Koko luentomoniste - FMI

98 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIA
Jos kaikki vuonmuutokset ovat peräisin systeemin silmukoista, niin
dΦ i =
n∑
j=1
dΦ ij
dI j
dI j =
n∑
M ij dI j (8.5)
j=1
Oletetaan lisäksi, että silmukat ovat jäykkiä ja paikallaan, jolloin energianmuutoksiin
ei liity mekaanista työtä. Tällöin dW b on yhtäsuuri kuin magneettisen
energian muutos dU. (Virrat oletetaan myös riittävän hitaasti
muuttuviksi, jolloin ei tarvitse ottaa huomioon säteilyhäviöitä.)
Rajoitutaan yksinkertaiseen väliaineeseen, jossa magneettivuon ja virran
välinen suhde on lineaarinen. Lasketaan systeemin energia lähtien tilasta,
jossa virtoja ei ole. Lineaarisuudesta johtuen lopullinen energia ei riipu
tavasta, jolla tila on saavutettu. Näin ollen virtoja voidaan kasvattaa nollasta
lopputilaan samassa tahdissa eli joka hetki I ′ i = αI i, missä α kasvaa
0 → 1. Tällöin dΦ i = Φ i dα ja systeemin magneettinen energia on
∫
U = dW b =
∫ 1 n∑
n∑
∫ 1
I i ′ Φ i dα = I i Φ i α dα = 1 n∑
I i Φ i (8.6)
0
i=1
i=1
0 2
i=1
Tämä voidaan myös ilmaista summana silmukoiden yli:
U = 1 n∑ n∑
M ij I i I j (8.7)
2
i=1 j=1
josta saadaan suoraan yhdelle silmukalle (M 11 = L 1 = L = silmukan itseinduktanssi)
U = 1 2 IΦ = 1 2 LI2 = 1 Φ 2
(8.8)
2 L
Tämän voi rinnastaa kondensaattorin energiaan Q 2 /(2C), joka ilmaisee kondensaattorin
sähkökenttään varastoituneen energian. Kahdelle silmukalle
saadaan
U = 1 2 L 1I1 2 + 1 2 L 2I2 2 + MI 1 I 2 (8.9)
missä otettiin huomioon symmetria M 12 = M 21 = M. Harjoitustehtäväksi
jää osoittaa, että L 1 L 2 ≥ M 2 .
Virtasilmukkajärjestelmän energia voidaan määrittää myös kokoamalla
systeemi silmukoista, joihin yksi kerrallaan luodaan virrat I i . Silmukkaan
dI
indusoituva smv tekee työtä teholla −L i I i i dt
, joten kasvatettaessa virta nollasta
lopulliseen arvoonsa tarvitaan ulkoista työtä määrä 1 2 L iIi 2. Tarkastellaan
silmukkaparia, joista ensimmäiseen synnytetään virta I 1 ja ulkoinen
työ on 1 2 L 1I1 2. Pidetään sitten I 1 vakiona ja kasvatetaan toisen silmukan
virta nollasta arvoon I 2 . Tällöin tehdään työtä sekä silmukkaan 2 indusoituvaa
smv:tä vastaan ( 1 2 L 2I2 2 ) että silmukkaan 1 indusoituvaa smv:tä vastaan
( ∫ t
0 MI 1dI 2 /dt = MI 1 I 2 ). Systeemin kokonaisenergia on siis 1 2 L 1I1 2 +
1
2 L 2I2 2 + MI 1I 2 . Sama idea yleistyy suuremmalle silmukkajoukolle.