Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
11 Funktioiden algebraa<br />
11.1 Funktioiden laskutoimituksia<br />
Funktioiden yhtäsuuruus: Funktiot f ja g ovat yhtäsuuret eli samat jos ja vain<br />
jos niiden määrittelyjoukot ovat samat ja arvot yhtyvät, ts.<br />
f = g ⇔ D f = D g ja f(x) = g(x) ∀ x ∈ D f<br />
Esimerkki 11.1. Ovatko funktiot f(x) = x2 − 1<br />
x + 1<br />
Määritellään:<br />
ja g(x) = x − 1 samat?<br />
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x) D f±g = D f ∩ D g<br />
(f · g)(x) = f(x) · g(x) D f·g = D f ∩ D g<br />
( f<br />
g<br />
)<br />
(x) = f(x)<br />
g(x)<br />
D f<br />
g<br />
(cf)(x) = c · f(x), c = vakio D cf = D f<br />
= (D f ∩ D g ) \ {x | g(x) = 0}<br />
Esimerkki 11.2. Määrää funktioiden f(x) = √ x − 1 ja g(x) = √ 2 − x tulo- ja<br />
osamääräfunktio.<br />
Funktio f on parillinen, jos f(−x) = f(x) ∀ x ∈ D f , ja pariton, jos f(−x) =<br />
−f(x) ∀ x ∈ D f .<br />
11.2 Yhdistetty funktio<br />
Annettujen funktioiden f ja g yhdistetty funktio<br />
(f ◦ g)(x) = f(g(x))<br />
ja<br />
D f◦g = {x ∈ R | x ∈ D g ja g(x) ∈ D f }.<br />
Funktio f on ulkofunktio ja g on sisäfunktio.<br />
37