Matematiikan perusteet taloustieteilijÃ¶ille 1a - Oulun yliopiston ...

More documents

Recommendations

Info

5 Itseisarvofunktio Jos a ∈ R, niin Samoin |f(x)| = { a, kun a ≥ 0 |a| = −a, kun a < 0. { f(x), kun f(x) ≥ 0 −f(x), kun f(x) < 0. Itseisarvoja sisältävän funktion määrittelyjoukko D f = R, ellei muuta sovita. Huomautus. |f(x)| ≥ 0 kaikilla x ∈ R. 5.1 Itseisarvoyhtälö Ratkaisumenettely: Itseisarvoyhtälön ratkaisemiseksi itseisarvomerkit poistetaan tutkimalla itseisarvon sisällä olevan lausekkeen positiivisuutta/negatiivisuutta määrittelyjoukossa ja tämän jälkeen ratkaistaan yhtälö (osavälijako). Esimerkki 5.1. |x − 3| + |x + 2| = 10 Nopeuttavia sääntöjä itseisarvoyhtälön ratkaisussa: 1. |f(x)| = |g(x)| ⇔ f(x) = g(x) tai f(x) = −g(x) ⎧ ⎪⎨ f(x) = a tai f(x) = −a, kun a > 0 2. |f(x)| = a ⇔ f(x) = 0, kun a = 0 ⎪⎩ ei ratkaisua, kun a < 0 3. |f(x)| = g(x) ⇔ { f(x) = g(x) tai f(x) = −g(x) g(x) ≥ 0 25
Varmin tapa: Jos yhtälössä useita itseisarvolausekkeita, niin poistetaan itseisarvot aina tarkastelemalla erikseen joukkoja, joissa itseisarvon sisällä oleva lauseke on positiivinen tai negatiivinen (osavälijako). Esimerkki 5.2. |x − 1| = x 2 5.2 Itseisarvoepäyhtälö Ratkaisumenettely: Poistetaan itseisarvomerkit ja ratkaistaan saatu epäyhtälö (osavälijako). Esimerkki 5.3. |x − 3| + |x + 2| < 10 Nopeuttavia sääntöjä itseisarvoepäyhtälön ratkaisussa: 1. 2. |f(x)| < g(x) ⇔ −g(x) < f(x) < g(x) ⇔ Jos g(x) ≤ 0, ratkaisua ei ole. −g(x) < f(x) ja f(x) < g(x) |f(x)| > g(x) ⇔ f(x) < −g(x) tai f(x) > g(x) Jos g(x) < 0 ⇔ epäyhtälö voimassa. 3. Jos epäyhtälön molemmat puolet positiivisia, korota puolittain toiseen. Varmin tapa: Jos itseisarvolausekkeita on useampia, niin itseisarvomerkit voidaan poistaa tarkastelemalla erikseen joukkoja, joissa itseisarvomerkkien sisällä oleva lauseke on positiivinen tai negatiivinen (osavälijako). Esimerkki 5.4. |x − 6| ≥ 3 − 2x Esimerkki 5.5. |x − 6| ≤ |x − 1| Esimerkki 5.6. |x − 6| < 3 − 2x 26
Page 1 and 2: Matematiikan perusteet taloustietei
Page 3 and 4: 7 Potenssifunktio 29 7.1 Potenssiyh
Page 5 and 6: • vähennyslasku (lavennus samann
Page 7 and 8: 1.5 Merkintöjä ja muuta tärkeä
Page 9 and 10: ]a, ∞[= {x ∈ R | x > a} [a, ∞
Page 11 and 12: Eräiden funktioiden kuvaajia: 1. V
Page 13 and 14: Geometrisesti: Funktio f on alaspä
Page 15 and 16: Olkoon a = 0. Tällöin x 1 < x 2
Page 17 and 18: a < 0 : ax + b > 0 ⇔ ax > (−b)
Page 19 and 20: Ratkaisumenettely: (i) Ratkaistaan
Page 21 and 22: (iii) Oletetaan nyt, että x = x 1
Page 23 and 24: Sovellus 2: Olkoot hyödykemäärä
Page 25: (ii) Päätellään merkkikaavion a
Page 29 and 30: 6.2 Neliöjuuriepäyhtälö 1. Peru
Page 31 and 32: Esimerkki 7.2. Ratkaise yhtälöt a
Page 33 and 34: 9 Logaritmifunktio Tarkastellaan yh
Page 35 and 36: 10 Eksponentti- ja logaritmifunktio
Page 37 and 38: 3 o Oppimisfunktiot Psykologit käy
Page 39 and 40: Huomautus. g ◦ f on yleensä eri
Page 41 and 42: Funktiota f −1 sanotaan funktion
Page 43 and 44: 12.2 Käyrien yhteisten pisteiden e
Page 45 and 46: Raja-arvon peruslaskusääntöjä:
Page 47 and 48: Siis 1 lim x→0 − x 1 Näin olle
Page 49 and 50: Esimerkki 13.6. x 3 − 4x + 3 lim
Page 51 and 52: 14 Funktion jatkuvuus 14.1 Jatkuvuu
Page 53 and 54: 14.2 Jatkuvien funktioiden ominaisu
Page 55 and 56: { x, x < 0 Esimerkki 14.4. Funktio
Page 57 and 58: 15 Lukujonot ja sarjat 15.1 Lukujon
Page 59: Aritmeettisen sarjan osasumma S n =

Matematiikan perusteet taloustieteilijÃ¶ille 1a - Oulun yliopiston ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?