Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...

Raja-arvon peruslaskusääntöjä:
Lause 13.1. Olkoon lim f(x) = b ja lim g(x) = c ja k ∈ R vakio. Tällöin
x→a x→a
a) lim (f ± g)(x) = lim f(x) ± lim g(x) = b ± c
x→a x→a x→a
b) lim (f · g)(x) = lim f(x) · lim g(x) = b · c
x→a x→a x→a
( )
f
c) lim (x) = lim f(x)
x→a = b, jos c ≠ 0
x→a g
lim g(x) c
x→a
d) lim
x→a
kf(x) = k · lim
x→a
f(x) = kb,
k vakio
Lause 13.2. Olkoot P (x) ja Q(x) polynomeja ja a ∈ R. Tällöin
a) lim
x→a
P (x) = P (a)
P (x)
b) Jos Q(a) ≠ 0, niin lim = P (a)
x→a Q(x) Q(a)
c) Jos f on vakiofunktio, eli f(x) = c ∀ x ∈ R, niin lim
x→a
f(x) = lim
x→a
c = c
x 3 + 2x + 1
Esimerkki 13.2. Laske lim
.
x→1 x + 1
Toispuoleiset raja-arvot:
Tarkastellaan funktiota f(x) =
{
−x − 1, x < 0
x, x ≥ 0 .
Nyt f(x) lähenee arvoa nolla, kun x lähenee nollaa oikealta. Merkitään
lim f(x) = lim x = 0
x→0 + x→0
(oikeanpuoleinen raja-arvo 0:ssa).
Toisaalta f(x) lähenee arvoa −1, kun x lähenee nollaa vasemmalta. Merkitään
lim f(x) = lim (−x − 1) = −1
x→0− x→0
(vasemmanpuoleinen raja-arvo 0:ssa).
Tällaisia raja-arvoja kutsutaan toispuoleisiksi raja-arvoiksi.
Lause 13.3. Funktiolla f(x) on kohdassa x = a raja-arvo jos ja vain jos funktiolla
f(x) on kohdassa x = a sekä vasemman- että oikeanpuoleinen raja-arvo ja
ne ovat yhtäsuuret.
44