Luento 9 - Verkot eli graafit

A274101 TIETORAKENTEET 

JA ALGORITMIT 

VERKOT ELI GRAAFIT 

Lähteet: 

Timo Harju, Opintomoniste 

Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/GT.pdf) 

HISTORIAA 

 

 

 

 

 

 

Verkko- eli graafiteorian historia on saanut 

alkunsa Eulerin työstä v.1736 

Königsbergin (nyk. Kaliningrad) sillat: 

http://en.wikipedia.org/wiki/Seven_bridges_of_K%C3%B6nigsberg 

Kaupungin läpi virtaa joki, jossa on kaksi saarta 

Saaret on yhdistetty rantoihin 7 sillalla 

Voiko rannalta lähteä tietystä pisteestä, kulkea 

täsmälleen kerran jokaisen sillan yli ja palata 

lähtöpaikkaansa 

Euler ratkaisi ongelman 1736 ja kehitti samalla 

perustan verkkojen eli graafien teorialle 

8.11.2005 KyAMK - TiRak, syksy 2005 2 

HISTORIAA 

KÖNIGSBERGIN SILLAT - 

RATKAISU 

Yksinkertaistetaan kuvaa hieman 

N 

N 

K 

O 

K 

O 

S 

S 


8.11.2005 KyAMK - TiRak, syksy 2005 4

KÖNIGSBERGIN SILLAT - 

RATKAISU 

MÄÄRITELMIÄ 

Kaikista neljästä solmusta lähtee pariton 

määrä kaaria 

Oletetaan, että seurataan viivoja 

nostamatta kynää 

Valitaan yksi solmu tarkasteltavaksi – 

otetaan joku, josta lähtee 3 kaarta 

Kun 1. kerran saavut tähän solmuun, voit 

lähteä toista kaarta pitkin pois 

Tämän jälkeen solmuun voi vain saapua 

kerran 

Piirtäminen pitää päättää tähän solmuun 

Toinen vaihtoehto on aloittaa tästä 

solmusta, jolloin siinä voi vielä kerran 

käydä 

Solmu, josta lähtee pariton määrä kaaria 

voi ainoastaan aloittaa tai päättää ”reitin” 

K 

N 

S 

O 

Graafi koostuu pisteistä eli 

solmuista (vertex) ja niitä 

yhdistävistä kaarista eli viivoista 

(edge) 

Formaalisti: 

Graafi (graph) on pari (V,E), 

missä V on pisteiden joukko ja E 

on pisteparien muodostama 

viivojen joukko. 

v 1 

v 2 

v 4 

v 3 





Viivat ovat pistepareja (u, v) = (v, u) 

Pisteet u ja v ovat viivan (u, v) 

päätepisteet 

Suunnatuilla graafeilla (u, v) ≠ (v, u) 

eli pisteparien järjestyksellä on 

merkitystä 

Solmujen lukumäärää merkitään 

|V|:llä ja viivojen määrää |E|:llä 

Viivoja voidaan merkitä myös E = 

{e 1 , e 2 , …, e n } 

v 2 

e 1 

e 2 

e 3 

e 4 

v 1 

v 3 

v 4 

 

 

 

 

 

 

Viivat voivat olla myös painotettuja: 

(u, v, c), missä c on paino 

Viivat, joilla on samat päätepisteet, 

ovat rinnakkaiset 

Viiva (v, v) on ns. silmukka 

Pisteet u ja v, joita yhdistää viiva 

ovat rinnakkaiset 

Pisteen v aste, merkitään d(v), on 

niiden viivojen lukumäärä, joiden 

päätepiste v on 

Piste, jonka aste on 1 on ns. 

loppupiste 

e 5 

e 6 

e 7 


v 2 

e 1 

e 2 

e 3 

e 4 

v 1 

v 3 

e 5 

e 6 

e 7 

v 4 




 

 

 

 

 

Graafi, jossa ei ole lainkaan viivoja 

on tyhjä 

Graafi, jossa ei ole lainkaan pisteitä, 

on ns. nollagraafi 

Graafi, jossa on vain yksi piste, on 

triviaali 

Graafi on yksinkertainen, jos siinä ei 

ole rinnakkaisia viivoja, eikä 

silmukoita 

Graafi on yhtenäinen, jos sen 

jokaisesta pisteestä voidaan kulkea 

jokaiseen toiseen pisteeseen 

v 2 

e 1 

e 2 

e 3 

e 4 

v 1 

v 3 

v 4 

 

 

 

 

 

Graafissa G = (V, E) oleva pisteiden 

ja viivojen jono 

(v i0 ,e j0 ,v i1 ,e j1 ,v i2 ,…,e jk ,v ik ) on kulku, 

jos viivat (v i1 ,v i2 ), (v i2 ,v i3 ),…,(v i(k- 

1),v ik ) ∈ E 

Kulun pituus on k, v i0 on kulun 

alkupiste ja v ik kulun loppupiste 

Kulussa saavat samat pisteet ja 

viivat esiintyä useitakin kertoja 

Kulku on reitti, jos mikään viiva ei 

esiinny useita kertoja 

Reitti on polku, jos mikään piste ei 

esiinny kahta kertaa, päätepisteitä 

lukuun ottamatta 

e 5 

e 6 

e 7 


v 2 

e 1 

e 2 

e 3 

e 4 

v 1 

v 3 

e 5 

e 6 

e 7 

v 4 



EULERIN POLKU JA HAMILTONIN 

PIIRI 

 

 

 

 

 

Polku, jonka alku- ja päätepiste ovat 

samat, on piiri 

Huom. myös polku (v, v) on piiri, 

jonka pituus on 1 ja sitä sanotaan 

silmukaksi 

Graafin pisteet u ja v ovat 

yhdistetyt, jos on olemassa u-vkulku 

Jos pisteet u ja v ovat yhdistetyt 

sekä pisteet v ja w ovat yhdistetyt, 

niin myös u ja w ovat yhdistetyt 

Toisin sanoen jos graafissa on u-vkulku 

sekä v-w-kulku, niin siinä on 

myös u-w-kulku 

v 2 

e 1 

e 2 

e 3 

e 4 

v 1 

v 3 

v 4 

 

 

 

 

Eulerin ”polku” (Euler path) – kulkee 

jokaisen viivan kautta täsmälleen 

kerran 

Graafissa, jossa on Eulerin polku voi 

olla korkeintaan kaksi pistettä, joista 

lähtee pariton määrä viivoja 

Lisäksi tällaisessa graafissa on aina 

vähintään yksi Eulerin polku 

Hamiltonin piiri kulkee jokaisen 

pisteen kautta ainoastaan kerran ja 

sen alku- ja loppupisteet ovat samat 

e 5 

e 6 

e 7 


v 2 

e 1 

e 2 

e 3 

v 1 

v 4 

e 4 

v 3 

e 5 

e 6 

e 7 


SUUNNATUT GRAAFIT 

KÄYTÄNNÖN SOVELLUKSIA 

 

 

 

 

 

 

Suunnattu graafi on vahvasti yhtenäinen (strongly 

connected), jos sen jokaisesta pisteestä on polku 

kaikkiin muihin pisteisiin 

Suunnattu graafi on heikosti yhtenäinen (weakly 

connected), jos se ei ole vahvasti yhtenäinen 

mutta olisi suuntaamattomana yhtenäinen 

Suunnatun graafin pisteen v tuloaste (in-degree) 

on v:hen päättyvien viivojen (u, v) lukumäärä 

Solmun v lähtöaste (out-degree) on puolestaan 

v:stä lähtevien viivojen (v, w) lukumäärä 

Suunnatun graafin suunnattua piiriä sanotaan 

sykliksi (cycle) 

Suunnattu graafi on syklitön (acyclic), jos siinä ei 

ole yhtään sykliä, muutoin syklinen (cyclic) 

Useimmat käytännön ongelmia mallintavat graafit 

ovat painotettuja. Useimmiten ne lisäksi ovat 

suunnattuja, mutta eivät aina. 

Lentokenttäverkko 

Solmu (u, v, c): u on lähtökenttä, v on tulokenttä 

ja c voi olla välimatka, lentoaika tms. 

Liikennevirta 

Solmu (u, v, c): u on mistä, v on minne ja c voi 

olla tien pituus, kapasiteetti, suurin sallittu nopeus 

tms. 



GRAAFIN ESITTÄMISTAPOJA 

Miten graafia ei kannata esittää 

Graafi tulisi esittää niin, että sitä 

voidaan käsitellä ohjelmallisesti 

Ei välttämättä ole helppoa ja itsestään 

selvää 

Seuraavassa käsitellään paria tuttua 

tietorakennetta 

Ovatko ne käyttökelpoisia graafin 

esittämiseen 


1. Voitaisiin ajatella, että graafi olisi kätevä 

esittää binääripuun tapaan: 

linkitetty rakenne 

jokainen piste sisältää kentät kaikille mahdollisille 

viivoille 

Kritiikkiä: 

Pisteisiin liittyvien viivojen määrä voi vaihdella 

Jokaisessa pisteessä tulee varata tilaa viivoille 

pahimman tapauksen mukaisesti 

Toinen ongelma on solmujen tavoittaminen: 

Mistä ja miten etenemällä jokin tietty solmu 

löytyy 




2. Pisteestä lähtevien viivojen 

määrää ei haluta rajoittaa 

Viivat voitaisiin esittää myös 

linkitettyinä listoina 

Kritiikkiä: 

Rakenne on varsin raskastekoinen 

Solmujen tavoittaminen ei ole 

yhtään helpompaa kuin edellisessä 

menetelmässä 

GRAAFIN SIVULUETTELO 

Sivuluettelossa nimen mukaisesti 

luetellaan verkon sivut eli viivat 

Luettelon alkiot ovat joko pareja 

(painottamaton) tai kolmikoita 

(painotettu) 

Suuntaamattomassa graafissa jokainen 

sivu esiintyy kahteen kertaan 

Toisaalta, jos tiedetään, että graafi on 

suuntaamaton, ja sivu (u, v) sisältyy 

graafiin, sivua (v, u) ei tarvitse ilmoittaa, 

koska sen tiedetään automaattisesti 

olevan mukana 



GRAAFIN SIVULUETTELO 

NAAPURUUSMATRIISI 

1 

3 

5 

 

 

 

Ohessa on eräs graafi sekä suuntaamattomana että suunnattuna ja 

molemmissa tapauksissa sivuluettelo 

Suunnattuun graafiin on lisäksi liitetty painot 

Samaa graafia käytetään esimerkkinä myös jatkossa 

Sivuluettelo 

1, 2 3, 1 

1, 3 3, 2 

1, 4 4, 1 

2, 1 4, 5 

2, 3 5, 4 

2 

4 

Painottamaton Painotettu 

1, 2 1, 2, 3 

1, 3 1, 3, 7 

1, 4 1, 4, 5 

2, 3 2, 3, 4 

4, 5 4, 5, 2 


7 

1 

3 

5 

3 

4 5 

2 

2 

4 

Naapuruusmatriisi eli vierusmatriisi on |V| x |V| - 

neliömatriisi: 

Matriisissa on graafin pisteiden määrän verran sekä 

sarakkeita että rivejä. 

Painottamattomalla graafilla rivin u sarakkeen v alkio 

on 1, jos viiva (u, v) sisältyy graafiin, ja 0 muulloin 

Painotetulla graafilla viivaa (u, v, c) vastaava matriisin 

alkion arvo on viivan paino c 

Puuttuvia viivoja vastaavat matriisin alkiot tulee olla 

sellaisia, että niitä ei voi sekoittaa viivojen painoihin 

(esim. -1, -99, tms.) 

Suuntaamatonta graafia vastaava matriisi on 

symmetrinen (eli A T = A): 

Jos viiva (u, v) sisältyy graafiin, niin myös viiva (v, u) 

sisältyy ko. graafiin. 


NAAPURUUSMATRIISI 

Esimerkki 

Suuntaamaton verkko Suunnattu verkko 

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 

1| 0 1 1 1 0 1| 0 1 1 1 0 

2| 1 0 1 0 0 2| 0 0 1 0 0 

3| 1 1 0 0 0 3| 0 0 0 0 0 

4| 1 0 0 0 1 4| 0 0 0 0 1 

5| 0 0 0 1 0 5| 0 0 0 0 0 

Naapuruusmatriisin tilavaatimus on O( |V| 2 ) 

käyttökelpoinen esitysmuoto tiheillä (dense) graafeilla, 

joissa on paljon viivoja 

Harvojen (sparse) graafien esittämiseen soveltuu 

paremmin seuraavassa esitettävä naapuruuslista 

NAAPURUUSLISTA 

Naapuruuslistassa kutakin pistettä vastaa 

listan tunnussolu 

Kyseisestä pisteestä lähtevät viivat 

tallennetaan tunnussolusta lähtevään 

linkitettyyn listaan 

Suuntaamattomille graafeille jokainen 

listasolu esiintyy kahdessa eri listassa 

Painottaman graafin listasolu sisältää 

verkon pisteen numeron sekä linkin 

seuraavaan soluun 

Painotetun graafin listasolu sisältää 

lisäkentän, johon talletetaan viivan paino 



NAAPURUUSLISTA 

GRAAFIN PISTEEN TIEDOT 

KÄYTÄNNÖSSÄ 

Esimerkki 

Suunnatun graafin naapuruuslista: 

1234 

23 

3 

45 

5 

Tämän esitystavan tilavaatimus on O( |V| + |E| ). 

 

 

 

 

Graafin pisteiden nimet ovat harvoin numeroita 

Yleensä pisteet sisältävät merkkijonoja, esim. 

kaupunkien nimiä 

Numerointi on kuitenkin varsin oleellinen sekä 

naapuruusmatriisi- että naapuruuslistaesityksessä 

Tällöin voidaan menetellä seuraavasti: 

Kun graafia luettaessa vastaan tulee aiemmin 

esiintymätön piste, annetaan sille seuraava 

järjestysnumero 

Pisteen nimi talletetaan sopivaan hakurakenteeseen 

(esim. binääripuu, hajautustaulu) 

Kun nimeä tarvitaan, haku on nopeaa (esim. tietyn 

pisteen esiintyminen, tulostukset, …)

Luento 9 - Verkot eli graafit

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?