Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...

Siis
1
lim
x→0 − x
1
Näin ollen lim
x→0 x
= −∞ ja lim
1
x→0 + x = ∞.
ei ole olemassa.
1
Tarkastellaan vielä raja-arvoa lim .
x→0 |x|
Nyt
1
lim = ∞ ja
x→0 + |x|
Vastaavasti
lim
x→0
lim
x→0
lim 1
x→0 − |x|
1
x = ∞, a 1
x a
1
= ∞ eli lim = ∞.
x→0 |x|
kun a parillinen
ei ole olemassa, kun a pariton.
Epäoleelliset raja-arvot äärettömyydessä:
(x, f(x) → ±∞)
Tarkastellaan funktiota f(x) = x 3 .
Kun x → ∞, niin f(x) → ∞ eli
Vastaavasti
lim
x→−∞ x3 = −∞.
Samalla tavalla saadaan
Esimerkki 13.4. Laske
lim x 3 = ∞.
x→∞
lim
x→−∞ −x3 = ∞ ja
lim
x→−∞ x4 = ∞.
(1 + x) 2
a) lim
x→∞ x 3
b) lim
x→0
(x 2 + 1) 2
x 6
Symbolia ∞ koskevia laskusääntöjä:
a) ∞ + ∞ = ∞, (−∞) + (−∞) = −∞
b) ∞ ± r = ∞, −∞ ± r = −∞, kun r ∈ R
c) ∞ · ∞ = ∞, ∞ · (−∞) = −∞, (−∞) · (−∞) = ∞
{
∞, jos r > 0
d) ∞ · r =
−∞, jos r < 0
46