Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...

9 Logaritmifunktio
Tarkastellaan yhtälöä x = a y , missä a > 0 ja a ≠ 1. Siten y on se potenssi, johon
a on korotettava, jotta saadaan x.
Luku y määritellään luvun x a–kantaiseksi logaritmiksi ja merkitään y = log a x.
Siis y = log a x ⇔ x = a y .
log a x: Mihin a on korotettava, jotta saadaan x?
Saadaan funktio f : R + → R,
f(x) = log a x, D f =]0, ∞[ ja R f = R.
Logaritmin ominaisuuksia:
Olkoon x, y > 0, z ∈ R. Tällöin
1) log a (xy) = log a x + log a y 5) log a 1 = 0
( ) x
2) log a = log
y
a x − log a y 6) log a a f(x) = f(x)
3) log a x z = z · log a x 7) a log a f(x) = f(x)
4) log a a = 1 8) log b c = log a c
log a b
Sovellusten kannalta e–kantainen eli luonnollinen logaritmi on tärkeä. Funktiota
merkitään
f(x) = log e x = ln x.
Logaritmifunktio f(x) = log a x on aidosti kasvava, kun a > 1, ja aidosti vähenevä,
kun 0 < a < 1.
32