4 MATRIISIYHTÃLà Ax = b Eräs lineaarialgebran perusideoista on ...
4 MATRIISIYHTÃLà Ax = b Eräs lineaarialgebran perusideoista on ...
4 MATRIISIYHTÃLà Ax = b Eräs lineaarialgebran perusideoista on ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Matematiikka P1 © J.T. Tanttu 29.9.2009 LY 4-1<br />
TTY, Pori<br />
4 MATRIISIYHTÄLÖ <str<strong>on</strong>g>Ax</str<strong>on</strong>g> = b<br />
Eräs <str<strong>on</strong>g>lineaarialgebran</str<strong>on</strong>g> <str<strong>on</strong>g>perusideoista</str<strong>on</strong>g> <strong>on</strong> esittää vektoreiden<br />
lineaarikombinaatio matriisin ja vektorin tul<strong>on</strong>a.<br />
Määritelmä 4.1 Matriisin ja vektorin tulo<br />
Matriisin A !! m"n ja vektorin x !! n tulo <str<strong>on</strong>g>Ax</str<strong>on</strong>g> <strong>on</strong> lineaarikombinaatio<br />
matriisin A sarakkeista, kun painoina ovat sarakeindeksiä vastaavat<br />
vektorin x alkiot eli<br />
[ ]<br />
<str<strong>on</strong>g>Ax</str<strong>on</strong>g> = a 1<br />
a 2<br />
! a n<br />
Esim 4.1 Laske tulo<br />
" 4%<br />
" 1 !!2 !1%<br />
$<br />
$<br />
# 0 !5 !!3<br />
' 3<br />
'<br />
&<br />
$ '<br />
# $ 7&<br />
'<br />
!<br />
#<br />
#<br />
#<br />
#<br />
"<br />
x 1<br />
x 2<br />
"<br />
x n<br />
$<br />
&<br />
&<br />
&<br />
&<br />
%<br />
= x 1<br />
a 1<br />
+ x 2<br />
a 2<br />
+!+ x n<br />
a n
Matematiikka P1 © J.T. Tanttu 29.9.2009 LY 4-2<br />
TTY, Pori<br />
Esim 4.2 Esitä avaruuden ! m vektoreiden v 1<br />
,v 2<br />
!ja!v 3<br />
lineaarikombinaatio<br />
3v 1<br />
! 5v 2<br />
+ 7v 3<br />
matriisin ja vektorin tul<strong>on</strong>a.<br />
Esim 4.3 Kirjoita yhtälöryhmä<br />
x 1<br />
+2x 2<br />
!x 3<br />
= 4<br />
!5x 2<br />
+3x 3<br />
= 1<br />
matriisin ja vektorin tul<strong>on</strong>a.
Matematiikka P1 © J.T. Tanttu 29.9.2009 LY 4-3<br />
TTY, Pori<br />
Lause 4.1 ZZZ<br />
Jos matriisi A !! m"n <strong>on</strong> sarakkeet a 1<br />
,!a 2<br />
,!…,!a n<br />
sekä vektori b !! n ,<br />
niin matriisiyhtälöllä<br />
<str<strong>on</strong>g>Ax</str<strong>on</strong>g> = b<br />
<strong>on</strong> sama ratkaisujoukko kuin vektoriyhtälöllä<br />
x 1<br />
a 1<br />
+ x 2<br />
a 2<br />
+!+ x n<br />
a n<br />
= b,<br />
Tällä taas <strong>on</strong> sama ratkaisujoukko kuin lineaarisella yhtälöryhmällä,<br />
j<strong>on</strong>ka laajenettu matriisi <strong>on</strong><br />
[ a 1<br />
a 2<br />
! a n<br />
b]<br />
Seuraus<br />
Yhtälöllä <str<strong>on</strong>g>Ax</str<strong>on</strong>g> = b <strong>on</strong> ratkaisu, joss b <strong>on</strong> matriisin A sarakkeiden<br />
linearikombinaatio.
Matematiikka P1 © J.T. Tanttu 29.9.2009 LY 4-4<br />
TTY, Pori<br />
Esim 4.4<br />
Olkoot A =<br />
"!!1 !!3 !!4%<br />
$<br />
!4 !!2 !6<br />
'<br />
$<br />
'<br />
# $ !3 !2 !7 &'<br />
ja b =<br />
!<br />
#<br />
#<br />
"#<br />
b 1<br />
b 2<br />
b 3<br />
$<br />
&<br />
.<br />
&<br />
%&<br />
Onko yhtälö <str<strong>on</strong>g>Ax</str<strong>on</strong>g> = b yhteensopiva kaikilla reaalivakioiden b 1<br />
,!b 2<br />
,!b 3<br />
arvoilla?
Matematiikka P1 © J.T. Tanttu 29.9.2009 LY 4-5<br />
TTY, Pori<br />
Lause 4.2<br />
Jos matriisi A !! m"n , niin seuraavat lauseet ovat loogisesti<br />
ekvivalentteja:<br />
a) Kaikille vektoreille b !! m yhtälöllä <str<strong>on</strong>g>Ax</str<strong>on</strong>g> = b <strong>on</strong> ratkaisu.<br />
b) Jokainen vektori b !! m <strong>on</strong> lineaarikombinaatio matriisin A<br />
sarakkeista.<br />
c) Matriisin A sarakkeet virittävät avaruuden ! m .<br />
d) Matriisin A jokaisella rivillä <strong>on</strong> tukialkio.
Matematiikka P1 © J.T. Tanttu 29.9.2009 LY 4-6<br />
TTY, Pori<br />
Matriisin ja vektorin tul<strong>on</strong> laskenta<br />
Esim 4.5 Laske tulo<br />
"!!2 !!3 !!4%<br />
"<br />
$<br />
!1 !!5 !3<br />
' $<br />
$<br />
' $<br />
# $ !6 !2 !!8&'<br />
# $<br />
x 1<br />
x 2<br />
x 3<br />
%<br />
'<br />
'<br />
&'
Matematiikka P1 © J.T. Tanttu 29.9.2009 LY 4-7<br />
TTY, Pori<br />
Rivisääntö<br />
Matriisin A !! m"n ja vektorin x !! n tul<strong>on</strong> <str<strong>on</strong>g>Ax</str<strong>on</strong>g> !! m<br />
saadaan lausekkeesta<br />
n<br />
!<br />
j=1<br />
a ij<br />
x j<br />
i :s alkio<br />
Esim 4.6 Laske tulot<br />
a)<br />
" 4%<br />
" 1 !!2 !1%<br />
$<br />
$<br />
# 0 !5 !3<br />
' 3<br />
'<br />
&<br />
$ '<br />
# $ 7&<br />
'<br />
b)<br />
! 1 0 0$<br />
! r$<br />
#<br />
0 1 0<br />
& #<br />
s<br />
&<br />
# & # &<br />
"#<br />
0 0 1%<br />
& "#<br />
t %&
Matematiikka P1 © J.T. Tanttu 29.9.2009 LY 4-8<br />
TTY, Pori<br />
Matriisin ja vektorin tul<strong>on</strong> ominaisuuksia<br />
Lause 4.3 Jos matriisi A !! m"n , vektorit u !! m ja v !! m ja<br />
skalaari c !!, niin<br />
a) A( u + v) = Au + Av<br />
b) A( cu) = c( Au)<br />
Tod.
Change language