Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Funktio f : X → Y on injektio, jos f(x 1 ) = f(x 2 ) ⇔ x 1 = x 2 .<br />
Siis f on injektio, kun f kuvaa kaikki joukon X alkiot joukon Y eri alkioiksi.<br />
(Siis yksikäsitteinen alkukuva, jos alkukuva on olemassa.)<br />
Esimerkki 11.6. Onko funktio f : R + → R, jolla f(x) = √ x, injektio?<br />
Esimerkki 11.7. Onko funktio f : R → [0, ∞[, jolla f(x) = x 2 , injektio?<br />
Funktio f : X → Y on bijektio, jos se on sekä surjektio että injektio.<br />
Siis f : X → Y on bijektio, kun<br />
1. R f = Y<br />
2. f(x 1 ) = f(x 2 ) ⇔ x 1 = x 2 .<br />
Siten f : X → Y on bijektio, jos jokaista y ∈ Y kohti on olemassa täsmälleen<br />
yksi x ∈ X, jolle y = f(x).<br />
Esimerkki 11.8. Onko funktio f(x) = 5x + 3 bijektio?<br />
Esimerkki 11.9. Onko funktio f(x) = x + 1<br />
x − 2 bijektio?<br />
11.4 Käänteisfunktio<br />
Jos f : X → Y on bijektio, voidaan määritellä funktio f −1<br />
x = f −1 (y), kun y = f(x).<br />
: Y → X, jolle<br />
Siis f −1 kuvaa jokaisen y ∈ Y alkukuvakseen eli x = f −1 (y) ⇔ y = f(x).<br />
39