Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...

e) ∞ r = {
∞, jos r > 0
−∞, jos r < 0
r
f)
∞ = r
−∞ = 0, kun r ∈ R
g) ∞ r = ∞, kun r > 0
∞ r = 0, kun r < 0.
Seuraavat muodot eivät ole määriteltyjä:
∞ − ∞, 0 · ∞,
∞
∞ , 0
0 , ∞
0 , ∞0 .
13.2 Raja-arvon määräämisestä
13.2.1 Polynomifunktio
A) Olkoon P (x) polynomi. Lauseen 13.2 nojalla lim
x→a
P (x) = P (a).
B) Määrättäessä raja-arvoja lim P (x) ja lim P (x), voidaan ottaa tekijäksi
x→∞ x→−∞
korkein esiintyvän muuttujan x potenssi ja päätellä sen jälkeen raja-arvo.
Toisaalta raja-arvot lim P (x) ja lim P (x) määräytyvät korkeinta muuttujan x
x→∞ x→−∞
potenssia sisältävän termin perusteella.
Esimerkki 13.5. Laske
a) lim
x→3
(x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1)
b) lim
x→∞
(x 4 − 2x 3 − 3x 2 − 4x)
13.2.2 Rationaalifunktio
Rationaalifunktio on muotoa
Laskettava lim
P (x)
x→a Q(x)
P (x)
Q(x) .
, missä a ∈ R.
P (x)
A) Jos Q(a) ≠ 0, niin lim = P (a) (vrt. lause 13.2).
x→a Q(x) Q(a)
47