Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Siis<br />
Tällöin<br />
lim<br />
x→a<br />
f(x) ∃ ⇔ lim f(x) = lim f(x).<br />
x→a− x→a +<br />
lim<br />
x→a<br />
f(x) = lim f(x) = lim f(x)<br />
x→a− x→a +<br />
{<br />
x 2 + 1, x < 0<br />
Esimerkki 13.3. Olkoon f(x) =<br />
. Millä parametrin a arvolla<br />
2 x+a − 1, x ≥ 0<br />
funktiolla f on raja-arvo kohdassa x = 0?<br />
Raja-arvon toinen tärkeä käyttökohde on tutkia funktion arvon kehittymistä,<br />
kun muuttujan x arvo kasvaa tai pienenee rajatta. Tällöin puhutaan raja-arvosta<br />
äärettömyydessä ja käytetään merkintöjä<br />
lim f(x) ja lim f(x).<br />
x→∞ x→−∞<br />
Raja-arvot äärettömyydessä:<br />
(x → ±∞)<br />
Tarkastellaan funktiota f(x) = 1 x .<br />
Kun x kasvaa rajatta, f(x) lähenee nollaa. Siis<br />
1<br />
lim f(x) = lim<br />
x→∞ x→∞ x = 0.<br />
Vastaavasti, kun x → −∞, niin f(x) → 0. Siis<br />
1<br />
lim<br />
x→−∞ x = 0.<br />
Epäoleelliset raja-arvot:<br />
(f(x) → ±∞)<br />
1<br />
Tarkastellaan raja-arvoa lim f(x) = lim<br />
x→0 x→0 x .<br />
Kun x → 0 + , niin f(x) → ∞ ja kun x → 0 − , niin f(x) → −∞.<br />
45