Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...

12 Yhtälöparit
12.1 Lineaarinen yhtälöpari
Ratkaistava yhtälöpari:
Yhtälöparin ratkaiseminen:
{
a1 x + b 1 y + c 1 = 0
a 2 x + b 2 y + c 2 = 0
(4)
1) Ratkaistaan jommasta kummasta yhtälöstä yksi tuntematon toisen avulla
lausuttuna.
2) Sijoitetaan ratkaistun tuntemattoman lauseke toiseen yhtälöön.
3) Ratkaistaan näin saatu yhtälö jäljelle jääneen tuntemattoman suhteen.
4) Sijoitetaan ratkaistu tuntemattoman arvo jompaan kumpaan alkuperäisistä
yhtälöistä ja ratkaistaan toinen tuntematon.
Esimerkki 12.1. Ratkaise yhtälöpari
{
2x + 3y + 1 = 0
x + 4y + 3 = 0
.
Toinen tapa: termien hävittäminen laskemalla yhtälöt sopivasti kerrottuna puolittain
yhteen.
Suoran yhtälö esitetään yleensä muodossa y = f(x) = ax + b. Tämä esitys voidaan
muokata implisiittiseen muotoon a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, eli muotoon, jossa
muuttuja x ja funktion arvo y esiintyy yhtälön samalla puolella. Näin ollen lineaarisen
yhtälöparin ratkaiseminen merkitsee käytännössä vastaavien suorien
leikkauspisteiden etsimistä:
- Suorat leikkaavat, jos ratkaisu on yksikäsitteinen.
- Suorat samat, jos ratkaisuja on ääretön määrä (identtisesti tosi, esim.
0 = 0).
- Suorat ovat yhdensuuntaiset eri suorat, jos yhtälöparilla ei ole ratkaisuja.
(identtisesti epätosi, esim. 0 = 5)
Huomautus.
• Suorat yhdensuuntaiset: kulmakertoimet samat.
• Suorat kohtisuorassa: kulmakertoimien tulo on −1.
41