Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a - Oulun yliopiston ...

2.4 Funktion kuperuus
Olkoon f(x) reaalifunktio. Tarkastellaan väliä [x 1 , x 2 ]. Mielivaltainen välin [x 1 , x 2 ]
piste z voidaan esittää muodossa:
z = x 1 + β(x 2 − x 1 ) , 0 ≤ β ≤ 1
= (1 − β)x 1 + βx 2
= αx 1 + (1 − α)x 2 , 0 ≤ α ≤ 1, α = 1 − β
Pisteen Q y–koordinaatti on f(αx 1 + (1 − α)x 2 ). Koska kuviossa on yhdenmuotoiset
kolmiot, niin pisteen P y–koordinaatti on muotoa
f(x 1 ) + β(f(x 2 ) − f(x 1 )) = (1 − β)f(x 1 ) + βf(x 2 )
= αf(x 1 ) + (1 − α)f(x 2 )
Reaalifunktio f(x) on välillä I alaspäin kupera, jos
αf(x 1 ) + (1 − α)f(x 2 ) ≥ f(αx 1 + (1 − α)x 2 )
aina, kun x 1 , x 2 ∈ I ja 0 ≤ α ≤ 1.
Vastaavasti funktio f on välillä I ylöspäin kupera, jos
f(αx 1 + (1 − α)x 2 ) ≥ αf(x 1 ) + (1 − α)f(x 2 )
aina, kun x 1 , x 2 ∈ I ja 0 < α < 1.
11