Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...

Funktio f : X → Y on injektio, jos f(x 1 ) = f(x 2 ) ⇔ x 1 = x 2 .
Siis f on injektio, kun f kuvaa kaikki joukon X alkiot joukon Y eri alkioiksi.
(Siis yksikäsitteinen alkukuva, jos alkukuva on olemassa.)
Esimerkki 11.6. Onko funktio f : R + → R, jolla f(x) = √ x, injektio?
Esimerkki 11.7. Onko funktio f : R → [0, ∞[, jolla f(x) = x 2 , injektio?
Funktio f : X → Y on bijektio, jos se on sekä surjektio että injektio.
Siis f : X → Y on bijektio, kun
1. R f = Y
2. f(x 1 ) = f(x 2 ) ⇔ x 1 = x 2 .
Siten f : X → Y on bijektio, jos jokaista y ∈ Y kohti on olemassa täsmälleen
yksi x ∈ X, jolle y = f(x).
Esimerkki 11.8. Onko funktio f(x) = 5x + 3 bijektio?
Esimerkki 11.9. Onko funktio f(x) = x + 1
x − 2 bijektio?
11.4 Käänteisfunktio
Jos f : X → Y on bijektio, voidaan määritellä funktio f −1
x = f −1 (y), kun y = f(x).
: Y → X, jolle
Siis f −1 kuvaa jokaisen y ∈ Y alkukuvakseen eli x = f −1 (y) ⇔ y = f(x).
39