Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...

Siis
Tällöin
lim
x→a
f(x) ∃ ⇔ lim f(x) = lim f(x).
x→a− x→a +
lim
x→a
f(x) = lim f(x) = lim f(x)
x→a− x→a +
{
x 2 + 1, x < 0
Esimerkki 13.3. Olkoon f(x) =
. Millä parametrin a arvolla
2 x+a − 1, x ≥ 0
funktiolla f on raja-arvo kohdassa x = 0?
Raja-arvon toinen tärkeä käyttökohde on tutkia funktion arvon kehittymistä,
kun muuttujan x arvo kasvaa tai pienenee rajatta. Tällöin puhutaan raja-arvosta
äärettömyydessä ja käytetään merkintöjä
lim f(x) ja lim f(x).
x→∞ x→−∞
Raja-arvot äärettömyydessä:
(x → ±∞)
Tarkastellaan funktiota f(x) = 1 x .
Kun x kasvaa rajatta, f(x) lähenee nollaa. Siis
1
lim f(x) = lim
x→∞ x→∞ x = 0.
Vastaavasti, kun x → −∞, niin f(x) → 0. Siis
1
lim
x→−∞ x = 0.
Epäoleelliset raja-arvot:
(f(x) → ±∞)
1
Tarkastellaan raja-arvoa lim f(x) = lim
x→0 x→0 x .
Kun x → 0 + , niin f(x) → ∞ ja kun x → 0 − , niin f(x) → −∞.
45