Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...

Lause 14.3. Suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio f(x) saavuttaa suurimman ja
pienimmän arvonsa tällä välillä.
Siis voidaan löytää sellaiset x 1 , x 2 ∈ [a, b], että f(x 1 ) ≤ f(x) ≤ f(x 2 ) aina, kun
x ∈ [a, b].
Lísäksi jokaista lukua d ∈ [f(x 1 ), f(x 2 )] kohti on olemassa ainakin yksi sellainen
c ∈ [a, b], että f(c) = d.
Geometrisesti:
f(x 1 ) ≤ f(x) ≤ f(x 2 ) aina, kun x ∈ [a, b].
min f(x) = f(x 1 ) ja max f(x) = f(x 2 ).
d ∈ [f(x 1 ), f(x 2 )] ja d = f(c 1 ) = f(c 2 ).
Esimerkki 14.3. Funktio f(x) = x 2 − 3x + 2 on jatkuva suljetulla välillä [0, 3]. Se
saavuttaa pienimmän arvonsa kohdassa x = 3, jolloin 2 f(3) = − 1 , ja suurimman
2 4
arvonsa kohdissa x = 0 ja x = 3. Tällöin f(0) = f(3) = 2. (Maksimin ja minimin
etsimisestä myöhemmin!)
53