Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...

13.2.3 Neliöjuurilausekkeet raja-arvotehtävissä
Jos f(x) sisältää neliöjuurilausekkeen niin
epämääräinen.
lim f(x) = f(a) , jos f(a) ei ole
x→a
Monissa tapauksissa on apua laventamisesta
( √ x + √ y)( √ x − √ y) = x − y
Esimerkki 13.11.
a) lim
x→0
√
2 − x + x
2
b) lim
x→−∞ (√ 1 − x + √ x 2 + 2)
c) lim
x→∞
(√
x + 1 −
√
x
)
d) lim
x→0
√ x + 1 − 1
x
Termejä voidaan kuljettaa neliöjuuren sisään tai ulos sieltä seuraavasti:
- √ {
x, kun x ≥ 0
x 2 = |x| =
−x, kun x < 0 .
- Neliöjuuren alle ei saa viedä negatiivista.
Esimerkki 13.12.
a) lim
x→∞
√ x − 1
2x 2 b) lim
x→−∞
√
x2 − 1
2x
x
c) lim √
x→−∞ x2 + x + 1
13.2.4 Potenssilausekkeet raja-arvotehtävissä
⎧
⎪⎨ 0, kun 0 ≤ a < 1
lim
x→∞ ax = ∞, kun a > 1
⎪⎩
ei ole olemassa, kun a < 0
Huomautus.
(
lim 1 + 1 x
= e.
x→∞ x)
49