Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...

14.2 Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia
Lause 14.1. Jos funktiot f ja g ovat jatkuvia kohdassa x = x 0 , niin myös
funktiot f + g, f − g, f · g ja c · f (c ∈ R vakio) ovat jatkuvia kohdassa
x = x 0 . Lisäksi funktio f g
on jatkuva kohdassa x 0 , jos g(x 0 ) ≠ 0.
Siis funktioyhdistelmät jatkuvia ⇔ jokainen funktio on yksinään jatkuva.
Esimerkki 14.2. Määrää a siten, että funktio f(x) =
on jatkuva.
{
x − 1, x ≥ 0
−x 2 + a,
x < 0
Lause 14.2. Olkoon funktio g(x) jatkuva kohdassa x 0 ja funktio f(x) jatkuva
kohdassa g(x 0 ). Tällöin yhdistetty funktio (f ◦ g)(x) on jatkuva kohdassa x 0 .
Suljetulla välillä jatkuva funktio:
Sanotaan, että funktio f(x) on jatkuva suljetulla välillä [a, b], jos se on jatkuva
avoimella välillä ]a, b[ ja lisäksi lim f(x) = f(a) ja lim f(x) = f(b).
x→a + x→b− Esimerkkejä eri tilanteista:
1) Funktio f(x) on jatkuva välillä [a, b]
2) Funktio f(x) on jatkuva välillä ]a, b[ muttei välillä [a, b], sillä lim
x→b − f(x) ≠
f(b). Kuitenkin f(x) on jatkuva välillä [a, b[.
52