Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...

Huomautus. g ◦ f on yleensä eri kuin f ◦ g (ei vaihdannainen). Kuitenkin
(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) (liitännäinen).
Esimerkki 11.3. Olkoon f(x) = 1 x
ja g(x) = √ x + 1. Määrää (f ◦ g)(x) ja
(g ◦ f)(x) sekä D f◦g ja D g◦f .
11.3 Surjektio, injektio ja bijektio
Olkoon f : X → Y funktio, ts. jokaista x ∈ X
y = f(x) ∈ Y .
= (D f ) vastaa täsmälleen yksi
Funktio f : X → Y on surjektio joukosta X joukkoon Y , jos arvojoukko
R f = {f(x) | x ∈ X} = Y .
Siis f on surjektio joukosta X joukkoon Y , jos jokaista y ∈ Y vastaa ainakin yksi
sellainen x ∈ X, että f(x) = y (ts. löytyy ainakin yksi alkukuva).
Esimerkki 11.4. Olkoon X = {1, 2, 3, 4}, Y = {1, 2, 3}. Funktio f : X → Y , jolle
f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 2, f(4) = 3, on surjektio, sillä jokaisella joukon Y
alkiolla on alkukuva.
Jos X = {1, 2, 3, 4} ja Y = {1, 2, 3, 4}, niin edellä olevalla tavalla määritelty
funktio f ei ole surjektio.
Esimerkki 11.5. Onko funktio f : R → R, jolla f(x) = x 2 , surjektio? Entä onko
funktio f(x) = x 2 surjektio R → [0, ∞[?
38