Matematiikan perusteet taloustieteilijÃ¶ille 1a - Oulun yliopiston ...

More documents

Recommendations

Info

Seuraus 14.4 (Bolzanon lause). Olkoon f suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio ja oletetaan, että f(a) ja f(b) ovat erimerkkiset. Tällöin on olemassa sellainen c ∈]a, b[, että f(c) = 0. (Jatkuva funktio ei voi vaihtaa merkkiä saamatta arvoa 0.) Geometrisesti: Esimerkki 14.6. Osoita, että yhtälöllä 20x 3 −3x 2 −40x+6 = 0 on kolme erisuurta reaalijuurta (nollakohtaa, ratkaisua). 55
15 Lukujonot ja sarjat 15.1 Lukujonon raja-arvo Olkoon a 1 , a 2 , . . . , a n , . . . reaalilukujen muodostama päättymätön jono. Lukua a n sanotaan jonon yleiseksi termiksi. Jonoa voidaan merkitä yleisen termin avulla (a n ). Yleensä yleinen termi kertoo jonon rakenteen. Esimerkki 15.1. Jonoa 1, 2, 3, . . . , n, ( . . . merkitään ) (n) ja jonoa −1, 1, − 1, . . . , (−1)n , . . . merkitään (−1) n . 2 3 n n Lukujonoa (a n ) sanotaan suppenevaksi ja lukua a sen raja-arvoksi, jos lim n→∞ a n = a. Jos jono (a n ) ei suppene, se hajaantuu. Jono (a n ) hajaantuu, jos (i) jonolla (a n ) ei ole raja-arvoa, kun n lähenee ääretöntä. Esim. (a n ) = ((−1) n ) : −1, 1, −1, 1, . . . (ii) Jono (a n ) kasvaa tai vähenee rajatta, kun n lähenee ääretöntä. Tällöin merkitään lim n→∞ a n = ∞ (tai −∞). Esimerkki 15.2. Tutki seuraavien jonojen (a n ) hajaantumista ja suppenemista ( ) (−1) n a) (a n ) = (n) b) (a n ) = (−n) c) (a n ) = n Huomautus. • Raja-arvojen laskusäännöt kuten funktioilla. • Eksponentti- ja potenssifunktiolle pätee: lim n→∞ an = 0, kun |a| < 1 lim n→∞ an = ∞, kun a > 1 lim n→∞ 1 n k = 0, kun k ∈ N +. 56
Page 1 and 2:
Matematiikan perusteet taloustietei
Page 3 and 4:
7 Potenssifunktio 29 7.1 Potenssiyh
Page 5 and 6: • vähennyslasku (lavennus samann
Page 7 and 8: 1.5 Merkintöjä ja muuta tärkeä
Page 9 and 10: ]a, ∞[= {x ∈ R | x > a} [a, ∞
Page 11 and 12: Eräiden funktioiden kuvaajia: 1. V
Page 13 and 14: Geometrisesti: Funktio f on alaspä
Page 15 and 16: Olkoon a = 0. Tällöin x 1 < x 2
Page 17 and 18: a < 0 : ax + b > 0 ⇔ ax > (−b)
Page 19 and 20: Ratkaisumenettely: (i) Ratkaistaan
Page 21 and 22: (iii) Oletetaan nyt, että x = x 1
Page 23 and 24: Sovellus 2: Olkoot hyödykemäärä
Page 25 and 26: (ii) Päätellään merkkikaavion a
Page 27 and 28: Varmin tapa: Jos yhtälössä useit
Page 29 and 30: 6.2 Neliöjuuriepäyhtälö 1. Peru
Page 31 and 32: Esimerkki 7.2. Ratkaise yhtälöt a
Page 33 and 34: 9 Logaritmifunktio Tarkastellaan yh
Page 35 and 36: 10 Eksponentti- ja logaritmifunktio
Page 37 and 38: 3 o Oppimisfunktiot Psykologit käy
Page 39 and 40: Huomautus. g ◦ f on yleensä eri
Page 41 and 42: Funktiota f −1 sanotaan funktion
Page 43 and 44: 12.2 Käyrien yhteisten pisteiden e
Page 45 and 46: Raja-arvon peruslaskusääntöjä:
Page 47 and 48: Siis 1 lim x→0 − x 1 Näin olle
Page 49 and 50: Esimerkki 13.6. x 3 − 4x + 3 lim
Page 51 and 52: 14 Funktion jatkuvuus 14.1 Jatkuvuu
Page 53 and 54: 14.2 Jatkuvien funktioiden ominaisu
Page 55: { x, x < 0 Esimerkki 14.4. Funktio
Page 59: Aritmeettisen sarjan osasumma S n =
show all

Matematiikan perusteet taloustieteilijÃ¶ille 1a - Oulun yliopiston ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?