806109 TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÃT I Harjoitus 1 ...
806109 TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÃT I Harjoitus 1 ...
806109 TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÃT I Harjoitus 1 ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
3. Todista (suoraan laskemalla) seuraavat summaoperaattorin ominaisuudet (a, b ja c mielivaltaisia<br />
reaalivakioita).<br />
a)<br />
c)<br />
n∑ ∑<br />
cx i = c n x i b)<br />
i=1<br />
i=1<br />
n∑<br />
∑<br />
(ax i + by i + c) = a n ∑<br />
x i + b n y i + nc<br />
i=1<br />
n∑<br />
∑<br />
(x i + y i ) 2 = n ∑<br />
x 2 i + n ∑<br />
yi 2 + 2 n x i y i .<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
4. Kahden muuttujan (x ja y) arvoista kuudella havaintoyksiköllä on saatu seuraavat summat:<br />
6∑<br />
6∑<br />
6∑<br />
6∑<br />
6∑<br />
x i = 24, x 2 i = 118, x i y i = 16, y i = 6 ja yi 2 = 64.<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
Käytä hyväksi tehtävässä 3 todistettuja summaoperaattorin ominaisuuksia ja laske<br />
i=1<br />
i=1<br />
a)<br />
e)<br />
6∑<br />
3x i<br />
i=1<br />
∑<br />
b) 6 ∑<br />
(2x i − 5) c) 6 ∑<br />
(x i + y i ) d) 6 (x i − y i ) 2<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
6∑<br />
∑<br />
(y i − ȳ) f) 6 ∑<br />
(y i − ȳ) 2 g) 6 (x i − ¯x)(y i − ȳ)<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
5. Tarkastellaan alla olevaa yksinkertaista taulukkoa, jossa on kaksi riviä ja viisi saraketta (ts.<br />
2*5 -taulukko). Merkinnällä x ij tarkoitetaan taulukon rivillä i sarakkeessa j olevaa lukua. Tässä<br />
tehtävässä siis esimerkiksi x 24 = 28.<br />
9 16 13 32 4<br />
6 34 23 28 3<br />
Laske annettujen tietojen perusteella seuraavien summien arvot.<br />
a)<br />
2∑<br />
x i3 b)<br />
i=1<br />
5∑<br />
x 1j<br />
j=1<br />
∑<br />
c) 2 5∑<br />
x ij<br />
i=1 j=1<br />
6. Täydennetään seuraavaksi tehtävän 5 taulukkoa antamalla riveille ja sarakkeille otsikot. Taulukon<br />
luvut liittyvät kevään 2013 tilastotieteen perusmenetelmät I kurssille 10.1.2013 mennessä<br />
ilmoittautuneisiin opiskelijoihin, joita on kaikkiaan 168 kappaletta. Opiskelijan opintosuuntaa<br />
määriteltäessä luokkaan ”Taloustiede” on laskettu mukaan kaikki taloustieteiden tiedekunnassa<br />
ensisijaisesti opiskelevat. Merkinnällä x ij tarkoitetaan edelleen taulukon rivillä i sarakkeessa j<br />
olevaa lukua.