Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...

13 Raja-arvo
13.1 Funktion raja-arvo
Määrättäessä funktion raja-arvoa pisteessä a tutkitaan funktion kulkua, kun x
valitaan yhä lähempää arvoa a. (Mitä arvoa f(x) lähestyy, kun x lähestyy arvoa
a?)
Tarkastellaan esim. funktiota
Toisaalta
f(x) = 3x2 − 8x + 4
, D f = {x ∈ R | x ≠ 2}.
x − 2
f(x) = 3x2 − 8x + 4
x − 2
=
(3x − 2)(x − 2)
x − 2
= 3x − 2, x ≠ 2.
Siten funktion f(x) kuvaaja on suora y = 3x − 2, josta on poistettu piste (2, 4).
Kun x lähestyy arvoa 2, niin f(x) lähestyy arvoa 4. Tällöin merkitään
lim f(x) = 4.
x→2
Raja-arvon määritelmä:
Olkoon funktio f(x) määritelty välillä ]a − r, a + r[, (r > 0) mahdollisesti lukuunottamatta
kohtaa x = a. Funktiolla f on raja-arvo b kohdassa a, jos jokaista lukua
ε > 0 vastaa sellainen luku δ > 0, että |f(x) − b| < ε aina, kun 0 < |x − a| < δ.
Tällöin merkitään
lim f(x) = b.
x→a
Siis funktiolla f(x) on raja-arvo b kohdassa x = a, jos funktion f(x) arvo saadaan
miten lähelle tahansa arvoa b, kunhan vain x valitaan riittävän läheltä arvoa a.
Esimerkki 13.1. Osoita määritelmän nojalla, että
3x 2 − 8x + 4
lim
x→2 x − 2
= 4.
Huomautus. Raja-arvon määritelmässä oleva luku δ saa riippua sekä luvusta a
että luvusta ε, ei kuitenkaan muuttujasta x.
Huomautus. Funktion raja-arvo on yksikäsitteinen, jos on olemassa.
43