Analyysi I Harjoitus 11 kevät 2006 1. Tutki suppeneeko integraali ...

Analyysi I
Harjoitus 11 kevät 2006
1. Tutki suppeneeko integraali
2. Tutki suppeneeko integraali
3. Tutki suppeneeko integraali
4. Tutki suppeneeko integraali
∫ ∞
1
e sin2 x
√ x
dx.
∫ ∞
e sin2 x
1
x 2
∫ 1
e sin2 x
0
∫ 1
x 2
dx.
dx.
e sin2 x
√ x
dx.
5. Olkoon x>0ja
0
Γ(x) =
∫ ∞
0
t x−1 e −t dt
ns. gammafunktio. Todista, että gammafunktion määritelmässä oleva epäoleellinen
integraali suppenee.
6. Olkoon f n :[0, 1] → R,f n (x) =x 1 n , n =1, 2, ···. Määritä huolellisesti perustellen
pisteittäinen raja-arvo
7. Olkoon f n :[0, ∞[ → R, n=1, 2, ··· ,
f :[0, 1] → R, f(x) = lim
n→∞ f n(x).
⎧
⎪⎨
nx, 0 ≤ x ≤ 1 n ,
f n (x) = 2 − nx, 1 n
⎪⎩
2 n .
(i) Piirrä funktioiden f n kuvaajat.
(ii) Määritä huolellisesti perustellen funktiojonon (f n ) pisteittäinen
raja-arvo
f :[0, ∞[ → R,f(x) = lim
n→∞ f n(x).

(iii) Tutki päteekö
sup f(x)
x∈[0,∞[
= lim (sup f n(x)) .
n→∞
x∈[0,∞[
8. Olkoon f n :[0, 1] → R,f n (x) =n 2 x n (1 − x).
(i) Määritä huolellisesti perustellen pisteittäinen raja-arvo
f :[0, 1] → R, f(x) = lim
n→∞ f n(x).
(ii) Tutki päteekö
∫ 1
∫ 1
lim f n (x)dx = f(x)dx.
n→∞
0
0
Oppimispäiväkirja
10. tehtäväkokoelma; Deadline 31.3.2006
1. Olkoon f :]0, 2] → R,f(x) =
Laske
∫ 2
0
f(x)dx.
{ √x 1
, 0