Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...

Lukujonoa (a n ) sanotaan kasvavaksi, jos a n ≤ a n+1 , ja väheneväksi, jos a n ≥ a n+1
aina, kun n ∈ N + .
Esimerkki 15.3. Tutki seuraavien jonojen (a n ) suppenemista ja määrää rajaarvot,
jos mahdollista.
(
a) (a n ) = 1 + 1 )
( √n √ )
b) (a n ) = + 1 − n
n
Lukujonoa (a n ) sanotaan aritmeettiseksi, jos a n+1 − a n = d aina, kun n ∈ N + ja
d on vakio.
Lukujono (a n ) on geometrinen, jos a n+1
a n
= q aina, kun n ∈ N + ja q on vakio.
Esimerkki 15.4. Tutki jonoa (a n ), kun
( ) 1
a) (a n ) = (2n − 1) b) (a n ) =
2 n
15.2 Sarjateoria
∑
Kun lukujonon (a n ) jäsenistä muodostetaan ääretön summa a 1 +a 2 +. . . = ∞ a k ,
saadaan lukujonosta sarja.
∑
S n = n a k = a 1 + a 2 + . . . + a n on sarjan n. osasumma.
k=1
∑
Sarja ∞ a k on aritmeettinen, jos a k+1 − a k = d aina, kun k ∈ N + ja d on vakio.
k=1
Vastaavasti sarja ∞ ∑
vakio.
k=1
a k on geometrinen, jos a k+1
a k
k=1
= q aina, kun k ∈ N + ja q on
Esimerkki 15.5. Tutki seuraavien sarjojen aritmeettisuus ja geometrisuus.
a)
∞∑
a k =
∞∑
(2k) b)
∞∑
a k =
∞∑
1
k=1
k=1
k=1
k=1
2 k 57