Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Raja-arvon peruslaskusääntöjä:<br />
Lause 13.1. Olkoon lim f(x) = b ja lim g(x) = c ja k ∈ R vakio. Tällöin<br />
x→a x→a<br />
a) lim (f ± g)(x) = lim f(x) ± lim g(x) = b ± c<br />
x→a x→a x→a<br />
b) lim (f · g)(x) = lim f(x) · lim g(x) = b · c<br />
x→a x→a x→a<br />
( )<br />
f<br />
c) lim (x) = lim f(x)<br />
x→a = b, jos c ≠ 0<br />
x→a g<br />
lim g(x) c<br />
x→a<br />
d) lim<br />
x→a<br />
kf(x) = k · lim<br />
x→a<br />
f(x) = kb,<br />
k vakio<br />
Lause 13.2. Olkoot P (x) ja Q(x) polynomeja ja a ∈ R. Tällöin<br />
a) lim<br />
x→a<br />
P (x) = P (a)<br />
P (x)<br />
b) Jos Q(a) ≠ 0, niin lim = P (a)<br />
x→a Q(x) Q(a)<br />
c) Jos f on vakiofunktio, eli f(x) = c ∀ x ∈ R, niin lim<br />
x→a<br />
f(x) = lim<br />
x→a<br />
c = c<br />
x 3 + 2x + 1<br />
Esimerkki 13.2. Laske lim<br />
.<br />
x→1 x + 1<br />
Toispuoleiset raja-arvot:<br />
Tarkastellaan funktiota f(x) =<br />
{<br />
−x − 1, x < 0<br />
x, x ≥ 0 .<br />
Nyt f(x) lähenee arvoa nolla, kun x lähenee nollaa oikealta. Merkitään<br />
lim f(x) = lim x = 0<br />
x→0 + x→0<br />
(oikeanpuoleinen raja-arvo 0:ssa).<br />
Toisaalta f(x) lähenee arvoa −1, kun x lähenee nollaa vasemmalta. Merkitään<br />
lim f(x) = lim (−x − 1) = −1<br />
x→0− x→0<br />
(vasemmanpuoleinen raja-arvo 0:ssa).<br />
Tällaisia raja-arvoja kutsutaan toispuoleisiksi raja-arvoiksi.<br />
Lause 13.3. Funktiolla f(x) on kohdassa x = a raja-arvo jos ja vain jos funktiolla<br />
f(x) on kohdassa x = a sekä vasemman- että oikeanpuoleinen raja-arvo ja<br />
ne ovat yhtäsuuret.<br />
44