Matematiikan perusteet taloustieteilijÃ¶ille 1a - Oulun yliopiston ...

More documents

Recommendations

Info

2.4 Funktion kuperuus Olkoon f(x) reaalifunktio. Tarkastellaan väliä [x 1 , x 2 ]. Mielivaltainen välin [x 1 , x 2 ] piste z voidaan esittää muodossa: z = x 1 + β(x 2 − x 1 ) , 0 ≤ β ≤ 1 = (1 − β)x 1 + βx 2 = αx 1 + (1 − α)x 2 , 0 ≤ α ≤ 1, α = 1 − β Pisteen Q y–koordinaatti on f(αx 1 + (1 − α)x 2 ). Koska kuviossa on yhdenmuotoiset kolmiot, niin pisteen P y–koordinaatti on muotoa f(x 1 ) + β(f(x 2 ) − f(x 1 )) = (1 − β)f(x 1 ) + βf(x 2 ) = αf(x 1 ) + (1 − α)f(x 2 ) Reaalifunktio f(x) on välillä I alaspäin kupera, jos αf(x 1 ) + (1 − α)f(x 2 ) ≥ f(αx 1 + (1 − α)x 2 ) aina, kun x 1 , x 2 ∈ I ja 0 ≤ α ≤ 1. Vastaavasti funktio f on välillä I ylöspäin kupera, jos f(αx 1 + (1 − α)x 2 ) ≥ αf(x 1 ) + (1 − α)f(x 2 ) aina, kun x 1 , x 2 ∈ I ja 0 < α < 1. 11
Geometrisesti: Funktio f on alaspäin kupera eli konveksi, jos jokainen jana, joka piirretään käyrän y = f(x) kaksi pistettä päätypisteinä, on kokonaisuudessaan käyrän y = f(x) yläpuolella tai käyrällä. Vastaavasti funktio f on ylöspäin kupera eli konkaavi, jos jokainen jana, joka piirretään käyrän y = f(x) kaksi pistettä päätypisteinään, on kokonaisuudessaan käyrän y = f(x) alapuolella tai käyrällä. 12
Page 1 and 2: Matematiikan perusteet taloustietei
Page 3 and 4: 7 Potenssifunktio 29 7.1 Potenssiyh
Page 5 and 6: • vähennyslasku (lavennus samann
Page 7 and 8: 1.5 Merkintöjä ja muuta tärkeä
Page 9 and 10: ]a, ∞[= {x ∈ R | x > a} [a, ∞
Page 11: Eräiden funktioiden kuvaajia: 1. V
Page 15 and 16: Olkoon a = 0. Tällöin x 1 < x 2
Page 17 and 18: a < 0 : ax + b > 0 ⇔ ax > (−b)
Page 19 and 20: Ratkaisumenettely: (i) Ratkaistaan
Page 21 and 22: (iii) Oletetaan nyt, että x = x 1
Page 23 and 24: Sovellus 2: Olkoot hyödykemäärä
Page 25 and 26: (ii) Päätellään merkkikaavion a
Page 27 and 28: Varmin tapa: Jos yhtälössä useit
Page 29 and 30: 6.2 Neliöjuuriepäyhtälö 1. Peru
Page 31 and 32: Esimerkki 7.2. Ratkaise yhtälöt a
Page 33 and 34: 9 Logaritmifunktio Tarkastellaan yh
Page 35 and 36: 10 Eksponentti- ja logaritmifunktio
Page 37 and 38: 3 o Oppimisfunktiot Psykologit käy
Page 39 and 40: Huomautus. g ◦ f on yleensä eri
Page 41 and 42: Funktiota f −1 sanotaan funktion
Page 43 and 44: 12.2 Käyrien yhteisten pisteiden e
Page 45 and 46: Raja-arvon peruslaskusääntöjä:
Page 47 and 48: Siis 1 lim x→0 − x 1 Näin olle
Page 49 and 50: Esimerkki 13.6. x 3 − 4x + 3 lim
Page 51 and 52: 14 Funktion jatkuvuus 14.1 Jatkuvuu
Page 53 and 54: 14.2 Jatkuvien funktioiden ominaisu
Page 55 and 56: { x, x < 0 Esimerkki 14.4. Funktio
Page 57 and 58: 15 Lukujonot ja sarjat 15.1 Lukujon
Page 59: Aritmeettisen sarjan osasumma S n =

Matematiikan perusteet taloustieteilijÃ¶ille 1a - Oulun yliopiston ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?