Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...

Olkoon a = 0. Tällöin
x 1 < x 2 ⇔ f(x 2 ) − f(x 1 ) = (ax 2 + b) − (ax 1 + b) = a(x 2 − x 1 ) = 0,
joten f(x 1 ) = f(x 2 ) ja siten f(x) = ax + b = b on sekä kasvava että vähenevä.
Kulmakerroin:
Olkoot x 1 , x 2 ∈ R ja x 1 < x 2 .
Olkoon y 1 = f(x 1 ) = ax 1 + b ja y 2 = f(x 2 ) = ax 2 + b.
Nyt y 2 − y 1 = (ax 2 + b) − (ax 1 + b) = a(x 2 − x 1 ) ⇔ a = y 2 − y 1
x 2 − x 1
.
Siis vakio a on funktion arvon muutos jaettuna muuttajan arvon muutoksella.
Vakio a on suoran kulmakerroin ja se ilmaisee funktion kasvunopeuden ja suoran
nousujyrkkyyden.
Suoran f(x) = ax + b yhtälö saadaan määrättyä, kun tunnetaan
• yksi suoran piste ja kulmakerroin
tai
• kaksi suoran pistettä.
Jos suoran kulmakerroin on a ja suora kulkee pisteen (x 0 , y 0 ) kautta (siis
y 0 = f(x 0 )), niin suoran yhtälö on
y − y 0 = a(x − x 0 ).
Tästä ratkaisemalla y saadaan esille funktio y = f(x) = ax + b.
Esimerkki 3.1. Mikä on se lineaarinen funktio, jota vastaava suora kulkee pisteiden
(−1, 3) ja (2, 1) kautta?
3.1.1 Ensimmäisen asteen yhtälö
Normaalimuoto:
ax + b = 0
14