Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
9 Logaritmifunktio<br />
Tarkastellaan yhtälöä x = a y , missä a > 0 ja a ≠ 1. Siten y on se potenssi, johon<br />
a on korotettava, jotta saadaan x.<br />
Luku y määritellään luvun x a–kantaiseksi logaritmiksi ja merkitään y = log a x.<br />
Siis y = log a x ⇔ x = a y .<br />
log a x: Mihin a on korotettava, jotta saadaan x?<br />
Saadaan funktio f : R + → R,<br />
f(x) = log a x, D f =]0, ∞[ ja R f = R.<br />
Logaritmin ominaisuuksia:<br />
Olkoon x, y > 0, z ∈ R. Tällöin<br />
1) log a (xy) = log a x + log a y 5) log a 1 = 0<br />
( ) x<br />
2) log a = log<br />
y<br />
a x − log a y 6) log a a f(x) = f(x)<br />
3) log a x z = z · log a x 7) a log a f(x) = f(x)<br />
4) log a a = 1 8) log b c = log a c<br />
log a b<br />
Sovellusten kannalta e–kantainen eli luonnollinen logaritmi on tärkeä. Funktiota<br />
merkitään<br />
f(x) = log e x = ln x.<br />
Logaritmifunktio f(x) = log a x on aidosti kasvava, kun a > 1, ja aidosti vähenevä,<br />
kun 0 < a < 1.<br />
32