rautaa. Säätämällä<br />
värähtelijään syötettävän signaalin taajuutta etsittiin kullekin kielen pituudelle<br />
ominaistaajuudet. Havaittiin kielen resonanssitaajuuksien siirtyvän korkeammille<br />
taajuuksille kun kielen pituutta lyhennetään. Mitatut kielen pituudet ja niitä vastaavat<br />
1. harmoniset kerrannaistaajuudet ovat taulukossa 3.<br />
Taulukko3: Kielen pituus ja sitä vastaava 1. harmoninen kerrannaistaajuus<br />
Pituus l/ cm 120 140 160 176 192<br />
Taajuus f/Hz 52,5 44,5 37,5 35,0 32,0
26<br />
Piirretään kielen ensimmäisen harmoninen kerrannaistaajuus kielen pituuden<br />
käänteisarvon funktiona ja havaitaan pisteiden osuvan suoralle, kuva 17.<br />
Tässä kokeessa ominaistaajuutena käytettiin ensimmäistä harmonista kerrannaistaajuutta,<br />
koska sen silmämääräinen havaitseminen ja sen taajuuden mittaaminen<br />
oli huomattavasti helpompaa kuin kielen perustaajuuden. Perustaajuuden resonanssi<br />
on leveä. On vaikeaa sanoa onko kieli resonanssissa juuri kyseisellä taajuudella jos<br />
taajuus mitataan 1 Hz:n tarkkuudella.<br />
Kuva 17.<br />
Jännitetyn kielen ominaistaajuudet (perustaajuus ja harmoniset kerrannaiset)<br />
ovat kääntäen verrannolliset kielen pituuteen.<br />
f<br />
~ 1 (11)<br />
l<br />
6.2.5. Toisesta tai molemmista päistä vapaan kielen ominaisvärähtelyt<br />
Seuraava koejärjestely on alunperin esitetty lähteessä [8].<br />
Edellisessä on rajoituttu tarkastelemaan molemmista päistään kiinnitetyn<br />
kielen ominaisvärähtelyjä. Toisesta- tai molemmista päistä vapaasti liikkumaan pääsevän<br />
kielen ominaisvärähtelyjä päästään tutkimaan kiinnittämällä värähtelevän<br />
komponentin vapaasti värähtelevä(t) pää(t) sitä pituusmassaltaan huomattavasti ke-
27<br />
vyempään lankaan. Värähtelijä asetetaan värisyttämään tätä kiinnityslankaa. Tätä<br />
koejärjestelyä kokeiltiin käyttämällä värähtelevänä komponenttina teräksistä kierrejousta<br />
(pituus venyttämättömänä 41 cm, paksuus 9 mm), joka liitettiin vapaasti värähtelevästä<br />
päästä halkaisijaltaan 0,35 mm:n vahvuiseen siimaan. Tällä järjestelyllä<br />
saatiin osien pituusmassojen suhde riittävän suureksi ja kevyempään lankaan liitetyn<br />
jousen vapaaseen päähän muodostui resonanssissa kupu.<br />
Molemmista päistään siimoissa kiinni oleva jousi muodosti siten värähtelevän<br />
systeemin, jonka molemmat päät pääsivät värähtelemään vapaasti. Keskitytään<br />
tutkimaan ainoastaan jousen värähtelyä. Kokeessa jousta venytettiin siten, että sen<br />
pituus oli koetta suoritettaessa 200 cm. Tällöinkin jousi painui keskeltä alaspäin noin<br />
1,5 cm. Värähtelijä liitettiin systeemiin lähelle toisen liitosnarun kiinnityskohtaa,<br />
kuva 18.<br />
Kuva 18: Kieli avoimilla reunaehdoilla, koejärjestely.<br />
Värähtelijän taajuutta muuttamalla etsittiin kieltä mallintavan jousen ominaistaajuudet.<br />
Ominaisvärähtelyjen taajuudet ja värähtelyissä olevien solmukohtien lukumäärät<br />
on esitetty taulukossa 3.<br />
Taulukko 3: Molemmista päistä vapaan kielen ominaisvärähtelyt.<br />
Solmuja 1 2 3 4 5 6<br />
taajuus f/ Hz 4,5 7,5 10,4 13,6 16,6 20,0<br />
Ominaistaajuuksillaan jousi värähteli aina siten, että sen molemmissa päissä<br />
oli kupukohta. Aidot negatiivikuvat ominaisvärähtelyistä on kuvissa 19.1 - 19.6.<br />
Kuva 19.1: Yksi solmukohta.<br />
Kuva 19.2: Kaksi solmukohtaa.<br />
Kuva 19.3: Kolme solmukohtaa.
28<br />
Kuva 19.4: Neljä solmukohtaa.<br />
Kuva 19.5: Viisi solmukohtaa.<br />
Kuva 19.6: Kuusi solmukohtaa.<br />
Solmukohtien määrä lisääntyi yhdellä aina siirryttäessä seuraavaan ominaistaajuuteen.<br />
Huomioitavaa on, että nyt resonanssitaajuudet eivät esiinny matalimman<br />
resonanssitaajuuden 4,5 Hz moninkertoina. Ominaistaajuudet esiintyvät kuitenkin<br />
säännöllisesti n. 3 Hz:n välein. Kiinnityssysteemi aiheuttaa sen, että perusvärähtely<br />
siirtyy korkeammalle taajuudelle. Tämä näkyy myös kuvasta 19.1, jossa jousen vasen<br />
pää ei selvästikään ole kupukohdassa. Muuten molemmista päistä vapaan värähtelevän<br />
“kielen” käyttäytymisen ei pitäisi erota molemmista päistä kiinnitetyn<br />
kielen käyttäytymisestä. Ominaistaajuuksien tulisi olla ensimmäisen ominaistaajuuden<br />
moninkertoja. [10 s.136 - 138]<br />
Kytkemällä jousen toinen pää kiinteästi ripustusleukoihin saadaan järjesteltyä<br />
tilanne, jossa kielen toinen pää on kiinnitetty ja toinen pää saa värähdellä vapaasti.<br />
Jousta jännitetään siten, että sen pituus on 200 cm. Kuvat näistä ominaisvärähtelyistä<br />
on kuvissa 20.1 - 20.6.<br />
Kuva 20.1: Ei solmukohtia.<br />
Kuva 20.2: Yksi solmukohta.<br />
Kuva 20.3: Kaksi solmukohtaa.<br />
Kuva 20.4: Kolme solmukohtaa.
29<br />
Kuva 20.5: Neljä solmukohtaa.<br />
Kuva 20.6: Viisi solmukohtaa.<br />
Kuva 20.7: Kuusi solmukohtaa.<br />
Toisesta päästä kiinnitetyn jousen ominaisvärähtelyjen taajuudet ja jousessa<br />
olevien solmukohtien lukumäärät on esitetty taulukossa 4.<br />
Taulukko 4: Toisesta päästä kiinnitetyn kielen ominaistaajuudet.<br />
Solmuja 0 1 2 3 4 5 6<br />
Taajuus f/ Hz 2,5 5,5 8,6 11,8 15,0 18,4 21,6<br />
Ominaistaajuudet esiintyvät n. 3,2 Hz:n välein mutta ne eivät ole perusvärähtelyn<br />
taajuuden tai sen puolikkaan kerrannaisia.<br />
Ideaalitapauksessa tässä jouseen muodostuvassa seisovassa aaltoliikkeessä<br />
kahden solmukohdan välinen etäisyys on kaksi kertaa pidempi kuin etäisyys jousen<br />
vapaasti värähtelevästä päästä ensimmäiseen solmukohtaan. Tämä ei kuitenkaan toteudu<br />
täydellisesti tutkitulla systeemillä. Etäisyys päätykuvusta ensimmäiseen solmukohtaan<br />
oli toistettavasti erityisesti perusvärähtelyn jälkeen toisilla värähtelymuodoilla,<br />
kuvat 19.2 ja 20.2, aina muutamaa senttimetriä liian suuri. Myös perusvärähtelyllä,<br />
kuvat 19.1 ja 20.1, jousen värähtelyn muoto ei ole ideaalinen. Tässä kohdassa<br />
täytyisi tarkastaa demonstraation idealisointien toteutuminen. Ripustussiimat<br />
vaikuttavat jousen käyttäytymiseen. Tämän vuoksi demonstraatio ei toimi kvantitatiivisen<br />
tason demonstraationa. Pienimmät ominaistaajuudet ovat siirtyneet n. 1 Hz:n<br />
suuremmalle taajuudelle kuin mitä reunaehdoiltaan vastaava aito systeemi.<br />
Tämä demonstraatio on kuitenkin hyvä kvalitatiivisen tason demonstraatio.<br />
Tarkoituksena on havainnollistaa värähtelevää kieltä, joka on joko toisesta- tai molemmista<br />
päistä vapaa. Näin täsmentyy käsitys värähtelevän systeemin reunaehdoista.<br />
Ominaisvärähtelyjen laatuun vaikuttaa värähtelevän systeemin kytkentä sitä ympäröivään<br />
systeemiin. Tutkituissa systeemeissä tämä reunaehto voi olla joko avoin<br />
tai suljettu. Suljetun reunaehdon tapauksessa värähtelevän systeemin reunan poikkeama<br />
tasapainoasemastaan on nolla. Avoimen reunaehdon tapauksessa reunalla<br />
poikkeaman ensimmäisen derivaatan arvo on nolla.
30<br />
6.3. Vedenpinnan ominaisvärähtelyt<br />
Ominaisvärähtelyjen olemassaolon edellytyksenä on tasapainoasemaan palauttava<br />
voima, joka on verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta. Tämä ei<br />
rajoitu ainoastaan kiinteisiin kappaleisiin. Myös altaallinen vettä muodostaa kappaleen,<br />
jonka pinta saadaan pienillä värähtelyillä värähtelemään tahdissa. Tässä tapauksessa<br />
tasapainoasemaan palauttavana voimana toimii veteen kohdistuva painovoima.<br />
Kapea vesiallas oli mitoiltaan 4 cm 37 cm 15 cm ja siinä olevan veden<br />
syvyys oli 9 cm. Näin kapeassa altaassa voidaan tutkia veden ominaisvärähtelyjä yhdessä<br />
ulottuvuudessa. Altaassa oleva vesi värjättiin kaliumpermaganaatilla ja siihen<br />
sekoitettiin n. 1 ml astianpesuainetta pintajännityksen pienentämiseksi. Värähtelyjen<br />
lähteenä toimi teräslevystä taivutettu mela, kuva 21.1, jota värisytettiin käsin. Tässä<br />
tapauksessa värähtelijän käyttö värähtelyjen lähteenä ei onnistunut. Käteen tuntuva<br />
heikko positiivinen takaisinkytkentä oli välttämätön värähtelyjen esiin saamiseksi.<br />
Veden värähtelyjä kuvattiin videokameralla. Videokamera ottaa 25 kuvaa sekunnissa.<br />
Tämän nauhoitteen perusteella voidaan määrittää vedenpinnan värähtelyn<br />
taajuus. Kun kyseessä on veden ominaisvärähtely, veden pinta värähtelee kauttaaltaan<br />
tahdissa. Vedenpinnanan erilaisia ominaisvärähtelyjä on esitetty kuvissa 21.2 -<br />
21.6.<br />
Kuva 21.1: Mela.<br />
Kuva 21.2: Yksi solmukohta.<br />
Kuva 21.3: Kaksi solmukohtaa.<br />
Kuva 21.4: Kolme solmukohtaa.
31<br />
Kuva 21.5: Neljä solmukohtaa.<br />
Kuva 21.6: Viisi solmukohtaa.<br />
Kuvista havaitaan selvästi, että vedenpinnan ominaisvärähtelyt ovat reunaehdoiltaan<br />
avoimia. Niillä on kupukohdat altaan päädyissä. Päätyjen välissä on ensimmäisessä<br />
ominaisvärähtelyssä yksi solmukohta, kuva 20.2, toisessa kaksi solmukohtaa,<br />
kuva 20.3. Solmukohtien määrä lisääntyy aina yhdellä siirryttäessä seuraavaan<br />
ominaisvärähtelyyn.<br />
Ominaisvärähtelyjen taajuudet määritettiin videokuvan avulla laskemalla<br />
montako kuvaa yhden jakson värähtely vie. Värähtelymuotojen taajuudet ovat taulukossa<br />
5.<br />
Taulukko 5.<br />
Solmuja 1 2 3 4 5<br />
Taajuus f / Hz 1,1 2,0 2,3 2,9 3,3<br />
6.4. Chladnin levyt - ohuen teräslevyn ominaisvärähtelyt<br />
Chladnin levyillä tarkoitetaan oikeastaan menetelmää kimmoisten levyjen<br />
ominaisvärähtelyjen tutkimiseen. Järjestely on nimetty E. F. Chladnin mukaan.<br />
Chladni ripotteli hienojakoista hiekkaa metallilevyille ja sai ne värähtelemään soittamalla<br />
niitä viulun jousella. Levyille ripoteltu hiekka kertyi levyn pinnalle värähtelyjen<br />
solmukohtiin muodostaen kuvioita, joista selviävät levyn ominaisvärähtelyjen<br />
muodot. Jopa itse Napoleonin kerrotaan ihastuneen tähän demonstraatioon niin, että<br />
hän rahoitti Chladnin asiaa koskevan julkaisun kääntämisen ranskan kielelle ja rahoitti<br />
maksettavaksi 3000 silloisen frangin palkkion henkilölle, joka ensimmäisenä<br />
kehittäisi ilmiötä kuvaavan matemaattisen teorian. Tämä palkinto osoitettiin 1815<br />
Sophie Germainille, jonka ratkaisu ongelmaan oli muodoltaan neljännen asteen differentiaaliyhtälö.<br />
Tosin hänen käyttämänsä reunaehdot osoittautuivat sittemmin vääriksi.<br />
Chladnin levyjen kuvioiden tutkiminen on kiinnostanut nimekkäitäkin fyysikoita,<br />
kuten Savart, Sthrelke, Faraday, Koenig, Debye, Young, Flügge, Wood, jne<br />
[13]<br />
Värähtelevinä levyinä käytettiin PASCOn välittämiä teräslevyjä (Model WA-<br />
9607) [12 s.118], jotka olivat ympyrän muotoinen halkaisijaltaan 24 cm oleva levy ja<br />
neliön muotoinen levy, jonka sivun pituus oli 24 cm. Levyjen paksuus oli 1,0 mm.<br />
Levyt värähtelevät vapain reunaehdoin. Ominaisvärähtelyjen näkyviin saamiseksi<br />
levyjen päälle ripoteltiin niiden mukana toimitettua hiekkaa.
32<br />
Kimmoisten levyjen ominaisvärähtelyjä tutkittiin nyt liittämällä ne värähtelijän<br />
sauvaan. Näin värähtelijän taajuutta säätämällä voitiin varioida levyjen värähtelyjen<br />
taajuutta ja ne saatiin värähtelemään tarkasti määritettävissä olevalla taajuudella.<br />
Levyjen ominaisvärähtelyt kuvattiin.<br />
Ominaisvärähtelyt luokitellaan niissä esiintyvien solmukohtien mukaan.<br />
Esimerkiksi suorakaiteen muotoisen levyn perusvärähtely on muotoa (2,0) tarkoittaen,<br />
että siinä on kaksi samansuuntaista solmuviivaa, kuva 22.1. Neliön muotoisella<br />
levyllä perusvärähtelyksi kelpaa tietysti myös muoto (0,2), jossa solmuviivat ovat<br />
vain kääntyneet 90 astetta. Suuntasääntö on kiinnitettävä suorakaiteen muotoisilla<br />
levyillä, mutta neliön muotoisella levyllä tämä ei tilanteen symmetrisyyden takia ole<br />
välttämätöntä.[16]<br />
Kuvissa 22.1 - 22.15 on esitetty neliön muotoisen levyn ominaisvärähtelyjä.<br />
Kuva 22.1: f = 65 Hz.<br />
Kuva 22.2: f = 76 Hz.<br />
Kuva 22.3: f = 107 Hz.<br />
Kuva 22.4: f = 165 Hz. Kuva 22.5: f = 196 Hz. Kuva 22.6: f = 334 Hz.<br />
Kuva 22.7: f = 381 Hz. Kuva 22.8: f = 469 Hz. Kuva 22.9: f = 523 Hz.<br />
Kuva 22.10: f = 787 Hz.<br />
Kuva 22.11: f = 950 Hz.<br />
Kuva 22.12: f = 1047 Hz.
33<br />
Kuva 22.13: f = 1380 Hz. Kuva 22.14: f = 1711 Hz. Kuva 22.15: f = 2250 Hz.<br />
Neliön muotoisen levyn perusvärähtelyssä on kaksi samansuuntaista solmuviivaa,<br />
kuva 22.1. Nämä solmuviivat voivat esiintyä kummassa suunnassa tahansa.<br />
Molemmilla värähtelyn muodoilla on sama ominaistaajuus. Tämä tilanteen symmetria<br />
tuo esiin myös täysin uudenlaisia ominaisvärähtelyjä, jotka eivät ole muodoiltaan<br />
perusvärähtelyjen kaltaisia, vaan täysin erilaisia. Nämä värähtelyt syntyvät kun samalla<br />
taajuudella esiintyvät erilaiset ominaisvärähtelyt interferoivat keskenään ja<br />
tuloksena on näiden värähtelyjen lineaarikombinaatio. Esimerkkinä voimme tarkastella<br />
millaisia värähtelyjä syntyy kun (2,0) ja (0,2)-värähtelyt interferoivat keskenään.<br />
Kuvassa 23 on esitetty neliön muotoisen levyn (0,2)- ja (2,0)-värähtelyt. Kuvaan<br />
on merkitty värähtelyjen solmuviivat ja poikkeaman suunta tasapainoasemasta<br />
jollain ajan hetkellä.<br />
+<br />
+ - +<br />
-<br />
Kuva 23: Neliön muotoisen levyn (0,2)- ja (2,0)-värähtelyt.<br />
Kun nämä värähtelyt interferoivat siten, että ne vahvistavat toisiaan kulmissa,<br />
syntyy (0,2)+(2,0) - värähtely. Tämä värähtelyn muotoa voi hahmotella piirtämällä<br />
(0,2)- ja (2,0)- värähtelyjä kuvaavat kaaviot päällekäin ja tarkastelemalla miten värähtelyt<br />
interferoivat levyn eri alueissa.[14 s.78], kuva 24.<br />
+<br />
-<br />
+<br />
+<br />
+ o +<br />
+<br />
o<br />
-<br />
o<br />
-<br />
+ o + +<br />
Kuva 24. Kuva 25.
34<br />
Solmukohdat muodostuvat niihin levyn kohtiin, joissa värähtelyt interferoivat<br />
destruktiivisesti ja kumoutuvat. Kuvasta 24 havaitaan, että levylle ilmestyvä<br />
solmuviiva on värähtelyjen (0,2) ja (2,0) yhdistelmä, joka luokitellaan (0,2)+(2,0)-<br />
värähtelyksi ja on muodoltaan rengas. Aito kuva tällaisesta värähtelystä on kuvassa<br />
25.<br />
Muille kuvassa 22 esiintyville värähtelyn muodoille voidaan etsiä samanlaisia<br />
selitysperusteita. Esimerkiksi kuvan 22.9 kuvio on (4,2) + (2,4) - värähtely.<br />
Ominaistaajuudet eivät noudata mitään helposti havaittavissa olevaa säännönmukaisuutta.<br />
Tämä demonstraatio onkin kvalitatiivinen demonstraatio, joka<br />
osoittaa värähtelevän levyn ominaisvärähtelyjen muotoja ja sitä kautta ominaisvärähtelyn<br />
asemaa värähtelevän systeemin vapausasteena.<br />
Ympyrän muotoisen levyn ominaisvärähtelyissä solmukohdat ovat ympyröitä,<br />
joiden keskipiste on ympyrän keskipisteessä, tai ympyrän halkaisevia diagonaaleja,<br />
kuvat 26. Näiden näkyviin saaminen riippuu myös siitä, mihin levyn kohtaan<br />
ulkoinen värähtely kohdistuu. Ominaisvärähtelyt, joiden solmukohdat ovat diagonaaleja,<br />
saa helpommin näkyviin jos pakkovärähtely ei kohdistu levyn keskipisteeseen.<br />
Ympyrän muotoisen levyn ominaisvärähtelyjä luokitellaan samanlaisin lukuparein<br />
kuin suorakaiteen muotoisen levyn ominaisvärähtelyjä. Nyt ensimmäinen luku<br />
kertoo diagonaalisten solmuviivojen määrän ja toinen ympyrän muotoisten solmuviivojen<br />
määrän. [14]<br />
Ympyränmuotoisten levyjen ominaisvärähtelyjä on kuvissa 26.<br />
Kuva 26.1: f = 119 Hz. Kuva 26.2: f = 150 Hz. Kuva 26.3: f = 337 Hz.<br />
Kuva 26.4: f = 451 Hz. Kuva 26.5: f = 462 Hz. Kuva 26.6: f = 825 Hz.
35<br />
Kuva 26.7: f = 938 Hz.<br />
Kuva 26.8: f = 1435 Hz.<br />
Kuva 26.9: f = 1563 Hz.<br />
Kuva 26.10: f = 1619 Hz.<br />
Kuva 26.11: f = 2570 Hz.<br />
Kuva 26.12: f = 3860 Hz.<br />
Kuvista 26 havaitaan selvästi ympyränmuotoisen levyn ominaisvärähtelyn<br />
muodot. Ominaisvärähtelyn solmuviivat ovat diagonaaleja, ympyröitä tai niiden yhdistelmiä.<br />
Saman tyyppisiä ominaisvärähtelyjä, joilla kaikki solmuviivat olivat ympyröitä,<br />
(0,n)-värähtelyt, on kuvassa 26 kuusi erilaista, kuvat 26.1, 26.3, 26.6, 26.12,<br />
26.11 ja 26.12. Ympyrän muotoisia solmuviivoja esiintyy yhdestä solmuviivasta,<br />
kuva 26.1, kuuteen solmuviivaan, kuva 26.12. Kuvassa 26.12 sisin solmuviiva on<br />
kiinni keskellä olevassa kiinnityskohdassa, joten se ei erotu kovin selkeästi. Näiden<br />
ominaisvärähtelyjen taajuudet eivät esiinny ensimmäisen taajuuden harmonisina kerrannaisina.<br />
Ominaistaajuudet eivät noudata mitään helposti pääteltävissä olevaa<br />
säännönmukaisuutta.<br />
Ympyrän muotoisten levyjen ominaisvärähtelyjen tutkiminen jää tällaisenaan<br />
kvalitatiivisen tason demonstraatioksi. Systeemillä on erilaisia ominaisvärähtelyn<br />
muotoja.
36<br />
7. Dispersiorelaatio<br />
7.1. Ominaisvärähtelyjen tulkinta seisovaksi aaltoliikkeeksi<br />
Värähtelevässä jännitetyssä kielessä esiintyvät ominaisvärähtelyt voidaan<br />
tulkita kielessä esiintyviksi seisoviksi aalloiksi, jossa yksi värähdys synnyttää yhden<br />
jakson aikana yhden aallon. Tämä antaa mahdollisuuden aaltoliikkeen vaihenopeudeksi<br />
tulkittavan suureen kvantifiointiin jännitetyssä kielessä. Värähtelevän kielen<br />
kahden peräkkäisen solmun välimatka on kielessä etenevän aallon aallonpituuden<br />
puolikas. Perustaajuudellaan värähtelevässä kielessä, jonka pituus on L, on seisova<br />
aaltoliike, jonka aallonpituus on 2L. Kullakin harmonisella kerrannaisella kieleenn<br />
tulee yksi solmu lisää siten, että solmujen välimatka on kussakin ominaisvärähtelyssä<br />
aina yhtä suuri. Täten kutakin ominaisvärähtelyä vastaa kielessä etenevän aallon<br />
aallonpituus, joka on:<br />
2L<br />
n<br />
(12)<br />
,missä n on kielen päiden välissä esiintyvien solmujen lukumäärä.<br />
Vastaavasti kutakin ominaisvärähtelyä vastaavan aaltoliikkeen taajuus on sama kuin<br />
kyseisen värähtelyn ominaistaajuus.<br />
f<br />
nf<br />
n 1 (13)<br />
, jossa f 1 on kielen perustaajuus ja n saa arvoja 1, 2, 3, … .<br />
Värähtelevään jännitettyyn kieleen synnytetyn aaltoliikkeen aallonpituus mitattiin<br />
kielen taakse kiinnitetyn pitkän teräsviivaimen avulla. Aallonpituus olisi toki<br />
ollut pääteltävissä solmujen lukumäärän ja kielen pituuden avulla. Värähtelijän liitoksen<br />
aiheuttamat poikkeamat kielen värähtelevän osan pituuteen haluttiin kuitenkin<br />
eliminoida ja mittausta käytettiin todellisten aallonpituuksien esiin saamiseksi.<br />
Mitatut aallonpituudet ja taajuudet ovat taulukossa 6. Kielinä käytettiin Pascon kielisarjan<br />
[3] 1,0 kg:n ja 1,2 kg:n punnuksilla jännitettyä keltaista kieltä, jonka pituus oli<br />
204 cm (kielet 1 ja 2), 1,0 kg:n punnuksella jännitettyä keltaista kieltä, jonka pituus<br />
oli 120 cm (kieli 3) ja 1,0 kg:n punnuksella jännitettyä punaista kieltä, jonka pituus<br />
oli 204 cm (kieli 4).
37<br />
Taulukko 6.<br />
Resonanssitaajuus f/(Hz)<br />
Aallonpituus /(cm)<br />
Kieli 1 Kieli 2 Kieli 3 Kieli 4 Kieli 1 Kieli 2 Kieli 3 Kieli 4<br />
15 17 26 408 408 240<br />
31 34 52 15 200 205 120 204<br />
46 50 78 23 136 137 80 136<br />
61 67 105 31 103 102,5 60 101<br />
76 84 131 38 81 82 48 82<br />
92 101 157 46 67 68 40 67<br />
107 118 54 58 58,5 59<br />
123 134 62 51,5 51 51<br />
138 151 69 45 45,5 45<br />
154 78 40 40<br />
169 86 37 37<br />
Piirretään kielen resonanssitaajuudet kieliin synnytettyjen aaltoliikkeiden<br />
aallonpituuksien käänteisarvon funktiona, kuva 27.<br />
1/<br />
Kuva 27.<br />
Kuvan symbolit: Kieli 1 () kieli 2 (+) kieli 3 (*) kieli 4 (x)<br />
Havaitaan kunkin kielen mittauspisteiden osuvan origon kautta kulkevalle<br />
suoralle. Kaikki suorat eivät kuitenkaan ole samansuuntaisia. Jännityksen lisääminen<br />
ja kielen pituusmassan muuttaminen vaikuttavat suoran jyrkkyyteen.<br />
Suoran kulmakerroin, taajuuden ja aallonpituuden tulo on kullekin kielen tilalle<br />
ominainen vakio, joka voidaan tulkita aaltoliikkeen vaihenopeudeksi kyseisessä
38<br />
systeemissä. Se on kielen tilalle ominainen vakio riippumatta käytetystä taajuudesta<br />
ainakin tämän mittauksen taajuuksien alueella.<br />
f vakio v<br />
(14)<br />
aallonpituus ja v aaltoliikkeen vaihenope-<br />
,missä f on aaltoliikkeen taajuus,<br />
us kielessä.<br />
Aaltoliikkeen vaihenopeudet mittauksessa käytetyillä kielillä (kuvan 27 suorien<br />
kulmakertoimet) ovat:<br />
keltainen kieli, pituus 204 cm, 1,0 kg punnus:<br />
keltainen kieli, pituus 204 cm, 1,2 kg punnus:<br />
keltainen kieli, pituus 120 cm, 1,0 kg punnus:<br />
punainen kieli, pituus 204 cm, 1,0 kg punnus:<br />
6200 cm/s = 62 m/s<br />
6900 cm/s = 69 m/s<br />
6300 cm/s = 63 m/s<br />
3200 cm/s = 32 m/s<br />
Kielen jännityksen kasvattaminen lisää aallon vaihenopeutta. Tämä voidaan<br />
tulkita siten, että väliaineen jännitystilan kasvattaminen lisää siinä etenevän aallon<br />
vaihenopeutta. Kielen pituusmassan kasvattaminen sitä vastoin pienentää vaihenopeutta.<br />
Tämä voidaan tulkita siten, että väliaineella on myös oma hitautensa, jonka<br />
kasvamisen vaikutus väliaineessa etenevän aallon vaihenopeuteen on pienentävä.<br />
Kielen pituudella ei näyttäisi olevan merkitystä aallon vaihenopeudelle. Kielen lyhentäminen<br />
siirtää kielen ominaistaajuuksia korkeammille taajuuksille, mutta taajuuden<br />
ja aallonpituuden tulo säilyy muuttumattomana, vaikka kielen pituus muuttuu.<br />
7.2. Kielen jännitysvoiman ja pituusmassan vaikutus aaltoliikkeen vaihenopeuteen<br />
Kielen jännitysvoimalla ja pituusmassalla havaittiin vaikuttavan aaltoliikkeen<br />
vaihenopeuteen jännitetyssä kielessä. On paikallaan tutkia näitä riippuvuuksia tarkemmin<br />
ja täsmentää tehtyä havaintoa.<br />
Tutkittiin tarkemmin kielen jännitysvoiman vaikutusta vaihenopeuteen.<br />
Käytettiin yhtä kieltä (keltainen, pituusmassa 2,54 0,02 g/m), jonka pituus<br />
(l = 204 cm) pidettiin vakiona. Varioitiin kielen jännitystä vaihtamalla kielen päähän<br />
erimassaisia punnuksia. Käytettiin punnuksia 500 g:n ja 1700 g:n väliltä. Aaltoliikkeen<br />
nopeus kielessä määritettiin kielen resonanssien avulla. Piirrettiin kieleen syntyneiden<br />
ominaisvärähtelyjen aaltoliikkeiden taajuudet aallonpituuksien käänteisarvojen<br />
funktiona. Tähän pistejoukkoon sovitettiin Matlabilla suora, jonka kulmakerroin<br />
on aaltoliikkeen vaihenopeus kyseisessä kielessä. Mitatut aallonpituudet, taajuudet<br />
ja (1/,f)-koordinaatistoon sovitettujen suorien kulmakertoimet ovat taulukossa<br />
7.
39<br />
Taulukko 7.<br />
Punnus 0,5 kg 0,7 kg 1 kg 1,2 kg 1,5 kg 1,7 kg<br />
resonanssit /cm f/Hz /cm f/Hz /cm f/Hz /cm f/Hz /cm f/Hz /cm f/Hz<br />
408 10,5 408 12,5 408 15,5 408 17,0 408 18,5 408 20,0<br />
206 22,0 204 26,0 200 31,0 205 34,0 206 37,0 206 39,5<br />
136 33,0 138 38,0 136 46,0 137 50,0 140 55,0 136 59,5<br />
102 44,0 102 51,0 103 61,0 102 67,5 104 73,5 102 80,0<br />
82 54,5 81 63,5 81 76,5 82,0 84,5 81,5 95,0 81,0 100<br />
68 65,0 68 77,0 67 92,0 68,0 101 68,0 113 68,0 120<br />
58 76,0 59 90,0 58 107 58,5 118 58,5 132 58,5 140<br />
51 87,0 50 103, 51,5 123 51,0 134 51,0 150 51,0 160<br />
45 98,0 45 115 45 138 45,5 151 45,0 168<br />
40 109 40 128 40 154<br />
37 120 37 141 37 169<br />
34 131 34 155<br />
31 143<br />
kulmakerroin 4417 cm/s 5221 cm/s 6223 cm/s 6858 cm/s 7637 cm/s 8177 cm/s<br />
Piirretään näin saadut aaltoliikkeiden vaihenopeudet kielen jännitysvoiman<br />
neliöjuuren funktiona, kuva 28, ja sovitetaan tähän pistejoukkoon suora.<br />
aaltoliikkeen vaihenopeuden riippuvuus kielen jännityksestä<br />
Kielen jännitysvoiman neliöjuuri F / N<br />
Kuva 28: Aaltoliikkeen nopeuden riippuvuus kielen jännityksestä.
40<br />
Mittauspisteet osuvat hyvin origon kautta kulkevalle suoralle. Aaltoliikkeen<br />
vaihenopeus jännitetyssä kielessä on verrannollinen kielen jännitysvoiman neliöjuureen.<br />
v<br />
~ F<br />
(15)<br />
Kielen pituusmassalla havaittiin olevan vaikutusta aaltoliikkeen vaihenopeuteen<br />
kyseisessä kielessä. Kun tätä riippuvuutta täsmennetään, kielen jännitysvoima<br />
pidetään vakiona ja varioidaan kieltä (kielen pituusmassaa). Kieliä jännitettiin<br />
700 g:n punnuksilla ja niiden pituus pidettiin vakiona l = 204 cm. Kokeessa käytettiin<br />
kielisarjan kevyimpiä kieliä aina punaiseen kieleen asti. Aaltoliikkeen vaihenopeus<br />
määritettiin piirtämällä kieleen syntyneiden ominaisvärähtelyjen aaltoliikkeiden<br />
taajuudet aallonpituuksien käänteisarvojen funktiona. Tähän pistejoukkoon sovitettiin<br />
Matlabilla suora, jonka kulmakerroin on aaltoliikkeen vaihenopeus kyseisessä<br />
kielessä. Mitatut aallonpituudet, taajuudet ja (1/,f)-dataan sovitettujen suorien kulmakertoimet<br />
ovat taulukossa 8.<br />
Taulukko 8.<br />
Pituusmassa 10,613 g/m 7,634 g/m 5,196 g/m 2,535 g/m 1,164 g/m 1,03 g/m 0,67 g/m<br />
resonanssit / f/Hz / f/Hz / f/Hz / f/Hz / f/Hz / f/cm / f/Hz<br />
cm cm cm cm cm cm cm<br />
408 8,0 408 9,0 408 12,5 408 19,0 408 20,0 408 25,0<br />
210 12,0 202 16,0 204 18,0 204 26,0 206 38,0 206 40,5 206 50,0<br />
101 26,0 132 23,0 136 27,0 138 38,0 137 58,0 138 61,0 137 75,0<br />
81 33,0 101 30,5 101 36,0 102 51,0 103 76,0 103 81,0 103 99,0<br />
68 39,0 80 38,5 81 45,0 81 63,5 81,5 96,0 82 100 82,0 123<br />
57 46,0 67 45,5 67 54,0 68 77,0 68,5 114 67 121 68,0 147<br />
50 52,0 58 54,0 58 63,0 59 90,0 58,0 133 59 141 58,5 173<br />
45 58,0 50 62,0 51 71,0 50 103 51,0 151 51 161 51,0 197<br />
40 64,0 45 69,0 45 81,5 45 115 46,5 170 45,5 223<br />
37 72,0 41 78,5 41 90,5 40 128 41,5 189 41,0 249<br />
38 87,0 37 100 37 141 37,5 209 37,0 273<br />
34 109 34 155 34,0 228 34,0 300<br />
31,5 247<br />
29,0 265<br />
27,0 284<br />
25,5 304<br />
kulmakerroin 2617 cm/s 3234 cm/s 3706 cm/s 5221 cm/s 7704 cm/s 8189 cm/s 10147 cm/s<br />
Piirretään näin saadut aaltoliikkeen vaihenopeudet kielissä kielten pituusmassan<br />
käänteisarvon neliöjuuren funktiona, kuva 29. Havaitaan mittauspisteiden osuvan<br />
origon kautta kulkevalle suoralle.
41<br />
aaltoliikkeen vaihenopeuden riippuvuus kielen pituusmassasta<br />
1<br />
/<br />
m g<br />
Kuva 29.<br />
Kuvaajan perusteella aaltoliikkeen vaihenopeus jännitetyssä kielessä on<br />
kääntäen verrannollinen kielen pituusmassan neliöjuureen.<br />
v<br />
~<br />
1<br />
(16)<br />
K<br />
Vaihenopeus on verrannollinen kielen jännitysvoiman neliöjuureen ja kääntäen<br />
verrannollinen kielen pituusmassan neliöjuureen. Tämä merkitsee, että nopeus<br />
on verrannollinen niiden osamäärän neliöjuureen:<br />
v<br />
F<br />
~ <br />
(17)<br />
K<br />
Tässä vaiheessa lakia täsmennetään mahdollisen verrannollisuuskertoimen<br />
selvittämiseksi. Tutkitaessa ylläolevan verrannollisuuden molempien osapuolien yk-
42<br />
siköitä havaitaan niillä olevan sama si-järjestelmän yksikkö, m/s. Taulukossa 9 on<br />
laskettu nopeussuureen kvantifioinnissa käytetyille kielille jännitysvoiman ja pituusmassan<br />
suhteen neliöjuuri ja kielen resonanssien avulla kulmakertoimesta saatu<br />
aaltoliikkeen vaihenopeus.<br />
Taulukko 9.<br />
Kieli ja jännityspunnus<br />
F<br />
/ (m/s) v / (m/s)<br />
keltainen 1,0 kg 62,1 62,2<br />
keltainen 1,2 kg 68,1 68,5<br />
punainen 1,0 kg 30,4 31,7<br />
sininen 0,7 kg 30,5 32,3<br />
keltainen 1,5 kg 76,1 76,4<br />
musta 1,0 kg 92,0 92,0<br />
keltainen 1,7 kg 81,0 81,8<br />
Taulukosta havaitaan, että aaltoliikkeen vaihenopeus, joka osoitettiin verrannolliseksi<br />
kielen jännitysvoiman ja pituusmassan suhteen neliöjuureen on lähes jokaisella<br />
taulukon kielellä toisen merkitsevän numeron tarkkuudella sama. Tämä<br />
viittaisi siihen, että tutkitun riippuvuuden verrannollisuuskertoimen on yksi ja verrannollisuus<br />
voitaisiin kirjoittaa yhtälöksi. Tämän varmistamiseksi piirretään taulukon<br />
9 aaltoliikkeen vaihenopeus jännitysvoiman ja pituusmassan suhteen neliöjuuren<br />
funktiona, kuva 30.<br />
m<br />
Kuva 30.<br />
F<br />
<br />
/ m/s
43<br />
Pistejoukkoon sovitetun suoran kulmakerroin on 1,0. Aaltoliikkeen vaihenopeus<br />
jännitetyssä kielessä riippuu vain kielen jännityksestä ja pituusmassasta ja on<br />
niiden suhteen neliöjuuri.<br />
v<br />
F<br />
(18)<br />
K<br />
7.3. Pulssin etenemisnopeus-suureen liittäminen nopeussuureiden<br />
joukkoon<br />
Olemme saaneet kvantifioiduksi suureen, joka kuvaa aaltoliikkeen vaihenopeutta<br />
jännitetyssä kielessä. Kielen pituuden varioiminen antoi olettaa, että tämä nopeus<br />
ei riipu kielen pituudesta. Tämä suure liitettiin kielen ominaisuuksiin. Se on<br />
kuitenkin tässä vaiheessa täysin eri suure kuin etenemisliikkeen nopeus. Intuitiivisesti<br />
ajatellen suureen tulisi kuvata myös tapahtuneesta häiriöstä lähtevän signaalin<br />
etenemisnopeutta, jonka tulisi olla vakio riippumatta kielen pituudesta ja sen tulisi<br />
riippua ainoastaan kielen jännityksestä ja pituusmassasta.<br />
Kvantifioivassa kokeessa esiintyvä nopeuden idea sisältyy siihen, että vakionopeudella<br />
etenevä häiriö saa kielen seisovaan aaltoliikkeeseen sen ominaistaajuudella.<br />
Häiriöt ovat kuitenkin amplitudiltaan pieniä ja etenevät niin nopeasti, ettei<br />
niistä voi tehdä kunnon näköhavaintoa. Valoportit ja impulssilaskuri kykenevät kuitenkin<br />
havaitsemaan tämän pulssin etenemisen. Aaltoliikkeen pulssin etenemisnopeuden<br />
mittaaminen voidaan todentaa seuraavan koejärjestelyn avulla, joka on alunperin<br />
raportoitu lähteessä [9].<br />
Käytetään kielelle samanlaista ripustus- ja jännitysmekanismia kuin aikaisemminkin.<br />
Asetetaan valoportit kielen alapuolelle ja asetetaan ne mittaamaan aikaa<br />
siten, että ensimmäisen valoportin sulkeutuminen käynnistää kellon ja toisen valoportin<br />
sulkeutuminen pysäyttää sen. Kokeessa käytettiin Impo counter MC24- impulssilaskuria<br />
valoportteineen. Kun kielessä etenevä häiriöpulssi saapuu valoportin<br />
kohdalle, kieli katkaisee valonsäteen. Varioidaan valoporttien välimatkaa ja aiheutetaan<br />
kielen tasapainoasemaan häiriö näpäyttämällä kieltä terävästi, mutta ei liian<br />
lujasti.<br />
Esimerkkimittauksessa käytettiin sinistä kieltä. Se oli tarpeeksi paksu ja se<br />
katkaisi valoportin valonsäteen ilman lisäpaksunnoksia tai kieleen liitettäviä lappuja.<br />
Mittaustarkkuuden parantamiseksi portin valonsäde asetettiin siten, että lepotilassa<br />
kielen varjo osui juuri valoportin valotransistorin yläpuolelle ja varmistuttiin siitä,<br />
että varjo osui samaan kohtaan kummassakin valoportissa aina ennen mittauksen<br />
aloittamista. Tällöin oletettavasti kielessä etenevän pulssin sama kohta aina katkaisi<br />
valoportin valonsäteen kummassakin portissa. Piirretään valoporttien välimatka niiden<br />
mittaamien aikaerojen funktiona. Kuvaja esimerkkimittauksesta on kuvassa 31.
44<br />
Kuva 31: Pulssin etenemismatka ajan funktiona.<br />
Kuvasta 31 havaitaan, että pulssin kulkema matka on verrannollinen kulutettuun<br />
aikaan. Sovitetaan mittauspisteisiin suora ja määritetään pulssin etenemisnopeus<br />
tämän suoran kulmakertoimena. Jännitetyssä kielessä on todellakin kielelle<br />
ominainen pulssin etenemisnopeus, joka on vakio riippumatta tarkasteltavan kielen<br />
osan pituudesta, mikäli kielen on jännitys ja pituusmassa ovat vakioita. Siniselle<br />
kielelle (pituus 2,50 m, pituusmassa 7,36 g/m), jota kuormitettiin 700 g:n punnuksilla<br />
saatiin pulssin etenemisnopeudeksi 30000 cm/s = 30 m/s. Tämä nopeus on kuitenkin<br />
pienempi kuin aaltoliikkeen vaihenopeus määritettynä kielen resonanssin<br />
avulla, joka oli 32 m/s. Tulos on kuitenkin oleellisesti samaa suuruusluokkaa. Varioimalla<br />
kieltä ja jännitystä saatiin aina systemaattisesti hieman pienempiä nopeuksia<br />
kuin resonanssimenetelmällä. Tämä systemaattisesti pienempi nopeus voi johtua<br />
etenevän pulssin madaltumisesta. Tämä kuitenkin antaa pienen viitteen siitä, että väliaineessa<br />
etenevän häiriöpulssin etenemisnopeus ei olisi yhtä suuri kuin väliaineessa<br />
etenevän aallon vaihenopeus.<br />
7.4. Vaihenopeuden yleistäminen dispersiorelaatioksi<br />
Jännitetty kieli on aaltoliikkeen kannalta erityisasemassa, koska siinä esiintyvien<br />
aaltoliikkeiden nopeudet ovat riippumattomia taajuudesta ainakin riittävän pienillä<br />
taajuuksilla (14). Tämä invarianssi ei kuitenkaan ole yleistettävissä kaikkiin<br />
aaltoliikkeisiin. Teoreettinen tarkastelu, joka johtaa tähän lopputulokseen tarvitsee<br />
seuraavat keskeiset oletukset. Väliaineen (kielen) pituusmassan on oltava vakio. Väliaineen<br />
värähtelyjen on oltava pieniä. Tällöin jokainen kielen alkio siirtyy vain värähtelyn<br />
suunnassa kohtisuoraan kielen määräämää suuntaa vastaan. Tämä loivan
45<br />
aallon approksimaatio sisältää myös ominaisvärähtelyjen kannalta välttämättömän<br />
idealisoinnin. Kielen jännitysvoima on sen jokaisessa pisteessä verrannollinen kielen<br />
suhteelliseen venymään. Kieleltä tämä edellyttää sen olevan äärimmäisen taipuisa.<br />
[4 s.50 - 56] Nyt yritetäänkin etsiä idealisoitua lakia noudattamattomia värähteleviä<br />
systeemejä.<br />
Ensimmäiseksi kokeiltiin venytettyä vaatetusteollisuudessa käytettävää kuminauhaa<br />
mallia Inka. Sitä venytettiin 500 g:n ja 700 g:n punnuksilla. Tällöin venyttämättömänä<br />
205 cm pitkä nauha venyi 310 cm:n ja 351 cm:n pituiseksi. Sen<br />
ominaisvärähtelyt esiintyivät kuitenkin tarkasti perustaajuuden kerrannaisina, joten<br />
aaltoliikkeen vaihenopeus kyseisessä kuminauhassa oli vakio. Ominaisvärähtelyjen<br />
muodot olivat jopa selkeämmin havaittavissa kuin metallisia kieliä käytettäessä, joten<br />
kyseinen kuminauha on hyvä ja näkyvä väline luentodemonstraatioon tältä osaalueelta.<br />
Aaltoliikkeen vaihenopeus oli silmukalle ominainen vakio näin pienillä venymillä.<br />
Värähtelijän lisävarusteena myydään ympyrän muotoista halkaisijaltaan<br />
24 cm metallilankasilmukkaa. Pascon luettelon [12 s.119] mukaan se on tarkoitettu<br />
demonstroimaan Bohrin atomimallin mukaisia elektronin stationaarisia ratoja atomiytimen<br />
ympärillä. Tämä on kuitenkin fysikaalisesti täysin väärä kiinnitys. Bohrin<br />
atomimalli on hiukkas- ei aaltomalli. Nyt kuitenkin rajoitutaan käsittelemään silmukkaa<br />
värähtelevänä systeeminä.<br />
Silmukka asetettiin värähtelijään pystyyn, kuva 32. Säädettiin värähtelijään<br />
syötettävän signaalin taajuutta ja tarkkailtiin silmukan värähtelyä etsien näin silmukan<br />
ominaistaajuuksia.<br />
Silmukan ja värähtelijän liitoskohtaan syntyi aina värähtelijän solmukohta.<br />
Värähtely, jossa olisi parillinen määrä solmuja ei tällöin voi olla näin kiinnitetyn<br />
silmukan ominaisvärähtely. Tämä selittyy helposti tulkittaessa silmukan ominaisvärähtelyt<br />
silmukassa eteneväksi aaltoliikkeeksi. Sellaisilla ominaisvärähtelyillä, joilla<br />
olisi parillinen määrä solmuja, liitoskohdasta molempiin suuntiin etenevät aallot interferoisivat<br />
destruktiivisesti kohdatessaan, kuvan 32 suurennos.<br />
Kuva 32.<br />
Ympyrän muotoinen metallisilmukka on väliaineena jäykkä ja sen ei pitäisi<br />
täyttää vaatimusta äärimmäisestä taipuisuudesta. Silmukan ominaisvärähtelyt tulkitaan<br />
seisoviksi aalloiksi. Tällöin silmukkaan syntyvien aaltojen aallonpituus on<br />
kääntäen verrannollinen solmukohtien määrään.
46<br />
Tarkasti aallonpituus on :<br />
2L<br />
n<br />
(19)<br />
, jossa n on solmujen lukumäärä ja L silmukan kehän pituus.<br />
Silmukan halkaisijan pituus oli 24,0 cm, joten silmukan kehän pituus on<br />
75,4 cm. Taulukossa 10 on mitatut silmukan ominaistaajuudet ja jokaisella taajuudella<br />
silmukassa esiintyvien solmukohtien lukumäärä.<br />
Taulukko 10.<br />
Taajuus f /(Hz) 19 71 148 250 379 527 700<br />
Solmuja 3 5 7 9 11 13 15<br />
aallonpituus<br />
/ m<br />
0,503 0,302 0,215 0,168 0,137 0,116 0,100<br />
Jotta päästään tarkastelemaan aaltoliikkeen vaihenopeuden riippuvuutta silmukan<br />
ominaisvärähtelyjen taajuudesta piirretään silmukan ominaistaajuudet silmukassa<br />
olevan aaltoliikkeen aallonpituuden käänteisarvon funktiona, kuva 33.<br />
1/ / 1/m<br />
Kuva 33.<br />
Kuvasta 33 havaitaan, että pisteet eivät osu suoralle. Tässä silmukassa aaltoliikkeen<br />
vaihenopeus riippuu aallonpituudesta ja kasvaa siirryttäessä kohti korkeam-
47<br />
pia taajuuksia. Vaihenopeus ei täten ole pelkästään silmukalle ja sen tilalle ominainen<br />
suure, vaan sen tuntemiseksi edellytetään tietoa myös silmukassa etenevän aallon<br />
aallonpituudesta.<br />
Aaltoliikkeen vaihenopeus yleistyy näin vakioisesta suureesta dispersiorelaatioksi,<br />
joka kertoo miten vaihenopeus riippuu taajuudesta. Jännitetyllä kielellä ja<br />
kuminauhalla tämä riippuvuus oli yksinkertaisin mahdollinen, vaihenopeus oli taajuudesta<br />
riippumaton ainoastaan väliaineen tilasta riippuva suure. Tällaisessa väliaineessa<br />
dispersiorelaation sanotaan olevan lineaarinen ja väliaine luokitellaan eidispersiiviseksi.<br />
Väliaineet, joissa vaihenopeus riippuu taajuudesta luokitellaan dispersiivisiksi<br />
väliaineiksi.<br />
Tätä riippuvuutta voidaan tutkia tarkemmin. Pistejoukkoon, kuva 33, on sovitettu<br />
niiden kautta mahdollisimman hyvin kulkeva käyrä, joka tässä tapauksessa on<br />
paraabeli. Tämä käyrä kuvaa jokaisessa pisteessään aaltoliikkeen taajuuden ja aallonpituuden<br />
käänteisarvon suhdetta ja on aaltoliikkeen dispersiorelaatio kyseisessä<br />
silmukassa. Tämä suhde pelkistyy aaltoliikkeen vaihenopeudeksi, nopeudeksi jolla<br />
aallonharjat etenevät. Tähän ei tarvita muuta oletusta kuin se, että yksi värähtely<br />
synnyttää yhden aallon. Tässä tapauksessa tämän havainnoiminen on mahdotonta,<br />
koska silmukan värähtelyjen taajuus on suuri.<br />
7.5. Pitkittäinen aaltoliike jousessa<br />
Värähtelijän lisävarusteisiin kuuluu lepotilassa 105 mm<br />
pitkä löysähkö jousi Pasco lognitudal Wave Spring Model WA-<br />
9401 [12 s.118], jolla on tarkoitettu demonstroimaan pitkittäistä<br />
aaltoliikettä jännitetyssä jousessa. Jousi kiinnitetään yläosastaan<br />
statiiviin, alaosa liitetään värähtelijän sauvaan. Jousen pituutta on<br />
helppo varioida säätämällä yläpään ripustuksen korkeutta, kuva<br />
34. Värähtelijään syötettiin sinimuotoista vaihtojännitettä Signaali<br />
Oy:n signaaligeneraattorista malli OFG-101.<br />
Venytetään jousi 50 cm:n pituuteen. Muutetaan värähtelijään<br />
syötettävän signaalin taajuutta. Jousi joutuu resonanssiin<br />
värähtelijän kanssa ensimmäisen kerran 3 Hz:n taajuudella. Tällöin<br />
koko jousi värähtelee tahdissa. Kun taajuutta suurennetaan,<br />
jouseen muodostuu seisova aaltoliike aina kun taajuutta lisätään<br />
3 Hz:n välein. Tällöin jousen kierteissä on selvästi havaittavia Kuva 34.<br />
solmukohtia, jotka pysyvät paikallaan. Kupukohdat sen sijaan<br />
värähtelevät selvästi. Korkeammilla taajuuksilla kielen solmukohdat<br />
piirtyvät terävinä paikallaan olevina kierteinä ja kupukohdat sumentuvat.<br />
Silmä ei kykene seuraamaan jousen nopeaa liikettä. Pitkittäinen aaltoliike muodostaa<br />
samanlaisen seisovan aaltoliikkeen kuin poikittainen aaltoliike jännitetyssä kielessä.<br />
Väliaineen osasten liikkeen suunta on vain erilainen. Puhutaan aaltoliikkeen polarisaatiosta.<br />
Tässä tapauksessa polarisaatiosuunta on väliaineen (jousen) suuntainen.
48<br />
Jouseen muodostuvien<br />
solmukohtien välimatkat eivät ole<br />
samanpituisia kaikkialla jousessa.<br />
Jousessa olevan seisovan aaltoliikkeen<br />
aallonpituus pitenee selvästi<br />
jousen yläpäätä kohti siirryttäessä.<br />
Tämä nähdään kuvassa<br />
35. Kun taajuus on koko ajan<br />
systeemissä säilyvä pakkovärähtelyn<br />
taajuuden määräämä ominaisuus,<br />
täytyy jousessa etenevän<br />
aallon vaihenopeuden muuttua<br />
paikan funktiona. Tämä johtuu<br />
jousen jännitystilan epähomogeenisuudesta.<br />
Jousen yläpää on voimakkaammassa<br />
jännitystilassa<br />
kuin jousen alapää, koska jousen<br />
alapään paino venyttää jousen<br />
yläpäätä ulkoisen venytyksen lisäksi.<br />
Väliaineen jännityksen kasvaessa<br />
aaltoliikkeen vaihenopeus<br />
kasvaa (#7.2). Tämä ilmiö on helpoimmin<br />
havaittavissa kun jousen<br />
venymät ovat tarpeeksi pieniä,<br />
noin 40 cm. Jousen ominaistaajuudet<br />
esiintyivät tällä mitaustarkkuudella<br />
erittäin tarkasti perusvärähtelyn<br />
taajuuden kerrannaisina.<br />
Kuvassa 36 on piirretty jousen<br />
ominaistaajuudet jousen keskellä<br />
olevien solmukohtien lukumäärän<br />
funktiona.<br />
Kuva 35: Pitkittäinen aaltoliike jousessa.
49<br />
Kuva 36.<br />
Ominaistaajuudet esiintyivät perustaajuuden harmonisina kerrannaisina. Kuvan<br />
perusteella voidaan sanoa, että jousessa etenevän pitkittäisen aaltoliikkeen vaihenopeus<br />
ei riipu taajuudesta tutkitulla taajuusalueella. Vaihenopeus on aineen tilalle<br />
ominainen suure, joka ei kuitenkaan pysynyt vakiona tarkastetussa systeemissä. Verrattaessa<br />
pitkittäisen aaltoliikkeen etenemistä jousessa jännitetyissä kielissä etenevään<br />
aaltoliikkeeseen, puretaan samalla aineen tilan homogeenisuudelle tehty keskeinen<br />
idealisointi. Jousen tapauksessa jännitystila ei ole koko jouselle ominainen<br />
vakio.
50<br />
8. Johtopäätökset<br />
Värähdysliikkeen kvantitatiiviseen kuvaamiseen tarvittavat käsitteet luotiin<br />
yksinkertaisella jousi-punnus-systeemillä. Tämä käsitteistäminen on värähtelyjen<br />
käsitteistön luomisessa perushahmottavaa empiriaa, jossa käsitteistetään ilmiötä jo<br />
tunnettujen suureiden, aika, paikka, välimatka avulla. Käsitteet ovat helposti ymmärrettävissä<br />
esitetyn perusteella.<br />
Samalla pelkistetyllä systeemillä muodostettiin systeemin ominaisvärähtelyn<br />
käsite systeemille ominaisena vapausasteena. Ominaisvärähtelyyn liitettiin sille ominainen<br />
taajuus, joka on systeemin ominaistaajuus. Systeemi, jolla on vain yksi vapausaste<br />
ei johda käsitteenmuodostuksessa kovinkaan pitkälle. Tarvitaan myös muita<br />
systeemejä vahvistamaan tätä käsitystä.<br />
Ominaistaajuuden olemassaolon yhteys mekaniikkaan avautui voiman lain<br />
kautta. Tehty demonstraatio osoittaa millä edellytyksillä systeemillä on ominaistaajuuksia.<br />
Ominaistaajuuden olemassaolo avaa mahdollisuuden tutkia värähtelevien<br />
systeemien ominaisvärähtelyjä sähkömekaanisella värähtelijällä. Tähän nojautuen<br />
testattiin useita erilaisia värähteleviä systeemejä. Systeemien erilaiset ominaisvärähtelyt<br />
saatiin näkymään selvästi käytetyillä laitteilla. Värähtelijän käyttäminen jousipunnussysteemin<br />
värähtelyjen lähteenä liitti vapausasteen käsitteen tiukemmin systeemin<br />
ominaisvärähtelyihin ja vapausasteiden määrä liitettiin itse systeemiin. Värähtelevän<br />
kielen ominaisvärähtelyjä tutkittaessa saatiin määritettyä laki ominaisvärähtelyjen<br />
taajuuksille ja osoitetuksi taajuuden olevan kääntäen verrannollinen kielen<br />
pituuteen. Samalla saatiin käsitteistettyä reunaehto värähtelevän systeemin käyttäytymiseen<br />
vaikuttavana tekijänä. Jännitetyn kielen ominaisvärähtelyt ovat muodoltaan<br />
erilaisia ja esiintyvät eri taajuuksilla riippuen siitä miten se on kiinnitetty. Ominaisvärähtelyjen<br />
käsitettä yleistettiin myös muihin homogeenisiin systeemeihin, veden<br />
pinnan värähtelyihin ja kimmoisten levyjen värähtelyihin.<br />
Sunniteltu kokonaisuus toteutti ominaisvärähtelyjen ja -taajuuden käsitteiden<br />
osalta asetetut tavoitteet. Yhdistäminen mekaniikkaan tasapainoasemaan palauttavan<br />
voiman lain kautta antaa mahdollisuuden tulkita värähtelyjä koko mekaniikan teorian<br />
pohjalta. Suurimmat vaikeudet käsitteellisten tavoitteiden saavuttamiseksi olivat<br />
teknisiä. Värähtelijän taajuuden tarkka säätäminen oli vaikeaa. Vedenpinnan ominaisvärähtelyjen<br />
tutkiminen sen avulla osoittautui mahdottomaksi. Tietokoneen<br />
avulla toteutettava taajuuden säätö toisi avun tähän ongelmaan.<br />
Ominaisvärähtelyjen tulkinta seisovaksi aaltoliikkeeksi ohjasi tutkimaan<br />
taajuuden riippuvuutta aallonpituudesta. Tämä riippuvuus kvantifioi uuden suureen,<br />
joka on tulkittavissa aaltoliikkeen vaihenopeudeksi. Tämä suure osoittautui jännitetyn<br />
kielen tapauksessa olevan kielen tilalle ominainen vakio. Se kytkettiin kielen<br />
ominaisuuksiin, jännitykseen ja pituusmassaan. Jännitetyn kielen tapauksessa dispersiorelaatio<br />
oli lineaarinen. Vaihenopeus ei riippunut taajuudesta. Vaihenopeuden<br />
yleistäminen väliaineelle ominaisesta vakioisesta suureesta taajuudesta riippuvaksi<br />
dispersiorelaatioksi tapahtui jäykällä metallisilmukalla toteutetulla koejärjestelyllä.<br />
Silmukan ominaistaajuudet siirtyivät suuremmille taajuuksille kuin mitä perustaajuuden<br />
harmoniset kerrannaiset edellyttäisivät. Tämä kertoo vaihenopeuden riippuvan<br />
taajuudesta.<br />
Dispersiorelaation osalta suunniteltu ja toteutettu demonstraatiokokonaisuus<br />
täytti sille asetetut tavoitteet. Vaihenopeus saatiin yleistettyä dispersiorelaatioksi.
Ryhmänopeuden käsitteen liittäminen tähän dispersiorelaatioon sille piirretyn tangentin<br />
kulmakertoimena olisi ollut puhtaasti teoreettinen liitos vailla empiiristä<br />
pohjaa. Tämän vuoksi sitä ei otettu esille.<br />
Sähkömekaaninen värähtelijä oli tärkeä ja käyttökelpoinen väline erityisesti<br />
kokonaisuuden kvantitatiivisia mittauksia tehtäessä.<br />
Suunniteltu demonstraatiokokonaisuus antaa mielekkään ja havainnollisen<br />
lähtökohdan värähdysliikkeen dynamiikan ja ominaisvärähtelyjen opetukseen. Kaikki<br />
käsitteelliset tavoitteet saatiin toteutettua lähestymistavan mukaisesti suunniteltujen<br />
demonstraatioiden ja käytettävissä olleiden välineiden avulla.<br />
51
52<br />
Viitteet<br />
[1] Andersson S., Hämäläinen A., Kurki-Suonio K.(1987)<br />
Demonstraatiot fysiikan käsitteenmuodostuksen tukena. Hidas massa.<br />
Report Series in Physics HU-P-A70, Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos, Helsinki<br />
[2] Anon. (1990),<br />
Variable Frequency Mechanical Wave Driver, Instruction Sheet for the PASCO<br />
Model SF-9324, PASCO Scientific, Roseville CA<br />
[3] Anon (1990),<br />
Vibrating Wire Set, Instruction Sheet for the PASCO Model WA-9608,<br />
PASCO Scientific, Roseville CA<br />
[4] Crawford, Frank S. Jr. 1968<br />
Waves, Berkley physics course-volume 3., McGraw-Hill, NY<br />
[5] Eggert, Jon H. (1997)<br />
One-dimensional lattice dynamics with periodic boundary conditions:An analog<br />
demonstration<br />
Am. J. Phys., 65 February 1997 s.108 - 116<br />
[6] French, A.P., 1971<br />
Vibrations and Waves W. W. Norton & Co, NY<br />
[7] NTL-International, Physik Chemie Hauptkatalog PC0193,<br />
NTL International, Wien<br />
[8] Kashy, E., Johnson, D. A., McIntyre, J., Wolfe, S. L.(1997)<br />
Transverse standing waves in a string with free ends<br />
Am.J.Phys., 65 April 1997 s.310 - 313<br />
[9] Kirwan, Donald F.(1975)<br />
Direct measurement of transverse wave speed on a stretched string<br />
Am.J.Phys., 43 July 1975 s.651 - 652<br />
[10] Kurki-Suonio, Kaarle ja Riitta 1994<br />
Aaltoliikkeestä dualismiin, Limes ry, Helsinki<br />
[11] Kurki-Suonio, Kaarle ja Riitta 1994<br />
Fysiikan merkitykset ja rakenteet, Limes ry, Helsinki<br />
[12] Pasco Scientific 1997/1998 Physics Experiments, Apparatus and Computer Interfaces<br />
Tuoteluettelo Pasco Scientific, California, U.S.A
53<br />
[13] Rossing, Thomas D. 1982<br />
Chladni’s Law for vibrating plates<br />
Am. J. Phys. 50 March 1982 s. 271-274<br />
[14] Rossing, Thomas D., Fletcher, Neville H. 1995<br />
Principles of vibration and sound, Springer-Verlag, New York<br />
[15] SF 1996, Science Equipment for Education Physics,<br />
[16] Vernier Software 1997 Catalog Science Hardware and Software Tuote-esite,<br />
Ed.USAinc, P.O. Box 510224, Punta Gorda, FL 33951-0224, U.S.A.
Change language