LUKUTEORIA I

LUKUTEORIA I
Tapani Matala-aho
19. helmikuuta 2009

Sisältö
1 Johdanto 5
2 Merkintöjä 6
2.1 Lukujoukot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Porrasfunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Kokonaislukurengas Z 9
3.1 Jaollisuus, alkuluvut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Jakoalgoritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Eukleideen algoritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Kongruenssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Kertomat, binomikertoimet 21
4.1 Palautuskaava, Pascalin kolmio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 p-valuaatio kokonaisluvuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Binomisarja, Binomikehitelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Hieman polynomialgebraa 28
6 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) 30
6.1 Perusteita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.2 Wolstenholmen lause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3 (p − 1)! ja a p−1 (mod p 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7 Lisää polynomialgebraa 45
7.1 Symmetriset peruspolynomit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.2 Polynomien kongruenssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.3 Sovelluksia lukujen kongruensseihin . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1

8 Summausmenetelmiä 50
8.1 Polynomialgebran sovelluksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.2 Teleskoopit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9 Fibonaccin ja Lucasin luvut 53
9.1 Rekursio ja Binet’n kaava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.2 Matriisiesitys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.3 Generoiva sarja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9.4 Laajennus negatiivisiin indekseihin . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.5 f n (mod k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.6 f n (mod p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10 Lucasin jonot 69
10.1 Rekursio ja ratkaisu yritteellä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.2 Matriisiesitys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
11 Formaaleista potenssisarjoista 74
12 Bernoullin luvut 79
12.1 Generoiva funktio ja sarja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
12.2 Palautuskaava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
12.3 Potenssisummia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
12.4 Bernoullin polynomit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
13 p-valuaatio 86
14 Bernoullin lukujen jaollisuudesta 89
15 Eulerin luvut 94
15.1 Generoiva funktio ja sarja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2

15.2 Palautuskaava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
16 Sarjakehitelmiä 96
17 Riemannin zetafunktio 96
18 Stirlingin luvut 96
18.1 Määritelmä ja rekursio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
18.2 Matriisiyhteys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
18.3 Yhteys Wolstenholmeen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
19 Osamääräkunta 102
20 Jonojen algebraa 105
20.1 Määritelmä, lineaariavaruus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
20.2 Erotus/Differenssioperaattorit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
20.3 Rekursioyhtälöitä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
21 Irrationaaliluvuista 113
22 Ketjumurtoluvut 115
23 Polynomien nollakohdista 119
24 Antiikin lukuja 122
24.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
24.2 Pythagoraan luvut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3

TIEDOTE: Kevät 2009
1. Välikoe ma 9.3.2009 klo 14–18 L1
1. välikokeen alue: Kappaleet 1–10.
2. Välikoe ma 11.5.2009 klo 14–18 L1
4

LUKUTEORIA, NUMBER THEORY, THÉORIE DES NOMBRES
1 Johdanto
Työn alla......
Lukuteoria eli aritmetiikka tutkii erityisesti kokonaislukuihin liittyviä kysymyksiä.
Aritmetiikan määritelmästä: Ensinnäkin, alkeisaritmetiikka eli alkeismatematiikka
voidaan käsittää kokonaislukujen ja niiden laskutoimitusten-yhteenlasku,
vähennyslasku, kertolasku ja jakolasku-muodostamaksi järjestelmäksi. Esimerkiksi
korttipeli voidaan ajatella matemaattiseksi järjestelmäksi, jossa lukuja vastaavat
kortit ja laskutoimituksia pelin säännöt. Toisaalta aritmetiikka laajasti katsottuna
sisältää myös tutkimukselliset kysymykset ja niiden tarkasteluun kehitetyt
työkalut. Tällöin termit lukuteoria ja aritmetiikka samaistetaan-kuten voi
nähdä alan päälehtien Acta Arithmetica ja Journal of Number Theory nimistä.
LÄHTEITÄ:
G.H. Hardy E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers.
Kenneth H. Rosen: Elementary number theory and its applications.
Number Theory Web
American Mathematical monthly
Voit ilmoittaa löytämäsi painovirheet ja muut töpeksinnät E-mail osoitteeseen:
etunimi.sukunimi@oulu.fi
Tapani Matala-aho
5

2 Merkintöjä
2.1 Lukujoukot
N = {0, 1, 2, . . . , GOOGOL 10 , . . .} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}.
P = {2, 3, 5, 7, 11, . . .} = {alkuluvut}.
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} = {kokonaisluvut}.
Z + = {1, 2, 3, . . .} = N\{0} = {positiiviset kokonaisluvut}.
Z − = {−1, −2, −3, . . .} = Z\N = {negatiiviset kokonaisluvut}.
Q = { m n
| m ∈ Z, n ∈ Z+ } = {rationaaliluvut}.
R = {x | x = ∑ ∞
k=l a k10 −k , l ∈ Z; a k ∈ {0, . . . , 9}} = {reaaliluvut }.
C = R(i) = {a + ib| a, b ∈ R, i 2 = −1} = { kompleksiluvut}
C \ Q = { Irrationaaliluvut }.
Z ≥m = {k ∈ Z| k ≥ m}. R ≤0 = {r ∈ R| r ≤ 0}, ...
Q ∗ = Q \ {0}, R ∗ = R \ {0}, C ∗ = C \ {0},
Olkoot a, b lukuja ja J lukujoukko:
aJ + b = {aj + b | j ∈ J}.
ESIM: J = Z, b ∈ Z, n ∈ Z + , tällöin merkitään
b = nZ + b,
joka on jakojäännösluokka (mod n) ja
Z/nZ = {b | b ∈ {0, 1, . . . , n − 1}},
joka on jakojäännösrengas (mod n).
6

∃! ⇔ ∃ täsmälleen yksi.
A B ⇔ A ⊆ B ja A ≠ B.
#A = |A| = Joukon A alkioiden lukumäärä.
Olkoon A = {a 1 , ..., a m }, tällöin
∑
f(a) = f(a 1 ) + ... + f(a m ),
a∈A
∏
f(a) = f(a 1 ) · · · f(a m ).
a∈A
Jos A = ∅, niin
∑
∏
f(a) = 0, f(a) = 1
a∈A
a∈A
(tyhjä summa ja tulo). Edelleen "Summaus n. tekijöiden yli"
∑
f(d) = f(d 1 ) + ... + f(d k ),
d|n
missä d i ∈ Z + ovat n:n erilliset tekijät. "Summaus n. alkutekijöiden yli"
∑
f(p) =
∑
f(p).
p|n
p|n,p∈P
"Tulo n. alkutekijöiden yli"
∏
f(p) =
∏
f(p).
p|n
p|n,p∈P
7

2.2 Porrasfunktiot
Määritelmä 2.1. Lattiafunktio (eli porrasfunktio):
⌊ ⌋ : R → Z,
⌊x⌋ = [x] = max{n ∈ Z | n x}
aina, kun x ∈ R.
ESIM: Jos x ∈ R ≥0 , niin tällöin ⌊x⌋ on x:n kokonaisosa, mutta esimerkiksi
⌊−1.2⌋ = −2.
Määritelmä 2.2. Kattofunktio:
⌈ ⌉ : R → Z,
aina, kun x ∈ R.
Apulause. Olkoon x ∈ R muotoa
⌈x⌉ = min{n ∈ Z | x ≤ n}
x = k + c, k ∈ Z, 0 ≤ c < 1. (2.1)
Tällöin
Edelleen
k = ⌊x⌋. (2.2)
⌈x⌉ = −⌊−x⌋ ∀x ∈ R, (2.3)
⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1 ∀x ∈ R (2.4)
⌊x + k⌋ = ⌊x⌋ + k ∀x ∈ R, ∀k ∈ Z, (2.5)
⌊x⌋ + ⌊y⌋ ≤ ⌊x + y⌋ ∀x, y ∈ R, (2.6)
⌊x⌋⌊y⌋ ≤ ⌊xy⌋ ∀x, y ∈ R ≥0 . (2.7)
8

3 Kokonaislukurengas Z
3.1 Jaollisuus, alkuluvut
Määritelmä 3.1. Olkoot a, b ∈ Z. Tällöin
b|a ⇔ ∃c ∈ Z : a = bc. (3.1)
Kun b|a, niin b jakaa (divides) a:n eli b on a:n tekijä (factor) eli a on b:n monikerta
(multiple).
Merkitään: b ∤ a, kun b ei jaa a:ta.
Asetetaan "aksiomi":
Jos b|1, niin b = ±1. (3.2)
3.2 Voidaan todistaa itseisarvon ja järjestyksen ominaisuuksilla.
ESIM.1:
0|0, 0 ∤ a ≠ 0. (3.3)
Merkintöjä: Olkoot d, n ∈ Z, d ≥ 2, tällöin
d s ||n ⇔ d s |n ja d s+1 ∤ n. (3.4)
Olkoon k ∈ Z, tällöin
kZ = {ka| a ∈ Z} = (3.5)
k:lla jaollisten kokonaislukujen joukko eli k:n monikerrat.
ESIM 2:
3 4 ||162, 1Z = Z, 0Z = {0}. (3.6)
Määritelmä 3.2. Olkoon q ∈ Z annettu ja olkoon d|q, d ∈ Z. Jos d ∈ {1, −1, q, −q},
niin d on luvun q triviaali tekijä. Jos d /∈ {1, −1, q, −q}, niin d on luvun q aito
tekijä.
9

Määritelmä 3.3. Luku q ∈ Z on jaoton (irreducible) ⇔ Jos d|q, niin d = ±1
tai d = ±q.
Siten jaottomalla kokonaisluvulla q on vain triviaalit tekijät 1, −1, q, −q.
Määritelmä 3.4. Luku p ∈ Z, p ≥ 2 on alkuluku (prime) ⇔
Jos d|p, niin d = ±1 tai d = ±p.
Merkintä: Alkulukujen joukko
P = {p| p on alkuluku}.
Siten p ∈ P ⇔ p on jaoton ja p ≥ 2, joten
P = {p| 2, 3, 5, 7, 11, ..., 101, ...}.
Alkutekijä=alkulukutekijä=(prime factor).
Määritelmä 3.5. Luku n ∈ Z, on yhdistetty (composite) luku ⇔
n:llä on ainakin 2 alkutekijää.
ESIM. 3: −4 on yhdistetty. 0 on yhdistetty. −3 ei ole yhdistetty eikä alkuluku
mutta on jaoton.
Määritelmä 3.6. Luvun n ∈ Z ≥2 esitys
n = p r 1
1 · · · p rt
t , p i ∈ P, r i ∈ Z + (3.7)
on luvun n luonnollinen alkulukuesitys (kanoninen alkulukuhajoitelma, prime
factorization).
Jos, m/n ∈ Q ∗ , niin
m
n = pr 0
0 p r 1
1 · · · p rt
t , p i ∈ P, p 0 = −1 r i ∈ Z. (3.8)
ESIM. 4:
−1 = (−1) 1 2 0 3 0 ,
40
128 = 23 5
2 = 7 2−4 5 1 (3.9)
10

3.2 Jakoalgoritmi
Lause 3.1. Olkoot a, b ∈ Z ja b ≠ 0. Tällöin
∃!q ∈ Z ja ∃!r ∈ N :
a = qb + r, 0 ≤ r < |b|. (3.10)
Kun b ∈ Z + , niin
q =
⌊ a
b
⌋
. (3.11)
ESIM. 5: b = 3,
⌊ a
⌋
a = −13 = (−5) · 3 + 2, q = −5, r = 2, = −5 (3.12)
b
⌊ a
⌋
a = 13 = 4 · 3 + 1, q = 4, r = 1, = 4 (3.13)
b
Määritelmä 3.7. Jaettaessa luku a luvulla b, on jakoalgoritmista saatu luku r
jakojäännös (remainder) ja osamäärän (quotient) a/b kokonaisosa (integral part)
on luku q, kun a/b ≥ 0 ja b ≥ 1.
Määritelmä 3.8. Olkoot a, b ∈ Z annettu. Tällöin luku d ∈ N on lukujen a ja b
suurin yhteinen tekijä (greatest common divisor) eli d =syt(a, b) = (a, b) mikäli
a) d|a ja d|b;
b) c|a ja c|b ⇒ c|d.
Jos (a, b) = 1, niin sanotaan, että a ja b ovat keskenään jaottomia (relatively
prime) ja merkitään a ⊥ b.
ESIM: a)
23 ⊥ 32 ⇔ (23, 32) = 1 (3.14)
b)
(0, a) = a ∀a ∈ Z, (3.15)
11

erityisesti
(0, 0) = 0. (3.16)
̸
HUOM: Usein esiintyy myös määritelmä, jossa vaaditaan, että d ∈ Z + , jolloin
(0, 0) ∃ (Muutoin saadaan samat tulokset).
Määritelmä 3.9. Olkoot a, b ∈ Z annettu. Tällöin luku f ∈ N on lukujen a ja
b pienin yhteinen jaettava(least common multiple) eli f =pyj(a, b) mikäli
a) a|f ja b|f;
b) a|g ja b|g ⇒ f|g.
Lause 3.2. Olkoot
a =
m∏
i=1
p r i
i ,
b = m
∏
i=1
p s i
i , p i ∈ P, r i , s i ∈ N.
Tällöin
syt(a, b) =
pyj(a, b) =
m∏
i=1
m∏
i=1
p min(r i,s i )
i , (3.17)
p max(r i,s i )
i . (3.18)
ESIM. 6: Olkoot a = 3 · 5 2 · 7,
b = 3 2 · 5 · 7, nyt
Lause 3.3. Olkoot a, b ∈ Z + , tällöin
syt(a, b)pyj(a, b) = 3 · 5 · 7 · 3 2 · 5 2 · 7 = ab. (3.19)
ab = syt(a, b)pyj(a, b). (3.20)
TOD: (Harj.) Osoita ensin, että
min(r i , s i ) + max(r i , s i ) = r i + s i . (3.21)
12

3.3 Eukleideen algoritmi
Jakoalgoritmin nojalla saadaan
E.A.=Eukleideen algoritmi.
E.A. Olkoot a ∈ Z, b ∈ Z + annettu ja 1 ≤ b < |a|.
r 0 = a, r 1 = b 0 ≤ r 1 < |r 0 |
r 0 = q 1 r 1 + r 2 0 ≤ r 2 < r 1
.
r k = q k+1 r k+1 + r k+2 0 ≤ r k+2 < r k+1
.
r n−2 = q n−1 r n−1 + r n
∃ n ∈ N : r n ≠ 0, r n+1 = 0
0 ≤ r n < r n−1
r n−1 = q n r n
r n = syt(a, b).
Tässä n = Eukleideen algoritmin pituus (length), jolle pätee
n ≤ |a| − 1. (3.22)
Asetetaan nyt
jolloin
Nähdään, että
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
R k = ⎝ r k
⎠ , Q k = ⎝ q k 1
⎠ , k ∈ N, (3.23)
r k+1 1 0
⎛ ⎞
det Q k = −1, Q −1 k = ⎝ 0 1 ⎠ . (3.24)
1 −q k
(E.A.) ⇔ R k = Q k+1 R k+1 , ∀k = 0, . . . , n − 1, (3.25)
jolloin pätee
1) R 0 = Q 1 Q 2 . . . Q k R k . (3.26)
13

Merkitään
ja
jolloin
Nyt
eli
⎛
S 0 =
S k = ⎝ s k
s k+1
⎛ ⎞
⎝ s 0 t 0
⎠ =
s 1 t 1
⎞
t k
t k+1
⎛ ⎞
⎝ 1 0 ⎠ (3.27)
0 1
⎠ = Q k −1 . . . Q 2 −1 Q 1 −1 , (3.28)
2) R k = S k R 0 . (3.29)
3) S k+1 = Q −1
k+1 S k (3.30)
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎝ s k+1 t k+1
⎠ = ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ s k t k
⎠ =
s k+2 t k+2 1 −q k+1 s k+1 t k+1
⎛
⎞
s
⎝ k+1 t k+1
⎠ (3.31)
s k − q k+1 s k+1 t k − q k+1 t k+1
⇔ 4) Palautuskaavat eli rekursiot (recurrence):
⎧
⎪⎨ s k+2 = s k − q k+1 s k+1 , k = 0, 1, . . .
⎪⎩ t k+2 = t k − q k+1 t k+1 , k = 0, 1, . . .
(3.32)
Yhtälöstä 2) saadaan
r n = s n a + t n b, (3.33)
josta edelleen saadaan
Lause 3.4. :
5) syt(a, b) = s n a + t n b, (3.34)
missä n on E.A:n pituus.
14

Seuraus 1. Olkoot a, b, c ∈ Z. Tällöin, jos
a|bc ja a ⊥ c, (3.35)
niin
a|b. (3.36)
Seuraus 2. Olkoot a, b, c ∈ Z. Tällöin, jos
a|c ja b|c ja a ⊥ b, (3.37)
niin
ab|c. (3.38)
Seuraus 3. Olkoot a, b ∈ Z ja p ∈ P. Tällöin, jos
p|ab, (3.39)
niin
p|a tai p|b. (3.40)
Määritelmä 3.10. Olkoot a 1 , ..., a m ∈ Z annettu. Tällöin luku d m ∈ N on lukujen
a 1 , ..., a m suurin yhteinen tekijä eli d m =syt(a 1 , ..., a m ) = (a 1 , ..., a m ) mikäli
a) d m |a i ∀i = 1, ..., m;
b) c|a i ∀i = 1, ..., m ⇒ c|d m .
Esim: Olkoot m 1 , . . . , m r ∈ Z + pareittain keskenään jaottomia (pairwise relatively
prime) eli m i ⊥ m j ∀i ≠ j. Tällöin
(a 1 , ..., a r ) = 1. (3.41)
HUOM: Edellinen ei päde välttämättä vastakkaiseen suuntaan, sillä esimerkiksi
(6, 9, 5) = 1 mutta (6, 9) = 3. (3.42)
15

Määritelmä 3.11. Olkoot a 1 , ..., a m ∈ Z annettu. Tällöin luku f m ∈ N on lukujen
a 1 , ..., a m pienin yhteinen jaettava eli f m =pyj(a 1 , ..., a m ) mikäli
a) a i |f m ∀i = 1, ..., m;
b) a i |c ∀i = 1, ..., m ⇒ f m |c.
Lause 3.5. Olkoon d m = (a 1 , ..., a m ), tällöin on olemassa sellaiset l 1 , ..., l m ∈ Z,
että
d m = l 1 a 1 + ... + l m a m . (3.43)
Todistus: Induktiolla.
Perusaskel: m = 2 ⇔ 5).
Induktio-oletus: Väite tosi, kun m = k.
Induktioaskel: Olkoon m = k + 1.
1. Osoitetaan ensin, että
a.) Koska
niin
eli on yhteinen tekijä.
b.) Jos
niin
d k+1 = (d k , a k+1 ). (3.44)
d k+1 |a 1 , ..., a k , a k+1 , (3.45)
d k+1 |d k , a k+1 (3.46)
c|d k , a k+1 , (3.47)
c|a 1 , ..., a k , a k+1 . (3.48)
16

Siten
c|d k+1 , (3.49)
joten on suurin tekijä. a.)+b.)⇒ d k+1 = (d k , a k+1 ).
2. Induktio-oletuksesta saadaan, että
∃ h i ∈ Z : d k = h 1 a 1 + ... + h k a k (3.50)
ja
Siten
∃ j i ∈ Z : (d k , a k+1 ) = j 1 d k + j 2 a k+1 . (3.51)
d k+1 = (d k , a k+1 ) =
j 1 (h 1 a 1 + ... + h k a k ) + j 2 a k+1 = l 1 a 1 + ... + l k+1 a k+1 . (3.52)
Joten induktioaskel on todistettu ja induktioperiaatteen nojalla alkuperäinen
lauseen väite on tosi.
3.4 Kongruenssi
Määritelmä 3.12. Olkoon n ∈ Z + annettu ja a, b ∈ Z. Jos
n|a − b, (3.53)
niin tällöin asetetaan
a ≡ b (mod n) (3.54)
eli a on kongruentti b:n kanssa modulo n.
Huomaa, että
n|a − b ⇔ a = b + l · n, jollakin l ∈ Z ⇔ a ∈ b + nZ = b. (3.55)
Lemma 3.1. Keskenään kongruenteilla luvuilla on samat jakojäännökset ja Vice
Versa.
17

Kongruentit luvut kuuluvat samaan jakojäännösluokkaan (mod n):
a ≡ b (mod n) ⇔ a = b. (3.56)
Siispä joukkoa
Z/nZ = {a|a = 0, 1, 2, . . . , n − 1} = Z n (3.57)
kutsutaan jakojäännösrenkaaksi, missä on laskutoimitukset
a + b = a + b, (3.58)
ab = ab. (3.59)
HUOM: Usein lasketaan vain pelkillä edustajilla eli jakojäännöksillä 0, 1, 2, ..., n−
1 = −1 (mod n).
ESIM:
Olkoon R-ykkösellinen rengas.
Määritelmä 3.13. Joukko
−1 + 1 = n − 1 + 1 = n = 0, (−1) −1 = −1, (3.60)
2 −1 = 1 2 = p + 1
2 , p ∈ P p≥3. (3.61)
R ∗ = {yksiköt} = {u ∈ R | ∃ u −1 ∈ R : uu −1 = 1} = (3.62)
on renkaan R yksikköryhmä.
Jos R = K-kunta, niin K ∗ = K\{0}.
Lemma 3.2. Joukko
{a ∈ Z n | a ⊥ n}
on renkaan Z n yksikköryhmä eli
Z ∗ n = {a ∈ Z n | a ⊥ n}. (3.63)
18

Huomaa,että ehdosta a ⊥ n seuraa Eukleideen algoritmin kohdan 5) nojalla, että
1 = s m a + t m n, (3.64)
missä m on E.A:n pituus. Siten
s m a ≡ 1 (mod n) ⇔ a −1 = s m . (3.65)
Erityisesti, jos p ∈ P, niin Z p on kunta ja
Z ∗ p = {a ∈ Z p | a ⊥ p} = {1, 2, ..., p − 1}. (3.66)
Määritelmä 3.14. Olkoon n ≥ 2. Jos a ⊥ n, niin a on alkuluokka (mod n) ja
Z ∗ n = {a ∈ Z n | a ⊥ n}
on renkaan Z n kertolaskuryhmä (multiplication group of the ring).
Eulerin funktio ϕ(n) määritellään asettamalla
ϕ(n) = #{k ∈ Z + | 1 k n − 1, k ⊥ n}. (3.67)
Joten, ryhmän Z ∗ n kertaluku (order) on #Z ∗ n = ϕ(n).
Lemma 3.3.
ϕ(MN) = ϕ(M)ϕ(N), ∀M ⊥ N. (3.68)
Eli ϕ on multiplikatiivinen ja koska
niin saadaan
ϕ(p m ) = p m (1 − 1 p ), ∀p ∈ P, ∀m ∈ Z+ , (3.69)
Lemma 3.4. Olkoon n = p 1
a 1
. . . p k
a k, pi ∈ P. Tällöin
ϕ(n) = n ∏ (1 − 1 ) eli (3.70)
p
p|n
ϕ(n) = p 1
a 1
. . . p k
a k
(1 − 1 p 1
) . . . (1 − 1 p k
) (3.71)
19

Lause 3.6. KIINALAINEN JÄÄNNÖSLAUSE: Olkoot m 1 , . . . , m r ∈ Z + pareittain
keskenään jaottomia (pairwise relatively prime) eli
m i ⊥ m j ∀i ≠ j (3.72)
ja olkoot a 1 , . . . , a r ∈ Z annettu. Tällöin yhtälöryhmän
⎧
⎪⎨
x ≡ a 1 (mod m 1 ),
.
(3.73)
⎪⎩
x ≡ a r (mod m r )
ratkaisut ovat
x = x 0 + l · M, l ∈ Z, M = m 1 . . . m r = m k M k , (3.74)
ja
x 0 = n 1 M 1 a 1 + . . . + n r M r a r , (3.75)
missä
n k M k ≡ 1 (mod m k ). (3.76)
"Ratkaisu on yksikäsitteinen (solution is unique) (mod M)".
Tod: Lasketaan
M k = ∏ m i ≡ 0 (mod m j ) ∀j ≠ k. (3.77)
i≠k
Joten
x 0 ≡ n k M k a k ≡ 1 · a k = a k (mod m k ) ∀k = 1, ..., r (3.78)
ja siten x 0 on ratkaisu.
Olkoon x ratkaisu, tällöin
x − x 0 ≡ 0 (mod m k ) ∀k = 1, ..., r. (3.79)
20

Koska m i ⊥ m j ∀i ≠ j, niin
x − x 0 ≡ 0 (mod m 1 · · · m r ) (3.80)
eli
x ≡ x 0 (mod M). (3.81)
4 Kertomat, binomikertoimet
Määritellään luvun n ∈ N kertoma n! induktiivisesti asettamalla
Määritelmä 4.1.
0! = 1, (4.1)
n! = n · (n − 1)!, ∀n ∈ Z + . (4.2)
Ja kertoman yleistys, Pochammerin symboli (a) n , seuraavasti.
Määritelmä 4.2. Olkoon a ∈ C. Tällöin
(a) 0 = 1, (4.3)
(a) n = (a + n − 1) · (a) n−1 , ∀n ∈ Z + . (4.4)
Erityisesti
(1) n = n!. (4.5)
Määritelmä 4.3. Olkoot a ∈ C ja k ∈ N. Tällöin luvut
( a
k)
= (−1) k (−a) k
k!
(4.6)
ovat binomikertoimia "a yli k:n".
21

Tutkitaan erikoistapauksia.
Olkoon aluksi k = 0. Tällöin
( ( a a
= =
k)
0)
(−a) 0
0!
Kun k ∈ Z + , niin
( a k (−a)(−a + 1) · · · (−a + k − 1)
= (−1) =
k)
k!
Olkoon vielä a = n ∈ Z + , jolloin
( n n(n − 1) · · · (n − k + 1)
= =
k)
k!
joten
( n
=
k)
n!
k!(n − k)!
= 1 ∀ a ∈ C. (4.7)
a(a − 1) · · · (a − k + 1)
k!
∀a ∈ C.
(4.8)
n(n − 1) · · · (n − k + 1)(n − k)!
, (4.9)
k!(n − k)!
∀ 0 ≤ k ≤ n. (4.10)
Jos k ≥ n + 1, niin
( n k (−n) · · · (−n + j) · · · (−n + k − 1)
= (−1) , (4.11)
k)
k!
missä 0 ≤ j ≤ k − 1. Siten, kun j = n, niin −n + j = 0 ja
( n
k)
= 0 ∀k ≥ n + 1. (4.12)
Olkoon a = −n ∈ Z − , jolloin
( ) −n
k n(n + 1) · · · (n + k − 1)
k (n + k − 1)!
= (−1) = (−1) , (4.13)
k
k!
k!(n − 1)!
joten
( ) −n
k
( ) n + k − 1
= (−1) k k
∀k ≥ 0. (4.14)
22

4.1 Palautuskaava, Pascalin kolmio
Lause 4.1. Olkoon a ∈ C. Tällöin
( ) ( ) ( a + 1 a a
= +
k + 1 k + 1 k)
∀k ∈ N. (4.15)
Todistus. Lasketaan väitteen oikea puoli käyttäen binomikertoimien esitystä (4.8),
jolloin
a(a − 1) · · · (a − (k + 1) + 1)
(k + 1)!
( ) ( a a
+ =
k + 1 k)
a(a − 1) · · · (a − k + 1)(a − k)
k!(k + 1)
+
a(a − 1) · · · (a − k + 1)
k!
a(a − 1) · · · (a − k + 1)
k!
(a + 1)(a + 1 − 1) · · · (a + 1 − (k + 1) + 1)
(k + 1)!
Siis saatiin väitteen vasen puoli.
Erikoistapauksena saadaan
=
a(a − 1) · · · (a − k + 1)
+ =
k!
( ) a − k
k + 1 + 1 =
=
( ) a + 1
. (4.16)
k + 1
Lause 4.2.
( ) ( ) ( n + 1 n n
= +
k + 1 k + 1 k)
∀k, n ∈ N. (4.17)
Jonka avulla (I tapa) voidaan todistaa.
Lause 4.3.
( n
∈ Z
k)
+ ∀ 0 ≤ k ≤ n ∈ N. (4.18)
Todistus. Voidaan olettaa, että 0 ≤ k ≤ n. Induktio n:n suhteen.
Aluksi n = 0, 1.
( ( ( 0 1 1
= = = 1. (4.19)
0)
0)
1)
23

Induktio-oletus: Väite tosi, kun n = l.
Induktioaskel: Olkoon n = l + 1. Tällöin
( ) ( ) ( l + 1 l l
= +
k + 1 k + 1 k)
mistä
Lisäksi
Tuloksen (4.18) nojalla
joten
mistä saadaan.
∀ 1 ≤ k + 1 ≤ l, (4.20)
( ) l + 1
∈ Z + ∀ 1 ≤ k + 1 ≤ l. (4.21)
k + 1
( ) l + 1
=
l + 1
( ) l + 1
= 1. (4.22)
0
(n − k + 1)(n − k + 2) · · · (n − 1)n
k!
∈ Z + , (4.23)
k!|(n − k + 1)(n − k + 2) · · · (n − 1)n, (4.24)
Lause 4.4.
k!|(m + 1)(m + 2) · · · (m + k) ∀k, m ∈ N. (4.25)
Edelleen
Lause 4.5. Olkoon p ∈ P, tällöin
)
p ∣ p
∣(
k
∀ 1 ≤ k ≤ p − 1. (4.26)
Todistus. Tuloksen (4.24) nojalla
k!|(p − k + 1)(p − k + 2) · · · (p − 1)p, (4.27)
Koska p ⊥ k!, niin (4.27) johtaa relaatioon
k!|(p − k + 1) · · · (p − 1) = l · k!, (4.28)
jollakin l ∈ Z. Siten
( p (p − k + 1)(p − k + 2) · · · (p − 1)p
=
k)
k!
= l · p ≡ 0 (mod p). (4.29)
24

4.2 p-valuaatio kokonaisluvuille
Tarkastellaan alkuluvun p esiintymistä kokonaisluvussa k (myöhemmin esitetään
p-valuaation määritelmä rationaaliluvulle).
Määritelmä 4.4. Olkoot p ∈ P, k ∈ Z \ {0}, r ∈ N ja
p r ||k. (4.30)
Tällöin asetetaan
v p (k) = r. (4.31)
Kertaa vielä, että
̸ p r ||k ⇔ k = p r c, p |c ∈ Z \ {0}. (4.32)
Lause 4.6. Laskusääntöjä. Olkoon p ∈ P ja n, m ∈ Z \ {0}, tällöin
v p (1) = 0. (4.33)
v p (n) ≥ 0. (4.34)
v p (nm) = v p (n) + v p (m). (4.35)
v p (n!) = v p (1) + v p (2) + ... + v p (n), n ≥ 1. (4.36)
n = ∏ p vp(n) = ∏ p vp(n) .
p≤n
p∈P
(4.37)
Määritelmä 4.5. Olkoot p ∈ P, k ∈ Z \ {0} l ∈ Z + . Asetetaan tällöin
w p l(k) = 1 jos p l |k; (4.38)
w p l(k) = 0 jos p l ∤ k. (4.39)
Lause 4.7. Olkoot p ∈ P, k ∈ Z \ {0}, r ∈ N ja v p (k) = r. Tällöin
v p (k) =
r∑
w p i(k) =
i=1
∞∑
w p i(k). (4.40)
i=1
25

Lause 4.8. Olkoot n ∈ Z + ja
A p =
∞∑
i=1
⌊ n
p i ⌋
, p ∈ P. (4.41)
Tällöin
a) v p (n!) = A p . (4.42)
b). p Ap ||n! ∀p|n!. (4.43)
c). n! = ∏ p≤n
p Ap . (4.44)
Huomaa, että ⌊ n/p i ⌋ = 0, kun p i > n. Siten summat A p ovat äärellisiä.
Todistus. Laskarit: Välillä [1, n] olevien luvulla p i jaollisten lukujen lkm=
⌊ ⌋ n
#{k ∈ Z + | 1 ≤ k ≤ n, p i |k} = . (4.45)
p i
Toisaalta
Esimerkiksi
⌊ ⌋ n
= w
p i p i(1) + w p i(2) + ... + w p i(n). (4.46)
⌊ ⌋ n
1, ..., 1 · p, ..., 2 · p, ..., p · p, ..., · p, ..., n (4.47)
p
missä pätee
w p (1) = w p (2) = ... = w p (p − 1) = w p (p + 1) = ... = 0 (4.48)
⌊ ⌋ n
w p (p) = w p (2p) = ... = w p ( p) = 1.
p
(4.49)
Nyt
...
w p (1) + w p (2) + ... + w p (n) =
w p 2(1) + w p 2(2) + ... + w p 2(n) =
w p r(1) + w p r(2) + ... + w p r(n) =
⌊ n
p
⌋
; (4.50)
⌊ n
p 2 ⌋
; (4.51)
⌊ n
p r ⌋
, (4.52)
26

missä
p r ≤ n < p r+1 ,
⇒
⌊
⌋ n
= 0. (4.53)
p r+1
Lasketaan yhtälöt (4.50–4.52) puolittain yhteen, jolloin saadaan
⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋
n n n
v p (1) + v p (2) + ... + v p (n) = + + ... + . (4.54)
p p 2 p r
Siten
Edelleen
∞∑
⌊ ⌋ n
v p (n!) = = A
p i p , p ∈ P. (4.55)
i=1
n! = ∏ p≤n
p vp(n!) . (4.56)
Lauseen 4.3 II todistus. Kertomien alkutekijäkehitelmien nojalla
n!
k!(n − k)! = ∏ p≤n
p Bp , (4.57)
missä
Tuloksen (2.6)
B p =
∞∑
⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ ⌋
n k n − k
− − . (4.58)
p i p i
i=1
p i
⌊ a⌋ + ⌊ b⌋ ≤ ⌊ a + b⌋ (4.59)
avulla saadaan
⌊ ⌋ ⌊ ⌋ ⌊ k n − k k
+ ≤
p i p + n i p − k ⌋
=
i p i
p i
⌊ n
p i ⌋
. (4.60)
Siten B p ∈ N ja
∏
p Bp ∈ Z + , (4.61)
p≤n
joka identiteetin (4.57) kanssa todistaa, että
( n
k)
∈ Z + ∀ 0 ≤ k ≤ n ∈ N.
27

4.3 Binomisarja, Binomikehitelmä
Sarjaa
(1 + t) a =
∞∑
k=0
( a
k)
t k , a ∈ C (4.62)
sanotaan Binomisarjaksi. Olkoon a = n ∈ N, jolloin
n∑
( n
(1 + t) n = t
k)
k . (4.63)
k=0
k=0
Asetetaan t = A/B, jolloin yhtälöstä (4.63) saadaan Binomikehitelmä:
n∑
( n ∑
( n
(A + B) n = A
k)
k B n−k =
A
k)
k B l . (4.64)
0≤k≤n,k+l=n
Kun, a = −1 ja t = −x, niin saadaan Geometrinen sarja:
∞
1
1 − x = ∑
x k . (4.65)
Ja yleisemmin, jos a = −n ∈ Z − ja t = −x, niin
1
(1 − x) = ∑ ∞ ( ) n + k − 1
x k (4.66)
n k
identiteetin (4.14) nojalla.
k=0
k=0
5 Hieman polynomialgebraa
Olkoon R ykkösellinen rengas. Tällöin
n∑
R[x] = {P (x) | P (x) = p k x k ; p k ∈ R, n ∈ N} (5.1)
k=0
on R-kertoimisten polynomien joukko. Jos p n ≠ 0, niin polynomin aste deg P (x) =
n, erityisesti deg 0(x) = −∞. Pääpolynomiksi (monic polynomial) sanotaan polynomia,
missä korkeimman potenssin kerroin p n = 1.
28

Määritelmä 5.1. Olkoot
n∑
P (x) = p k x k ,
Q(x) =
jolloin asetetaan
k=0
n∑
q k x k ∈ R[x],
k=0
P (x) = Q(x) ⇔ ∀k(p k = q k );
P (x) + Q(x) = ∑ k0(p k + q k )x k ;
(5.2)
P (x)Q(x) = ∑ k0
r k x k ,
missä
r k =
joka on Cauchyn kertosääntö.
k∑
p i q k−i = ∑
p i q j , (5.3)
i=0
i+j=k
Tällöin R[x] on rengas, missä
0(x) = 0 + 0 · x + 0 · x 2 + . . . (5.4)
on nolla-alkio ja
1(x) = 1 + 0 · x + 0 · x 2 + . . . (5.5)
on ykkösalkio.
Olkoon R = K kunta. Tällöin polynomirengas K[x] on kokonaisalue, jossa pätee
Jakoalgoritmi:
Olkoon a(x), b(x) ∈ K[x], a(x)b(x) ≠ 0(x) ja deg b(x) ≤ deg a(x). Tällöin
∃ q(x), r(x) ∈ K[x] s.e.
[(J.A.)]a(x) = q(x)b(x) + r(x), deg r(x) < deg b(x). (5.6)
Seuraus:
p(α) = 0, α ∈ K ⇔ (x − α) | p(x). (5.7)
K[x]
29

Kokonaisalueen D = K[x] yksikköryhmä on K ∗ . Joten polynomien a(x) ja b(x)
suurin yhteinen tekijä d(x) = s.y.t.(a(x), b(x)) voidaan valita pääpolynomiksi.
Eukleideen algoritmin nojalla saadaan, että on olemassa sellaiset polynomit
s(x), t(x) ∈ K[x], että
d(x) = s(x)a(x) + t(x)b(x). (5.8)
6 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n)
6.1 Perusteita
Olkoon p ∈ P. Jokaisella a/b ∈ Q ∗ on yksikäsitteinen esitys
Asetetaan nyt
a
b = pr c d , c ∈ Z, d ∈ Z+ , c ⊥ d, p ∤ cd, r ∈ Z. (6.1)
Määritelmä 6.1. Rationaaliluku a/b (osoittaja) on p:llä jaollinen eli
p ∣ a b
⇔ r ≥ 1. (6.2)
Edelleen
a
∣ ∣∣
b ≡ 0 (mod p) ⇔ p a
b
(6.3)
ESIM.
Olkoon p ∈ P, tällöin
5
20
∣ 3
⇔ 20
3
1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 = 50
4!
≡ 0 (mod 5). (6.4)
≡ 0 (mod 5). (6.5)
(2p−1)(2p−2) · · · (p+2)(p+1) ≡ (p−1)(p−2) · · · 2·1 = (p−1)! (mod p), (6.6)
30

joten
( ) 2p
≡ 2 (mod p). (6.7)
p
Laajennetaan Määritelmä 6.1 vapaastivalittavalle modulukselle n ∈ Z ≥2 .
Määritelmä 6.2. Olkoon n ∈ Z ≥2 annettu ja olkoon rationaaliluvun a/b ∈ Q ∗
alkutekijäesitys
a
b = ±pr 1
1 · · · p r k
k · q v 1
1 · · · q v l
l
; p i , q j ∈ P r i ∈ Z + , v i ∈ Z − , (6.8)
missä q j /∈ {p 1 , ..., p k }. Jos
n = p s 1
1 · · · p s k
k
, s i ∈ N, 0 ≤ s i ≤ r i ∀i = 1, ..., k, (6.9)
niin
n ∣ a b
(6.10)
ja sanotaan, että n jakaa rationaaliluvun a/b (osoittajan).
HUOM: Jos, n|a/b, niin n ⊥ b.
Määritelmä 6.3. Olkoon n ∈ Z ≥2 annettu ja a/b, c/d ∈ Q. Jos
n ∣ a b − c d , (6.11)
niin
a
b ≡ c d
(mod n) (6.12)
ja sanotaan, että luvut a/b ja c/d ovat kongruentteja (mod n).
Esim.
20
3 = 22 · 5 1 · 3 −1 ≡ 0 (mod 2 · 5). (6.13)
20
≡ 0 (mod 20),
3
(6.14)
missä p 1 = 2, p 2 = 5, q 1 = 3 ja r 1 = 2, r 2 = 1, v 1 = −1.
1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 = 50
4! ≡ 0 (mod 52 ). (6.15)
1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 ≡ 25
7 (mod 53 ). (6.16)
31

Lause 6.1. Kongruenssi ≡ (mod n) on ekvivalenssirelaatio joukossa Q.
Määritelmä 6.4. Olkoot n ∈ Z ≥2 ja a/b ∈ Q annettu ja n ⊥ b. Tällöin
a/b = { c d ∈ Q| c d ≡ a b
(mod n)} (6.17)
on edustajan a/b määräämä jakojäännösluokka (mod n) ja
Q n = {a/b| a/b ∈ Q, n ⊥ b}. (6.18)
Asetetaan vielä laskutoimitukset (binary operations)
⎧
⎪⎨ x + y = x + y,
⎪⎩
x · y = xy
(6.19)
aina, kun x, y ∈ Q n .
Lause 6.2. a) Laskutoimitukset
{
+ : Q n × Q n → Q n , (6.20)
ovat hyvinmääriteltyjä (well defined) eli binäärioperaatiot ovat funktioita.
b). Nolla-alkio (zero) on
0 = na
b
∀a, b, b ⊥ n (6.21)
ja vasta-alkio
−x = −x ∀ x ∈ Q n . (6.22)
c). Ykkösalkio (unity)
ja käänteisalkio (inverse)
1 = b + ln
b
∀l, b, b ⊥ n (6.23)
x −1 = x −1 ∀ x, x −1 ∈ Q n . (6.24)
32

Lause 6.3. Olkoon n ∈ Z ≥2 . Tällöin kuvaus
F (a/b) = a(b) −1 (6.25)
on rengasisomorfia eli Q n
∼ = Zn .
Todistus: Laskemalla saadaan
1)
F : Q n → Z n (6.26)
( a
F
b d)
+ c ( ) ad + bc
= F
=
bd
ad + bc(bd) −1 = (ad + bc)(b) −1 (d) −1 =
a(b) −1 + c(d) −1 =
( ) ( a c
F + F , (6.27)
b d)
joten F on ryhmien (Q n , +) ja (Z n , +) välinen homomorfia.
2)
F
( a
b · c )
= F
d
( ) ac
=
bd
ac(bd) −1 = a(b) −1 c(d) −1 =
( ) ( a c
F F . (6.28)
b d)
3)
F ( 1 ) ( 1
= F = 1(1)
1)
−1 = 1. (6.29)
Kohtien 1),2) ja 3) nojalla F : Q n → Z n on rengasmorfismi.
4) Asetetaan nyt
joten
( ) a
F = 0,
b
(6.30)
a(b) −1 = 0. (6.31)
33

Kerrotaan 6.31 puolittain alkiolla b, jolloin saadaan
a(b) −1 b = 0 · b ⇒ a = 0. (6.32)
Siten F : Q n → Z n on injektio.
5) Olkoon vielä k ∈ Z n . Tällöin, jos valitaan a = k, b = 1, niin
( ) ( )
a k
F = F = k(1) −1 = k. (6.33)
b 1
Siispä F : Q n → Z n on surjektio.
Kohtien 4) ja 5) nojalla
F : Q n → Z n
on bijektio ja edelleen rengasisomorfia.
Siten Q n ja Z n voidaan samaistaa, jolloin merkitään
Q n ∋ a/b = ab −1 ∈ Z n . (6.34)
ESIM: Lasketaan 2/3 renkaassa Q 7 . Aluksi saadaan
2
3 ≡ 2 + l · 7
3
(mod 7) ∀l ∈ Z. (6.35)
Valitaan l = 4, jolloin
2
3 ≡ 2 + 4 · 7
3
= 10 ≡ 3 (mod 7). (6.36)
Täten
2/3 = 3. (6.37)
Toisaalta Z 7 :ssa.
2 · 3 −1 = 2 · 5 = 10 = 3. (6.38)
34

Lemma 6.1. Olkoon G ryhmä ja a ∈ G. Tällöin kuvaukset
ι : G → G, ι(x) = x −1 (6.39)
ja
τ : G → G, τ(x) = ax (6.40)
ovat bijektioita.
Todistus: Asetetaan
ι(x 1 ) = ι(x 2 ) ⇔ x −1
1 = x −1
2 , (6.41)
josta saadaan x 1 = x 2 . Siten ι on injektio.
Olkoon sitten y ∈ G annettu. Valitaan nyt x = y −1 , jolloin
ι(x) = ι(y −1 ) = (y −1 ) −1 = y. (6.42)
Täten ι on surjektio ja edelleen bijektio.
Seuraus: Olkoon
H = {a 1 , ..., a m } (6.43)
äärellinen ryhmä. Tällöin ι(H) = H eli
{a −1
1 , ..., a −1
m } = {a 1 , ..., a m }. (6.44)
ESIM: Olkoon H =Z ∗ 11, missä
1 −1 = 1, 2 −1 = 6, 3 −1 = 4, , 4 −1 = 3, 5 −1 = 9,
6 −1 = 2, 7 −1 = 8, 8 −1 = 7, 9 −1 = 5, 10 −1 = 10. (6.45)
Tällöin
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 =
1 · 2 · 2 −1 · 3 · 3 −1 · 5 · 5 −1 · 7 · 7 −1 · 10 = −1. (6.46)
35

Lause 6.4. WILSONIN LAUSE: Olkoon p ∈ P. Tällöin
Lause 6.5. Olkoot p ∈ P ≥3 . Tällöin
(p − 1)! ≡ −1 (mod p). (6.47)
1 + 1 2 + 1 3 + ... + 1
p − 1
Todistus. Lemman 6.1 nojalla ι(Z ∗ p) = Z ∗ p eli
≡ 0 (mod p). (6.48)
{1 −1 , ..., p − 1 −1 } = {1, ..., p − 1}.(6.49)
Täten
p−1 p−1
∑ ∑
a −1 = b, (6.50)
a=1 b=1
Seuraavassa käytetään samaistusta (6.34). Yhtälön V.P. (vasen puoli)=
1/1 + 1/2 + ... + 1/p − 1 =
1 + 1/2 + ... + 1/(p − 1) = 1 + 1/2 + ... + 1/(p − 1). (6.51)
Toisaalta Yhtälön O.P. (oikea puoli)=
1 + ... + p − 1 = 1 + 2 + ... + p − 1 = p(p − 1)/2 = 0, (6.52)
missä p|p(p − 1)/2, sillä p ≥ 3. Ekvivalenssiluokkien (6.51) ja (6.52) identtisyydestä
seuraa edustajien välinen kongruenssi (6.48).
Lause 6.6. EULER-FERMAT: Olkoot a ∈ Z, m ∈ Z ≥2 annettu ja a ⊥ m.
Tällöin
a ϕ(m) ≡ 1 (mod m). (6.53)
Todistus. Asetetaan τ(x) = a·x. Koska a ∈ Z ∗ m, niin Lemman 6.1 nojalla τ(Z ∗ m) =
Z ∗ m eli
{a · a 1 , ..., a · a ϕ(m) } = {a 1 , ..., a ϕ(m) }. (6.54)
36

Siten
eli
josta
a · a 1 · · · a · a ϕ(m) = a 1 · · · a ϕ(m) (6.55)
a ϕ(m) a 1 · · · a ϕ(m) = a 1 · · · a ϕ(m) , (6.56)
a ϕ(m) = 1. (6.57)
SEURAUS:
Lause 6.7. FERMAT’N PIKKULAUSE: Olkoot a ∈ Z, p ∈ P annettu ja p ∤ a.
Tällöin
Todistetaan seuraavaksi eräs Wilsonin lauseen yleistys.
Lause 6.8. Olkoot p ∈ P ≥3 ja r ∈ Z + . Tällöin
Todistus. Olkoon a ∈ Z ∗ p r
a p−1 ≡ 1 (mod p). (6.58)
p r −1
∏
k=1,p∤k
k ≡ −1 (mod p r ). (6.59)
oma käänteisalkionsa eli
a = a −1 ⇔ a 2 = 1. (6.60)
Siten
josta
a 2 − 1 = 0, (6.61)
(a − 1)(a + 1) = l · p r , (6.62)
jollakin l ∈ Z. Välttämättä
p|a − 1 tai p|a + 1. (6.63)
37

Jos
niin
p|a − 1 ja p|a + 1, (6.64)
p|2a ⇒ p|a. (6.65)
Mutta a ⊥ p, joten joudutaan ristiriitaan. Tarkastellaan siis tapaukset
1.) p|a − 1 ja p ∤ a + 1 (6.66)
ja
2.) p ̸ |a − 1 ja p|a + 1. (6.67)
Tapaus 1. Yhtälön (6.62) nojalla
Tapaus 2. Yhtälön (6.62) nojalla
Siten a ∈ Z ∗ p r
p r |a − 1 ⇒ a = 1. (6.68)
p r |a + 1 ⇒ a = −1. (6.69)
on oma käänteisalkionsa täsmälleen silloin, kun a = ±1. Edelleen
Z ∗ pr = {1, −1} ∪ B, (6.70)
missä joukon
alkioille pätee
Täten
ja siten
B = {b 1 , ..., b m , m = ϕ(p r ) − 2} (6.71)
−1
b i ≠ bi , i = 1, ..., m. (6.72)
B = {c 1 , ..., c m/2 , c −1 1 , ..., c −1 m/2 } (6.73)
∏
−1 a = 1(−1)c 1 c 1 · · · c m/2 c −1 m/2 = −1. (6.74)
a∈Z ∗ p r
38

ESIM: 3 2 = p r . Jolloin
1 · 2 · 4 · 5 · 7 · 8 ≡ −1 (mod 3 2 ). (6.75)
6.2 Wolstenholmen lause
Lause 6.9. WOLSTENHOLMEN LAUSE: Olkoon p ∈ P ≥5 . Tällöin
Todistus. Tarkastellaan polynomia
1 + 1 2 + 1 3 + ... + 1
p − 1 ≡ 0 (mod p2 ). (6.76)
G(x) = (x − 1)(x − 2) · · · (x − (p − 1)) ∈ Z[x]. (6.77)
Aukaistaan tulo, jolloin
G(x) = x p−1 − W p−2 x p−2 + W p−3 x p−3 − ... + W 2 x 2 − W 1 x + W 0 , (6.78)
missä W i ∈ Z. Välittömästi saadaan
x(x − 1)(x − 2) · · · (x − (p − 1)) =
x p − W p−2 x p−1 + W p−3 x p−2 − W p−4 x p−3 + ... + W 2 x 3 − W 1 x 2 + W 0 x, (6.79)
johon sijoitetaan x = y − 1 ja siten
(y − 1)(y − 2) · · · (y − (p − 1))(y − p) =
(y − 1) p − W p−2 (y − 1) p−1 + W p−3 (y − 1) p−2 − W p−4 (y − 1) p−3 + ...
Yhtälössä (6.80) V.P.=
+W 2 (y − 1) 3 − W 1 (y − 1) 2 + W 0 (y − 1). (6.80)
(y − p)G(y) = (y − p)(y p−1 − W p−2 y p−2 + W p−3 y p−3 − ... + W 2 y 2 − W 1 y + W 0 ) =
39

y p − (p + W p−2 )y p−1 + (pW p−2 + W p−3 )y p−2 − (pW p−3 + W p−4 )y p−3
+... − (pW 2 + W 1 )y 2 + (pW 1 + W 0 )y − pW 0 . (6.81)
Toisaalta yhtälön (6.80) O.P.=
( ( ( )
p p p − 1
y p − ( + W p−2 )y
1)
p−1 + ( + W p−2 + W p−3 )y
2)
p−2
1
( ( ) ( )
p p − 1 p − 2
−( + W p−2 + W p−3 + W p−4 )y
3)
p−3
2
1
( ) ( ) ( )
p
p − 1
2
+... + ( + W p−2 + ... + W 1 + W 0 )y
p − 1 p − 2
1
−(1 + W p−2 + ... + W 1 + W 0 ). (6.82)
Verrataan seuraavaksi vastinpotenssien kertoimia yhtälöissä (6.81) ja (6.82), jolloin
y p : 1 = 1, (6.83)
( p
y p−1 : p + W p−2 = + W p−2 , (6.84)
1)
( ( )
p p − 1
y p−2 : pW p−2 + W p−3 = + W p−2 + W p−3 , (6.85)
2)
1
( ( ) ( )
p p − 1 p − 2
y p−3 : pW p−3 + W p−4 = + W p−2 + W p−3 + W p−4 , ... (6.86)
3)
2
1
( ) ( ) ( )
p
p − 1
2
y 1 : pW 1 + W 0 = + W p−2 + ... + W 1 + W 0 , (6.87)
p − 1 p − 2
1
y 0 : pW 0 = 1 + W p−2 + ... + W 1 + W 0 . (6.88)
Kaksi ensimmäistä ovat triviaali-identiteettejä mutta seuraavista saadaan palautuskaavat:
W p−2 =
( p
2)
, (6.89)
( ( )
p p − 1
2W p−3 = + W p−2 , (6.90)
3)
2
40

( p
3W p−4 = +
4)
(p − 2)W 1 =
( ) ( p − 1 p − 2
W p−2 +
2
( ) p − 1
W p−2 + ... +
p − 2
3
( ) p
+
p − 1
)
W p−3 , ... (6.91)
( 3
2)
W 2 , (6.92)
(p − 1)W 0 = 1 + W p−2 + ... + W 1 . (6.93)
Huomaa, että nämä yhtälöt ovat muotoa
( ) p
jW p−j−1 = + ...
j + 1
∀ 1 ≤ j ≤ p − 1. (6.94)
Käytetään tulosta (4.26), jolloin
( p
p|
2)
(6.95)
ja siten
j = 1. p|W p−2 . (6.96)
Seuraavaksi
( p
p|
3)
ja p|W p−2 , (6.97)
joten
Edelleen
joten
...
Siten
josta
j = 2. p|W p−3 . (6.98)
( p
p| , p|W p−2 ja p|W p−3 , (6.99)
4)
j = 3. p|W p−4 . (6.100)
j = p − 2. p|W 1 . (6.101)
p|W 1 , W 2 , ..., W p−2 , (6.102)
j = p − 1. (p − 1)W 0 ≡ 1 (mod p) (6.103)
41

eli
Mutta
W 0 ≡ −1 (mod p). (6.104)
W 0 = (p − 1)!, (6.105)
joten saadaan II todistus Wilsonin lauseelle.
Sijoitetaan nyt x = p yhtälöön
p−1
p−1
∏ ∑
G(x) = (x − j) = (−1) i W i x i , W p−1 = 1, (6.106)
j=1
i=0
josta saadaan
W 1 = W 2 p − W 3 p 2 − ... + p p−2 . (6.107)
Koska p|W 2 ja p ≥ 5, niin
p 2 |W 1 . (6.108)
Toisaalta
W 1 =
p−1
∑
p−1
∏
j=1 i=1,i≠j
2 · 3 · · · (p − 1) + 1 · 3 · 4 · · · (p − 1) + ... + 1 · 2 · · · (p − 3) · (p − 1) + 1 · 2 · · · (p − 2) =
(
(p − 1)! 1 + 1 2 + 1 3 + ... + 1 )
. (6.109)
p − 1
Siten
i =
p 2 ∣ ∣∣∣
1 + 1 2 + 1 3 + ... + 1
p − 1
II todistus Fermat’n pikkulauseelle. Olkoot p ∈ P, a ∈ Z ja p ∤ a. Tällöin
(6.110)
a ≡ j (mod p), (6.111)
jollakin j = 1, 2, ..., p − 1. Sijoitetaan x = a yhtälöön (6.106), jolloin
a p−1 − W p−2 a p−2 + W p−3 a p−3 − ... + W 2 a 2 − W 1 a + W 0 ≡ 0 (mod p), (6.112)
42

missä
Siten
W p−2 , ..., W 1 ≡ 0 (mod p). (6.113)
a p−1 ≡ −W 0 ≡ −(p − 1)! ≡ 1 (mod p). (6.114)
6.3 (p − 1)! ja a p−1 (mod p 2 )
Tiedetään, että
(p − 1)! ≡ −1 (mod p 2 ), (6.115)
kun p = 5, 13, 563, ... (Wilsonin alkulukuja) ja
a p−1 ≡ 1 (mod p 2 ), (6.116)
kun p = 1093, 3511, .... Mutta yleisellä tasolla kohtien (6.115) ja (6.116) jakojäännöksien
(mod p 2 ) käyttäytymistä ei tunneta.
Ehdon (6.116) tutkiminen on ollut tärkeää liittyen Fermat’n suuren lauseen todistusyrityksiin,
sillä jos p ∈ P ≥3 ja
2 p−1 ≢ 1 (mod p 2 ), (6.117)
niin
x p + y p ≠ z p ∀ x, y, z ∈ Z + . (6.118)
Tosin Andre Wiles [Annals of Mathematics 141 (1994)] on todistanut, että (6.118)
pätee ilman lisäoletusta (6.117). Wilesin todistus perustuu mm. elliptisten käyrien
ominaisuuksiin.
Olkoon p ∈ P ≥3 , tällöin Pikku Fermat’n nojalla tiedetään, että
2 p−1 − 1 = l · p, (6.119)
43

jollakin l ∈ Z, joten on luonnollista tutkia Fermat’n osamääriä
q p (2) = 2p−1 − 1
p
∈ Z. (6.120)
Lause 6.10. Olkoon p ∈ P ≥3 . Tällöin
q p (2) = 2p−1 − 1
p
≡ 1 + 1 3 + 1 5 + ... + 1
p − 2
(mod p) (6.121)
Huomaa, että (6.121) on yhtäpitävää ehdon
(
2 p−1 ≡ 1 + p 1 + 1 3 + 1 5 + ... + 1 )
p − 2
(mod p 2 ) (6.122)
kanssa.
Todistus. Aluksi binomikaavalla saadaan
2 p =
p∑
( p−1
p ∑
( p
= 2 + , (6.123)
i)
i)
i=0
i=1
jossa tuloksen (4.26) nojalla
( p
= ph i , (6.124)
i)
jollakin h i ∈ Z aina, kun i = 1, ..., p − 1. Edelleen
eli
h i =
(p − 1)(p − 2) · · · (p − i + 1)
i!
h i = (−1)i−1
i
≡ (−1)i−1 (i − 1)!
i!
jollakin m i ∈ Z. Siten (6.124) ja (6.126) antavat
( ( )
p (−1)
i−1
= p + m i p ≡ (−1)
i)
i−1 p i
i
= (−1)i−1
i
(mod p)
(6.125)
+ m i p, (6.126)
(mod p 2 ). (6.127)
Yhtälöiden (6.123) ja (6.127) nojalla
(
2 p ≡ 2 + p 1 − 1 2 + 1 3 − ... + 1
p − 2 − 1 )
p − 1
(mod p 2 ). (6.128)
44

Toisaalta
1 − 1 2 + 1 3 − ... + 1
p − 2 − 1
p − 1 =
(
2 1 + 1 3 + 1 5 − ... + 1 )
p − 2
(
− 1 + 1 2 + 1 3 + ... + 1
p − 2 + 1 )
p − 1
(
≡ 2 1 + 1 3 + 1 5 − ... + 1 )
(mod p 2 ) (6.129)
p − 2
tuloksen (6.76) nojalla. Yhdistämällä (6.128) ja (6.129) saadaan
(
2 p ≡ 2 + 2p 1 + 1 3 + 1 5 − ... + 1 )
(mod p 2 ), (6.130)
p − 2
missä p ⊥ 2, joten (6.122) seuraa.
ESIM: Olkoon p = 7. Nyt
(
2 p−1 = 2 6 = 1 + 63 = 1 + 7 · 9 ≡ 1 + 7 1 + 1 3 + 1 )
5
(mod 7 2 ). (6.131)
Huomaa, että 1/3 = 5 ja 1/5 = 3 (mod 7).
7 Lisää polynomialgebraa
7.1 Symmetriset peruspolynomit
Tutkitaan polynomi-identiteettiä
n∏
F (x) = (x − x k ) =
k=1
n∑
(−1) n−i A i x i . (7.1)
i=0
0. Sijoittamalla x = 0, saadaan vakiotermeistä identiteetti
F (0) = (−1) n
n
∏
j=1
x j = (−1) n A 0 ,
45

joten
n∏
A 0 = x j . (7.2)
(Tulolla (7.2) määritellään Normi, kts. Lukuteoria.)
1. Lasketaan derivaatat yhtälössä (7.1) puolittain, jolloin
n∏
D (x − x k ) =
j=1
k=1
1·(x−x 2 ) · · · (x−x n )+(x−x 1 )·(x−x 3 ) · · · (x−x n )+...+(x−x 1 )(x−x 2 ) · · · (x−x n−1 ), (7.3)
josta kohdassa x = 0 saadaan
DF (0) = (−1) n−1 (x 2 x 3 · · · x n + x 1 x 3 · · · x n + ... + x 1 x 2 · · · x n−1 ). (7.4)
Toisaalta
DF (0) = (−1) n−1 A 1
ja siten
n∑ n∏
A 1 = x i . (7.5)
j=1 i=1,i≠j
n-1. Myös
n∑
A n−1 = x j (7.6)
j=1
on usein tarpeen (ja sen avulla määritellään Jälki(=Trace).) Yleisesti saadaan
∑
A n−k =
x j1 x j2 · · · x jk , (7.7)
1≤j 1

(x 1 x 2 +x 1 x 3 +x 1 x 4 +x 2 x 3 +x 2 x 4 +x 3 x 4 )x 2 −(x 1 x 2 x 3 +x 1 x 3 x 4 +x 2 x 3 x 4 )x+x 1 x 2 x 3 x 4 . (7.9)
b) Wolstenholmen lauseen todistuksessa tarkasteltiin polynomia
p−1
p−1
∏ ∑
G(x) = (x − j) = (−1) i W i x i , W p−1 = 1,
j=1
i=0
missä kohtien (7.2), (7.5) ja (7.6) nojalla
p−1
∏
W 0 = j = (p − 1)!,
j=1
W 1 = 2·3 · · · (p−1)+1·3·4 · · · (p−1)+...+1·2 · · · (p−3)·(p−1)+1·2 · · · (p−2)
ja
W p−2 = 1 + 2 + ... + p − 1 =
( p
2)
.
7.2 Polynomien kongruenssi
Määritelmä 7.1. Olkoot n ∈ Z ≥2 ja
jolloin asetetaan
P (x) =
Q(x) =
n∑
p k x k ∈ Q[x],
k=0
n∑
q k x k ∈ Q[x],
k=0
P (x) ≡ Q(x) (mod n) ⇔ p k ≡ q k (mod n) ∀k = 0, 1, ..., n.
Lause 7.1. Olkoon p ∈ P, tällöin
(x + 1) p ≡ x p + 1 (mod p). (7.10)
polynomirenkaassa Q[x].
47

Todistus. Binomisarjan ja Lauseen 4.5 nojalla
p∑
( p
(x+1) p = x
k)
k ≡ x p +0·x p−1 +0·x p−2 +...+0·x+1 = x p +1
k=0
Lause 7.2. Olkoot n ∈ Z ≥2 ja f(x), g(x), h(x) ∈ Q[x] ja
(mod p).
g(x) ≡ h(x) (mod n). (7.11)
Tällöin
f(g(x)) ≡ f(h(x)) (mod n). (7.12)
Lause 7.3. Olkoot p ∈ P ja r ∈ N. Tällöin
(x + 1) pr ≡ x pr + 1 (mod p). (7.13)
polynomirenkaassa Q[x].
Todistus. Induktiolla. r = 1. ⇔ Lause 7.1.
Induktioaskeleessa lasketaan V.P.=
(x + 1) pr+1 = ((x + 1) pr ) p ≡ (x pr + 1) p (7.14)
≡ (x pr ) p + 1 = x pr+1 + 1 (mod p) (7.15)
=O.P. Kohdassa (7.14) sovellettiin Lausetta 7.2 ja kohdassa (7.15) Lausetta 7.1.
Seurauksena saadaan
Lause 7.4. Olkoot p ∈ P ja r ∈ Z + . Tällöin
( ) p
r
≡ 0
k
(mod p) ∀ k = 1, ..., p r − 1. (7.16)
Lause 7.3 voidaan yleistää kahdenmuuttujan polynomeille.
Lause 7.5. Olkoot p ∈ P ja r ∈ N. Tällöin
(x + y) pr ≡ x pr + y pr (mod p) (7.17)
polynomirenkaassa Q[x, y].
48

Ja edelleen useanmuuttujan tapaukseen.
Lause 7.6. Olkoot p ∈ P ja r ∈ N. Tällöin
(x 1 + ... + x m ) pr ≡ x pr
1 + ... + x pr
m (mod p) (7.18)
polynomirenkaassa Q[x 1 , ..., x m ].
7.3 Sovelluksia lukujen kongruensseihin
Sovelletaan Lausetta 7.6 antamalle muuttujille rationaalilukuarvot.
Rationaaliluku a/b ∈ Q ∗ on supistetussa muodossa, kun a ⊥ b.
Määritelmä 7.2. Olkoon p ∈ P ja
A = a b = pr c d ,
p ̸ |cd.
Tällöin v p (A) = r on eksponentiaalinen valuaatio ja den(a/b) = b on A:n nimittäjä.
Siten, jos v p (A) ≥ 0, niin p ⊥ b ja jos p|A, niin p ⊥ b.
Lause 7.7. Olkoot p ∈ P, r ∈ N ja A i ∈ Q, v p (A i ) ≥ 0 aina, kun i = 1, ..., m.
Tällöin
(A 1 + ... + A m ) pr ≡ A pr
1 + ... + A pr
m (mod p). (7.19)
Huomaa, että (7.19) on PikkuFermat’n yleistys.
Olkoot p ∈ P ja n ∈ N. Tiedetään, että p-kantakehitelmä
n = ∑ i≥0
n i p i , 0 ≤ n i ≤ p − 1
on yksikäsitteinen.
Lause 7.8. LUCASIN (BINOMIKERROIN)LAUSE. Olkoot p ∈ P, n, k ∈ N
sekä
n = ∑ n i p i , k = ∑ k i p i , 0 ≤ k i , n i ≤ p − 1. (7.20)
i≥0
i≥0
49

Tällöin
( n
≡
k)
∏ i≥0
(
ni
k i
)
(mod p). (7.21)
Todistus. Aluksi huomataan, että
(1+x) n = (1+x) n 0
(1+x) pn 1
(1+x) p2 n2
· · · ≡ (1+x) n 0
(1+x p ) n 1
(1+x p2 ) n2 · · · (mod p) (7.22)
Lauseen 7.3 nojalla. Sama binomikehitelmillä
n∑
( n ∑n 0
(
x
k)
k n0
∑n 1
≡
∑
k=0
∑
0≤j 0≤i j ≤p−1
i 0 =0
i 0
)
x i 0
i 1 =0
(
n1
i 1
)
x pi 1
∑n 2
(
n2
i 2 =0
i 2
)
x p2 i 2
=
p−1
∑
( ) p−1
n0
∑
( ) p−1
x i n1
∑
( )
0
x pi n2
1
x p2 i 2
=
i
i 0 =0 0 i
i 1 =0 1 i
i 2 =0 2
( )( )( )
n0 n1 n2
· · · x i 0+i 1 p+i 2 p 2 +...
(mod p). (7.23)
i 0 i 1 i 2
Luvun k yksikäsitteisen p-kantaesityksen nojalla havaitaan, että O.P. termi x k
saadaan täsmälleen, silloin kun i 0 = k 0 , i 1 = k 1 ,... . Täten vertaamalla kongruenssin
(7.23) V.P. ja O.P. termejä x k , saadaan kongruenssi
( n
x
k)
k ≡ ∏ ( )
ni
x k (mod p). (7.24)
k
i≥0 i
Esim: p = 7, n = 11 = 4 + 1 · 7, k = 5 = 5 + 0 · 7, joten
( ) ( )( ) ( )( 11 n0 n1 4 1
≡
= = 0 · 1 = 0 (mod 7). (7.25)
5 k 0 k 1 5 0)
8 Summausmenetelmiä
8.1 Polynomialgebran sovelluksia
ESIM: Lähdetään identiteetistä
(1 + x) n (1 + x) m = (1 + x) n+m ,
50

josta
k=0
n∑
j=0
( n
j)
x j
j+l=k
m
∑
l=0
( m
l
)
x l =
Caychyn kertosäännöllä
(
n+m
∑ ∑
( )( ) ) n m
x k =
j l
josta
∑
j+l=k,0≤j,l≤k
n+m
∑
k=0
n+m
∑
k=0
( n + m
( )( ) ( )
n m n + m
=
j l k
Edelleen, asettamalla n = m = k, saadaan
m∑
( )( ) ( ) n m 2m ∑ m ( ) 2 m
=
=
j m − j m j
j=0
j=0
k
( n + m
k
)
x k .
)
x k ,
(8.1)
( 2m
m
)
. (8.2)
8.2 Teleskoopit
Teleskooppisumma
ja teleskooppitulo
n∑
(a i+1 − a i ) = a n+1 − a 0 (8.3)
i=0
n∏
i=0
a i+1
a i
= a n+1
a 0
(8.4)
soveltuvat hyvin muunmuassa seuraavantyyppisten tulosten johtamiseen.
n∑
k =
k=0
n∑
k 2 =
k=0
n(n + 1)
2
n(n + 1)(2n + 1)
6
(8.5)
(8.6)
n∑
( ) 2 n(n + 1)
k 3 =
(8.7)
2
k=0
51

n∑
(2k + 1) = (n + 1) 2 (8.8)
k=0
Johdetaan (8.8) valitsemalla a k = k 2 ja lähtemällä identiteetistä
a k+1 − a k = (k + 1) 2 − k 2 = 2k + 1. (8.9)
Otetaan summat (8.9) molemminpuolin, jolloin
n∑
(2k + 1) =
k=0
n∑
(a k+1 − a k ) = a n+1 − a 0 = (n + 1) 2 .
k=0
Johdetaan vielä
lähtemällä erotuksesta
∞∑
j=0
j − 1
j!
= 0 (8.10)
1
k! − 1
(k + 1)! = k
(k + 1)! . (8.11)
Summataan (8.11) puolittain, jolloin saadaan
n∑
k=0
( )
1
k! − 1
=
(k + 1)!
n∑
k=0
k
(k + 1)! . (8.12)
Yhtälön (8.12)vasemmanpuolen summassa on teleskooppi ja siten
n∑
k=0
josta raja-arvona saadaan
eli (8.10).
k
(k + 1)! = 1 − 1
(n + 1)! , (8.13)
∞∑
k=0
k
(k + 1)! = 1 (8.14)
52

9 Fibonaccin ja Lucasin luvut
9.1 Rekursio ja Binet’n kaava
Määritelmä 9.1. Luvut f 0 = 0, f 1 = 1 ja palautuskaava (eli rekursio)
f n+2 = f n+1 + f n , n ∈ N, (9.1)
muodostavat Fibonaccin luvut ja luvut l 0 = 2, l 1 = 1 sekä palautuskaava
l n+2 = l n+1 + l n , n ∈ N, (9.2)
muodostavat Lucasin luvut.
Siten Fibonaccin lukuja ovat
f 0 = 0, f 1 = 1, f 2 = 1, f 3 = 2, f 4 = 3, f 5 = 5, f 6 = 8, f 7 = 13, ... (9.3)
ja Lucasin lukuja ovat
l 0 = 2, l 1 = 1, l 2 = 3, l 3 = 4, l 4 = 7, l 5 = 11, l 6 = 18, l 7 = 29, .... (9.4)
Ratkaistaan rekursio
v n+2 = v n+1 + v n , n ∈ N, (9.5)
yritteellä
v n = x n , x ∈ C ∗ . (9.6)
Rekursiosta (9.5) saadaan
x n+2 = x n+1 + x n ⇔ x 2 − x − 1 = 0, (9.7)
jonka ratkaisut ovat
α = 1 + √ 5
2
, β = 1 − √ 5
. (9.8)
2
53

Lause 9.1. Olkoot a, b ∈ C. Tällöin
F n = aα n + bβ n (9.9)
on rekursion (9.5) ratkaisu.
Todistus. Suoraan laskemalla saadaan
F n+2 = aα n+2 + bβ n+2 = a(α n+1 + α n ) + b(β n+1 + β n ) =
aα n+1 + bβ n+1 + aα n + bβ n = F n+1 + F n . (9.10)
Siten Fibonaccin luvut ovat muotoa
f n = aα n + bβ n (9.11)
mistä saadaan
f 0 = aα 0 + bβ 0 , f 1 = aα 1 + bβ 1 . (9.12)
Sijoitetaan alkuarvot f 0 = 0 ja f 1 = 1 yhtälöön (9.12), josta
a + b = 0, a 1 + √ 5
2
+ b 1 − √ 5
2
= 1 (9.13)
ja siten a = 1/ √ 5 ja b = −1/ √ 5. Vastaavasti Lucasin luvuille ja siten saadaan.
Lause 9.2. Fibonaccin ja Lucasin luvut voidaan esittää Binet’n kaavoilla
(( )
f n = √ 1
n ( ) n )
− , (9.14)
5
l n =
(
1 + √ 5
2
1 − √ 5
2
1 + √ ) n (
5 1 − √ ) n
5
+ . (9.15)
2
2
HUOM: Rekursioilla saadaan tarkat arvot nopeasti (laskennallinen kompleksisuus),
mutta eksplisiittisistä esityksistä (9.14) ja (9.15) saadaan likiarvo nopeasti.
54

Lause 9.3.
f 2k =
f 2k+1 =
⌊ α
2k
√
5
⌋
⌈ α
2k+1
√
5
⌉
∀k ∈ N, (9.16)
∀k ∈ N. (9.17)
Todistus. Aluksi haetaan likiarvot. Koska
α = 1 + √ 5
2
= 1.6180..., (9.18)
ja α −1 = α − 1 = 0.6180..., niin
β = 1 − √ 5
2
= 1 − α = −0.6180.... (9.19)
Siten
|β n / √ 5| < 1 ∀ n ∈ N.
Tarkemmin laskareissa.
9.2 Matriisiesitys
Olkoon
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
F = ⎝ 1 1 ⎠ = ⎝ f 2 f 1
⎠ . (9.20)
1 0 f 1 f 0
Lasketaan potensseja ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
F 2 = ⎝ 2 1 ⎠ = ⎝ f 3 f 2
⎠ ,
1 1 f 2 f 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
F 3 = ⎝ 3 2 ⎠ = ⎝ f 4 f 3
⎠ . (9.21), ....
2 1 f 2
f 3
Jolloin huomataan, että alkioiksi tulee Fibonaccin lukuja. Sovitaan vielä, että
f −1 = 1, sillä tällöin pätee
f 1 = f 0 + f −1 . (9.22)
55

Nyt
Lause 9.4. Olkoon
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
F 0 = I = ⎝ 1 0 ⎠ = ⎝ f 1 f 0
⎠ . (9.23)
0 1 f 0 f −1
F n = F n n ∈ N. (9.24)
Tällöin
⎛
F n = ⎝ f n+1
f n
⎞
f n
f n−1
⎠ . (9.25)
Todistus. Induktiolla. Tapaukset n = 0 ja n = 1 kohdista (9.20) ja (9.23).
Induktio-oletus: Identiteetti (9.24) pätee, kun n = k.
Induktioaskel; Lasketaan
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
F k+1 = F 1 F k = ⎝ 1 1 ⎠ ⎝ f k+1 f k
⎠ =
1 0 f k−1
⎛
⎞ ⎛ ⎞
⎝ f k+1 + f k f k + f k−1
⎠ = ⎝ f k+2 f k+1
⎠ = F k+1 . (9.26)
f k+1 f k f k+1 f k
Lause 9.5. Olkoot n, m ∈ N, tällöin
f n+m+1 = f n+1 f m+1 + f n f m , (9.27)
f k
Todistus. Sovelletaan identiteettiä
f 2m+1 = f 2 m+1 + f 2 m, (9.28)
f 2m = f m (f m+1 + f m−1 ). (9.29)
F n+m = F n+m = F n+m = F n F m = F n F m , (9.30)
jolloin
⎛
⎝ f n+m+1
f n+m
⎞
f n+m
f n+m−1
⎛
⎠ = ⎝ f n+1
f n
⎞
f n
⎠
f n−1
⎛
⎝ f m+1
f m
⎞
f m
f m−1
⎠ =
56

⎛
⎞
⎝ f n+1f m+1 + f n f m f n+1 f m + f n f m−1
⎠ . (9.31)
f n f m+1 + f n−1 f m f n f m + f n−1 f m−1
Vertaamalla matriisien (9.31) alkioita saadaan (9.27), josta edelleen saadaan
(9.28) ja (9.29).
Lause 9.6. Olkoon n ∈ N, tällöin
f n+1 f n−1 − fn 2 = (−1) n . (9.32)
Todistus. Otetaan determinantit tuloksesta (9.24), jolloin
∣ ∣∣∣∣∣
n
f n+1 f n
1 1
=
. (9.33)
∣ f n f n−1 ∣1 0∣
Lause 9.7. Olkoon n ∈ N, tällöin lukujen f n+2 ja f n+1 Eukleideen algoritmin
pituus on n. Edelleen
syt(f n+1 , f n ) = 1. (9.34)
Todistus. Olkoot a = f n+2 ja b = f n+1 , jolloin
r 0 = a, r 1 = b 0 ≤ r 1 < r 0
r 0 = q 1 r 1 + r 2 = 1 · r 1 + r 2 0 ≤ r 2 < r 1
sillä f n+2 = 1 · f n+1 + f n
r 1 = q 2 r 2 + r 3 = 1 · r 2 + r 3 0 ≤ r 3 < r 2
sillä f n+1 = 1 · f n + f n−1
.
r k = q k+1 r k+1 + r k+2 = 1 · r k+1 + r k+2 0 ≤ r k+2 < r k+1
sillä f n+2−k = 1 · f n+1−k + f n−k
.
r n−2 = q n−1 r n−1 + r n = 1 · r n−1 + r n 1 = r n < r n−1 = 2
sillä f 4 = 1 · f 3 + f 2
r n−1 = q n r n = 2 · 1
57

siten
r n = syt(a, b) = 1. (9.35)
Edelleen saadaan
r n = s n a + t n b ⇔ 1 = s n f n+2 + t n f n+1 , (9.36)
missä s n ja t n saadaan palautuskaavoista
s k+2 = s k − q k+1 s k+1 = s k − s k+1 , (9.37)
t k+2 = t k − q k+1 t k+1 = t k − t k+1 ∀ 0 ≤ k ≤ n − 2
lähtien alkuarvoista s 0 = t 1 = 1, s 1 = t 0 = 0.
ESIM: Olkoot n = 5, f 7 = 13, f 6 = 8, jolloin q 1 = ... = q 4 = 1 ja q 5 = 2. Siten
s 2 = 1, s 3 = −1, s 4 = 2, s 5 = −3,... t 5 = 5 ja
1 = (−3) · 13 + 5 · 8 = f 5 f 6 − f 4 f 7 . (9.38)
Lause 9.8. Olkoon a, b ∈ Z + annettu, tällöin Eukleideen algoritmin pituudelle n
pätee
n ≤ log a/ log((1 + √ 5)/2)). (9.39)
Eukleideen algoritmissa
r 0 = a, r 1 = b 0 < r 1 < r 0
r 0 = q 1 r 1 + r 2 0 < r 2 < r 1
.
r k = q k+1 r k+1 + r k+2 0 < r k+2 < r k+1
.
r n−2 = q n−1 r n−1 + r n
r n−1 = q n r n + 0
0 < r n < r n−1
58

osamäärien kokonaisosille pätee q k ≥ 1 kaikilla k. Täten
r n ≥ 1 = f 2 ,
Edelleen induktiolla saadaan
r n−1 ≥ 2 = f 3 ,
r n−2 ≥ 1 · r n−1 + r n ≥ f 3 + f 2 = f 4 .
r n−h ≥ f h+2 ∀ h = 0, 1, ..., n (9.40)
ja siten
a = r 0 ≥ f n+2 ≥ ((1 + √ 5)/2) n . (9.41)
Epäyhtälön (9.41) todistus laskareissa.
9.3 Generoiva sarja
Olkoon
∞∑
F (z) = f k z k
sarja, jolle haetaan lauseke tunnettujen funktioiden avulla. Vaihdetaan aluksi
summausindeksi k = n + 2, jolloin
∞∑
F (z) = f n+2 z n+2 + f 1 z + f 0 . (9.42)
n=0
k=0
Seuraavaksi käytetään rekursiota (9.1), jolloin
∞∑
F (z) = z f n+1 z n+1 + z 2
∞
∑
n=0
n=0
∞∑
z f k z k + z 2
∞
∑
k=1
k=0
f n z n + f 1 z + f 0 =
f k z k + f 1 z + f 0 =
z(F (z) − f 0 ) + z 2 F (z) + z. (9.43)
59

Yhtälöstä (9.43) saadaan ratkaisu
Lause 9.9. Sarjalla
on esitys rationaalifunktiona
F (z) =
F (z) =
z
1 − z − z 2 .
∞∑
f k z k
k=0
Määritelmä 9.2. Sarja
F (z) =
F (z) =
z
1 − z − z 2 .
∞∑
f k z k (9.44)
k=0
on Fibonaccin lukujen generoiva sarja ja funktio
F (z) =
on Fibonaccin lukujen generoiva funktio.
Määritelmä 9.3. Polynomi
z
1 − z − z 2 (9.45)
K(x) = K f (x) = x 2 − x − 1
on rekursion (9.1) karakteristinen polynomi.
Huomaa, että
joten
K f (x) = (x − α)(x − β), (9.46)
F (z) =
1/z
(1/z − α)(1/z − β) =
1/z
(1/z) 2 − 1/z − 1 = 1/z
K(1/z) =
z
(1 − αz)(1 − βz) . (9.47)
Jaetaan (9.47) osamurtoihin ja käytetään geometrisen sarjan summakaavaa, jolloin
F (z) = √ 1 ( 1
5 1 − αz − 1 )
=
1 − βz
60

∞∑ 1 (
√ α k − β k) ∞∑
z k = f k z k . (9.48)
5
k=0
Vertaamalla sarjojen kertoimia saadaan jälleen Binet’n esitys (9.14).
k=0
9.4 Laajennus negatiivisiin indekseihin
Sallitaan Fibonaccin lukujen palautuskaavassa
f k+2 = f k+1 + f k (9.49)
negatiiviset indeksit, jolloin asettamalla k = −1, −2, ..., saadaan
f 1 = f 0 + f −1 ⇒ f −1 = 1, (9.50)
f 0 = f −1 + f −2 ⇒ f −2 = −1, (9.51)
f −1 = f −2 + f −3 ⇒ f −3 = 2, .... (9.52)
Sijoitetaan k = −n rekursioon (9.49), jolloin
f −n = −f −(n−1) + f −(n−2) . (9.53)
Lause 9.10.
f −n = (−1) n+1 f n ∀ n ∈ N. (9.54)
Todistus. Induktiolla käyttäen rekursiota (9.53).
Äskeisen tuloksen nojalla Lause 9.4 laajenee myös negatiiviselle puolelle.
Lause 9.11. Olkoon
ja
⎛
F = ⎝ 1 ⎞
1 ⎠
1 0
F n = F n n ∈ Z. (9.55)
Tällöin
⎛
F n = ⎝ f n+1
f n
⎞
f n
f n−1
⎠ . (9.57)
61

Todistus. n ≥ 0 kts. Lause 9.4.
n ≤ 0.
Alkuaskel: n = −1. Aluksi määrätään käänteismatriisi
⎛
F −1 = ⎝ 0 ⎞
1 ⎠ (9.58)
1 −1
ja toisaalta
⎛
F −1 = ⎝ f 0
f −1
⎞ ⎛ ⎞
f −1
⎠ = ⎝ 0 1 ⎠ . (9.59)
f −2 1 −1
Laskareissa loput.
Edelleen Lauseet 9.5 ja 9.6 laaajenevat negatiivisiin indekseihin.
Lause 9.12. Olkoot n, m ∈ Z, tällöin
f n+m+1 = f n+1 f m+1 + f n f m , (9.60)
f 2m+1 = fm+1 2 + fm, 2 (9.61)
f 2m = f m (f m+1 + f m−1 ). (9.62)
Huomaa, että (9.60) on yhtäpitävä kaavan
f n+m = f n+1 f m + f n f m−1 (9.63)
kanssa.
Lause 9.13. Olkoon n ∈ Z, tällöin
f n+1 f n−1 − fn 2 = (−1) n . (9.64)
Lause 9.14. Olkoot n, r, N, M ∈ Z, tällöin
f n |f rn , (9.65)
ja jos (M, N) = d, niin
(f M , f N ) = f d (9.66)
62

ja jos M ⊥ N, niin
f M f N |f MN . (9.67)
Todistus. Kohta (9.65). Relaatiosta (9.62) saadaan
f 2n = f n (f n+1 + f n−1 ), (9.68)
joten saadaan induktion alkuaskel
f n |f 2n . (9.69)
Sijoitetaan m = rn yhtälöön (9.63), jolloin
f (r+1)n = f n+1 f rn + f n f rn−1 , (9.70)
jonka avulla saadaan induktioaskel ja siten (9.65) todistettua arvoilla r ≥ 1.
Koska f 0 = 0, niin f n |f 0 aina, kun n ∈ Z. Tapaus r ≤ 0 pienin säädöin vastaavasti.
Kohta (9.66). Nyt M = dm ja N = dk, joillakin m, k ∈ Z. siten kohdan (9.65)
nojalla
f d |f M , f d |f N . (9.71)
Lauseen 3.4 nojalla on olemassa sellaiset r, s ∈ Z, että
d = rN + sM,
joten jälleen kaavan (9.63) nojalla
f d = f rN+sM = f rN+1 f sM + f rN f sM−1 . (9.72)
Jos, nyt
c|f M , c|f N , (9.73)
niin kohdan (9.65) nojalla
c|f sM , c|f rN . (9.74)
63

Täten kohdan (9.72) nojalla saadaan
c|f d . (9.75)
Kohdan (9.71) nojalla f d on yhteinen tekijä ja kohdan (9.75) nojalla suurin tekijä.
Kohta (9.67) laskarit.
9.5 f n (mod k)
Tarkastellaan Fibonaccin jonoa (f n ) = (f n ) ∞ n=0 (mod k).
ESIM:
(f n ) ≡ (0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...) (mod 2). (9.76)
(f n ) ≡ (0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, ...) (mod 3). (9.77)
(f n ) ≡ (0, 1, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0, 1, 1, ...) (mod 5). (9.78)
(f n ) ≡ (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 3, 3...) (mod 10), (9.79)
f 15 = f 30 = f 45 = f 60 ≡ 0, f 61 = f 62 ≡ 1 (mod 10). (9.80)
Siten
f 3+l ≡ f l (mod 2), ∀ l ∈ N. (9.81)
f 8+l ≡ f l (mod 3), ∀ l ∈ N. (9.82)
f 20+l ≡ f l (mod 5), ∀ l ∈ N. (9.83)
f 60+l ≡ f l (mod 10), ∀ l ∈ N. (9.84)
Määritelmä 9.4. Jonon (a l ) jakso on luku J = J a ∈ Z + , jolle pätee
a l+J = a l ∀ l ∈ N.
Minimijakso=MJ a =min{J ∈ Z + |J = jakso}.
64

Tarkastellaan jonoa (f n ) ⊆ Z k = {0, ..., k − 1} ja olkoon J f = J f (k).
ESIM:
MJ f (2) = 3, MJ f (3) = 8, MJ f (5) = 20, MJ f (10) = 60. (9.85)
Koska
niin joukossa
#Z 2 k = #{(a, b)| a, b ∈ Z k } = k 2 , (9.86)
{(f l , f l+1 )| l = 0, 1, ..., k 2 } (9.87)
on sellaiset alkiot, että
(f l , f l+1 ) = (f h , f h+1 ) (9.88)
ja 0 ≤ l < h ≤ k 2 . Olkoon J = h − l, tällöin
f l+J = f l , f l+J+1 = f l+1 (9.89)
ja siten rekursion nojalla
f n+J = f n ∀ n ∈ N, (9.90)
misså 1 ≤ J ≤ k 2 .
Esim: J f (10) = 60 < 10 2 .
9.6 f n (mod p)
Binet’n kaavan (9.14) avulla
f n = 1 ((
2 n√ 1 + √ ) n (
5 − 1 − √ ) n )
5 =
5
1
2 n√ 5
( n∑
i=0
( n
i
) ( √5 (
i
− − √ ) ) i
5 =
65

josta
(( ) (
1 n n
2 n√ · 0 + · 2
5 0 1)
√ ( ( n n
5 + · 0 + · 2
2)
3)
√ )
5 3 + ... , (9.91)
2 n−1 f n =
Lause 9.15. Olkoon p ∈ P ≥7 .
1.) Jos,
⌊ n−1
2 ⌋
∑
j=0
( ) n
5 j . (9.92)
2j + 1
5 p−1
2 ≡ 1 (mod p), (9.93)
niin
2.) Jos,
niin
f p−1 ≡ 0 (mod p) ja MJ f (p) ≤ p − 1. (9.94)
5 p−1
2 ≡ −1 (mod p), (9.95)
f p+1 ≡ 0 (mod p) ja MJ f (p) ≤ 2p + 2. (9.96)
Myöhemmin neliöjäännösteorian avulla osoitetaan, että
1.) (9.93) ⇔ p = 5m ± 1.
2.) (9.95) ⇔ p = 5m ± 2.
Todistus. Yhtälöstä (9.92) saadaan
2 p−1 f p =
2∑
p−1
j=0
( ) ( ( ( p p p p
5 j = + 5 + ... + 5
2j + 1 1)
3)
p)
p−1
2 , (9.97)
josta Lauseiden 4.5 ja 6.7 nojalla
f p ≡ 5 p−1
2 (mod p). (9.98)
Edelleen asettamalla n = p + 1 yhtälöön (9.92) saadaan
⌊
∑
p 2 ⌋ ( ) ( ) ( ) ( )
p + 1 p + 1 p + 1
p + 1
2 p f p+1 =
5 j = + 5 + ... + 5 p−1
2 . (9.99)
2j + 1 1 3
p
j=0
66

Tässä
( ) p + 1
=
3
(p + 1)p(p − 1)
3 · 2
≡ 0 (mod p) (9.100)
ja yleisemminkin pätee
( ) p + 1
≡ 0
k
(mod p) ∀ 2 ≤ k ≤ p − 1. (9.101)
Siten yhtälön (9.99) nojalla
2f p+1 ≡ 1 + 5 p−1
2 (mod p). (9.102)
Merkitään a = 5 p−1
2 , jolloin a 2 ≡ 1 (mod p). Nyt Lauseen 6.8 todistuksen nojalla
a ≡ ±1
(mod p).
1.) Olkoon a ≡ 1 (mod p). Tällöin yhtälöiden (9.98) ja (9.102) nojalla
f p ≡ 1, f p+1 ≡ 1 (mod p). (9.103)
Täten, ensin rekursion avulla
f p−1 ≡ 0 (mod p) (9.104)
ja edelleen rekursion nojalla
f p−1+l ≡ f l (mod p) ∀l ∈ N, (9.105)
joten J f (p) = p − 1.
2.) Olkoon a ≡ −1 (mod p). Tällöin yhtälöiden (9.98) ja (9.102) nojalla
f p ≡ −1, f p+1 ≡ 0 = f 0 (mod p). (9.106)
Täten
f p+2 ≡ −1 = −f 1 (mod p), (9.107)
f p+3 ≡ −1 = −f 2 (mod p) (9.108)
67

ja edelleen
sekä
f 2p+1 ≡ −f p ≡ 1 (mod p) (9.109)
f 2p+2 ≡ −f p+1 ≡ 0, (mod p) (9.110)
joten J f (p) = 2p + 2.
ESIM: 1.) p = 11 ja
5 p−1
2 = 5 5 ≡ 1 (mod 11).
Nyt 11|f 10 ja MJ f (11) = 10 = p − 1.
p = 29 ja
5 p−1
2 = 5 14 ≡ 1 (mod 29).
Nyt 29|f 28 mutta MJ f (29) = 14 = (p − 1)/2.
2.) p = 7 ja
Nyt 7|f 8 ja MJ f (7) = 16 = 2p + 2.
5 p−1
2 = 5 3 ≡ −1 (mod 7).
68

10 Lucasin jonot
10.1 Rekursio ja ratkaisu yritteellä
Jono (w n ) on ei-triviaali, jos ainakin yksi alkio w n ≠ 0.
Määritelmä 10.1. Olkoot r, s ∈ C, s ≠ 0. Ei-triviaalia jonoa (w n ), joka toteuttaa
palautuskaavan
w n+2 = rw n+1 + sw n , n ∈ N (10.1)
sanotaan Lucasin jonoksi.
Ratkaistaan rekursio (10.1) yritteellä
w n = x n , x ∈ C ∗ . (10.2)
Kuten pykälässä 9. rekursiosta (10.1) saadaan
x 2 − rx − s = 0, (10.3)
jonka ratkaisut ovat
α = r + √ r 2 + 4s
2
Määritelmä 10.2. Polynomi
, β = r − √ r 2 + 4s
. (10.4)
2
K(x) = K w (x) = x 2 − rx − s = (x − α)(x − β) (10.5)
on rekursion (10.1) karakteristinen polynomi.
Lause 10.1. Olkoot a, b ∈ C. Tällöin
w n = aα n + bβ n (10.6)
on rekursion (10.1) ratkaisu.
69

1.) Olkoon r 2 + 4s ≠ 0, tällöin α ≠ β. Siten rekursion (10.1) kaikki ratkaisut ovat
muotoa (10.4), joillakin a, b ∈ C, jotka riippuvat jonon (w n ) alkuarvoista w 0 , w 1 .
Olkoot erityisesti
jota sanotaan Fibonaccin muodoksi ja
F n = 1
α − β (αn − β n ) , (10.7)
L n = α n + β n , (10.8)
jota sanotaan Lucasin muodoksi. Huomaa, että αβ = −s, α + β = r, α − β =
√
r2 + 4s ja F 0 = 0, F 1 = 1, F 2 = r, L 0 = 2, L 1 = r, L 2 = r 2 + 2s.
Lause 10.2.
L n = F 2n
F n
. (10.9)
Todistus. Suoraan laskemalla
ESIM:Rekursion
F 2n
F n
= α2n − β 2n
α n − β n = αn + β n = L n . (10.10)
w n+2 = w n+1 − w n (10.11)
karakteristinen polynomi on
K w (x) = x 2 − x + 1 = (x − α)(x − β), (10.12)
missä
α = 1 + i√ 3
2
, β = 1 − i√ 3
. (10.13)
2
Siten rekursion (10.11) yleinen ratkaisu on muotoa (10.6).
a). Olkoot alkuarvot w 0 = 2 ja w 1 = 2, tällöin
(
w n = 3 − i√ 3 1 + i √ ) n (
3
+ 3 + i√ 3 1 − i √ ) n
3
. (10.14)
3 2
3 2
70

Toisaalta rekursiota (10.11) käyttäen saadaan
w 2 = 0, w 3 = −2, w 4 = −2, w 5 = 0, w 6 = 2, w 7 = 2, ...
ja siten jono (w n ) on jaksollinen!
2.) Tapaus r 2 + 4s = 0 eli α = β. Tällöin lineaariyhdisteellä (10.6) ei saada kaikkia
ratkaisuja. Siis tarvitaan toisenlainen ratkaisuyrite, joka löytyy luonnollisella
tavalla generoivan sarjan avulla. Olkoon
W (z) =
∞∑
w k z k
k=0
ja menetellään kuten kohdassa (9.42) eli saadaan
z
W (z) =
∞∑
w n+2 z n+2 + w 1 z + w 0 =
n=0
∞∑
rw n+1 z n+1 + z 2
n=0
z
∞∑
rw k z k + z 2
k=1
∞
∑
n=0
∑ ∞
k=0
sw n z n + w 1 z + w 0 =
sw k z k + w 1 z + w 0 =
rz(W (z) − w 0 ) + sz 2 W (z) + w 1 z + w 0 . (10.15)
Yhtälöstä (10.15) saadaan ratkaisu
Määritelmä 10.3. Sarja
W (z) = (w 1 − rw 0 )z + w 0
1 − rz − sz 2 .
W (z) =
∞∑
w k z k (10.16)
k=0
on lukujonon (w k ) generoiva sarja ja funktio
on lukujonon (w k ) generoiva funktio.
W (z) = (w 1 − rw 0 )z + w 0
1 − rz − sz 2 . (10.17)
71

Muokataan nimittäjää karakteristisen polynomin avulla seuraavasti
1 − rz − sz 2 = z 2 ((1/z) 2 − r/z − s) = z 2 K(1/z) =
z 2 (1/z − α)(1/z − β) = (1 − αz)(1 − βz) (10.18)
ja jaetaan (10.18) osamurtoihin.
II.) Tapaus α = β. Nyt
missä
W (z) = (w 1 − rw 0 )z + w 0
(1 − αz) 2 = E
1 − αz + F
(1 − αz) 2 , (10.19)
E + F = w 0 , Eα = rw 0 − w 1 . (10.20)
Siten
joten
∞∑
∞∑
∞∑
W (z) = E α k z k + F (k + 1)α k z k = w k z k , (10.21)
k=0
k=0
k=0
w k = (E + F )α k + F kα k . (10.22)
Tulos (10.22) antaa perustelun toiselle ratkaisuyritteelle
w k = kx k . (10.23)
ESIM:Rekursion
w n+2 = 4w n+1 − 4w n (10.24)
tapauksessa r 2 + 4s = 0 eli α = β. Nyt α = −2, joten
w k = aα k + bkα k . (10.25)
Olkoot nyt w 0 = 1 ja w 1 = −1, jolloin saadaan a = 1 ja b = −1/2 ja siten
w k = (−2) k − k 1 2 (−2)k . (10.26)
HUOM: 1. VÄLIKOE TÄHÄN ASTI!!
72

10.2 Matriisiesitys
Työn alla...
73

11 Formaaleista potenssisarjoista
Olkoon R ykkösellinen rengas. Muodollista summaa
A(T ) =
∞∑
a k T k , a k ∈ R ∀ k ∈ N,
k=0
sanotaan formaaliksi potenssisarjaksi. Olkoon
R[[T ]] = {A(T ) =
∞∑
a k T k | a k ∈ R ∀ k ∈ N}
k=0
R-kertoimisten formaalien potenssisarjojen (formal power series) joukko, missä
asetetaan yhtäsuuruus, summa ja tulo seuraavasti.
Määritelmä 11.1. Olkoot
A(T ) =
∞∑
a k T k , B(T ) =
k=0
∞∑
b k T k ∈ R[[T ]].
k=0
Tällöin
A(T ) = B(T ) ⇔ ∀k(a k = b k ); (11.1)
A(T ) + B(T ) = ∑ k0(a k + b k )T k ; (11.2)
A(T )B(T ) = ∑ k0
c k T k , (11.3)
missä
k∑
c k = a i b k−i = ∑
a i b j , (11.4)
joka on Cauchyn kertosääntö.
Merkitään vielä
i=0
i+j=k
a k T k = 0 · T 0 + 0 · T + 0 · T 2 + . . . + a k T k + 0 · T k+1 + . . . .
Voidaan osoittaa, että R[[T ]] on ykkösellinen rengas, missä
0(T ) = 0 + 0 · T + 0 · T 2 + . . . on nolla-alkio ja
74

1(T ) = 1 + 0 · T + 0 · T 2 + . . . on ykkösalkio.
HUOM: a). Formaaleilla sarjoilla tutkitaan esimerkiksi rekursiojonojen algebrallisia
ominaisuuksia. Formaali sarja EI ole funktio ja siksi symbolisen muuttujan
paikalle ei saa asettaa renkaan alkiota. Toisaalta, jos ensin tutkitaan sarjan suppeneminen
pisteessä r ∈ R, niin tällöin saadaan funktio, joka kuvaa alkion r
alkioksi A(r) ∈ R.
b) Polynomit ovat formaalien sarjojen osajoukko eli R[T ] ⊆ R[[T ]]. Koska polynomi
on äärellinen summa, niin muuttujan paikalle voi sijoittaa renkaan alkion.
Olkoon seuraavassa R = K kunta.
Määritelmä 11.2. Olkoon
A(T ) = a h T h + a h+1 T h+1 + . . . , a h ≠ 0, (11.5)
tällöin sarjan A(T ) kertaluku (order) ordA(T ) = h .
Välittömästi saadaan, että
ord(AB) = ord(A) + ord(B), (11.6)
ord(A) = 0 ⇔ a 0 ≠ 0. (11.7)
Lause 11.1. Olkoon A(T ) ∈ K[[T ]] ja ord(A) = 0. Tällöin on olemassa sellainen
B(T ) ∈ K[[T ]], että
A(T )B(T ) = 1. (11.8)
Toisaalta, jos (11.8) pätee joillekin A(T ), B(T ) ∈ K[[T ]], niin
ord(A) = ord(B) = 0. (11.9)
Merkitään
B(T ) = 1
A(T ) , 75

mikäli (11.8) toteutuu ja sanotaan, että 1/A(T ) on sarjan A(T ) käänteissarja
(inverse series).
Lauseen 3.1 todistus. Olkoon ord(A) = 0 ja
A(T ) = a 0 + a 1 T + a 2 T 2 + ... ∈ K[[T ]], a 0 ≠ 0. (11.10)
Merkitään
B(T ) = b 0 + b 1 T + b 2 T 2 + ..., (11.11)
jolloin yhtälöstä (11.8) saadaan
a 0 b 0 = 1 ⇒ b 0 = 1 a 0
∈ K (11.12)
...
a 0 b 1 + a 1 b 0 = 0 ⇒ b 1 = − 1 a 0
a 1 b 0 = − a 1
a 2 0
a 0 b n + a 1 b n−1 + ... + a n b 0 = 0 ⇒
∈ K, (11.13)
b n = − 1 (a 1 b n−1 + ... + a n b 0 ), (11.14)
a 0
josta saadaan b n ∈ K laskettua. Siten B(T ) ∈ K[[T ]] ja (11.8) toteutuu.
ESIM: Olkoot
A(T ) =
Tällöin
∞∑
T k , B(T ) = 1 − T ∈ K[[T ]].
k=0
A(T )B(T ) = (1 − T )(1 + T + T 2 + T 3 + . . . ) =
1 · 1 + (1 · 1 + (−1) · 1)T + (1 · 1 + (−1) · 1)T 2 + · · · = 1 (11.15)
ja siten
∞
1
1 − T = ∑
T k . (11.16)
Määritelmä 11.3. Sarjojen
k=0
∞∑
∞∑
A(T ) = a k T k , B(T ) = b k T k ∈ R[[T ]]
k=0
k=0
76

yhdistetty sarja on
(A ◦ B)(T ) = A(B(T )) =
∞∑
a k (B(T )) k . (11.17)
k=0
ESIM: a) Olkoot
A(T ) = B(T ) =
tällöin
(A ◦ B)(T ) = A(B(T )) =
∞∑
T k ,
k=0
∞∑
(B(T )) k =
k=0
∞∑
(1 + T + T 2 + . . . ) k =
k=0
1 + (1 + T + T 2 + . . . ) + (1 + T + T 2 + . . . ) 2 + · · · =
1 + 1 + 1 + · · · + (1 + 1 + 1 + . . . )T + (1 + 1 + 1 + . . . )T 2 + . . . , (11.18)
jonka kertoimet eivät suppene. Toisaalta tässä A(T ) = B(T ) = 1/(1 − T ), jolloin
(A ◦ B)(T ) = A(B(T )) = 1 − T
−T
= −1
T
+ 1. (11.19)
Nyt tuloksena ei ole potenssisarja (vaan Laurentin sarja). Siten yhdistetty sarja
ei aina ole olemassa.
Muodollista summaa
L(T ) =
∞∑
k=−∞
l k T k , l k ∈ R, ∀ k ∈ Z
sanotaan formaaliksi Laurentin sarjaksi. Olkoon
R((T )) = {L(T ) =
∞∑
k=−∞
l k T k | l k ∈ R ∀ k ∈ Z}
R-kertoimisten formaalien Laurentin sarjojen joukko, missä asetetaan yhtäsuuruus,
summa ja yhdiste kuten formaaleilla potenssisarjoilla. Asetetaan vielä
T k
T l = T k−l ∀ k, l ∈ Z, (11.20)
77

jolloin tulo saadaan seuraavasti
L(T )K(T ) = ∑ k
d k T k , (11.21)
missä
d k = ∑
i+j=k
l i k j , (11.22)
joka yleistää Cauchyn kertosäännön (11.4). Tärkeitä formaaleja sarjoja ovat
Geometrinen sarja
Binomisarja,
Eksponenttisarja
Sinisarja
Kosinisarja
Logaritmisarja
Tangenttisarja
∞∑
k=0
BIN a (T ) =
EXP (T ) =
SIN(T ) =
∞∑
k=0
COS(T ) =
LOG(T ) =
T k
∞∑
k=0
∞∑
k=0
( a
k)
T k
1
k! T k
(−1) k
(2k + 1)! T 2k+1
∞∑
k=0
(−1) k
(2k)! T 2k
∞∑ (−1) k+1
k=1
k
T AN(T ) = SIN(T )
COS(T )
Toisinaan tarvitaan useammanmuuttujan sarjoja, jolloin esimerkiksi kahdenmuuttujan
tapauksessa Caychyn kertosääntö on
A(T )B(S) =
∞∑
a k T k
k=0
T k
∞
∑
l=0
b l S l =
78

Lause 11.2.
∞∑ ∑
a k b l T k S l . (11.23)
n=0 k+l=n
EXP (T + S) = EXP (T )EXP (S), (11.24)
EXP (−T ) =
1
EXP (T ) , (11.25)
EXP (mT ) = EXP (T ) m , m ∈ Z (11.26)
Todistus. Lähdetään määritelmästä ja käytetään ensin Binomikaavaa (4.27) ja
sitten Caychyn kertosääntöä (11.23), jolloin
∞∑
EXP (T + S) =
∑
n=0 k+l=n
T k S l
k! l!
=
∞∑
k=0
∞∑ (T + S) n
=
n!
n=0
T k
k!
∞∑
l=0
S l
l!
Lause 11.3. Olkoon m ∈ Z \ {0}. Tällöin
∞∑
n=0
1
n!
∑
k+l=n
( n
k)
T k S l =
= EXP (T )EXP (S). (11.27)
(BIN 1/m (T )) m = 1 + T. (11.28)
Voidaan siis merkitä
(1 + T ) 1/m = BIN 1/m (T ) =
∞∑
( ) 1/m
T k .
k
k=0
12 Bernoullin luvut
12.1 Generoiva funktio ja sarja
Bernoullin luvut voidaan määritellä generoivan funktion avulla seuraavasti.
79

Määritelmä 12.1. Asetetaan
∞
T
EXP (T ) − 1 = ∑
missä luvut B n ovat Bernoullin lukuja.
n=0
B n
n! T n , (12.1)
Siten Bernoullin luvut saadaan generoivan funktion
T
EXP (T ) − 1
sarjakehitelmän kertoimista. Toisaalta yhtälön (12.1) sarja on Bernoullin lukujen
generoiva sarja. Merkitään
S = 1 2! T + 1 3! T 2 + 1 4! T 3 + . . . ,
jolloin yhtälön (11.1) nojalla
T
EXP (T ) − 1 =
T
1 + 1 1! T + 1 2! T 2 + 1 3! T 3 + 1 4! T 4 + · · · − 1 =
1
1 + 1 T + 1 T 2! 3! 2 + 1 T 4! 3 + . . . = 1
1 + S = 1 − S + S2 − S 3 + S 4 + . . . . (12.2)
Nyt esimerkiksi
S 2 =
( 1
2! T + 1 3! T 2 + . . .
) 2
= T 2 ( 1
2 + 1 6 T + . . . ) 2
= 1 4 T 2 + 1 6 T 3 +. . . , (12.3)
joten kohdasta (12.2) saadaan
Täten
1
1 + S = 1 − 1 2 T − 1 6 T 2 − 1 24 T 3 − · · · + 1 4 T 2 + 1 6 T 3 + · · · − 1 8 T 3 + · · · =
1 − 1 2 T + 1 12 T 2 + 0 · T 3 − · · · = B 0
0! T 0 + B 1
1! T 1 + B 2
2! T 2 + . . . . (12.4)
B 0 = 1, B 1 = − 1 2 , B 2 = 1 6 , B 3 = 0, B 4 = − 1 30 , B 5 = 0, B 6 = 1 , .... (12.5)
42
(Tämä menetelmä on käytännössä suhteellisen nopea.)
80

Lause 12.1. Olkoon k ∈ Z + . Tällöin
B 2k+1 = 0. (12.6)
Todistus. Merkitään
jolloin
T
G(T ) =
EXP (T ) − 1 + T 2 = T ∞
EXP (T ) + 1
2 EXP (T ) − 1 = ∑
g n T n , (12.7)
G(−T ) = −T
2
n=0
EXP (−T ) + 1
EXP (−T ) − 1 = −T 1/EXP (T ) + 1
2 1/EXP (T ) − 1 = T EXP (T ) + 1
2 EXP (T ) − 1
Yhtälön (12.8) nojalla G(T ) on parillinen eli
ja yhtälön (12.7) nojalla
g 2k+1 = 0 ∀ k ∈ N (12.9)
= G(T ). (12.8)
joten saadaan väite.
G(T ) =
∞∑
n=0
B n
n! T n + T 2 , (12.10)
12.2 Palautuskaava
Johdetaan seuraavaksi tärkeä Bernoullin lukujen palautuskaava. Merkitään ensin
ja
e T =
B(T ) =
Nyt määrittely-yhtälön (12.1) nojalla
∞∑
n=0
∞∑
n=0
1
n! T n
B n
n! T n .
T = (e T − 1)B(T ), (12.11)
81

eli
T =
∞∑
l=1
1
l! T ∑ ∞ l
k=0
B k
k! T k . (12.12)
Verrataan vastinpotenssien kertoimia, jolloin saadaan aluksi
T 1 : 1 = 1 B 0
1! 0!
⇒ B 0 = 1. (12.13)
Yleisemmin Caychyn kertosäännöllä saadaan
0 = ∑
l+k=n,l≥1
1 B k
l! k! , (12.14)
missä 0 ≤ k ≤ n−1. Lavennetaan vielä n!:lla, jolloin palautuskaava saa seuraavan
implisiittisen muodon.
Lause 12.2. Olkoon n ∈ Z ≥2 . Tällöin
∑n−1
( n
B k = 0. (12.15)
k)
k=0
Edelleen (12.15) voidaan esittää yhtäpitävästi eksplisiittisessä muodossa
B m =
−1 (( ) ( ) ( )
m + 1 m + 1
m + 1
B 0 + B 1 + ... +
)B m−1
m + 1 0
1
m − 1
Välittömästi nähdään, että
∀ m ∈ Z + , B 0 = 1. (12.16)
B m ∈ Q ∀ m ∈ N. (12.17)
12.3 Potenssisummia
Johdetaan seuraavassa potenssisummalle
S m (n) = 1 m + 2 m + ... + n m , m ∈ N, n ∈ Z + , (12.18)
82

lauseke Bernoullin lukujen avulla. Nyt
ja toisaalta
1 +
∞∑
m=1
e 0·T + e 1·T + ... + e n·T =
0 m T m
m! + 1 + ∞
∑
n + 1 +
e 0·T + e 1·T + ... + e n·T =
m=1
∞∑
m=1
n∑
e lT =
l=0
1 m T m
m! + ... + 1 + ∞
∑
S m (n) T m
m!
n∑
l=0
Yhdistetään tulokset (12.19) ja (12.20), jolloin
n + 1 +
∞∑
m=1
T e (n+1)T − 1
e T − 1 T
∞∑
k=0
B k
k! T k ∞
∑
h=0
(12.19)
m=1
n m T m
m! =
( ) e
T l e (n+1)T − 1
= . (12.20)
e T − 1
S m (n) T m
m! = e(n+1)T − 1
e T − 1
= B(T )
=
∞∑ (n + 1) l
T l−1 =
l!
l=1
(n + 1) h+1
T h . (12.21)
(h + 1)!
Vertaamalla identiteetin (12.21) kertoimia, saadaan
jonka nojalla pätee
Lause 12.3.
S m (n) = 1
m + 1
S m (n) = m!
∑
k+h=m
B k
k!
(n + 1) h+1
,
(h + 1)!
m∑
( ) m + 1
B k (n + 1) m+1−k . (12.22)
k
k=0
Tulkitaan lausekkeet S m (n) polynomeiksi muuttujan n suhteen. Yhtälön (12.22)
nojalla S m (n) ∈ Q[n].
ESIM:
S 1 (n) = 1 + 2 + ... + n =
n(n + 1)
2
(12.23)
83

S 2 (n) = 1 2 + 2 2 + ... + n 2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
S 3 (n) = 1 3 + 2 3 + ... + n 3 = n2 (n + 1) 2
4
(12.24)
(12.25)
S 4 (n) = 1 4 + 2 4 + ... + n 4 = n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1)
30
Esimerkin nojalla pätee mm. seuraavat jaollisuusrelaatiot
ja
n(n + 1) | S m (n) m = 1, ..., 4 (12.27)
Q[n]
2n + 1 | S m (n) m = 2, 4. (12.28)
Q[n]
Todistetaan seuraavat pari relaatiota yleiselle indeksille.
(12.26)
Lause 12.4.
n + 1 | S m (n) ∀ m ∈ Z + , (12.29)
Q[n]
(n + 1) 2 | S m (n) ∀ m ∈ 2Z + + 1. (12.30)
Q[n]
Todistus. Suoraan tuloksesta (12.22) seuraa S m (n) = R m (n + 1), missä
R m (x) = r m+1 x m+1 + ... + r 1 x, r 1 = 1 ( ) m + 1
B m = B m . (12.31)
m + 1 m
Siten
ja lisäksi
x|R m (x) ∀ m ∈ Z + (12.32)
x 2 |R 2j+1 (x) ∀ j ∈ Z + , (12.33)
sillä tässä r 1 = B 2j+1 = 0.
84

12.4 Bernoullin polynomit
Lause 12.5. Olkoon
tällöin
T e xT
∞
EXP (T ) − 1 = ∑
B n (x) =
n∑
k=0
n=0
B n (x)
T n , (12.34)
n!
( n
k)
B k x n−k . (12.35)
Todistus. Kehitetään sarjaksi yhtälön (12.34) V.P.=
B(T )e xT =
(
∞∑ ∑
n=0
k+l=n
∞∑
k=0
B k
k!
x l
l!
B k
k! T k ∞
∑
)
l=0
x l
l! T l =
T n . (12.36)
Verrataan sarjan (12.36) ja yhtälön (12.34) O.P. sarjan vastinkertoimia, jolloin
B n (x)
n!
joka kerrotaan puolittain n!:lla.
=
n∑
k=0
B k
k!
x n−k
(n − k)! ,
Määritelmä 12.2. Polynomit
B n (x) =
n∑
k=0
( n
k)
B k x n−k
ovat Bernoullin polynomeja.
ESIM:
B 0 (x) = B 0 = 1, B 1 (x) = B 0 x + B 1 = x − 1/2, ....
85

13 p-valuaatio
Tarkastellaan alkuluvun p esiintymistä rationaaliluvussa A = a/b.
Määritelmä 13.1. Olkoon p ∈ P ja
A = a b = pr c d
≠ 0, p ̸ |cd. (13.1)
Tällöin asetetaan
Asetetaan lisäksi
v p (A) = r, A ≠ 0.
v p (0) = ∞,
missä symboli ∞ toteuttaa laskusäännöt
∞ + ∞ = ∞, ∞ + c = ∞ ∀c ∈ C, k < ∞ ∀k ∈ R. (13.2)
Usein lukua v P (A) kutsutaan eksponentiaaliseksi valuaatioksi tai p-adiseksi valuaatioksi
(jonka avulla voidaan määritellä p-adinen itseisarvo).
Lause 13.1. Laskusääntöjä. Olkoon k ∈ Z, tällöin
v p (k) ≥ 0. (13.3)
Olkoot A, B ∈ Q, tällöin
v p (AB) = v p (A) + v p (B), (13.4)
v p (1/B) = −v p (B), (13.5)
v p (A/B) = v p (A) − v p (B), (13.6)
v p (A + B) ≥ min{v p (A), v p (B)}, (13.7)
jos lisäksi v p (A) ≠ v p (B), niin
v p (A + B) = min{v p (A), v p (B)}. (13.8)
86

Todistetaan kohdat (13.7) ja 13.8).
Tapaus AB ≠ 0. Olkoot
A = p r α β , B = ps γ δ ,
missä
α, β, γ, δ ∈ Z \ {0}, α ⊥ β, γ ⊥ δ, p ̸ |αβγδ. (13.9)
Oletetaan vaikka, että r ≥ s. Tällöin
(
A + B = p s p r−s α β + γ )
δ
missä kohdan (13.3) nojalla
sekä oletuksien (13.9) nojalla
= p s αδpr−s + βγ
, (13.10)
βδ
v p (αδp r−s + βγ) = t ≥ 0 (13.11)
v p (βδ) = 0. (13.12)
Käytetään vielä tulon ja osamäärän tuloksia (13.4) ja (13.6), jolloin
v p (A + B) = v p (p s ) + v p (αδp r−s + βγ) − v p (βδ) = s + t − 0 ≥
s = min{r, s} = min{v p (A), v p (B)}. (13.13)
Täten saatiin kohta (13.7). Kohdassa (13.8) oletetaan lisäksi r > s. Tällöin
p ̸ |αδp r−s + βγ ⇒ v p (αδp r−s + βγ) = t = 0. (13.14)
Siten kohdassa (13.13) saadaan yhtäsuuruus
v p (A + B) = s + t − 0 = s = min{r, s} = min{v p (A), v p (B)}. (13.15)
Kohdassa (13.7) tarvitaan vielä tapaus AB = 0.
a) A = B = 0, tällöin
v p (A + B) = v p (0) = ∞ = min{v p (A), v p (B)}. (13.16)
87

a) A ≠ 0, B = 0, tällöin
v p (A + B) = v p (A) = min{v p (A), v p (B)}. (13.17)
Annetaan vielä kohdan (13.8) yleistys
v p (A 1 + ... + A k ) ≥ min
1≤j≤k {v p(A i )}. (13.18)
Määritelmä 13.2. Olkoon p ∈ P annettu, tällöin
Z (p) = {A ∈ Q| v p (A) ≥ 0}
on p-kokonaislukujen (p-integers) joukko.
Lause 13.2. Olkoon p ∈ P, tällöin Z (p) on kommutatiivinen ykkösellinen rengas,
jonka yksikköryhmä on
Z ∗ (p) = {A ∈ Q| v p (A) = 0}.
Lause 13.3. Olkoot p ∈ P, k ∈ Z + ja A = p k /(k + 1). Tällöin
v p (A) ≥ 0, (13.19)
ja jos k ≥ 2, niin
v p (A) ≥ 1 (13.20)
ja jos k ≥ 3 ja p ≥ 5, niin
v p (A/p 2 ) ≥ 0. (13.21)
Todettakoon vielä, että kohdassa (13.19)
p k /(k + 1) ∈ Z (p)
ja kohdassa (13.20)
p k /(k + 1) ≡ 0
(mod p).
88

14 Bernoullin lukujen jaollisuudesta
Bernoullin lukuihin liitty useita mielenkiintoisia jaollisuusominaisuuksia. Tutkitaan
seuraavassa Bernoullin lukujen nimittäjien jaollisuutta.
Lause 14.1. Olkoon p ∈ P, tällöin
pB m ∈ Z (p) ∀m ∈ N. (14.1)
Todistus. Induktiolla, jolloin aluksi
Relaation
B 0 = 1 ⇒ pB 0 = p ∈ Z (p) ∀p ∈ P.
( ) m + 1
ja tuloksen (12.22) nojalla
k
S m (p − 1) =
= m + 1 ( ) m
m + 1 − k k
m∑
k=0
( ) ( ) m B0 p m+1 m
0 m + 1 + ... + Bm−2 p 3
+
m − 2 3
Yhtälön (14.3) termeille pätee
(14.2)
( m
k
)
Bk p m+1−k
m + 1 − k =
( ) m Bm−1 p 2
+ B m p. (14.3)
m − 1 2
S m (p − 1) ∈ Z ⇒ v p (S m (p − 1)) ≥ 0,
( )
( )
m m
∈ Z ⇒ v p ≥ 0
k k
( ) p
m ( p
)
Lause 13.3 ⇒ v p , ..., v p ≥ 0
m + 1 2
Induktio-oletus ⇒ v p (pB m−k ) ≥ 0 ∀ k = 1, ..., m.
Täten
( m p
v p (pB m ) = v p
(S m (p − 1) −
)pB m
0
0 m + 1 − ...
( ( ) )
m p
−
)pB 2 m
m−2
m − 2 3 − p
pB m−1 ≥
m − 1 2
89

( ( )
m p
k
min {v p(S m (p − 1)), v p (pB m−k )v p
)v p } ≥ 0. (14.4)
1≤j≤k m − k k + 1
ESIM.
Merkitään nyt
2B 2 = 2 1 6 = 1 3 ∈ Z (2),
3B 2 = 3 1 6 = 1 2 ∈ Z (3),
pB 2 = p 1 6 = p 6 ∈ Z (p) ∀p ∈ P ≥5 .
B m = N m
D m
, N m ∈ Z, D m ∈ Z + , N m ⊥ D m .
Siten tulos
pB m ∈ Z (p)
∀p ∈ P
tarkoittaa, että
0 ≤ v p (D m ) ≤ 1 ∀ p ∈ P (14.5)
Joten ei ole sellaista alkulukua p, että
p 2 |D m . (14.6)
Määritelmä 14.1. Luku k ∈ Z on neliövapaa (square free), jos ehdosta
a 2 |k ja a ∈ Z +
seuraa, että a = 1.
Tuloksen (14.6) nojalla saadaan
Lause 14.2. Bernoullin lukujen nimittäjät D m ovat neliövapaita.
Lause 14.3. Olkoon m = 2l ∈ 2Z + ja p ∈ P, tällöin
pB 2l ≡ S 2l (p − 1) (mod p). (14.7)
90

Todistus. Tapaus m = 2 laskareissa. Olkoon nyt m ≥ 4. Tällöin B m−1 = 0, joten
yhtälön (14.3) nojalla
( (
m p
S m (p − 1) =
)pB m
m
0
0 m + 1 + ... + p
)pB 2
m−2
m − 2 3 + pB m. (14.8)
Lauseen 14.1 nojalla
pB m−k ∈ Z (p) ∀ 2 ≤ k ≤ m
ja tuloksen (13.20) nojalla
( ) p
k
v p ≥ 1
k + 1
∀ 2 ≤ k ≤ m,
joten
( p
m
p
∣
)pB k
m−k
m − k k + 1
Täten yhtälöstä (14.8) saadaan
∀ 2 ≤ k ≤ m. (14.9)
S m (p − 1) ≡ pB m (mod p). (14.10)
Lause 14.4. Olkoon m ∈ Z + ja p ∈ P. Tällöin
p − 1|m ⇒ S m (p − 1) ≡ −1 (mod p), (14.11)
p − 1 ̸ |m ⇒ S m (p − 1) ≡ 0 (mod p). (14.12)
Todistetaan kohta (14.11). Olkoon siis m = a(p − 1), jollakin a ∈ Z. Fermat’n
pikkulauseella saadaan
S m (p − 1) = 1 m + 2 m + ... + (p − 1) m =
(
1
p−1 ) a
+
(
2
p−1 ) a
+ ... +
(
(p − 1)
p−1 ) a
≡
1 a + 1 a + ... + 1 a = p − 1 ≡ −1 (mod p).
Tapaus (14.12) sivuutetaan.
Yhdistämällä Lauseet 14.3 ja 14.4 saadaan
91

Lause 14.5. Olkoot m ∈ 2Z + ja p ∈ P. Tällöin
p − 1|m ⇒ pB m ≡ −1 (mod p), (14.13)
p − 1 ̸ |m ⇒ pB m ≡ 0 (mod p). (14.14)
Seuraava tulos selvittää Bernoullin lukujen nimittäjien olemuksen.
Lause 14.6. Olkoon l ∈ Z + . Tällöin
jollakin A 2l ∈ Z.
Todistus. Olkoon
ja merkitään
B 2l = A 2l −
∑
q−1|2l,q∈P
1
q , (14.15)
R 2l = {q ∈ P| q − 1|2l} = {q 1 , ..., q r }
A 2l = B 2l + ∑ 1
q
q∈R 2l
ja todistetaan, että rationaaliluku A 2l on kokonainen.
a) Jos p ∈ P \ R 2l , niin tuloksen (14.14) nojalla
pB 2l ≡ 0
(mod p).
Siten
v p (pB 2l ) ≥ 1 ⇒ v p (p) + v p (B 2l ) ≥ 1,
joten
Edelleen
v p (B 2l ) ≥ 0. (14.16)
( ) 1
v p (A 2l ) ≥ min {v p(B 2l ), v p } ≥ 0. (14.17)
1≤j≤r q j
b) Jos p = q ∈ R 2l , niin tuloksen (14.15) nojalla
qB 2l ≡ −1 (mod q) (14.18)
92

eli qB 2l = −1 + hq, jollakin h ∈ Z. Siten
v q (q) + v q (B 2l ) = v q (−1 + hq) = 0,
joten
Tuloksen (14.19) nojalla
v q (B 2l ) = −1. (14.19)
D 2l = qC 2l , C 2l ∈ Z, q ̸ |C 2l
Toisaalta tuloksesta (14.18) tulee
q N 2l
D 2l
+ 1 = N 2l
C 2l
+ 1 =
josta saadaan
Käyttämällä tulosta (14.21) lasketaan
N 2l + C 2l
C 2l
≡ 0 (mod q), (14.20)
q|N 2l + C 2l = qL, L ∈ Z. (14.21)
B 2l + 1 q = N 2l
+ 1 D 2l q = 1 N 2l + C 2l
= L , (14.22)
q C 2l C 2l
missä L ∈ Z,
q ̸ |C 2l . Niinpä
v p (B 2l + 1 ) ≥ 0. (14.23)
q
Valitaan vaikka p = q 1 , jolloin
Kohtien a) ja b) nojalla
v p (A 2l ) ≥ min {v q 1
(B 2l + 1 ( ) 1
), v p } ≥ 0. (14.24)
2≤j≤r q 1 q j
v p (A 2l ) ≥ 0 ∀ p ∈ P. (14.25)
93

Täten vihdoin A 2l ∈ Z.
Äskeisten tulosten nojalla nimittäjän käyttäytyminen tunnetaan siis hyvin. Valitettavasti
osoittajista ei tiedetä läheskään yhtä paljon, mikä seuraavan Kummerin
tuloksen valossa olisi ratkaisevaa Fermat’n suuren lauseen tutkimuksessa.
Määritelmä 14.2. Alkuluku p ∈ P p≥3 on säännöllinen (regular), jos
1) p = 3 tai
2) p ≥ 5 ja pätee
p ̸ |N 2 N 4 · · · N p−3 .
Muutoin p on epäsäännöllinen (irregular).
Lause 14.7. Olkoon p ∈ P p≥3 säännöllinen, tällöin
x p + y p ≠ z p ∀ x, y, z ∈ Z + . (14.26)
Mainittakoon, että Andrew Wiles [Annals of Mathematics 141 (1995)] on todistanut
Fermat’n väitteen (14.26) kaikille parittomille alkuluvuille. Wilesin todistus
perustuu mm. elliptisten käyrien ominaisuuksiin.
15 Eulerin luvut
Eulerin luvut liittyvät läheisesti Bernoullin lukuihin ja ovat algebrallisen lukuteorian
kalustoa sekä esiintyvät myös kombinatoriikan kysymyksissä.
15.1 Generoiva funktio ja sarja
Eulerin luvut voidaan määritellä generoivan funktion avulla vastaavasti kuten
Bernoullin luvutkin
94

Määritelmä 15.1. Asetetaan
2e T ∞
e 2T + 1 = ∑
missä luvut E n ovat Eulerin lukuja.
n=0
E n
n! T n , (15.1)
Aukaisemalla sarjakehitelmä voidaan Eulerin lukuja määrätä kuten Bernoullin
lukujakin, jolloin
E 0 = 1, E 1 = 0, E 2 = −1, E 3 = 0, E 4 = 5, E 5 = 0, E 6 = −61, .... (15.2)
Huomaa, että generoiva funktio
EU(T ) =
on parillinen, joten välittömästi pätee
Lause 15.1. Olkoon k ∈ N. Tällöin
2eT
e 2T + 1 = 2
(15.3)
e T + e −T
E 2k+1 = 0. (15.4)
15.2 Palautuskaava
Johdetaan seuraavaksi tärkeä Eulerin lukujen palautuskaava. Lähtemällä määrittelyyhtälöstä
(15.1), saadaan
2 = (e T + e −T )EU(T ), (15.5)
eli
2 =
∞∑
l=0
2
(2l)! T 2l
∞
∑
k=0
E 2k
(2k)! T 2k . (15.6)
Verrataan vastinpotenssien kertoimia, jolloin saadaan aluksi
T 0 : 2 = 2 E 0
0! 0!
⇒ E 0 = 1. (15.7)
95

Yleisemmin Caychyn kertosäännöllä saadaan
0 = 2 ∑
l+k=n
E 2k
(2l)!(2k)! . (15.8)
Lavennetaan vielä (2n)!:lla, jolloin palautuskaava saa seuraavan implisiittisen
muodon.
Lause 15.2. Olkoon n ∈ Z + . Tällöin
n∑
( ) 2n
E 2k = 0. (15.9)
2k
k=0
16 Sarjakehitelmiä
(EI tule 2. välikokeeseen.) Työn alla..
17 Riemannin zetafunktio
(EI tule 2. välikokeeseen.) Työn alla..
18 Stirlingin luvut
18.1 Määritelmä ja rekursio
Stirlingin lukuihin törmätään erityisesti kombinatorisissa kysymyksissä ja lukuteoriaan
ne liittyvät läheisesti seuraavan polynomin
P (x) = x(x−1) · · · (x−n+1) = (−1) n (−x) n = x n +...+(−1) n (n−1)!x (18.1)
kertoimien kautta. Polynomi (18.1) esintyi jo Wolstenholmen lauseen yhteydessä
ja silloin havaittiin, että kertoimet voidaan esittää lukujen 1, 2, ..., n − 1 symmetristen
peruspolynomien avulla.
96

Määritelmä 18.1. Olkoon n ∈ N. Asetetaan
x(x − 1) · · · (x − n + 1) =
n∑
s 1 (n, k)x k , (18.2)
k=0
missä luvut s 1 (n, k) ovat 1. lajin Stirlingin lukuja, ja
x n =
n∑
S 2 (n, k)x(x − 1) · · · (x − k + 1), (18.3)
k=0
missä luvut S 2 (n, k) ovat 2. lajin Stirlingin lukuja.
Käytetään merkintöjä
ja
⎧
⎪⎨ 1, jos k = l,
δ kl =
⎪⎩ 0, jos k ≠ l
H n = 1 + 1 2 + 1 3 + ... + 1 n n ∈ Z+ ,
jotka ovat harmoonisia lukuja. Sovitaan vielä, että
s 1 (n, −1) = 0, s 1 (n, m) = 0 ∀ n, m ∈ N, n < m,
S 2 (n, −1) = 0, S 2 (n, m) = 0 ∀ n, m ∈ N n < m. (18.4)
Lause 18.1. Ensimmäisen lajin Stirlingin luvuille pätee s 1 (0, 0) = 1, sekä palautuskaava
s 1 (n, m) = s 1 (n−1, m−1)−(n−1)s 1 (n−1, m) ∀ n ∈ Z + , 0 ≤ m ≤ n. (18.5)
Todistus. Käytetään aluksi määritelmää muodossa
(−1) n (−x) n =
n∑
s 1 (n, k)x k . (18.6)
k=0
Tällöin tapauksessa n = 0 yhtälö (18.6) antaa
s 1 (0, 0)x 0 = (−1) 0 (−x) 0 = 1 ⇒ s 1 (0, 0) = 1.
97

Tapauksessa n ≥ 1 edetään seuraavasti
n∑
s 1 (n, m)x m = x(x − 1) · · · (x − n + 2)(x − n + 1) =
m=0
x · x(x − 1) · · · (x − n + 2) − (n − 1)x(x − 1) · · · (x − n + 2) =
∑n−1
x s 1 (n − 1, l)x l − (n − 1)
l=0
∑n−1
m=0
n∑
s 1 (n − 1, m − 1)x m − (n − 1)
m=1
s 1 (n − 1, m)x m =
∑n−1
m=0
s 1 (n − 1, m)x m =
∑n−1
(s 1 (n − 1, m − 1) − (n − 1)s 1 (n − 1, m))x m +
m=1
s 1 (n − 1, n − 1)x n − (n − 1)s 1 (n − 1, m))x 0 . (18.7)
Verrataan yhtälön (18.7) vastinpotenssien kertoimia, jolloin tapauksissa 1 ≤ m ≤
n−1 saadaan palautuskaava (18.5). Kun m = 0, niin käyttämällä sopimusta (18.4)
yhtälöstä (18.7) saadaan
s 1 (n, 0) = −(n − 1)s 1 (n − 1, 0) = s 1 (n − 1, −1) − (n − 1)s 1 (n − 1, 0)
eli palautuskaava (18.5) toteutuu. Vastaavasti, kun m = n, niin yhtälöstä (18.7)
saadaan
s 1 (n, n) = s 1 (n − 1, n − 1) = s 1 (n − 1, n − 1) − (n − 1)s 1 (n − 1, n), (18.8)
missä jälleen käytettiin sopimusta ((18.4). Siten palautuskaava (18.5) toteutuu
nytkin.
SEURAUKSIA:
s 1 (n, 0) = δ n,0 , s 1 (n, n) = 1,
s 1 (n, 1) = (−1) n−1 (n − 1)!,
s 1 (n, 2) = (−1) n (n − 1)!H n−1 ,
( n
s 1 (n, n − 1) = − . (18.9)
2)
98

Lause 18.2. Toisen lajin Stirlingin luvuille pätee S 2 (0, 0) = 1, sekä palautuskaava
S 2 (n, m) = S 2 (n−1, m−1)+mS 2 (n−1, m) ∀ n ∈ Z + , 0 ≤ m ≤ n. (18.10)
Edelleen
SEURAUKSIA:
S 2 (n, m) = 1 m!
(−1) m
m!
m∑
( m
(−1) i i
i=0
m∑
( m
(−1) k k
k=0
)
(m − i) n =
)
k n . (18.11)
S 2 (n, 0) = δ n,0 , S 2 (n, n) = 1, S 2 (n, 1) = 1,
( n
S 2 (n, 2) = 2 n−1 − 1, S 2 (n, n − 1) = . (18.12)
2)
18.2 Matriisiyhteys
Määrittely-yhtälöiden ja rekursioiden nojalla Stirlingin 1. ja 2. lajin luvut ovat
tietynlaisessa duaalisessa yhteydessä, joka nähdään seuraavasta matriisiesityksestä.
Muodostetaan Stirlingin luvuista luonnollisella tavalla matriisit merkitsemällä
M 1 (n) = (s 1 (i, j)) i,j=0,...,n , M 2 (n) = (S 2 (i, j)) i,j=0,...,n ,
jotka ovat (n + 1) × (n + 1) neliömatriiseja. Olkoon vielä I n+1 = (δ ij ) i,j=0,...,n
identiteettimatriisi.
ESIM:
⎛
⎞ ⎛
⎞
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 1 0 0 0
M 1 (4)M 2 (4) =
0 −1 1 0 0
0 1 1 0 0
= I 5 . (18.13)
⎜0 2 −3 1 0⎟
⎜0 1 3 1 0⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
0 −6 11 −6 1 0 1 7 6 1
Yleistetään tulos (18.13).
99

Lause 18.3. Olkoon n ∈ N, tällöin
M 1 (n)M 2 (n) = M 2 (n)M 1 (n) = I n+1 . (18.14)
Todistus. Määritelmän 18.1 mukaan
h∑
x h = S 2 (h, k)x(x − 1) · · · (x − k + 1) =
k=0
h∑
k∑
S 2 (h, k) s 1 (k, m)x m =
k=0
m=0
(
k∑ h∑
)
S 2 (h, k)s 1 (k, m) x m . (18.15)
m=0 k=0
Verrataan vastinpotenssien kertoimia, joten
Toisaalta, olkoon
h∑
S 2 (h, k)s 1 (k, m) = δ hm . (18.16)
k=0
(c hm ) = M 2 (n)M 1 (n) = (S 2 (h, l)(s 1 (k, m)), (18.17)
jolloin matriisitulon alkioille pätee
n∑
c hm = S 2 (h, k)s 1 (k, m). (18.18)
k=0
Koska S 2 (h, k) = 0, kun k > h, niin soveltamalla tulosta (18.16) saadaan
h∑
c hm = S 2 (h, k)s 1 (k, m) = δ hm (18.19)
k=0
eli c hh = 1 ja c hm = 0 aina, kun h ≠ m. Niinpä saadaan tulos
M 2 (n)M 1 (n) = I n+1 . (18.20)
Edelleen, (kts. Lineaarialgebra) tuloksen (18.20) nojalla pätee myös
M 1 (n)M 2 (n) = I n+1 . (18.21)
100

ESIM: a). Kerrataanpa vielä polynomialgebraan liittyvä Lineaarialgebran tulos.
Olkoon K kunta. Tällöin polynomijoukko K[x] muodostaa lineaariavaruuden,
jossa vektorit (=polynomit)
x 0 , x 1 , x 2 , ..., x m , m ∈ N, (18.22)
ovat lineaarisesti vapaita kunnan K yli.
b). Vastaavasti Pochammerin polynomit
(x) 0 , (x) 1 , ..., (x) m , m ∈ N, (18.23)
muodostavat lineaarisesti riippumattoman joukon kunnan K yli.
Todistetaan tämä. Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi eli
r 0 (x) 0 + r 1 (x) 1 + ... + r m (x) m =
r 0 · 1 + r 1 x + r 2 x(x + 1)... + r m x(x + 1) · · · (x + m − 1) = 0, r i ∈ K. (18.24)
Kohdassa x = 0 saadaan
r 0 · 1 + r 1 · 0 + ... + r m · 0 = 0 ⇒ r 0 = 0. (18.25)
Siten yhtälö (18.24) lyhentyy muotoon
r 1 x + r 2 x(x + 1)... + r m x(x + 1) · · · (x + m − 1) = 0. (18.26)
Yhtälö (18.26) on siis polynomi-identiteetti
x(r 1 + r 2 (x + 1)... + r m (x + 1) · · · (x + m − 1)) = 0, (18.27)
jonka toinen tekijä on nollapolynomi eli vääjäämättä
r 1 + r 2 (x + 1)... + r m (x + 1) · · · (x + m − 1) = 0. (18.28)
Sijoitetaan x = −1 yhtälöön (18.28), jolloin saadaan r 1 = 0. Edetään sitten induktiolla.
HUOM: Esim. b) tulosta (18.23) voitaisiin käyttää äskeisen lauseen tuloksen
(18.21) todistamiseen.
101

18.3 Yhteys Wolstenholmeen
Wolstenholmen lauseen todistuksessa (6.23) käytettiin polynomia
G(x) = (x − 1)(x − 2) · · · (x − (p − 1)) =
x p−1 − W p−2 x p−2 + W p−3 x p−3 − ... + W 2 x 2 − W 1 x + W 0 , p ∈ P p≥3 .
Siten 1. lajin Stirlingin lukujen määritelmän nojalla
p∑
s 1 (p, k)x k = x(x − 1)(x − 2) · · · (x − (p − 1)) = xG(x) =
k=0
x p − W p−2 x p−1 + W p−3 x p−2 − W p−4 x p−3 + ... + W 2 x 3 − W 1 x 2 + W 0 x. (18.29)
Relaation (18.29) perusteella
s 1 (p, k) = (−1) k−1 W k−1 , k = 1, ..., p (18.30)
joten välittömästi Lauseen 6.9 todistuksen perusteella pätee
Lause 18.4. Olkoon p ∈ P p≥3 . Tällöin
s 1 (p, k) ≡ 0 (mod p) ∀ 2 ≤ k ≤ p − 1, (18.31)
s 1 (p, 2) ≡ 0 (mod p 2 ) p ≥ 5, (18.32)
s 1 (p, 1) ≡ −1 (mod p). (18.33)
19 Osamääräkunta
Tarkennetaan hieman rationaalilukujen ja rationaalifunktioiden käsitteitä ja sitä
kautta niillä operointia.
Määritelmä 19.1. Olkoon D kokonaisalue ja a, b, c, d ∈ D, bd ≠ 0. Asetetaan
relaatio
(a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc. (19.1)
102

Lause 19.1. Relaatio ∼ on ekvivalenssirelaatio joukossa D × (D \ {0}) = D.
Määritelmä 19.2. Ekvivalenssiluokille
[a, b] = {(c, d) ∈ D| (c, d) ∼ (a, b)}
sovitaan yhteenlasku
[a 1 , b 1 ] + [a 2 , b 2 ] = [a 1 b 2 + a 2 b 1 , b 1 b 2 ] (19.2)
ja kertolasku
[a 1 , b 1 ][a 2 , b 2 ] = [a 1 a 2 , b 1 b 2 ] (19.3)
aina, kun (a 1 , b 1 ), (a 2 , b 2 ) ∈ D.
Merkitään vielä
a/b = a b
= [a, b] ja Q(D) = {a/b| (a, b) ∈ D}.
Voidaan todistaa, että
Lause 19.2. Kolmikko (Q(D), +, ·) on kunta.
Sanotaan, että Q(D) on D:n osamääräkunta (quotient field, field of fractions).
Tällöin pätee rengasisomorfiatulos
{ a 1 | a ∈ D} ∼ = D, (19.4)
jonka nojalla voidaan merkitä a = a/1. Edelleen
ab −1 = a 1
( b
1
) −1
= a 1
1
b = a b
(19.5)
ESIM: a) Olkoon D = Z, joka on kokonaisalue. Tällöin saadaan osamääräkunta
Q(Z), jonka avulla rationaalilukujoukko saadaan määriteltyä tarkasti.
Määritelmä 19.3. Rationaalilukujen kunta Q = Q(Z).
103

Nyt rationaalilukujen supistamisac
bc = a b
(19.6)
ja laventamislaki
a
b = da
db
seuraa suoraan määritelmästä 19.1.
(19.7)
b.) Olkoon K kunta, jolloin polynomirengas D = K[x] on kokonaisalue.
Määritelmä 19.4. Rationaalifunktioiden kunta K(x) = Q(K[x]).
Tällöin pätevät ylläesitetyt supistussäännöt, jolloin mm.
(x 2 − 1)x
(x − 1)x = x + 1
2 x
= 1 + 1 x . (19.8)
c.) Olkoon K kunta, jolloin formaalien sarjojen joukko D = K[[T ]] on kokonaisalue.
Tällöin saadaan osamääräkunta, joka on isomorfinen aikaisemmin määritellyn
formaalien Laurentin sarjojen kunnan kanssa eli
Lause 19.3.
K((T )) ∼ = Q(K[[T ]]). (19.9)
Näillä rakenteilla on seuraavat suhteet:
K[T ] ⊂ K(T ) ⊂ K((T )),
K[T ] ⊂ K[[T ]] ⊂ K((T )).
Määritelmä 19.5. Formaali derivaatta
D : K((T )) → K((T ))
on lineaarinen kuvaus, jolle pätee
DT k = kT k−1 ∀ k ∈ Z. (19.10)
104

20 Jonojen algebraa
20.1 Määritelmä, lineaariavaruus
Määritelmä 20.1. Olkoon R rengas. Kuvaus
Ψ : N → R
on jono (sequence).
Usein kuvaus Ψ ja sen kuvajoukko Ψ(N) samaistetaan. Merkitään tutummin
a n = Ψ(n) n ∈ N,
jolloin
Ψ(N) = {a n | n ∈ N}
ja merkitään vielä
(a n ) = (a n ) ∞ n=0 = (a 0 , a 1 , ...) = Ψ(N).
Siten esimerkiksi
(a) = (a, a, ...),
joka on vakiojono.
Määritelmä 20.2. Olkoot (a n ), (b n ) ⊆ R jonoja ja r ∈ R. Tällöin asetetaan
yhtäsuuruus, summa ja skalaarilla kertominen seuraavasti
(a n ) = (b n ) ⇔ a n = b n (20.1)
kaikilla n ∈ N.
(a n ) + (b n ) = (a n + b n ) (20.2)
r(a n ) = (ra n ) (20.3)
105

Lause 20.1. Olkoon R = K kunta, tällöin
l = {(a n )| a n ∈ K }
on lineaariavaruus kunnan K yli.
ESIM: Lineaariavaruuden l nolla-alkio on
(0) = (0, 0, ...).
20.2 Erotus/Differenssioperaattorit
Määritelmä 20.3. Olkoon
a : C → C
kuvaus. Tällöin asetetaan
(Ea)(x) = a(x + 1) ∀ x ∈ C, (20.4)
(∆a)(x) = a(x + 1) − a(x) ∀ x ∈ C, (20.5)
missä E on nosto-operaattori ja ∆ on erotus- eli differenssioperaattori. Olkoon
vielä I identiteettioperaattori eli
(Ia)(x) = a(x) ∀ x ∈ C. (20.6)
Kerrataan nyt funktioiden summan ja skalaarilla kertomisen määritelmät.
Määritelmä 20.4. Olkoot C ja D renkaita sekä A ja B kuvauksia : C → D ja
c ∈ D. Tällöin asetetaan
(A + B)(z) = A(z) + B(z) ∀ z ∈ C, (20.7)
(cA)(z) = cA(z) ∀ z ∈ C. (20.8)
106

Annetaan kompleksikuvausten joukolle merkintä
F = {a : C → C},
jolloin differenssioperaattorit I, E, ∆ ovat funktioita F → F. Siten differenssioperaattoreiden
summa ja skalaarilla kertominen on Määritelmän 20.4 erikoistapaus.
Edelleen pätee
Lause 20.2. Olkoot A ∈ {I, E, ∆} Tällöin
A(a + b) = Aa + Ab (20.9)
ja
A(ca) = cAa (20.10)
aina, kun c ∈ C ja a, b ∈ F.
Tarvitaan vielä operaattoritulo, joka on itseasiassa operaattoreiden normaali yhdistetty
kuvaus seuraavasti
Määritelmä 20.5. Olkoot A ja B operaattoreita, jolloin
(A ◦ B)a = A(Ba) ∀ a ∈ F (20.11)
määrää operaattoritulon AB = A ◦ B. Edelleen
A 0 = I, A n+1 = A ◦ A n ∀ n ∈ N (20.12)
määrää operaattoripotenssin induktiivisesti.
ESIM: a) Lasketaan aluksi nosto-operaattorin toinen potenssi
E 2 a(x) = E(Ea)(x) = Ea(x + 1) = a(x + 2)
joten induktiolla
E n a(x) = a(x + n) ∀ n ∈ N. (20.13)
107

.) Differenssioperaattorit liittyvät toisiinsa seuraavasti
∆ = E − I, E = ∆ + I. (20.14)
Siirrytään nyt jonojen tarkasteluun ja merkitään
a n = a(x + n),
jolloin
ESIM:
Yleisemmin pätee
Ia n = a n , (20.15)
Ea n = a n+1 , (20.16)
∆a n = a n+1 − a n . (20.17)
E 2 a n = a n+2 ,
∆ 2 a n = a n+2 − 2a n+1 + a n = E 2 a n − 2Ea n + a n .
Lause 20.3. Olkoon n ∈ N annettu, tällöin
∆ n = (−1) n
E n =
n∑
k=0
n∑
k=0
( n
k)
(−E) k , (20.18)
( n
k)
∆ k . (20.19)
20.3 Rekursioyhtälöitä
Käsitellään seuraavassa hieman ei-vakiokertoimisten ensimmäisen ja toisen kertalukujen
differenssi- eli rekursioyhtälöiden ratkaisemista.
108

Määritelmä 20.6. Olkoot
c i , g : N → C
annettu. Tällöin
c 1 (n)a n+1 + c 0 (n)a n = g(n) (20.20)
on 1. kertaluvun ei-homogeeninen lineaarinen rekursioyhtälö,
c 1 (n)a n+1 + c 0 (n)a n = 0 (20.21)
on 1. kertaluvun homogeeninen lineaarinen rekursioyhtälö ja
c 2 (n)a n+2 + c 1 (n)a n+1 + c 0 (n)a n = 0 (20.22)
on 2. kertaluvun homogeeninen lineaarinen rekursioyhtälö.
Voidaan todistaa, että
Lause 20.4. Yhtälöllä (20.22) on kaksi lineaarisesti vapaata ratkaisua
(a 1 n), (a 2 n) ⊆ C
ja jokainen yhtälön (20.22) ratkaisu (a n ) voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa
joillakin r, s ∈ C.
(a n ) = r(a 1 n) + s(a 2 n), (20.23)
Siis 2. kertaluvun lineaarisen homogeenisen rekursioyhtälön (20.22) ratkaisujoukko
{r(a 1 n) + s(a 2 n)| r, s ∈ C} (20.24)
on kompleksilukujonojen 2-dimensioinen aliavaruus. Vastaavasti ensimmäisen kertaluvun
homogeenisen yhtälön (20.21) ratkaisujoukko on 1-dimensioinen.
ESIM: K = C. Olkoot
α = 1 + √ 5
2
, β = 1 − √ 5
,
2
109

jolloin jonot (α n ) ja (β n ) ovat lineaarisesti vapaita/C.
Todistus. Olkoot t, v ∈ C ja asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi eli
t(α n ) + v(β n ) = (0). (20.25)
Yhtäpitävästi identiteetin (20.25) kanssa meillä on
(tα n + vβ n ) = (0) ⇔ tα n + vβ n = 0 ∀ n ∈ N. (20.26)
Valitaan nyt n = 0 ja n = 1, joten
t · 1 + v · 1 = 0 ja tα + vβ = 0 ⇒ t = v = 0. (20.27)
Siten rekursion
a n+2 − a n+1 − a n = 0 (20.28)
ratkaisukannaksi voidaan ottaa
{(α n ), (β n )}, (20.29)
jolloin jokainen ratkaisu on muotoa
(a n ) = (rα n + sβ n ), (20.30)
joillakin r, s ∈ C. Tarkastellaan seuraavaksi 1. kertaluvun rekursioyhtälöitä.
ESIM: a)
a n+1 − a n = 0. (20.31)
Ratkaistaan (20.31) tarkastelemalla alimpia indeksin arvoja, jolloin induktiolla
a 1 = a 0 , a 2 = a 1 = a 0 , ..., a n = a n+1 = ... = a 0 .
Siten yhtälön
∆a n = 0 (20.32)
110

atkaisu on vakiojono.
ESIM: b.)
(n + 1)a n+1 − a n = 0. (20.33)
Ratkaistaan (20.33) laskemalla
a 1 = a 0
1 , a 2 = a 1
2 = a 0
2! , ..., a n = a 0
n! .
Siten yhtälön (20.33) ratkaisu saadaan jonon
(1/n!) (20.34)
skalaarikertana.
ESIM: c.)
Ratkaistaan (20.35) laskemalla
a n+1 − a n = 1
n + 1 . (20.35)
a 1 = a 0 + 1 1 , a 2 = a 1 + 1 2 = a 0 + 1 + 1 2 , ..., a n = a 0 + H n . (20.36)
ESIM: d.)
(n + 2)a n+2 − (2n + 3)a n+1 + (n + 1)a n = 0. (20.37)
Käytetään tämän ratkaisuun operaattoritekniikkaa. Aluksi (20.37) on yhtäpitävä
yhtälön
((n + 2)E 2 − (2n + 3)E + (n + 1))a n = 0 (20.38)
kanssa. Nyt operaattori jakaantuu, jolloin
(E − I)((n + 1)E − (n + 1))a n = 0. (20.39)
Merkitään
b n = ((n + 1)E − (n + 1))a n , (20.40)
111

jolloin (20.39) yksinkertaistuu muotoon
(E − I)b n = 0,
jonka ratkaisu a) kohdan nojalla on vakio eli
b n = c = vakio. (20.41)
Täten relaatio (20.40) antaa yhtälön
((n + 1)E − (n + 1))a n = c ⇔ (n + 1)(a n+1 − a n ) = c. (20.42)
Kohdan c) nojalla yhtälön (20.42) ratkaisuksi tulee
a n = a 0 + cH n , a 0 , c ∈ C. (20.43)
Yhtälö (20.37) voidaan tietenkin ratkaista ilman operaattoritekniikkaa, kunhan
huomataan, että (20.37) voidaan kirjoittaa muotoon
(n + 2)a n+2 − (n + 2)a n+1 − ((n + 1)a n+1 − (n + 1)a n ) = 0. (20.44)
Sitten edetään kuten äsken kohdasta (20.40).
HUOM: Yleisessä tapauksessa 2. kertaluvun yhtälöä ei pysty ratkaisemaan helposti
eli ratkaisuille ei löydy kovinkaan nättejä lausekkeita.
e) Usein differenssiyhtälöt ja niiden ratkaisut on tarpeellista muuntaa yhtäpitäviin
esityksiin. Tarkastellaan kohdan d) yhtälöä (20.37), johon sijoitetaan
b n = n!a n (20.45)
ja siten (b n ) toteuttaa yhtälön
b n+2 − (2n + 3)b n+1 + (n + 1) 2 b n = 0. (20.46)
112

21 Irrationaaliluvuista
Määritelmä 21.1. Luku α ∈ C \ Q on irrationaalinen.
(Myös ei-rationaaliset p-adiset (p ∈ P) luvut ovat irrationaalisia eli luku α ∈
C p \ Q on irrationaalinen, missä C p on kompleksilukujen kuntaa C vastaava p-
adisten lukujen kunta.)
ESIM: a)
√
5 /∈ Q. (21.1)
Todistus. Jos, olisi
√
5 =
m
n
∈ Q, m ⊥ n, (21.2)
niin
5n 2 = m 2 ⇒ 5|m 2 ⇒ 5|m (21.3)
⇒ 5 2 |m 2 = 5n 2 ⇒ 5|n 2 ⇒ 5|n. (21.4)
Selvästi tulokset (21.3) ja (21.4) ovat ristiriidassa valinnan
Tämä yleistyy tulokseksi
m ⊥ n kanssa.
Lause 21.1. Olkoon D ∈ Z neliövapaa. Tällöin
√
D /∈ Q. (21.5)
Todistus laskareissa.
Lause 21.2. Olkoot n ∈ Z ≥3 ja r ∈ Q + . Tällöin
n√
1 + rn /∈ Q. (21.6)
Todistus, joka perustuu Wilesin tulokseen, laskareissa.
ESIM: b).
log 2
log 3 /∈ Q. (21.7) 113

Todistus. Jos olisi
niin
log 2
log 3 = a b , a, b ∈ Z+ , (21.8)
2 b = 3 a ⇒ 2|3 a ⇒ 2|3 (21.9)
mikä on mahdotonta.
ESIM: c).
log 2 /∈ Q. (21.10)
Ei todisteta. Todistus huomattavasti vaikeampi kuin kohdassa b).
Lause 21.3. Neperin luku e on irrationaalinen.
Todistus. Tiedetään, että
e = lim
(1 + 1 ) n
=
n→∞ n
Olkoon siis vastaoletuksena
∞∑
k=0
1
k! . (21.11)
e = a b ∈ Q, a, b ∈ Z+ , a ⊥ b. (21.12)
Valitaan sellainen kokonaisluku m, että
ja merkitään
Aluksi huomataan, että
Toisaalta
m ∈ Z + , b ≤ m (21.13)
A = m!
A = m!a
b
(
A = m!
e −
− m!
m∑
k=0
m∑
k=0
∞∑
k=m+1
)
1
. (21.14)
k!
1
k!
∈ Z. (21.15)
1
k! , (21.16) 114

joten saadaan arviot
(
)
1
0 < A = m!
(m + 1)! + 1
(m + 2)! + 1
(m + 3)! + ... =
1
m + 1 + 1
(m + 1)(m + 2) + 1
1
m + 1
(m + 1)(m + 2)(m + 3) + ... =
(
1 + 1
)
m + 2 + 1
(m + 2)(m + 3) + ... <
1
m + 1
(
1 + 1
)
m + 1 + 1
(m + 1) + ... = 1 2 m
Siten A ∈ Z ja 0 < A < 1, jotka ovat ristiriidassa.
≤ 1. (21.17)
22 Ketjumurtoluvut
Äärellisellä ketjumurtoluvulla (finite continued fraction) tarkoitetaan rationaalilauseketta
b 1 +
jolle käytetään seuraavia merkintöjä
( )
K n ak
k=1 = a 1
b k
b 1 +
a 1
a 2
b 2 +...
+ an
bn
a 2
,
a n
b ... . (22.1)
2 + + b n
Lause 22.1. Olkoot luvut A n ja B n annettu rekursioilla
A n+2 = b n+2 A n+1 + a n+2 A n , (22.2)
B n+2 = b n+2 B n+1 + a n+2 B n (22.3)
lähtien alkuarvoista A 0 = b 0 , B 0 = 1, A 1 = b 0 b 1 + a 1 ja B 1 = b 1 . Tällöin
( )
b 0 + K n ak
k=1 = A n
∀ n ∈ N, (22.4)
b k B n
kunhan B n ≠ 0.
115

Todistus. Induktiolla.
n = 0, jolloin
n = 1, jolloin
V.P. = b 0 = b 0
1 = A 0
B 0
= O.P..
V.P. = b 0 + a 1
b 1
= b 0b 1 + a 1
b 1
= A 1
B 1
= O.P..
Induktio-oletus: Väite pätee, kun n = 0, 1, ..., l, jolloin
b 0 + a 1
b 1 +
Korvataan b l muuttujalla x ja merkitään
a 2
a l
b ... = A l
= b lA l−1 + a l A l−2
. (22.5)
2 + + b l B l b l B l−1 + a l B l−2
K(x) = b 0 + a 1
jolle kohdan (22.5) nojalla pätee
b 1 +
a 2
b 2 + ... +
a l
x , (22.6)
K(x) = xA l−1 + a l A l−2
xB l−1 + a l B l−2
, (22.7)
kunhan x ≠ 0 ja nimittäjä ≠ 0. Siten kohdista (22.6) ja (22.7) seuraa
K(b l + a ( )
l+1
) = b 0 + K l+1 ak
k=1
=
b l+1 b k
( )
b l + a l+1
b l+1
A l−1 + a l A l−2
( )
=
b l + a l+1
b l+1
B l−1 + a l B l−2
a l+1
b l+1
A l−1 + b l A l−1 + a l A l−2
a l+1
=
b l+1
B l−1 + b l B l−1 + a l B l−2
a l+1 A l−1 + b l+1 A l
a l+1 B l−1 + b l+1 B l
= A l+1
B l+1
, (22.8)
missä on sovellettu rekursioita (22.2) ja (22.3) pariin otteeseen. Siten induktioaskel
on osoitettu ja induktioperiaatteen nojalla väite pätee.
116

Määritelmä 22.1. Luku A n /B n on äärettömän ketjumurtoluvun
( )
b 0 + K ∞ ak
k=1 (22.9)
b k
n. konvergentti. Edelleen ketjumurtoluku (22.9) suppenee, mikäli raja-arvo
lim (22.10)
B n
n→∞
A n
on olemassa. Tällöin sanotaan, että äärettömän ketjumurtoluvun (22.9) arvo on
raja-arvo (22.10).
Ääretöntä ketjumurtolukua (22.9) voidaan merkitä myös seuraavasti
b 0 + a 1
b 1 +
a 2
b 2 + ... = b 0 +
a 1
b 1 + a 2
b 2 +...
Usein tarkastellaan yksinkertaisia ketjumurtolukuja.
Määritelmä 22.2. Olkoot
.
b 0 ∈ N, b k ∈ Z + , a k = 1, ∀ k ∈ Z + . (22.11)
Tällöin ketjumurtoluku
[b 0 ; b 1 , ..., b n ] = b 0 + K n k=1
( 1
b k
)
(22.12)
on äärellinen yksinkertainen (simple) ketjumurtoluku ja vastaavasti
( ) 1
[b 0 ; b 1 , ...] = b 0 + K ∞ k=1 (22.13)
b k
on ääretön yksinkertainen ketjumurtoluku.
ESIM: a) Olkoot
β = 1 − √ 5
, γ = −β =
2
√
5 − 1
, 0 < γ < 1. (22.14)
2
Yhtälöstä
β 2 = 1 + β (22.15)
117

saadaan
Edelleen
β 3 = β + β 2 = 1 + 2β.
β 4 = 2 + 3β
ja induktiolla nähdään, että
β n+1 = f n + f n+1 β ∀ n ∈ N (22.16)
missä f n on Fibonaccin luku. Siten
γ −
f n
f n+1
= βn+1
f n+1
∀ n ∈ N (22.17)
josta seuraa ∣ ∣∣∣
γ − f n
f n+1
∣ ∣∣∣
→
n→∞
0 (22.18)
eli
Merkitään nyt
γ =
√
5 − 1
2
f n
= lim . (22.19)
n→∞ f n+1
A n = f n , B n = f n+1 , (22.20)
jolloin
ja
A 0 = 0, B 0 = 1, A 1 = 1, B 1 = 1 (22.21)
A n+2 = A n+1 + A n , B n+2 = B n+1 + B n ∀ n ∈ N. (22.22)
Olkoot vielä
b 0 = 0, a n = 1, b n = 1 ∀ n ∈ Z + . (22.23)
Lause 22.2. Valinnoilla (22.20-23) saadaan
( )
b 0 + K n ak
k=1 = A n
∀ n ∈ N (22.24)
b k B n
118

ja
γ =
√
5 − 1
2
A n
= lim . (22.25)
n→∞ B n
Todistukseen tarvitaan enää rekursioiden (22.22) alkuarvojen tarkistus
A 0 = 0 = b 0 , B 0 = 1, B 1 = 1 = b 1 , A 1 = 1 = b 0 b 1 + a 1 (22.26)
sekä raja-arvo
lim = lim = γ, (22.27)
B n n→∞ f n+1
n→∞
A n
joka tulee tuloksesta (22.19).
f n
Huomaa, että tuloksen (22.25) nojalla saatiin laskettua arvo äärettömälle ketjumurtoluvulle
√
1 5 − 1
1 + 1 = . (22.28)
2
1+ 1
1+...
Toisin sanoen, ensin määrättiin ketjumurtoluvun (22.28) n. konvergentti A n /B n =
f n /f n+1 ja laskettiin sen raja-arvo = γ, joten Määritelmän 22.1 nojalla se on äärettömän
ketjumurtoluvun (22.28) arvo.
23 Polynomien nollakohdista
Lause 23.1. Olkoon K kunta ja p(x) ∈ K[x], 1 ≤ deg p(x). Tällöin
p(α) = 0, α ∈ K ⇔ x − α|p(x) renkaassa K[x].
Määritelmä 23.1. Jos α ∈ K ja
(x − α) m ‖p(x), m ∈ Z + ,
niin m = m(α) on polynomin p(x) nollakohdan α kertaluku. Nollakohtien lukumäärä
n p on summa kertaluvuista eli
∑
n p = #{α| p(α) = 0} = m(α i ).
p(α i )=0
119

ESIM:
• a) Olkoon p(x) = (x − 1) 3 (x + 1/2) 5 . Polynomin p(x) nollakohdat ovat
α 1 = 1 ja α 2 = −1/2. Nollakohtien kertaluvut ovat m(α 1 ) = 3 ja m(α 2 ) = 5,
ja nollakohtien lukumäärä n p = 3 + 5 = 8.
• b) Olkoon (x 2 + 1)(x 2 − 1) ∈ R[x]. Nyt nollakohtien lukumäärä
n p = m(−1) + m(1) = 2 < 4 = deg(p(x)).
Lause 23.2. Olkoon K kunta ja p(x) ∈ K[x]. Nyt n p ≤ deg p(x).
Lause 23.3. Olkoon p(x) ∈ C[x], tällöin n p = deg(p(x)).
Seurauksena lauseesta saadaan
Lause 23.4. Olkoon q(x), r(x) ∈ K[x], deg r(x), deg q(x) ≤ D, ja olkoot olemassa
sellaiset pisteet b 1 , b 2 , . . . b D+1 , että b i ≠ b j , kun i ≠ j, ja
q(b i ) = r(b i ) kaikilla i = 1, 2, . . . , D + 1.
Tällöin q(x) = r(x) polynomeina.
Todistetaan Lauseen 23.4 sovelluksena
Lause 23.5. Olkoon m ∈ N, tällöin pätee polynomiyhtäsuuruus
m−1
∑
( ) x
B m (x) = m S 2 (m − 1, k) k! + B m . (23.1)
k + 1
k=0
Todistus:. Olkoon yhtälön oikealla puolella oleva polynomi C m (x). Todetaan ensin,
että
B 0 (x) = 1 = 0 + B 0 = C 0 (x), ja
( x
B 1 (x) = x − 1/2 = S 2 (0, 0) + B 1 = C 1 (x), (23.2)
1)
eli väite pätee kun m = 0 tai m = 1. Olkoon m ≥ 2.
120

Lasketaan nyt erotus
∑n−1
(( ) x + 1
C n (x + 1) − C n (x) = n S 2 (n − 1, k)k! −
k + 1
k=0
∑n−1
( x
= n S 2 (n − 1, k)k!
k)
k=0
n−1
( )) x
k + 1
∑
= n S 2 (n − 1, k)x(x − 1)(x − 2) · · · (x − k + 1)
k=0
= nx n−1 . (23.3)
Lasketaan arvoja C m (l), kun l = 0, 1, . . . , m.
m−1
∑
( ) 0
C m (0) = m S 2 (m − 1, k) k! + B m = B m ,
k + 1
k=0
C m (1) = C m (0) + m0 m−1 = B m ,
C m (2) = C m (1) + m1 m−1 = B m + m,
.
C m (l + 1) = C m (l) + ml m−1 kaikilla l ≥ 0. (23.4)
Toisaalta myös Bernoullin polynomeille pätee sama palautuskaava (23.4) samoilla
alkuarvoilla eli
B m (0) = B m ,
B m (1) = B m ,
B m (2) = B m + m,
.
B m (l + 1) = B m (l) + ml m−1 kaikilla l ≥ 0. (23.5)
Siten
B m (l) = C m (l) (23.6)
121

kaikilla l = 0, 1, . . . , m ja deg B m (x), deg C m (x) ≤ m. Seurauslauseen nojalla siis
B m (x) = C m (x) polynomeina.
24 Antiikin lukuja
24.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut
Lukuja T n = 1 + 2 + · · · + n kutsutaan kolmioluvuiksi (triangular numbers).
Aritmeettisen sarjan summakaavalla ja binomikertoimen määritelmällä saadaan
( ) n + 1
T n = kaikilla n ∈ Z + .
2
Lukuja □ n = n 2 kutsutaan neliöluvuiksi (square numbers).
Lukuja T n = T 1 +T 2 +· · ·+T n kutsutaan tetraedriluvuiksi (tetrahedral numbers).
Laskuharjoitusten perusteella
( ) n + 2
T n = kaikilla n ∈ Z + .
3
24.2 Pythagoraan luvut
Määritelmä:
Kolmikko (a, b, c) ∈ Z 3 ≥1
syt(a, b, c) = 1 ja
on primitiivinen Pythagoraan lukukolmikko, mikäli
a 2 + b 2 = c 2 . (23.7)
Tutkitaan ensin pariteettia. Oletetaan aluksi, että
2|a ja 2|b,
mistä saadaan
2|c 2 ⇒ 2|c, ristiriita.
122

Muut parit vastaavasti, eli ainakin kaksi luvuista on parittomia. Edelleen, jos olisi
a = 2l + 1 ja b = 2k + 1 ⇒
c 2 = a 2 + b 2 = 2(2l 2 + 2l + 2k 2 + 2k + 1), ristiriita.
Siis toinen luvuista a ja b on parillinen, muut parittomia. Olkoon vaikka
Nyt kaikille alkuluvuille p pätee
Vastaavasti muille pareille, joten
a = 2l + 1 ja b = 2k.
p|a ja p|b ⇒ p|c 2 ⇒ p|c, ristiriita.
syt(a, b) = syt(a, c) = syt(b, c) = 1.
Lähdetään yhtälöstä (23.7), joka on yhtäpitäävää yhtälön
kanssa Koska 2 ∤ a, niin
Valitaan
a =
a 2 = (c − b)(c + b) (23.8)
r∏
i=1
p α i
i 2 ≠ p i ∈ P ∀i = 1, 2, . . . , r.
p α i
i |a
jolloin
p 2α i
i |(c − b)(c + b).
Jos
p i |c − b ja p i |c + b
⇒ p i |2c ja p i |2b
⇒
p i |c ja p i |b, ristiriita.
123

Siis joko
p 2α i
i |c − b tai p 2α i
i |c + b.
⇒ c − b = ∏ j∈J
( ∏
) 2
p 2α j
j = p α j
j ja
j∈J
c + b = ∏ ( ∏
) 2
p 2α l
l
= p α l
l
, missä
l∈L l∈L
J ∪ L = {1, 2, . . . , r} J ∩ L = ∅.
Huomaa, että b on parillinen ja c pariton, eli
2 ∤ c − b ja 2 ∤ c + b,
ja että syt(c − b, c + b) = 1. Nyt siis on olemassa sellaiset luonnolliset luvut s ja
t, syt(s, t) = 1, että
⎧
⎧
⎪⎨ c + b = s 2 ⎪⎨ c = s2 +t 2
2
⇔
ja
⎪⎩ c − b = t 2 ⎪⎩ b = s2 −t 2
a 2 = s 2 t 2 ⇔ a = st.
Saadaan siis seuraava
2
Lause 24.1. Yhtälön
a 2 + b 2 = c 2
primitiiviset ratkaisut saadaan parametrimuodossa
⎧
a = st,
⎪⎨
b = s2 −t 2
,
2
⎪⎩ c = s2 +t 2
2
,
missä s, t ∈ 2Z + 1, s > t ≥ 1 ja syt(s, t) = 1.
124

Esimerkki:
• Olkoon t = 1. Annetaan luvulle s parittomia arvoja
s = 3 3 2 + 4 2 = 5 2
s = 5 5 2 + 12 2 = 13 2
.
.
s = 2m + 1 (2m + 1) 2 + (4T m ) 2 = (2m 2 + 2m + 1) 2 .
• Olkoon seuraavaksi t = 2k − 1 ja s = 2k + 1. Nyt
⎧
a = 4k
⎪⎨
2 − 1,
b = 4k,
⎪⎩ c = 4k 2 + 1.
Saatiin siis ratkaisu, missä c − a = 2.
125