Matematiikan perusteet taloustieteilijÃ¶ille 1a - Oulun yliopiston ...

More documents

Recommendations

Info

Esimerkki 10.1. Yhtiö aloittaa toimintansa 5:llä työntekijällä. Kunkin vuoden lopussa jokainen työntekijä palkkaa 3 apulaista. Kuinka monta työntekijää yhtiössä on 10 vuoden kuluttua, jos kukaan ei poistu yhtiön palveluksesta? Ratkaisu: N(10) = 5 · 4 10 = 5 242 880 2 o Gompertzin funktiot Gompertzin funktiot ovat muotoa N(t) = ca Rt , missä R = kasvun aste (> 0) a = alkupopulaation suhteellinen osuus populaation ylärajasta 0 < a < 1 c = populaation yläraja (c > 0) Kun t = 0, niin N(0) = ca. Esimerkki 10.2. Yrityksen työntekijöiden lukumäärän kehitystä kuvataan funktiolla N(t) = 200 · (0, 04) 0,5t , missä N(t) on työntekijöiden lukumäärä t toimintavuoden jälkeen. Kuinka monta työntekijää yhtiössä oli alunperin? Entä 3 vuoden jälkeen? Kuinka paljon henkilökuntaa yhtiössä on yrityksen ollessa suurimmillaan? Ratkaisu: Työntekijöitä alunperin: Työntekijöitä 3 vuoden jälkeen: N(0) = 200 · (0, 04) 0,50 = 8 N(3) = 200 · (0, 04) 0,53 = 133, 748... ≈ 133 Työntekijöitä yrityksen ollessa suurimmillaan: Koska populaation yläraja c = 200, niin työtekijöitä on enimmillään 200. 35
3 o Oppimisfunktiot Psykologit käyttävät funkiota y = c − ae −kt , t = aika kuvaamaan oppimista. (c, a ja k ovat positiivisia vakioita) Edellä mainittua muotoa olevia funktioita voidaan käyttää esittämään kustannusja tuotantofunktioita. 36
Page 1 and 2: Matematiikan perusteet taloustietei
Page 3 and 4: 7 Potenssifunktio 29 7.1 Potenssiyh
Page 5 and 6: • vähennyslasku (lavennus samann
Page 7 and 8: 1.5 Merkintöjä ja muuta tärkeä
Page 9 and 10: ]a, ∞[= {x ∈ R | x > a} [a, ∞
Page 11 and 12: Eräiden funktioiden kuvaajia: 1. V
Page 13 and 14: Geometrisesti: Funktio f on alaspä
Page 15 and 16: Olkoon a = 0. Tällöin x 1 < x 2
Page 17 and 18: a < 0 : ax + b > 0 ⇔ ax > (−b)
Page 19 and 20: Ratkaisumenettely: (i) Ratkaistaan
Page 21 and 22: (iii) Oletetaan nyt, että x = x 1
Page 23 and 24: Sovellus 2: Olkoot hyödykemäärä
Page 25 and 26: (ii) Päätellään merkkikaavion a
Page 27 and 28: Varmin tapa: Jos yhtälössä useit
Page 29 and 30: 6.2 Neliöjuuriepäyhtälö 1. Peru
Page 31 and 32: Esimerkki 7.2. Ratkaise yhtälöt a
Page 33 and 34: 9 Logaritmifunktio Tarkastellaan yh
Page 35: 10 Eksponentti- ja logaritmifunktio
Page 39 and 40: Huomautus. g ◦ f on yleensä eri
Page 41 and 42: Funktiota f −1 sanotaan funktion
Page 43 and 44: 12.2 Käyrien yhteisten pisteiden e
Page 45 and 46: Raja-arvon peruslaskusääntöjä:
Page 47 and 48: Siis 1 lim x→0 − x 1 Näin olle
Page 49 and 50: Esimerkki 13.6. x 3 − 4x + 3 lim
Page 51 and 52: 14 Funktion jatkuvuus 14.1 Jatkuvuu
Page 53 and 54: 14.2 Jatkuvien funktioiden ominaisu
Page 55 and 56: { x, x < 0 Esimerkki 14.4. Funktio
Page 57 and 58: 15 Lukujonot ja sarjat 15.1 Lukujon
Page 59: Aritmeettisen sarjan osasumma S n =

Matematiikan perusteet taloustieteilijÃ¶ille 1a - Oulun yliopiston ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?