Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
2.4 Funktion kuperuus<br />
Olkoon f(x) reaalifunktio. Tarkastellaan väliä [x 1 , x 2 ]. Mielivaltainen välin [x 1 , x 2 ]<br />
piste z voidaan esittää muodossa:<br />
z = x 1 + β(x 2 − x 1 ) , 0 ≤ β ≤ 1<br />
= (1 − β)x 1 + βx 2<br />
= αx 1 + (1 − α)x 2 , 0 ≤ α ≤ 1, α = 1 − β<br />
Pisteen Q y–koordinaatti on f(αx 1 + (1 − α)x 2 ). Koska kuviossa on yhdenmuotoiset<br />
kolmiot, niin pisteen P y–koordinaatti on muotoa<br />
f(x 1 ) + β(f(x 2 ) − f(x 1 )) = (1 − β)f(x 1 ) + βf(x 2 )<br />
= αf(x 1 ) + (1 − α)f(x 2 )<br />
Reaalifunktio f(x) on välillä I alaspäin kupera, jos<br />
αf(x 1 ) + (1 − α)f(x 2 ) ≥ f(αx 1 + (1 − α)x 2 )<br />
aina, kun x 1 , x 2 ∈ I ja 0 ≤ α ≤ 1.<br />
Vastaavasti funktio f on välillä I ylöspäin kupera, jos<br />
f(αx 1 + (1 − α)x 2 ) ≥ αf(x 1 ) + (1 − α)f(x 2 )<br />
aina, kun x 1 , x 2 ∈ I ja 0 < α < 1.<br />
11