jtiili.pdf, 1797 kB
jtiili.pdf, 1797 kB
jtiili.pdf, 1797 kB
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Pro gradu - tutkielma<br />
MEKAANISET VÄRÄHTELIJÄT KOKEELLISEN<br />
OPETUKSEN VÄLINEINÄ<br />
Juho Tiili<br />
1997<br />
Ohjaaja:<br />
Tarkastajat:<br />
Prof. Kaarle Kurki-Suonio<br />
Prof. Kaarle Kurki-Suonio<br />
Dos. Heimo Saarikko<br />
HELSINGIN YLIOPISTO<br />
FYSIIKAN LAITOS<br />
PL 9 (Siltavuorenpenger 20 D)<br />
00014 Helsingin yliopisto
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET<br />
Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion<br />
Laitos Institution<br />
Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Fysiikan laitos<br />
Tekijä Författare<br />
Tiili, Juho Antti<br />
Työn nimi Arbetets titel<br />
Mekaaniset värähtelijät kokeellisen opetuksen välineinä<br />
Oppiaine Läroämne<br />
Fysiikan opettajan sv<br />
Työn laji Arbetets art<br />
Pro gradu<br />
Tiivistelmä Referat<br />
Aika Datum<br />
14.11.1997<br />
Sivumäärä Sidoantal<br />
53<br />
Hahmottava lähestymistapa on fysiikan opetuksen lähestymistapa, joka perustuu merkityksiä<br />
luovan kokeellisuuden käyttöön fysiikan opetuksessa. Sen mukaan fysiikan käsitteet ja<br />
lait eivät ole ainoastaan suureiden algebrallisia relaatioita vaan käsitteet on liitettävä niiden<br />
fysikaaliseen merkitykseen. Käsitteiden merkitykset täytyy tuntea ennen itse käsitteitä.<br />
Tutkimuksessa suunnitellaan ja toteutetaan demonstraatiokokonaisuus, jossa lähestytään<br />
mekaanisiin värähtelyihin liittyviä käsitteitä hahmottavan lähestymistavan mukaisesti. Samalla<br />
tutustutaan sähkömekaanisen värähtelijän käyttöön värähtelyihin ja aaltoliikkeeseen<br />
liittyvien demonstraatioiden välineenä.<br />
Värähdysliikkeen kvantitatiiviseen kuvaamiseen liittyvä käsitteistö luodaan yksinkertaisella<br />
jousi-punnussysteemillä. Samalla systeemillä luodaan myös ominaisvärähtelyjen ja ominaistaajuuden<br />
käsitteet systeemille ominaisina itsenäisinä liikkeen vapausasteina. Ominaistaajuuden<br />
olemassaolon yhteys systeemin sisäiseen dynamiikkaan löydetään värähtelevän<br />
systeemin tasapainoasemaan palauttavan voiman kautta ja näin saadaan esiin ominaistaajuuden<br />
olemassaolon yhteys mekaniikkaan.<br />
Sähkömekaanisen värähtelijän avulla tutkitaan erilaisten systeemien ominaisvärähtelyjä.<br />
Tutkimuksen kohteena ovat jousi-punnussysteemien ominaisvärähtelyt, jännitetyn kielen<br />
ominaisvärähtelyt suljetuilla ja avoimilla reunaehdoilla, sekä vedenpinnan ja kimmoisten levyjen<br />
ominaisvärähtelyt.<br />
Käsitteenmuodostus ulotettiin myös aaltoliikkeen käsitteistöön. Tulkitsemalla jännitetyn kielen<br />
ominaisvärähtelyt seisovaksi aaltoliikkeeksi saadaan esitettyä laki aaltoliikkeen vaihenopeuden<br />
riippuvuudelle taajuudesta. Tämä riippuvuus, aaltoliikkeen dispersiorelaatio, on jännitetyn<br />
kielen tapauksessa lineaarinen. Vaihenopeus on taajuudesta riippumaton ja riippuu<br />
ainoastaan väliaineen, kielen, jännitystilasta ja pituusmassasta. Dispersiorelaatio yleistetään<br />
epälineaariseksi tutkimalla aaltoliikettä jäykässä metallisilmukassa. Tässä systeemissä aaltoliikkeen<br />
vaihenopeus kasvaa siirryttäessä kohti suurempia taajuuksia.<br />
Avainsanat - Nyckelord<br />
hahmottava lähestymistapa, dispersiorelaatio, demonstraatio, ominaisvärähtely<br />
Säilytyspaikka - Förvaringställe<br />
Muita tietoja
Sisältö<br />
1. JOHDANTO .....................................................................................................................................1<br />
2. FYSIIKAN KÄSITTEENMUODOSTUS JA HAHMOTTAVA LÄHESTYMISTAPA ............2<br />
2.1. FYSIIKAN KÄSITTEENMUODOSTUS ................................................................................................2<br />
2.2. FYSIIKAN KÄSITTEELLINEN RAKENNE ...........................................................................................3<br />
2.3. SUUREET PROSESSEINA ................................................................................................................5<br />
2.4. HAHMOTTAVA LÄHESTYMISTAPA.................................................................................................7<br />
3. KÄSITTEELLISET TAVOITTEET ..............................................................................................8<br />
4. VÄRÄHTELIJÄ...............................................................................................................................9<br />
5. VÄRÄHDYSLIIKKEEN HAHMOTTAVA KOKEELLISUUS ................................................14<br />
5.1. VÄRÄHDYSLIIKKEEN KÄSITTEISTÄMINEN ...................................................................................14<br />
5.2. OMINAISVÄRÄHTELY JA SEN OLEMASSAOLON YHTEYS SYSTEEMIN DYNAMIIKKAAN ..................15<br />
5.3. RESONANSSI...............................................................................................................................19<br />
6. ERILAISTEN SYSTEEMIEN OMINAISVÄRÄHTELYJÄ......................................................21<br />
6.1. JOUSI-PUNNUSSYSTEEMIEN OMINAISVÄRÄHTELYT .....................................................................21<br />
6.2. JÄNNITETYN KIELEN OMINAISVÄRÄHTELYT................................................................................22<br />
6.2.1. Koelaitteisto........................................................................................................................22<br />
6.2.2. Kielet ..................................................................................................................................23<br />
6.2.3. Päistä kiinnitettyjen kielten ominaisvärähtelyt...................................................................24<br />
6.2.4. Kielen pituuden vaikutus ominaisvärähtelyihin..................................................................25<br />
6.2.5. Toisesta tai molemmista päistä vapaan kielen ominaisvärähtelyt......................................26<br />
6.3. VEDENPINNAN OMINAISVÄRÄHTELYT ........................................................................................30<br />
6.4. CHLADNIN LEVYT - OHUEN TERÄSLEVYN OMINAISVÄRÄHTELYT................................................31<br />
7. DISPERSIORELAATIO ...............................................................................................................36<br />
7.1. OMINAISVÄRÄHTELYJEN TULKINTA SEISOVAKSI AALTOLIIKKEEKSI ............................................36<br />
7.2. KIELEN JÄNNITYSVOIMAN JA PITUUSMASSAN VAIKUTUS AALTOLIIKKEEN VAIHENOPEUTEEN .....38<br />
7.3. PULSSIN ETENEMISNOPEUS-SUUREEN LIITTÄMINEN NOPEUSSUUREIDEN JOUKKOON ...................43<br />
7.4. VAIHENOPEUDEN YLEISTÄMINEN DISPERSIORELAATIOKSI ..........................................................44<br />
7.5. PITKITTÄINEN AALTOLIIKE JOUSESSA..........................................................................................47<br />
8. JOHTOPÄÄTÖKSET ...................................................................................................................50<br />
VIITTEET...........................................................................................................................................52
1<br />
1. Johdanto<br />
Helsingin yliopiston fysiikan laitoksen didaktisen fysiikan osastolla tehtävä<br />
tutkimus keskittyy tutkimaan fysiikan tiedollis-käsitteellistä ja metodisprosessuaalista<br />
rakennetta ja sen merkitystä fysiikan opettamiselle. Näiden rakenteiden<br />
tuntemuksen avulla pyritään arvioimaan ja kehittämään fysiikan opetusta Suomen<br />
koululaitoksessa.<br />
Kokeellisuus kuuluu fysiikan opettamiseen jo metodis-prosessuaalisista<br />
syistä. Kokeiden tekeminen opetustilanteessa vain sen vuoksi, että fysiikka on kokeellinen<br />
luonnontiede, ei kuitenkaan ole fysiikan käsitteenmuodostuksen, oppimisen,<br />
kannalta kovinkaan avartavaa. Samoin “motivoiva demo” eli temppu, johon annetaan<br />
luontevalta ja opettajan mielestä fysikaaliselta kuulostava selitys, ei usein<br />
auta ymmärtämään liidulla hätäisesti taululle kirjoitettua kaavaa, palaa fysiikan kauniista<br />
teoriasta, joka jalostuu näin täysin vailla merkitystä olevaksi tyhjäksi lauseeksi.<br />
Pahimmassa tapauksessa tämä kaava pitää osata kokeessa ulkoa.<br />
Kokeellisuus voidaan kuitenkin valjastaa ei ainoastaan auttamaan vaan olemaan<br />
oleellisin osa fysiikan käsitteenmuodostusprosessia. Tämä edellyttää opetuksen<br />
kokeellisuudelta tietoista pyrkimystä merkityksiä luovaan kokeellisuuteen, jossa<br />
kokeellisuuden tavoitteena on fysiikan käsitteellisten tavoitteiden omaksuminen.<br />
Tämä käsitteenmuodostusprosessi luo fysikaalisen tiedon osaksi oppijan tietorakennetta<br />
samoja periaatteita käyttäen kuin se on luotu aikanaan osaksi fysiikan tietorakennetta.<br />
Prosessin ohjaaminen edellyttää fysiikan tiedollis-käsitteellisen rakenteen<br />
tuntemista ja laajapohjaista demonstraatiovälineiden käyttötaitoa, joka ei rajoitu ainoastaan<br />
kokeiden mekaaniseen tekemiseen. Hyödyllisin kysymys jonka fysiikan<br />
opetustehtävissä oleva henkilö voi itselleen tehdä kuuluu: “miksi minä teen tämän<br />
kokeen/demonstraation?”<br />
Opetuksen lähestymistapaa, joka nojautuu merkityksiä luovaan kokeellisuuteen<br />
käsitteellisten tavoitteiden omaksumiseksi on alettu kutsua Helsingin yliopiston<br />
fysiikan laitoksen didaktisen fysiikan osastolla hahmottavaksi lähestymistavaksi.<br />
Hahmo tässä nimityksessä viittaa fysiikan käsitteen syntyyn hahmona, jonka merkitys<br />
ja kiinnitys kehittyy, abstrahoituu ja yleistyy käsitteenmuodostusprosessin edetessä.<br />
Tämän tutkimuksen tavoitteena on osittain laitteistolähtöisesti selvittää mekaanisen<br />
värähtelijän käyttömahdollisuudet fysikaalisen käsitteenmuodostuksen tukena.<br />
Samalla luodaan hahmottavan lähestymistavan keinoin mekaanisiin värähtelyihin<br />
liittyvä fysikaalinen käsitteistö.
2<br />
2. Fysiikan käsitteenmuodostus ja hahmottava lähestymistapa<br />
Tämä luku perustuu lähteeseen [11], ellei toisin mainita.<br />
2.1. Fysiikan käsitteenmuodostus<br />
Fysiikan käsitteenmuodostus on tieteellinen prosessi, joka pyrkimyksenä on<br />
luonnossa tapahtuvien tahdosta riippumattomien ilmiöiden selittäminen luonnontieteellistä<br />
metodia käyttäen samojen yleisten peruslakien avulla. Lähtökohtana on<br />
luonto ja tavoitteena luoda sen käyttäytymistä kuvaava yhtenäinen teoria, joka tarjoaa<br />
selitysperustan kaikille tahdosta riippumattomille luonnonilmiöille. Fysiikan oppimisen<br />
prosessi on oleellisesti samanlainen. Tieto luodaan nyt vain osaksi oppijan<br />
tietorakennetta samalla tavoin kuin se on luotu fysiikan tietorakenteeksi.<br />
Käsitteenmuodostuksen kannalta ei ole olemassa puhtaasti kokeellisia tai<br />
puhtaasti teoreettisia fysiikan käsitteitä. Uuden fysiikan käsitteen syntyyn tarvitaan<br />
empirian ja teorian keskinäistä vuorovaikutusta. Puhutaan empirian ja teorian yhdistävästä<br />
dualismista. Kaikki fysiikan käsitteet syntyvät hahmoina, joiden merkitys<br />
kehittyy sekä empirian että teorian avulla.<br />
Empiriaa ovat havainnot ja mittaukset. Pelkkä mittaaminen ei kuitenkaan tee<br />
fysiikasta tiedettä ja edistä tieteellistä käsitteenmuodostusta. Käsitteet ovat teorian<br />
peruselementtejä. Fysiikan teoria liittää olioiden ominaisuuksia kuvaavat suureet laeiksi<br />
ja kokoaa ilmiöspesifiset peruslait yhdeksi fysiikan kunkin osa-alueen perusteoriaksi,<br />
jotka yhdessä muodostavat fysiikan teoreettisen tietorakenteen. Pelkkä teoria<br />
ilman kokeellista todistusaineistoa on kuitenkin merkityksetön. Nämä kaksi elementtiä,<br />
empiria ja teoria tarvitsevat kiinteästi toisiaan. Fysiikan tieto muodostuu<br />
empirian ja teorian yhteistyöstä. “Toinen saa merkityksensä toisen kautta”. Kaikki<br />
fysiikan käsitteet ovat luonteeltaan empiiris-teoreettisia. Täten tiukka jako teoreettiseen<br />
fysiikkaan ja kokeelliseen fysiikkaan on merkityksetön käsitteenmuodostuksen<br />
kannalta.<br />
Tieteellisessä prosessissa käsitteenmuodostuksen suunta on kuitenkin aina<br />
empiriasta teoriaan. Samalla siirryttäessä kohti teoriaa käsite yleistyy ja abstrahoituu<br />
koska siirrytään kauemmaksi ihmisen havaintomaailmasta, tehdystä kokeesta. Käsitteen<br />
sitominen empiriaan on välttämätöntä ymmärtämisen kannalta. Todellinen<br />
ymmärtäminen alkaa havainnosta, empiriasta. Havaintojen avulla luodaan käsitteelle<br />
ensin merkitys. Käsitteiden merkitykset syntyvät empiirisinä hahmoina havainnosta<br />
ennen itse käsitettä, jolle tulee näin järkevä merkitys. Ilman havaintoon sitomista<br />
käyttöön otettu käsite on turha, koska sille ei ole annettu mitään havaintoon liittyvää<br />
merkitystä. Täten empirian primaarisuus korostuu aina uutta käsitettä luotaessa. Empiirisista<br />
lähtökohdista luotua käsitettä yleistetään ja täsmennetään sekä empirian<br />
että teorian keinoin. Käsitteen kehittymisen hahmotusprosessi empiriasta teoriaan ei<br />
ole kuitenkaan suoraviivainen. Hahmottamisen dynamiikka on kaksisuuntaista teorian<br />
ja empirian vuorottelua. Sitä voidaan havainnollistaa kuvan 1 induktiodeduktiosyklillä.
3<br />
KOKEELLINEN<br />
FYSIIKKA<br />
TEOREETTINEN<br />
FYSIIKKA<br />
INDUKTIO<br />
PELKISTYS<br />
YLEISTYS<br />
LUONTO<br />
ILMIÖT<br />
HAVAINTO<br />
MITTAUS<br />
KOE<br />
HAHMOTUS<br />
KÄSITTEET<br />
SUUREET<br />
LAIT<br />
TEORIAT<br />
MALLIT<br />
ENNUSTEET<br />
DEDUKTIO<br />
Kuva 1: Hahmottamisen dynamiikka. [11 s.149]<br />
Kokeiden perusteella tehdään yleistäviä induktiopäätelmiä, joilla pyritään<br />
kohti yleisiä periaatteita, teoriaa. Teorian pohjalta voidaan tehdä ilmiötä koskevia<br />
yksittäisiä ennusteita, deduktiopäätelmiä, joita testataan kokeita tekemällä. Kokeet<br />
joko vahvistavat tai kaatavat teoreettisen ennusteen paikkansapitävyyden tai vaativat<br />
teorian täsmentämistä. Käsitteiden muodostuminen fysiikan tietorakenteen osasiksi<br />
koostuu tällaisista peräkkäisistä sykleistä.<br />
Käsitteenmuodostusprosessi ei kuitenkaan ole induktio-deduktioautomaatti,<br />
joka ottaa vastaan mittausdataa ja jalostaa siitä tietoa osaksi fysiikan teoriaa. Hahmotusprosessi<br />
on luonteeltaan intuitiivinen, ei looginen. Sitä ohjaa luova intuitiivinen<br />
oivaltaminen, joka perustuu ihmismielen kykyyn ymmärtää ja tulkita kokeissa<br />
esiintyviä säännönmukaisuuksia ja lainalaisuuksia. Tutkijalla on tietoinen pyrkimys<br />
kohti loogis-rakenteellisia hahmokokonaisuuksia. Tämä pyrkimys ohjaa tekemään<br />
luonnolta juuri oikeita kysymyksiä, tekemään juuri oikeita kokeita ja tulkitsemaan<br />
kokeiden antamia tuloksia ja tekemään niiden perusteella järkeviä induktiivisia päätelmiä.<br />
Tämän intuitionsa ohjaamana syntyneen teorian, lait, tutkija altistaa kuitenkin<br />
kokeille. Hän testaa kokeita tekemällä lakiensa toimivuutta yksittäisissä erikoistapauksissa.<br />
2.2. Fysiikan käsitteellinen rakenne<br />
Fysiikan käsitteenmuodostus on oleellisesti prosessi, joka etenee ilmiön kvalitatiivisesta<br />
havaitsemisesta ja hahmottamisesta kohti ilmiöiden täsmällistä kvantitatiivista<br />
esittämistä. Tässä prosessissa on erotettavissa neljä eri tasoa: Kielen, suureiden,<br />
lakien ja teorian tasot. Jokaisen tason sisällä käsitteenmuodostus on luonteeltaan<br />
intuition ohjaama induktio-deduktiosykli. Siirtyminen käsitehierarkian tasolta<br />
toiselle vastaa suurta hyppäystä abstraktiotasolta toiselle. Nämä siirtymiset kä-
4<br />
sitteenmuodostuksen keskeisten kynnysten yli ovat myös luonteeltaan samanlaisia<br />
intuition ohjaamia induktio-deduktiosyklejä, kuva 2.<br />
1. KVALITATIIVINEN TIETO: KIELI<br />
HAVAINTO<br />
PERUSHAHMOTUS<br />
luonnehdinta, tunnistus, luokittelu<br />
MIELIKUVAT, TERMIT<br />
oliot, ilmiöt, ominaisuudet<br />
ESIKVANTIFIOINTI<br />
säilyjät, muuttujat, riippuvuudet<br />
2. KVANTITATIIVINEN TIETO: SUUREET<br />
MITTAUS<br />
SUUREEN PERUSMÄÄRITTELY<br />
YLEISTYS, LAAJENNUS<br />
KÄYTTÖALUE<br />
3. KVANTITATIIVINEN ESITYS: LAIT<br />
KONTROLLOITU KOE<br />
LAKI<br />
numeerinen - graafinen - algebrallinen<br />
TÄSMENNYS, YLEISTYS<br />
SUURE-ENNUSTEET<br />
PÄTEVYYSALUE<br />
4. KVANTITATIIVINEN SELITYS: TEORIA<br />
KOKEELLINEN TUTKIMUS<br />
PERUSLAIT<br />
SELITTÄVÄT MALLIT<br />
LAKIENNUSTEET<br />
SOVELLUSALUE<br />
Kuva 2: Fysiikan käsitteellinen rakenne. [11 s.159]<br />
Kvalitatiivisella tasolla tehdään käsitteenmuodostusprosessiin liittyvä perushahmotus<br />
ja esikvantifiointi. Perushahmotukseen kuuluu tutkimuksen kohteena olevaan<br />
ilmiöalueeseen liittyvä olioiden, ilmiöiden ja olioiden ominaisuuksien tunnistaminen<br />
ja luokittelu. Olioita, ilmiöitä ja olioiden ominaisuuksia kuvaamaan luodaan<br />
kvalitatiivisen tason käsitteet. Käsitteitä, teorian peruselementtejä, luodaan jo perushahmotuksen<br />
tasolla.<br />
Kvantifiointi, ominaisuuden saattaminen mitattavaan muotoon, on askel<br />
kvalitatiivisen esittämisen tasolta kvantitatiivisen esittämisen tasolle. Tässä prosessissa<br />
ominaisuuksista tulee suureita. Ominaisuuksien välisistä riippuvuuksista tulee<br />
lakeja. Lakien avulla havaintomaailmasta voidaan tehdä yksinkertaisia ennusteita,<br />
joiden pätevyyttä testataan.
5<br />
Täten jokaisen suureen kvantifioinnissa edetään suureiden hierarkkisessa<br />
verkossa. Jokainen uusi suure, jonka kvantifiointiin tarvitaan alemman tason suureita<br />
on suureiden hierarkiassa korkeammalla tasolla. Tällaista tiukkaa suureiden hierarkiaa<br />
ei löydy kvalitatiivisen tiedon tasolta. Tämä tekee kvantifioinnista fysiikan käsitteenmuodostuksen<br />
kannalta keskeisimmän prosessin. Se luo kvaliteeteista kvantiteetteja<br />
ja siten saattaa kvalitatiivisella tasolla luodut käsitteet fysiikan tietorakenteen<br />
jäykän suurehierarkian piiriin.<br />
Kvantitatiivisella tasolla olioiden ominaisuuksia kuvataan suureilla ja ilmiöiden<br />
riippuvuudet muodostavat lakeja. Esikvantifioinnissa havaitut riippuvuudet täsmennetään<br />
algebrallisiksi esityksiksi. Kvantifioitua suuretta yleistetään ja täsmennetään.<br />
Lakien, myös suureiden määrittelylakien idealisointeja pyritään purkamaan<br />
ja näin käsitteet yleistyvät ja abstrahoituvat. Käsitteen kehitys jatkaa taas induktiodeduktiosykliään.<br />
Kvantitatiivisella tasolla empiirisistä lähtökohdista luodut eri käsitteet<br />
voivat käsitteenmuodostusprosessin edetessä yleistyä yhdeksi kattokäsitteeksi.<br />
Teorian taso on fysiikan tietorakenteen ylin hierarkkinen taso, jolle johtaa<br />
looginen strukturointi. Strukturoinnissa luodaan jo ymmärretyn ilmiömaailman selittävä<br />
perusmalli ja kausaalisuhteiden, jotka on havaittu jo esikvantifiointivaiheessa,<br />
täsmällinen esitys. Teoria on vain jo ymmärretyn täsmennettyä esittämistä. Teorian<br />
tasolla ilmiömaailman suureet ja lait kytketään fysiikan yleiseen tietorakenteeseen.<br />
Teoria käsittää koko ilmiömaailman selittävät peruslait ja on näin ollen suuri kokonaisuus,<br />
esim. Newtonin mekaniikka. Myös teorian tasolla on löydettävissä hierarkkista<br />
yleistymistä ja abstrahoitumista.<br />
2.3. Suureet prosesseina<br />
Fysiikan käsitteenmuodostus tapahtuu luomalla uusia suureita, jotka liitetään<br />
aikaisemmin tunnettuun fysiikan tietorakenteeseen. Suureet ovat fysiikan tietorakenteen<br />
perusobjekteja ja lait ovat niiden välisiä relaatioita. Suure on tärkeä silta<br />
empirian ja eksaktin fysiikan tietorakenteen välillä. Aina kun mitataan, mitataan suureen<br />
arvoja. Suure ei ole vain toisten suureiden välinen algebrallinen relaatio vaan<br />
sillä on aina oma fysikaalinen merkityksensä. Uuden suureen käyttöönotto on esisijaisesti<br />
sen fysikaalisen merkityksen toteaminen.<br />
Uuden suureen määritteleminen yhdellä tyhjentävällä määrittelyllä, joka tyhjentävästi<br />
kertoo suureen merkityksen siten, että sen fysikaalinen merkitys on ymmärretty,<br />
on mahdotonta. Uuden suuren syntyprosessi etenee portaittain fysiikan käsitteellisten<br />
tasojen mukaan.<br />
Suure syntyy ensin kvalitatiivisen tason hahmona perushahmotuksessa, jossa<br />
suure, joka tässä vaiheessa on kvaliteetti, käsitteistyy kuvaamaan jonkin olion jotain<br />
ominaisuutta. Esikvantifioinnissa selvitetään tarkasteltavaan ilmiöalueeseen liittyvät<br />
riippuvuussuhteet ja syy-seuraussuhteet kvalitatiivisella tasolla. Luodaan komparatiivisia<br />
hahmoja perushahmotuksessa luotujen ominaisuuksien välille. Verrataan olion<br />
ominaisuuksien asteita. Mikä pysyy, mikä muuttuu? Jos muutetaan olion jotain<br />
ominaisuutta tai altistetaan olio erilaisiin olosuhteisiin, miten se vaikuttaa olion<br />
muihin ominaisuuksiin.<br />
Varsinainen suure syntyy kvantifioinnin kautta. Olion ominaisuutta kuvaava<br />
käsite kvantifioidaan suureeksi. Tehdään kvantifioiva koe, jossa ominaisuus esiintyy<br />
mahdollisimman pelkistettynä ja muuttumattomana, invarianttina. Kokeessa tulisi<br />
myös näkyä selkeä yhteys kvalitatiivisen tason kvaliteettiin, josta ollaan luomassa<br />
kvantiteettia. Tällaisen kokeen tekeminen vaatii yleensä tarkkaa rajausta ja ideali-
sointeja. Kvalitatiivisen tason perushahmotus ja esikvantifiointi ohjaavat näihin<br />
idealisointeihin ja pelkistyksiin. Kvantifioivan kokeen tavoitteena on todentaa suureen<br />
määrittelylaki. Tämä tapahtuu useimmin osoittamalla jo tunnettujen suureiden<br />
verrannollisuus tilanteessa, jossa kvantifioitava suure pysyy vakiona. Graafinen esitys<br />
on tärkein väline tällaisessa kvantifiointiprosessissa. Graafiseen esitykseen nojautuen<br />
on helppo todentaa kahden suureen välinen verrannollisuus, suureiden suhteen<br />
invarianssi, joka on riippumattomuutta toisen suureen arvosta. Graafisen esityksen<br />
avulla todettu verrannollisuus kirjoitetaan algebralliseen muotoon, jolloin olemme<br />
vain verrannollisuuskertoimen määrityksen päässä suureen algebrallisesta määrittelylaista.<br />
Nopeuden kvantifiointi on yksinkertainen esimerkki kvantifioivasta kokeesta.<br />
Kvantifioitaessa nopeuden käsitettä järjestetään koe, jossa kappaleeseen ei kohdistu<br />
vuorovaikutuksia kappaleen etenemissuunnassa. Tällöin on perusteltua olettaa, että<br />
kappaleen liiketila ei tässä suunnassa muutu. Esimerkkitilanteena on vaunu vaakasuoralla<br />
ilmatyynyradalla. Mitataan liikkeelle sysätyn vaunun paikkaa ajan funktiona.<br />
Toistetaan koe antamalla vaunulle erilaisia liiketiloja, siis erilaisia nopeuksia<br />
kuitenkin laitteisto silmällä pitäen järkevissä rajoissa. Kaikkien liikkeitten kuvaajat<br />
ovat suoria. Vaunun siirtymä on siis verrannollinen aikaväliin. Vaunun liiketilan ollessa<br />
suurin, siis nopeuden ollessa suurin saadaan liikkeen kuvaajaksi jyrkin suora.<br />
Näiden suorien fysikaaliset kulmakertoimet kuvaavat vaunun nopeutta, joka on kullekin<br />
liikkeelle ominainen invariantti. Riippumatta aikavälin pituudesta paikan ja<br />
ajan muutoksen suhde pysyy kussakin liikkeessä vakiona. Kun tämä verrannollisuus<br />
on todettu ja tulkittu, voidaan suureen määrittelylaki kirjoittaa nyt graafisen esityksen<br />
pohjalta algebrallisessa muodossa. Laki on kuitenkin tässä vaiheessa pätevyysalueeltaan<br />
varsin suppea. Se on voimassa vain tilanteissa, jossa suure pysyy vakiona.<br />
Toinen kvantifioivan kokeen periaate on olion ominaisuuksien vertailu, siten,<br />
että toisen olion avulla mitataan toista. Toisella oliolla tutkittava ominaisuus on<br />
esim. kaksinkertainen toiseen verrattuna. Tällöin kvantifioitavan suureen yksikön<br />
valintaan tarvitaan yksikköolio, jonka ominaisuus saa yksikköjärjestelmässä arvon<br />
yksi yksikkö. Tällöin täytyy myös osoittaa yksikköolion valinnan mielivaltaisuus.<br />
Suureen määrittelyn täytyy olla yksikköoliosta riippumaton. Missä tahansa valitussa<br />
yksikköjärjestelmässä toisen olion ominaisuuden asteen kaksinkertaisuus merkitsee<br />
myös kaksinkertaista suureen arvoa. Tyypillinen ja selvä esimerkki kahden olion<br />
ominaisuuksien vertailuun perustuvasta kvantifioinnista on hitaan massan käsitteen<br />
kvantifiointi. Kappaleiden vuorovaikuttaessa hitaamman kappaleen liiketila muuttuu<br />
vähemmän. Tämän ominaisuuden, hitauden, kvantifiointi massaksi tapahtuu törmäyskokeiden<br />
avulla. Tässä kokeessa keskeisenä idealisointina tarvitaan tilanne, jossa<br />
kappaleiden liiketilaa muuttaa vain niiden välinen kosketusvuorovaikutus. Lähimmäksi<br />
tätä tilannetta päästään tarkastelemalla liukujien törmäyksiä ilmatyynyradalla.<br />
Kvantifioinnin ensimmäinen vaihe on osoittaa, että törmäävien kappaleiden A ja B<br />
nopeuksien muutosten itseisarvojen suhde on kappaleparille ominainen vakio riippumatta<br />
törmäyksen luonteesta ja voimakkuudesta. Tämä on kappaleparille ominainen<br />
suure, joka tulkitaan kappaleen A hitauden mittaamiseksi kappaleen B hitaudella.<br />
Toisessa vaiheessa kappaleiden A ja B hitaudet mitataan kolmannen kappaleen C<br />
hitaudella. Näiden hitauksien suhde on riippumaton käytetystä yksikkökappaleesta<br />
C, joka voidaan valita mielivaltaisesti.[11 s.216][1]<br />
Kvantifioitua suuretta, joka on ensi sijassa olemassa vain invarianttina suureena<br />
määrittelylakinsa idealisointien toteutuessa, aletaan yleistämään. Kvantifioinnin<br />
vaatimista idealisoinneista ja rajauksista luopuminen ulottaa suureen merkityk-<br />
6
7<br />
sen yhä laajemmalle alueelle tilanteisiin, joissa se ei ole invariantti. Suureen merkitys<br />
saattaa laajentua jopa eri ilmiöalueisiin.<br />
2.4. Hahmottava lähestymistapa<br />
Hahmottava lähestymistapa on fysiikan opetukseen kehitetty lähestymistapa<br />
joka perustuu edellä luvuissa 2.1. - 2.3. esitettyihin argumentteihin fysiikan käsitteenmuodostuksesta.<br />
Tämän lähestymistavan mukaan fysiikan opetuksen tulisi edetä<br />
yleisen fysiikan käsitteenmuodostuksen portaita pitkin empiriasta kohti teoriaa, suureiden<br />
merkityksistä kohti niiden algebrallisia lausekkeita. Lähestymistapa ohjaa oppijan<br />
tekemään omakohtaisia havaintoja ja oppimaan niiden avulla. Samalla intuition<br />
ohjaama hahmotusprosessi kasvattaa oppijaa itsenäiseen ajatteluun. [11 s. 264-<br />
265]
8<br />
3. Käsitteelliset tavoitteet<br />
Tässä tutkimuksessa pyritään luomaan demonstraatiokokonaisuus hahmottavan<br />
lähestymistavan ideoiden mukaan niistä käsitteistä, jotka ovat lähestyttävissä<br />
mekaanisten värähtelijöiden kautta. Tähän käsitteistöön kuuluvat:<br />
Värähtelyjen kvantitatiiviseen kuvaamiseen tarvittavat käsitteet.<br />
Ominaisvärähtely ja ominaistaajuus systeemille ominaisina itsenäisinä vapausasteina.<br />
Reunaehto systeemin ominaisvärähtelyjen muodon määrääjänä.<br />
Erilaisten systeemien ominaisvärähtelyt.<br />
Käsitteenmuodostus ulotetaan myös aaltoliikkeen käsitteistöön. Jännitettyjen<br />
kielten ominaisvärähtelyt tulkitaan seisovaksi aaltoliikkeeksi. Jännitettyjen kielten<br />
avulla tulisi pystyä luomaan seuraavat käsitteet:<br />
Aaltoliikkeen vaihenopeus väliaineen tilalle ominaisena suureena.<br />
Aaltoliikkeen vaihenopeus yleistettynä dispersiorelaatioksi.<br />
Ryhmänopeus - pulssin etenemisnopeus.<br />
Käsitteenmuodostuksen apuna käytetään sähkömekaanista värähtelijää [2].<br />
Samalla testataan sen käyttömahdollisuuksia hahmottavan lähestymistavan mukaisissa<br />
kokeissa.
9<br />
4. Värähtelijä<br />
Kuva 3: Värähtelijä<br />
SF-9324.<br />
Joissain tämän tutkimuksen kokeissa värähtelijänä<br />
käytettiin Pascon välittämää mekaanista värähtelijää: Variable<br />
Frequency Mechanical Wave Driver, Model SF-<br />
9324, kuva 3. [2]. Laitteen suomalaisena jälleenmyyjänä<br />
on toiminut Gammadata Finland Oy. Samaa laitetta välittää<br />
moni eri demonstraatiovälinevalmistaja, ainakin<br />
NTL (Suomen edustaja MFKA-kustannus OY) [7] ja SF<br />
(edustaja Printel OY) [15], joka on samalla laitteen todellinen<br />
tanskalainen valmistaja. Pascon välittämänä värähtelijään<br />
on lisätty jalusta, jolla se voidaan kiinnittää<br />
statiiviin myös vaakasuoraan. Laite on suunniteltu toimimaan<br />
värähtelyjen ja aaltojen lähteenä koejärjestelyissä,<br />
joissa tarvitaan värähtelyjä halutulla tarkasti määrättävissä<br />
olevalla taajuudella ja säädettävissä olevalla amplitudilla.<br />
Näillä ominaisuuksilla laitteella pitäisi olla paljon<br />
käyttöä hahmottavan lähestymistavan mukaisessa opetuksessa<br />
aina perushahmotuksesta kvantifioiviin kokeisiin. Viime vuosina raportoiduissa<br />
kokeissa laitetta on käytetty värähtelyjen lähteenä ainakin analogiademonstraatiossa<br />
yksiulotteisen hilan dynamiikasta jaksollisilla reunaehdoilla [5] ja demonstraatiossa<br />
poikittaista seisovista aalloista kielessä, jonka päät pääsevät vapaasti värähtelemään.[8]<br />
Toimintaperiaate<br />
Värähtelyjen tuottamiseen tarvitaan itse värähtelijän lisäksi signaaligeneraattori,<br />
josta ulos tulevan jännitteen taajuutta ja amplitudia voidaan säätää. Signaaligeneraattorin<br />
tulisi myös tuottaa tarvittaessa muitakin kuin sinimuotoista värähtelyä.<br />
Signaaligeneraattorissa tulisi olla vahvistimellinen ulostulo, josta saadaan käyttöön<br />
1 A virta.<br />
Varsinaisena värähtelijänä laitteessa toimii pitkäiskuinen kaiutinelementti,<br />
joka muuntaa elementin puhekelan läpi kulkevan sähkövirran edestakaiseksi liikkeeksi.<br />
Elementti sisältää renkaan muotoisen kestomagneetin ja sen keskellä magneetin<br />
kentässä olevan kelan, jonka läpi johdetaan sähkövirtaa, kuva 4. Magneetti on<br />
kiinnitetty laitteen runkoon. Kela on kiinnitetty elementin kalvoon, johon myös laitteen<br />
värähtelevä osa, sauva on kiinnitetty.
10<br />
magneetti puhekela kalvon ripustus<br />
Kuva 4: Yksinkertaistettu kuva värähtelijän rakenteesta.<br />
Sähkövirran kulkiessa kelan läpi siihen kohdistuu magneettinen voima, joka<br />
liikuttaa kelaa ja kalvoa sähkövirran tahdissa. Liike on vaimennettu siten, että kela ja<br />
sen mukana elementti ja sauva pääsevät liikkumaan magneetin sisällä maksimissaan<br />
3,5 mm:n amplitudilla. Jos kelan läpi johdetaan vaihtovirtaa, kela värähtelee vaihtovirran<br />
taajuudella. Maksimiamplitudi saavutetaan valmistajan ilmoituksen mukaan<br />
0,25 A:n tehollisella virralla. Syötetyn virran ei tarvitse olla sinimuotoista, laitteella<br />
saadaan myös tuotettua myös muun muotoisia värähtelyjä.<br />
Valmistaja ilmoittaa värähtelijän toimivan taajuuksilla 0,1 Hz - 5 kHz, ja värähtelyjen<br />
amplitudin pienenenevän huomattavasti yli 100 Hz:n taajuuksilla. Valmistajan<br />
ilmoittama taajuusvaste, eli värähtelijän amplitudi taajuuden funktiona kun<br />
värähtelijään syötetyn vaihtovirran amplitudin säätö pidetään vakiona, on esitetty<br />
tummemmalla värillä kuvassa 5.<br />
Kuva 5: Valmistajan ilmoittama taajuusvaste [12 s. 116].
11<br />
Värähtelijään kiinnitettävät systeemit liitetään värähtelijän sauvaan, jossa on laitteiden<br />
kiinnittämistä varten naaraspuolinen banaaniliitin. Värähtelijään kohdistuva<br />
kuormitus tulisi tapahtua värähdysliikkeen suunnassa. Sauvan vääntäminen sivusuunnassa<br />
voi johtaa laitteen vaurioitumiseen. [2]<br />
Mitattu taajuusvaste<br />
Taajuusvaste, värähtelijän amplitudi taajuuden funktiona kun värähtelijään<br />
syötetyn vaihtovirran amplitudin säätö pidetään vakiona määritettiin kokeellisesti.<br />
Kaavio mittausjärjestelystä on kuvassa 6. Värähtelijään syötettiin sinimuotoista<br />
vaihtojännitettä Signaali Oy:n signaaligeneraattorista malli OFG-101.<br />
Kuva 6: Kaavio taajuusvasteen mittauksen koejärjestelystä.<br />
Signaaligeneraattorin amplitudin säätö pidettiin mittausten ajan vakiona siten,<br />
että 1 Hz:n taajuudella värähtelyn amplitudi oli valmistajan ilmoittaman maksimiamplitudin<br />
(3,5 mm) suuruinen. Muutettiin vaihtojännitteen taajuutta ja värähtelijän<br />
amplitudi mitattiin katetometrillä. Värähtelyjen amplitudien mittaamiseksi katetometriin<br />
oli kiinnitetty teipillä jäykkä paperinpala. Kun värähtelijän kärki osui paperinpalaan<br />
se taipui hieman ja tapahtumasta kuului myös ääni. Alle 2 Hz:n taajuuksilla<br />
havainnoitiin lapun liikettä värähtelijän kärjen osuessa paperinpalaan. Tätä korkeammilla<br />
taajuuksilla näköhavaintoa oli vaikeampi tehdä, jolloin kuunneltiin osumasta<br />
aiheutuvaa ääntä. Mittaus suoritettiin aina laskemalla katetometrin tankoa<br />
kunnes havaittiin värähtelijän kärjen osuminen lappuun, jonka jälkeen tankoa nostettiin<br />
kunnes löytyi kohta jossa osuminen oli juuri ja juuri aistein havaittavissa.<br />
Jännitteen taajuus määritettiin matalilla taajuuksilla (alle 25 Hz) tietokoneeseen<br />
kytkettävällä Universal Laboratory Interface (ULI) - mittausjärjestelmän [16]<br />
jänniteanturilla mittaamalla syöttöjännitettä ajan funktiona. Ohjelman kursoritoiminnolla<br />
määritettiin jännitteen jaksonaika, jonka käänteisarvo on jännitteen taajuus.<br />
Korkeilla taajuuksilla (yli 25 Hz) taajuuden mittaukseen käytettiin yleismittaria<br />
TES-2730. Laitteiden keskinäinen kalibraatio varmistettiin mittaamalla kummallakin<br />
menetelmällä 25 Hz:n vaihtojännitteen taajuus. Molemmilla menetelmillä saatiin<br />
sama tulos.<br />
Värähtelyjen mitatut amplitudit taajuuden funktiona on esitetty kuvassa 7.<br />
Kuvasta nähdään, että värähtelyjen amplitudi pysyy lähes vakiona 40 Hz:n taajuuteen<br />
asti, jonka jälkeen se pienenee nopeasti. Yli 500 Hz:n taajuuksilla amplitudi on<br />
alle 0,1 mm, joten se ei ole enää mitattavissa katetometrillä.
12<br />
Taajuus<br />
Kuva 7: Värähtelijän mitattu taajuusvaste.<br />
f / Hz<br />
Mitatusta taajuusvasteesta havaitaan värähtelijän amplitudin pienenevän jo<br />
huomattavasti 100 Hz pienemmillä taajuuksilla. Tämä täytyy mittauksia tehtäessä<br />
ottaa huomioon lisäämällä värähtelijään syötettävän signaalin amplitudia siirryttäessä<br />
korkeammille taajuuksille. Mikäli työskentely edellyttää värähtelyiltä ehdotonta<br />
vakioamplitudia, on värähtelijä käyttökelpoinen taajuusalueella 0,1 Hz - 30 Hz, jos<br />
värähtelijään syötettävän signaalin amplitudi pidetään vakiona.<br />
Valmistajan ilmoittamassa taajuusvasteessa, kuva 5, esiintyvää resonanssikohtaa<br />
ei havaittu mitatussa taajuusvasteessa. Mitattu taajuusvaste laski selvästi<br />
valmistajan ilmoittamaa matalammilla taajuuksilla. Kuvan 5 mukaan värähtelijän<br />
amplitudin pitäisi olla maksimiamplitudin suuruinen vielä 50 Hz:n taajuudella. Mittausten<br />
mukaan, kuva 6, taajuusvaste alkaa laskea jo 30 Hz:n taajuudella. Valmistajan<br />
ilmoittaman taajuusvasteen mittauksessa värähtelijän käyttöjännite on otettu eri<br />
signaaligeneraattorista, mallia PASCO PI-9587C [12 s.206].<br />
Laitteen amplitudin muuttumista laitetta kuormitettaessa tutkittiin samanlaisella<br />
koejärjestelyllä. Värähtelijää kuormitettiin asentamalla se värisyttämään jännitettyä<br />
kieltä. Kielenä käytettiin Pascon valmistaman kielisarjan punaista kieltä [3].<br />
Yksityiskohtaisempi kuvaus kielen kiinnityssysteemistä on luvussa 6.2.1. Kieli jännitettiin<br />
ripustamalla sen vapaaseen päähän punnuksia, joiden yhteenlaskettu massa<br />
oli 1,7 kg. Tämä järjestelyn aiheuttama kuormitus on suurimpia värähtelijään kohdistuvia<br />
kuormituksia sen normaalissa opetuskäytössä. Kieli on pituusmassaltaan<br />
toiseksi suurin ja kieltä jännittävät punnukset ovat myös suurimpia, mitä herkkäliikkeisen<br />
väkipyörän yli menevän kielen päähän voi ripustaa väkipyörän vaurioitumatta.<br />
Olosuhteiden vakioimiseksi tutkittaessa kuormituksen vaikutusta amplitudiin<br />
käytettiin samaa signaaligeneraattoria ja pidettiin jännitteen säätö samana kuin mitattaessa<br />
kuormittamattoman värähtelijän taajuusvastetta.
13<br />
Kuvassa 8 on esitetty värähtelijän taajuusvasteet kuormittamattomana ja<br />
kuormitettuna.<br />
Kuva 8: Värähtelijän taajuusvaste kuormitettuna ja kuormittamattomana.<br />
Kuvasta 8 havaitaan kuormituksen pienentävän värähtelijän maksimiamplitudia<br />
merkittävästi. Värähtelijän amplitudi ei ole systeemissä säilyvä suure vaan<br />
riippuu värähtelijän kuormituksesta. Amplitudin maksimi pieneni vapaan värähtelijän<br />
3,5 mm:tä 2,8 mm:iin. Vasteen muoto sen sijaan säilyy oleellisesti samanlaisena<br />
sekä kuormittamattomalla että kuormitetulla värähtelijällä. Amplitudi pysyy kuormakohtaisesti<br />
vakiona kun värähtelijän taajuus on alle 30 Hz. Kuormitetun värähtelijän<br />
amplitudi tosin pieneni alle 0,1 mm:iin jo noin 200 Hz:n taajuudella.<br />
Värähtelevä systeemi vaikutti vain vähän värähtelijän vasteen muotoon.<br />
Käytettäessä värähtelevää kieltä värähtelijän amplitudi kasvoi kielen resonanssitaajuuksilla.<br />
Tämä näkyy kuvassa 8 kohoumina 10 Hz:n - 40 Hz:n alueella. Vastetta<br />
tutkittaessa signaaligeneraattori viritettiin kielen resonanssitaajuudelle ja lähelle sitä<br />
taajuuden molemmin puolin. Tällöin havaittiin kielen perustaajuudella sekä ensimmäisellä<br />
ja toisella harmonisella kerrannaistaajuudella amplitudin kasvavan selvästi<br />
värähtelijän ollessa resonanssissa kielen kanssa. Sen sijaan kolmannella ja sitä suuremmilla<br />
harmonisilla kerrannaistaajuuksilla värähtelijän amplitudi katetometrillä<br />
mitaten pieneni vähän, yleisimmin 0,1 mm. Tämä voi johtua vasteen yleisestä laskusta<br />
tällä taajuusalueella.
14<br />
5. Värähdysliikkeen hahmottava kokeellisuus<br />
5.1. Värähdysliikkeen käsitteistäminen<br />
Värähdysliikkeen ilmiömaailmaan tutustuminen aloitetaan hahmottavan lähestymistavan<br />
mukaisesti liikkeen perushahmotuksesta, jossa opitaan tunnistamaan<br />
värähdysliike ja luodaan värähdysliikkeeseen kuuluvat perushahmot. Perushahmotuksen<br />
lähteinä voidaan käyttää erilaisia ympäristöstä löytyviä kimmoisia kappaleita.<br />
Kaikille värähtelyille hahmotetaan helposti luonne edestakaisena, toistuvana ja jaksollisena<br />
ilmiönä. Ilmiössä on kyse systeemin sisäisestä liikkeestä. Käsitteenmuodostus<br />
etenee kuitenkin vasta kun tutkittava tilanne osataan idealisoida mahdollisimman<br />
yksinkertaiseksi, tilanteeksi jossa värähdysliike esiintyy pelkistetyimmillään<br />
systeemin sisäisenä vapausasteena. Tähän tarkoitukseen sopiva systeemi on sopivan<br />
löysään jouseen tiukasti nippusiteellä kiinnitetty punnus.<br />
Tätä yksinkertaista systeemiä käyttäen esitetään samalla värähdysliikkeen<br />
kuvaamista varten tarvittavat käsitteet kuten tasapainoasema, amplitudi, jaksonaika<br />
ja tasapainoasemaan palauttava voima.<br />
Värähtely:<br />
Jousi ja siihen ripustettu punnus muodostavat yksinkertaisen värähtelevän<br />
systeemin. Jouseen ripustettua punnusta poikkeutetaan siten, että systeemi alkaa värähdellä.<br />
Havaitaan liikkeen olevan edestakaista liikettä systeemin tasapainoaseman<br />
molemmin puolin. Liike toistuu jaksollisena siten, että sillä on silminnähden koko<br />
ajan sama jaksonaika.<br />
Värähdysliike on siis systeemin sisäistä jaksollista liikettä tasapainoaseman molemmin<br />
puolin.<br />
Tasapainoasema:<br />
Jouseen ripustettu punnus riippuu jousen varassa paikallaan jos mikään ulkoinen<br />
häiriö ei sitä liikuta. Jos jousta poikkeutetaan tasapainoasemastaan, alkaa se<br />
värähdellä tämän tasapainoaseman molemmin puolin. Kun värähtely vaimentuu ja<br />
lopulta häviää on punnus taas tasapainoasemassaan.<br />
Tasapainoasemaan palauttava voima:<br />
Yksinkertaisen jousi-punnus-systeemin tapauksessa tasapainoasemastaan<br />
poikkeutettuun punnukseen kohdistuvien voimien (gravitaatio, jousivoima) resultantti<br />
on jousen venymisestä tai kasaan painumisesta johtuva jousivoima, joka on<br />
verrannollinen punnuksen etäisyyteen tasapainoasemasta ja suuntautuu tasapainoasemaan<br />
päin. Tämä voima kääntää aina punnuksen liikkeen tasapainoasemaa kohti<br />
ja ylläpitää värähtelyjä. Värähtelyt kuitenkin vaimenevat. Tämä johtuu mm. ilmanvastuksesta<br />
ja systeemissä tapahtuvista energiahäviöistä. Energiaa kuluu jossain<br />
määrin jousen lämpenemiseen ja enemmän värähtelyn jatkuessa liikkeeseen tulevien<br />
sivusuuntaisten heilahtelujen pyörimisen liike-energioihin.
15<br />
Amplitudi:<br />
Jousi ja punnus saatetaan värähtelemään siten, että poikkeutettaessa punnuksen<br />
etäisyys tasapainoasemasta vaihtelee. Liike on kuitenkin aina värähtelyä. Värähtelyjen<br />
laajuus sen sijaan riippuu siitä, kuinka paljon systeemiä on poikkeutettu tasapainoasemastaan.<br />
Amplitudi on suure, joka kuvaa värähdysliikkeen laajuutta ja on<br />
systeemin suurin poikkeama tasapainoasemastaan.<br />
Jaksonaika ja taajuus:<br />
Jaksonajan ja taajuuden käsitteiden lähestymiseen tarvitaan systeemi, jolla<br />
nämä ominaisuudet pysyvät mahdollisimman hyvin vakiona. Tällainen on juuri jousen<br />
varassa riippuva punnus, joka värähtelee jousen suunnassa. Jousi-punnussysteemin<br />
avulla käsitteiden luominen tapahtuu asettamalla jouseen ripustettu punnus<br />
värähtelemään. Silmämääräisesti katsottuna yhteen värähtelyyn näyttää kuluvan<br />
aina sama aika. Tätä voidaan tutkia myös tarkemmin mittaamalla sekuntikellolla<br />
viiteen värähdykseen kulunut aika, joka toistettaessa mittausta havaitaan aina mittaustarkkuuden<br />
rajoissa samaksi. Yhteen jaksoon kulunut aika on siis viiteen jaksoon<br />
kulunut aika jaettuna viidellä. Jaksonajan samuutta voidaan vielä testata mittaamalla<br />
myös neljään, kolmeen tai kahteen jaksoon kulunut aika. Aina jaettaessa kyseinen<br />
aika jaksojen lukumäärällä saadaan yhden jakson ajaksi sama tulos. Varioimalla värähtelyn<br />
amplitudia jaksonaika ei muutu. Tässä täytyy kuitenkin varoa liian suuria<br />
amplitudeja, koska tällöin systeemiin tulee helposti häiriöitä (sivuttaisheilahtelut),<br />
jotka peittävät alleen puhtaan edestakaisen värähtelyn.<br />
5.2. Ominaisvärähtely ja sen olemassaolon yhteys systeemin dynamiikkaan<br />
Varioimalla systeemiä, vaihtamalla punnuksen massaa tai jousta saadaan aina<br />
kullekin systeemille oma jaksonaika, joka kuitenkin vaihtelee eri jousi-punnusyhdistelmien<br />
mukaan. Voidaan sanoa jaksonajan olevan systeemille ominainen vakio<br />
riippumatta värähtelyn amplitudista.<br />
Jaksonaika siis ilmaisee kuinka kauan aikaa värähtelijältä kuluu yhteen värähdykseen.<br />
Jaksonajan käänteisarvo, taajuus ilmaisee kuinka monta värähdystä värähtelijä<br />
tekee aikayksikössä. Jos jaksonaika on systeemille ominainen niin sen<br />
käänteisarvo, vastaavaa taajuus on myös systeemille ominainen ja sitä kutsutaan<br />
systeemin ominaistaajuudeksi. Yksinkertaisella jousi-punnus-systeemillä on vain<br />
yksi ominaistaajuus. Se värähtelee aina samalla taajuudella. Tämä on yksinkertaisen<br />
värähtelevän systeemin ainoa vapausaste.<br />
Tämä värähdysliike on harmoninen värähdysliike. Tällöin värähtelyn jaksonaika<br />
on sama riippumatta värähtelyn amplitudista. Vain tällöin voidaan sanoa<br />
systeemillä olevan sille ominainen ominaistaajuus. Ominaistaajuudella tapahtuvaa<br />
värähtelyä kutsutaan systeemin ominaisvärähtelyksi.<br />
Vastakohtana edellisille rakennetaan epäharmoninen värähtelijä, jonka jaksonaika<br />
ja taajuus riippuvat värähtelyn laajuudesta. Rakenteeltaan koejärjestely on<br />
yksinkertainen. Värähtelijänä käytetään kappaletta, joka on kiinnitetty jännitetyn<br />
jousen keskikohtaan ja joka asetetaan värähtelemään siten, että värähtelyt tapahtuvat<br />
90:n kulmassa jouseen nähden. Koejärjestely on esitetty kuvassa 9.
16<br />
Kuva 9: Epäharmonisen värähtelijän koejärjestely.<br />
Värähtelevänä kappaleena käytettiin Pascon vaunuradan vaunua, johon oli<br />
kiinnitetty ULI-järjestelmän voima-anturi Dual range force sensor [16]. Vaunun liikettä<br />
tutkittiin ULI-järjestelmän ultraäänianturilla ja samalla mitattiin vaunuun kohdistuvaa<br />
voimaa. Vaunu kiinnitettiin voima-anturista rataan nähden 90:n kulmassa<br />
olevan löysän jousen keskikohtaan. Jousen jousivakio määritettiin erikseen itsenäisesti<br />
venyttämällä sitä eri massaisilla punnuksilla. Jousivakioksi saatiin 3,1 N/m.<br />
Kuvassa 10 on esitetty vaunun paikka ajan funktiona kun systeemi pannaan<br />
värähtelemään.<br />
t= 1,8s<br />
t = 2,0s<br />
Kuva 10: Epäharmonisen värähtelijän paikka ajan funktiona.<br />
Kuvaajasta havaitaan, että värähtelyjen amplitudin pienentyessä niiden jaksonaika<br />
pitenee. Kun amplitudi on noin 25 cm värähdyksen jaksonaika on 1,8 s. Kun<br />
amplitudi on pienentynyt alle 10 cm:n jaksonaika on 2,0 s.
17<br />
Kuvassa 11 on esitetty vaunuun vaikuttava voima vaunun paikan funktiona.<br />
Kuva 11: Epäharmoniseen värähtelijään vaikuttava voima paikan funktiona.<br />
Voiman kuvaajasta nähdään, että se kaartuu selvästi suurilla venymillä. Vaunuun<br />
vaikuttava voima ei ole verrannollinen venymään, joten voima ei ole harmoninen.<br />
Suurilla venymillä voima on harmonisen voiman lakiin verrattuna suurempi.<br />
Tällöin systeemin jaksonaika lyhenee kun amplitudi kasvaa, kuten mittauksista havaittiin.<br />
Mahdollisia ennusteita varten voiman laki tässä kokeessa on pääteltävissä algebrallisessa<br />
muodossa teorian kautta. Oletetaan, että kokeessa käytetyn kimmoisan<br />
harmonisen jousen jousivakio on k . Vaunun ja jousen liitoskohdan ja jousen kiinnityspisteen<br />
välistä etäisyyttä merkitään a:lla. Vaunun poikkeama tasapainoasemastaan<br />
on x, kuva 12.<br />
a<br />
x<br />
l<br />
Kuva 12: Epäharmoninen värähtelijä ylhäältä päin kuvattuna.
18<br />
Kuvan tilanteessa jousi ajatellaan kahdeksi sarjaan kytketyksi jouseksi, joiden<br />
jousivakiot ovat 2k . Kun vaunua on poikkeutettu tasapainoasemastaan matka x,<br />
kuva 12, kohdistaa yksi jousi vaunuun jousen suuntaisen, venymään verrannollisen<br />
voiman, jonka suuruus on :<br />
F 2 k( la) (1)<br />
Pythagoraan lauseen perusteella tämä muuntuu muotoon:<br />
2 2<br />
F 2k( x a a) (2)<br />
Yhden jousen kohdistaman voiman liikkeen suuntainen komponentti F x on<br />
suuruudeltaan:<br />
F F x 2 2<br />
x<br />
x<br />
2k( x a a) (3)<br />
l<br />
2 2<br />
x a<br />
Joka voidaan kirjoittaa lyhyemmin:<br />
a<br />
Fx 2kx( 1<br />
) (4)<br />
2 2<br />
x a<br />
Vaunuun kohdistuu liikkeen suunnassa yhtä suuri voima kummastakin jousen puolikkaasta,<br />
ja näin vaunuun kohdistuva liikkeen suuntainen kokonaisvoima F T poikkeaman<br />
x funktiona on :<br />
a<br />
FT<br />
2Fx<br />
4kx( 1<br />
) (5)<br />
2 2<br />
x a<br />
Tämän funktion (5) kuvaaja on kuvassa 13.<br />
Epäharmonisen värähtelijän<br />
mallinnus<br />
1,5<br />
1<br />
voima F / N<br />
0,5<br />
0<br />
-0,5<br />
-0,25<br />
-0,20<br />
-0,15<br />
-0,10<br />
-0,05<br />
0,00<br />
0,05<br />
0,10<br />
0,15<br />
0,20<br />
0,25<br />
-1<br />
-1,5<br />
paikka<br />
x / m<br />
Kuva 13: Epäharmonisen värähtelijän mallinnus.<br />
Teoreettisen päättelyn tuloksena saatu voiman lain kuvaaja, kuva 13, ei ole<br />
täysin samanlainen kuin aito mitattu voima. Kaareutumissuunta ja muoto pääpiirteittäin<br />
on kuitenkin sama. Mitattu voiman lain kuvaaja, kuva 12, sisältää monen värähdyksen<br />
aikana mitatun voiman kuvaajan. Kuvassa on havaittavissa jonkin verran<br />
hystereesiä.
19<br />
Vaunuun kohdistuva voima ei ole verrannollinen vaunun etäisyyteen tasapainoasemastaan.<br />
Tämä laki antaa suurilla venymillä (x >>a) tuloksen, jonka mukaan<br />
voima on verrannollinen etäisyyteen. Tämä tilanne vastaisi aidosti tilannetta, jossa<br />
molemmat jousenpuolikkaat ovat venyneet ja kohdistavat vaunuun radan suuntaisen<br />
voiman joka vastaa näiden rinnan kytkettyjen jousien vaunuun kohdistamaa voimaa.<br />
Pieniä värähtelyjä tarkasteltaessa voiman laki (5) voidaan kirjoittaa muotoon:<br />
1<br />
F 4kx( 1<br />
) (6)<br />
2<br />
x<br />
1<br />
2<br />
a<br />
Pienillä venymillä (l
ja värähtelijä ovat toisiinsa nähden vastakkaisessa vaiheessa. Jos värähtelevään systeemiin<br />
kohdistuu jaksollinen häiriö, jonka taajuus on sama kuin systeemin ominaistaajuus,<br />
joutuu systeemi resonanssiin pakkovärähtelyn kanssa. Tällöin sen värähtelyjen<br />
amplitudi kasvaa huomattavasti. Värähtelevä systeemi ottaa vastaan energiaa<br />
ominaistaajuudellaan. Tämä on tietenkin mahdollista ainoastaan systeemille,<br />
jolla on tarkasti määrätty ominaistaajuus, joka ei riipu värähtelyjen amplitudista. Jos<br />
värähtely on epäharmonista, amplitudin kasvaessa värähtelijä ei enää vastaanota<br />
energiaa, koska se ei ole resonanssissa vakiotaajuisen pakkovärähtelijän kanssa. Käsin<br />
aiheutettu pakkovoima ei ole kaikkein havainnollisin, koska käden liike on usein<br />
varsin epämääräinen. Tätä resonanssi-ilmiötä voidaan käyttää erilaisten mekaanisten<br />
systeemien ominaisvärähtelyjen etsimiseen. Jos systeemi joutuu resonanssiin tunnetuntaajuisen<br />
pakkovoiman kohdistuessa systeemiin, tiedetään pakkovoiman taajuuden<br />
olevan systeemin ominaistaajuus.<br />
20
21<br />
6. Erilaisten systeemien ominaisvärähtelyjä<br />
6.1. Jousi-punnussysteemien ominaisvärähtelyt<br />
Ensimmäinen värähtelyjen hahmottavaan lähestymiseen liittyvä demonstraatio,<br />
jossa tarvitaan tarkasti tietyllä taajuudella tuotettua värähdysliikettä on erilaisten<br />
jousi-punnussysteemien värähtelyt. Tällaisten systeemien ominaisvärähtelyjen demonstroiminen<br />
mekaanista värähtelijää hyväksi käyttäen on tärkeää. Jos systeemi<br />
saatetaan pakkovärähtelyyn käsin, ei pakkovärähtelyn taajuus pysy vakiona vaan ihminen<br />
säätää sen taajuutta aistinvaraisesti havaittavan pienen positiivisen takaisinkytkennän<br />
ansiosta. Värähtelijän synnyttämät värähtelyt ovat tarkasti tietyntaajuisia.<br />
Tällöin punnussysteemin ominaistaajuudet ovat määritettävissä hyvinkin tarkasti.<br />
Punnussysteemin käyttäytyminen ominaistaajuuden molemmin puolin ominaistaajuuden<br />
lähellä tulee myös helpommin havaittavaksi. Värähtelijä värähtelee koko ajan<br />
samalla pienellä amplitudilla. Tällöin punnusten resonanssi-ilmiö on paljon vakuuttavampi<br />
kuin käytettäessä systeemiä käsin. Resonanssissa punnusten värähtelyjen<br />
amplitudi on huomattavasti värähtelijän aiheuttaman pakkovärähtelyn amplitudia<br />
suurempi kun taas käsin aiheutetut pakkovärähtelyjen amplitudi on helposti lähes<br />
samansuuruinen punnusten värähtelyjen amplitudin kanssa. Käsin aiheutettuna tämä<br />
demonstraatio toimii kuitenkin kvalitatiivisen tason demonstraationa, jonka tavoitteena<br />
on vain osoittaa systeemin ominaisvärähtelyn muodot.<br />
Tutkitut systeemit:<br />
Käytetään ensin kahta samanmassaista punnusta (m = 50 g)<br />
ja kolmea keskenään samanlaista löysähköä jousta Tämä<br />
punnussysteemi laitetaan riippumaan pitkästä statiivista,<br />
kuva 14. Jousien ja punnusten väliset liitokset vahvistettiin<br />
ennen demonstraation toteuttamista nippusiteillä. Näin<br />
systeemi pysyy koossa vaikka värähtelyjen amplitudi kasvaisi<br />
suureksi. Värähtelijän ohjaussignaali otettiin Philip<br />
Harrisin power signal generator - signaaligeneraattorista.<br />
Tässä generaattorissa on herkempi taajuuden säätö halutulla<br />
taajuusalueella ja punnussysteemi on näin helpompi saada<br />
resonanssiin. Värähtelijän taajuuden mittaamiseksi mitattiin<br />
värähtelijään syötettävän signaalin taajuus digitaalisen<br />
muistioskilloskoopin Tektronix TDS 210 taajuudenmittaustoiminnolla.<br />
Laitteella voidaan mitata signaalin taajuus<br />
millihertsin resoluutiolla.<br />
Säädettiin värähtelijään syötettävän signaalin taajuutta.<br />
Punnussysteemi värähteli kauttaaltaan tahdissa kahdella<br />
eri taajuudella, 1,14 Hz ja 2,06 Hz. Tällöin punnussysteemin<br />
vätähtelyjen muodot olivat:<br />
1. Molemmat punnukset liikkuvat samaan suuntaan.<br />
2. Punnukset liikkuvat vastakkaisiin suuntiin.<br />
Kuva 14.
22<br />
Viritettäessä havaitaan myös, että systeemin alimmainen jousi värähtelee värähtelijän<br />
kanssa samaan suuntaan kun pakkovärähtelijän taajuus on systeemin resonanssitaajuutta<br />
pienempi. Kun pakkovärähtelyn taajuus on suurempi, alimmainen<br />
jousi ja värähtelijä liikkuvat toisiinsa nähden vastakkaiseen suuntaan. Tätä ilmiötä<br />
on hyvä käyttää myös apuna värähtelijän virittämisessä systeemin ominaistaajuudelle.<br />
Virittäminen on aika hidasta, johtuen siitä, että käytetyt taajuudet ovat suuruusluokaltaan<br />
noin 1 Hz. Tällöin punnussysteemin amplitudin kasvu resonanssikohdassa<br />
on niin hidasta, että pakkovärähtelyn taajuus viritetään helposti ominaistaajuuden<br />
ohi.<br />
Koe toistetaan kolmella samanlaisella punnuksella ja neljällä samanlaisella<br />
jousella. Tällöin värähtelymoodeja on kolme erilaista:<br />
1. Kaikki punnukset liikkuvat samaan suuntaan.<br />
2. Ylin ja alin liikkuvat eri suuntiin, keskimmäinen on paikoillaan.<br />
3. Ylin ja alin liikkuvat samaan suuntaan, keskimmäinen niihin nähden vastakkaiseen<br />
suuntaan.<br />
Näiden värähtelymuotojen ominaistaajuudet olivat 0,88 Hz, 1,68 Hz ja 2,27 Hz.<br />
Punnussysteemien saattaminen resonanssiin värähtelijän kanssa on huomattavasti<br />
vaikeampaa kuin käsin. Pakkovärähtelyjen täytyy olla erittäin tarkasti samantaajuisia<br />
punnussysteemin ominaistaajuuksien kanssa. Tämä tuo esiin selvästi<br />
värähtelyjen energian ja systeemin vapausasteen välisen yhteyden. Punnussysteemi<br />
vastaanottaa energiaa vain ominaistaajuuksillaan. Nämä ominaistaajuudet liittyvät<br />
kukin yhteen systeemin vapausasteeseen. Punnuksien lisääminen vaikuttaa systeemin<br />
ominaisvärähtelyjen määrään. Tästä systeemin vapausasteen mielikuva kehittyy<br />
edelleen. Kun systeemin rakenneosasten määrä lisääntyy, sen värähtelyjen vapausasteiden<br />
määrä lisääntyy.<br />
6.2. Jännitetyn kielen ominaisvärähtelyt<br />
6.2.1. Koelaitteisto<br />
Tutkittiin värähtelijällä aiheutettuja värähtelyjä ja poikittaista aaltoliikettä<br />
jännitetyissä kielissä. Mittauksissa värähtelijän syöttösignaali otettiin Signaali Oy:n<br />
signaaligeneraattorista mallia OFG-101. Taajuus mitattiin mittaamalla syötetyn signaalin<br />
taajuutta yleismittarilla TES-2740.<br />
Koelaitteisto koostui värähtelijän lisäksi eri pituusmassaisista kielistä, joita<br />
jännitettiin viemällä kieli pöydän reunaan kiinnitetyn väkipyörän yli ja ripustamalla<br />
tähän päähän punnus. Toinen pää kiinnitettiin tukevasti paikoilleen statiivipuristimen<br />
avulla, kuva 15.<br />
Kuva 15: Koelaitteisto jännitettyjen kielten ominaisvärähtelyjen tutkimiseksi.<br />
Puristimen käyttäminen kielen kiinnittämiseen oli hyvä ratkaisu. Tällöin<br />
kieltä pystytään tarvittaessa vaihtamaan helposti ilman ylimääräisiä solmuja. Pelkkä
23<br />
metallikärkinen puristinleuka ei kuitenkaan sellaisenaan ollut hyvä kiinnike, koska<br />
se vahingoitti paksuimpien kielten päällä ollutta muovikerrosta. Leukoja parannettiin<br />
liimaamalla puristinleukojen kärkiin joustavat kumiset tyynyt. Tällöin leukojen ja<br />
kielen välinen kitka saatiin tarpeeksi suureksi ja kieliä ei tarvinnut puristaa niin suurella<br />
voimalla, että ne olisivat vahingoittuneet. Kielen väkipyörän puoleisen päähän<br />
ei laitettu terävää kiinnitystä, jotta kielen jännitystila olisi mahdollisimman hyvin<br />
tunnettu. Värähtelijän kytkentä värähtelevään kieleen tapahtui laitteen mukana toimitetuilla<br />
sauvan banaaniliittimeen sopivalla kappaleella, jonka päällä olevan U-<br />
muotoisen raon yli kieli kulki.<br />
6.2.2. Kielet<br />
Kokeissa käytettiin Pascon valmistamaa kielisarjaa: Vibrating Wire Set, Model<br />
WA-9608.[3] Sarja sisältää kahdeksan erilaista kieltä, joiden pituusmassat ovat<br />
välillä 0,675 g/m - 16,08 g/m. Kielet ovat itse asiassa poikkipinta-alaltaan erilaisia<br />
sähköjohtoja. Kuusi paksuinta kieltä on päällystetty erivärillisillä muovikuorilla.<br />
Tämä helpottaa eri kielten tunnistamista. Kevyimmät päällystämättömät kielet olivat<br />
jo liiankin kevyitä ja menivät helposti sotkuun ja ylimääräisille mutkille. Tämä tekee<br />
niiden käyttämisestä käytännössä mahdotonta.<br />
Kaikkien kielten sisus on kuitenkin metallia. Tämä mahdollistaa kielen värähtelyjen<br />
tutkimisen ilman värähtelijää vaihtovirran ja magneetin avulla siten, että<br />
magneetin kohtioiden väliin asetetun kielen läpi johdetaan sinimuotoista vaihtovirtaa.<br />
Tällöin kieleen kohdistuu virtaan verrannollinen magneettinen voima. Kieli saadaan<br />
värähtelemään vaihtovirran taajuudella.<br />
Tutkittavana olleiden kielten pituusmassat määritettiin kokeellisesti punnitsemalla<br />
kielet Mettler P-1000 vaa'alla ja mittaamalla niiden pituudet rullamitalla.<br />
Kielen pituusmassa on sen massan ja pituuden suhde.<br />
m l<br />
(9)<br />
Missä on kielen pituusmassa, m on kielen massa ja l on kielen pituus.<br />
Kokeellisesti määritetyt ja valmistajan ilmoittamat pituusmassat ovat taulukossa 1.<br />
Taulukko 1: Kielten massat, pituudet ja pituusmassat.<br />
Kieli m/(g) l/(m) / (g/m) valm. / (g/m)<br />
Valkoinen 152,4 0,2 9,40 0,01 16,21 0,03 16,08<br />
Punainen 98,7 0,2 9,30 0,01 10,61 0,02 10,32<br />
Sininen 71,8 0,2 9,75 0,01 7,36 0,02 7,07<br />
Vihreä 49,0 0,2 9,43 0,01 5,20 0,02 5,13<br />
Keltainen 23,8 0,2 9,39 0,01 2,54 0,02 3,16<br />
Musta 11,0 0,2 9,45 0,01 1,16 0,02 1,53<br />
Metalli 0,016" 9,9 0,2 9,65 0,01 1,03 0,02 1,02<br />
Metalli 0,013" 6,6 0,2 9,88 0,01 0,67 0,02 0,675<br />
Kokeellisesti määritetyillä pituusmassoilla ja valmistajan ilmoittamilla ohjeellisilla<br />
pituusmassoilla oli joissain tapauksissa varsin suuri ero. Suurimmillaan se
24<br />
oli mustalla kielellä. Valmistajan ilmoittama pituusmassa oli 1,53 g/m ja kokeellisesti<br />
määritetty pituusmassa oli 1,16 g/m. Poikkeama ilmoitetusta arvosta on 24 %.<br />
Kieli on mahdollisesti venynyt aikaisemmassa käytössä. Tämä täytyy ottaa huomioon<br />
tällä kielisarjalla tehtäviä laboratoriotöitä suunniteltaessa.<br />
6.2.3. Päistä kiinnitettyjen kielten ominaisvärähtelyt<br />
Systeemiin kiinnitettiin aluksi keltainen kieli, jota jännitettiin kiinnittämällä<br />
siihen 1,0 kg:n punnus. Punnuksen kieleen kohdistama jännitys kohdistuu tasaisesti<br />
koko kieleen, joten se on pituussuunnassaan homogeeninen ja sen jännitystila on vakio.<br />
Säädettiin värähtelijään syötettävän signaalin taajuutta ja havainnoitiin kielen<br />
värähtelyjä kielen ominaistaajuuksien löytämiseksi.<br />
Kielen poikittaisten värähtelyjen amplitudi suureni huomattavasti värähtelijän<br />
värähdellessä 15 Hz:n taajuudella. Kieli oli resonanssissa värähtelijän kanssa.<br />
Tällöin koko kieli värähteli yhtenä kupuna joten sillä oli solmukohdat ainoastaan<br />
päissä. Myös 31 Hz:n taajuudella amplitudi kasvoi huomattavasti. Tällöin kielen<br />
keskellä oli solmukohta. Amplitudi suureni aina taajuuden kasvaessa n. 15 Hz:llä,<br />
resonanssitaajuudet on esitetty taulukossa 2.<br />
Taulukko 2: Jännitetyn kielten ominaisvärähtelyjen taajuudet ja solmujen lukumäärät.<br />
Solmuja 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
Taajuus 15 31 46 61 76 92 107 123 138 154 169<br />
Kielen ominaistaajuudet esiintyivät perustaajuuden 15 Hz moninkertoina,<br />
joita kutsutaan perusvärähtelyn harmonisiksi kerrannaisiksi. Värähtelyjen muodot<br />
muuttuivat siten, että jokainen 15 Hz:n taajuuden lisäys sai aikaan värähtelyn, jossa<br />
oli yksi solmukohta enemmän kuin edellisessä ominaisvärähtelyssä. Näitä ominaisvärähtelyjä<br />
saatiin näkyviin aina kymmenenteen harmoniseen kerrannaiseen asti. Värähtelijän<br />
amplitudi pienenee näillä taajuuksilla jo niin pieneksi alkuperäiseen verrattuna,<br />
että se ei riitä saamaan aikaan riittävän voimakkaita värähtelyjä silmin havaittavaksi.<br />
Tästä nähdään, että kielellä on kuitenkin useita ominaistaajuuksia joista<br />
tosin tässä saatiin näkyviin vain osa. Jännitetyn kielen ominaistaajuudet esiintyvät<br />
perustaajuuden harmonisina kerrannaisina. Ne noudattavat ainakin johonkin n asti<br />
lakia:<br />
f<br />
nf<br />
n 1 (10)<br />
, jossa f 1 on kielen perustaajuus ja n saa arvoja 1, 2, 3, … .<br />
Huomioita:<br />
Koetta tehdessä havaittiin, että kieleen muodostuu solmu värähtelijän liitoksen<br />
kohdalle tai hyvin lähelle sitä. Tämä käsitys vahvistuu mitattaessa kieleen muodostuvien<br />
solmujen välimatkoja. Solmut jakavat kielen värähtelevän osan yhtä pitkiin<br />
osiin. Mitattaessa solmujen välimatkoja havaitaan värähtelijän puoleisen<br />
reunimmaisen solmun osuvan kielen pään sijasta hyvin lähelle värähtelijän kiinnityskohtaa.<br />
Tämä efekti voimistuu ja näkyy selvimmin siirryttäessä korkeammille<br />
taajuuksille. Perustaajuudella värähtelevällä kielellä ja perustaajuuden ensimmäisellä<br />
harmonisella kerrannaistaajuudella värähtelevällä kielellä tätä ei vielä huomaa, mutta
25<br />
ensimmäistä kerrannaistaajuutta korkeammilla ominaistaajuuksilla solmun muodostuminen<br />
värähtelijän kohdalle on jo silmin havaittavissa. Värähtelijä oli 3,0 cm:n<br />
etäisyydellä kielen päästä. Tästä johtuen kielet käyttäytyvät kuin ne olisivat 3,0 cm<br />
lyhyempiä. Tästä eteenpäin puhuttaessa kielen pituudesta tarkoitetaan tällä kielen<br />
pituutta väkipyörästä värähtelijään, todellisen värähtelevän osan pituutta. Tästä<br />
syystä värähtelijä tulisi aina liittää mahdollisimman lähelle kielen paikalleen kiinnitettyä<br />
päätä. Värähtelijän liittäminen keskelle kieltä aiheuttaa myös kielen irtoamisen<br />
värähtelijästä.<br />
Nyt on saatu määritetyksi yksinkertainen pelkistetty laki jännitetyn kielen<br />
ominaisvärähtelyille. Tarkoituksena on nyt selvittää tarkemmin miten jännitetyn<br />
kielen ominaisvärähtelyt riippuvat kielen ominaisuuksista.<br />
6.2.4. Kielen pituuden vaikutus ominaisvärähtelyihin<br />
Tutkittiin kielen pituuden vaikutusta kielen ominaisvärähtelyihin. Käytettiin<br />
kielisarjan [3] keltaista kieltä. Kielen värähtelevän osan pituutta muutettiin statiiviin<br />
kiinnitetyn teräväkulmaisen statiiviliittimen avulla. Statiiviliitin oli hieman korkeampi<br />
kuin kielen kiinnikkeen korkeus pöydän pinnasta. Tällöin kieli painautui liittimen<br />
terävää särmää vasten ja käyttäytyi kuin sen pituus olisi ollut vain väkipyörästä<br />
statiiviliittimeen. Värähtelijää siirrettiin raudan mukana siten, että kielen värähtelevän<br />
osan pituus lyheni, kuva16.<br />
Kuva 16: Kielen pituuden variointi, koejärjestely.<br />
Värähtelijä pidettiin mahdollisimman lähellä kieltä tukevaa rautaa. Säätämällä<br />
värähtelijään syötettävän signaalin taajuutta etsittiin kullekin kielen pituudelle<br />
ominaistaajuudet. Havaittiin kielen resonanssitaajuuksien siirtyvän korkeammille<br />
taajuuksille kun kielen pituutta lyhennetään. Mitatut kielen pituudet ja niitä vastaavat<br />
1. harmoniset kerrannaistaajuudet ovat taulukossa 3.<br />
Taulukko3: Kielen pituus ja sitä vastaava 1. harmoninen kerrannaistaajuus<br />
Pituus l/ cm 120 140 160 176 192<br />
Taajuus f/Hz 52,5 44,5 37,5 35,0 32,0
26<br />
Piirretään kielen ensimmäisen harmoninen kerrannaistaajuus kielen pituuden<br />
käänteisarvon funktiona ja havaitaan pisteiden osuvan suoralle, kuva 17.<br />
Tässä kokeessa ominaistaajuutena käytettiin ensimmäistä harmonista kerrannaistaajuutta,<br />
koska sen silmämääräinen havaitseminen ja sen taajuuden mittaaminen<br />
oli huomattavasti helpompaa kuin kielen perustaajuuden. Perustaajuuden resonanssi<br />
on leveä. On vaikeaa sanoa onko kieli resonanssissa juuri kyseisellä taajuudella jos<br />
taajuus mitataan 1 Hz:n tarkkuudella.<br />
Kuva 17.<br />
Jännitetyn kielen ominaistaajuudet (perustaajuus ja harmoniset kerrannaiset)<br />
ovat kääntäen verrannolliset kielen pituuteen.<br />
f<br />
~ 1 (11)<br />
l<br />
6.2.5. Toisesta tai molemmista päistä vapaan kielen ominaisvärähtelyt<br />
Seuraava koejärjestely on alunperin esitetty lähteessä [8].<br />
Edellisessä on rajoituttu tarkastelemaan molemmista päistään kiinnitetyn<br />
kielen ominaisvärähtelyjä. Toisesta- tai molemmista päistä vapaasti liikkumaan pääsevän<br />
kielen ominaisvärähtelyjä päästään tutkimaan kiinnittämällä värähtelevän<br />
komponentin vapaasti värähtelevä(t) pää(t) sitä pituusmassaltaan huomattavasti ke-
27<br />
vyempään lankaan. Värähtelijä asetetaan värisyttämään tätä kiinnityslankaa. Tätä<br />
koejärjestelyä kokeiltiin käyttämällä värähtelevänä komponenttina teräksistä kierrejousta<br />
(pituus venyttämättömänä 41 cm, paksuus 9 mm), joka liitettiin vapaasti värähtelevästä<br />
päästä halkaisijaltaan 0,35 mm:n vahvuiseen siimaan. Tällä järjestelyllä<br />
saatiin osien pituusmassojen suhde riittävän suureksi ja kevyempään lankaan liitetyn<br />
jousen vapaaseen päähän muodostui resonanssissa kupu.<br />
Molemmista päistään siimoissa kiinni oleva jousi muodosti siten värähtelevän<br />
systeemin, jonka molemmat päät pääsivät värähtelemään vapaasti. Keskitytään<br />
tutkimaan ainoastaan jousen värähtelyä. Kokeessa jousta venytettiin siten, että sen<br />
pituus oli koetta suoritettaessa 200 cm. Tällöinkin jousi painui keskeltä alaspäin noin<br />
1,5 cm. Värähtelijä liitettiin systeemiin lähelle toisen liitosnarun kiinnityskohtaa,<br />
kuva 18.<br />
Kuva 18: Kieli avoimilla reunaehdoilla, koejärjestely.<br />
Värähtelijän taajuutta muuttamalla etsittiin kieltä mallintavan jousen ominaistaajuudet.<br />
Ominaisvärähtelyjen taajuudet ja värähtelyissä olevien solmukohtien lukumäärät<br />
on esitetty taulukossa 3.<br />
Taulukko 3: Molemmista päistä vapaan kielen ominaisvärähtelyt.<br />
Solmuja 1 2 3 4 5 6<br />
taajuus f/ Hz 4,5 7,5 10,4 13,6 16,6 20,0<br />
Ominaistaajuuksillaan jousi värähteli aina siten, että sen molemmissa päissä<br />
oli kupukohta. Aidot negatiivikuvat ominaisvärähtelyistä on kuvissa 19.1 - 19.6.<br />
Kuva 19.1: Yksi solmukohta.<br />
Kuva 19.2: Kaksi solmukohtaa.<br />
Kuva 19.3: Kolme solmukohtaa.
28<br />
Kuva 19.4: Neljä solmukohtaa.<br />
Kuva 19.5: Viisi solmukohtaa.<br />
Kuva 19.6: Kuusi solmukohtaa.<br />
Solmukohtien määrä lisääntyi yhdellä aina siirryttäessä seuraavaan ominaistaajuuteen.<br />
Huomioitavaa on, että nyt resonanssitaajuudet eivät esiinny matalimman<br />
resonanssitaajuuden 4,5 Hz moninkertoina. Ominaistaajuudet esiintyvät kuitenkin<br />
säännöllisesti n. 3 Hz:n välein. Kiinnityssysteemi aiheuttaa sen, että perusvärähtely<br />
siirtyy korkeammalle taajuudelle. Tämä näkyy myös kuvasta 19.1, jossa jousen vasen<br />
pää ei selvästikään ole kupukohdassa. Muuten molemmista päistä vapaan värähtelevän<br />
“kielen” käyttäytymisen ei pitäisi erota molemmista päistä kiinnitetyn<br />
kielen käyttäytymisestä. Ominaistaajuuksien tulisi olla ensimmäisen ominaistaajuuden<br />
moninkertoja. [10 s.136 - 138]<br />
Kytkemällä jousen toinen pää kiinteästi ripustusleukoihin saadaan järjesteltyä<br />
tilanne, jossa kielen toinen pää on kiinnitetty ja toinen pää saa värähdellä vapaasti.<br />
Jousta jännitetään siten, että sen pituus on 200 cm. Kuvat näistä ominaisvärähtelyistä<br />
on kuvissa 20.1 - 20.6.<br />
Kuva 20.1: Ei solmukohtia.<br />
Kuva 20.2: Yksi solmukohta.<br />
Kuva 20.3: Kaksi solmukohtaa.<br />
Kuva 20.4: Kolme solmukohtaa.
29<br />
Kuva 20.5: Neljä solmukohtaa.<br />
Kuva 20.6: Viisi solmukohtaa.<br />
Kuva 20.7: Kuusi solmukohtaa.<br />
Toisesta päästä kiinnitetyn jousen ominaisvärähtelyjen taajuudet ja jousessa<br />
olevien solmukohtien lukumäärät on esitetty taulukossa 4.<br />
Taulukko 4: Toisesta päästä kiinnitetyn kielen ominaistaajuudet.<br />
Solmuja 0 1 2 3 4 5 6<br />
Taajuus f/ Hz 2,5 5,5 8,6 11,8 15,0 18,4 21,6<br />
Ominaistaajuudet esiintyvät n. 3,2 Hz:n välein mutta ne eivät ole perusvärähtelyn<br />
taajuuden tai sen puolikkaan kerrannaisia.<br />
Ideaalitapauksessa tässä jouseen muodostuvassa seisovassa aaltoliikkeessä<br />
kahden solmukohdan välinen etäisyys on kaksi kertaa pidempi kuin etäisyys jousen<br />
vapaasti värähtelevästä päästä ensimmäiseen solmukohtaan. Tämä ei kuitenkaan toteudu<br />
täydellisesti tutkitulla systeemillä. Etäisyys päätykuvusta ensimmäiseen solmukohtaan<br />
oli toistettavasti erityisesti perusvärähtelyn jälkeen toisilla värähtelymuodoilla,<br />
kuvat 19.2 ja 20.2, aina muutamaa senttimetriä liian suuri. Myös perusvärähtelyllä,<br />
kuvat 19.1 ja 20.1, jousen värähtelyn muoto ei ole ideaalinen. Tässä kohdassa<br />
täytyisi tarkastaa demonstraation idealisointien toteutuminen. Ripustussiimat<br />
vaikuttavat jousen käyttäytymiseen. Tämän vuoksi demonstraatio ei toimi kvantitatiivisen<br />
tason demonstraationa. Pienimmät ominaistaajuudet ovat siirtyneet n. 1 Hz:n<br />
suuremmalle taajuudelle kuin mitä reunaehdoiltaan vastaava aito systeemi.<br />
Tämä demonstraatio on kuitenkin hyvä kvalitatiivisen tason demonstraatio.<br />
Tarkoituksena on havainnollistaa värähtelevää kieltä, joka on joko toisesta- tai molemmista<br />
päistä vapaa. Näin täsmentyy käsitys värähtelevän systeemin reunaehdoista.<br />
Ominaisvärähtelyjen laatuun vaikuttaa värähtelevän systeemin kytkentä sitä ympäröivään<br />
systeemiin. Tutkituissa systeemeissä tämä reunaehto voi olla joko avoin<br />
tai suljettu. Suljetun reunaehdon tapauksessa värähtelevän systeemin reunan poikkeama<br />
tasapainoasemastaan on nolla. Avoimen reunaehdon tapauksessa reunalla<br />
poikkeaman ensimmäisen derivaatan arvo on nolla.
30<br />
6.3. Vedenpinnan ominaisvärähtelyt<br />
Ominaisvärähtelyjen olemassaolon edellytyksenä on tasapainoasemaan palauttava<br />
voima, joka on verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta. Tämä ei<br />
rajoitu ainoastaan kiinteisiin kappaleisiin. Myös altaallinen vettä muodostaa kappaleen,<br />
jonka pinta saadaan pienillä värähtelyillä värähtelemään tahdissa. Tässä tapauksessa<br />
tasapainoasemaan palauttavana voimana toimii veteen kohdistuva painovoima.<br />
Kapea vesiallas oli mitoiltaan 4 cm 37 cm 15 cm ja siinä olevan veden<br />
syvyys oli 9 cm. Näin kapeassa altaassa voidaan tutkia veden ominaisvärähtelyjä yhdessä<br />
ulottuvuudessa. Altaassa oleva vesi värjättiin kaliumpermaganaatilla ja siihen<br />
sekoitettiin n. 1 ml astianpesuainetta pintajännityksen pienentämiseksi. Värähtelyjen<br />
lähteenä toimi teräslevystä taivutettu mela, kuva 21.1, jota värisytettiin käsin. Tässä<br />
tapauksessa värähtelijän käyttö värähtelyjen lähteenä ei onnistunut. Käteen tuntuva<br />
heikko positiivinen takaisinkytkentä oli välttämätön värähtelyjen esiin saamiseksi.<br />
Veden värähtelyjä kuvattiin videokameralla. Videokamera ottaa 25 kuvaa sekunnissa.<br />
Tämän nauhoitteen perusteella voidaan määrittää vedenpinnan värähtelyn<br />
taajuus. Kun kyseessä on veden ominaisvärähtely, veden pinta värähtelee kauttaaltaan<br />
tahdissa. Vedenpinnanan erilaisia ominaisvärähtelyjä on esitetty kuvissa 21.2 -<br />
21.6.<br />
Kuva 21.1: Mela.<br />
Kuva 21.2: Yksi solmukohta.<br />
Kuva 21.3: Kaksi solmukohtaa.<br />
Kuva 21.4: Kolme solmukohtaa.
31<br />
Kuva 21.5: Neljä solmukohtaa.<br />
Kuva 21.6: Viisi solmukohtaa.<br />
Kuvista havaitaan selvästi, että vedenpinnan ominaisvärähtelyt ovat reunaehdoiltaan<br />
avoimia. Niillä on kupukohdat altaan päädyissä. Päätyjen välissä on ensimmäisessä<br />
ominaisvärähtelyssä yksi solmukohta, kuva 20.2, toisessa kaksi solmukohtaa,<br />
kuva 20.3. Solmukohtien määrä lisääntyy aina yhdellä siirryttäessä seuraavaan<br />
ominaisvärähtelyyn.<br />
Ominaisvärähtelyjen taajuudet määritettiin videokuvan avulla laskemalla<br />
montako kuvaa yhden jakson värähtely vie. Värähtelymuotojen taajuudet ovat taulukossa<br />
5.<br />
Taulukko 5.<br />
Solmuja 1 2 3 4 5<br />
Taajuus f / Hz 1,1 2,0 2,3 2,9 3,3<br />
6.4. Chladnin levyt - ohuen teräslevyn ominaisvärähtelyt<br />
Chladnin levyillä tarkoitetaan oikeastaan menetelmää kimmoisten levyjen<br />
ominaisvärähtelyjen tutkimiseen. Järjestely on nimetty E. F. Chladnin mukaan.<br />
Chladni ripotteli hienojakoista hiekkaa metallilevyille ja sai ne värähtelemään soittamalla<br />
niitä viulun jousella. Levyille ripoteltu hiekka kertyi levyn pinnalle värähtelyjen<br />
solmukohtiin muodostaen kuvioita, joista selviävät levyn ominaisvärähtelyjen<br />
muodot. Jopa itse Napoleonin kerrotaan ihastuneen tähän demonstraatioon niin, että<br />
hän rahoitti Chladnin asiaa koskevan julkaisun kääntämisen ranskan kielelle ja rahoitti<br />
maksettavaksi 3000 silloisen frangin palkkion henkilölle, joka ensimmäisenä<br />
kehittäisi ilmiötä kuvaavan matemaattisen teorian. Tämä palkinto osoitettiin 1815<br />
Sophie Germainille, jonka ratkaisu ongelmaan oli muodoltaan neljännen asteen differentiaaliyhtälö.<br />
Tosin hänen käyttämänsä reunaehdot osoittautuivat sittemmin vääriksi.<br />
Chladnin levyjen kuvioiden tutkiminen on kiinnostanut nimekkäitäkin fyysikoita,<br />
kuten Savart, Sthrelke, Faraday, Koenig, Debye, Young, Flügge, Wood, jne<br />
[13]<br />
Värähtelevinä levyinä käytettiin PASCOn välittämiä teräslevyjä (Model WA-<br />
9607) [12 s.118], jotka olivat ympyrän muotoinen halkaisijaltaan 24 cm oleva levy ja<br />
neliön muotoinen levy, jonka sivun pituus oli 24 cm. Levyjen paksuus oli 1,0 mm.<br />
Levyt värähtelevät vapain reunaehdoin. Ominaisvärähtelyjen näkyviin saamiseksi<br />
levyjen päälle ripoteltiin niiden mukana toimitettua hiekkaa.
32<br />
Kimmoisten levyjen ominaisvärähtelyjä tutkittiin nyt liittämällä ne värähtelijän<br />
sauvaan. Näin värähtelijän taajuutta säätämällä voitiin varioida levyjen värähtelyjen<br />
taajuutta ja ne saatiin värähtelemään tarkasti määritettävissä olevalla taajuudella.<br />
Levyjen ominaisvärähtelyt kuvattiin.<br />
Ominaisvärähtelyt luokitellaan niissä esiintyvien solmukohtien mukaan.<br />
Esimerkiksi suorakaiteen muotoisen levyn perusvärähtely on muotoa (2,0) tarkoittaen,<br />
että siinä on kaksi samansuuntaista solmuviivaa, kuva 22.1. Neliön muotoisella<br />
levyllä perusvärähtelyksi kelpaa tietysti myös muoto (0,2), jossa solmuviivat ovat<br />
vain kääntyneet 90 astetta. Suuntasääntö on kiinnitettävä suorakaiteen muotoisilla<br />
levyillä, mutta neliön muotoisella levyllä tämä ei tilanteen symmetrisyyden takia ole<br />
välttämätöntä.[16]<br />
Kuvissa 22.1 - 22.15 on esitetty neliön muotoisen levyn ominaisvärähtelyjä.<br />
Kuva 22.1: f = 65 Hz.<br />
Kuva 22.2: f = 76 Hz.<br />
Kuva 22.3: f = 107 Hz.<br />
Kuva 22.4: f = 165 Hz. Kuva 22.5: f = 196 Hz. Kuva 22.6: f = 334 Hz.<br />
Kuva 22.7: f = 381 Hz. Kuva 22.8: f = 469 Hz. Kuva 22.9: f = 523 Hz.<br />
Kuva 22.10: f = 787 Hz.<br />
Kuva 22.11: f = 950 Hz.<br />
Kuva 22.12: f = 1047 Hz.
33<br />
Kuva 22.13: f = 1380 Hz. Kuva 22.14: f = 1711 Hz. Kuva 22.15: f = 2250 Hz.<br />
Neliön muotoisen levyn perusvärähtelyssä on kaksi samansuuntaista solmuviivaa,<br />
kuva 22.1. Nämä solmuviivat voivat esiintyä kummassa suunnassa tahansa.<br />
Molemmilla värähtelyn muodoilla on sama ominaistaajuus. Tämä tilanteen symmetria<br />
tuo esiin myös täysin uudenlaisia ominaisvärähtelyjä, jotka eivät ole muodoiltaan<br />
perusvärähtelyjen kaltaisia, vaan täysin erilaisia. Nämä värähtelyt syntyvät kun samalla<br />
taajuudella esiintyvät erilaiset ominaisvärähtelyt interferoivat keskenään ja<br />
tuloksena on näiden värähtelyjen lineaarikombinaatio. Esimerkkinä voimme tarkastella<br />
millaisia värähtelyjä syntyy kun (2,0) ja (0,2)-värähtelyt interferoivat keskenään.<br />
Kuvassa 23 on esitetty neliön muotoisen levyn (0,2)- ja (2,0)-värähtelyt. Kuvaan<br />
on merkitty värähtelyjen solmuviivat ja poikkeaman suunta tasapainoasemasta<br />
jollain ajan hetkellä.<br />
+<br />
+ - +<br />
-<br />
Kuva 23: Neliön muotoisen levyn (0,2)- ja (2,0)-värähtelyt.<br />
Kun nämä värähtelyt interferoivat siten, että ne vahvistavat toisiaan kulmissa,<br />
syntyy (0,2)+(2,0) - värähtely. Tämä värähtelyn muotoa voi hahmotella piirtämällä<br />
(0,2)- ja (2,0)- värähtelyjä kuvaavat kaaviot päällekäin ja tarkastelemalla miten värähtelyt<br />
interferoivat levyn eri alueissa.[14 s.78], kuva 24.<br />
+<br />
-<br />
+<br />
+<br />
+ o +<br />
+<br />
o<br />
-<br />
o<br />
-<br />
+ o + +<br />
Kuva 24. Kuva 25.
34<br />
Solmukohdat muodostuvat niihin levyn kohtiin, joissa värähtelyt interferoivat<br />
destruktiivisesti ja kumoutuvat. Kuvasta 24 havaitaan, että levylle ilmestyvä<br />
solmuviiva on värähtelyjen (0,2) ja (2,0) yhdistelmä, joka luokitellaan (0,2)+(2,0)-<br />
värähtelyksi ja on muodoltaan rengas. Aito kuva tällaisesta värähtelystä on kuvassa<br />
25.<br />
Muille kuvassa 22 esiintyville värähtelyn muodoille voidaan etsiä samanlaisia<br />
selitysperusteita. Esimerkiksi kuvan 22.9 kuvio on (4,2) + (2,4) - värähtely.<br />
Ominaistaajuudet eivät noudata mitään helposti havaittavissa olevaa säännönmukaisuutta.<br />
Tämä demonstraatio onkin kvalitatiivinen demonstraatio, joka<br />
osoittaa värähtelevän levyn ominaisvärähtelyjen muotoja ja sitä kautta ominaisvärähtelyn<br />
asemaa värähtelevän systeemin vapausasteena.<br />
Ympyrän muotoisen levyn ominaisvärähtelyissä solmukohdat ovat ympyröitä,<br />
joiden keskipiste on ympyrän keskipisteessä, tai ympyrän halkaisevia diagonaaleja,<br />
kuvat 26. Näiden näkyviin saaminen riippuu myös siitä, mihin levyn kohtaan<br />
ulkoinen värähtely kohdistuu. Ominaisvärähtelyt, joiden solmukohdat ovat diagonaaleja,<br />
saa helpommin näkyviin jos pakkovärähtely ei kohdistu levyn keskipisteeseen.<br />
Ympyrän muotoisen levyn ominaisvärähtelyjä luokitellaan samanlaisin lukuparein<br />
kuin suorakaiteen muotoisen levyn ominaisvärähtelyjä. Nyt ensimmäinen luku<br />
kertoo diagonaalisten solmuviivojen määrän ja toinen ympyrän muotoisten solmuviivojen<br />
määrän. [14]<br />
Ympyränmuotoisten levyjen ominaisvärähtelyjä on kuvissa 26.<br />
Kuva 26.1: f = 119 Hz. Kuva 26.2: f = 150 Hz. Kuva 26.3: f = 337 Hz.<br />
Kuva 26.4: f = 451 Hz. Kuva 26.5: f = 462 Hz. Kuva 26.6: f = 825 Hz.
35<br />
Kuva 26.7: f = 938 Hz.<br />
Kuva 26.8: f = 1435 Hz.<br />
Kuva 26.9: f = 1563 Hz.<br />
Kuva 26.10: f = 1619 Hz.<br />
Kuva 26.11: f = 2570 Hz.<br />
Kuva 26.12: f = 3860 Hz.<br />
Kuvista 26 havaitaan selvästi ympyränmuotoisen levyn ominaisvärähtelyn<br />
muodot. Ominaisvärähtelyn solmuviivat ovat diagonaaleja, ympyröitä tai niiden yhdistelmiä.<br />
Saman tyyppisiä ominaisvärähtelyjä, joilla kaikki solmuviivat olivat ympyröitä,<br />
(0,n)-värähtelyt, on kuvassa 26 kuusi erilaista, kuvat 26.1, 26.3, 26.6, 26.12,<br />
26.11 ja 26.12. Ympyrän muotoisia solmuviivoja esiintyy yhdestä solmuviivasta,<br />
kuva 26.1, kuuteen solmuviivaan, kuva 26.12. Kuvassa 26.12 sisin solmuviiva on<br />
kiinni keskellä olevassa kiinnityskohdassa, joten se ei erotu kovin selkeästi. Näiden<br />
ominaisvärähtelyjen taajuudet eivät esiinny ensimmäisen taajuuden harmonisina kerrannaisina.<br />
Ominaistaajuudet eivät noudata mitään helposti pääteltävissä olevaa<br />
säännönmukaisuutta.<br />
Ympyrän muotoisten levyjen ominaisvärähtelyjen tutkiminen jää tällaisenaan<br />
kvalitatiivisen tason demonstraatioksi. Systeemillä on erilaisia ominaisvärähtelyn<br />
muotoja.
36<br />
7. Dispersiorelaatio<br />
7.1. Ominaisvärähtelyjen tulkinta seisovaksi aaltoliikkeeksi<br />
Värähtelevässä jännitetyssä kielessä esiintyvät ominaisvärähtelyt voidaan<br />
tulkita kielessä esiintyviksi seisoviksi aalloiksi, jossa yksi värähdys synnyttää yhden<br />
jakson aikana yhden aallon. Tämä antaa mahdollisuuden aaltoliikkeen vaihenopeudeksi<br />
tulkittavan suureen kvantifiointiin jännitetyssä kielessä. Värähtelevän kielen<br />
kahden peräkkäisen solmun välimatka on kielessä etenevän aallon aallonpituuden<br />
puolikas. Perustaajuudellaan värähtelevässä kielessä, jonka pituus on L, on seisova<br />
aaltoliike, jonka aallonpituus on 2L. Kullakin harmonisella kerrannaisella kieleenn<br />
tulee yksi solmu lisää siten, että solmujen välimatka on kussakin ominaisvärähtelyssä<br />
aina yhtä suuri. Täten kutakin ominaisvärähtelyä vastaa kielessä etenevän aallon<br />
aallonpituus, joka on:<br />
2L<br />
n<br />
(12)<br />
,missä n on kielen päiden välissä esiintyvien solmujen lukumäärä.<br />
Vastaavasti kutakin ominaisvärähtelyä vastaavan aaltoliikkeen taajuus on sama kuin<br />
kyseisen värähtelyn ominaistaajuus.<br />
f<br />
nf<br />
n 1 (13)<br />
, jossa f 1 on kielen perustaajuus ja n saa arvoja 1, 2, 3, … .<br />
Värähtelevään jännitettyyn kieleen synnytetyn aaltoliikkeen aallonpituus mitattiin<br />
kielen taakse kiinnitetyn pitkän teräsviivaimen avulla. Aallonpituus olisi toki<br />
ollut pääteltävissä solmujen lukumäärän ja kielen pituuden avulla. Värähtelijän liitoksen<br />
aiheuttamat poikkeamat kielen värähtelevän osan pituuteen haluttiin kuitenkin<br />
eliminoida ja mittausta käytettiin todellisten aallonpituuksien esiin saamiseksi.<br />
Mitatut aallonpituudet ja taajuudet ovat taulukossa 6. Kielinä käytettiin Pascon kielisarjan<br />
[3] 1,0 kg:n ja 1,2 kg:n punnuksilla jännitettyä keltaista kieltä, jonka pituus oli<br />
204 cm (kielet 1 ja 2), 1,0 kg:n punnuksella jännitettyä keltaista kieltä, jonka pituus<br />
oli 120 cm (kieli 3) ja 1,0 kg:n punnuksella jännitettyä punaista kieltä, jonka pituus<br />
oli 204 cm (kieli 4).
37<br />
Taulukko 6.<br />
Resonanssitaajuus f/(Hz)<br />
Aallonpituus /(cm)<br />
Kieli 1 Kieli 2 Kieli 3 Kieli 4 Kieli 1 Kieli 2 Kieli 3 Kieli 4<br />
15 17 26 408 408 240<br />
31 34 52 15 200 205 120 204<br />
46 50 78 23 136 137 80 136<br />
61 67 105 31 103 102,5 60 101<br />
76 84 131 38 81 82 48 82<br />
92 101 157 46 67 68 40 67<br />
107 118 54 58 58,5 59<br />
123 134 62 51,5 51 51<br />
138 151 69 45 45,5 45<br />
154 78 40 40<br />
169 86 37 37<br />
Piirretään kielen resonanssitaajuudet kieliin synnytettyjen aaltoliikkeiden<br />
aallonpituuksien käänteisarvon funktiona, kuva 27.<br />
1/<br />
Kuva 27.<br />
Kuvan symbolit: Kieli 1 () kieli 2 (+) kieli 3 (*) kieli 4 (x)<br />
Havaitaan kunkin kielen mittauspisteiden osuvan origon kautta kulkevalle<br />
suoralle. Kaikki suorat eivät kuitenkaan ole samansuuntaisia. Jännityksen lisääminen<br />
ja kielen pituusmassan muuttaminen vaikuttavat suoran jyrkkyyteen.<br />
Suoran kulmakerroin, taajuuden ja aallonpituuden tulo on kullekin kielen tilalle<br />
ominainen vakio, joka voidaan tulkita aaltoliikkeen vaihenopeudeksi kyseisessä
38<br />
systeemissä. Se on kielen tilalle ominainen vakio riippumatta käytetystä taajuudesta<br />
ainakin tämän mittauksen taajuuksien alueella.<br />
f vakio v<br />
(14)<br />
aallonpituus ja v aaltoliikkeen vaihenope-<br />
,missä f on aaltoliikkeen taajuus,<br />
us kielessä.<br />
Aaltoliikkeen vaihenopeudet mittauksessa käytetyillä kielillä (kuvan 27 suorien<br />
kulmakertoimet) ovat:<br />
keltainen kieli, pituus 204 cm, 1,0 kg punnus:<br />
keltainen kieli, pituus 204 cm, 1,2 kg punnus:<br />
keltainen kieli, pituus 120 cm, 1,0 kg punnus:<br />
punainen kieli, pituus 204 cm, 1,0 kg punnus:<br />
6200 cm/s = 62 m/s<br />
6900 cm/s = 69 m/s<br />
6300 cm/s = 63 m/s<br />
3200 cm/s = 32 m/s<br />
Kielen jännityksen kasvattaminen lisää aallon vaihenopeutta. Tämä voidaan<br />
tulkita siten, että väliaineen jännitystilan kasvattaminen lisää siinä etenevän aallon<br />
vaihenopeutta. Kielen pituusmassan kasvattaminen sitä vastoin pienentää vaihenopeutta.<br />
Tämä voidaan tulkita siten, että väliaineella on myös oma hitautensa, jonka<br />
kasvamisen vaikutus väliaineessa etenevän aallon vaihenopeuteen on pienentävä.<br />
Kielen pituudella ei näyttäisi olevan merkitystä aallon vaihenopeudelle. Kielen lyhentäminen<br />
siirtää kielen ominaistaajuuksia korkeammille taajuuksille, mutta taajuuden<br />
ja aallonpituuden tulo säilyy muuttumattomana, vaikka kielen pituus muuttuu.<br />
7.2. Kielen jännitysvoiman ja pituusmassan vaikutus aaltoliikkeen vaihenopeuteen<br />
Kielen jännitysvoimalla ja pituusmassalla havaittiin vaikuttavan aaltoliikkeen<br />
vaihenopeuteen jännitetyssä kielessä. On paikallaan tutkia näitä riippuvuuksia tarkemmin<br />
ja täsmentää tehtyä havaintoa.<br />
Tutkittiin tarkemmin kielen jännitysvoiman vaikutusta vaihenopeuteen.<br />
Käytettiin yhtä kieltä (keltainen, pituusmassa 2,54 0,02 g/m), jonka pituus<br />
(l = 204 cm) pidettiin vakiona. Varioitiin kielen jännitystä vaihtamalla kielen päähän<br />
erimassaisia punnuksia. Käytettiin punnuksia 500 g:n ja 1700 g:n väliltä. Aaltoliikkeen<br />
nopeus kielessä määritettiin kielen resonanssien avulla. Piirrettiin kieleen syntyneiden<br />
ominaisvärähtelyjen aaltoliikkeiden taajuudet aallonpituuksien käänteisarvojen<br />
funktiona. Tähän pistejoukkoon sovitettiin Matlabilla suora, jonka kulmakerroin<br />
on aaltoliikkeen vaihenopeus kyseisessä kielessä. Mitatut aallonpituudet, taajuudet<br />
ja (1/,f)-koordinaatistoon sovitettujen suorien kulmakertoimet ovat taulukossa<br />
7.
39<br />
Taulukko 7.<br />
Punnus 0,5 kg 0,7 kg 1 kg 1,2 kg 1,5 kg 1,7 kg<br />
resonanssit /cm f/Hz /cm f/Hz /cm f/Hz /cm f/Hz /cm f/Hz /cm f/Hz<br />
408 10,5 408 12,5 408 15,5 408 17,0 408 18,5 408 20,0<br />
206 22,0 204 26,0 200 31,0 205 34,0 206 37,0 206 39,5<br />
136 33,0 138 38,0 136 46,0 137 50,0 140 55,0 136 59,5<br />
102 44,0 102 51,0 103 61,0 102 67,5 104 73,5 102 80,0<br />
82 54,5 81 63,5 81 76,5 82,0 84,5 81,5 95,0 81,0 100<br />
68 65,0 68 77,0 67 92,0 68,0 101 68,0 113 68,0 120<br />
58 76,0 59 90,0 58 107 58,5 118 58,5 132 58,5 140<br />
51 87,0 50 103, 51,5 123 51,0 134 51,0 150 51,0 160<br />
45 98,0 45 115 45 138 45,5 151 45,0 168<br />
40 109 40 128 40 154<br />
37 120 37 141 37 169<br />
34 131 34 155<br />
31 143<br />
kulmakerroin 4417 cm/s 5221 cm/s 6223 cm/s 6858 cm/s 7637 cm/s 8177 cm/s<br />
Piirretään näin saadut aaltoliikkeiden vaihenopeudet kielen jännitysvoiman<br />
neliöjuuren funktiona, kuva 28, ja sovitetaan tähän pistejoukkoon suora.<br />
aaltoliikkeen vaihenopeuden riippuvuus kielen jännityksestä<br />
Kielen jännitysvoiman neliöjuuri F / N<br />
Kuva 28: Aaltoliikkeen nopeuden riippuvuus kielen jännityksestä.
40<br />
Mittauspisteet osuvat hyvin origon kautta kulkevalle suoralle. Aaltoliikkeen<br />
vaihenopeus jännitetyssä kielessä on verrannollinen kielen jännitysvoiman neliöjuureen.<br />
v<br />
~ F<br />
(15)<br />
Kielen pituusmassalla havaittiin olevan vaikutusta aaltoliikkeen vaihenopeuteen<br />
kyseisessä kielessä. Kun tätä riippuvuutta täsmennetään, kielen jännitysvoima<br />
pidetään vakiona ja varioidaan kieltä (kielen pituusmassaa). Kieliä jännitettiin<br />
700 g:n punnuksilla ja niiden pituus pidettiin vakiona l = 204 cm. Kokeessa käytettiin<br />
kielisarjan kevyimpiä kieliä aina punaiseen kieleen asti. Aaltoliikkeen vaihenopeus<br />
määritettiin piirtämällä kieleen syntyneiden ominaisvärähtelyjen aaltoliikkeiden<br />
taajuudet aallonpituuksien käänteisarvojen funktiona. Tähän pistejoukkoon sovitettiin<br />
Matlabilla suora, jonka kulmakerroin on aaltoliikkeen vaihenopeus kyseisessä<br />
kielessä. Mitatut aallonpituudet, taajuudet ja (1/,f)-dataan sovitettujen suorien kulmakertoimet<br />
ovat taulukossa 8.<br />
Taulukko 8.<br />
Pituusmassa 10,613 g/m 7,634 g/m 5,196 g/m 2,535 g/m 1,164 g/m 1,03 g/m 0,67 g/m<br />
resonanssit / f/Hz / f/Hz / f/Hz / f/Hz / f/Hz / f/cm / f/Hz<br />
cm cm cm cm cm cm cm<br />
408 8,0 408 9,0 408 12,5 408 19,0 408 20,0 408 25,0<br />
210 12,0 202 16,0 204 18,0 204 26,0 206 38,0 206 40,5 206 50,0<br />
101 26,0 132 23,0 136 27,0 138 38,0 137 58,0 138 61,0 137 75,0<br />
81 33,0 101 30,5 101 36,0 102 51,0 103 76,0 103 81,0 103 99,0<br />
68 39,0 80 38,5 81 45,0 81 63,5 81,5 96,0 82 100 82,0 123<br />
57 46,0 67 45,5 67 54,0 68 77,0 68,5 114 67 121 68,0 147<br />
50 52,0 58 54,0 58 63,0 59 90,0 58,0 133 59 141 58,5 173<br />
45 58,0 50 62,0 51 71,0 50 103 51,0 151 51 161 51,0 197<br />
40 64,0 45 69,0 45 81,5 45 115 46,5 170 45,5 223<br />
37 72,0 41 78,5 41 90,5 40 128 41,5 189 41,0 249<br />
38 87,0 37 100 37 141 37,5 209 37,0 273<br />
34 109 34 155 34,0 228 34,0 300<br />
31,5 247<br />
29,0 265<br />
27,0 284<br />
25,5 304<br />
kulmakerroin 2617 cm/s 3234 cm/s 3706 cm/s 5221 cm/s 7704 cm/s 8189 cm/s 10147 cm/s<br />
Piirretään näin saadut aaltoliikkeen vaihenopeudet kielissä kielten pituusmassan<br />
käänteisarvon neliöjuuren funktiona, kuva 29. Havaitaan mittauspisteiden osuvan<br />
origon kautta kulkevalle suoralle.
41<br />
aaltoliikkeen vaihenopeuden riippuvuus kielen pituusmassasta<br />
1<br />
/<br />
m g<br />
Kuva 29.<br />
Kuvaajan perusteella aaltoliikkeen vaihenopeus jännitetyssä kielessä on<br />
kääntäen verrannollinen kielen pituusmassan neliöjuureen.<br />
v<br />
~<br />
1<br />
(16)<br />
K<br />
Vaihenopeus on verrannollinen kielen jännitysvoiman neliöjuureen ja kääntäen<br />
verrannollinen kielen pituusmassan neliöjuureen. Tämä merkitsee, että nopeus<br />
on verrannollinen niiden osamäärän neliöjuureen:<br />
v<br />
F<br />
~ <br />
(17)<br />
K<br />
Tässä vaiheessa lakia täsmennetään mahdollisen verrannollisuuskertoimen<br />
selvittämiseksi. Tutkitaessa ylläolevan verrannollisuuden molempien osapuolien yk-
42<br />
siköitä havaitaan niillä olevan sama si-järjestelmän yksikkö, m/s. Taulukossa 9 on<br />
laskettu nopeussuureen kvantifioinnissa käytetyille kielille jännitysvoiman ja pituusmassan<br />
suhteen neliöjuuri ja kielen resonanssien avulla kulmakertoimesta saatu<br />
aaltoliikkeen vaihenopeus.<br />
Taulukko 9.<br />
Kieli ja jännityspunnus<br />
F<br />
/ (m/s) v / (m/s)<br />
keltainen 1,0 kg 62,1 62,2<br />
keltainen 1,2 kg 68,1 68,5<br />
punainen 1,0 kg 30,4 31,7<br />
sininen 0,7 kg 30,5 32,3<br />
keltainen 1,5 kg 76,1 76,4<br />
musta 1,0 kg 92,0 92,0<br />
keltainen 1,7 kg 81,0 81,8<br />
Taulukosta havaitaan, että aaltoliikkeen vaihenopeus, joka osoitettiin verrannolliseksi<br />
kielen jännitysvoiman ja pituusmassan suhteen neliöjuureen on lähes jokaisella<br />
taulukon kielellä toisen merkitsevän numeron tarkkuudella sama. Tämä<br />
viittaisi siihen, että tutkitun riippuvuuden verrannollisuuskertoimen on yksi ja verrannollisuus<br />
voitaisiin kirjoittaa yhtälöksi. Tämän varmistamiseksi piirretään taulukon<br />
9 aaltoliikkeen vaihenopeus jännitysvoiman ja pituusmassan suhteen neliöjuuren<br />
funktiona, kuva 30.<br />
m<br />
Kuva 30.<br />
F<br />
<br />
/ m/s
43<br />
Pistejoukkoon sovitetun suoran kulmakerroin on 1,0. Aaltoliikkeen vaihenopeus<br />
jännitetyssä kielessä riippuu vain kielen jännityksestä ja pituusmassasta ja on<br />
niiden suhteen neliöjuuri.<br />
v<br />
F<br />
(18)<br />
K<br />
7.3. Pulssin etenemisnopeus-suureen liittäminen nopeussuureiden<br />
joukkoon<br />
Olemme saaneet kvantifioiduksi suureen, joka kuvaa aaltoliikkeen vaihenopeutta<br />
jännitetyssä kielessä. Kielen pituuden varioiminen antoi olettaa, että tämä nopeus<br />
ei riipu kielen pituudesta. Tämä suure liitettiin kielen ominaisuuksiin. Se on<br />
kuitenkin tässä vaiheessa täysin eri suure kuin etenemisliikkeen nopeus. Intuitiivisesti<br />
ajatellen suureen tulisi kuvata myös tapahtuneesta häiriöstä lähtevän signaalin<br />
etenemisnopeutta, jonka tulisi olla vakio riippumatta kielen pituudesta ja sen tulisi<br />
riippua ainoastaan kielen jännityksestä ja pituusmassasta.<br />
Kvantifioivassa kokeessa esiintyvä nopeuden idea sisältyy siihen, että vakionopeudella<br />
etenevä häiriö saa kielen seisovaan aaltoliikkeeseen sen ominaistaajuudella.<br />
Häiriöt ovat kuitenkin amplitudiltaan pieniä ja etenevät niin nopeasti, ettei<br />
niistä voi tehdä kunnon näköhavaintoa. Valoportit ja impulssilaskuri kykenevät kuitenkin<br />
havaitsemaan tämän pulssin etenemisen. Aaltoliikkeen pulssin etenemisnopeuden<br />
mittaaminen voidaan todentaa seuraavan koejärjestelyn avulla, joka on alunperin<br />
raportoitu lähteessä [9].<br />
Käytetään kielelle samanlaista ripustus- ja jännitysmekanismia kuin aikaisemminkin.<br />
Asetetaan valoportit kielen alapuolelle ja asetetaan ne mittaamaan aikaa<br />
siten, että ensimmäisen valoportin sulkeutuminen käynnistää kellon ja toisen valoportin<br />
sulkeutuminen pysäyttää sen. Kokeessa käytettiin Impo counter MC24- impulssilaskuria<br />
valoportteineen. Kun kielessä etenevä häiriöpulssi saapuu valoportin<br />
kohdalle, kieli katkaisee valonsäteen. Varioidaan valoporttien välimatkaa ja aiheutetaan<br />
kielen tasapainoasemaan häiriö näpäyttämällä kieltä terävästi, mutta ei liian<br />
lujasti.<br />
Esimerkkimittauksessa käytettiin sinistä kieltä. Se oli tarpeeksi paksu ja se<br />
katkaisi valoportin valonsäteen ilman lisäpaksunnoksia tai kieleen liitettäviä lappuja.<br />
Mittaustarkkuuden parantamiseksi portin valonsäde asetettiin siten, että lepotilassa<br />
kielen varjo osui juuri valoportin valotransistorin yläpuolelle ja varmistuttiin siitä,<br />
että varjo osui samaan kohtaan kummassakin valoportissa aina ennen mittauksen<br />
aloittamista. Tällöin oletettavasti kielessä etenevän pulssin sama kohta aina katkaisi<br />
valoportin valonsäteen kummassakin portissa. Piirretään valoporttien välimatka niiden<br />
mittaamien aikaerojen funktiona. Kuvaja esimerkkimittauksesta on kuvassa 31.
44<br />
Kuva 31: Pulssin etenemismatka ajan funktiona.<br />
Kuvasta 31 havaitaan, että pulssin kulkema matka on verrannollinen kulutettuun<br />
aikaan. Sovitetaan mittauspisteisiin suora ja määritetään pulssin etenemisnopeus<br />
tämän suoran kulmakertoimena. Jännitetyssä kielessä on todellakin kielelle<br />
ominainen pulssin etenemisnopeus, joka on vakio riippumatta tarkasteltavan kielen<br />
osan pituudesta, mikäli kielen on jännitys ja pituusmassa ovat vakioita. Siniselle<br />
kielelle (pituus 2,50 m, pituusmassa 7,36 g/m), jota kuormitettiin 700 g:n punnuksilla<br />
saatiin pulssin etenemisnopeudeksi 30000 cm/s = 30 m/s. Tämä nopeus on kuitenkin<br />
pienempi kuin aaltoliikkeen vaihenopeus määritettynä kielen resonanssin<br />
avulla, joka oli 32 m/s. Tulos on kuitenkin oleellisesti samaa suuruusluokkaa. Varioimalla<br />
kieltä ja jännitystä saatiin aina systemaattisesti hieman pienempiä nopeuksia<br />
kuin resonanssimenetelmällä. Tämä systemaattisesti pienempi nopeus voi johtua<br />
etenevän pulssin madaltumisesta. Tämä kuitenkin antaa pienen viitteen siitä, että väliaineessa<br />
etenevän häiriöpulssin etenemisnopeus ei olisi yhtä suuri kuin väliaineessa<br />
etenevän aallon vaihenopeus.<br />
7.4. Vaihenopeuden yleistäminen dispersiorelaatioksi<br />
Jännitetty kieli on aaltoliikkeen kannalta erityisasemassa, koska siinä esiintyvien<br />
aaltoliikkeiden nopeudet ovat riippumattomia taajuudesta ainakin riittävän pienillä<br />
taajuuksilla (14). Tämä invarianssi ei kuitenkaan ole yleistettävissä kaikkiin<br />
aaltoliikkeisiin. Teoreettinen tarkastelu, joka johtaa tähän lopputulokseen tarvitsee<br />
seuraavat keskeiset oletukset. Väliaineen (kielen) pituusmassan on oltava vakio. Väliaineen<br />
värähtelyjen on oltava pieniä. Tällöin jokainen kielen alkio siirtyy vain värähtelyn<br />
suunnassa kohtisuoraan kielen määräämää suuntaa vastaan. Tämä loivan
45<br />
aallon approksimaatio sisältää myös ominaisvärähtelyjen kannalta välttämättömän<br />
idealisoinnin. Kielen jännitysvoima on sen jokaisessa pisteessä verrannollinen kielen<br />
suhteelliseen venymään. Kieleltä tämä edellyttää sen olevan äärimmäisen taipuisa.<br />
[4 s.50 - 56] Nyt yritetäänkin etsiä idealisoitua lakia noudattamattomia värähteleviä<br />
systeemejä.<br />
Ensimmäiseksi kokeiltiin venytettyä vaatetusteollisuudessa käytettävää kuminauhaa<br />
mallia Inka. Sitä venytettiin 500 g:n ja 700 g:n punnuksilla. Tällöin venyttämättömänä<br />
205 cm pitkä nauha venyi 310 cm:n ja 351 cm:n pituiseksi. Sen<br />
ominaisvärähtelyt esiintyivät kuitenkin tarkasti perustaajuuden kerrannaisina, joten<br />
aaltoliikkeen vaihenopeus kyseisessä kuminauhassa oli vakio. Ominaisvärähtelyjen<br />
muodot olivat jopa selkeämmin havaittavissa kuin metallisia kieliä käytettäessä, joten<br />
kyseinen kuminauha on hyvä ja näkyvä väline luentodemonstraatioon tältä osaalueelta.<br />
Aaltoliikkeen vaihenopeus oli silmukalle ominainen vakio näin pienillä venymillä.<br />
Värähtelijän lisävarusteena myydään ympyrän muotoista halkaisijaltaan<br />
24 cm metallilankasilmukkaa. Pascon luettelon [12 s.119] mukaan se on tarkoitettu<br />
demonstroimaan Bohrin atomimallin mukaisia elektronin stationaarisia ratoja atomiytimen<br />
ympärillä. Tämä on kuitenkin fysikaalisesti täysin väärä kiinnitys. Bohrin<br />
atomimalli on hiukkas- ei aaltomalli. Nyt kuitenkin rajoitutaan käsittelemään silmukkaa<br />
värähtelevänä systeeminä.<br />
Silmukka asetettiin värähtelijään pystyyn, kuva 32. Säädettiin värähtelijään<br />
syötettävän signaalin taajuutta ja tarkkailtiin silmukan värähtelyä etsien näin silmukan<br />
ominaistaajuuksia.<br />
Silmukan ja värähtelijän liitoskohtaan syntyi aina värähtelijän solmukohta.<br />
Värähtely, jossa olisi parillinen määrä solmuja ei tällöin voi olla näin kiinnitetyn<br />
silmukan ominaisvärähtely. Tämä selittyy helposti tulkittaessa silmukan ominaisvärähtelyt<br />
silmukassa eteneväksi aaltoliikkeeksi. Sellaisilla ominaisvärähtelyillä, joilla<br />
olisi parillinen määrä solmuja, liitoskohdasta molempiin suuntiin etenevät aallot interferoisivat<br />
destruktiivisesti kohdatessaan, kuvan 32 suurennos.<br />
Kuva 32.<br />
Ympyrän muotoinen metallisilmukka on väliaineena jäykkä ja sen ei pitäisi<br />
täyttää vaatimusta äärimmäisestä taipuisuudesta. Silmukan ominaisvärähtelyt tulkitaan<br />
seisoviksi aalloiksi. Tällöin silmukkaan syntyvien aaltojen aallonpituus on<br />
kääntäen verrannollinen solmukohtien määrään.
46<br />
Tarkasti aallonpituus on :<br />
2L<br />
n<br />
(19)<br />
, jossa n on solmujen lukumäärä ja L silmukan kehän pituus.<br />
Silmukan halkaisijan pituus oli 24,0 cm, joten silmukan kehän pituus on<br />
75,4 cm. Taulukossa 10 on mitatut silmukan ominaistaajuudet ja jokaisella taajuudella<br />
silmukassa esiintyvien solmukohtien lukumäärä.<br />
Taulukko 10.<br />
Taajuus f /(Hz) 19 71 148 250 379 527 700<br />
Solmuja 3 5 7 9 11 13 15<br />
aallonpituus<br />
/ m<br />
0,503 0,302 0,215 0,168 0,137 0,116 0,100<br />
Jotta päästään tarkastelemaan aaltoliikkeen vaihenopeuden riippuvuutta silmukan<br />
ominaisvärähtelyjen taajuudesta piirretään silmukan ominaistaajuudet silmukassa<br />
olevan aaltoliikkeen aallonpituuden käänteisarvon funktiona, kuva 33.<br />
1/ / 1/m<br />
Kuva 33.<br />
Kuvasta 33 havaitaan, että pisteet eivät osu suoralle. Tässä silmukassa aaltoliikkeen<br />
vaihenopeus riippuu aallonpituudesta ja kasvaa siirryttäessä kohti korkeam-
47<br />
pia taajuuksia. Vaihenopeus ei täten ole pelkästään silmukalle ja sen tilalle ominainen<br />
suure, vaan sen tuntemiseksi edellytetään tietoa myös silmukassa etenevän aallon<br />
aallonpituudesta.<br />
Aaltoliikkeen vaihenopeus yleistyy näin vakioisesta suureesta dispersiorelaatioksi,<br />
joka kertoo miten vaihenopeus riippuu taajuudesta. Jännitetyllä kielellä ja<br />
kuminauhalla tämä riippuvuus oli yksinkertaisin mahdollinen, vaihenopeus oli taajuudesta<br />
riippumaton ainoastaan väliaineen tilasta riippuva suure. Tällaisessa väliaineessa<br />
dispersiorelaation sanotaan olevan lineaarinen ja väliaine luokitellaan eidispersiiviseksi.<br />
Väliaineet, joissa vaihenopeus riippuu taajuudesta luokitellaan dispersiivisiksi<br />
väliaineiksi.<br />
Tätä riippuvuutta voidaan tutkia tarkemmin. Pistejoukkoon, kuva 33, on sovitettu<br />
niiden kautta mahdollisimman hyvin kulkeva käyrä, joka tässä tapauksessa on<br />
paraabeli. Tämä käyrä kuvaa jokaisessa pisteessään aaltoliikkeen taajuuden ja aallonpituuden<br />
käänteisarvon suhdetta ja on aaltoliikkeen dispersiorelaatio kyseisessä<br />
silmukassa. Tämä suhde pelkistyy aaltoliikkeen vaihenopeudeksi, nopeudeksi jolla<br />
aallonharjat etenevät. Tähän ei tarvita muuta oletusta kuin se, että yksi värähtely<br />
synnyttää yhden aallon. Tässä tapauksessa tämän havainnoiminen on mahdotonta,<br />
koska silmukan värähtelyjen taajuus on suuri.<br />
7.5. Pitkittäinen aaltoliike jousessa<br />
Värähtelijän lisävarusteisiin kuuluu lepotilassa 105 mm<br />
pitkä löysähkö jousi Pasco lognitudal Wave Spring Model WA-<br />
9401 [12 s.118], jolla on tarkoitettu demonstroimaan pitkittäistä<br />
aaltoliikettä jännitetyssä jousessa. Jousi kiinnitetään yläosastaan<br />
statiiviin, alaosa liitetään värähtelijän sauvaan. Jousen pituutta on<br />
helppo varioida säätämällä yläpään ripustuksen korkeutta, kuva<br />
34. Värähtelijään syötettiin sinimuotoista vaihtojännitettä Signaali<br />
Oy:n signaaligeneraattorista malli OFG-101.<br />
Venytetään jousi 50 cm:n pituuteen. Muutetaan värähtelijään<br />
syötettävän signaalin taajuutta. Jousi joutuu resonanssiin<br />
värähtelijän kanssa ensimmäisen kerran 3 Hz:n taajuudella. Tällöin<br />
koko jousi värähtelee tahdissa. Kun taajuutta suurennetaan,<br />
jouseen muodostuu seisova aaltoliike aina kun taajuutta lisätään<br />
3 Hz:n välein. Tällöin jousen kierteissä on selvästi havaittavia Kuva 34.<br />
solmukohtia, jotka pysyvät paikallaan. Kupukohdat sen sijaan<br />
värähtelevät selvästi. Korkeammilla taajuuksilla kielen solmukohdat<br />
piirtyvät terävinä paikallaan olevina kierteinä ja kupukohdat sumentuvat.<br />
Silmä ei kykene seuraamaan jousen nopeaa liikettä. Pitkittäinen aaltoliike muodostaa<br />
samanlaisen seisovan aaltoliikkeen kuin poikittainen aaltoliike jännitetyssä kielessä.<br />
Väliaineen osasten liikkeen suunta on vain erilainen. Puhutaan aaltoliikkeen polarisaatiosta.<br />
Tässä tapauksessa polarisaatiosuunta on väliaineen (jousen) suuntainen.
48<br />
Jouseen muodostuvien<br />
solmukohtien välimatkat eivät ole<br />
samanpituisia kaikkialla jousessa.<br />
Jousessa olevan seisovan aaltoliikkeen<br />
aallonpituus pitenee selvästi<br />
jousen yläpäätä kohti siirryttäessä.<br />
Tämä nähdään kuvassa<br />
35. Kun taajuus on koko ajan<br />
systeemissä säilyvä pakkovärähtelyn<br />
taajuuden määräämä ominaisuus,<br />
täytyy jousessa etenevän<br />
aallon vaihenopeuden muuttua<br />
paikan funktiona. Tämä johtuu<br />
jousen jännitystilan epähomogeenisuudesta.<br />
Jousen yläpää on voimakkaammassa<br />
jännitystilassa<br />
kuin jousen alapää, koska jousen<br />
alapään paino venyttää jousen<br />
yläpäätä ulkoisen venytyksen lisäksi.<br />
Väliaineen jännityksen kasvaessa<br />
aaltoliikkeen vaihenopeus<br />
kasvaa (#7.2). Tämä ilmiö on helpoimmin<br />
havaittavissa kun jousen<br />
venymät ovat tarpeeksi pieniä,<br />
noin 40 cm. Jousen ominaistaajuudet<br />
esiintyivät tällä mitaustarkkuudella<br />
erittäin tarkasti perusvärähtelyn<br />
taajuuden kerrannaisina.<br />
Kuvassa 36 on piirretty jousen<br />
ominaistaajuudet jousen keskellä<br />
olevien solmukohtien lukumäärän<br />
funktiona.<br />
Kuva 35: Pitkittäinen aaltoliike jousessa.
49<br />
Kuva 36.<br />
Ominaistaajuudet esiintyivät perustaajuuden harmonisina kerrannaisina. Kuvan<br />
perusteella voidaan sanoa, että jousessa etenevän pitkittäisen aaltoliikkeen vaihenopeus<br />
ei riipu taajuudesta tutkitulla taajuusalueella. Vaihenopeus on aineen tilalle<br />
ominainen suure, joka ei kuitenkaan pysynyt vakiona tarkastetussa systeemissä. Verrattaessa<br />
pitkittäisen aaltoliikkeen etenemistä jousessa jännitetyissä kielissä etenevään<br />
aaltoliikkeeseen, puretaan samalla aineen tilan homogeenisuudelle tehty keskeinen<br />
idealisointi. Jousen tapauksessa jännitystila ei ole koko jouselle ominainen<br />
vakio.
50<br />
8. Johtopäätökset<br />
Värähdysliikkeen kvantitatiiviseen kuvaamiseen tarvittavat käsitteet luotiin<br />
yksinkertaisella jousi-punnus-systeemillä. Tämä käsitteistäminen on värähtelyjen<br />
käsitteistön luomisessa perushahmottavaa empiriaa, jossa käsitteistetään ilmiötä jo<br />
tunnettujen suureiden, aika, paikka, välimatka avulla. Käsitteet ovat helposti ymmärrettävissä<br />
esitetyn perusteella.<br />
Samalla pelkistetyllä systeemillä muodostettiin systeemin ominaisvärähtelyn<br />
käsite systeemille ominaisena vapausasteena. Ominaisvärähtelyyn liitettiin sille ominainen<br />
taajuus, joka on systeemin ominaistaajuus. Systeemi, jolla on vain yksi vapausaste<br />
ei johda käsitteenmuodostuksessa kovinkaan pitkälle. Tarvitaan myös muita<br />
systeemejä vahvistamaan tätä käsitystä.<br />
Ominaistaajuuden olemassaolon yhteys mekaniikkaan avautui voiman lain<br />
kautta. Tehty demonstraatio osoittaa millä edellytyksillä systeemillä on ominaistaajuuksia.<br />
Ominaistaajuuden olemassaolo avaa mahdollisuuden tutkia värähtelevien<br />
systeemien ominaisvärähtelyjä sähkömekaanisella värähtelijällä. Tähän nojautuen<br />
testattiin useita erilaisia värähteleviä systeemejä. Systeemien erilaiset ominaisvärähtelyt<br />
saatiin näkymään selvästi käytetyillä laitteilla. Värähtelijän käyttäminen jousipunnussysteemin<br />
värähtelyjen lähteenä liitti vapausasteen käsitteen tiukemmin systeemin<br />
ominaisvärähtelyihin ja vapausasteiden määrä liitettiin itse systeemiin. Värähtelevän<br />
kielen ominaisvärähtelyjä tutkittaessa saatiin määritettyä laki ominaisvärähtelyjen<br />
taajuuksille ja osoitetuksi taajuuden olevan kääntäen verrannollinen kielen<br />
pituuteen. Samalla saatiin käsitteistettyä reunaehto värähtelevän systeemin käyttäytymiseen<br />
vaikuttavana tekijänä. Jännitetyn kielen ominaisvärähtelyt ovat muodoltaan<br />
erilaisia ja esiintyvät eri taajuuksilla riippuen siitä miten se on kiinnitetty. Ominaisvärähtelyjen<br />
käsitettä yleistettiin myös muihin homogeenisiin systeemeihin, veden<br />
pinnan värähtelyihin ja kimmoisten levyjen värähtelyihin.<br />
Sunniteltu kokonaisuus toteutti ominaisvärähtelyjen ja -taajuuden käsitteiden<br />
osalta asetetut tavoitteet. Yhdistäminen mekaniikkaan tasapainoasemaan palauttavan<br />
voiman lain kautta antaa mahdollisuuden tulkita värähtelyjä koko mekaniikan teorian<br />
pohjalta. Suurimmat vaikeudet käsitteellisten tavoitteiden saavuttamiseksi olivat<br />
teknisiä. Värähtelijän taajuuden tarkka säätäminen oli vaikeaa. Vedenpinnan ominaisvärähtelyjen<br />
tutkiminen sen avulla osoittautui mahdottomaksi. Tietokoneen<br />
avulla toteutettava taajuuden säätö toisi avun tähän ongelmaan.<br />
Ominaisvärähtelyjen tulkinta seisovaksi aaltoliikkeeksi ohjasi tutkimaan<br />
taajuuden riippuvuutta aallonpituudesta. Tämä riippuvuus kvantifioi uuden suureen,<br />
joka on tulkittavissa aaltoliikkeen vaihenopeudeksi. Tämä suure osoittautui jännitetyn<br />
kielen tapauksessa olevan kielen tilalle ominainen vakio. Se kytkettiin kielen<br />
ominaisuuksiin, jännitykseen ja pituusmassaan. Jännitetyn kielen tapauksessa dispersiorelaatio<br />
oli lineaarinen. Vaihenopeus ei riippunut taajuudesta. Vaihenopeuden<br />
yleistäminen väliaineelle ominaisesta vakioisesta suureesta taajuudesta riippuvaksi<br />
dispersiorelaatioksi tapahtui jäykällä metallisilmukalla toteutetulla koejärjestelyllä.<br />
Silmukan ominaistaajuudet siirtyivät suuremmille taajuuksille kuin mitä perustaajuuden<br />
harmoniset kerrannaiset edellyttäisivät. Tämä kertoo vaihenopeuden riippuvan<br />
taajuudesta.<br />
Dispersiorelaation osalta suunniteltu ja toteutettu demonstraatiokokonaisuus<br />
täytti sille asetetut tavoitteet. Vaihenopeus saatiin yleistettyä dispersiorelaatioksi.
Ryhmänopeuden käsitteen liittäminen tähän dispersiorelaatioon sille piirretyn tangentin<br />
kulmakertoimena olisi ollut puhtaasti teoreettinen liitos vailla empiiristä<br />
pohjaa. Tämän vuoksi sitä ei otettu esille.<br />
Sähkömekaaninen värähtelijä oli tärkeä ja käyttökelpoinen väline erityisesti<br />
kokonaisuuden kvantitatiivisia mittauksia tehtäessä.<br />
Suunniteltu demonstraatiokokonaisuus antaa mielekkään ja havainnollisen<br />
lähtökohdan värähdysliikkeen dynamiikan ja ominaisvärähtelyjen opetukseen. Kaikki<br />
käsitteelliset tavoitteet saatiin toteutettua lähestymistavan mukaisesti suunniteltujen<br />
demonstraatioiden ja käytettävissä olleiden välineiden avulla.<br />
51
52<br />
Viitteet<br />
[1] Andersson S., Hämäläinen A., Kurki-Suonio K.(1987)<br />
Demonstraatiot fysiikan käsitteenmuodostuksen tukena. Hidas massa.<br />
Report Series in Physics HU-P-A70, Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos, Helsinki<br />
[2] Anon. (1990),<br />
Variable Frequency Mechanical Wave Driver, Instruction Sheet for the PASCO<br />
Model SF-9324, PASCO Scientific, Roseville CA<br />
[3] Anon (1990),<br />
Vibrating Wire Set, Instruction Sheet for the PASCO Model WA-9608,<br />
PASCO Scientific, Roseville CA<br />
[4] Crawford, Frank S. Jr. 1968<br />
Waves, Berkley physics course-volume 3., McGraw-Hill, NY<br />
[5] Eggert, Jon H. (1997)<br />
One-dimensional lattice dynamics with periodic boundary conditions:An analog<br />
demonstration<br />
Am. J. Phys., 65 February 1997 s.108 - 116<br />
[6] French, A.P., 1971<br />
Vibrations and Waves W. W. Norton & Co, NY<br />
[7] NTL-International, Physik Chemie Hauptkatalog PC0193,<br />
NTL International, Wien<br />
[8] Kashy, E., Johnson, D. A., McIntyre, J., Wolfe, S. L.(1997)<br />
Transverse standing waves in a string with free ends<br />
Am.J.Phys., 65 April 1997 s.310 - 313<br />
[9] Kirwan, Donald F.(1975)<br />
Direct measurement of transverse wave speed on a stretched string<br />
Am.J.Phys., 43 July 1975 s.651 - 652<br />
[10] Kurki-Suonio, Kaarle ja Riitta 1994<br />
Aaltoliikkeestä dualismiin, Limes ry, Helsinki<br />
[11] Kurki-Suonio, Kaarle ja Riitta 1994<br />
Fysiikan merkitykset ja rakenteet, Limes ry, Helsinki<br />
[12] Pasco Scientific 1997/1998 Physics Experiments, Apparatus and Computer Interfaces<br />
Tuoteluettelo Pasco Scientific, California, U.S.A
53<br />
[13] Rossing, Thomas D. 1982<br />
Chladni’s Law for vibrating plates<br />
Am. J. Phys. 50 March 1982 s. 271-274<br />
[14] Rossing, Thomas D., Fletcher, Neville H. 1995<br />
Principles of vibration and sound, Springer-Verlag, New York<br />
[15] SF 1996, Science Equipment for Education Physics,<br />
[16] Vernier Software 1997 Catalog Science Hardware and Software Tuote-esite,<br />
Ed.USAinc, P.O. Box 510224, Punta Gorda, FL 33951-0224, U.S.A.
Change language