Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...

Funktio y = ax 2 + bx + c on ylöspäin aukeava paraabeli, kun a > 0, ja alaspäin
aukeava paraabeli, kun a < 0.
3.2.1 Toisen asteen yhtälö
Normaalimuoto:
ax 2 + bx + c = 0 (1)
Ratkaisuksi saadaan
x = −b ± √ b 2 − 4ac
2a
Lukua D = b 2 − 4ac kutsutaan diskriminantiksi. Jos
(i) D > 0, niin yhtälöllä on 2 erisuurta reaaliratkaisua (nollakohtaa, juurta)
(ii) D = 0, niin yhtälöllä on 1 reaaliratkaisu (kaksinkertainen)
(iii) D < 0, niin yhtälöllä ei ole reaaliratkaisua (kompleksilukujuuret, ks.
MPTT2)
Olkoot x 1 ja x 2 yhtälön (1) nollakohdat. Tällöin lauseke voidaan jakaa tekijöihin
seuraavasti:
ax 2 + bx + c = a(x − x 1 )(x − x 2 )
Jos x 1 on kaksinkertainen nollakohta, niin
ax 2 + bx + c = a(x − x 1 )(x − x 1 ) = a(x − x 1 ) 2
Jos ei nollakohtia ⇒ ei jakaannu reaalisiin 1. asteen tekijöihin
Esimerkki 3.3. Osoita, että lauseketta 2x2 +x−1
x 2 +x−2
ei voi supistaa.
3.2.2 Toisen asteen epäyhtälö
Normaalimuoto:
ax 2 + bx + c > 0 (≤, ≥,